专题12 直角三角形斜边上的中线(解析版)

专题1.2 勾股定理的逆定理【八大题型】【北师大版】【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 (1)【题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 (3)【题型3 在网格中判断直角三角形】 (6)【题型4 勾股数的探究】 (9)【题型5 利用勾股定理的逆定理证明】 (13)【题型6 利用勾股定理的逆定理求解】 (16)【题型7 勾股逆定理的应用】 (19)【题型8 勾股定理及其逆定理的综合】 (23)【知识点 勾股定理的逆定理】如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．【题型1 判断三边能否构成直角三角形】【例1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）由线段a 、b 、c 组成的三角形是直角三角形的是（ ）A ．a =5,b =3,c =3B ．a =13,b =15,c =14C ．a =6,b =4,c =5D ．a =7,b =24,c =25【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【详解】解：A 、32+32=18≠52，故不能组成直角三角形，故不合题意；B +=41400≠，故不能组成直角三角形，故不合题意；C 、42+52=41≠62，故不能组成直角三角形，故不合题意；D 、72+242=625=252，故不能组成直角三角形，故不合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．【变式1-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且满足(a +b )(a−b )=c2，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定【答案】B【分析】将原式整理为a2=b2+c2，即可判断.【详解】解：∵(a+b)(a−b)=c2，∴a2−b2=c2，∴a2=b2+c2，∴这个三角形是直角三角形；故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟练掌握勾股定理逆定理、得出a2=b2+c2是解题的关键.【变式1-2】（2023春·八年级单元测试）如图，以△ABC的两边BC、AC分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，若S1=2，S2=3，AB2=5，则△ABC的形状是________三角形．【答案】直角【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理的逆定理即可得出答案．【详解】解：∵S1=2，S2=3，∴BC2=2，AC2=3，∵AB2=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直角．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和正方形面积的应用，理解勾股定理的逆定理的内容是解题的关键．【变式1-3】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）有四种说法：①三个内角之比为5:6:1；②三边形长分③三边之长为9、40、41；④三边之比为1.5∶2∶3．其中是直角三角形的有___________（填序号）．【答案】①②③【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵三角形三个内角之比为5:6:1，=90°，∴三角形最大的内角为180°×6561∴该三角形为直角三角形，故①正确；∵2+=2，∴该三角形为直角三角形，故②正确；∵92+402=412，∴该三角形为直角三角形，故③正确；∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形内角和为180度和勾股定理的逆定理是解题的关键．【题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点】【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C 到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有______个．【答案】8【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则∠C=90°；（2）AB为直角边，AC=2cm或BC=2cm；【详解】（1）当AB为斜边时，点C到直线AB的距离为2cm，即AB边上的高为2cm，符合要求的C点有4个，如图：（2）当AB为直角边时，AC=2cm或BC=2cm，符合条件的点有4个，如图；符合要求的C点有8个；故答案是8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．【变式2-1】（2023春·八年级单元测试）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C 也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．【变式2-2】（2023春·全国·八年级专题练习）点A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（）A．4B．2C．1D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．【详解】解：分三种情况考虑（如图所示）：当∠OAB＝90°时，m＝0；当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．综上所述：m的值可以为0，5，1，4．故选B．【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键．【变式2-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上，在图中画ΔABC（点C在小正方形的顶点上），使ΔABC为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）【答案】ΔABC为直角三角形，理由详见解析.【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可.【详解】解：如图所示.图1图2如图1，在ΔABC中，AC=5，BC=3，AB2=32+52=34因为AC2+BC2=52+32=34=AB2，所以∠ACB=90°，即ΔABC为直角三角形.如图2，在RtΔACD中，AC2=CD2+AD2=12+12=2.在RtΔBCE中，CB2=CE2+BE2=42+42=32.在RtΔABF中，AB2=AF2+BF2=32+52=34.所以AC2+CB2=AB2，所以∠ACB=90°，即ΔABC为直角三角形.【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键.【题型3在网格中判断直角三角形】【例3】（2023春·北京西城·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC 的三个顶点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，那么AD的长为（）A．2.5B．3C．D【答案】A【分析】由勾股定理可得AC2=5,BC2=25,AB2=20,则AC2+AB2=BC2，即△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．【详解】解：由勾股定理可得AC2=5,BC2=25,AB2=20,∴AC2+AB2=BC2，即△ABC是直角三角形，∵AD是BC边上的中线，BC=2.5．∴AD=12故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识点，根据勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形是基础，掌握斜边上的中线的性质是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为_________．【答案】45°【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．【详解】解：如图，连接AC，由题意，AC=，BC=AB∴AC=BC，AB2=AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=∠CAB=45°．故答案为：45°．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．【变式3-2】（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1．(1)求四边形ABCD的面积与周长；(2)求证：∠BCD=90°．【答案】(1)周长为：32(2)见解析【分析】（1）借助正方形的小格，根据勾股定理分别计算四边形的各边的长，从而求得四边形的周长；（2）在△ABC中，根据勾股定理的逆定理进行判定．【详解】（1）解：根据勾股定理可知AB=3BC=CD=AD=5∴四边形ABCD的周长为+面积为：8×8−12×3×3−12×5×5−12×5×3−12×3×5=32．（2）证明：连接BD，∵BC=CD=DB=∴BC2+CD2=BD2．∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90°．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用以及勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．【变式3-3】（2023春·八年级单元测试）如图所示的是2×5的正方形网格，点A，B，P都在网格点上，则∠APB=________．【答案】135°【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得△PCB是等腰直角三角形，可得∠BPC=45°，即可求解．【详解】解：延长AP至C，连接BC，CP=CB=BP∵2+2=2，即CP2+CB2=BP2，∴△PCB是等腰直角三角形，∴∠BPC=45°，∴∠APB=180°−45°=135°，故答案为：135°．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是得到△PCB是等腰直角三角形．【题型4勾股数的探究】【例4】（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解(x,y,z)叫做勾股数．如(3,4,5)就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数：（___________），（___________）；(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2−1，z=n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．【答案】(1)5，12，13；7，24，25(2)证明见解析【分析】（1）根据x2+y2=z2，即可得出5，12，13、7，24，25是勾股数；（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案．【详解】（1）∵52+122=169,132=169，∴52+122=132，∴5，12，13是勾股数；∵72+242=625,252=625，∴72+242=252，∴7，24，25是勾股数；故答案为：5，12，13；7，24，25；（2）证明：∵x=2n，y=n2−1，∴x2+y2=(2n)2+(n2−1)2=4n2+n4−2n2+1=n4+2n2+1=(n2+1)2=z2，即x，y，z为勾股数．∴以x，y，z为三边的三角形为直角三角形．【点睛】此题考查勾股逆定理的证明，勾股数的规律探究，掌握勾股逆定理的证明，根据勾股定理得出勾股数是解题的关键．【变式4-1】（2023春·四川达州·八年级校考期中）以下列各组数据中的三个数，其中是勾股数的是（）A．B．6，8，10C．D．2，3，4【答案】B【分析】根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．【详解】解：A+=7=5，7≠5，故此选项错误；B、62+82=100，102=100，且100=100，故此选项正确；C、12+=3=3，3=3D、22+32=13，42=16，13≠16，故此选项错误．故答案为：B．【点睛】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足a2+b2=c2．【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”老师给出了下表（其中m，n为正整数，且m>n）：m23344…n11212…a22+1232+1232+2242+1242+22…b4612816…c22−1232−1232−2242−1242−22…(1)探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示：a=______，b=______，c=______．(2)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)m2+n2，2mn，m2−n2(2)以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据给出的数据总结即可；（2）分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理逆定理进行判断．【详解】（1）解：观察可得a=m2+n2，b=2mn，c=m2−n2，故答案为：m2+n2，2mn，m2−n2；（2）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下：a2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4，b2+c2=m4−2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，∴a2=b2+c2，∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理的逆定理，熟练掌握：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．【变式4-3】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．【答案】（1）见解析；（2）a=9730b，a＝31，b＝4；（3）见解析7【分析】（1）根据勾股定理：利用（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2，解得另一条直角边长为2mn，因为m，n为正整数，所以2mn也为正整数，即可得证；（2）首先根据勾股定理求出a关于b的代数式，再根据被开方数需大于等于0，即可求得a、b的范围，且a、b 均为正整数，将b的可能值：1，2，3，4分别代入，即可求得符合条件的正整数a、b；（3）观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1•c2＝5×5＝25，而252=152+202，故存在．【详解】（1）证明：∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（m2+n2+m2﹣n2）•（m2+n2﹣m2+n2）＝2m2•2n2＝（2mn）2，∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2，∵m，n为正整数，且m＞n，∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均为正整数，∴该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）由勾股定理得：7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，∴a=9730b7，由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0，∴a＞1，0＜b＜5，∵a和b均为正整数，∴b的可能值为：1，2，3，4，当b＝1时，a=97307=1277，不是正整数，故b＝1不符合题意；当b＝2时，a=1577，不是正整数，故b＝2不符合题意；当b＝3时，a=97907=1877，不是正整数，故b＝3不符合题意；当b＝4时，a=971207=2177=31==∵2+2=240，4=240，∴2+2=4，∴b＝4符合题意，∴a=9730b7，a＝31，b＝4；（3）证明：观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1•c2＝5×5＝25，152+202＝225+400＝625，252＝625，∴152+202＝252．∴存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．【点睛】本题目考查勾股定理，难度一般，也是中考的常考知识点，熟练掌握勾股定理的应用以及二次根式的相关性质是顺利解答此题的关键．【题型5利用勾股定理的逆定理证明】【例5】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知CD⊥AB，垂足为D，BD=1，CD=2，AD=4．求证：∠ACB=90°．【答案】见解析【分析】根据勾股定理得出BC2，AC2，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．【详解】证明：∵CD⊥AB，垂足为D，BD=1，CD=2，AD=4，∴BC2=BD2+CD2=12+22=5，AC2=AD2+CD2=42+22=20，∵AB=AD+BD=4+1=5，∴AB2=25=AC2+BC2=20+5，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°．【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理与其逆定理的区别是解题的关键．【变式5-1】（2023·江苏·八年级假期作业）在△ABC的三边分别是a、b、c，且a=n2−1,b=2n,c=n2+1，判断△ABC的形状，证明你的结论．【答案】直角三角形，理由见解析【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：∵a=n2−1,b=2n,c=n2+1∴a2=(n2−1)2=n4−2n2+1，b2=(2n)2=4n2，c2=(n2+1)2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，会利用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形是解答的关键．【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形．已知这三个正方形构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断．【答案】△ABC是直角三角形，证明见解析【分析】设坐标绿色部分的面积和为a，右边绿色部分的面积为b，蓝色部分的面积和为c，坐标空白部分的面积为d，右边空白部分的面积为e，【详解】设坐标绿色部分的面积和为a，右边绿色部分的面积为b，蓝色部分的面积和为c，坐标空白部分的面积为d，右边空白部分的面积为e，然后根据绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等列式得到(a+d)+(b+e)=c+d+e，然后由a+d=AC2,b+e=BC2求解即可．．∵绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等∴a+b=c∴a+b+d+e=c+d+e∴(a+d)+(b+e)=c+d+e∵a+d=AC2,b+e=BC2∴c+d+e=AB2∴AC2+BC2=AB2∴△ABC是直角三角形．【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．【变式5-3】（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=7，AC=25，AD是中线，点E在AD的延长线上，且AD=ED=12．(1)求证：△CDE≌△BDA；(2)证明：CE⊥AE；(3)求△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)84【分析】（1）根据SAS证明△CDE≌△BDA即可；（2）结论：△ACE是直角三角形；首先根据△CDE≌△BDA，推出CE=AB=7，最后根据勾股定理的逆定理即可证明；（3）由全等三角形的性质得出S △ABC =S △ACE ，所以计算△ACE 的面积，即可得出△ABC 的面积．【详解】（1）证明：∵AD 是边BC 上的中线，∴BD =CD ，在△BDA 和△CDE 中，AD =BD ∠ADB =∠EDC BD =CD，∴△CDE≌△BDA （SAS ），（2）结论：△ACE 是直角三角形；理由：由（1）知：△CDE≌△BDA ,∴CE =AB =7，∵AD =ED =12，∴AE =24，∵AE 2+CE 2=242+72=625，AC 2=252=625，∴AE 2+CE 2=AC 2，∴∠E =90°，∴△ACE 是直角三角形；（3）∵△CDE≌△BDA ，∴S △CDE +S △ADC =S △ADC +S △BDA ，∴S △ABC =S △ACE ，∵S △ACE =12AE·CE =12×24×7=84，∴S △ABC =84．【点睛】此题是三角形的综合题，考查三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆定理的运用，三角形的面积计算方法，掌握三角形全等的判定方法与勾股定理逆定理是解决问题的关键．【题型6 利用勾股定理的逆定理求解】【例6】（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，AB =5，BC =4，AC =3，将三角形纸片沿AD 折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，则△BDE 的周长为（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】利用勾股定理的逆定理判断出∠C=90°，利用翻折不变性可得AE=AC=3，推出BE=2，即可解决问题．【详解】解：在△ABC中，∵AB=5，BC=4，AC=3，∴AB2=BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，由翻折的性质可知：AE=AC=3，CD=DE，∴BE=2，∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=4+2=6，故选：D．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式6-1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，AB=AC，BC=5，BD=3，CD=4．求AC的长．【答案】AC=256【分析】由勾股定理的逆定理判定∠BDC=90°，再在Rt△ADC中利用勾股定理列方程即可解答．【详解】解：∵BC=5，BD=3，CD=4，∴BD2＋CD2=32＋42=25=BC2．∴∠BDC=90°．∴∠ADC=180°−∠BDC=90°．∴AD2＋CD2＝AC2．设AC=x．∵AB=AC，BD=3，∴AD=x−3．∴(x−3)2＋42＝x2．解得x=256．∴AC=256．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键在于熟练掌握定理，灵活运用．【变式6-2】（2023春·河南开封·八年级统考期末）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且满足(a+2b−11)2+|2a−b−2|=10c−25−c2，请你判断△ABC的形状，并求出其周长与面积．【答案】△ABC是直角三角形，它的周长是12，面积是6【分析】首先把原等式变形为(a+2b−11)2+|2a−b−2|+(c−5)2=0，利用非负数的性质，建立三元一次方程组，求得a、b、c的数值，利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状，进一步求得周长和面积即可．【详解】解：由题意得(a+2b−11)2+|2a−b−2|+c2−10c+25=0，∴(a+2b−11)2+|2a−b−2|+(c−5)2=0，∴a+2b−11=02a−b−2=0c−5=0，∴a=3，b=4，c=5，∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，它的周长是3+4+5=12，面积是12×3×4=6．【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解三元一次方程组，勾股定理逆定理以及三角形的周长和面积的计算方法；注意解题的思路与方法的灵活性．【变式6-3】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）已知在△ACB中，AC=12,BC=5,AB=13，点E为边AC 上的动点，点F为边AB上的动点，则FE+EB的最小值是_________．【答案】12013【分析】先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB =90°，再作点B 关于AC 的对称点B ′，连接B ′E,B ′F,AB ′，然后根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当B ′F ⊥AB 时，线段FE +EB 的值最小，最小值为B ′F ，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：∵在△ACB 中，AC =12,BC =5,AB =13，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°，如图，作点B 关于AC 的对称点B ′，连接B ′E,B ′F,AB ′，∴B ′C =BC =5,BB ′=2BC =10,B ′E =BE ，∴FE +EB =FE +B ′E ，由两点之间线段最短可知，当点B ′,E,F 共线时，FE +B ′E 最小，最小值为B ′F ，由垂线段最短可知，当B ′F ⊥AB 时，B ′F 的值最小，又∵S △ABB ′=12AB ⋅B ′F =12AC ⋅BB ′，∴12×13B ′F =12×12×10，解得B ′F =12013，即FE +EB 的最小值为12013，故答案为：12013．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的逆定理是解题关键．【题型7 勾股逆定理的应用】【例7】（2023春·广东广州·八年级统考期中）如图，在笔直的公路AB 旁有一座山，从山另一边的C 处到公路上的停靠站A 的距离为AC =15km ，与公路上另一停靠站B 的距离为BC =20km ，停靠站A 、B 之间的距离为AB =25km ，为方便运输货物现要从公路AB 上的D 处开凿隧道修通一条公路到C 处，且CD ⊥AB ．(1)请判断△ABC 的形状？(2)求修建的公路CD 的长．【答案】(1)直角三角形(2)12km【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，由AC 2+BC 2=AB 2得到△ABC 是直角三角形．（2）利用△ABC 的面积公式可得，CD ⋅AB =AC ⋅BC ，从而求出CD 的长．【详解】（1）解：△ABC 是直角三角形．理由：∵AC =15km ，BC =20km ，AB =25km ，∴ 152+202=252，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴∠ACB =90°，∴△ABC 是直角三角形．（2）解：∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12AB ⋅CD =12AC ⋅BC ，∴CD =AC⋅BC AB =15×2025=12(km)．答：修建的公路CD 的长是12km ．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．【变式7-1】（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，△ABC 区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向AB ，由点A 飞向点B ，已知点C 为其中一个着火点，且点C 与点A ，B 的距离分别为600m 和800m ，又AB =1000m ，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响．(1)求△ABC 的面积．(2)着火点C 能否受到洒水影响？为什么？【答案】(1)240000m 2(2)受影响【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，再利用面积公式计算即可；（2）过点C 作CD ⊥AB 于D ，利用三角形面积得出CD 的长，进而得出海港C 是否受台风影响．【详解】（1）解：∵AC =600m ，BC =800m ，AB =1000m ，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∴S △ABC =12×AC ×BC =240000m 2；（2）如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∴S △ΔABC =12AC ⋅BC =12CD ⋅AB ，∴600×800=1000CD ，∴CD =480，∵飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响，∴着火点C 受洒水影响．【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【变式7-2】（2023春·广西桂林·八年级统考期中）一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC ＝15米，AD ＝13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？【答案】电线杆和地面垂直，理由见解析【分析】由勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，△ABC是直角三角形，即可解答．【详解】解：电线杆和地面垂直，理由如下：连接BD在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2，∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，∴AB⊥BD，在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴电线杆和地面垂直．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【变式7-3】（2023春·八年级课时练习）海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是______．【答案】北偏东40°【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．【详解】由题意得，OA=12×5=60（海里），OB=16×5=80（海里），又∵AB=100海里，∵602+802=1002，即OB2+OA2=AB2∴∠AOB=90°，∵∠DOA=50°，∴∠BOD=40°，则B舰艇的航行方向是北偏东40°，故答案为：北偏东40°．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出△AOB是直角三角形是解决问题的关键．【题型8勾股定理及其逆定理的综合】【例8】（2023春·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连接AD、BD，且AD⊥BD．已知AD=4，BD=3，AC=13，BC=12．则图中阴影部分的面积为________．【答案】24【分析】先根据勾股定理求出AB，然后根据勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形，根据阴影部分的面积S等于S△ABC−S△ABD，即可．【详解】∵AD⊥BD，∴AB2=AD2+BD2，∵AD=4，BD=3，∴AB=5，∵AC=13，BC=12，∴AC2=169，BC2=144，AB2=25，∴AC2=BC2+AB2，∴△ABC是直角三角形，设阴影部分的面积S，∴S=S△ABC−S△ABD=12×AB×BC−12×AD×BD，∴S=24，∴设阴影部分的面积为：24．故答案为：24．【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用和勾股定理的逆定理．【变式8-1】（2023春·江西赣州·八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=14AB，求证：∠FEC=90°．【答案】见解析【分析】由正方形的性质和已知求得AF=1，FD=3，由中点的性质得AE=EB=2，利用勾股定理求得EF，EC，FC，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论．AB，【详解】证明：∵正方形ABCD的边长为4，且AF=14∴AF=1，FD=3，DC=BC=4，∵E为AB的中点，∴AE=EB=2，在Rt△AEF中，EF=在Rt△DFC中，FC===5，在Rt△EBC中，EC==∴EC2+EF2=FC2，∴△EFC是以EC、EF为直角边的直角三角形，∴∠FEC=90°．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理及正方形的性质，利用勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理逆定理解答是证明此题的关键．【变式8-2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地ABC进行新的规划，如图，点D是BC边上的一点，过点D作垂直于AC的小路DE，点E在AC边上．经测量，AB=26米，AD=24米，BD=10米，AC比DC长12米．(1)求△ABD的面积；(2)求小路DE的长．【答案】(1)120平方米(2)14.4米【分析】（1）根据勾股定理逆定理得出△ABD是直角三角形，再根据三角形面积公式求解即可；（2）设DC =x 米，利用勾股定理求解出DC =18米，AC =30米，再利用等积法求解即可．【详解】（1）∵BD 2=102=100，AD 2=242=576，AB 2=262=676，∴BD 2+AD 2=AB 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB =90°，∴S △ABD =12BD ⋅AD =12×10×24=120（平方米）；（2）设DC =x 米，则AC =(x +12)米，由（1）知∠ADB =90°，由勾股定理得x 2+242=(x +12)2，解得x =18，∴DC =18米，AC =30米，∵DE ⊥AC ，∴S △ACD =12AC ⋅DE =12DC ⋅AD ，∴30DE =18×24，∴DE =14.4（米）．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理逆定理证明是解题的关键．【变式8-3】（2023春·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，已知正方形OABC 的边长为8，边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点D 是x 轴上一点，坐标为(2，0)，点E 为OC 的中点，连接BD 、BE 、ED ．(1)求点B 的坐标；(2)判断△BED 的形状，并证明你的结论．【答案】(1)(8，8)(2)△BED 是直角三角形【分析】（1）根据正方形的性质可得OA=OC=8，进而求出点B的坐标；（2）求出BD、BE、ED的平方，根据勾股定理逆定理判断即可．【详解】（1）解：正方形OABC的边长为8，边OA在x轴上，边OC在y轴上，所以OA=OC=8，因此，点B的坐标为(8，8)．（2）解：△BED是直角三角形；点D是x轴上一点，坐标为(2，0)，点E为OC的中点，∴OD=2，OE=CE=4，DA=6，∴ED2=OD2+OE2=20，EB2=BC2+CE2=80，DB2=BA2+AD2=100，∴ED2+EB2=DB2，∴△BED是直角三角形．【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理及逆定理，解题关键是根据正方形性质写出点的坐标，利用坐标求出线段的平方．。

专题02 直角三角形斜边上的中线（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.56一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE 的周长和面积分别是（ ）A．16，6B．18，18C．16，12D．12，16解：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，∴四边形CFDE是平行四边形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，∴CF＝AB＝5，∵DF∥CE，点F是AB的中点，∴＝＝，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴点D是AC的中点，∴CD＝AC＝4，∵点F是AB的中点，点D是AC的中点，∴DF是Rt△ABC的中位线，∴DF＝BC＝3，∴四边形CFDE的周长为2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，四边形CFDE的面积为DF•CD＝3×4＝12．故选：C．2．（2分）（2023•金安区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）A．10﹣B．﹣3C．2﹣6D．3解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB＝＝2，∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN＝＝，CM＝＝3，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为：﹣3，故选：B．3．（2分）（2023•海曙区校级一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝（ ）A．3B．C．5D．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4，∴AB＝2CD＝8，∵ED⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵AC2＝AE2﹣CE2＝AB2﹣BC2，∴52﹣CE2＝82﹣（5+CE）2，解得CE＝1.4，∴AC＝．故选：B．4．（2分）（2022春•铁锋区期末）如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（ ）A．下滑时，OP增大B．上升时，OP减小C．无论怎样滑动，OP不变D．只要滑动，OP就变化解：∵AO⊥BO，点P是AB的中点，∴OP＝AB，∴在滑动的过程中OP的长度不变．故选：C．5．（2分）（2022•雁塔区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E在AC上，且AE＝BE，连接CD交BE于点F，若∠A＝25°，则∠DFE的度数（ ）A．65°B．70o C．75o D．80o解：∵D为AB的中点，∠ACB＝90°，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝25°，∵AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝25°，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°，∴∠DFE＝∠ACD+∠BEC＝25°+50°＝75°，故选：C．6．（2分）（2021•荷塘区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的结论是（ ）A．∠DCB＝∠B B．BC＝BDC．AD＝BD D．∠ACD＝∠BDC解：∵AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴A正确，故A不符合题意；∵∠BDC≠∠BCD，∴BD≠BC，∴B错误，故B符合题意；∵∠B＝∠BCD，∴BD＝DC，∴AD＝BD，∴C正确，故C不符合题意；∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠A＝∠ACD，∴∠ACD＝∠BDC，∴D正确，故D不符合题意；故选：B．7．（2分）（2021•铁岭模拟）如图，在△ABC中，E为边AC的中点，CD⊥AB于点D，AB＝2，BC＝1，DE＝，则∠CDE+∠BCD＝（ ）A．60°B．75°C．90°D．105°解：∵CD⊥AB，E为AC边的中点，∴AC＝2DE＝，∵AB＝2，AC＝1，∴BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，E为AC边的中点，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠CDE+∠BCD＝∠ECD+∠BCD＝∠ACB＝90°，故选：C．8．（2分）（2020•汝阳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（ ）A．2B．C．1D．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACD＝30°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，∵AC2+BC2＝AB2，AC＝2，∴（2）2+BC2＝（2BC）2，解得：BC＝2（负数舍去），∴AB＝2BC＝4，∵AB＝4，D为AB的中点，∴BD＝AD＝2＝BC，∵BF⊥CD，∴CF＝DF，∵DE∥BC，D为AB的中点，∴AE＝CE，∴EF＝AD＝＝1，故选：C．9．（2分）（2021•饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（ ）A．B．C．D．7解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF＝＝，故选：B．10．（2分）（2020•亳州二模）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，D为AC边上一动点，O为BD中点，DE ⊥AB，垂足为E，连接OE，CO，延长CO交AB于F，设∠BAC＝α，则（ ）A．∠EOF＝αB．∠EOF＝2αC．∠EOF＝180°﹣αD．∠EOF＝180°﹣2α解：设∠ABD＝β，则∠BDC＝∠ABD+∠A＝β+α，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝90°﹣β，∵O为BD中点，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE，同理得OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝α+β，∴∠EOD＝180°﹣2（90°﹣β）＝2β，∠COD＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣2α﹣2β，∴∠EOF＝180°﹣∠EOD﹣∠COD＝180°﹣2β﹣（180°﹣2α﹣2β）＝2α；故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023•仓山区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若AB ＝4，则CD的长是　2　．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AB＝4，∴．故答案为：2．12．（2分）（2023•开平市二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D 是AB的中点，若△DEF的周长是11，则AF＝ ．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，由勾股定理知AF＝＝，故答案为：．13．（2分）（2023•京口区校级一模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，连接AC、BD．M是AC的中点，连接BM、DM．若AC＝12，则△BMD的面积为　18　．解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝DM＝AC＝AM＝6，∴∠MBD＝∠MDB，∠CAB＝∠ABM，∠DAC＝∠ADM，由三角形的外角性质得，∠BMC＝∠ABM+∠CAB＝2∠BAC，∠CMD＝∠ADM+∠DAC＝2∠DAC，∴∠BMD＝∠BMC+∠CMD＝2（∠BAC+∠DAC）＝2∠BAD，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，∴∠BAD＝45°，∴∠BMD＝2∠BAD＝90°，＝BM•DM＝×6×6＝18．∴S△BMD故答案为：18．14．（2分）（2023•长春一模）如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F．若AB＝10，则EF的长为　5　．∵DE⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°＝∠ACB，∴DE∥CF，又∵DC∥EF，∴四边形EDCF为平行四边形，∴EF＝DC，又∵DC为直角三角形斜边中线，∴，∴EF＝DC＝5．故答案为：5．15．（2分）（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE＝AE＝1，则CD＝ ．解：如图，连接BE，∵CE＝AE＝1，∴AE＝3，AC＝4，而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，∴AE＝BE＝3，在Rt△ECB中，BC＝＝2，∴AB＝＝2，∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，∴CD＝AB＝．故答案为：．16．（2分）（2023•市南区校级开学）如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为　112°　．解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE＝AE，∴∠DAE＝∠ADE，∠BAE＝∠ABE，∴∠ADE+∠ABE＝∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝56°，∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∴∠DEC+∠BEC＝∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABE，∴∠BED＝∠BAD+∠ADE+∠ABE＝56°+56°＝112°．故答案为：112°．17．（2分）（2023•镇江二模）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAB＝45°，M、N分别是AC、BD中点，若AC＝10，则MN＝ ．解：连接BM，DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，AC＝10，∴AM＝BM＝AC＝5，AM＝DM＝AC＝5，∴∠MAB＝∠MBA，∠MAD＝∠MDA，∵∠BMC＝∠MAB+∠MBA，∠DMC＝∠MAD+∠MDA，∴∠BMD＝∠BMC+∠DMC＝2∠BAM+2∠DAM＝2∠BAD＝90°，∵BM＝DM＝5，∴BD＝BM＝5，∵N是BD的中点，∴MN＝BD＝，故答案为：．18．（2分）（2023春•恩施市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD．分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝12，AC＝16，则DF的长为 ．解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD＝CD，AE＝EC＝AD，AE＝EC＝AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形，如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝12，AC＝16，∴BC＝＝20，∴AH＝＝＝，∵四边形ADCE是菱形，∴CD＝CE，＝EC•DF＝CD•AH，∴S菱形ADCE∴DF＝AH＝．故答案为．19．（2分）（2022•南岗区模拟）如图，点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝BD＝CF，连接DE、DF，若DE＝7，DF＝10，则线段BE的长为　13　．解：如图，延长FD至点P，使得DP＝DF，连接BP，EP，过点E作EQ⊥FD于点Q，在△BDP和△CDF中，，∴△BDP≌△CDF（SAS），∴BP＝CF，∠PBD＝∠C，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠PBD+∠ABC＝90°，即∠ABP＝90°，∵BE＝CF，∴BE＝BP，∴△BEP为等腰直角三角形，∴EP＝BE，∵∠ABC+∠C＝90°，BD＝BE，CD＝CF，∴∠BDE+∠CDF＝135°，∴∠EDQ＝45°，∵ED＝，∴EQ＝DQ＝7，∴EP＝＝，∴BE＝13．故答案为：13．20．（2分）（2018•青山区模拟）如图，在以AB为斜边的两个直角△ABD和△ABC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，CD＝m，AB＝2m，则∠AEB＝　120°　．解：如图所示，取AB的中点F，连接CF，DF，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴CF＝AB＝DF，又∵CD＝m，AB＝2m，∴CD＝AB，∴CF＝DF＝CD，∴△CDF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，∴∠AFC+∠BFD＝120°，∵CF＝BF，AF＝DF，∴∠AFC＝2∠ABE，∠BFD＝2∠BAE，即∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD，∴∠ABE+∠BAE＝∠BFD+∠AFC＝（∠BFD+∠AFC）＝×120°＝60°，∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120°．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2022•茂南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，BE∥CD，CE∥AB．试判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．解：四边形CEBD为菱形，证明如下：∵BE∥CD，CE∥AB，∴四边形CEBD是平行四边形，在Rt△ACB中，D为AB中点，∴CD为Rt△ACB斜边上的中线，∴CD＝BD，∴四边形CEBD为菱形．22．（6分）（2021秋•仁寿县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，DE⊥AB，AD＝2DE．①求证：∠B＝∠AED；②若CD＝，求CE的值．①证明：∵DE⊥AB，∴∠ACB＝∠ADE＝90°，∴∠A+∠B＝∠AED＝90°，∴∠B＝∠AED；②解：∵D为Rt△ABC斜边AB上的中点，∴AD＝BD＝CD＝，即AB＝2，设DE＝x，则AD＝2DE＝2x，∴AE＝，则sin B＝sin∠AED＝；则AC＝AB sin B＝＝4，AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．23．（8分）（2021•蚌埠模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．（1）若AB＝6，当AD＝2DM时，求DE的值；（2）连接OD，OE，当∠A的度数为多少时，四边形ODME是菱形．（1）解：∵∠ABC＝90°，点M是AC的中点，∴AM＝CM＝BM，∴∠A＝∠ABM，∵四边形DEBA为⊙O的内接四边形，∴∠ADE+∠ABM＝180°，又∵∠ADE+∠MDE＝180°，∴∠ABM＝∠MDE，∴∠A＝∠ABM＝∠MDE，∴DE∥AB，∴△MDE∽△MAB，∴＝，∵AD＝2DM，∴AM＝3DM，∵AB＝6，∴＝，∴DE＝2．（2）解：当∠A的度数为60°时，四边形ODME是菱形，理由如下：由（1）知∠A＝∠ABM＝∠MDE，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠ABM＝∠MDE＝60°，∴∠AMB＝60°，又∵OA＝OD＝OE＝OB，∴△AOD、△OBE都是等边三角形，∴∠ADO＝∠AMB＝∠OEB＝60°，∴OD∥BM，AM∥OE，∴四边形ODME是平行四边形，又∵OD＝OE，∴四边形ODME是菱形．24．（8分）（2019秋•浦东新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．（1）求∠B的度数：（2）求证：BC＝3CE．解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠CAF，∵∠EAD＝∠DCB，∴∠CAD＝2∠DCB，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠DCB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠B＝30°；（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，∴AE＝BE，CE＝AE，∴BC＝3CE．25．（8分）（2019春•赫山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，求CD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝3，∴DE＝5﹣3＝2，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD＝＝＝．26．（8分）（2019秋•北碚区校级期中）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC 的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD．（1）求∠EDC的度数．（2）求证：BF＝AE．解：（1）∵∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∵∠FBC＝2∠FBD．∴∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，∵∠ABC＝90°，点F是AC中点，∴AF＝BF＝CF，∴∠C＝∠FBC＝30°，∴∠EDC＝∠C+∠DBC＝75°；（2）∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2AB，∴AB＝AF＝BF，∵AE∥BC，∴∠E＝∠DBC＝45°＝∠ABD，∴AB＝AE，∴AE＝BF．27．（8分）（2023•温州模拟）如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．（1）证明：CG＝EG．（2）若AB＝10，AD＝6，求CE的长．（1）证明：连接DE，如图．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，又E为AB中点，∴DE＝AE＝BE，∵CD＝AE，∴DE＝CD，又DG⊥EC，∴EG＝CG；（2）解：过E作EM⊥BC于M，如图．∵AD⊥BC，EM⊥BC，∴EM∥AD，∵E为AB中点，∴EM是△ABD的中位线，∴EM＝AD＝3．∵AB＝10，∵DE＝AB＝5，∴DM＝4，∵CD＝AE＝DE＝5，∴CM＝CD+DM＝9，∴CE＝＝3．28．（8分）（2022秋•顺德区期末）如图1，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线．（1）求证：BD＝AC；（2）如图2，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一个点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F．当P 在BC上移动时，求PE+PF的值．（1）证明：如图，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，连接CE，∴∠DAE＝∠BCD，∵∠ADE＝∠BDC，AD＝CD，∴△ADE≌△CDB（AAS），∴DE＝BD，∴四边形ABCE是平行四边形，∴，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCE是矩形，∴AC＝BE，∴；（2）解：如图，连接DP，作BG⊥AC，于点G，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根据勾股定理得：，∴．可知，即，∴，则，即，解得：．。

专题14直角三角形斜边上的中线★知识归纳●直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点梳理：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.★实操夯实一．选择题（共16小题）1．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（）A．B．C．D．7【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF＝＝，故选：B．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.5【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∴BD＝AD，∵AD＝6，∴BD＝6，∵P点是BD的中点，∴CP＝BD＝3．故选：A．3．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．不变B．变小C．变大D．无法判断【解答】解：不变．连接OP，在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，那么OP＝AB，由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．故选：A．4．如图，∠ABC＝∠ADC＝Rt∠，E是AC的中点，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2大小关系不能确定【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE，∴∠1＝∠2．故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（）A．10B．3C．5D．4【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB＝×10＝5，故选：C．6．已知直角三角形斜边上的中线长为3，则斜边长为（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长为3，∴斜边长是6．故选：B．7．直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为3cm，故选：C．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD为AB边上的高，在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，故选：D．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6cm，D为AB的中点，则CD等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝×6＝3cm．故选：C．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝BC，若∠D＝40°，则∠B＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：取BC的中点E，连接AE，∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，∴AE＝BC＝BE，∴∠B＝∠EAB，∵AD＝BC，∴AE＝AD，∴∠AED＝∠D＝40°，∴∠B＝20°，故选：B．11．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．10B．6C．8D．5【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝×10＝5，故选：D．12．如图在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝3，BC＝8，则△EFM的周长是（）A．21B．15C．13D．11【解答】解：∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM＝FM＝BC＝×8＝4，∴△EFM的周长＝8+8+3＝11．故选：D．13．如图，边长为2的等边三角形ABC，点A，B分别在y轴和x轴正半轴滑动，则原点O到C的最长距离（）A．B．C．D．【解答】解：取AB的中点D，连接OD，CD，在△OCD中，OC＜OD+CD，只有当O，D，C三点在一条线上时，OC＝OD+CD，此时OC最大，如图所示，OC⊥AB，∵△AOB为等腰直角三角形，AB＝2，∴OD＝AB＝1，在Rt△BCD中，BC＝2，BD＝1，根据勾股定理得：CD＝＝，∴OC＝+1．故选：D．14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．2【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．故选：B．15．如图，△ABC中，∠A+∠B＝90°，AD＝DB，CD＝3，则AB的长度为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝90°．∵AD＝DB，∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝6．故选：D．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝3，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝BC＝2，又∵D是AB中点，∴BD＝AB＝，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝，∴△BDE的周长为BD+DE+BE＝++2＝5．故选：C．二．填空题（共7小题）17．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝4，BC＝10，则△EFM的周长是14．【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8，∴在Rt△BCE中，EM＝BC＝5，在Rt△BCF中，FM＝BC＝5，又∵EF＝4，∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝5+5+4＝14．故答案是：14．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AC的中点，若AB＝6，则DE的长为3．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵点E为AC的中点，∴DE＝AC＝3．故答案为：3．19．如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC上一点，AD＝5，且AD⊥AB，点E是BD上的点，AE＝BD，AC＝6.5，则AB的长度为12．【解答】解：∵Rt△ABD中，AE＝BD，∴AE＝BE＝DE；∴∠B＝∠BAE，即∠AED＝2∠B；∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，即AE＝AC＝6.5；∴BD＝2AE＝13；由勾股定理，得：AB＝＝12．20．如图，△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°，B为AE上一点，BG⊥AE于点B，GF∥BE，且AD＝BD＝BF，∠BFG＝60°，则∠AFG的度数是20°．【解答】解：∵四边形BEFG是长方形，∴FG∥BE，∴∠FBE＝∠BFG＝60°，∵AD＝BD＝BF，∴∠A＝∠ABD，∠BDF＝∠BFD，∵∠BDF＝∠DFB＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠EBF＝∠A+∠AFB＝3∠A＝60°，∴∠A＝20°，∵FG∥BE，∴∠AFG＝∠A＝20°，故答案为：20°．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为．【解答】解：如图，连接DM，DN，由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分），M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小），当M在AN上时，设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x，DN＝AB＝，在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得DM2＝DN2+MN2，∴x2＝（3﹣x）2+2.52，解得x＝，∴3﹣x＝，此时AM﹣MN＝﹣＝．∴AM﹣MN的最大值为．故答案为：．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B 作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为6．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，∴CD＝AB＝4.5．∵CF＝CD，∴DF＝CD＝×4.5＝3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE＝2DF＝6．故答案为6．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B＝50°，则∠ACB′＝10°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°，∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴CD＝BD，CD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝50°，∠DCA＝∠A＝40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD＝∠BCD＝50°，∴∠ACB′＝∠B′CD﹣∠DCA＝10°，故答案为：10°．三．解答题（共4小题）24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．【解答】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG．（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13﹣5＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BF＝4，∴EF＝＝＝3，∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．25．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．（1）证明∠ABE＝∠ACF；（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；（3）求MN的长．【解答】解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，∴∠ABE+∠A＝90°，∠ACF+∠A＝90°，∴∠ABE＝∠ACF；（2）MN垂直平分EF．证明：如图，连接EM、FM，∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，∴EM＝FM＝BC，∵N是EF的中点，∴MN垂直平分EF；（3）∵EF＝6，BC＝24，∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，由勾股定理得，MN＝＝＝3．26．拓展：如图四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，EF平分∠BED交BD于点F．（1）猜想EF与BD具有怎样的关系？（2）试证明你的猜想．【解答】解：（1）EF垂直平分BD，（2）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∴BE＝AE＝EC，ED＝AE＝EC，∴BE＝DE，∵EF平分∠BED交BD于点F，∴EF⊥BD，BF＝FD，即EF垂直平分BD．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，AM＝AN，∠N+∠CAN＝180°．求证：MN＝AC．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，∴CM＝AM，∴∠MCA＝∠MAC，∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM，∵∠N+∠CAN＝180°，∴AC∥MN，∴∠AMN＝∠MAC，∴∠AMC＝∠NAM，∴AN∥MC，又AC∥MN，∴四边形ACMN是平行四边形，∴MN＝AC．。

九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷-附带答案(北师大版)一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．36．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．197．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm212．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补【考点】矩形的性质；菱形的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；故选A．【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④【考点】矩形的定义及性质．【分析】已知梯形四边中点得到的四边形是矩形，则根据矩形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．【解答】解：如图点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∵点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∴∠FEH=90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．∴AC⊥BD．①平行四边形的对角线不一定互相垂直，故①错误；②菱形的对角线互相垂直，故②正确；③对角线相等的四边形，故③错误；④对角线互相垂直的四边形，故④正确．综上所述，正确的结论是：②④．故选：D．【点评】此题主要考查矩形的性质及三角形中位线定理的综合运用，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考点】菱形的性质，矩形的定义及性质，正方形的定义及性质．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．3【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD在Rt△AOB中，∠AOB＝90°根据勾股定理，得：OB＝＝＝4∴BD＝2OB＝8故选：A．【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】正方形的性质．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图设正方形S1的边长为x∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD∴AC=BC=2CD又∵AD=AC+CD=6∴CD==2∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°∴AM=MO∵MO=MN∴AM=MN∴M为AN的中点∴S2的边长为3∴S2的面积为3×3=9∴S1+S2=8+9=17．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半；已知了直角三角形的两条直角边，由勾股定理可求得斜边的长，由此得解【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=cm，且∠ACB=90°，∠B=30°∴AB=2∴AB边上的中线CD=AB=cm．故选D．【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【考点】正方形的性质．【分析】根据正方形以及等边三角形的性质可得出AD=DE，∠ADF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°，根据等腰三角形的性质即可得出∠DAE=∠DEA=15°，再结合三角形外角性质即可算出∠AFB的值．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形∴AD=CD=DE，∠ADF=∠ABF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°∴∠ADE=150°．∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=15°∴∠AFB=∠ADF+∠DAF=45°+15°=60°．故选C．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是求出∠ADF=45°、∠DAF=15°．本题属于基础题，解决该题型题目时，通过正方形、等边三角形以及等腰三角形的性质计算出角的度数是关键．9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【考点】含30度角的直角三角形；多边形内角与外角；平行四边形的性质．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，∠A=∠C，∠CDE=∠AED，根据DE⊥AB，得出∠AED和∠CDE是直角，求出∠CDF的度数，最后根据DF⊥BC，求出∠C、∠A的度数，最后根据∠ADE=30°，AE=2cm，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∠A=∠C∴∠CDE=∠AED∵DE⊥AB∴∠AED=90°∴∠CDE=90°∵∠EDF=60°∴∠CDF=30°∵DF⊥BC∴∠DFC=90°∴∠C=60°∴∠A=60°∴∠ADE=30°∴AD=2DE∵AE=2∴AD=2×2=4（cm）；故选A．【点评】此题考查了平行四边形的性质和含30°角的直角三角形，用到的知识点是平行四边形的性质和垂直的定义30°角的直角三角形的性质，关键是求出∠ADE=30°．10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm【考点】矩形的定义及性质．【分析】在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE=DE=x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2即x2=（10﹣x）2+16．解得：x=5.8．故选C．【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2【考点】菱形的性质．【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出面积即可．【解答】解：由题意可得：图1中矩形的长为5cm，宽为4cm∵虚线的端点为矩形两邻边中点∴AC=4cm，BD=5cm∴如图（2）所示的小菱形的面积为：×4×5=10（cm2）．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键．翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．12．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1∴AD∥GF∴∠GFH＝∠P AH又∵H是AF的中点∴AH＝FH在△APH和△FGH中∵∴△APH≌△FGH（ASA）∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG∴PD＝AD﹣AP＝1∵CG＝2、CD＝1∴DG＝1则GH＝PG＝×＝故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为3．【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【解答】解：∵ABCD是菱形∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24∴AC＝6∵AH⊥BC，AO＝CO＝3∴OH＝AC＝3．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为（8，4）或（，7）．【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7）∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7∵D（5，0）∴OD＝5∵点P是边AB或边BC上的一点∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5∵AD＝3∴P A＝＝4∴P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．故答案为（8，4）或（，7）．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC=1，∠B=90°∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…∴第n个正方形的边长a n=（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．【考点】正方形的性质．【分析】作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG 中，利用勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求过F作FG⊥CD于G在Rt△E′FG中GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4所以E′F==．故答案为：．【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质．【专题】证明题．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：∵ABCD是菱形∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF∴△ABE≌△ADF∴AE=AF∴∠AEF=∠AFE．【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．【解答】解：∵对角线相等且互相平分∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD为等边三角形，则OA=ADBD=2DO，AB=AD∴AD=2∵AE⊥BD，∴E为OD的中点∴OE=OD=AD=1答：OE的长度为1．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形∴BE∥AD，BE=AD∴BE=CD∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．【考点】菱形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF同理∠DAE=∠FDA∵AD=DA∴△ADE≌△DAF∴AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四边形AEDF为菱形．【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．【考点】矩形的性质．【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD∴∠BAC=∠FCO在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF（AAS）∴OE=OF；（2）解：如图，连接OB∵BE=BF，OE=OF∴BO⊥EF∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC∴∠BAC=∠ABO又∵∠BEF=2∠BAC即2∠BAC+∠BAC=90°解得∠BAC=30°∵BC=2∴AC=2BC=4∴AB===6．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．【解答】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°∴F、C、M三点共线∴DE=DM，∠EDM=90°∴∠EDF+∠FDM=90°∵∠EDF=45°∴∠FDM=∠EDF=45°在△DEF和△DMF中∴△DEF≌△DMF（SAS）∴EF=MF；（2）设EF=MF=x∵AE=CM=1，且BC=3∴BM=BC+CM=3+1=4∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2即22+（4﹣x）2=x2解得：x=则EF=．【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】正方形的性质．【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得．【解答】（1）证明：如图1在△BCE和△DCF中∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线∴∠EBC=∠DBC=22.5°由（1）知△BCE≌△DCF∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理）∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中∴△DBG≌△FBG（ASA）∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等）∵BD==∴BF=∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1①当BH=BP时，则BP=﹣1∵∠PBC=45°设P（x，x）∴2x2=（﹣1）2解得x=1﹣或﹣1+∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（，）综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．。

C D E B A 专题12.23 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型（专项练习）（基础篇）知识储备：1、模型一： 三垂直全等模型图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA2、拓展：模型二： 三等角全等模型图二如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA3、知识点补充：勾股定理0222=90.RT ABC C ∆∠如图三，在中，，三角形三边分边为a 、b 、c,则a +b =c图三一、单选题1．已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC∠CD，则不正确的结论是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠A=∠2C ．∠ABC∠∠CED D ．∠A 与∠D 互为余角2．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D 、E ，2.5AD cm =， 1.7DE cm =，则BE 的长（ ）．A ．0.8cmB ．0.7cmC ．0.6cmD ．1cm3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90,8C AC ∠=︒=，F 为AB 边的中点，点D ，E 分别在,AC BC 边上运动，且保持AD CE =，连接,,DE DF EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：∠DEF 是等腰直角三角形；∠四边形CDFE 的面积保持不变；∠AD BE DE +>．其中正确的是（ ）A ．∠∠∠B ．∠C ．∠D ．∠∠二、填空题 4．如图，在等腰Rt∠ABC 中，∠C=90°，AC=7．点O 在BC 上，且CO=1，点M 是AC 上一动点，连接OM ，将线段OM 绕点O 逆时针旋转90°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在AB 上，CM 的长度为__________．5．如图，90ACB ∠=︒，CA CB =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，3cm =AD ，1.8cm DE =，则BE =______cm ．6．如图，()()4,0,0,6A B ，以B 点为直角顶点在第一象限作等腰直角ABC ∆，则C 点的坐标为_________7．如图，点A 在线段DE 上，AB ∠AC ，垂足为A ，且AB ＝AC ，BD ∠DE ，CE ∠DE ，垂足分别为D 、E ，若ED ＝12，BD ＝8，则CE 长为_____．8．如图，AC BC =，AE CD =，AE CE ⊥于点E ，BD CD ⊥于点D ，10AE =，4BD =，则DE 的长是_____．⊥于点F．若9．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，已知BE a⊥于点E，DF aBE=，83DF=，则线段EF的长为______．10．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则BCD的面积为_____cm2．11．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE∠DF，垂足为点O，∠AOD，则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题12．如图：在∠ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF∠AE，垂足为F，过B作BD∠BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．13.如图1，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN 于E．（1）说明∠ADC∠∠CEB；（2）说明AD+BE=DE；（3）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以说明．14．如图，已知A、B、D在同一条直线上，∠A=∠D=90°，AC=BD，∠1=∠2．求证：∠CBE 是等腰直角三角形．15．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD∠MN于点D，BE∠MN 于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．16．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：∠ADC∠∠CEB；（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）17．如图，在∠ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．18．如图，已知在CDE ∆中，12∠=∠，直线AB 经过点E ，DA AB ⊥，CB AB ⊥，垂足分别为A 、B ，AD BE =，求证：AE BC =．19．如图1．∠ABC 中，AG∠BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向∠ABC 作等腰Rt∠ABE 和等腰Rt∠ACF ，过点E ，F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P ，Q ．（1）求证：∠EPA∠∠AGB ：（2）试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2．若连接EF 交GA 的延长线于H ，由（2）中的结论你能判断EH 与FH 的大小关系吗？并说明理由：（4）在（3）的条件下，若BC ＝10，AG ＝12．请直接写出S ∠AEF ＝ ．20．如图所示，90,C BE BA ∠=⊥，且,BE BA BD BC =⊥，延长CB 交DE 于点F ，且DF EF =．求证：2AC BF =．21．已知：在直角坐标系中，点()0,3B -，点()1,0C ，点A 在第二象限，,AC BC AC BC =⊥，求点A 的坐标．22.如图，已知：，，，，那么AC 与CE 有什么关系？写出你的猜想并说明理由．参考答案1．A【分析】由题意易得∠ACD=90°，则有∠1+∠2=90°，进而可证三角形全等，然后可排除选项．【详解】解：∠AC∠CD，∠∠ACD=90°，∠∠1+∠2=90°，∠∠B=∠E=90°，∠∠2+∠D=90°，∠∠1=∠D，∠AC=CD，∠∠ABC∠∠CED（AAS），故C正确，∠∠A=∠2，故B正确，∠∠A+∠D=90°，故D正确，∠A选项错误；故选A．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2．A【分析】证∠CEB和∠ADC全等，得到BE和CD相等，CE和AD相等，即可得到结论；【详解】解：∠BE∠CE，AD∠CE，∠∠E=∠ADC=90°，∠∠EBC+∠BCE=90°，∠∠BCE+∠ACD=90°，∠∠EBC=∠DCA，在∠CEB和∠ADC中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠CEB∠∠ADC∠BE=DC ，CE=AD∠AD=2.5cm ，DE=1.7cm ，∠CE=1.7cm ，∠DC=CE -DE=0.8cm ，∠BE=0.8cm ；故选：A ．【点睛】本题考查垂直性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键．3．A【分析】连接CF ，利用SAS 可证ADF CEF ≌，从而得出,=∠=∠DF FE AFD CFE ，从而求出90EFD ∠=︒，即可判断∠；根据全等三角形的性质可得=ADF CEF SS ，从而得出四边形CDFE 的面积为12ABC S ，从而判断∠；延长DF 到G 使FG DF =，连接,EG BG ，证出AD BG =和DE EG =，最后根据三角形的三边关系即可判断∠．【详解】解：如图，连接CF ．∠AC BC =，F 为AB 的中点，∠CF AB ⊥，12∠=∠=ACF BCF ACB ． ∠90ACB ∠=︒，∠45∠=∠=∠=︒A ACF BCF ，∠CF AF =．又∠AD CE =，∠ADF CEF ≌．∠,=∠=∠DF FE AFD CFE ，∠90AFD CFD ∠+∠=︒，∠90∠+∠=︒CFE CFD ，∠90EFD ∠=︒，∠DEF 是等腰直角三角形．∠正确．∠ADF CEF ≌，∠=ADF CEF S S ，∠四边形CDFE 的面积为12+=+==CDF CEF CDF MDF AFC ABC SS S S S S ． ∠11883222=⨯=⨯⨯=ABC S AC BC ， ∠四边形CDFE 的面积为16，为定值．∠正确．延长DF 到G 使FG DF =，连接,EG BG ．∠AF BF =，∠=∠AFD BFG ，DF FG =，∠ADF BCF ≌△△，∠AD BG =．∠90EFD ∠=︒，∠EF DF ⊥，∠DE EG =．在EBG 中，∠+>BG BE EG ，∠AD BE DE +>．∠正确．∠∠∠均正确，故选A ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．4．5【分析】如图，作辅助线；首先证明DOE OMC ∆≅∆，得到OC DE =，CM OE =；其次证明BE DE =，求出OE ，即可解决问题．【详解】解：如图，过点D 作DE OB ⊥于点E ；DEO DOM C ∠=∠=∠，DOE COM COM CMO ∴∠+∠=∠+∠，DOE OMC ∴∠=∠；由题意得：OD OM =；在DOE ∆与OMC ∆中，DOE OMC DEO OCM OD OM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DOE OMC AAS ∴∆≅∆，1DE OC ∴==，CM OE =；ABC ∆为等腰直角三角形，45B ∴∠=︒，45BDE ∠=︒，1BE DE ∴==，7115OE =--=，5CM OE ∴==，故答案为5．【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造全等三角形；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．5．1.2【分析】先根据等角的余角相等得出∠EBC =∠DCA ，再根据AAS 证明∠CEB ∠∠ADC ，然后利用全等三角形的性质并结合已知数据即可求得结果.【详解】解∠BE ∠CE ，AD ∠CE ，∠∠E =∠ADC =90°，∠∠EBC +∠BCE =90°.∠∠BCE +∠ACD =90°，∠∠EBC =∠DCA .在∠CEB 和∠ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠CEB ∠∠ADC (AAS)，∠BE=DC ，CE=AD =3cm∠DC=CE −DE ，DE =1.8cm ，∠DC =3－1.8=1.2cm ，∠BE =1.2cm故答案为：1.2cm【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，难度不大，熟练掌握三角形全等的判定和方法是关键.6．()6,10【分析】过点C 作CD∠y 轴于点D ，由∠ABC 为等腰直角三角形即可得出∠ABC ＝90°、AB ＝BC ，通过角的计算即可得出∠ABO ＝∠BCD ，再结合∠CDB ＝∠BOA ＝90°即可利用AAS 证出∠ABO∠∠BCD ，由此即可得出BD 、CD 的长度，进而可得出点C 的坐标．【详解】解：过点C 作CD∠y 轴于点D ，如图所示．∠∠ABC 为等腰直角三角形，∠∠ABC ＝90°，AB ＝BC ．∠CD∠BD ，BO∠AO ，∠∠CDB ＝∠BOA ＝90°．∠∠CBD+∠ABO ＝90°，∠CBD+∠BCD ＝90°，∠∠ABO ＝∠BCD ．在∠ABO 和∠BCD 中，==90ABO BCD BOA CDB AB BC ∠=∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪=⎩，∠∠ABO∠∠BCD （AAS ），∠BD ＝AO ，CD ＝BO ，∠A （4，0），B （0，6），∠BD ＝4，CD ＝6，∠点C 的坐标为()6,10，故答案为：()6,10．【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C 点作垂直于x 轴的垂线还是垂直于y 轴的垂线是解题关键．7．4【分析】根据已知条件及互余关系可证∠ABD ∠∠CAE ，得出BD ＝AE ＝8，AD ＝CE ，求出AD ＝4，即可得出答案．【详解】解：∠BD ∠DE ，CE ∠DE ，∠∠D ＝∠E ＝90°，∠ABD +∠BAD ＝90°，∠AB ∠AC ，∠∠BAD +∠EAC ＝90°，∠∠ABD ＝∠EAC ，在∠ABD和∠CAE中，D EAB CAABD EAC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ABD∠∠CAE（ASA），∠BD＝AE＝8，AD＝CE，∠AD＝ED﹣AE＝12﹣8＝4，∠CE＝4故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角的余角相等．找到证明三角形全等的条件，证明三角形全等是解题的关键．8．6【分析】根据垂直的定义得到∠AEC＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∠AE∠CE于点E，BD∠CD于点D，∠∠AEC＝∠D＝90°，在Rt∠AEC与Rt∠CDB中AC BC AE CD ⎧⎨⎩＝＝，∠Rt∠AEC∠Rt∠CDB（HL），∠CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，∠DE＝CD−CE＝10−4＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．9．11【分析】根据题意易得∠AEB∠∠DFA，则有BE=AF，DF=AE，进而问题可得解．【详解】解：∠四边形ABCD是正方形，∠AD=AB，∠DAB=90°，∠BE a ⊥，DF a ⊥，∠∠DFA=∠AEB=90°，∠∠FAD+∠ADF=90°，又∠∠FAD+∠BAE=90°，∠∠ADF=∠BAE ，∠∠AEB∠∠DFA ，∠3BE =，8DF =，∠BE=AF=3，DF=AE=8，∠EF=AF+AE=3+8=11；故答案为11．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及正方形的性质是解题的关键．10．8．【分析】作DH ∠BC ，证明ABC CHD ≌，根据全等三角形的性质得到DH ＝BC ＝4，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：过点D 作DH ∠BC ，交BC 的延长线于点H ，∠∠ABC ＝90°，∠∠BAC +∠ACB ＝90°，∠∠ACD ＝90°，∠∠HCD +∠ACB ＝90°，∠∠BAC ＝∠HCD ，在∠ABC 和∠CHD 中，BAC HCD ABC CHD AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC CHD ≌（AAS ），∠DH ＝BC ＝4，∠BCD 的面积＝1144822BC DH =⨯⨯=（cm 2）， 故答案为：8．【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．11【分析】先证得∠ADF ≅∠BAE ，再利用等量代换即可求得阴影部分的面积等于∠AOD 的面积．【详解】正方形ABCD 中，∠DAF=∠ABE=90︒，AD=AB ，∠AE∠DF ，∠∠DOA=∠DAF =90︒，∠∠DAO+∠ADF =∠DAO +∠FAO =90︒，∠∠ADF =∠FAO ，在∠ADF 和∠BAE 中， ADF FAO AD ABDAF ABE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ADF ≅∠BAE ，∠ADF BAE SS =， ∠ADF AOF BAE AOF S SS S -=-， ∠AOF SS ==阴影．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得阴影部分的面积等于∠AOD 的面积是解题的关键．12．（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据DB∠BC ，CF∠AE ，得出∠D ＝∠AEC ，再结合∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，证明∠DBC∠∠ECA ，即可得证；（2） 由（1）可得∠DBC∠∠ECA ，可得CE=BD ，根据BC=AC=12cm AE 是BC 的中线，即可得出12CE BC =，即可得出答案． 【详解】证明：（1）证明：∠DB∠BC ，CF∠AE ，∠∠DCB ＋∠D ＝∠DCB ＋∠AEC ＝90°．∠∠D ＝∠AEC ．又∠∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ， 在∠DBC 和∠ECA 中90D AEC DBC ECA BC AC ∠∠∠∠⎪⎩︒⎧⎪⎨＝＝＝＝，∠∠DBC∠∠ECA （AAS ）．∠AE ＝CD ；（2） 由（1）可得∠DBC∠∠ECA∠CE=BD ，∠BC=AC=12cm AE 是BC 的中线， ∠162CE BC cm ==， ∠BD=6cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，证明∠DBC∠∠ECA 解题关键．13．（1）见详解；（2）见详解；（3）DE+BE=AD ，理由见详解【分析】（1）由题意易得∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE=∠CAD ，进而问题可得证；（2）由（1）可得AD=CE ，BE=CD ，进而根据线段的数量关系可求证；（3）由题意易证∠ADC∠∠CEB，则有AD=CE，BE=CD，进而问题可求解．【详解】解：（1）∠AD∠MN，BE∠MN，∠∠ADC=∠CEB=90°，∠∠ACB=90°，∠∠DCA+∠BCE=90°，∠∠DCA+∠CAD=90°，∠∠BCE=∠CAD，∠AC=CB，∠∠BCE∠∠CAD（AAS）；（2）由（1）得：∠BCE∠∠CAD，∠AD=CE，BE=CD，∠DE=DC+CE，∠DE=AD+BE；（3）AD=DE+BE，理由如下：∠AD∠MN，BE∠MN，∠∠ADC=∠CEB=90°，∠∠ACB=90°，∠∠DCA+∠BCE=90°，∠∠DCA+∠CAD=90°，∠∠BCE=∠CAD，∠AC=CB，∠∠BCE∠∠CAD（AAS），∠DC=BE，AD=CE，∠CE=CD+DE，∠AD=DE+BE．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，数量掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．14．见解析【分析】由题意易证∠ABC∠∠DEB ，则有BC=BE ，∠EBD=∠BCA ，进而问题可证．【详解】证明： 在∠ABC 和∠DEB 中，12A D AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABC∠∠DEB （AAS ），∠BC=EB ，∠∠1=∠2，∠2+∠DBE=90°，∠∠1+∠DBE=90°，∠∠CBE=180°﹣（∠1+∠DBE ）=90°，∠∠BCE 是等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质及等腰直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．15．（1）见解析；（2）见解析；（3）DE ＝BE ﹣AD【分析】（1）由题意易得∠DAC+∠ACD ＝90°，则∠DAC ＝∠BCE ，进而可证∠ADC∠∠CEB ，然后根据全等三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE ，进而可证∠CAD∠∠BCE ，然后根据全等三角形的性质可求解；（3）根据题意可证∠CAD∠∠BCE ，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∠AD∠MN ，BE∠MN ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠DAC+∠ACD ＝90°，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCE+∠ACD ＝90°，∠∠DAC ＝∠BCE ，在∠ADC 和∠CEB ，ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADC∠∠CEB （AAS ），∠CD ＝BE ，AD ＝CE ，∠DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：∠AD∠MN ，BE∠MN ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠DAC+∠ACD ＝90°，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCE+∠ACD ＝90°，∠∠DAC ＝∠BCE ，∠AC=BC ，∠∠ADC∠∠CEB ，∠CD ＝BE ，AD ＝CE ，∠DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下：∠AD∠MN ，BE∠MN ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠DAC+∠ACD ＝90°，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCE+∠ACD ＝90°，∠∠DAC ＝∠BCE ，∠AC=BC ，∠∠ADC∠∠CEB ，∠CD ＝BE ，AD ＝CE ，∠DE ＝BE ﹣AD ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．16．（1）见详解；（2）砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【分析】（1）根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD∠DE ，BE∠DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明∠ADC∠∠CEB 即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【详解】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD∠DE ，BE∠DE ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，∠∠BCE ＝∠DAC ，在∠ADC 和∠CEB 中ADC CEB DAC BCE AC BC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠ADC∠∠CEB （AAS ）；（2）解：由题意得：∠一块墙砖的厚度为a ，∠AD ＝4a ，BE ＝3a ，由（1）得：∠ADC∠∠CEB ，∠DC ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，∠DC ＋CE ＝BE ＋AD ＝7a ＝35，∠a ＝5，答：砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 17．见解析【分析】根据题意易得Rt∠ACE∠Rt∠CBF ，则有∠EAC ＝∠BCF ，然后根据等角的余角相等及领补角可求证．【详解】证明：如图，在Rt∠ACE 和Rt∠CBF 中，AC BC AE CF =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ACE∠Rt∠CBF （HL ），∠∠EAC ＝∠BCF ，∠∠EAC+∠ACE ＝90°，∠∠ACE+∠BCF ＝90°，∠∠ACB ＝180°﹣90°＝90°．【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键．18．见解析【分析】根据HL 证明Rt∠DAE∠Rt∠EBC 即可求解．【详解】解：（1）证明：∠ DA∠AB ，CB∠AB ，∠ ∠A ＝∠B ＝90°又∠∠1＝∠2∠DE ＝CE在Rt∠DAE 和Rt∠EBC 中，AE CE AD BE=⎧⎨=⎩ ∠Rt∠DAE∠Rt∠EBC （HL ）∠AE ＝BC ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．19．（1）证明见解析；（2）结论：EP ＝FQ ，证明见解析；（3）结论：EH ＝FH ，理由见解析；（4）60．【分析】（1）根据等腰Rt∠ABE 的性质，求出∠EPA ＝∠EAB ＝∠AGB ＝90°，∠PEA ＝∠BAG ，根据AAS 推出∠EPA∠∠AGB ．（2）根据全等三角形的性质推出EP ＝AG ，同理可得∠FQA∠∠AGC ，即可得出AG ＝FQ ，最后等量代换即可得出答案．（3）求出∠EPH ＝∠FQH ＝90°，根据AAS 推出∠EPH∠∠FQH ，即可得出EH 与FH 的大小关系．（4）根据全等三角形∠EPH∠∠FQH ，∠EPA∠∠AGB ，∠FQA∠∠AGC ，推出S ∠FQA ＝S ∠AGC ，S ∠FQH ＝S ∠EPH ，S ∠EPA ＝S ∠AGB ，即可求出S ∠AEF ＝S ∠ABC ，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：（1）如图1，∠∠EAB ＝90°，EP∠AG ，AG∠BC ，∠∠EPA ＝∠EAB ＝∠AGB ＝90°，∠∠PEA+∠EAP ＝90°，∠EAP+∠BAG ＝90°，∠∠PEA ＝∠BAG ，在∠EPA 和∠AGB 中，EPA BGA PEA BAG AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠EPA∠∠AGB （AAS ），（2）结论：EP ＝FQ ，证明：由（1）可得，∠EPA∠∠AGB ，∠EP ＝AG ，如图1，∠∠FAC ＝90°，FQ∠AG ，AG∠BC ，∠∠FQA ＝∠FAC ＝∠CGA ＝90°，∠∠FAQ+∠AFQ ＝90°，∠FAQ+∠GAC ＝90°，∠∠AFQ ＝∠GAC ，在∠QFA 和∠GAC 中，FQA CGA FAQ CAG AF AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠QFA∠∠GAC （AAS ），∠AG ＝FQ ，∠EP ＝FQ ；（3）结论：EH ＝FH ，理由：如图，∠EP∠AG ，FQ∠AG ，∠∠EPH ＝∠FQH ＝90°，在∠EPH 和∠FQH 中，EHP FHQ EPH FQH EP FQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠EPH∠∠FQH （AAS ），∠EH ＝FH ．（4））∠∠EPH∠∠FQH ，∠EPA∠∠AGB ，∠FQA∠∠AGC ，∠S ∠FQA ＝S ∠AGC ，S ∠FQH ＝S ∠EPH ，S ∠EPA ＝S ∠AGB ，∠S ∠AEF ＝S ∠EPA +S ∠FQA＝S ∠AGB +S ∠AGC＝S ∠ABC ＝12×BC×AG ＝12×10×12 ＝60故答案为：60．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．20．详见解析【解析】【分析】延长BF 至G ，使FG BF =，连结EG ，得BFD GFE ∆∆≌，90DBF G ∠=∠=︒，BF=GF，再证ABC BEG ∆∆≌，得2AC BG BF ==.【详解】证明：延长BF 至G ，使FG BF =，连结EG ，在∠BDF 和∠GEF 中，BF=GF BFD=GFE DF=EF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∠BDF GEF ∆∆≌ ，∠90DBF G ∠=∠=︒，BF=GF ，∠BG=2BF ，∠BE∠BA ，∠∠C=∠G=90°，∠A=∠EBG ，在∠ABC 和∠BEG 中，C=G A=EBG AB=BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∠ABC BEG ∆∆≌，∠AC=BG=2BF.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．21．点A 的坐标为()2,1-【解析】【分析】过点A 作AE x ⊥轴于点E ，先证出ACE CBO ∆∆≌，则CE=BO=3，1AE OC ==，根据点A 在第二象限即可得点A 的坐标．【详解】解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，∠在直角坐标系中，点()0,3B -，点()1,0C ，∠BO=3，OC=1，OC∠OB∠,AC BC AC BC =⊥∠OBC ECA ∠=∠ ，BOC CEA ∠=∠∠ACE CBO ∆∆≌，CE BO ∴==3，1AE OC ==，∠点A 在第二象限，∴点A 的坐标为()2,1-.故答案为点A 的坐标为()2,1-.【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形，要注意第二象限点的坐标符号是（-，+）．22．见解析【详解】通过证明两个三角形全等，可以证明两条对应线段相等．。

2024年安徽省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2024•安徽）（﹣2）×3的结果是（）A．﹣5 B．1C．﹣6 D．6考点：有理数的乘法．分析：依据两数相乘同号得正，异号得负，再把肯定值相乘，可得答案．解答：解：原式=﹣2×3=﹣6．故选：C．点评：本题考查了有理数的乘法，先确定积的符号，再进行肯定值的运算．2．（4分）（2024•安徽）x2•x3=（）A．x5B．x6C．x8D．x9考点：同底数幂的乘法．分析：依据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n计算即可．解答：解：x2•x3=x2+3=x5．故选A．点评：主要考查同底数幂的乘法的性质，娴熟驾驭性质是解题的关键．3．（4分）（2024•安徽）如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简洁几何体的三视图．分析：俯视图是从物体上面看所得到的图形．解答：解：从几何体的上面看俯视图是，故选：D．点评：本题考查了几何体的三种视图，驾驭定义是关键．留意全部的看到的棱都应表现在三视图中．4．（4分）（2024•安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（）A．a2+1 B．a2﹣6a+9 C．x2+5y D．x2﹣5y考点：因式分解的意义．分析：依据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．解答：解：A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解；B、是完全平方公式的形式，故B能分解因式；故选：B．点评：本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．5．（4分）（2024•安徽）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x（单位：mm）的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度的数据在8≤x＜32这个范围的频率为（）棉花纤维长度x频数0≤x＜8 18≤x＜16 216≤x＜24 824≤x＜32 632≤x＜40 3A．0.8 B．0.7 C．0.4 D．0.2考点：频数（率）分布表．分析：求得在8≤x＜32这个范围的频数，依据频率的计算公式即可求解．解答：解：在8≤x＜32这个范围的频数是：2+8+6=16，则在8≤x＜32这个范围的频率是：=0.8．故选A．点评：本题考查了频数分布表，用到的学问点是：频率=频数÷总数．6．（4分）（2024•安徽）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（）A．5B．6C．7D．8考点：估算无理数的大小．分析：首先得出＜＜，进而求出的取值范围，即可得出n的值．解答：解：∵＜＜，∴8＜＜9，∵n＜＜n+1，∴n=8，故选；D．点评：此题主要考查了估算无理数，得出＜＜是解题关键．7．（4分）（2024•安徽）已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为（）A．﹣6 B．6C．﹣2或6 D．﹣2或30考点：代数式求值．分析：方程两边同时乘以2，再化出2x2﹣4x求值．解答：解：x2﹣2x﹣3=02×（x2﹣2x﹣3）=02×（x2﹣2x）﹣6=02x2﹣4x=6故选：B．点评：本题考查代数式求值，解题的关键是化出要求的2x2﹣4x．8．（4分）（2024•安徽）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A 点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4D．5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，依据中点的定义可得BD=3，在Rt△ABC 中，依据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2++32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．9．（4分）（2024•安徽）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点动身，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记P A=x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，依据同角的余角相等求出∠APB=∠P AD，再利用相像三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．解答：解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D 到AP 的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠P AD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠P AD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，即=，∴y=，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选B．点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相像三角形的判定与性质，难点在于依据点P的位置分两种状况探讨．10．（4分）（2024•安徽）如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满意：①点D到直线l的距离为；②A、C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4考点：正方形的性质．分析：连接AC与BD相交于O，依据正方形的性质求出OD=，然后依据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．解答：解：如图，连接AC与BD相交于O，∵正方形ABCD的对角线BD长为2，∴OD=，∴直线l∥AC并且到D的距离为，同理，在点D的另一侧还有一条直线满意条件，故共有2条直线l．故选B．点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线相互垂直平分，点D到O的距离小于是本题的关键．czsx二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2024•安徽）据报载，2024年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为 2.5×107．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的肯定值与小数点移动的位数相同．当原数肯定值＞1时，n是正数；当原数的肯定值＜1时，n是负数．解答：解：将25000000用科学记数法表示为2.5×107户．故答案为：2.5×107．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（5分）（2024•安徽）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=a（1+x）2．考点：依据实际问题列二次函数关系式．分析：由一月份新产品的研发资金为a元，依据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了依据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．13．（5分）（2024•安徽）方程=3的解是x=6．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x﹣12=3x﹣6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解．故答案为：6．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程肯定留意要验根．14．（5分）（2024•安徽）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中肯定成立的是①②④．（把全部正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF （ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．解答：解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDE，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故答案为：①②④．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等学问，得出△AEF≌△DME是解题关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）（2024•安徽）计算：﹣|﹣3|﹣（﹣π）0+2024．考点：实数的运算；零指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用平方根定义化简，其次项利用肯定值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，计算即可得到结果．解答：解：原式=5﹣3﹣1+2024=2024．点评：此题考查了实数的运算，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键．16．（8分）（2024•安徽）视察下列关于自然数的等式：32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…依据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92﹣4×42=17；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．考点：规律型：数字的改变类；完全平方公式．分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3起先连续奇数的平方，减数是从1起先连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．解答：解：（1）32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…所以第四个等式：92﹣4×42=17；（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．左边=右边∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．点评：此题考查数字的改变规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）（2024•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相像比不为1．考点：作图—相像变换；作图－平移变换．分析：（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）利用相像图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案．解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．点评：此题主要考查了相像变换和平移变换，得出变换后图形对应点位置是解题关键．18．（8分）（2024•安徽）如图，在同一平面内，两条平行高速马路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速马路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速马路间的距离（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用．分析：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，依据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，依据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，依据三角函数求得FG，再依据EG=BE+BF+FG即可求解．解答：解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×=10km，在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，CF=BF•sin30°=×=km，DF=CD﹣CF=（30﹣）km，在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．故两高速马路间的距离为（25+5）km．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）（2024•安徽）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相像三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再依据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，则可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，然后利用相像比可计算出⊙O的半径OC=9；接着在Rt△OCF中，依据勾股定理可计算出C=3，由于OF⊥CD，依据垂径定理得CF=DF，所以CD=2CF=6．解答：解：∵OE⊥AB，∴∠OEF=90°，∵OC为小圆的直径，∴∠OFC=90°，而∠EOF=∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，∴⊙O的半径OC=9；在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，∴CF==3，∵OF⊥CD，∴CF=DF，∴CD=2CF=6．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和相像三角形的判定与性质．20．（10分）（2024•安徽）2024年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2024年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2024年处理的这两种垃圾数量与2024年相比没有改变，就要多支付垃圾处理费8800元．（1）该企业2024年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？（2）该企业安排2024年将上述两种垃圾处理总量削减到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2024年该企业最少须要支付这两种垃圾处理费共多少元？考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设该企业2024年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，依据等量关系式：餐厨垃圾处理费25元/吨×餐厨垃圾吨数+建筑垃圾处理费16元/吨×建筑垃圾吨数=总费用，列方程．（2）设该企业2024年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，须要支付这两种垃圾处理费共a元，先求出x的范围，由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，代入求解．解答：解：（1）设该企业2024年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，依据题意，得，解得．答：该企业2024年处理的餐厨垃圾80吨，建筑垃圾200吨；（2）设该企业2024年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，须要支付这两种垃圾处理费共a元，依据题意得，，解得x≥60．a=100x+30y=100x+30（240﹣x）=70x+7200，由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，最小值=70×60+7200=11400（元）．答：2024年该企业最少须要支付这两种垃圾处理费共11400元．点评：本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，找准等量关系正确的列出方程是解决本题的关键；六、（本题满分12分）21．（12分）（2024•安徽）如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）三根绳子选择一根，求出所求概率即可；（2）列表得出全部等可能的状况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的状况数，即可求出所求概率．解答：解：（1）三种等可能的状况数，则恰好选中绳子AA1的概率是；（2）列表如下：A B CA1（A，A1）（B，A1）（C，A1）B1（A，B1）（B，B1）（C，B1）C1（A，C1）（B，C1）（C，C1）全部等可能的状况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的状况有6种，则P==．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的学问点为：概率=所求状况数与总状况数之比．七、（本题满分12分）22．（12分）（2024•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A （1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：新定义．分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后依据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0﹣1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类探讨的思想，考查了阅读理解实力．而对新定义的正确理解和分类探讨是解决其次小题的关键．八、（本题满分14分）23．（14分）（2024•安徽）如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．（1）①∠MPN=60°；②求证：PM+PN=3a；（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，推断四边形OMGN是否为特别四边形？并说明理由．考点：四边形综合题．分析：（1）①运用∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC求解，②作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解，（2）连接OE，由△OMA≌△ONE证明，（3）连接OE，由△OMA≌△ONE，再证出△GOE≌△NOD，由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形．，解答：解：（1）①∵四边形ABCDEF是正六边形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°又∴PM∥AB，PN∥CD，∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°，故答案为；60°．②如图1，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN 于点K，MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，∴GM=AM，HL=BP，PL=PM，NK=ND，∵AM=BP，PC=DN，∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．（2）如图2，连接OE，∵四边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，∴AM=BP=EN，又∵∠MAO=∠NOE=60°，OA=OE，在△ONE和△OMA中，∴△OMA≌△ONE（SAS）∴OM=ON．（3）如图3，连接OE，由（2）得，△OMA≌△ONE∴∠MOA=∠EON，∵EF∥AO，AF∥OE，∴四边形AOEF是平行四边形，∴∠AFE=∠AOE=120°，∴∠MON=120°，∴∠GON=60°，∵∠GON=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，∴∠GOE=∠DON，∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，在△GOE和∠DON中，∴△GOE≌△NOD（ASA），∴ON=OG，又∵∠GON=60°，∴△ONG是等边三角形，∴ON=NG，又∵OM=ON，∠MOG=60°，∴△MOG是等边三角形，∴MG=GO=MO，∴MO=ON=NG=MG，∴四边形MONG是菱形．点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是恰当的作出协助线，依据三角形全等找出相等的线段．- 21 -。

中考数学专题练习19《直角三角形》【知识归纳】1.直角三角形的定义有一个角是的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的3.直角三角形的判定(1)两个内角的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是三角形【基础检测】1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6 C．6 D．122.（·贵州安顺·3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．35.（·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC 的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+6. （·浙江省湖州市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是．7. （·湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．8．（·湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【达标检测】一．选择题1.（•毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，42．（•青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B. 2 C.3 D. +23. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是A．5 B．10 C．12 D．135.（·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．106. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°7. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )（第11题图）A. 21B. 20C. 19D. 188．（·四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2 C．3 D．29．（·湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B． C． D．二．填空题10．（湖北省鄂州市，15，3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．11．（·四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是．12.（·四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．13. （·湖北武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA ＝55，则BD的长为_______．14. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，=1.73）．15. （·江西·3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．DO CEBA图4三．解答题16．（江西，23，10分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．17.（·湖北咸宁）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．【知识归纳答案】1.直角三角形的定义有一个角是 90°的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形的判定(1)两个内角和为90°的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2=c2逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形【基础检测答案】1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6C．6D．12【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12sin30°=12×=6，故答选A．2.（·贵州安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B． C． D．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE=BD=×3=3，故选D．【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解．5.（四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=0.5 AB=1．故选：A．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．6. （浙江省湖州市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 5 ．【考点】作图—基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，∴AD=DB，Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB===10，∵AD=DB，∠ACB=90°，∴CD=AB=5．故答案为5．7. （湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= 3 ．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．【解答】解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3．8．（湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AO B=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE= AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2﹣，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OB，∵OA=OB=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠FAD=15°，∴∠BOF=30°，∴∠AOF=∠BOF=30°，∴OF⊥AB，∵CD∥OF，∴CD⊥AD，∵AD∥OC，∴OC⊥CD，∴CD是半圆O的切线；（2）∵BC∥OA，∴∠DBC=∠EAO=60°，∴BD=BC=AB，∴AE=AD，∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，∴，∵DH=6﹣3，∴EF=2﹣，∵OF=OA，∴OE=OA﹣（2﹣），∵∠AOE=30°，∴==，解得：OA=2．【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键．【达标检测答案】一．选择题1.（•毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4【解析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．（•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B. 2 C.3 D. +2【解析】含30度角的直角三角形．根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE 中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．故选C ．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．3. 如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC ，连接DE,则图中等腰三角形共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】D【解析】在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC 是等腰三角形． 因为BD 是△ABC 的角平分线 所以∠ABD=∠DBC=36° 所以△ABD 是等腰三角形． 在△BDC 中有三角形的内角和求出∠BDC=72° 所以△BDC 是等腰三角形．所以BD=BC=BE 所以△BDE 是等腰三角形．所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE 是等腰三角形．共5个． 故选D ．4.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是 A ．5B ．10C ．12D ．13【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE=1，又∵直角△BDE 中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2， ∴BC=CD+BD=1+2=3．【答案】D.【解析】在Rt△CAE中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：2213AE AC CE=+=又DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE=13.故选D.5.（湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选C．6. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°【答案】D．【解析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：（第11题图）∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°．故选D．7. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】A．【解析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解：∵8+8+5=21．∴这个三角形的周长为21．故选A．8．（四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．2【考点】旋转的性质．【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．9．（湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B． C． D．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴cos∠ABC==．故选D．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．二．填空题10．（湖北省鄂州市，15，3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．【解析】直角三角形斜边上的中线．【解答】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．【点评】解：连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，∴OP=AB，∵AB=20cm，∴OP=10cm，故答案为：10．11．（四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是（0，3），（0，﹣1）．【考点】坐标与图形性质．【分析】在平面直角坐标系中，根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个直角边，再根据点P的坐标即可得出答案．【解答】解：以（1，1）为圆心，为半径画圆，与y轴相交，构成直角三角形，用勾股定理计算得另一直角边的长为2，则与y轴交点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．故答案为：（0，3），（0，﹣1）．12.（四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE ⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．[答案]12 5[考点]菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式。

冲刺2020年数学中考专题练习：《直角三角形斜边上的中线》一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是（）A．24 B．25 C．30 D．362．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.53．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，ED＝3，则AE的长为（）A．1.5 B．2 C． 3 D．3.54．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝AB＝6，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的距离为整数的点有（）个．A．5 B．6 C．7 D．85．到直角三角形的三个顶点距离相等的点（）A．是该三角形三个内角平分线的交点B．是斜边上的中点C．在直角三角形的外部D．在直角三角形的内部6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝8，CD＝5，则△DCG的面积是（）A．B．C．D．7．如图，已知A（3，6）、B（0，n）（0＜n≤6），作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC 的中点，若P（，0），则PM的最小值为（）A．3 B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，则CD等于（）A．3 B．4 C．D．9．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC的中点，延长AC到F，使得CF＝AC，连接EF．若EF＝4，则AB的长为（）A．8 B．C．4 D．10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（）A．B．C．3 D．4二．填空题11．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC ＝8，则△DEF的周长是．12．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD＝3，CE＝5，则CD等于．14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD ＝∠CAB＝28°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC 至F，使CF＝BC，若EF＝13，则线段AB的长为．16．如图，DE是Rt△ABD的斜边AB上的中线，AB＝12，在ED上找一点F，使得DF＝2，连结AF并延长至C，使得AF＝CF，连结CD，CB，则CB长为．三．解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD 于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．（1）求∠B的度数：（2）求证：BC＝3CE．18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC 交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD．（1）求∠EDC的度数．（2）求证：BF＝AE．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连结ED，求△EDC的面积．20．如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵CE是斜边AB上的中线，∴AB＝2CE＝2×6＝12，∴S△ABC＝×CD×AB＝×5×12＝30，故选：C．2．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∴BD＝AD，∵AD＝6，∴BD＝6，∵P点是BD的中点，∴CP＝BD＝3．故选：A．3．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵DE∥AB，∴AE＝CE，∴DE＝AE＝AB＝3，故选：C．4．解：如图，取AB的中点D，连接CD．∵AC＝BC＝AB＝6．∵点D是AB边中点，∴BD＝AB＝3，∴CD＝＝3；连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD＝AB＝3，∴3﹣3≤OD+CD≤3+3．∴点C到点O的距离为整数的点有5个，故选：A．5．解：∵在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，∴直角三角形斜边的中点到直角三角形的三个顶点距离相等的点，故选：B．6．解：连接DE，∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，∴AE＝ED＝BE，∵CD＝AE．∴ED＝CD，∵DG⊥CE于点G，∴EG＝GC，∵BD＝8，CD＝5，∴DE＝5，∴AB＝10，∴AD＝6，过E作EF⊥BC于F，∵△ABC的面积＝，∴△BEC的面积＝，∵△BED的面积＝，∴△EDC的面积＝﹣12＝，∴△DGC的面积＝，故选：D．7．解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝6，∵∠BAC＝∠AHB＝∠A EC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，∴OC＝HE＝3+2x，OB＝6﹣x，∴B（0，6﹣x），C（3+2x，0）∵BM＝CM，∴M（，），∵P（，0），∴PN＝ON﹣OP＝﹣＝x，∴PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+，∴x＝时，PM2有最小值，最小值为，∴PM的最小值为＝．故选：D．8．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝3，∴DE＝2，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD＝＝，故选：C．9．解：连接CD，∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC，DE＝AC．∵延长AC到F，使得CF＝AC，∴DE∥CF且DE＝CF，∴四边形CDEF是平行四边形．∴CD＝EF＝4．∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB中线，∴AB＝2CD＝8．故选：A．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D CE＝90°，OD＝OB，∵DF＝FE，∴CF＝FE＝FD，∵EC+EF+CF＝18，EC＝5，∴EF+FC＝13，∴DC＝＝12，∴BC＝CD＝12，∴BE＝BC﹣EC＝7，∵OD＝OB，DF＝FE，∴OF＝BE＝，故选：A．二．填空题（共6小题）11．解：∵CD⊥AB，F为BC的中点，∴DF＝BC＝×8＝4，∵BE⊥AC，F为BC的中点，∴EF＝BC＝×8＝4，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝5+4+4＝13．故答案为：13．12．解：连接EB、ED，∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝AC，同理，DE＝AC，∴EB＝ED，又F是BD的中点，∴EF⊥BD，∴∠EFO＝90°，故答案为：90°．13．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝3，∴DE＝2，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD＝，故答案为：14．解：∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，∴DF＝AC＝AF，∴∠FDA＝∠CAD＝28°，∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF＝AB，EF∥AB，∴∠EFC＝∠CAB＝28°，∴∠EFD＝56°+28°＝84°，∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠EDF＝∠DEF＝×（180°﹣84°）＝48°，故答案为：48°．15．解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，又DE∥CF，∴四边形DEFC为平行四边形，∴CD＝EF＝13，∵∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，∴AB＝2CD＝26，故答案为：26．16．解：∵DE是Rt△ABD的斜边AB上的中线，∴DE＝AB＝6，∴EF＝DE﹣DF＝4，∵AF＝CF，AE＝EB，∴BC＝2EF＝8，故答案为：8．三．解答题（共4小题）17．解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠CAF，∵∠EAD＝∠DCB，∴∠CAD＝2∠DCB，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠DCB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠B＝30°；（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，∴AE＝BE，CE＝AE，∴BC＝3CE．18．解：（1）∵∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∵∠FBC＝2∠FBD．∴∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，∵∠ABC＝90°，点F是AC中点，∴AF＝BF＝CF，∴∠C＝∠FBC＝30°，∴∠EDC＝∠C+∠DBC＝75°；（2）∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2AB，∴AB＝AF＝BF，∵AE∥BC，∴∠E＝∠DBC＝45°＝∠ABD，∴AB＝AE，∴AE＝BF．19．（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝E G．（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13﹣5＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BF＝4，∴EF＝＝＝3，∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．20．（1）证明：如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠A），＝360°﹣2∠A，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠A），＝2∠A﹣180°．。

一、选择题1. （2021贵州遵义第6题）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（）A．45°B．30°C．20°D．15°【答案】D.考点：平行线的性质．.2. （2021贵州遵义第10题）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】A.考点：三角形中位线定理；三角形的面积．3. （2021贵州遵义第12题）如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，则FC的长为（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C.【解析】试题分析：∵AD是∠BAC的平分线，AB=11，AC=15，∴1115 BD ABCD AC==,∵E是BC中点，∴11151321515 CECA+==,∵EF∥AD，.∴1315 CF CECA CD==，∴CF=1315CA=13．故选C．考点：平行线的性质；角平分线的性质．.4. （2021湖南株洲第5题）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（）A．145°B．150°C．155°D．160°【答案】B.考点：三角形内角和定理．5. （2021湖南株洲第10题）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．2D．2【答案】D.【解析】试题分析：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF =∠3+∠DFQ =45°，∴∠QEF =∠DFQ ，∵∠2=∠3， ∴△DQF ∽△FQE ，∴12DQ FQ DF FQ QE EF ===， ∵DQ =1，∴FQ =2，EQ =2，∴EQ +FQ =2+2， 故选D. .考点：旋转的性质；平行线的判定与性质；等腰直角三角形．6. （2021内蒙古通辽第7题）志远要在报纸上刊登广告，一块cm cm 510⨯的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（ ） A ．540元 B ．1080元 C.1620元 D ．1800元 【答案】C考点：相似三角形的应用7. （2021郴州第8题）小明把一副45,30的直角三角板如图摆放，其中00090,45,30C F A D ∠=∠=∠=∠=，则αβ∠+∠等于 （ ）A ．0180 B ．0210 C ．0360 D ．0270【答案】B ．【解析】试题分析：∵∠α=∠1+∠D ，∠β=∠4+∠F ，∴∠α+∠β=∠1+∠D +∠4+∠F =∠2+∠D +∠3+∠F =∠2+∠3+30°+90°=210°，故选B ．考点：三角形的外角的性质. .8. （2021广西百色第10题）如图，在距离铁轨200米处的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60︒方向上，10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒.A ．20(31)+B ．20(31)- C. 200 D ．300 【答案】A考点：1.解直角三角形的应用﹣方向角问题；2.勾股定理的应用．9. （2021哈尔滨第8题）在Rt ABC △中，90C ∠°，4AB ，1AC ，则cos B 的值为( ) A.154B.14C.1515D.41717【答案】A 【解析】试题分析：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =1，∴BC =2241- =15，则cosB =BCAB=154，故选A .考点：锐角三角函数的定义．10. （2021哈尔滨第9题）如图，在ABC △中，,D E 分别为,AB AC 边上的点，DE BC ∥，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点E ，则下列结论中一定正确的是( )A.ADAEAB ECB.AC AEGF BDC.BD CEAD AED.AG ACAF EC【答案】C考点：相似三角形的判定与性质．11. （2021黑龙江绥化第6题）如图， A B C '''∆是ABC ∆在点O 为位似中心经过位似变换得到的，若A B C '''∆的面积与ABC ∆的面积比是4:9，则:OB OB '为（ ）A．2:3B．3:2C．4:5D．4:9【答案】A考点：位似变换．12. （2021黑龙江绥化第9题）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，BCA约为29，则该楼梯的高度AB可表示为（）A．3.5sin29米B．3.5cos29米C．3.5tan29米D．3.5 cos29米【答案】A 【解析】试题分析：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB=ABBC，∴AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°，故选A．.考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．13. （2021湖南张家界第5题）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）A ．6B ．12C ．18D ．24 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴AD =12AB ，AE =12AC ，DE =12BC ，∴△ABC 的周长=AB +AC +BC =2AD +2AE +2DE =2（AD +AE +DE ）=2×6=12．故选B ．. 考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．14. （2021辽宁大连第8题）如图，在ABC ∆中，090=∠ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，点E 是AB 的中点，a DE CD ==，则AB 的长为（ ）A ．a 2B ．a 22 C. a 3 D ．a 334 【答案】B.考点：直角三角形斜边上的中线.15. （2021海南第13题）已知△ABC 的三边长分别为4、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条． A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B.考点：等腰三角形的性质.16. （2021河池第9题）三角形的下列线段中，能将三角形分成面积相等的两部分是（） A ．中线 B ．角平分线 C.高 D ．中位线 【答案】A. 【解析】试题分析：根据等底等高的三角形的面积相等解答． ∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形， ∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分． 故选A ．考点：三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高.17. （2021河池第12题）已知等边ABC ∆的边长为12，D 是AB 上的动点，过D 作AC DE ⊥于点E ，过E 作BC EF ⊥于点F ，过F 作AB FG ⊥于点G .当G 与D 重合时，AD 的长是（） A ．3 B ．4 C. 8 D ．9 【答案】B. 【解析】试题分析：设AD =x ，根据等边三角形的性质得到∠A =∠B =∠C =60°，由垂直的定义得到∠ADF =∠DEB =∠EFC =90°，解直角三角形即可得到结论．. 设AD =x ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°， ∵DE ⊥AC 于点E ，EF ⊥BC 于点F ，FG ⊥AB ，∴∠ADF =∠DEB =∠EFC =90°，∴AF =2x ，∴CF =12﹣2x ， ∴CE =2CF =24﹣4x ，∴BE =12﹣CE =4x ﹣12，∴BD =2BE =8x ﹣24，∵AD+BD=AB，∴x+8x﹣24=12，∴x=4，∴AD=4．故选B．考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形. .18. （2021贵州六盘水第12题）三角形的两边,a b的夹角为60°且满足方程23240x x，则第三边长的长是( )A.6B.22C.23D.32【答案】考点：一元二次方程；勾股定理.二、填空题1. （2021湖南株洲第11题）如图示在△ABC中∠B=．【答案】25°. 【解析】试题分析：∵∠C =90°，∴∠B =90°﹣∠A =90°﹣65°=25°； 故答案为：25°．.考点：直角三角形的性质．2. （2021湖北咸宁第16题）如图，在ACB Rt ∆中，30,2=∠=BAC BC ，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线ON OM ,上滑动，下列结论： ①若O C 、两点关于AB 对称，则32=OA ； ②O C 、两点距离的最大值为4； ③若AB 平分CO ，则CO AB ⊥； ④斜边AB 的中点D 运动路径的长为2π. 其中正确的是 ．【答案】①②③．④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的14，则：902180π⨯=π．所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②③；考点：三角形综合题．.3. （2021湖南常德第14题）如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是．【答案】0≤CD ≤5． 【解析】试题分析：当点D 与点E 重合时，CD =0，当点D 与点A 重合时，∵∠A =90°，∠B =60°，∴∠E =30°，∴∠CDE =∠E ，∠CDB =∠B ，∴CE =CD ，CD =CB ，∴CD =12BE =5，∴0≤CD ≤5，故答案为：0≤CD ≤5． 考点：含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．.4. （2021黑龙江齐齐哈尔第17题）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是ABC ∆的“和谐分割线”，ACD ∆为等腰三角形，CBD ∆和ABC ∆相似，46A ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ．【答案】113°或92°．考点：1.相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质．5. （2021黑龙江齐齐哈尔第19题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形12OA A 的直角边1OA 在y轴的正半轴上，且1121OA A A ==，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作第三个等腰直角三角形20172018OA A ，则点2017A 的坐标为 ．【答案】（0，（2）2016）或（0，21008）．考点：规律型：点的坐标．6. （2021黑龙江绥化第20题）在等腰ABC ∆中，AD BC ⊥交直线BC 于点D ，若12AD BC =，则ABC ∆的顶角的度数为 ． 【答案】30°或150°或90°．. 【解析】试题分析：①BC 为腰， ∵AD ⊥BC 于点D ，AD =12BC ，∴∠ACD =30°， 如图1，AD 在△ABC 内部时，顶角∠C =30°，如图2，AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB =180°﹣30°=150°，②BC 为底，如图3， ∵AD ⊥BC 于点D ，AD =12BC ，∴AD =BD =CD ，∴∠B =∠BAD ，∠C =∠CAD ，∴∠BAD +∠CAD =12×180°=90°， ∴顶角∠BAC =90°，综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°．.考点：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质．7. （2021黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为 ．【答案】2n-112考点：1.三角形中位线定理；2.等腰直角三角形．8. （2021上海第15题）如图，已知AB ∥CD ，CD =2AB ，AD 、BC 相交于点E ，设AE a = ，BE b =，那么向量CD 用向量a 、b 表示为 ．【答案】2b a +考点：1.平面向量；2.平行线的性质9. （2021辽宁大连第15题）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东060方向，距离灯塔nmile 86的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东045方向上的B 处.此时，B 处与灯塔P 的距离约为 nmile .（结果取整数，参考数据：4.12,7.13≈≈）【答案】102. 【解析】试题分析：根据题意得出∠MPA =∠PAD =60°，从而知PD =AP •sin ∠PAD =433，由∠BPD =∠PBD =45°根据BP =sin PDB∠，即可求出即可．.考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用.三、解答题1. （2021湖南株洲第22题）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．【答案】①.证明见解析；②证明见解析. .【解析】试题分析：①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．2. （2021湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．①求点H到桥左端点P的距离；②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度A B．【答案】①求点H到桥左端点P的距离为250米；②无人机的长度AB为5米．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．3. （2021郴州第19题）已知ABC ∆中，ABC ACB ∠=∠，点,D E 分别为边,AB AC 的中点，求证：BE CD =.【答案】详见解析. 【解析】试题分析：由∠ABC =∠ACB 可得AB =AC ，又点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．得到AD =AE ，通过△ABE ≌△ACD ，即可得到结果．考点：全等三角形的判定及性质.4. （2021郴州第22题）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在,A C两城市间修建一条高速铁路60方向上，在线段AC上距A城市（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东030方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，120km的B处测得P在北偏东0请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？）（参考数据：3 1.732【答案】这条高速公路不会穿越保护区,理由详见解析.【解析】试题分析：作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．试题解析：结论；不会．理由如下：作PH⊥AC于H．考点：解直角三角形的应用.5. （2021郴州第26题）如图，ABC ∆是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA cm =，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1/cm s 的速度运动，当D 不与点A 重合是，将ACD ∆绕点C 逆时针方向旋转060得到BCE ∆，连接DE .（1）求证：CDE ∆是等边三角形；（2）当610t <<时，的BDE ∆周长是否存在最小值？若存在，求出BDE ∆的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以,,D E B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在，23+4；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD3，∴△BDE的最小周长=CD3；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，③当6＜t ＜10s 时，由∠DBE =120°＞90°，∴此时不存在；④当t ＞10s 时，由旋转的性质可知，∠DBE =60°，又由（1）知∠CDE =60°，∴∠BDE =∠CDE +∠BDC =60°+∠BDC ，而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE =90°，从而∠BCD =30°，∴BD =BC =4，∴OD =14cm ，∴t =14÷1=14s ，综上所述：当t =2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．考点：旋转与三角形的综合题.6. （2021湖北咸宁第18题） 如图，点F C E B ,,,在一条直线上，FC BE DE AC DF AB ===,,.⑴求证：DFE ABC ∆≅∆；⑵连接BD AF ,，求证：四边形ABDF 是平行四边形.【答案】详见解析.考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．7. （2021湖南常德第24题）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC =0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414）【答案】3.05．考点：解直角三角形的应用．8. （2021湖南常德第26题）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD =4DC ，取AB 的中点G ，连接CG 交AD 于M ，求证：①GM =2MC ；②AG 2=AF •A C ．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；和差倍分．9. （2021哈尔滨第24题）已知：ACB △和DCE △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠∠°，连接AE ，BD 交于点O ，AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N .(1)如图1，求证：AE BD ； (2)如图2，若AC DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形.【答案】（1）证明见解析；（2）△ACB ≌△DCE （SAS ），△EMC ≌△BCN （ASA ），△AON ≌△DOM （AAS ），△AOB ≌△DOE （HL ）考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰直角三角形．10. （2021黑龙江齐齐哈尔第23题）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，BD AD =，DG DC =，E ，F 分别是BG ，AC 的中点．（1）求证：DE DF =，DE DF ⊥；（2）连接EF ，若10AC =，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EF =52 ．考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理．11. （2021湖北孝感第18题）如图，已知,,AB CD AE BD CF BD =⊥⊥ ，垂足分别为,,E F BF DE = .求证AB CD .【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据全等三角形的判定与性质，可得∠B =∠D ，根据平行线的判定，可得答案．试题解析：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵BF=DE，∴BF+EF=DE+EF，∴BE=DF．在Rt△AFB和Rt△CFD中，AB CDBE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△AFB≌Rt△CFD（HL），∴∠B=∠D，∴AB∥C D．考点：全等三角形的判定与性质.12. （2021内蒙古呼和浩特第18题）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证：BD CE=；（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．当ABC∆的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．【答案（1）证明见解析；（2）四边形DEMN是正方形.（2）四边形DEMN是正方形，理由：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=12AB，AD=12AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=12BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=12 BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，BE CDCE BDBC CB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离=12BC，∴BD⊥CE，∴四边形DEMN是正方形．考点：1.全等三角形的判定与性质；2.三角形的重心；3.等腰三角形的性质．13.（2021内蒙古呼和浩特第22题）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30︒角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70︒角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）【答案】A，B两地的距离AB长为200（3﹣tan20°）米．在直角△BCM中，∵tan20°=BMCM，∴BM=200tan20°，∴AB =AM ﹣BM =2003﹣200tan 20°=200（3﹣tan 20°），因此A ，B 两地的距离AB 长为200（3﹣tan 20°）米．考点：解直角三角形的应用．14. （2021青海西宁第24题）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”.美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局.在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC 上的,A B 两点分别对南岸的体育中心D 进行测量，分别没得0030,60,200DAC DBC AB ∠=∠==米，求体育中心D 到湟水河北岸AC 的距离约为多少米（精确到1米，3 1.732≈）？【答案】体育中心D 到湟水河北岸AC 的距离约为173米．在直角△BHD 中，sin 60°=32002DH DH BD ==,∴DH =1003≈100×1.732≈173．答：体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．考点：解直角三角形的应用．15. （2021上海第21题）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥B C．（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．【答案】（1）sinB=21313；（2）DE =5．考点：1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理.16. （2021湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =70.5°，在Rt △DBC 中，∠DBC =45°，且CD =2.3米，求像体AD 的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin 70.5°≈0.943，cos 70.5°≈0.334，tan 70.5°≈2.824）【答案】4.2m ．考点：解直角三角形的应用．17. （2021辽宁大连第24题）如图，在ABC ∆中，090=∠C ，4,3==BC AC ，点E D ,分别在BC AC ,上（点D 与点C A ,不重合），且A DEC ∠=∠.将DCE ∆绕点D 逆时针旋转090得到''E DC ∆.当''E DC ∆的斜边、直角边与AB 分别相交于点Q P ,（点P 与点Q 不重合）时，设y PQ x CD ==,.（1）求证：DEC ADP ∠=∠；（2）求y 关于x 的函数解析式，并直接写出自变量x 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）5512(3),627255612.12257x xyx x⎧-+<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-<≤⎪⎪⎝⎭⎩（2）解：如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即61257x<≤时，过P作MN∥DC′，设∠B=α∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，∴PM=PQ•cosα=45y，PN=43×12（3﹣x），∴23（3﹣x）+45y=x，∴255122y x=-，考点：旋转的性质；函数关系式；矩形的判定与性质；解直角三角形.18. （2021辽宁大连第25题）如图1，四边形ABCD 的对角线BD AC ,相交于点O ，OD OB =，m AD AB OA OC =+=,，n BC =，ACB ADB ABD ∠=∠+∠.（1）填空：BAD ∠与ACB ∠的数量关系为 ；（2）求nm 的值； （3）将ACD ∆沿CD 翻折，得到CD A '∆（如图2），连接'BA ，与CD 相交于点P .若215+=CD ，求PC 的长.【答案】（1）∠BAD +∠ACB =180°；（2）512；（3）1.考点：相似三角形的判定和性质；解一元二次方程；三角形的内角和定理.19. （2021海南第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度B C．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）【答案】水坝原来的高度为12米．.考点：解直角三角形的应用，坡度.20. （2021新疆乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，,B C之间的距离为10海里，救援船从港口A≈≈≈，结果取整数）出发20分钟到达C处，求救援的艇的航行速度.(sin370.6,cos370.8,3 1.732【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．【解析】∵cos 37°=EB BC， ∴EB =BC •cos 37°≈0.8×10=8海里，EF =AD =17.32海里，∴FC =EF ﹣CE =11.32海里，AF =ED =EB +BD =18海里，在Rt △AFC 中，AC =22221811.32AF FC +=+≈21.26海里， 21.26×3≈64海里/小时．答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题。

专题12 勾股定理重难点题型分类-高分必刷题（解析版） 专题简介：本份资料包含《勾股定理》这一章的全部重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含八类题型：已知两边求第三边、已知一边和一特殊角求其它边长、折叠模型、最短爬行路径问题、勾股定理与图形面积关系、勾股定理的逆定理、勾股定理的应用题、勾股定理与其它章节的综合题。

适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一 已知两边，求第三边⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2222bc a b a c 1. （广益）直角三角形斜边上的中线长是5.6，一条直角边是5，则另一直角边长等于（ ）A. 13B. 12C. 10D. 5【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，∴其斜边长为2×6.5＝13，∴另一条直角边长＝＝12．故选：B ．2. （长郡）如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的表示的数为 ．【解答】解：AC ＝＝＝，则AM ＝，∵A 点表示﹣1，∴M 点表示﹣1，故答案为：﹣1． 3.（长郡）如图，平面直角坐标系中，△OAB 的边OB 落在x 轴上，顶点A 落在第一象限．若5OA AB ==，8OB =，则点A 的坐标是 。

【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D ，∵OA ＝AB ＝5，OB ＝8，∴OD ＝OB ＝4． 在直角△OAD 中，由勾股定理得：AD ＝＝＝3．故点A 的坐标是（4，3）．4.（周南）一架方梯长25m ，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m ，求：（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【解答】解：（1）根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：＝24米；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A 'B ＝AB ﹣AA ′＝24﹣4＝20，根据勾股定理得：25＝，解得CC ′＝8．即梯子的底端在水平方向滑动了8米．题型二 已知一边和一特殊角求其它边长⎪⎩⎪⎨⎧∆∆211453:2:13000：：三边之比角的三边之比角的Rt Rt 5.（博才）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为D ，已知4,3,45AB BD C ==∠=︒，则AC 的长为（ ）A.B. C. 4D.【解答】解：在Rt △ABD 中，∵AB ＝4，BD ＝3，∴AD45C ∠=︒，∴AD= 6.（广益）将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB 与∠DCE 完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB=．【解答】解：在Rt △ABC 中，∵AB ＝4，∠A ＝45°，∴BC ＝4×＝4在Rt △EDC中，∵∠EDC ＝60°，DE ＝6，∴CE ＝DE •sin ∠EDC ＝6×＝3，∴BE ＝CE ﹣BC ＝3﹣4．故填空答案：3﹣4． 7.（师大）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知2CD =，求AC 的长。