湖南城市学院随机过程讲稿(18).pptx
- 格式：pptx
- 大小：636.04 KB
- 文档页数：31
下载文档原格式
合集下载
湖南城市学院-随机过程讲稿(17)
l pii , p ljj 相互控制，同为无穷或有限，从而同为常返或非常 l 0
l 0
l 0
l 0
[定理7.11]如果j是非常返态，则对于每一个i，有
p
n 1
n
ij
和
lim pij 0
n
n
[定义7.12]如果有正整数d，d>1，只有当n=d, 2d, 3d,…时 态i是具有周期性的状态。
[定义7.9] 如果单个状态i构成一个闭集，则称这个状态i为吸 收态。 例题： 设有四个状态（0,1,2,3）的马尔可夫链，它的一步 转移概率矩阵为P，对其状态进行分类。
1 1 2 2 0 1 1 0 P 2 2 1 1 1 4 4 4 0 0 0
0 0 1 4 1
f ij P Tij n1X 0 i 0
n
[定义7.11] 对于马尔可夫链X(k)，定义自状态i出发迟早到达 状态j的概率为
fij
1 n
fij
n
1 n
P T
ij
n1X 0 i P Tij
[定理7.8] fij>0的充要条件是i→j。 [推论7.3] 状态i,j相通的充要条件是fij>0 和fji>0 。当i=j时，fii 的取值在0-1之间的一个数值，根据取值情况，把状态i分为： 若fii=1, 则称 i 为常返状态， 若fii<1, 则称 i 为非常返状态（或瞬时状态或称滑过的）。
n 1
由定义知状态0为常返态。 因此，由定理知I中所有状态都是常返态。 故此马氏链为不可约常返链。
7.2.4马尔可夫链的遍历性 [定义7.13]如果齐次马尔可夫链中，对于一切的i和j，存在 不依赖i的极限，即
随机过程课件
1
m X (t1 )][ x2 m X (t 2 )] f ( x1 x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2 f ( x1, x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2
x x
1 2
X(t) 协方差与相关函数的关系为 当 mx (t ) 0 时 C X (t 1 , t 2 ) R X (t 1 , t 2 ) 在协方差定义中取t1=t2=t,就有
为XT 的均值函数或数学期望。其中F(x,t)是过程 的一维分布函数。 若是连续型随机变量，有 mX (t) xf(x,t)dx 其中f(x,t)是一维分布密度。 12
2．随机过程的方差 若 DX (t) 2 (t) E[X(t) mX (t)]2 存在，t∈T， X 称为X（t）的方差。 x (t) Dx (t) 称为X（t）的标准差。 它们描绘过程的样本曲线在各个t时刻对均 值 m X ( t ) 的离散程度， 对每个t1∈T， EX (t1 ) 反映t1状态取值的概率平均。 DX (t1 ) 反映t1状态取值与 EX (t1 ) 离散程度。 在工程中随机过程的均方值具有物理意义，比 较有用。均方值定义为： E[ X 2 (t )] X (t ) DX (t ) E( X 2 (t )) E 2 ( X (t )) 有关系式： 13 Dx (t ) x (t ) [mx (t )]2 即
第一章. 随机过程的基本概念
§1.1 随机过程及其概率分布
在实际问题中，有时需要对随机现象的变化进 行研究，这时就必须考虑无穷个随机变量或一族 随机变量, 我们就称这种随机变量族为随机过程。 例1: 生物群体的增长问题。在描述群体的发展 或演变过程中, 以 Xt 表示在时刻 t 群体的个数, 则 对每一个 t ，Xt 是随机变量。假设我们从 t ＝0 开 始每隔24小时对群体的个数观测一次, 则{Xt , t ＝0, 1, 2, ...}是一个随机过程。 例2: 电话呼唤问题。某电话总机在[0，t]时间 内收到的呼唤次数用 Xt 来表示, 则对于固定的 t ， 1 Xt 是随机变量。于是{Xt , t ∈[0, ∞)}是随机过程。
湖南城市学院-随机过程讲稿(3)
E[( X (t 2 ) X (t1 )) ( X (t 4 ) X (t3 ))] 0
则称X(t)是正交增量过程。
例题
设{X(t),t∈T}是正交增量过程，T=[a,b]为有限区间，且规定X(a)=0， 当a<s<t<b时，求其协方差函数。
独立增量过程
定义：
例题2.10
考虑一种设备一直使用到损坏为止，然后换上同类型的设备。假设设 备的使用寿命是随机变量，令N(t)为在时间段[0,t]内更换设备的件数， 通常可以认为{N(t)，t≥0}是平稳独立增量过程。
马尔可夫过程 定义： 设{X(t),t∈T}是随机过程，若对任意正整数n及t1<t2, …<tn， P(X(t1)=x1, …,X(tn-1)=xn-1)>0，且其条件分布
正交增量过程
定义依据： 不相重叠的时间区间上增量的 统计相依性
互不相关
独立增量过程
相互独立
正交增量过程
×
二阶矩存在，均值函数恒为零
独立增量过程
正交增量过程
独立增量过程
平稳独立增量过程
定义：
设{X(t),t∈T}是独立增量过程，若对任意s<t，随机变量X(t)-X(s)的分 布仅依赖于t-s，则称{X(t),t∈T}是平稳独立增量过程。
n
lim 则(1) l.i.m cn n cn c n (2) l.i.m U U n (3) l.i.m c nU cU
n
n
n
(4) (5) (6)
l.i.m (aX n bYn ) aX bY
n
lim EX n EX E l.i.m X n
RX ( s, t ) E[ X ( s ) X (t )]
随机过程的基本概念ppt课件
求X(t)的均值、均方值和方差。
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
随机过程课件.ppt
随机过程的统计描述 二 有限维分布族
两种描述
分布函数 特征数
设随机过程X (t),t T,对每一固定的t T ,随机变量X (t)的分布函数与t有关， 记为FX (x,t) PX (t) x，x R，称它为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系， 一般地，对任意n(n 2,3,L )个不同的时刻，t1,t2,L tn T
研究生课程
随机过程
汪荣鑫编 主讲教师：田ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ俊
2013年9月
第一章 随机过程基本概念
第1节 随机过程及其概率分布
1）随机过程概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即
它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从 多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类： 确定性过程：事物变化的过程可用时间的确定函数表示；
4
x1 (t )
3
2
1
t1' t1 t2 t2' t3 t3' t4' t4
t
4
例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：
(1) 设X n是第n次(n 1)抛掷的点数，对于n 1, 2,L 的不同值，
X n是随机变量，服从相同的分布，P( X n
i)
1 6
,i
1, 2,3, 4,5, 6
因而X n , n 1构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,
它的状态空间为1,2,3,4,5,6。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程，它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。
《数学随机过程》PPT课件
所以X与Y不相关。 故 (X,Y )=0 X与Y不相关
几何直观意义
3.3 随机分析初步
附注C—关于赋范线性空间概念的回顾
设V是一个线性空间，若 V，存在一个实数|| ||与
之对应，且具有下列性质：
(1) || ||0 , 且|| ||=0 =0 ； (2) ||c· ||= |c|·|| || , 特别 ||- ||= || ||； c R (3) || + || || ||+ || ||； V 则称|| || 为V中元素 的范数(norm)(模、长度)，此时线
CXX (t1, t2 ) cov{ X (t1), X (t2 )} E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} | CXX (t1, t2 ) |2 | cov{ X (t1), X (t2 )} |2 | E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} |2 {E | [ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )] |}2 E | X (t1) mX (t1) |2 E | X (t2 ) mX (t2 ) |2 D[ X (t1)]D[ X (t2 )]
3.3 随机分析初步
附注A—关于线性空间概念的回顾
设V是一个非空的集合，K是一个数域，又设
(a)在V中定义加法： , V : + V ; (b)在V中定义数乘： V, k K: k · V ; 且 , , V , k,l K , 满足 (1) k ,l K, , V : (2) +( +)= ( + )+ ; (3) + = + ; (4)0V, V: +0= ; (5) V, V: +=0 (6) 1 K: 1· = ; (7) k ,l K, V: (kl)· =k·(l) ; (8)k ,l K, V: (k+l) = k +l ; (9) k K, , V : k( + )= k + k .
几何直观意义
3.3 随机分析初步
附注C—关于赋范线性空间概念的回顾
设V是一个线性空间，若 V，存在一个实数|| ||与
之对应，且具有下列性质：
(1) || ||0 , 且|| ||=0 =0 ； (2) ||c· ||= |c|·|| || , 特别 ||- ||= || ||； c R (3) || + || || ||+ || ||； V 则称|| || 为V中元素 的范数(norm)(模、长度)，此时线
CXX (t1, t2 ) cov{ X (t1), X (t2 )} E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} | CXX (t1, t2 ) |2 | cov{ X (t1), X (t2 )} |2 | E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} |2 {E | [ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )] |}2 E | X (t1) mX (t1) |2 E | X (t2 ) mX (t2 ) |2 D[ X (t1)]D[ X (t2 )]
3.3 随机分析初步
附注A—关于线性空间概念的回顾
设V是一个非空的集合，K是一个数域，又设
(a)在V中定义加法： , V : + V ; (b)在V中定义数乘： V, k K: k · V ; 且 , , V , k,l K , 满足 (1) k ,l K, , V : (2) +( +)= ( + )+ ; (3) + = + ; (4)0V, V: +0= ; (5) V, V: +=0 (6) 1 K: 1· = ; (7) k ,l K, V: (kl)· =k·(l) ; (8)k ,l K, V: (k+l) = k +l ; (9) k K, , V : k( + )= k + k .
湖南城市学院-随机过程讲稿(18)
n1
n1
n!
D[ X (t)] E( X 2 (t)) E2 ( X (t)) t
③ 自相关函数
RX (s,t) E[ X (s) X (t)] E[ X (s)( X (t) X (s) X (s))]
独立增量
E[ X (s)( X (t) X (s))] E[( X (s))2 ]
❖如何求高斯-马尔可夫序列X(n+1)的自协方差KX (n, s)？
KX (n, s) E{[ X (n) mX (n)][ X (s) mX (s)]}
E
Ans
X
(s)
ns i1
Ai1W
(n
i)
Ans mX
(s)
ns i1
Ai1mW
(n
i)
X (s) mX (s)
VX (t) 2E [ X (t) mX (t)][ X (t) mX (t)]
2E [ X (t) mX (t)][X (t) W (t) mX (t) mW (t)]
2E [ X (t) mX (t)] X (t) mX (t)] W (t) mW (t)]
2E [ X (t) mX (t)]2 2E [ X (t) mX (t)]W (t) mW (t)]
(t)]W () mW ()]d
t t0
e(t
)
W
2
t
(t
)d
2
W
2
t
VX (t) 2E [ X (t) mX (t)]2 2E [ X (t) mX (t)]W (t) mW (t)]
2VX
(t
)
2
2 W
(t
)
初始条件VX(0)已知即可确定VX(t)。
《随机过程》教程.ppt
无穷大的分类
0, 1 ,2 ,3,……(自然数集合的无限多 为0， 0集合的所有子集构成的集合的 “无限多（势）”为1 ， 1集合的所有 子集构成的集合的势为2 ， ……)，在数 学上已经严格证明： 0, 1 ,2 ,3,等之 间不能建立双射的关系。
对于无穷大，“整体大于部分”的直觉不再成立
对于自然数集 N 1,2,3,4,5,L ，偶数集合
原像集
像集 单射（不同的原
f
像具有不同的像）
f a1 f a2
满射（每一个像都有原像）
原像集
像集
f
b, a, s.t.
b f a
双射（既是单射，又是满射）
原像集
像集
f
从直觉上承认能建立双射关系的两 个集合，其所含元素的“个数”一样多。
可数和不可数的定义
凡是能和自然数集合或者自然数集合的 一个子集建立双射关系的集合称为可数 集合；否则称为不可数集合。 可数和不可数是人类认识“无穷”所产 生的概念，是对无穷的分类。 已经证明连续的区间，和实数集等都是 不可数集合：[1,2],(0.1,0.01),R,等等
事件和Borel集
事件：样本空间中满足一定条件的全体 元素构成子集，“一定条件”有事件的 意义，因此称样本空间的子集为事件。
（举例说明）
不可能事件 必然事件 基本事件：可数和不可数 Borel集：规定了事件的全体及其相容性
概率空间的定义
阅读讲解p.16定义2.1 理解概率空间
概率空间是对随机现象的基本建模方法 概率空间有三个要素：样本空间、Borel事
《随机过程》教程
第三讲 随机对象（一）
本章要义（阅读引言部分）
本章介绍如何对随机现象建立数学模型。
《随机过程教程》PPT课件幻灯片PPT
主要教学成果
编写出版了教材?通信与信息工程中的随 机过程? 开设的?随机过程?课程2002年12月被评为 江苏省优秀研究生课程 至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位， 目前正在指导13名硕士研究生 协助指导5名博士研究生获得博士学位 指导本科毕业设计20名
教学理念
教者方面 认真、尽职 教的过程也是学的过程 学者方面 “贤良、喜悦、勤奋〞可使学习者臻于完善的 境地 共同方面 互换角度、互相尊重 互相配合、互相理解、互相学习
科研方向
主要科研方向
无线通信中的各种信号处理问题 无线通信系统中的无线资源管理问题
具体涉及的研究领越
DS/CDMA通信系统中的多用户检测 智能天线技术 MIMO系统中的空时编码技术 HSDPA技术 无线网络规划
完成的科研工程
1997年1月到12月，作为工程负责人完成了国 家863高技术开展工程“多址干扰抑制技术〞 1998年4月到2001年3月，作为工程技术负责人， 完成了本室与芬兰NOKIA移动 公司的国际合作 工程“移动通信中的新方法〞 2001年7月到2002年5月，作为工程负责人，完 成了深圳华为公司的委托工程 “WCDMA/HSDPA系统仿真分析〞
科研方向主要科研方向?无线通信中的各种信号处理问题?无线通信系统中的无线资源管理问题具体涉及的研究领越?dscdma通信系统中的多用户检测?智能天线技术?mimo系统中的空时编码技术?hsdpa技术?无线网络规划完成的科研项目1997年1月到12月作为项目负责人完成了国家863高技术发展项目多址干扰抑制技术1998年4月到2001年3月作为项目技术负责人完成了本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目移动通信中的新方法2001年7月到2002年5月作为项目负责人完成了深圳华为公司的委托项目wcdmahsdpa系统仿真分析2001年4月至今作为项目技术负责人负责本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目3g以后系统的基带算法研究2003年1月至今作为项目负责人正在进行深圳华为公司委托的开发项目hsdparrm调度算法建模和网络规划的建模2003年2月至今作为项目负责人正在进行和中国移动集团总公司的委托研究项目ngsobsss卫星系统和地面wcdma系统的干扰分析2002年9月至今作为项目副组长负责国家863高技术发展项目新型天线和分集技术研究的基带研究部分在研的科研项目主要教学成果编写出版了教材通信与信息工程中的随机过程开设的随机过程课程2002年12月被评为江苏省优秀研究生课程至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位目前正在指导13名硕士研究生协助指导5名博士研究生获得博士学位指导本科毕业设计20名教学理念教者方面?认真尽职?教的过程也是学的过程学者方面?贤良喜悦勤奋可使学习者臻于完善的境地共同方面?互换角度互相尊重?互相配合互相理解互相学习一张去年的照片内容提要教者简介所教内容简介教学方式约定考核方式劝勉勤奋学习随机过程的内容随机对象
《随机过程》课件 (2)
随机过程在实际应用中的重要 性
随机过程在许多领域中起到重要的作用，例如金融学、通信工程、物理学、 天气预报等。通过建立和分析随机过程模型，我们可以更好地理解和预测复 杂系统中的随机变化。
2 连续时间
随机过程在连续的时间范围内进行观测和分析。这包括连续的时间流逝和可能具有连续 状态值的过程。
随机过程的性质和特征
随机性
随机过程的结果是不确定的，无法预测每个时间点的具体数值。
时序关联
随机过程的值在时间上相互关联，前一时刻的值对后一时刻的值具有一定的影响。
统计稳定
随机过程具有一定的平稳性质，即其统计性质在时间上保持不变。
《随机过程》PPT课件 (2)用随机过程的例子解释概率论基本概念。随机过程的定义
随机过程是指一种随着时间的推移而产生变化的数学模型。它可以描述在不 同时间发生的随机事件，并提供了一种分析和预测的方法。
随机过程的分类
1 离散时间
随机过程在离散时间点上进行观测和分析。这包括离散的时间步长和离散的状态值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(t)]W () mW ()]d
t t0
e(t
)
W
2
t
(t)d2来自W2t
VX (t) 2E [ X (t) mX (t)]2 2E [ X (t) mX (t)]W (t) mW (t)]
2VX
(t
)
2
2 W
(t
)
初始条件VX(0)已知即可确定VX(t)。
7.4 独立增量过程的基本概念
是否和马尔可夫序列一样也 为零？
❖X(t)的方差函数：
对所有t>t0所,X(t0)与W(t)不 相关，故该项为零
E[ X (t) mX (t)]W (t) mW (t)]
e(tt0 ) E[ X (t0 ) mX (t0 )]W (t) mW (t)]
t e(t) E
t0
[ X (t) mX
X (t) X (t) W (t) mX (t) mX (t) mW (t) 上式为简单的常系数一阶微分方程，只要初始条件mX(0)已知， 就可以确定mX(t)。
❖X(t)的方差函数：
VX (t) 2X (t) K X (t,t) E[ X (t) mX (t)]2
对该式两边微分可得：
tn
etn X (tn ) etn1 X (tn1) eW ()d
tn 1
tn
X (tn ) etn tn1) X (tn1 ) etn )W ()d
tn 1
X(tn)的概率密度只与tn-1 时刻的值有关，而与tn-1 以前的值无关，因此X(tn)
为马尔可夫过程。
❖X(t)的均值函数：
❖如何求高斯-马尔可夫序列X(n+1)的自协方差KX (n, s)？
KX (n, s) E{[ X (n) mX (n)][ X (s) mX (s)]}
E
Ans
X
(s)
ns i1
Ai1W
(n
i)
Ans mX
(s)
ns i1
Ai1mW
(n
i)
X (s) mX (s)
E
Ans
X (s) mX (s)
ns i1
Ai1W
(n
i)
ns i1
Ai1mW
(n
i)
X (s) mX
(s)
E Ans X (s) mX (s) X (s) mX (s)
Ans2X (s)
马尔可夫序列的一般形式：
X (n 1) A(n) X (n) B(n)W (n)
① 高斯-马尔可夫序列X(n+1)的条件均值：
E[ X (n 1)X (n)] E( AX (n)) E[W (n)] AmX (n) mW (n)
② 高斯-马尔可夫序列X(n+1)的条件方差：
X (n 1) n
E({X (n 1) E[ X (n 1) xn]}2 ) E{[W (n) mW (n)]2} W (n)
独立 增量 过程
泊松过程 维纳过程
7.5 泊松过程 7.5.1 计数过程
[定义7.19] 在(0,t)内出现事件A的总数所组成的过程 N t , t 0
称为计数过程。
[定义7.20] 在计数过程中，如果在不相交叠的时间间隔内出现事 件A的次数是相互统计独立的，则该计数过程为独立增量过程。
W (n)
X (n 1) AX (n) W (n)
高 斯
高斯-马尔可夫序列
X (n 1)
A X (n) 延迟
高斯
A为常数 W(n)为均值为 mW (n) ,方差为 2W (n)的白噪声
❖如何求高斯特性的状态转移概率密度 f (xn1;tn1 xn ;tn ) ？
为了确定高斯概率密度，只需要知道给定X(n)的X(n+1) 的条件均值和条件方差就够了。
A(n), B(n)为确知的随时间变化的矩阵
W (n)
X (n 1)
A X (n) 延迟
7.3.2 连续的马尔可夫过程
[定义7.15] 状态和时间都是连续的马尔可夫过程称为连续的马尔可夫过程。
X (t) X (t) W (t) X (t) tX (t) (t)W (t)
Ito过程
股票预期收 益率
VX (t) 2E [ X (t) mX (t)][ X (t) mX (t)]
2E [ X (t) mX (t)][X (t) W (t) mX (t) mW (t)]
2E [ X (t) mX (t)] X (t) mX (t)] W (t) mW (t)]
2E [ X (t) mX (t)]2 2E [ X (t) mX (t)]W (t) mW (t)]
有
E X t2 X t1 X t4 X t3 0
则称这类随机过程X(t)为正交增量过程。
[定理7.13] 对于独立增量过程 X t ,t T ，如果它还满足
E
X
t
0,
E
X
t
2
，则该过程也是正交增量过程。
[定义7.18] 如果独立增量过程的增量X(tk)-X(tk-1)的分布仅与时 间差(tk-tk-1)有关，而与tk,tk-1本身无关，则称它为齐次的独立增 量过程。
第七章 马尔可夫过程
7.1 马尔可夫过程的一般概念 7.2 马尔可夫链 7.3 状态连续马尔可夫过程特性 7.4 独立增量过程的基本概念 7.5 泊松过程 7.6 维纳过程
1
7.3状态连续马尔可夫过程特性
7.3.1 马尔可夫序列
[定义7.14]状态连续，时间离散的马尔可夫过程称为马尔可夫序列。
在实际中，一般的马尔可夫序列 是对连续的马尔可夫过程进行抽 样得到的，例如，在对运动目标 （导弹，飞机）的轨迹测量中， 信号的模型常采用以下的一阶差 分方程，即：
[定义7.16] 如果在参数集T上任意选取t1<t2<t3<…<tn的n个时间 点，随机过程X(t)的增量X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2), …, X(tn)-X(tn-1) 是相互统计独立的随机变量，则称这类随机过程X(t)为独立增 量过程。独立增量过程是一种特殊的马尔可夫过程。
[定义7.17] 设随机过程X(t)的二阶矩存在，当 t1 t2 t3 t4时，T
股票 价格
股票价格波 动率
❖为什么说X(t)是一个马尔可夫过程？
dX (t) X (t) X (t) W (t) dt d [et X (t)] etW (t) dt
取任意两个时刻tn和tn-1,对上式两边进行tn-1到tn的积分，则
tn
[e
t
X
(t
)]tn tn1
etW ()d
tn 1