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2020届高考模拟黄金卷（全国卷）（一）（理）1、已知集合{}{2*|40,21,A x x x B y y x x =-<==-∈N ，则如图所示的Venn 图中，阴影部分表示的集合中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.42、复数12i z =+，若复数12z ,z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A ．5 B ．-5 C ．34i -+ D ．34i -3、已知函数()21,01log ,0x f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=( ) A. 2- B. 1- C. 12-D. 13-4、某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A ．该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半B ．该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当C ．该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍D ．该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍5、曲线22220x y x y +--=所围成的区域任掷一点,则该点恰好落在区域221x y +≤内大概率为()A.π2π+4B.ππ8+ C.π2π8+ D.π4π8+ 6、已知函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+><<的图像关于直线π6x =对称，若存在12,R x x ∈使12()()()f x f x f x ≤≤恒成立,且12x x -最小值为π2,则ϕ=( ) A.π12B.π6C.π4D.π37、由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有（ ）个. A ．14B ．16C ．18D ．208、如图是求2222222++++++的程序框图，则图中和中应分别填入( )A.6k T ≤=?;B.7k T ≤=?;C.6k T ≤=?;D.6k T ≥=?;9、在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 棱1BB 的中点，N 棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 成角的正切值为( )A B ．1C D10、已知函数()()xf x ax e a =-∈R 有两个零点，分别为12,x x ，且123x x <，则a 的取值范围为( )A.⎛-∞ ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎫+∞⎪⎪⎝⎭D.⎫+∞⎪⎪⎝⎭11、若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线经过点()1,2-，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.212、在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c若sin sin B C A =,ABC △的面积为,a b +=则c =( )313、已知单位向量12,e e 的夹角为60,向量1232a e e =-,向量12b e e λ=+,若a b ⊥,则实数λ=___________.14、若x y ,满足约束条件210501x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2244z x x y =-++的取值范围是 .15、已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点F 倾斜角为60︒的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A 、B 两点,则AF BF的值等于__________.16、函数21()2cos(610)22x xf x x -π⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的所有零点之和为_________. 17、在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .18、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD Q ，为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD(1)求证:平面MQB ⊥平面PAD .(2)若BM PC ⊥，求直线AP 与BM 所成角的余弦值. (3)若二面角M BQ C --大小为60°，求QM 的长.19、如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的鞘园2222:1x a C y b +=经过点2c b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，且28a =经过点()10T ,作斜率为()0k k >的直线l 交椭圆C 与A 、B 两点(A 在x 轴下方).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆于点M 、N ，求2AT BT MN⋅的值；（3）记直线l 与y 轴的交点为P ，若25AP TB =，求直线l 的斜率k 的值.20、已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点()()e,e f 处的切线方程为4e y x =-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)设t 为正整数，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式()()11f x t x >-+恒成立，求正整数t 的最大值.21、某单位准备购买三台设备，型号分别为,,A B C 已知这三台设备均使用同一种易耗品,提供设备的商家规定:可以在购买设备的同时购买该易耗品,每件易耗品的价格为100元,也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品,每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应同时购买的易耗品的件数.该单仿调查了这三种型号的设备各60台，调查每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立. (1)求该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是 21件易耗品？22、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（为参数），在以o为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若点p 为1C 上任意一点，求点p 到2C 的距离的取值范围.23、已知函数()f x x =(1)若不等式()24f ax +≤的解集为31-［,］，求实数a 的值.(2)若02m ∈［,］，求证:((2f x f x -≤.参考答案1答案及解析： 答案：B解析：由240x x -<,得04x <<,所以{}04A x x =<<.由*21,y x x =-∈N ，得集合{}1,3,5,B =.根据题图可知阴影部分表示的集合为A B ,且{}1,3A B =，所以阴影部分表示的集合中共有2个元素，故选B.2答案及解析： 答案：B解析：由题意可知，22i z =-+，所以()()122+i -2+i 415z z ==--=-. 3答案及解析： 答案：C解析：由题意可知()211111log 1,1222112f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-==- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 4答案及解析： 答案：C解析：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t ，则2018年全年的收入为2t ， 对于选项A ，该企业2018年设备支出金额为02204t t ⨯.＝.，2017年设备支出金额为0404t t ⨯.＝.，故A 错误，对于选项B ，该企业2018年支付工资金额为02204t t ⨯.＝.，2017年支付工资金额为0202t t ⨯.＝.，故B 错误，对于选项C ，该企业2018年用于研发的费用是025205t t ⨯.＝.，2017年用于研发的费用是0101t t ⨯.＝.，故C 正确，对于选项D ，该企业2018年原材料的费用是03206t t ⨯.＝.，2017年原材料的费用是015015t t ⨯.＝.，故D 错误，故选：C ．5答案及解析： 答案：D解析：曲线22220x y x y +--=可化为22(1)(1)2x y -+-=,作出如图所示,该图形可看成由一个边长为,其所围成的区域面积是214π84π2⨯⨯⨯=+,又221x y +≤所表示的平面区域的面积为π,所以该点恰好落在区域221x y +≤内的概率为π84π+,故选D 6答案及解析： 答案：B解析：由12()()()f x f x f x ≤≤恒成立,12min π2x x -=,可得函数()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2,则()f x 的最小正周期2ππ,2T ωω===,又该函数关于直线π6x =对称,所以ππ()2sin()263f ϕ=+=±,则ππππ,,π+,326k k Z k k Z ϕϕ+=+∈=∈,又π(0,)2ϕ∈,所以π6ϕ= 7答案及解析： 答案：D解析：根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类： ①.由0，1，2三个数组成三位数，共有12224C A ⋅=个没有重复的三位数； ②.由0，2，4三个数组成三位数，共有12224C A ⋅=个没有重复的三位数； ③.由1，2，3三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数；④.由2，3，4三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数，所以由0,1,2,3,4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有4+4+6+6=20个数. 8答案及解析： 答案：C解析：根据题意，运行该程序，则T ，1k =；T =，2k =；T3k =；T =4k =；T =，5k =；T =，6k =；T =7k =，结束循环结合选项可知，C 选项满足题意.故选C. 9答案及解析： 答案：C解析：各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，棱长为2， 以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()))()10,0,2,,,0,1,0A MBN ，()()13,1,1,3,0,0A M BN =-=-，设异面直线1A M 与BN 所成角为，则11cos 5A M BNA M BNθ⋅===⋅ ，∴tan θ．∴异面直线1A M 与BN C. 10答案及解析： 答案：D解析：令()0f x =，即0x ax e -=. 当0a =时，0x e =无解，所以0a ≠.所以有1xxa e =. 令()()x x x g x f x ax e e =⋅=-有两个零点，等价于1y a =的图像与()xx g x e =的图像有两个不同的交点. ()1x xg x e-'=，当)1(x ∈-∞,时，()0g x '>；当1()x ∈+∞,时，()0g x '<. 所以()g x 在()1-∞,上单调递增，在(1)+∞,上单调递减. 因此，如图，1201x x <<<.令213x x =，有111133x xx x e e =，得1ln32x =，则()ln 213ln32x g e ==. 所以10a <，即a a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭.故选D. θ11答案及解析： 答案：C解析：∵双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>∴该双曲线的渐近线方程为by x a=±，又∵一条渐近线经过点()1,2,∴21ba=⨯，得2b a =，由此可得c ==,双曲线的离心率e ca==12答案及解析： 答案：D解析：因为sin sin ,sin 0B C A B ≠,所以sin C ==又ABC △,所以21sin 2ab C ==得a又a b +=所以b C ==,所以1cos 2C =±,所以根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-得c =3c =,故选D13答案及解析： 答案：14解析：因为a b ⊥,所以a b ⋅,所以1212(32)()0e e e e λ-⋅+=,即2211223(32)20e e e e λλ+-⋅-=,即13(32)202λλ+-⨯-=,即14λ=14答案及解析： 答案：[]1,9解析：画出不等式组 210501x y x y y --≥⎧⎪+-=⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图中阴影部分.由21050x y x y --=⎧⎨+-≤⎩，得3(2)A ,.由2101x y y --=⎧⎨=⎩，得1(1)B ,.由501x y y +-=⎧⎨=⎩，得1(4)C ,. 将2244z x x y =-++化成()222z x y =-+.设点0(2)D ,，过点D 作DE BC ⊥于点E ，则当以点0(2)D ,为圆心的圆 经过点A 时，z 取得最大值，()22min 2239z =-+=，经过点1(2)E ,时，z 取得最小值，()22min 2211z =-+=.所以z 的取值范围为19［,］15答案及解析： 答案：3解析：设1122(,),(,)A x y B x y ,易知12x x > 由直线l 的倾斜角为60°,且过点,02P F ⎛⎫ ⎪⎝⎭得直线l的方程为02p y x ⎫-=-⎪⎭即y p -,联立22y p y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理,得22122030x px p -+= 则1231,26x p x p == 则31||22311||62p pAF BF p p+==+ 16答案及解析：答案：16解析：如图构造函数21(),()2cos22x x g x h x -π⎛⎫==- ⎪⎝⎭, ∵610x -≤≤时,函数(),()g x h x 的图象都关于直线2x =对称, ∴函数21()2cos(610)22x xf x x -π⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称. ∵610x -≤≤时,函数(),()g x h x 的图象的交点共有8个, ∴函数()f x 的所有零点之和等于4416⨯=.17答案及解析：答案：(1)等差数列{}n a 的公差设为d ，36a =，且前7项和756T =. 可得1126,72156a d a d +=+=，解得12,2,a d ==则2n a n = (2) 323n n n n b a n =⋅=⋅前n 项和()3321323333nn S n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()341321323333n n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅相减可得()()231131322333332313n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪-=+++⋅⋅⋅+-⋅=⋅-⋅ ⎪-⎝⎭化简可得1213322n n n S +-=⋅+ 解析：18答案及解析：答案：(1)因为//AD BC ，12BC AD Q =，为AD 中点，所以//QD BC ， 所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以//CD BQ . 又因为CD AD ⊥，所以BQ AD ⊥.又因为PQ AD ⊥且平面PAD ⊥底面ABCD ，所以PQ ⊥底面ABCD ，所以PQ BQ ⊥，所以BQ ⊥平面ADP . 又因为BQ ⊂平面MQB ，所以平面MQB ⊥平面PAD .(2)以Q 为原点，QAQB QP ，，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立坐标系设(PM PC λλ=⋅=-，01λ≤≤，所以()M λ-.因为BM PC ⊥，所以760BM PC λ⋅=-=，所以67λ=，所以6,7BM ⎛- =⎝⎭. 设AP 与BM 所成角为θ，所以cos 84AP BM AP BMθ⋅==⋅. (3)平面BQC 的法向量01(0)=,,n . 设()1QM QP QC λλ=+-，且01λ≤≤， 则平面MBQ 的法向量为10λλ-⎫=⎪⎭,m 因为二面角M BQ C --为60°，所以12⋅=⋅nm n m ，解得12λ=，所以QM . 解析： 19答案及解析： 答案：（1）因为椭圆222:18x y C b +=经过点2,c b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以222182b c b +=． 又∵222a b c =+，2228182b b b -+=，解得24b ＝或28b ＝（舍去）．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （2）设()()1122A x yB x y ,,,．因为()1,0T ，则直线l 的方程为1y k x ＝（﹣）． 联立直线l 与椭圆方程()221184y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222214280k x k x k ++（）﹣﹣＝，所以21221222428,2121x x x k k k x k -==+++．因为//MN l ，所以直线MN 方程为y kx ＝， 联立直线MN 与椭圆方程22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得22218k x +（）＝， 解得22821x k =+因为//MN l ，所以()()()122211M N x x AT BT MN x x -⋅-⋅=-因为12122127[111]21x x x x x k x +=+⋅+（﹣）（﹣）=--（）．22232421M N x x x k =+（﹣）＝． 所以()()()122211732M N x x AT BT MN x x -⋅-⋅==-．（3）在1y k x ＝（﹣）中，令0x ＝，则y k ＝﹣，所以0P k （,-）， 从而 ()()1122,,1,AP x k y TB x y =---=-，∵()1222,155AP TB x x =-=-，即122255x x +=① 由（2）知212221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩②由①②得()()22122242162,321321k k x x k k -+-==++代入421222282183340x x k k k k -=⇒+﹣﹣＝，解得22k ＝或21750k =-（舍）．又因为0k ＞，所以k = 20答案及解析：答案：(1) ()f x 的定义域为()0,+∞，'()ln f x n x m n =++， ∴'(e)24(e)e e 4e e f m n f m n =+=⎧⎨=+=-⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，∴函数()f x 的解析式为()2ln f x x x x =+. (2)()()11f x t x >-+可化为()2ln 11x x x t x +>-+ ∵()1,x ∈+∞，∴2ln 11x x x t x +-<-令()2ln 11x x x g x x +-=-()1x >，则由题意知对任意的()1,x ∈+∞，()min t g x <，而()()()22ln ',1,1x xg x x x --=∈+∞-，令()()2ln 1h x x x x =-->，则()1'10x h x x-=->，∴()h x 在()1,+∞上为增函数. 又()31ln 30h =-<，()42ln 40h =->∴存在唯一的()03,4x ∈使得()00h x =，即002ln x x -=当()01,x x ∈时，()0h x <，()'0g x <，∴()g x 在()01,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()'0g x >，∴()g x 在 ()0,x +∞上单调递增. ∴()()()00000000min 002212ln 1111x x x x x x g x g x x x x +--+-====+--,∴01t x <+,又()03,4x ∈，∴()014,5x +∈， ∵t 为正整数，∴t 的最大值为4. 21答案及解析：答案：(1)由题中的表格可知A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为301602= B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率均为301301101,,602602606=== C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率均为453151,604604==设该单位一个月中,,A B C 三台设备使用易耗品的件数分别为,,x y z ,则 1(6)(7)2P x P x ====,11(6),(7)32P x P x ====,131(8),(7),(8)644P y P z P z ====== 设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X 则(21)(22)(23)P X P X P X >==+=而(22)(6,8,8)(7,7,8)(7,8,7)P X P x y z P x y z P x y z =====+===+=== 111111113726422426448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 1111(23)(7,8,8)26448P X P x y z ======⨯⨯=故711(21)48486P X >=+= 即该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为16(2)以题意知,X 所有可能的取值为19,20,21,22,23 1131(19)(6,6,7)2348P X P x y z ======⨯⨯=(20)(6,6,8)(6,7,7)(7,6,7)P X P x y z x y z P x y z =====+===+===1111131131723422423448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= (21)(6,7,8)(6,8,7)(7,6,8)(7,7,7)P X P x y z x y z P x y z P x y z =====+===+===+===1111131111131722426423422448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=由1知,71(22),(23)4848P X P X ====若该单位在肋买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为1Y 元,则1Y 的所有可能取值为2000,2200,2400,2600 111723(2000)(19)(20)84848P Y P X P X ===+==+=117(2200)(21)48P Y P X ==== 17(2400)(22)48P Y P X ==== 11(2600)(23)48P Y P X ==== 12317712000220024002600214248484848EY =⨯+⨯+⨯+⨯≈若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为2Y 元,则2Y 的所有可能取值为2100,2300,25002117175(2100)(19)(20)(21)848486P Y P X P X P X ===+=+==++=27(2300)(22)48P Y P X ==== 21(2500)(23)48P Y P X ====2571210023002500213864848EY =⨯+⨯+⨯≈21EY EY <,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品.22答案及解析：答案：（1）由2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩消去参数，得()2224x y ++=则曲线1C 的普通方程为()2224x y ++=.由cos 4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos sin θθ=，即2x y -=则曲线2C 的直角坐标方程为20x y --=；（2）曲线1C 上的任意一点()2cos ,2sin 2ρϕϕ-到曲线2C 的距离为2cos 4d πϕ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ 故点p 到曲线2C 的距离的取值范围为[]0,2. 23答案及解析：答案：(1)()24f ax +≤即24ax +≤，所以424ax -≤+≤，即62ax -≤≤，显然0a ≠. 当0a >时，62x a a -≤≤，则6321a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =；当0a <时，26x a a ≤≤-，则2361a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解.综上可知，2a =.(2)((f x f x -x x =((x x ≤-=[]02m ∈,，()2m m ∴+-≥()222m m ∴+-≥⎡⎤⎣⎦，当且仅当2m m =-时等号成立，24∴≤，2≤，((2f x f x ∴-≤.。
2020届高考文科数学模拟黄金卷（全国卷）（五）1、已知集合{|11},{|20}P x x Q x x =-<<=-<≤,则R P Q ⋂=ð( ) A.(2,1)-B.(1,0]-C.(0,1)D.(2,1)--2、复平面内表示复数()2z i i =-+的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、若π43tan 23α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A.3-B.3-C.3 D.3 4、若()2xf x x =⋅，()3log 5a f =，31log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()ln 3c f =则a b c ,,的大小关系为( )A.c b a >>B.b c a >>C.a b c >>D.c a b >>5、函数3ln ()2e xx f x =的大致图象是( )A. B.C. D.6、四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π37、已知向量(1,),(3,2)a mb ==-r r,且()a b b +⊥r r r,则m =( )A.-8B.-6C.6D.88、我国高铁近几年发展迅速,根据《中长期铁路网规划(2008年调整)》,为满足快速增长的旅客运箱需求,建立省会城市及大中城市间的快速客运通道,我国将规划“四纵四横”铁路快速客运通道以及环渤海地区、长江三角洲地区、珠江三角洲地区三个城际快速客运系统.某高铁客运部门规定甲、乙两城市之间旅客托运行李的费用:不超过50 kg 按53元/kg,收费,超过50 kg 的部分按85 元/kg 收费.相应收费系统的流程图,如图所示,则①处应填( )A.0.85y x =B.500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯C.500.530.85y x =⨯+D.0.53y x =9、已知直线()200kx y k k -+=>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k =（ ）A ．13 B 2C ．23D 2210、设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若cos cos a a B b A =+,则ABC △的形状为( ) A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形11、已知直三棱柱111ABC A B C -的体积等于63,它的所有顶点都在球O 的表面上,且其三个侧面以及两个底面所在的平面截球O 所得圆的面积相等,则球O 的表面积为( ) A.5πB.10πC.20πD.100π12、已知()22,0,0x x x f x e x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若存在实数m 使得方程()0f x m -=恰有两个根12,x x ，则12x x +的取值范围是（ ） A.(],0-∞B.[)0,+∞C.(],2ln 2-∞D.[)2ln 2,+∞13、下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图,已知该校共有学生3 000人,由统计图可得该校共捐款__________元14、如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．15、已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>,则A = ______,b =______. 16、已知双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点分别为12F F ，，过点1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A B , (B 在第一象限)两点.若1F A AB =uuu r uu u r，1290F BF ∠=︒，点(),P x y 在双曲线的右支上，则2PB PF +的最小值为 .17、2018年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等8省市开始实行新高考制度，从2018年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求该班数学成绩在[)50,60的频率及全班人数；（2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；（3）若规定90分及其以上为优秀，现从该班分数在80分及其以上的试卷中任取2份分析学生得分情况，求在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率.18、已知数列{}n a的前项和为,239n n nS S a=-．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若()31lognn nb a=-，求数列{}n b的前n项和n T19、如图,直三棱柱ADF BCE-中,点M为CD的中点, 22AB AD==,且ABCD ABEF⊥平面平面,连接,,AM ED BD.(1)求证: AM DE⊥.(2)求点F到平面BDE的距离.20、设()321252f x x x x=--+（1）求函数()f x的单调递增，递减区间；（2）当[]1,2x∈-时，()f x m<恒成立，求实数的取值范围．21、已知圆221:4320C x y x++-=,圆222:40C x y x+-=,点A为俩圆的公共点,点P(异于点A)在过点A且垂直于x轴的直线l上,直线1PM与圆1C切与点1M(异于点A),直线2PM与圆2C切与点2M(异于点A),直线11C M交直线22C M与点M.(1) 交点M的轨迹Ω的方程(2)直线1MC与轨迹Ω的另一个交点N,在x轴上是否存在定点Q,使得11MQC NQC∠=∠?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.22、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为33x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩，(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin2cosρθθ=+(1)求l 的普通方程和C 的直角坐标方程.(2)已知P 是C 上的点，点()10M -,，求线段MP 的中点到l 的距离的最小值. 23、已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M.（1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b c c b a+++++≥答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：因为{|20}Q x x =-<≤,所以{|20}R Q x x x =≤->或ð,又{|11}P x x =-<< 所以{|01}R P Q x x ⋂=<<ð2答案及解析：答案：C解析：()22212z i i i i i =-+=-+=--，故复平面内表示复数()2z i i =-+ 的点(12)--,位于第三象限.3答案及解析： 答案：D解析：πtan 23α+⎛⎫ ⎪⎝⎭πtan 26α⎛⎫ ⎪⎝+⎭=2π2tan 6π1tan 6αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得πtan 6α⎛⎫ ⎪⎝=⎭+或πtan 6α⎛⎫⎪⎝=⎭+. π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，πππ,662α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πtan 6α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πtan 6α⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ππtan 63α⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππtan tan63ππ1tan tan63αα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭==故选D.4答案及解析： 答案：D解析：易知函数()f x 为奇函数且在)0,+∞［上单调递增，根据奇函数的性质可得()f x 在()-∞+∞,上单调递增.因为31log 0log 1ln32<<<，所以c a b >>.5答案及解析： 答案：A解析：由题意知,()f x 的定义域为{|0}x x ≠3ln ||3e ln ||()2e 2x xx x f x ---==,()(),()()f x f x f x f x ≠--≠-,所以函数()f x 既不是奇函数,也不是偶函数,排除B,D;又当1x <-时,()0f x >,所以排除选项C,故选A.6答案及解析： 答案：C解析：画出图像如图所示，将AP 平移到BE 的位置，连接DE ，则角DBE 即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE 为等边三角形，故两条异面直线所成的角为π3.故选C.7答案及解析： 答案：D解析：∵向量(1,),(3,2)a m b ==-rr, ∴(4,2)a b m +=-rr.又∵()a b b +⊥r r r.∴122(2)0m --=, 解得8m =.8答案及解析： 答案：B解析：由题意,行李托运费y (元)关于行李重量(kg)x 的函数解析式为0.53,500.5350(50)0.85,50x x y x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩由框图可知50x >时,执行①,故选B.9答案及解析： 答案：D解析：由题意，联立()282y xy k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()22224840k x k x k +-+=设()()11221212,,,,0,0,0,0Ax y B x y x x y y >>>>∴124x x = ○1 由抛物线的定义，122,2FA x FB x =+=+∵2FA FB =∴1222x x =+ ○2 由○1○2解得21x =∴(1,B ，代入()2y k x =+，得k =10答案及解析： 答案：D解析：∵cos cos a a B b A =+,由余弦定理得22222222a c b b c a a a b ac bc+-+-=⨯+⨯, 整理得222ac c =, ∴a c =,即ABC △为等腰三角形.11答案及解析： 答案：C解析：因为该三棱柱的三个侧面以及两个底面所在的平面截球O 所得圆的面积相等,所以该三棱柱的底面是等边三角形,设其底面边长为a,高为h,球O 的半径为R,则有222()()22a h +=,2h =所以2a h ==,又222()2h R +=所以R =故球O的表面积224π4π20πS R ===,故选C12答案及解析： 答案：C解析：不妨设120x x <<由()()12f x f x m ==，得222111x x e x e -⎛⎫ ⎪⎝=<⎭-.化简得()212ln 2x x =-+，所以()121122ln x x x x +=++-. 令()()122ln g x x x x e⎛⎫=++-<- ⎪⎝⎭，则()21g x x'=+， 当2()x ∈-∞-，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当12,x e⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减. 所以()g x 的最大值为()22ln 2g -=，所以12x x +的取值范围为,2n 2(l -∞］.故选C.13答案及解析： 答案：37770 解析：由扇形统计图可知,该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人,由条形统计图知,该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元,所以共捐款1596013990101?050? 37?770⨯+⨯+⨯= (元).14答案及解析： 答案：25解析：由题意知底面圆的直径AB =2， 故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n ∘， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π2π180n =， 解得n =90，所以展开图中∠PSC =90∘，根据勾股定理求得25PC = 所以小虫爬行的最短距离为515答案及解析： 2;1解析：22cos sin 21cos 2sin 22)14x x x x x π+=++=++,所以2;1A b ==.16答案及解析： 答案：2解析：由1F A AB =uuu r uu u r知A 是1BF 的中点，又O (O 为坐标原点)是12F F 的中点，所以OA 为12F F B △的中位线.因为1290F BF ∠=︒，所以1OA BF ⊥，1OB OF =，所以1FOA BOA ∠=∠. 根据双曲线的两条渐近线关于y 轴对称，可知12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒， 所以渐近线的倾斜角为60°或120°，即b所以双曲线C 的方程为2213y x -=，所以22OF c ==. 易知2BOF △为等边三角形，所以222BF OF ==.故当2,,B P F 三点共线时2PB PF +取得最小值，()22min2PB PF BF +==17答案及解析：答案：（1）频率为0.08，频数2，所以全班人数为2250.08=. （2）估计平均分为：550.08650.28750.4850.16950.0873.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （3）由已知得[)80,100的人数为：0.160.0825426+⨯=+=（）. 设分数在[)80,90的试卷为,,,A B C D 分数在[]90,100的试卷为,a b . 则从6份卷中任取2份，共有15个基本事件，分别是,,,,,,,,,,,,,,AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab ,其中至少有一份优秀的事件共有9个，分别是,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab ∴在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率为93155P ==. 解析：18答案及解析：答案：（1）当1n =时，11239S a =-. 因为11S a =，所以11239aa =-，所以19a =.因为239n n S a =-，所以11239n n S a ++=-. 两式相减，得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a += 又因为19a =，所以0n a >.所以数列{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列.所以11933n n na -+=⨯=.（2）由（1）可知()()()31log 11nnn n b a n =-=-+故当为偶数时，()()()2345 (12)n n T n n =-++-+++-++=⎡⎤⎣⎦ 当为奇数时，()()()()()132345 (11122)n n n T n n n n -+=-++-+++--+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦ 所以,23,2n nn T n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数解析：19答案及解析：答案：(1)记AM 与BD 的交点为O . 由题意，知BE AB ⊥.∵ABCD ABEF ⊥平面平面，且ABCD ABEF AB =I 平面平面， ∴BE ABCD ⊥平面.∵AM ABCD ⊂平面，∴BE AM ⊥.又M 为CD 的中点，222AB CD AD BC ==， ∴1,2DM AD BC ===， ∴22tan tan 2DM BC DAM BDC DA CD ∠==∠== ∴DAM BDC ∠=∠.∵90DAM AMD ∠+∠=︒,∴90BDC AMD ∠+∠=︒， ∴90AOD ∠=︒，∴AM BD ⊥. 又BD BE B =I ，∴AM BDE ⊥平面，∴AM DE ⊥. (2)设点F 到平面DBE 的距离为d.∵//,,AF BE BE BDE AF BDE ⊂⊄平面平面， ∴//AF BDE 平面.∴点F 到平面BDE 的距离等于点A 到平面BDE 的距离. 由上题知()2222,213AO BDE AM AD DM ⊥=+=+=平面，∴26cos 3ADDAM AM∠===， ∴623cos 2d AO AD DAM ==⋅∠=⨯=， ∴点F 到平面BDE 的距离为23. 解析：20答案及解析： 答案：（1）()232f x x x '=--，令()0f x '=，解得1x =或23-， 令()0f x '>，解得2,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞，令()0f x '<，解得2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x 的单调递增为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞，递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭（2））∵()()()1222115,5,13,2723272f f f f ⎛⎫-=-=== ⎪⎝⎭；即()max7fx =，要使[]1,2x ∈-时，()f x m <恒成立，即()max f x m <，∴7m >，故实数m 的取值范围为()7,+∞ 解析：21答案及解析：答案：(1)已知圆221:(2)36C x y ++=,圆222:(2)4C x y -+=,两圆的圆心距为俩圆半径之差的绝对值,故两圆相切,切点为(4,0)A ,直线l 为两圆的公切线,12PA PM PM == 如图,连接PM ,在1PMM △和2PMM △,1290PM M PM M ∠=∠=o ,12,PM PM PM PM == 所以12R R t M PM t M PM ≅△△,所以12MM MM =所以12121112226284MC MC MC MM MC MM C C +=++=++=+=>=根据椭圆的定义知,点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆(不含x 轴的交点),且28,24a c == 所以4,2a c ==,所以212b =故点M 的轨迹Ω的方程为221(0)1612x y y +=≠(2)当直线1MC 的斜率不存在时,易知,M N 两点关于x 轴对称,所以当点Q 为x 轴上的任意点时,均为11MQC NQC ∠=∠当直线1MC 的斜率存在时,由(1)知,直线1MC 的斜率不为零.设直线1MC 的方程为2(0)x ty t =-≠,代入轨迹Ω的方程,得22(34)12360t y ty +--=设1122(,),(,)M x y N x y ,则1212221236,3434t y y y y t t +==-++ 设(,0)Q m ,若11MQC NQC ∠=∠,则0MQNQ K k +=,即12120y y x m x m+=--,即1221()()0y x m y x m -+-=,即1221(2)(2)0y ty m y ty m --+--=,即12122(2)()0ty y m y y -++=即227212(2)03434t tm t t --+⋅=++,得8m =-, 综上可得,在x 轴上存在定点(8,0)Q -,使得11MQC NQC ∠=∠ 解析：22答案及解析：答案：(1)消去参数t ，得直线l的普通方程为230y --=.由222cos sin x y x yρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，得曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=. (2)设()1,1P ϕϕ，则线段MP的中点坐标为⎝⎭. 由点到直线的距离公式得，线段MP 的中点到l 的距离dπ13ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以线段MP 的中点到l的距离的最小值为1解析：23答案及解析：答案：（1）()146,21562,24564,4x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 由于函数146,2x y x -<-=,是减函数，1562,24x y x --≤<=,是减函数，564,4x y x -≥=，是增函数，故当54x =时，()f x 取得最小值72M =.（2）222222222a b a c b c ab ac bccb ac b a +++++≥++b c a c a b a b c c b c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()27a b c ≥++=.解析：。
2020届高考模拟黄金卷（全国卷）（一）（文）1、已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则MN =（ ）A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x << 2、已知,R x y ∈，i 为虚数单位，且()2i -15i x y +=+，则()1i x y+-=( )A.2- B. 2i -C.2D. 2i3、已知,A B 是过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足2AF FB =,||OAB S AB ∆=,则抛物线的标准方程为（ ）A ．24y x =B ．214y x =C ．28y x =D ．218y x =4、设向量(,4)a x =-,(1,)b x =-,若向量a 与b 同向,则x =( ) A.2B.-2C.2±D. 05、已知函数()()22log ,2f x x g x x ==-+，则函数()()y f x g x =⋅的图像只可能是( )6、若,x y 满足约束条件23001x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩,则3z x y =+的最大值为( )A.-6,B.-2C.2D.47、执行如图的程序框图,若9p =,则输出的S= （ ）A ．910 B ．718C ．89D ．258、如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2.在圆O 内，将线段MN 绕点N 按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将新线段MN 绕新点M 按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动…点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A.4π63-B.331-C. 33π-D.339、函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示,给出下列四个结论:①3π4ϕ=②1()2f = ③当5[1,]2x ∈时,()f x 的最小值为-1④()f x 在117[,]44--上单调递增其中所有正确结论的序号是( ) A.①②④B.②③C.①②D. ①②③④10、若关于x 的方程0x e ax a +-=没有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,0e -⎤⎦B ．)20,e ⎡⎣C ．(],0e -D ．[)0,e 11、在ABC ∆中，若sin 2sin 60A C B b ︒＝,＝,＝ABC ∆的面积为（）A.8B.2C.D.412、已知双曲线221(0)y x m m-=>的焦点为12,F F ,渐近线为12,l l ,过点2F 且与1l 平行的直线交2l 于M ,若120F M F M ⋅=,则m 的值为( )A.1 C.2 D.313、某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[]481,720的人数为________.14、已知函数1e ,1()(2)2,1x x f x f x x -⎧≤=⎨-+>⎩把函数()y f x =的图象与直线y x =交点的横坐标按从小到大的顺序排成一个数列{}n a 则数列{}n a 的前n 项和n S =________.15、已知直线3y x =+为曲线()xf x ae =的一条切线，则实数a 的值为 .16、在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为______________.17、已知各项都不相等的等差数列{}n a ,66a =,又124,,a a a 成等比数列. 1.求数列{}n a 的通项公式2.设22na nb n =+,求数列{}n b 的前n 项和为n S .18、如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD , ,PB PA PB PA ⊥=,90DAB ABC ∠=∠=︒ , //AD BC ， 8,6,10AB BC CD ===,M 是 PA 的中点．(1)求证：//BM 平面PCD ； (2)求三棱锥B CDM 的体积．19、为喜迎元旦,某电子产品店规定的买超过5 000元电子产品的顾客可以今与抽奖活动，中奖者可获得扫地机器人一台.现有甲品牌和乙品牌的扫地机器人作为奖品.从这两种品牌的扫地机器人中各随机抽取6台,检侧它们充满电后的工作时长(单位:分).相关数据如下表所示.(1)根据所提供的数据分别计算抽取的甲、乙两种品牌扫地机器人充润电后工作时长的平均数与方差.(2)从甲品牌被抽中的6台扫地机器人中随机抽出2台.求抽出的2台扫地机器人充满电后工作时长之和小于420分钟的概率(3)下表是一台乙品牌扫地机器人的使用次效与当次充满电后工作时长的相关欲据.求该扫地机器人工作时长y 与使用次数x 之间的回归直线方程，并估计该扫地机舒人使用第200次时间充满电后的工作时长附ˆyb x a ∧∧=+,121()()()nii i nii xx y y b xx ∧==--=-∑∑,a y b x ∧∧=-20、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为圆2220x y x +-=的圆心 (1)求椭圆的方程.(2)若M N ,为椭圆上的两个动点，直线OM ON ,的斜率分别为12k k ,，当1234k k =-时，MON△的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由21、设()e (1)x f x a x =-+.(1)若0,()0a f x >≥对一切R x ∈恒成立,求a 的最大值; (2)是否存在正整数a ,使得13...(21))n n n n n an +++-<对一切正整数n 都成立？若存在,求a 的最小值;若不存在,请说明理由.22、在直角坐标系xOy 中,以O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的参数方程为{x t y at== (t 为参数),曲线1C 的方程为(4sin )12ρρθ-=,定点()6,0A ,点P 是曲线1C 上的动点, Q 为AP 的中点.（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程;（2）直线l 与直线2C 交于,A B 两点,若AB ≥求实数a 的取值范围.23、设函数()133f x x x a a =-+-+，R x ∈． (1)当1a =时，求不等式()7f x >的解集. (2)对任意R m +∈，R x ∈恒有()49f x m m≥--，求实数a 的取值范围．——★ 参 考 答 案 ★——1『答案』及『解析』『答案』C 『解析』∵{}|42M x x =-<<，{}{}2|60|23N x x x x x =--<=-<<，∴{}|22M N x x =-<<2『答案』及『解析』『答案』B『解析』∵,R x y ∈,i 为虚数单位,且i--1i x y =+,∴11y x -=-⎧⎨=⎩，解得1,1x y ==. 则()()21i 1i 2i x y-=-=-.故选：B.3『答案』及『解析』『答案』A『解析』设1122(,),(,)A x y B x y , 2AF FB =，则122y y =-，又由抛物线焦点弦性质，212y y p =-，所以2222y p -=-，得21,2y p y ==，11322AF BF BF p +== ，得339,,424BF p AF p AB p ===。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国II 卷·理数(三)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合M ＝{x ∈N|x ≤6}，A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈A}，则M ðB ＝ (A){2，5，6} (B){2，3，6} (C){2，3，5，6} (D){0，2，3，5，6} (2)已知i 是虚数单位，z(2－i)＝5(1＋i)，则z ＝ (A)1＋3i (B)1－3i (C)－1＋3i (D)－1－3i(3)在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝4，D 为BC 上一点，且3BC BD =u u u r u u u r，AD ＝2，则BC 的长为 (A)42 (B)42 (C)4 (D)42 (4)在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”。
已知如图所示的多边形镶嵌的图形T ，在T 内随机取一点，则此点取自正方形的概率是(A)23 43743+ 743+ (D)12 (5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)2433π+ (B)21233π+ (C)4433π+ (D)41233π+ (6)已知O 为坐标原点，双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，BO BA ⋅u u u r u u u r<0，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是 (A)(1，233) (B)(233，＋∞) (C)(1，23) (D)(23，＋∞) (7)函数f(x)＝(x 2－2|x|)e |x|的图象大致为(8)如图给出的是计算1111124640384040-+-⋅⋅⋅+-的值的程序框图，其中判断框内应填入的是(A)i ≤4034? (B)i ≤4036? (C)i ≤4038? (D)i ≤4042?(9)已知大于1的实数x ，y 满足log x 2x ＝log y 3y ，则下列结论正确的是(A)221111x y <++ (B)ln(x 2＋1)<ln(y 2＋1) (C)tanx<tany >(10)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线l ：x －y －2＝0对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为 (A)(1，－1) (B)(2，0) (C)(12，－32) (D)(1，1) (11)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为边长为2的正方形，M ，N 分别是C 1B 1，CC 1的中点，CA CB ⋅u u u r u u u r＝0，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为(A)15 (B)25 (C)45(D)5(12)设函数f(x)＝asin ωx ＋bcos ωx(ω>0)在区间[6π，2π]上单调，且f(2π)＝f(23π)＝－f(6π)，当x ＝12π时，f(x)取到最大值4，若将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象，则函数y ＝g(x)(A)4 (B)5 (C)6 (D)7第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019-2020学年上学期高三期末考试备考精编金卷理科数学（B ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,3,4}A =，集合{,2}B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．42．23i1i -=+（ ） A ．15i 22- B ．15i 22-- C ．15i 22+ D ．15i 22-+ 3．已知(1,2)=a ，(,3)m m =+b ，(2,1)m =--c ，若∥a b ，则⋅=b c （ ） A ．7-B ．3-C ．3D ．74．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．22y x =±C ．5y x =±D ．22y x =±5．某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗队，平均分到甲、此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ）A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种6．若3π3sin()2α+=，则cos2α=（ ） A ．12-B ．13-C ．13D ．127．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．20178．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1639．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．210．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．20π3B ．15π2C ．6πD ．5π11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于M ，N ，若12||3||PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A．2B ．3C ．2 D．212．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB 的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,)+∞B ．(10,]eC ．[1,)e+∞D ．[,)e +∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，3a =，b =2B A =，则cos A = ．14．已知不等式组20202x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为______．15．已知11210110121011(12)x a a x a x a x a x +=+++++L ，则12101121011a a a a -+-+=L ．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,)A a ，(3,4)B a +，若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ，使得ABC △的面积为5，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=，424S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}nS 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，EF AC ∥，1EF =，60ABC ∠=︒，CE ⊥平面ABCD ，3CE =，2CD =，G 是DE 的中点．（1）求证：平面ACG ∥平面BEF ；（2）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值．19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”． （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表：并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流． （i ）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii ）从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，记这2人中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：20．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为22（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，试判断||||PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．21．（12分）已知函数()sin xf x ae x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）当1a =时，证明：对[0,)x ∀∈+∞，()1f x ≥；（2）若函数()f x 在π(0,)2上存在极值，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线:x tl y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求||AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标缩短为原来的2倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|2|f x x =-．（1）解不等式()(21)6f x f x ++≥；（2）对1(0,0)a b a b +=>>及x ∀∈R ，不等式41()()f x m f x a b---≤+恒成立，求实数m 的取值范围．2019-2020学年上学期高三期末考试备考精编金卷理科数学（B）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】A11．【答案】D12．【答案】D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】314．【答案】25π415．【答案】2216．【答案】55 (,)33三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）21n a n =+；（2）1311()2212n T n n =--++． 【解析】（1）设公差为d ，由已知有111210434242a a d a d ++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得13a =，2d =， 所以21n a n =+．（2）由于21n a n =+，所以22n S n n =+，则211111()222n S n n n n ==-++， 则111111111311(1)()23241122212n T n n n n n n =-+-+⋯+-+-=---++++． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）15． 【解析】（1）连接BD 交AC 于O ，易知O 是BD 的中点，故OG BE ∥，BE ⊂面BEF ，OG 在面BEF 外，所以OG ∥面BEF ； 又EF AC ∥，AC 在面BEF 外，AC ∥面BEF ，又AC 与OG 相交于点O ，面ACG 有两条相交直线与面BEF 平行，故面ACG ∥面BEF ．（2）连结OF ，∵//FE OC ，∴OF EC ∥， 又∵CE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点分别以OC 、OD 、OF 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，(0,3,0)B -，(0,3,0)D ，(0,0,3)F ，(1,3,0)AD =u u u r ，(1,3,0)AB =-u u u r ，(1,0,3)AF =u u u r，设面ABF 的法向量为(,,)a b c =m ，依题意有ABAF⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u r u u u r m m ，3030AB a b AF a c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r u u ur m m ，令3a =，1b =，1c =-，(3,1,1)=-m ， 3315,544o 1c s AD +<>==⨯+u u u rm ，直线AD 与面ABF 成的角的正弦值是15． 19．【答案】（1）能；（2）（i ）男生有6人，女生有4人；（ii ）4()5E X =，分布列见解析．【解析】（1）列出列联表，22200(60203090)200 6.061 5.024150509011033K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关． （2）（i ）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3:2， 用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．（ii ）从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，2人中女生的人数为X ， 则X 的可能值为0，1，2，则262101(0)3C P X C ===，11642108(1)15C C P X C ===，242102(2)15C P X C ===，可得X 的分布列为：可得数学期望1824()012315155E X =⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）22163x y +=；（2）为定值，||||2PM PN ⋅=． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为22知，b c =，2a b =， ∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b+=，易求得(2,0)A ，∴点2,2)在椭圆上，∴222212b b +=，解得2263a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=． （2）当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x =由（1）知，2,2)M ，(2,2)N -，2,2)OM =u u u u r ，2,2)ON =u u u r， 0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，∴OM ON ⊥，当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，11)(,M x y ，22)(,N x y 221k =+222(1)m k =+，联立直线和椭圆的方程得222()6x kx m ++=，∴222)(124260k x kmx m +++-=，得2221222122(4)4(1226)0421621)2(Δkm k m km x x k m x x k =-+->+=-⎧⎪⎪⎪+⎨-=+⎪⎪⎪⎩，∵11(),OM x y =u u u u r ，22(,)ON x y =u u u r，∴12121212()()OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r22222121222))264(1((1)1221m kmk x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++2222222222222(1(26)421)3663(22)662)21121(k m k m m k m k k k k k k +--++--+--====+++，∴OM ON ⊥，综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，都有OM ON ⊥， 在OMN Rt △中，由OMP △与NOP △相似得，2||||||2OP PM PN =⋅=． 21．【答案】证明见解析；（2）(0,1)．【解析】（1）当1a =时，()sin xf x e x =-，于是()cos xf x e x '=-． 又因为当(0,)x ∈+∞时，1xe >且cos 1x ≤；故当(0,)x ∈+∞时，cos 0xe x ->，即()0f x '>．所以函数()sin xf x e x =-为(0,)+∞上的增函数，于是()(0)1f x f ≥=． 因此对[0,)x ∀∈+∞，()1f x ≥．（2）由题意()f x 在π(0,)2上存在极值，则()cos xf x ae x '=-在π(0,)2上存在零点，①当(0,1)a ∈时，()cos xf x ae x '=-为π(0,)2上的增函数，注意到(0)10f a '=-<，π2(π)02f a e '=⋅>，所以，存在唯一实数0(0,)2πx ∈，使得0()0f x '=成立．于是，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为0(0,)x 上的减函数；当0()2π,x x ∈时，()0f x '>，()f x 为0(,)π2x 上的增函数，所以0(0,)2πx ∈为函数()f x 的极小值点；②当1a ≥时，()e cos cos 0x xf x a x e x '=-≥->在(0,)2πx ∈上成立，所以()f x 在π(0,)2上单调递增，所以()f x 在π(0,)2上没有极值；③当0a ≤时，()e cos 0xf x a x '=-<在(0,)2πx ∈上成立，所以()f x 在π(0,)2上单调递减，所以()f x 在π(0,)2上没有极值，综上所述，使()f x 在π(0,)2上存在极值的a 的取值范围是(0,1)．22．【答案】（1）||1AB =；（2）4【解析】（1）直线l的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得l 与1C 的交点为(1,0)A，1(,22B -， 则||1AB =．（2）曲线2C 的参数方程为1cos 22x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P 的坐标为1cos ,(in )22θθ， 从而点P 到直线l的距离是2224|2π()4d θθθ==-+，由此当πsin()14θ-=-时，d取得最小值，且最小值为423．【答案】（1）(,1][3,)-∞-+∞U ；（2）135m -≤≤．【解析】（1）1133,2()(21)|22233,||21|1,2x x f x f x x x x x x x ≤≤-⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=⎨>+⎪⎪⎪⎩， 当12x <时，由336x -≥，解得1x ≤-； 当122x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥，所以不等式()6f x ≥的解集为(,1][3,)-∞-+∞U ．（2）∵1(,0)a b a b +=>，∴414()()559b a a b a b a b ++=++≥+=， ∴对于x ∀∈R ，恒成立等价于：对x ∀∈R ，|2||2|9x m x -----≤， 即max |2||2|]9[x m x -----≤，∵|2||2||(2)(2)||4|x m x x m x m -----≤---+=--， ∴949m -≤+≤，∴135m -≤≤．。
江苏金陵中学2020届高考数学检测卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{－1，0，2，3}，集合A ＝{－1，2，3}，则∁U A ＝▲________．2．若复数z ＝(1＋3i)2，其中i 为虚数单位，则z 的模为▲________．3．执行如图所示的算法流程图，则输出的b 的值为▲________．4．如图，这是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图， 则平均成绩较小的那一位同学的平均成绩为▲________．5．将黑、白两个小球随机放入编号分别为1，2，3的三个盒子 中，则黑、白两个小球在同一个盒子里的概率为▲________．6．关于x 的不等式lg(2x －4)＜1的解集为▲________．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲________．8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f (2φ)的值为▲________．9．在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1d的值为▲________． (第4题) (第3题)10．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 满足→DC ＝2→BD ，则→AD ·→DC 的值为▲_____．11．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于▲________．12．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，则x ＋2xy 的最小值为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是▲________．14．已知函数f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝a x ．若对任意的x 1∈R ，存在x 2＞x 1，使得f (x 1)＝g (x 2)，且x 2－x 1的最小值为ln22，则实数a 的值为▲________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，且AF ⊥CD ． (1)求证：平面ADF ⊥平面ABCD ； (2)求证：CD ∥EF ．16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆交于点A ，B ．已知点A ，B 的横坐标分别为－31010，－210． (1)求cos(α－β)的值；(第15题)(2)求2α－β的值．17．(本小题满分14分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a －3x500)万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %．(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？18．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)的离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－12，求k 的值；(3)记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S ＝32，求M 的坐标．(第18题)19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1＝b n 2＋1a n ＋1．①求证：数列{2n －1b n }为等差数列，并求出{b n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得i ＝1n∑b i ＝4－n 成立?若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x －a (x ＋1)，其中e 自然对数的底数，a ∈R ． (1)讨论函数f (x )的单调性，并写出相应的单调区间；(2)已知a ＞0，b ∈R ，若f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值；(3)设g (x )＝(a ＋e )x ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．数学Ⅱ(附加题)21．本题包括A 、B 两小题，请在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (0，3)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x3y对应的变换作用下得到点Q (6，12)，求M －1．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若点P 在椭圆C 上，求点P 到直线l ：x ＋y －8＝0的距离d 的最大值．[必做题]第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录取．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C每个项目测试的概率都是12．(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率；(2)设甲、乙、丙三人中被录取的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，BC ＝2，BA＝1，AD＝3，PB＝3．(1)求二面角P－CD－A的平面角的余弦值；(2)若点E在棱P A上，且BE⊥平面P AD，求直线BE和平面PCD所成角的正弦值．(第23题)阶段性检测 数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．{0} 2．10 3．16 4．90 5．13 6．(2，7) 7．2 8．12 9．1 10．－4311．3π12．解析：因为x ＋y ＝1，所以x ＋2xy ＝x ＋2(x ＋y )xy ＝3x ＋2y xy ＝2x ＋3y ＝(2x ＋3y )(x ＋y )＝2y x ＋3xy＋5≥5＋26，当且仅当⎩⎨⎧2y x ＝3x y x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2y ＝3－6时取“＝”．13．解析：因为直线l ：kx －y ＋5k ＝0过定点P (－5，0)，且CM ⊥MP ，所以点M 在以CP 为直径的圆上．设点M (x ，y )，则x 2＋y 2＝25．联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25x 2＋y 2－10x ＝0，解得x ＝52．又因为点M 在圆C 内，所以点M 的横坐标的取值范围为(52，5]．14．解析：令f (x 1)＝g (x 2)＝t ，则e x 1＝a x 2＝t ，故x 1＝ln t ，x 2＝t2a2．令h (t )＝x 2－x 1＝t 2a 2－ln t ，则h’(t )＝2t a 2－1t ．令h’(t )＝0得t ＝22a ．当t ＞22a 时，h’(t )＞0，h (t )单调递增；当0＜t ＜22a 时，h’(t )＜0，h (t )单调递减．因此，[h (t )]min ＝h (22a )＝12－ln(22a )＝ln22，解得a ＝e ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(1)因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ． ··············· 2分又AF ⊥CD ，AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面ADF ，所以CD ⊥平面ADF ， ·············································· 5分 又CD ⊂平面ABCD ，所以平面ADF ⊥平面ABCD ． ···································· 7分 (2)因为四边形ABCD 为矩形，所以AB ∥CD ， ··············· 9分 又AB ⊂平面ABEF ，CD ⊄平面ABEF ，所以CD ∥平面ABEF ， ·········································· 11分 又CD ⊂平面DCEF ，平面DCEF ∩平面ABEF ＝EF ， ∴CD ∥EF ． ························································· 14分16．(1)因为点A ，B 的横坐标分别为－31010，－210，结合三角函数的定义得cos α＝－31010，cos β＝－210． ···· 2分因为α，β均为钝角，所以sin α＝1－cos 2α＝1010，sin β＝1－cos 2β＝7102， ·· 4分所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－31010)×(－210)＋1010×7102＝55．················································································· 6分(2)(方法一)sin2α＝2sin αcos α＝－35，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝45，8分因为α∈(π2，π)，2α∈(π，2π)，且sin2α＜0，cos2α＞0，所以2α∈(32π，2π)，又β∈(π2，π)，所以2α－β∈(π2，32π)．10分又sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝(－35)×(－210)－45×7102＝－22， 12分所以2α－β＝54π． ·················································· 14分(方法二)因为α，β∈(π2，π)，cos α＝－31010＜cos β＝－210，所以π2＜β＜α＜π，所以0＜α－β＜π2．由(1)知sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝255， ···················· 8分所以sin(2α－β)＝sin[(α－β)＋α]＝sin(α－β)cos α＋cos(α－β)sin α＝255×(－31010)＋55×1010＝－22．10分因为0＜α－β＜π2，π2＜α＜π，所以2α－β∈(π2，32π)， ····· 12分所以2α－β＝54π． ·················································· 14分17．(1)由题意得，10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000， ········ 2分即x 2－500x ≤0，又x ＞0，故0＜x ≤500． ···················· 4分 即最多调整500名员工从事第三产业．························· 5分 (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a －3x500)x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000－x )(1＋1500x )万元，则10(a －3x 500)x ≤10(1000－x )(1＋1500x )， ······················· 8分故ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1500x 2，故ax ≤2x 2500＋1000＋x ，即a ≤2x 500＋1000x＋1恒成立． ·································· 10分因2x 500＋1000x ≥22x 500·1000x＝4， 当且仅当2x 500＝1000x ，即x ＝500时等号成立，故a ≤5， · 12分又a ＞0，故0＜a ≤5．故a 的取值范围为(0，5]． ·········18．(1)设椭圆的焦距为2c (c ＞0)． 依题意，c a ＝12，且a 2c＝4，解得a ＝故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1(2)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1．6分两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以14＋13·k ·(－12)＝0，得k ＝32． ·································· 8分(3)由题意，S 1S 2＝32，即12·|AF |·|y 1| 12·|BF |·|y 2|＝32，整理可得|y 1||y 2|＝12， 10分所以→NF ＝2→FM ．代入坐标，可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1y 2＝－2y 1． ······· 12分又点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 124＋y 123＝1(3－2x 1)24＋(－2y 1)23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝74y ＝385．所以M 的坐标为(74，358) ． ··································· 16分19．(1)由S n ＋1－2S n ＝1，得S n －2S n －1＝1 (n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n ＝2 (n ≥2)． ············ 2分因为a 1＝1，由(a 1＋a 2)－2a 1＝1，得a 2＝2，所以a2a 1＝2，所以a n ＋1a n＝2对任意n ∈N *都成立，所以数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为2． ·········· 4分 (2)① 由(1)知，a n ＝2n －1，由b n ＋1＝b n 2＋1a n ＋1，得b n ＋1＝b n 2＋12n ， ·························· 6分即2n b n ＋1＝2n －1b n ＋1，即2n b n ＋1－2n －1b n ＝1， 因为b 1＝1，所以数列{2n －1b n }是首项为1，公差为1的等差数列． 8分 所以2n －1b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以b n ＝n2n －1． ···················································· 10分 ② 设T n ＝i ＝1n∑b i ， 则 T n ＝1×(12)0＋2×(12)1＋3×(12)2＋…＋n ×(12)n －1，所以12T n ＝ 1×(12)1＋2×(12)2＋…＋(n －1)×(12)n －1＋n ×(12)n ，两式相减，得12T n ＝(12)0＋(12)1＋(12)2＋…＋(12)n －1－n ×(12)n ＝1－(12)n1－12－n ×(12)n ＝2－(n ＋2)×(12)n，所以T n ＝4－(2n ＋4)×(12)n ． ··································· 12分由i ＝1n∑b i＝4－n ，得4－(2n ＋4)×(12)n ＝4－n ，即n ＋2n ＝2n －1． 显然当n ＝2时，上式成立，设f (n )＝n ＋2n －2n －1 ( n ∈N *)，即f (2)＝0．因为f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋3n ＋1－2n )－(n ＋2n －2n －1)＝[2n (n ＋1)＋2n －1]＜0，所以数列{f (n )}单调递减， 所以f (n )＝0只有唯一解n ＝2，所以存在唯一正整数n ＝2，使得i ＝1n∑b i ＝4－n 成立． ······ 16分 20．(1)由f (x )＝e x －a (x ＋1)，知f’(x )＝e x －a ．若a ≤0，则f’(x )＞0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 2分 若a ＞0，令f’(x )＝0，得x ＝ln a ，当x ＜ln a 时，f’(x )＜0，当x ＞ln a 时，f’(x )＞0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减；在(ln a ，＋∞)上单调递增． 4分 (2)由(1)知，当a ＞0时，f min (x )＝f (ln a )＝－a ln a ．因为f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，所以b ≤－a ln a ，所以ab ≤－a 2ln a ． 6分设t (a )＝－a 2ln a ，(a ＞0)，由t’(a )＝－(2a ln a ＋a 2·1a)＝－a (2ln a ＋1)，令t’(a )＝0，得a ＝e －12，当0＜a ＜e －12时，t’(a )＞0，所以t (a )在(0，e －12)上单调递增；当a ＞e －12时，t’(a )＜0，所以t (a )在(e －12，＋∞)上单调递减，所以t (a )在a ＝e －12处取最大值，且最大值为12e．所以ab ≤－a 2ln a ≤12e ，当且仅当a ＝e －12，b ＝12e －12时，ab 取得最大值为12e ．··············································································· 10分(3)设F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝e x －ex －2ax －a ， 题设等价于函数F (x )有零点时的a 的取值范围．① 当a ≥0时，由F (1)＝－3a ≤0，F (－1)＝e －1＋e ＋a ＞0，所以F (x )有零点． ········································································· 12分② 当－e2≤a ＜0时，若x ≤0，由e ＋2a ≥0，得F (x )＝e x －(e ＋2a )x －a ＞0；若x ＞0，由(1)知，F (x )＝－a (2x ＋1)＞0，所以F (x )无零点． 14分 ③ 当a ＜－e2时，F (0)＝1－a ＞0，又存在x 0＝1－ae ＋2a ＜0，F (x 0)＜1－(e ＋2a )x 0－a ＝0，所以F (x )有零点．综上，a 的取值范围是a ＜－e2或a ≥0． ······················ 16分数学Ⅱ(附加题)21．A ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)依题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤612，解得⎩⎨⎧x ＝2y ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234， ·· 5分 因为det(M )＝1×4－2×3＝－2≠0，所以M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－21－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2132－12． ················ 10分 B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]设P (3cos θ，sin θ)， 则点P 到直线l 的距离d ＝|3cos θ＋sin θ－8|2 ················································ 5分＝|2cos(θ－π6)－8|2，所以当θ＝7π6时，d 取到最大值102＝52． ·················· 10分22．(1)设甲恰好通过两个项目测试的事件为A ．P (A )＝C 23(12)2(1－12)＝38．答：甲恰好通过两个项目测试的概率为38． ···················· 2分(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3．因为每人可被录取的概率为C 23(12)2(1－12)＋(12)3＝12， ········ 4分所以P (X ＝0)＝(1－12)3＝18，P (X ＝1)＝C 13(12)(1－12)2＝38，P (X ＝2)＝C 23(12)2(1－12)＝38，P (X ＝3)＝(12)3＝18．故X 的概率分布列为····················· 8分 所以X 的数学期望为E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32．10分23．(1)以B 为原点，BA ，BC ，BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．因为A (1，0，0)，B (0，0，0)，C (0，2，0)，D (1，3，0)，P (0，0，3)， 所以→CD ＝(1，1，0)，→PC ＝(0，2，－3)．易知平面ACD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)． ·············· 1分 设平面PCD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·→CD ＝0m ·→PC ＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝02y ＝3z ．取z ＝2，则m ＝(－3，3，2)．设二面角P －CD －A 的平面角为α，可知α为锐角， ······· 3分 则cos α＝|cos ＜n ，m ＞|＝|n ·m ||n |·|m |＝2 3＋3＋4＝105，即二面角P －CD －A 的平面角的余弦值为105． ············· 5分 (2)因为点E 在棱P A 上，所以设→AE ＝λ→AP ，λ∈[0，1]． 因为→AP ＝(－1，0，3)，所以→AE ＝(－λ，0，3λ)， 故→BE ＝→BA ＋→AE ＝(1－λ，0，3λ)．因为BE ⊥平面P AD ，AP ⊂平面P AD ，所以BE ⊥AP ． 因为→AP ＝(－1，0，3)，所以→BE ·→AP ＝0，即λ－1＋3λ＝0，解得λ＝14， ·············· 7分所以→BE＝(34，0，34)，所以BE＝|→BE|＝32．设直线BE和平面PCD所成的角为β，可知β为锐角．因为m为平面PCD的一个法向量，则sinβ＝|cos＜→BE，m＞|＝343＋3＋4×32＝1020，即直线BE与平面PCD所成角的正弦值为1020．··········· 10分。
2020届高考理科数学模拟黄金卷（全国卷）（二）1、已知集合2{|40},{|326}A x x B x x =-<=-<<，则A B ⋂=( )A ．3(,2)2-B ．(2,2)-C ．3(,3)2-D ．(2,3)-2、已知复数2i1ia z +=-是纯虚数,则实数a =( ) A.5B.2C.3D.23、正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2375150a a a +-+=则9S =（ ）A.35B.36C.45D.544、72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为( )A.168B.84C.42D.215、函数1()ln f x xx=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6、国庆节放假,甲去北京旅游的概率为13,乙、丙去北京旅游的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( ) A.5960B.35C.12D.1607、已知两个非零向量,m n 满足143,cos ,,3m n m n =〈〉=若()n tm n ⊥+,则实数t 的值为( ) A.4B.4-C.94D.94-8、某程序框图如图所示，若输出51T =-，则图中执行框中应填入( )A.()12T T k k =++B.()12T T k k =++C.2T T k k =++D.1T T k k=++9、在公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则()268log b b 的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．110、已知函数()log (21)(0,1)a f x x a a =->≠的图象恒过抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点F ,斜率为k 的直线l 过点F ,与抛物线T 交于,A B 两点,AB 的中点为M ,若||6MF =,则2k =( ) 371371- 371+ 371+11、关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间()0,1单调递减； ③()f x 在[]-π,π有2个零点； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．①④C ．①③D ．②④12、已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若3,4AB AC == 1,12AB AC AA ⊥=,则球O 的半径为( )A ．3172B ．210C ．132 D. 31013、小波一星期的总开支分布图如图1所示,一星期的食品开支如图2所示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为__________.14、已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为 __________.15、在直角坐标系xOy 中，过双曲线22221()00x y a b a b -=>>,的左焦点F 作圆222x y a +=的一条切线(切点为T )，交双曲线右支于点P .若M 为FP 中点，且OM MT a -<，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .16、设2222ln 0R 44b b a b a b a a b ϕ=-+-+∈（，）（）（）（＞，），当a ，b 变化时，a b ϕ（，）的最小值为___。
2020年新高考数学自学检测黄金（04）卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z 满足2512z i =+，则z =（ ）A ．32i +或32i --B ．32i -或32i -+C ．12i +或12i -D ．13±【答案】A【解析】设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 由z 2＝5+12i ，得a 2﹣b 2+2abi ＝5+12i ，∈225212a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩或32a b =-⎧⎨=-⎩．∈z ＝3+2i 或z ＝﹣3﹣2i ． 故选：A ．2．一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。
丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙。
河北省衡水金卷2019-2020学年下学期期中考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示的不是同一点的极坐标是（ ） A ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．72,6π⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．112,6π⎛⎫--⎪⎝⎭ D ．132,6π⎛⎫-⎪⎝⎭2.给出下列表述: ①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推证法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 3.设复数z 满足(1)1i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）A ．1i +B ．1i - C- D4.用反证法证明命题“若sin cos 1θθ=，则sin 0θ≥且cos 0θ≥”时，下列假设的结论正确的是（ ）A ．sin 0θ<或cos 0θ<B ．sin 0θ<且cos 0θ<C ．sin 0θ≥或cos 0θ≥D ．sin 0θ>且cos 0θ>5.方程2222t tt tx y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线的下支 D ．圆 6.若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<7.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有甲、乙、丙3个柱子，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束.在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为n ，则n =（ ）A ．7B ．8C ．11D ．158.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有222c a b =+.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN -，如果用1S ，2S ，3S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是（ ）A ．4123S S S S =++B ．41232222S S S S =++C ．41233333S S S S =++D ．41234444S S S S =++9.设函数()(sin cos )(04)xf x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 的所有极大值之和为（ ） A ．4ne B ．2e eππ+ C ．3e e ππ- D ．3e e ππ+10.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），M 是曲线C 上的动点.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为（ ）A 135．245+ C ．445+．511.已知函数()f x 与'()f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．(0,4)B ．(,1)-∞，4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,1)，(4,)+∞12.已知函数21,1()ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22[()](12)()0f x m f x m +--=有5个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．(0,)+∞ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13.复数321iz i-=+（i 为虚数单位）的虚部为 ． 14.在极坐标系中，直线l 的方程为2sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则点32,4A π⎛⎫⎪⎝⎭到直线l 的距离为 ． 15.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”.四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ．16.已知实数a ，b 满足225ln 0a a b --=，c R ∈22()()a c b c -++的最小值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设复数22(4)z m m i =+-，其中i 为虚数单位，当实数m 取何值时，复数z 对应的点： （1）位于虚轴上； （2）位于一、三象限；（3）位于以原点为圆心，以4为半径的圆上.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a n +=+，*n N ∈.（1）写出1a ，2a ，3a ，并推测数列{}n a 的表达式；（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.19.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a tyt⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值.20.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级的对应关系，如下表所示（假设该区域空气质量指数不会超过300）： 空气质量指数 (0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300]空气质量等级1级优 2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2016年某100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（2）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望.21.已知抛物线24y x =的焦点为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F ，点B 为此抛物线与椭圆C 在第一象限的交点，且53BF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4x =交于点T ，求TFPQ的取值范围. 22.已知a R ∈，函数2()ln f x a x x=+. （1）若函数()f x 在区间(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求函数()f x 的最小值()g a 的最大值；（3）设函数()()(2)h x f x a x =+-，[1,)x ∈+∞，求证：()2h x ≥.河北省衡水金卷2019-2020学年下学期期中考试高二数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: BCDAB 6-10: ACBDB 11、12：DC 二、填空题13. 52-15. 甲三、解答题17.解：（1）复数z 对应的点位于虚轴上， 则220040m m m =⎧⇒=⎨-≠⎩.∴0m =时，复数z 对应的点位于虚轴上. （2）复数z 对应的点位于一、三象限，则22(4)0(2)(2)0m m m m m ->⇒-+<2m ⇒<-或02m <<. ∴当(,2)(0,2)m ∈-∞-U 时，复数z 对应的点位于一、三象限.（3）复数z 对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上，则4z ==0m ⇒=或2m =±.∴0m =或2m =±时，复数z 对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上. 18.解：（1）将1n =，2，3分别代入21n n S a n +=+，可得132a =，274a =，3158a =. 猜想122n n a =-.（2）①由（1），得1n =时，命题成立； ②假设n k =时，命题成立，即122k k a =-， 那么当1n k =+时，1211k k k a a a a a ++++⋅⋅⋅+++2(1)1k =++，且1221k k a a a k a ++⋅⋅⋅+=+-，所以12122(1)123k k k a a k k ++-+=++=+， 所以11111222222k k k k a a +++=+-⇒=-， 即当1n k =+时，命题也成立. 根据①②，得对一切*n N ∈，122n na =-都成立. 19.解：（1）曲线1C的参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则曲线1C 的普通方程为10x y a --+=.由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=， 得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=， ∴22240x x x y +--=，即曲线2C 的直角坐标方程为24y x =. （2）设A ，B 两点所对应参数分别为1t ，2t ， 将曲线1C 的参数方程代入2C ：24y x =，得22140t a -+-=. 若有两个不同的交点，则242(14)0a ∆=-⨯->，即0a >.由韦达定理，有1212142t t a t t ⎧+=⎪⎨-⋅=⎪⎩，根据参数方程的几何意义， 可知12PA t =，22PB t =，又由2PA PB =，可得12222t t =⨯， 即122t t =或122t t =-. ∴当122t t =时，有122212231422t t t a t t t ⎧+==⎪⎨-⋅==⎪⎩1036a ⇒=>，符合题意. 当122t t =-时，有12221221422t t t a t t t ⎧+=-=⎪⎨-⋅=-=⎪⎩904a ⇒=>，符合题意. 综上所述，实数a 的值为136或94. 20.解：（1）由直方图，可估算2017（以365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.10.2)3650.3365+⨯=⨯109.5110=≈（天）.（2）由题，可知X 的所有可能取值为0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，则3464(0)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2131424(10000)105125P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 22314(20000)105P X C ⎛⎫==⨯⨯ ⎪⎝⎭2131410827105500125C ⎛⎫+⨯⨯==⎪⎝⎭， 31311(30000)1010P X C ⎛⎫==+⨯ ⎪⎝⎭1214491051000C ⨯⨯⨯=， 22311(40000)1010P X C ⎛⎫==⨯⨯ ⎪⎝⎭22314271051000C ⎛⎫+⨯⨯=⎪⎝⎭， 223113(50000)10101000P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 311(60000)101000P X ⎛⎫===⎪⎝⎭. 所以X 的分布列为642427()01000020000125125125E X =⨯+⨯+⨯49273300004000050000100010001000+⨯+⨯+⨯16000090001000+⨯=（元）.21.解：（1）由已知，可得24y x =的焦点坐标为(1,0)F ， 设0000(,)(0,0)B x y x y >>， 则0513BF x =+=， 解得023x =， 所以2028433y =⨯=.由点B 在椭圆C 上，得2200221x y a b+=，即2248193a b +=. 又221a b =+，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，与直线4x =无交点， 故直线1l 的斜率不为0. 设直线1l 的方程为1x my =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=，则223636(34)0m m ∆=++>，122634my y m -+=+，122934y y m -=+，所以12PQ y y =-==2212(1)34m m +=+. 当0m ≠时，直线2l 的方程为(1)y m x =--，由4(1)x y m x =⎧⎨=--⎩，得4x =，3y m =-， 即(4,3)T m -，所以TF ==所以2234112TFm PQ m +=+14⎛⎫= ⎝.设t =，则1t >， 则3144TF t PQ t=+， 由于3144y t t =+在区间(1,)+∞内为增函数， 所以31144y >+=，则1TFPQ>. 当0m =时，223b PQ a==，(4,0)T ， 则3TF =，所以1TFPQ=.综上，得TF PQ的取值范围是[1,)+∞. 22.解：（1）函数()f x 在区间(0,2)内单调递减 (0,2)x ⇔∀∈，恒有'()0f x ≤成立， 而22'()0ax f x x -=≤， 故对(0,2)x ∀∈，恒有2a x ≤成立， 而21x>，则1a ≤满足条件. 所以实数a 的取值范围为(,1]-∞.（2）当0a >时，222'()0ax f x x x a -==⇒=. 随x 的变化，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的最小值22()ln g a f a a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. '()ln 2ln 02g a a a =-=⇒=.随x 的变化，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：所以()g a 的最大值为(2)2g =.（3）因为[1,)x ∈+∞，所以当2a ≥时，()()(2)h x f x a x =+-2ln (2)a x a x x =++-. 因为22'()20ax h x a x-=+-≥， 所以()h x 在区间[1,)+∞内是增函数， 故()(1)2h x h a ≥=≥.当2a <时，()()(2)h x f x a x =--2ln (2)a x a x x =+--， 由22'()2ax h x a x -=-+ [(2)2](1)0a x x x-+-==， 解得202x a=-<-（舍去）或1x =. 又20a ->，故1x ≥时，'()0h x ≥， 所以()h x 在区间[1,)+∞内是增函数， 所以()(1)42h x h a ≥=->.综上所述，对[1,)x ∀∈+∞，()2h x ≥恒成立.。
绝密★启用前2020届金太阳高三4月联考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合{}2230,A x x x x N =--<∈，则集合A 的真子集有（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个答案：C解出集合A ，确定集合A 中元素的个数，利用真子集个数公式可求得结果. 解：由{}{}{}2230,13,0,1,2A x x x x N x x x N =--<∈=-<<∈=，集合A 有3个元素，因此，集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C ． 点评：本题考查集合的真子集个数，需要解一元二次不等式，以及需要注意x ∈N ，属简单题．2．已知i 是虚数单位，则化简202011i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的结果为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．1答案：D 计算出11ii i+=-，再利用()n i n N *∈的周期性可求得结果. 解：()()()21121112i i i i i i i ++===--+Q ，又41i =，()202050520204111i i i i +⎛⎫=== ⎪-⎝⎭. 故选：D. 点评：本题考查复数指数幂的计算，涉及复数的除法运算以及()ni n N *∈的周期性的应用，考查计算能力，属于基础题.3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元B ．5000元C ．5500元D ．6000元答案：B根据条形图计算出刚退休时就医费用，进而计算出现在的就医费用，结合目前就医费用所占退休金的比例可得出结果. 解：刚退休时就医费用为400015%600⨯=元，现在的就医费用为600100500-=元，占退休金的10%，因此，目前该教师的月退休金为50050000.1=元. 故选：B ． 点评：本题通过统计图表考查考生的数据处理能力，属简单题．4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A ．27B ．37C ．17D ．314答案：B分三种情况讨论：①甲指挥交通，乙不指挥交通；②乙指挥交通，甲不指挥交通；③甲、乙都指挥交通.利用分步计数原理求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 解：①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有3510C =种方法；②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有2510C =种方法； ③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有2510C =种方法．所以满足条件的概率为2548337C C =，故选：B ． 点评：本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题．5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F和抛物线上一点(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则:NF NM等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D．答案：C求出直线MF 的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点N 的横坐标，利用抛物线的定义可求得:NF NM的值.解：抛物线的焦点为()1,0F，所以31FM k ==-由)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：231030x x -+=， 13x ∴=，213x =，2121113214323px FN MN x x p ++∴===++++，故选：C ． 点评：本题考查过拋物线焦点的弦，考查方程思想的应用，考查计算能力，属中等题． 6．在所有棱长都相等的直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为棱1CC 、AC 的中点，则直线AB 与平面1B DE 所成角的余弦值为（ ）A．10B．20C．20D．10答案：C设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线AB 与平面1B DE 所成角的正弦值，进而可得出该角的余弦值.解：设正三棱柱111ABC A B C-的所有边长均为2，取11A C的中点F，连接EF，以点E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点()1,0,0A-、()3,0B、()1,0,1D、()0,0,0E、()13,2B，()1,0,1ED=u u u r，()13,2EB=u u u r，()3,0AB=u u u r，设平面1B DE的法向量为(),,n x y z=r，由1n EDn EB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vvu u u vv，得320x zz+=⎧⎪+=，取3z=3x=2y=，3,2,3n∴=-r，设直线AB与平面1B DE所成角为θ，则33330sin cos,210AB nAB nAB nθ⋅=<>===⨯⋅u u u r ru u u r ru u u r r，则2130cos1sinθθ=-=故选：C.点评：本题以直三棱柱为材料考查了直线与平面所成的角，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和计算能力，属中等题．7．已知点()4,3A ，点B为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5B ．45C ．5D ．25答案：C作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值. 解：作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 点评：本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．8．给出下列说法：①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；②“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x+<”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3答案：D根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论. 解：对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42a x +=， 该函数为偶函数，则402a +=，得4a =-，且定义域[]4,b -关于原点对称，则4b =， 所以，()24f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确； 对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+∈，所以，tan 14x x π=⇒=，tan 14x x π=⇐=/，则“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 点评：本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．9．已知log 30m >， 4log 2a m =，3log 2b m =，0.52c m =，则a 、b 、c 间的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<答案：A由题意得出1m >，利用指数函数和对数函数的单调性比较4log 2、3log 2和0.52三个数的大小关系，再由指数函数的单调性可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 解：log 30log 1m m >=Q ，所以，对数函数log m y x =为()0,+∞上的增函数，则1m >，0.54331log 2log log 2122==<<<Q ， 又指数函数xy m =为R 上的增函数，故0.534log 2log 22m m m <<，即a b c <<. 故选：A ． 点评：本题考查了指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属中等题．10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ） A ．9两 B ．266127两 C ．26663两 D ．250127两 答案：B先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值. 解：共有银161610266⨯+=两，设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列， 故有()71226612a -=-，所以266127a =， 故选：B ． 点评：本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 3c a B b A -=，则cos cos cos a Ba Ab B+的最大值为（ ）AB．2C．2D．3答案：B利用边角互化思想结合等式cos cos 3ca Bb A -=可得tan 2tan A B =，利用边角互化思想可得cos 1cos sin cos cos cos sin a B A B a A b B B A=++，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值. 解：cos cos 3ca Bb A -=Q ，()()3sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A C A B A B B A ∴-==+=+，即tan 2tan A B =，A ∴、B 均为锐角且cos sin cos cos cos sin cos sin cos a B A Ba Ab B A A B B=++1cos sin 2cos sin A BB A====+， 故选：B ． 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题．12．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()3log 31xf xg x +=+，不等式()()30g x f x t --≥对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．1B ．332log 2-C ．2D ．33log 212- 答案：B根据函数()y f x =为奇函数，函数()y g x =为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由()()30gx f x t --≥得出()33231log3xxt +≤，换元30xp =>，利用导数求出函数()321p y p+=的最小值，即可得出实数t 的最大值.解：Q 函数()y f x =为奇函数，()y g x =为偶函数，且()()()3log 31x f x g x +=+，①()()()3log 31x f x g x -∴-+-=+，即()()()3log 31x f x g x --+=+，② ①-②得：()()()33331312log log 31331x x x xx x f x x --++===++，()2xf x ∴=，()()3log 312x x g x ∴=+-， 由()()30gx f x t --≥得()()()()33323133log 312log 3x x xt g x f x x +-=+-=≤，令30xp =>，()321p y p +=，则()()2312p p y p +-'=.当02p <<时，0y '<，此时函数()321p y p+=单调递减；当2p >时，0y '>，此时函数()321p y p+=单调递增.所以，当2p =时，函数()321p y p +=取得最小值，即min 274y =， 3327log 32log 24t ∴≤=-. 故选：B ． 点评：本题考查函数的奇偶性．恒成立问题，需要结合导数求函数的最值，属于难题．二、填空题13．已知向量(2,a =r，(1,b =r ，则b r 在a r方向上的投影等于__________．答案：83-设a r 与b r 的夹角θ，利用向量的数量积的坐标运算可求得b r 在a r方向上的投影为cos a b b aθ⋅=r rr r .解：设a r 与b r 的夹角θ，则b r 在a r方向上的投影为2108cos 33a b b aθ⋅-===-r rr r ．故答案为：83-. 点评：本题通过求一个向量在另一个向量上的投影，考查平面向量的坐标运算，属简单题． 14．在ABC V 中，2π3B ∠=，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且12BC AB =，则E 的离心率为__________．答案：13利用余弦定理求出AC ，利用双曲线的定义建立a 与c 的等量关系，进而可求得双曲线的离心率. 解：由题意，2AB c =，BC c =，ABC V 中，2π3B ∠=，AC ∴===．2c a -=，得：13c e a ==．.. 点评：本题考查双曲线的离心率问题，涉及余弦定理与双曲线定义的应用，属中等题． 15．已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值是__________． 答案：2先根据函数()y f x =为奇函数结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，化简可得()sin f x x ω=-，由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得,64x πωπωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得出,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，进而得出关于ω的不等式组，由此可得出实数ω的最大值. 解：Q 函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，则()0cos 0f ϕ==，0ϕπ≤≤Q ，2πϕ∴=，()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ，,64x πωπωω⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦. Q 函数()y f x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 62420πωππωπω⎧-≥-⎪⎪⎪∴≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得02ω<≤，因此，ω的最大值是2. 故答案为：2. 点评：本题考查三角函数的图象与性质，主要考查利用奇偶性与单调性求参数，考查计算能力，属中等题．16．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2BC CD ==，AB AD ==A BCD -的外接球的体积为__________．答案：92π 作出图形，求BD 的中点为E ，连接AE ，确定外接球球心在线段AE 上，设外接球的半径为R ，可得出2OE R =-，然后在Rt ODE △中利用勾股定理可求得R 的值，最后利用球体体积公式可求得结果. 解：Q 平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，取BD 的中点为E ，连接AE ，BCD V 的外接圆圆心为点E ，则外接球的球心O 在AE 上，且22BD =，2ED =222AE AD DE =-=，设外接球半径为R ，则2OE R =-，在Rt ODE △中，222OD OE DE =+，即()22222R R =+-，得32R =， 因此，三棱锥A BCD -的外接球的体积为3344393322V R πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．故答案为：92π. 点评：本题考查外接球体积的计算，解答时要分析几何体的结构，确定球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <． 答案：（1）()*1n a n n N=+∈．（2）见解析 （1）令1n =求得1a 的值，令2n ≥，由112n n n S na a =+-得出()1111112n n n S n a a ---=-+-，两式相减得出11n n a a n n -=+，由此可得出数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用放缩法得出()()2222211221n a n n n n n =<=-+++，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所证不成立成立. 解：（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =， 当2n ≥时，112n n n S na a =+-①， ()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++L .点评：本题第（1）问通过给出数列的项n a 与其前n 项和n S 的关系，求n a 的递推关系式，进一步求数列{}n a 的前n 项和，第（2）问考查了用裂项相消法求和，主要考查考生的基础知识和基本技能是否扎实，属中等题．18．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF DF ⊥， 22AF FD =，45DFE CEF ∠=∠=o ．（1）证明//DC EF ；（2）求二面角D BE C --的平面角的余弦值． 答案：（1）见解析；（225.（1）证明出//AB 平面EFDC ，然后利用线面平行的性质定理可证明出//DC AB ，再利用空间平行线的传递性可得出结论；（2）证明出平面ABEF ⊥平面EFDC ，然后作DG EF ⊥，垂足为G ，可得出DG ⊥平面ABEF ，由此以点G 为坐标原点，GF uuu r 的方向为x 轴正方向，GD u u u r的方向为z 轴正方向，GF u u u r为单位长建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角D BE C--的平面角的余弦值. 解：（1）Q 四边形ABEF 为正方形，//AB FE ∴，AB ⊄Q 平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，//AB ∴平面EFDC ，AB ⊂Q 平面ABCD ，平面ABCD I 平面EFDC DC =，//DC AB ∴，因此，//DC EF ；（2）AFEF ⊥Q ，AF DF ⊥，EF DF F =I ，AF ∴⊥平面EFDC ，AF ⊂Q 平面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG EF ⊥，垂足为G ，DG ⊂Q 平面EFDC ，平面ABEF I 平面EFDC EF =，DG ∴⊥平面ABEF ，以点G 为坐标原点，GF uuu r 方向为x 轴正方向，GD u u u r为z 轴正方向，GF u u u r 为单位长，如图建立空间直角坐标系，则45DFG CEF ∠=∠=o ，()0,0,1D ∴，()3,0,0E -，()2,0,1C -，()3,4,0B -． ()3,4,1BD ∴=-u u u r ，()3,0,1ED =u u u r， 设平面DBE 的法向量为()111,,m x y z =u r，则00m BD m ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即1111134030x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，取13z =，则11x =-，10y =，所以，()1,0,3m =-u r，又()1,4,1BC =-u u u r ，()1,0,1EC =u u u r， 设平面BEC 的法向量为()222,,n x y z =r，则00n BC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即22222400x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，令21z =，则21x =-，20y =，()1,0,1n ∴=-r ，设二面角D BE C --的平面角为θ，cos 5m n m nθ⋅∴===⋅u r r ur r ．即二面角D BE C --． 点评：本题第（1）问考查了空间中直线、平面平行的判定定理和性质定理，第（2）问求二面角，考查空间向量坐标运算，属中等题．19．已知点P 在圆:O 229xy +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足4PQ =u u u r u u u r .（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设()()3,0,3,0G H -,过点()1,0F 的动直线l 与曲线 E 交于,A B (不同于,G H )两点.问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.答案：(1) 22198x y +=;(2)是定值为12.(1)设()()00,,,M x y P x y ,根据4PQ =u u u ru u u r,用,x y 表示00,x y ,代入229x y +=即可求出轨迹E 的方程.(2)设出直线方程,与轨迹E 的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,对斜率之比进行化简即可判断. 解：(1)解:设()()00,,,M x y P x y ,则()0,0Q x .()()000,,,PQ y MQ x x y ∴=-=--u u u r u u u u r. 4PQ=u u u ru u u r Q )0004x x y⎧=-⎪∴⎨-=-⎪⎩ 解得004x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩()00,P x y Q在229x y +=上, 229x ∴+=⎝⎭,整理得22198x y +=故动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=.(2)解:由题意知, l 的斜率不为0,则设:1l x my =+,()()1122,,,A x y B x y ,与曲线 E 方程联立得221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,整理得()228916640m y my ++-=则1212221664,8989m y y y y m m +=-=-++ ()12124my y y y ∴=+ 直线AG 的斜率1113y k x =+,直线BH 的斜率2223y k x =- 此时()()()()121211211212212112212232244213444442y x y my k my y y y y y k y x y my my y y y y y ---+-=====+++++ 所以直线AG 与BH 的斜率之比是定值,为12. 点评：本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系.对于过定点的直线问题,一般在设的时候,如果可以确定斜率存在,则可用点斜式;若可以确定斜率不为0,但不确定斜率存在与否,则可设直线方程为x ay b =+.本题难点是,有韦达定理找出()12124my y y y =+.20．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为()0.60.8p p ≤≤．（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活． ①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元，该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种B 种树苗多少棵？答案：（1）分布列见解析，()20.7E X p =+；（2）①0.92；②277棵.（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望；（2）①由（1）知当0.8p =时，()E X 最大，然后分一棵B 种树苗自然成活和非自然成活两种情况，可求得所求事件的概率；②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，由题意可知(),0.92Y B n ~，利用二项分布的期望公式得出()0.92E Y n =，根据题意得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围即可得解. 解：（1）依题意，X 的所有可能值为0、1、2、3， 则()()2200.310.30.60.3P X p p p ==-=-+，()()()2210.710.3210.10.80.7P X p p p p p ==-+⨯-=-+，()()22220.710.3 1.1 1.4P X p p p p p ==⨯-+=-+， ()230.7P X p ==.所以，随机变量X 的分布列为：()()()22210.10.80.72 1.1 1.430.720.7E X p p p p p p ∴=⨯-++⨯-++⨯=+；（2）由（1）知当0.8p =时，()E X 取得最大值．①一棵B 种树苗最终成活的概率为：()0.810.80.750.80.92+-⨯⨯=， ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则(),0.92Y B n ~，()0.92E Y n =，()0.924000.0880100000n ∴⨯-⨯≥，100000276.55361.6n ≈≥．所以该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元． 点评：本题通过“果树种植”的例子，第（1）问考查了随机变量及其分布列，数学期望等基础知识点，第（2）问考查了考生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属中等题． 21．已知函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在点()()22,A e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4．（1）求实数a 的值； （2）若m Z ∈，且()()11m x f x -<+对任意1x >恒成立，求m 的最大值．答案：（1）2a =；（2）m 的最大值为3．（1）由题意得出()24f e '=，进而可求得实数a 的值；（2）求得()ln f x x x x =+，由参变量分离法得出ln 11x x x m x ++<-，构造函数()ln 11x x x g x x ++=-，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,+∞上的最小值，进而可得出整数m 的最大值. 解：（1）()()1ln f x a x x x =-+Q ，()ln f x x a ∴'=+，Q 函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在2x e =处的切线斜率为4，()24f e ∴'=，即2ln 4a e +=，因此，2a =； （2）由（1）知()ln f x x x x =+．()()1m x f x -<Q 对任意1x >恒成立，()1ln 111f x x x x m x x +++∴<=--对任意1x >恒成立，令()ln 11x x x g x x ++=-，则()()()()()()22ln 21ln 1ln 311x x x x x x x g x x x +--++--==--'， 令()ln 3u x x x =--，则()11u x x'=-， 1x >Q ，()0u x ∴'>，()ln 3u x x x ∴=--在()1,+∞为增函数，()41ln 40u =-<Q ，()52ln50u =->，∴存在()04,5x ∈，使()000ln 30u x x x =--=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.()()()00000000min 0031ln 1111x x x x x x g x g x x x x +-+++∴====---，故有01m x <-对1x >恒成立．()04,5x ∈Q ，()013,4x ∴-∈，因此，m 的最大值为3．点评：本题第（1）问考查切线问题，较基础；第（2）问考查恒成立问题，使用适当的变换，可以归结为函数的最值问题．需要注意的是，这里需要用到设而不求的未知数的技巧，主要考查了转化与化归思想的使用，数形结合能力和运算求解能力，对考生的要求较高，属难题．22．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为,22ρθππ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y t αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．答案：（1）点A的坐标为,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）{}44122⎛+ ⎝⎦U . （1）求出曲线C 的普通方程，根据题意求出直线OA 的方程，再将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，即可求得点A 的坐标；（2）设直线l 的方程为()24y k x =-+（其中k 为直线l 的斜率），求出直线l 与半圆C 相切时直线l 的斜率k 的值，设点(B，(0,D ，()2,4P --，求出直线PB 、PD 的斜率，利用数形结合思想可求得直线l 的斜率的取值范围.解： （1）由,22ππρθ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，所以，曲线C 的直角坐标方程为：()2220x y x +=≥，Q 点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，∴直线OA 与直线：210x y ++=平行， ∴直线OA 的斜率12-，即OA 的方程为12y x =-， 由222120x y y x x ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪≥⎪⎩，得：5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 即点A的坐标为,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）将直线l 化为普通方程：()24y kx =-+（k 为直线l 的斜率）， 当直线l 与半圆()2220x y x +=≥相切时，则有22421k k -=+．2870k k ∴-+=，1k ∴=或7k =，设点()0,2B ，()0,2D -，()2,4P --，则422PB k +=，422PC k -=． 由图象知，当直线l 与半圆C 相切时，则PD k k <，此时1k =.因此，当直线l 与半圆C 有且只有一个公共点时，直线l 的斜率的取值范围是{}4242,122⎛⎤-+⋃ ⎥ ⎝⎦．点评：本题第（1）问考查极坐标与直角坐标的转化，圆的切线问题；第（2）问考查利用直线与圆位置关系求参数，考查数形结合思想的应用，属中等题． 23．设函数()121f x x x =-++，x ∈R .（1）求不等式()5f x <的解集； （2）若关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围． 答案：（1）42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （1）将函数()y f x =表示为分段函数的形式，然后分1x <-、11x -≤≤、1x >三段解不等式()5f x <，综合可得出该不等式的解集；（2）由题意可知关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，进而得出()min 212f x t ≥--，求出函数()y f x =的最小值，然后解不等式()min 212f x t ≥--即可求得实数t 的取值范围.解：（1）函数()y f x =可化为()31,13,1131,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩．当1x <-时，由()5f x <，可得315x --<，解得2x >-，此时21x -<<-； 当11x -≤≤时，由()5f x <，可得35x +<，解得2x <，此时11x -≤≤； 当1x >时，由()5f x <，得315x +<，解得43x <，此时413x <<. 综上所述，不等式()5f x <的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，则关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，所以，()min 212f x t ≥--.当1x <-时，()31f x x =--，此时，函数()y f x =单调递减，则()()12f x f >-=； 当11x -≤≤时，()3f x x =+，此时，函数()y f x =单调递增，则()()()11f f x f -≤≤，即()24f x ≤≤；当1x >时，()31f x x =+，此时函数()y f x =单调递增，则()()14f x f >=. 综上所述，()()min 12f x f =-=.2122t ∴--≤，即4214t -≤-≤，解得3522t -≤≤. 因此，实数t 的取值范围是35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 点评：本题第（1）问是求解含绝对值的不等式，是基础问题；第（2）问以“不等式无解”的方式提出问题，其实可以转化为恒成立问题，最终转化为最值问题，属中等题．。
理科数学试题弟 贞（共5 fi ）A.4 500 元D.6 0∞ 元绝密★总用祁 2020年普通高竽学校招生全国统一考试•联考理科数学本试卷共5页,23小题（含选再题），淄分150分，野试用时⑵ 分钟. 注爲事项：∣∙答卷前•考牛务必将自己的姓名芳牛号、考场号和座付号填写金答题卡上•用2R 铅笔将试卷 类型（R ）填涂在答题卡相应位買上,将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时.选出毎小题答案后.用2R 铅笔在答题卡匕对应题冃选项的答案信息点涂 然；如需改动,用橡皮擦于净后,在选涂具他答案.答案不能答在试卷上.3. 卄选择題必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,容案必须写在答题卡各题忖指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案•然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答无效・4. 选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡匕指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在 答题R L 对应的答题区域内•写在试卷、茸稿纸和答题R I.的非答题区域均无效C5. 為试结束后，请将本试卷和答题K 一并上交氏 一、选择题：本题共12小题，毎小題5分,共60分.在甜小题给岀的四个选项中，只育一项是符合题目要求的•I.设集合A = MX 2-2r-3<0,r∈∕V},则集合A 的真子集有 A.5个B.6个C∙7个D∙8个2.已知混虚数单位,则化简（； ^y O20的结果为AJB.TCTD 」3.若干年囲,某教师刚退休的月退休金为4 0∞元,月诅休金各种用途占比统计图如下面的条形 图孩教师退休后加强了体育綏炼，冃的月追休金的各种用途占比统计图如下面的折线图•巳 知H 前的月就页费比刚退休时少IOO 兀,则H 肚该教帅的月退休金为试卷类型：BB.5 000 JLC.5 500 元理科数学试题第2页(共5币)A∙9两G 266πrc∙W ■两250 T274•将包話甲上■丙在内的X 人平均分成两组参加“文明交通乜愿若活动,其中一组指挥交通, 一组分发宣传资料,则甲Z 至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为 A,⅜ 75•已知她物线y 2 =4x 的焦点为八过点F 和抛物线上一点M(3∙2√J)的直线I 交抛物线丁另一 点 /V,则IpFl : I/VMI 等于 A.1 : 2B.1 : 3C.1 : 4D.1 : 436. 在所有棱长都相竽的首三棱柱ABC-A I B l C I 中,0,E 分别为棱CC I I AC 的中点•则首线仙与 平面H x UE 所成角的余弦值为C √30G √∏0TV √70F ⅛C∙^⅞^D∙^ΠΓ^>07. 已知点A(4,3) •点B 为不尊式组y-yWO 所表示平面K 域上的任意一点,则IAB I 的最小x+2y-6≤0值为 A.5B.—C.√58. 给出下列说法：① 定义在［a 9b ］卜的偶函数/(x) = √-(α+4)z+Λ的賢大值为20； ② 絕■绘∙ la 冲“"的充分不必要条件;4③ 命 Ir 3x φe (0,+» )竝+丄 M2”的否定形式 Jft “ ∀xe(0,+oo) ,x+-<2∖X其中正确说法的个数为 A.0B.lC.2D.39. B⅛log m 3>0,α=m k ∙?,b =m ,β∙? I C- Irf a5 ,JM a,b r c 间的大小关系为 A.α<∂<cB.b<a<cC.c<a<bD.6<c<α10. 元代数学家朱世杰在《算学启蒙〉中提及如下问题:今有银-秤-斤十两(1秤=15斤，1斤=16丙)，令甲、乙、丙从上作折半羞分Z,问:各得几何？其奁思是:现有银一秤一斤十两,现 将银分给甲、乙、丙三人,他们三人毎一个人所得是前一个人所得的一半•若银的数量不变, 按此法将银依次分给7个人•则得银最少的-•个人得银 c ∙7A V z 30A nr理科数学试題第3页(共5页)12. 已知/(”)为奇函数,g(%)为偶函数,且/(%)怙d)=b β3(3W),不等式3g(*)∙√μHM 对 恒成立,则/的晟大值为 A 」B.3-2 log 32C.2D.ylog j 2-I 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向星"(2厂√5)J=(1.2√5),则/在。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国I 卷·文数(一)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0}，B ＝{x|y 21x -，则A ∩B ＝(A)[0，34] (B)∅ (C)[0，12] (D) [12，34] (2)设复数4273i z i-=-，则复数z 的虚部为 (A)1729- (B)1729 (C)－129 (D)129 (3)为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)不能确定(4)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>13，则双曲线C 的渐近线方程为 A.2y x = B.2y x = C.23y x =± D.32y x =± (5)执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n<2019，则输出A 的值为(A)12(B)2 (C)－1 (D)－2(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”。
译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。
)(A)45000立方尺(B)52000立方尺(C)63000立方尺(D)72000立方尺(7)记单调递减的等比数列{an}的前n项和为S。
