线性代数+高数基础知识框架教学文稿

第一章：行列式考试内容：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求：1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．第二章：矩阵考试内容：矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵等价分块矩阵及其运算考试要求：1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．第三章：向量考试内容：向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间以及相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试要求：1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系5．了解n维向星空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．第四章：线性方程组考试内容:线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解考试要求l．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．第五章：矩阵的特征值及特征向量考试内容:矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵考试要求:1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. 2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．第六章：二次型考试内容：二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求：1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变化和合同矩阵的概念了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法概率与统计第一章：随机事件和概率考试内容：随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．第二章：随机变量及其分布考试内容：随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求：1．理解随机变量的概念．理解分布函数的概念及性质．会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为λ（λ>0）的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．第三章：多维随机变量及其分布考试内容：多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求：1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质. 理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布；理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度．会求与二维随机变量相关事件的概率．2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义．4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。

线性代数讲稿今天我给大家介绍一下线性代数的基础知识。

在这节课中，我将向同学们介绍：什么是线性代数，线性代数有哪些分支和各个分支之间有什么关系，以及线性代数研究的主要问题是什么？现在我们先看，这节课上所用的例题，以便同学们能够更好地理解并掌握线性代数的基本概念。

1。

比较矩阵A与矩阵B，设A的秩为n， B的秩为m， A与B 的转置矩阵定义为(x__a)__(y__b)。

则称A与B相似，记作A_B， A_B 与A相似等价于B_A，记作B_A。

A与B的相似关系称为矩阵A与B 的关系。

有的书上写成A与B的形式为A_B， A与B的形式是相似关系的矩阵，秩就是矩阵A的秩，形式上不做区分。

2。

矩阵的相似对角化问题。

若A、 B为n×n矩阵，并且A为n ×n对角矩阵，那么称B经过A的相似对角化可得到A经过B的相似对角化，则称A与B相似对角化。

3。

将矩阵的乘法表示成两个矩阵的乘法，这种矩阵乘法叫作线性变换。

也可以说，通过变换可以把一个矩阵的表示形式变成另一个矩阵的表示形式。

这种矩阵乘法称为线性运算。

线性运算按行(列)顺序进行运算，结果保持不变，但逆矩阵需进行反向运算。

3。

线性表示：把一个向量或一组向量映射成矩阵的乘积。

每个向量都用数值上最小的单位来度量，这种度量方法称为线性度量。

一个向量是线性表示的充分必要条件是该向量与所有其它向量线性相关，而且只有当该向量对应的矩阵的列向量线性无关时，这个向量才是线性表示的。

4。

线性表示的性质： 1)线性表示的两个向量必须线性无关； 2)两个线性表示之间的线性映射必须是可逆的； 3)线性表示之间的两个矩阵可以相等，即它们的行(列)逆阵必须相等； 4)如果两个线性表示是相似的，则它们的矩阵是相似对角化的。

5。

向量空间：定义：设a是实数集合C上的线性无关的，可测向量组成的集合，称a为X上的线性空间。

那么A就是线性空间X上的向量空间。

线性空间X上的线性变换是一个向量空间。

《线性代数》教学大纲一、课程概述1. 课程研究对象和研究内容《线性代数》是数学中的一个重要分支，是高等工科院校的重要基础理论课。

其不仅在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，而且在计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术中无不是理论和算法的基础内容。

本课程教学内容主要有：行列式；矩阵；n维向量空间；线性方程组；特征值与特征向量；二次型。

通过本课程的学习，能够培养学生对研究对象进行有序化、代数化、可解化的处理方法，并且为其他后续课程打好基础。

因此，本课程对学生今后专业的发展具有非常重要的意义。

2. 课程在整个课程体系中的地位《线性代数》是计算机专业的基础课。

《线性代数》的后续课是《离散数学》，《计算方法》等。

二、课程目标1．知道《线性代数》这门学科的理论和方法及其在专业教育体系中的位置；2．理解这门学科的基本概念、基本定理和基本方法；3．熟练掌握行列式、矩阵的运算；会用行列式与矩阵的方法求解齐次线性方程组、非齐次线性方程组的解；学会矩阵的特征值、特征向量及二次型的相关应用；4．突出计算能力的培养，引导学生进行归纳、对比和思考，培养学生的创造性能力；5．学会用线性代数的方法处理离散对象；6．培养运用本学科的基本知识与基本技能分析问题、解决问题的能力；逐步培养学生抽象思维和逻辑推理的能力；7．通过本课程的学习，协助学生逐步树立辩证唯物主义的观点。

三、课程内容和要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。

这四个层次的一般涵义表述如下：知道———是指对这门学科和教学现象的认知。

理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。

掌握———是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。

学会———是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。

文案大全线性代数－知识框架()000,nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E ββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间.()0A r A n A A A Ax A λ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量注：()()0a b r aE bA n aE bA aE bA x λ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩0有非零解=-文案大全⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n¡的标准基，n¡中的自然基，单位坐标向量152p 教材；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑LL L LL M M M L1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.文案大全推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-K NN 1⑤范德蒙德行列式：()1222212111112n i j nn i j n n n nx x x x x x x x x x x ≥≥≥---=-∏L L L M M M L111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M M L 称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯()1121112222*12nT nijn n nnA A AA A AA AA A A⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭LLM M ML，ijA为A中各个元素的代数余子式.√逆矩阵的求法:①1AAA*-=注：1a b d bc d c aad bc--⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1②1()()A E E A-−−−−→M M初等行变换③1231111213aaaaaa-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213aaaaaa-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√方阵的幂的性质：m n m nA A A+=()()m n mnA A=√设,,m n n sA B⨯⨯A的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅，则m sAB C⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,ssn sn n nsb b bb b bc c cb b bααα⎛⎫⎪⎪⋅⋅⋅=⎪⎪⎝⎭LLLM M ML⇔i iA cβ=，(,,)i s=L1,2⇔iβ为iAx c=的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s sA A A A c c cββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L⇔12,,,sc c cL可由12,,,nααα⋅⋅⋅线性表示. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，T A为系数矩阵.文案大全√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O C B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→MM 初等行变换(I)的解法：构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得√ 0Ax =与0Bx =同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组0Ax =与0Bx =同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔PQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 都是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()r A A O =⇔=0.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A ； 对A 施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααLA 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =%12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；p 教材94,例10 ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑱ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.√ 矩阵的秩的性质：①()A O r A ≠⇔若≥1 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()TTr A r A r A A == p 教材101,例15③()()r kA r A k =≠ 若0④()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70⑤ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭⑥()r AB ≤{}min (),()r A r B⑦ ,,()()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=⇒+若且0≤n ⑧()()A r AB r B ⇒=若可逆()()B r AB r A ⇒=若可逆⑨若0()()()m n Ax r A n r AB r B ⨯⇔=⎧=⇒⎨=⎩ 只有零解且A 在矩阵乘法中有左消去律0AB B AB AC B C=O ⇒=⎧⎨=⇒=⎩；若()()()n s r B n r AB r B ⨯=⇒= 且B 在矩阵乘法中有右消去律.√ 初等矩阵的性质：1212,,,0,,,()()A n n Ax n Ax A Ax r A r A Ax n βαααβαααβββ⇔=<⇔⇒⇔=−−−−−→=⇔=⇔=⇔==L L M 当为方阵时有无穷多解 表示法不唯一线性相关有非零解0 可由线性表示有解有唯一组解 1212,,,0()(),,,()(A n n Ax A r A r A Ax r A r αααββαααβ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⇔⎪⇒⇔=−−−−−→≠⇒⎪⎩⇔≠⇔=⇔<L ML 当为方阵时表示法唯一 线性无关只有零解0克莱姆法则 不可由线性表示无解)()1()A r A r A ββ⎧⎪⎨⎪⇔+=⎩M M注：Ax Ax ββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 11212(,,,)n n x x x αααβ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解 √ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,⇒()()r A r A β=M⇒Ax β=一定有解， 当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM和的上限.n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+(,)(,)(,)c c c αβαβαβ==E A λ-.()E A f λλ-=.√ ()f λ是矩阵A 的特征多项式⇒()f A O =E A λ-=0. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关√12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.√ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 23n λλλ====L 0 p 指南358.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f A 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；12()()()()n f A f f f λλλ=L② 若A 满足()0f A =,则A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0.√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式.√ 1231122,T A m m k kA a b aA bEA A A A A Aλλλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎨=L 是的特征值则:分别有特征值 .⎪⎪⎪⎪⎪⎩√ 1231122,A m m k kA a b aA bEA x A x A A A λλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎩L 是关于的特征向量则也是关于的特征向量. √ 2,mA A 的特征向量不一定是A 的特征向量.√ A 与T A 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.1B P AP -= （P 为可逆矩阵） 记为：A B :1B P AP -= （P 为正交矩阵）A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ: （称Λ是A √ A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121212112212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n P PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭L L L L O14424431442443144424443. 注：当i λ=0为A 的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-= 0Ax =基础解系的个数. √ 若A 可相似对角化,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =.√ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 可相似对角化.√ 若A Λ:⇒k A =1k P P -Λ=，1211()()()()()n A P P P P ϕλϕλϕϕϕλ--⎛⎫ ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭O √ 相似矩阵的性质：① A B =tr tr② A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆③ ()()r A r B =④T T A B :；11A B --: （若,A B 均可逆）；**A B :⑤k k A B : （k 为整数）；()()f A f B :，()()f A f B =⑥,AB A BCD C D ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭::: ⑦E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.注:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. √ 数量矩阵只与自己相似.√ 对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量；② 不同特征值对应的特征向量必定正交；注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；③ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；④ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；⑤ 一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--）.T AA E =√ A 为正交矩阵⇔A 的n 个行（列）向量构成n ¡的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T T AA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则T A ，1A -也是正交阵；⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.1211(,,,)n n T n ij ij i j f x x x x Ax a x x ====∑∑L ij ji a a =，即A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =LT B C AC =. 记作：A B ; （,,A B C 为对称阵为可逆阵）二次型的规范形中正项项数p r p -；2p r -. (r 为二次型的秩)√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√ 两个矩阵合同的充分条件是：A B :√ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数 唯一确定的.√ 当标准形中的系数i d 为-1或0或1时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 惯性定理：任一实对称矩阵A 与唯一对角阵111100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭OOO 合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量；② 对n 个特征向量正交化、单位化；③ 构造C （正交矩阵）,作变换x Cy =,则1112221()()T T T T T n n n y d y y d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M O M 新的二次型为21n i i f d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.123,,ααα线性无关, 112122111313233121122()()()()()()T T T T T T βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎪⎩正交化 单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。

大一数学教案高等数学中的线性代数大一数学教案：高等数学中的线性代数一、引言线性代数是高等数学中重要的基础课程之一。

通过学习线性代数，我们可以理解向量空间、线性变换、矩阵运算等概念，为后续课程的学习打下坚实的基础。

本教案将重点介绍线性代数的基本内容、学习目标和教学方法，帮助学生全面掌握线性代数的基础知识。

二、教学目标1. 理解向量空间的定义和性质；2. 熟悉线性变换及其相关概念；3. 掌握矩阵运算的基本法则；4. 发展解线性方程组的能力；5. 培养抽象思维和数学推理能力。

三、教学内容1. 向量空间a. 向量的概念和基本运算法则；b. 向量空间的定义和性质；c. 子空间和线性无关的概念及其判定方法。

2. 线性变换a. 线性变换的定义和基本性质；b. 线性变换的矩阵表示和矩阵的运算；c. 特征值和特征向量的概念及其计算方法。

3. 矩阵运算a. 矩阵的基本运算法则；b. 矩阵乘法的定义和性质；c. 矩阵的逆和转置运算。

4. 线性方程组a. 线性方程组的概念和解的存在性；b. 齐次线性方程组和非齐次线性方程组；c. 初等行变换和高斯消元法。

四、教学方法1. 讲授与示范：通过教师的详细讲解和实例演示，介绍各个概念和运算法则。

2. 案例分析：选取一些实际问题，引导学生应用线性代数的知识进行分析和求解。

3. 小组讨论：组织学生分组进行讨论和交流，激发学生的思维，培养团队合作能力。

4. 解题演练：提供大量的练习题和解题技巧，让学生熟练掌握各个概念和解法。

5. 课堂测试：定期进行测试，检验学生的学习效果，及时发现和解决问题。

五、教学评价方式1. 平时表现：包括课堂参与、作业完成情况等；2. 课堂测试：定期进行测试，考察学生对基本概念和解题方法的理解；3. 期末考试：综合考察学生对整个线性代数课程的掌握程度。

六、教学资源1. 教材：推荐使用高等数学线性代数教材；2. 讲义：提供详细的教学讲义和习题答案；3. 多媒体教学：利用投影仪、电子白板等多媒体技术辅助教学。

大学数学说课稿线性代数基础教学大学数学说课稿：线性代数基础教学一、引言数学作为一门基础学科，对于大学生的综合素质培养具有重要作用。

而线性代数作为数学的重要分支之一，是理工科专业以及计算机科学等领域的基础课程，对学生培养抽象思维、逻辑思维和问题解决能力有着重要意义。

本次说课将结合大学线性代数教学的特点，着重介绍线性代数基础教学的流程和方法。

二、教学目标1. 知识目标：使学生掌握线性代数基础知识，包括向量、矩阵、行列式等内容；2. 能力目标：培养学生抽象思维、逻辑思维和问题解决能力；3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。

三、教学重点与难点1. 教学重点：向量空间的定义与性质、线性方程组的求解方法；2. 教学难点：线性空间的概念理解、线性变换的理解与应用。

四、教学内容与教学方法1. 教学内容：(1) 向量空间的定义与性质：向量的线性组合、线性相关性与线性无关性等；(2) 线性方程组的求解方法：高斯消元法、矩阵的初等变换等；2. 教学方法：(1) 讲授法：结合具体例子和图示，介绍向量空间的定义与性质；(2) 实例演练法：通过解决一些实际问题，巩固学生对线性方程组求解方法的理解与应用能力。

五、教学流程1. 导入：通过提问或引用实例，引发学生对线性代数的兴趣，了解线性代数在现实生活中的应用；2. 知识点讲解：(1) 向量空间的定义与性质：通过讲解向量的线性组合、线性相关性与线性无关性等概念，引导学生理解向量空间的概念；(2) 线性方程组的求解方法：通过讲解高斯消元法、初等变换等方法，指导学生掌握线性方程组的求解过程；3. 实例演练：(1) 向量空间实例：通过具体的向量空间实例，引导学生应用向量空间的定义与性质，进行相关练习；(2) 线性方程组实例：选择一些简单的线性方程组实例，与学生一起进行高斯消元法和初等变换的演练；4. 总结与拓展：(1) 总结本节课的教学内容，强调学生应掌握的重要概念和解题技巧；(2) 拓展教学内容，提出一些相关的数学问题，激发学生的思考和求解能力。

一 函数、极限与连续
00
(,) x x x x
Uδ
→⇔∈
00
00
x x x x
x x x x
-
+
→⇒<
→⇒>
lim()
x x
f x
→
与
()
f x的意思.
二导数与微分
00
()lim()
x x
f x f x
→
'、的含义
三微分中值定理及其应用
四不定积分
五定积分及其应用
六 常微分方程
七多元函数微分学及其应用
八二重积分
二重积分计算六步法
1.画积分区域
2.化简（对称性、轮换对称性、区域可加性）
3.选择积分坐标
4.确定积分顺序
5.确定积分上下限
6.计算二次积分
九无穷级数（数一、数三）
十向量代数与空间解析几何（数一）
十一多元函数积分学（数一）
一
三
四
方程组
五 特征值和特征向量
六 二次型
一随机事件和概率
二一维随机变量及其分布
三二维随机变量及其分布
四随机变量的数字特征
五 大数定律和中心极限定理
六 数理统计的基本概念
七参数估计和假设检验。

文档第一章 行列式本章说明与要求:行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。

本章的重点：行列式性质；行列式的计算。

本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221211112111b x a x a b x a x a(1)用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22 – a 12a 21≠0 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=211222112112112211222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号2112221122211211a a a a a a a a -=为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．文档根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-，如果记 22211211a a a a D =，2221211a b a b D =，2211112b a b a D =则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成2221121122212111a a a a a b a b DD x ==， 2221121122111122a a a ab a b a DD x ==， (3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x 1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x 2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1 用二阶行列式解线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+231422121x x x x解：这时 0214323142≠=⨯-⨯==D ， 5243132411-=⨯-⨯==D ，3112221122=⨯-⨯==D ， 因此，方程组的解是 2511-==D D x ，2322==D D x ，对于三元一次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= (5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例2 532134212-1062012242301325)4(123223)4(211532=-+--+==⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=文档令 333231232221131211a a a a a aa a a D =3332323222131211a a b a a b a a b D =，3333123221131112a b a a b a a b a D =， 3323122221112113b a a b a a b a a D =． 当 D ≠0时，(4)的解可简单地表示成D D x 11=，D Dx 22=，DD x 33= (6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3 解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+-423152302321321321x x x x x x x x x解：28231523112=---=D ，132345211101=---=D ，472415131022=--=D ，214311230123=-=D ．所以，281311==D D x ，284722==D D x ，43282133===D D x ． 例4 已知010100=-a bb a，问a ，b 应满足什么条件？(其中a ，b 均为实数)．解：2210100b a a b b a +=-，若要a 2+b 2=0，则a 与b 须同时等于零．因此，当a =0且b =0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．1.2 排列在n 阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识． 定义1由数码1，2，…，n 组成一个有序数组称为一个n 级排列．例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列．定义2在一个n 级排列i 1i 2…i n 中，如果有较大的数 i t 排在较小的数 i s 的前面(i s <i t )， 则称i t 与i s 构成一个逆序，一个n 级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N (i 1i 2…i n )．文档例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N (3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N (52341)=7．容易看出， 自然序排列的逆序数为0．定义3 如果排列i 1i 2…i n 的逆序数N (i 1i 2…i n )是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列． 自然排列123…n 是偶排列．定义4 在一个n 级排列i 1…i s …i t …i n 中， 如果其中某两个数i s 与i t 对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n 级排列i 1…i t …i s …i n ，这样的变换称为一个对换，记作(i s ，i t )．如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214． 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214． 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．一般地，有以下定理：定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．定理2 在所有的n 级排列中(n ≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为2!n 个．1.3 n 阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n 阶行列式的定义． 已知二阶与三阶行列式分别为2112221122211211a a a a a a a a -=111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 其中元素a ij 的第一个下标i 表示这个元素位于第i 行，称为行标，第二个下标j 表示此元素位于第j 列，称为列标．我们可以从中发现以下规律：(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号．作为二、三阶行列式的推广我们给出n 阶行列式的定义．定义1 由排成n 行n 列的n 2个元素a ij (i ，j =1，2，…，n )组成的符号nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211文档称为n 阶行列式．它是n !项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号．于是得nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211＝∑n j j j 21n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(- (1)其中∑nj j j 21表示对所有的n 级排列j 1j 2…j n 求和．(1)式称为n 阶行列式按行标自然顺序排列的展开式．)(21)1(n j j j N -n nj j j a a a 2121称为行列式的一般项．当n =2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中用对角线法则定义的是一致的．当n =1时，一阶行列为|a 11|= a 11．如当n =4时，4阶行列式44342414434241333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a ，表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项．根据n 阶行列式的定义，4阶行列式为44342414434241333231232221131211 a a a a a a a a a a a a a a a a ∑-４４４＝j j j j j j j j j j j N a a a a 213214321321)()1( 例如a 14a 23a 31a 42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N (4312)=5，所以该项取负号，即–a 14a 23a 31a 42是上述行列式中的一项．为了熟悉n 阶行列式的定义，我们来看下面几个问题． 例1 在5阶行列式中，a 12a 23a 35a 41a 54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514．因 N (23514)=4 故这一项应取正号．例2 写出4阶行列式中，带负号且包含因子a 11a 23的项． 解：包含因子a 11a 23项的一般形式为４４j j j j N a a a a 34332311)13()1(-，按定义，j 3可取2或4，j 4可取4或2，因此包含因子a 11a 23的项只能是a 11a 23a 32a 44或a 11a 23a 34a 42 ，但因 N (1324)=1为奇数，N (1342)=2为偶数 所以此项只能是 –a 11a 23a 32a 44．例3 计算行列式hg vu f e y x dc ba 0000文档解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项．但只有以下四项adeh ，adfg ，bceh ，bcfg 不为零．与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N (1234)=0，N (1243)=1，N (2134)=1和N (2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即hg v u f e y x d c ba 0000= adeh –adfg –bceh +bcfg 例4 计算上三角形行列式 nnnn a a a a a a D 21221211 0=其中a ii ≠０ (i =1， 2，…， n )． 解：由n 阶行列式的定义，应有n !项，其一般项为n nj j j a a a 2121但由于D 中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可．在D 中，第n 行元素除a nn 外，其余均为０．所以j n =n ；在第n –1行中，除a n–1n –1和a n –1n 外，其余元素都是零，因而j n –1只取n –1、n 这两个可能，又由于a nn 、a n –1n 位于同一列，而j n =n ．所以只有j n –1 = n –1．这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a 11a 22…a nn 一项不等于零．而这项的列标所组成的排列的逆序数是N (12…n )=0故取正号．因此，由行列式的定义有nnnn a a a a a a D 21221211==a 11a 22…a nn 即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积．同理可求得下三角形行列式nnn n a a a a a a021222111=a 11a 22…a nn 特别地，对角形行列式nna a a 0002211=a 11a 22…a nn 上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积．例5 计算行列式0000001121n n n a a a -解 这个行列式除了a 1n a 2n –1…a n 1这一项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号，列标的n 级排列为n (n –1)…21，N (n (n –1)…21)= (n –1)+ (n –2)+…+2+1=2)1(-⋅n n ，所以文档0000001121n n n a a a -=11212)1()1(n n n n n a a a ---同理可计算出000112222111211n n na a a a a a a -=nnnn n nn na a a a a a 112121000-- =11212)1()1(n n n n n a a a --- 由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n 个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0．在n 阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素的行标排成自然序排列，即n nj j j a a a 2121．事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，一般地，n 阶行列式的项可以写成n n j i j i j i a a a 2211 其中i 1i 2…i n ，j 1 j 2…j n 是两个n 阶排列，它的符号由下面的定理来决定．1.4 行列式的性质当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n 阶行列式的值是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算．将行列式D 的行列互换后得到的行列式称为行列式D 的转置行列式，记作D T，即若nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=， 则nnnnn n T a a a a a a a a a D212221212111=．反之，行列式D 也是行列式D T的转置行列式，即行列式D 与行列式D T互为转置行列式．性质１ 行列式D 与它的转置行列式D T的值相等． 性质２ 交换行列式的两行(列)，行列式变号．例１ 计算行列式053704008000051753603924--=D 解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得0504008053070392417536)1(2---=D文档推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零． 性质３ 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即nnn n in i i n nnn n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a211111211211111211= 此性质也可表述为：用数k 乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k 乘此行列式． 推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零．性质４ 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即nnn n in i i n nnn n in i i n nnn n in in i i i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121211121121221111211+=+++ 性质5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k 加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变．即nnn n sn s s in i i n a a a a a a a a a a a a D21212111211= nnn n snin s i s i in i i n a a a a ka a ka a ka a a a a a a2122112111211+++作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子．例2 计算行列式 3111131111311113=D 解：这个行列式的特点是各行４个数的和都是６，我们把第２、３、４各列同时加到第１列，把公因子提出，然后把第１行×(–1)加到第２、３、４行上就成为三角形行列式．具体计算如下：i 行×k 加 到第s 行文档例3 计算行列式0112012120112110-----=D 例4 试证明：011=++++=cb a d b a dc da cb dc b a D １１例5 计算n +1阶行列式 xa a a a x a a a a x a a a a xD n n n321212121=例6 解方程0)1(11111)2(111112111111111111=------x n xn x x例7 试证明奇数阶反对称行列式 000021212112=---=nnnna a a a a a D证：D 的转置行列式为00021212112n nnn Ta a a a a a D ---=，从D T中每一行提出一个公因子(–1)，于是有D a a a a a a D n nnnnnT )1(000)1(21212112-=----=，但由性质1知道D T =D文档∴ D =(–1)nD 又由n 为奇数，所以有D = –D ，即 2D =0， 因此 D =0．1.5 行列式按一行(列)展开本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法——降阶法．为此，先介绍代数余子式的概念．定义 在n 阶行列式中，划去元素a ij 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按原来的位置构成一个n –1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记作Ｍij ．元素a ij 的余子式Ｍij 前面添上符号(–1)i+j称为元素a ij 的代数余子式，记作A ij ．即A ij ＝(–1)i +jM ij ．例如：在四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =中a 23的余子式是M 23=444241343231141211a a a a a a a a a 而 A 23=(–1)2+3M 23= –444241343231141211a a a a a a a a a 是a 23的代数余子式． 定理１ n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+…+a in A in (i =1，2，…，n )或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a nj A nj (j=1，2，…，n )．定理２ n 阶行列式D 中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即：a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =0 (i ≠s )或 a 1j A 1t +a 2j A 2t +…+a nj A nt =0 (j ≠t )．定理1表明，n 阶行列式可以用n –1阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理．利用它并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计算．计算行列式时，一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素，再按定理1展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶．这在行列式的计算中是一种常用的方法．例１ 计算行列式 5101242170131312-----=D文档例３ 计算yy x x D -+-+=1111111111111111，其中 xy ≠０．例４ 试证 ∏≤<≤-----=ni j j in nn n n n n a aa a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111(1)式中左端叫范德蒙行列式．结论说明，n 阶范德蒙行列式之值等于a 1， a 2， …， a n ，这n 个数的所有可能的差a i –a j (1≤j<i ≤n )的乘积．例５ 计算n 阶行列式1232110000010000010000001n nn n n x x x D x a a a a a a x------=-+例6 证明22211211222112112221222112111211222112110000b b b b a a a a b b c c b b c c a a a a ⋅=（拉普拉斯展开） 本例题的结论对一般情况也是成立的，即mmm m mk m m mk kk k k k b b b c c c b b b c c c a a a a a a212111211112112111211000000mmm m m kk k k k b b b b b b a a a a a a21112112111211⋅=文档1.6 克莱姆法则前面我们已经介绍了n 阶行列式的定义和计算方法，作为行列式的应用，本节介绍用行列式解n 元线性方程组的方法——克莱姆法则．它是§１中二、三元线性方程组求解公式的推广．设含有n 个未知量n 个方程的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********(1)它的系数a ij 构成的行列式 nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=称为方程组(1)的系数行列式．定理１ (克莱姆法则) 如果线性方程组(1)的系数行列式D ≠０，则方程组(1)有唯一解：, , , ,2211DD x D Dx D D x n n ===(2) 其中D j (j=1，2，…，n ，)是D 中第j 列换成常数项b 1，b 2，…，b n ，其余各列不变而得到的行列式．这个法则包含着两个结论：方程组(1)有解，解唯一．下面分两步来证明． 第一步：在D ≠０的条件下，方程组(1)有解，我们将验证由(2)式给出的数组 , , ,21DD D D D D n 确实是方程组(1)的解．第二步：若方程组有解，必由(2)式给出，从而解是唯一的．例１ 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=+-+=+-+24664284333521234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：因为0172130011500011012312619012130011012314616284323521231≠=----=----=------=D所以方程组有唯一解，又,04626284323321211 ,34461228442353123121=-----=-=-----=D D852616484333521231 ,17421624432352113143=-----==---=D D ．文档即得唯一解：51785,11717 ,0170 ,217344321======-=-=x x x x ． 注意：用克莱姆法则解线性方程组时，必须满足两个条件：一是方程的个数与未知量的个数相等；二是系数行列式D ≠０．当方程组(1)中的常数项都等于０时，称为齐次线性方程组．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组(3)总是有解的，因为x 1=0， x 2=0，…， x n =0必定满足(3)，这组解称为零解，也就是说：齐次线性方程组必有零解．在解x 1=k 1， x 2=k 2，…， x n =k n 不全为零时，称这组解为方程组(3)的非零解． 定理2 如果齐次线性方程组(3)的系数行列式D ≠０，则它只有零解． 推论 如果齐次线性方程组(3)有非零解，那么它的系数行列式D ＝０．例2 若方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003213213211x bx x x bx x x x x a 只有零解，则a 、b 应取何值？解：由定理２知，当系数行列式D ≠０时，方程组只有零解，)1(1211111a b bb aD -==所以，当a ≠1且b ≠０时，方程组只有零解．第二章矩阵说明与要求:矩阵是一个表格，作为表格的运算与数的运算既有联系又有区别．要熟练掌握矩阵的加法、乘法与数量乘法的运算规则，并熟练掌握矩阵行列式的有关性质．线性方程组的一些重要性质都反映在它的系数矩阵和增广矩阵上，所以我们可以通过矩阵来求解线性方程组，通过矩阵来判断解的情况等．但是矩阵的应用不仅限于线性方程组，而是多方面的．因此矩阵在线性代数中是一个重要而且应用广泛的概念正确理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件．会用伴随矩阵求矩阵的逆．熟练掌握用初等变换求逆矩阵的方法．。

《线性代数》教学大纲英文名称：Linear Algebra学分：2.5学分学时：40学时先修课程：高等数学教学对象：理工科、管理类专业学生教学目的：通过本课程教学使学生获得后继课程中经常出现的矩阵、线性方程组、二次型、线性空间与线性变换等方面的理论知识，熟练掌握矩阵运算、运用初等变换求解线性方程组以及线性无关向量组正交规范化等基本方法。

教学要求：掌握n阶行列式，矩阵，向量组，二次型与线性空间与线性变换等概念，会计算n阶行列式，会进行矩阵的各种运算，求矩阵的秩，会判别向量组的线性相关性，求解线性方程组, 判别相似矩阵，将矩阵对角化及判定二次型的正定性等。

教学内容：第一章行列式（5课时）§ 1. n阶行列式§2. n阶行列式的性质§ 3.行列式的计算§ 4.克莱姆（Cramer）法则基本要求：要求学生掌握n阶行列式的概念与性质，并能熟练运用它们完成一些简单的n阶行列式的计算。

S占./»»»•n阶行列式的概念、性质与应用。

难点：用性质计算n阶行列式的值。

第二章矩阵（8课时）§ 1.矩阵的概念§ 2.矩阵的运算§3.可逆矩阵§4.分块矩阵§5.矩阵的初等变换与初等矩阵基本要求：熟练掌握矩阵的运算，理解乘法运算的不可交换性。

掌握逆阵概念及其存在的充分必要条件，会用伴随矩阵法与初等变换法求逆阵。

理解矩阵分块在矩阵运算中的作用，会在实际运算中利用矩阵分块的思想去解决问题。

建议在讲授本章时适当结合专业知识，例如矩阵的代数运算在钢结构及测量平差中的应用，逆阵在荷载组合中的应用等等。

£占.矩阵的乘法运算；可逆矩阵概念；初等变换与初等矩阵。

难点：初等变换与初等矩阵关系；第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩（9课时）§ 1. n维向量§2.线性相关与线性无关§3.向量组的秩与等价向量组§ 4.矩阵的秩相抵标准型§ 5. n维向量空间§ 6,向量的内积与正交矩阵基本要求：掌握向量组的线性相关和线性无关概念，要求学生正确理解这一概念及有关结论并能做一些简单的判断与证明题。