2009年高考海南宁夏文科数学详细解析全word版20090622

2009年宁夏卷文科高考真题数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2009年高考真题海南卷文科海南卷第1题2009年高考真题宁夏卷文科第1题5分2019~2020学年江苏苏州高新区吴县中学高一上学期期中园区二中、相城陆慕高中三校联考第1题5分2020~2021学年江苏无锡江阴市江阴市青阳中学高一上学期期中第1题5分已知集合，，则（）．A.B.C.D.2、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第2题5分2009年高考真题宁夏卷文科第2题5分复数（）．A. B. C. D.3、【来源】 2009年高考真题宁夏卷文科第3题5分2009年高考真题海南卷文科第3题5分对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图．由这两个散点图可以判断（）．A. 变量与正相关，与正相关B. 变量与正相关，与负相关C. 变量与负相关，与正相关D. 变量与负相关，与负相关4、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第4题5分2009年高考真题宁夏卷文科第4题5分2016年四川广元高三二模理科第5题5分有四个关于三角函数的命题：：，；：、，；：，；：．其中假命题的是（）．A. ，B. ，C. ，D. ，5、【来源】 2009年高考真题宁夏卷文科第5题5分2009年高考真题海南卷文科第5题5分2017~2018学年天津和平区天津市耀华中学高一下学期期末理科第7题4分2017年重庆高三三模理科第4题5分已知圆，圆与圆关于对称，则圆的方程为（）．A.B.C.D.6、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第6题5分2009年高考真题宁夏卷文科第6题5分2018年广东深圳龙岗区深圳科学高中高三四模文科第7题5分2009年高考真题湖南卷文科第6题5分2016~2017学年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高二上学期期中文科第9题5分设满足则（）．A. 有最小值，最大值B. 有最小值，无最大值C. 有最大值，无最小值D. 既无最小值，也无最大值7、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第7题5分2009年高考真题宁夏卷文科第7题5分2020~2021学年4月陕西西安雁塔区西安市曲江第一中学高一下学期月考第9题3分2018~2019学年3月重庆大渡口区重庆市第三十七中学高一下学期月考第9题5分2016年广东梅州高三二模文科第6题5分已知，，向量与垂直，则实数的值为（）．A. B. C. D.8、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第8题5分2009年高考真题宁夏卷文科第8题5分2017~2018学年10月山东泰安新泰市新泰市第二中学高二上学期月考理科第8题5分2017~2018学年10月广东广州荔湾区广东广雅中学高二上学期月考理科第7题2017~2018学年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高二上学期期中文科第10题5分等差数列的前项和为，已知，，则（）．A. B. C. D.9、【来源】 2009年高考真题宁夏卷文科第9题5分2009年高考真题海南卷文科第9题5分2018~2019学年11月广东广州越秀区广州市培正中学高二上学期月考理科第11题5分2017~2018学年广东深圳福田区深圳市红岭中学高一上学期段考（二）第8题5分如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（）．A.B. 平面C. 三棱锥的体积为定值D. 与的面积相等10、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第10题5分2009年高考真题宁夏卷文科第10题5分2009年高考真题海南卷理科第10题5分2016~2017学年3月陕西西安莲湖区西安市第七十中学高一下学期月考第6题4分2016~2017学年9月陕西西安长安区西安市长安区第一中学高三上学期月考文科第8题5分如果执行如图的程序框图，输入，，那么输出的各个数的和等于（）．A. B. C. D.11、【来源】 2009年高考真题宁夏卷文科第11题5分2009年高考真题海南卷文科第11题5分2009年高考真题宁夏卷理科第11题5分2019~2020学年安徽芜湖高二上学期期末理科第6题3分2009年高考真题海南卷理科第11题5分一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：）为（）．A. B. C. D.12、【来源】 2009年高考真题宁夏卷文科第12题5分2009年高考真题海南卷文科第12题5分用表示、、三个数中的最小值．设，则的最大值为()．A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第13题4分2009年高考真题宁夏卷文科第13题4分曲线在点处的切线方程为．14、【来源】 2009年高考真题宁夏卷文科第14题4分2009年高考真题海南卷文科第14题4分已知抛物线的顶点坐标为原点，焦点在轴上，直线与抛物线交于，，若为的中点，则抛物线的方程为．15、【来源】 2009年高考真题宁夏卷文科第15题4分2009年高考真题海南卷文科第15题4分2017~2018学年10月广东广州荔湾区广东广雅中学高二上学期月考理科第14题2017年辽宁丹东高三一模理科第13题5分2017年辽宁沈阳高三一模文科省示范协作校第13题5分等比数列的公比，已知，，则的前项和．16、【来源】 2009年高考真题宁夏卷文科第16题4分2009年高考真题海南卷文科第16题4分2015~2016学年12月天津高三上学期月考文科八校联考第9题5分已知函数的图象如图所示，则．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第17题12分2009年高考真题宁夏卷文科第17题12分期中如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的三点进行测量．已知，，于处测得水深，于处测得水深，于处测得，求的余弦值．18、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第18题12分2009年高考真题宁夏卷文科第18题12分2018~2019学年10月贵州遵义红花岗区遵义市第四中学高三上学期月考文科第19题12分如图，在三棱锥中，是等边三角形，．(1) 证明：．(2) 若，且平面平面，求三棱锥的体积．19、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第19题12分2009年高考真题宁夏卷文科第19题12分2009年高考真题海南卷理科第18题12分2009年高考真题宁夏卷理科第18题12分某工厂有工人名，其中名工人参加过短期培训(称为类工人)，另外名工人参加过长期培训(称为类工人)．现用分层抽样方法(按类,类分二层)从该工厂的工人中共抽查名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．(1) 类工人中和类工人中各抽查多少工人？(2) 从类工人中的抽查结果和从类工人中的抽查结果分别如下表和表．表表①先确定，，再补全下列频率分布直方图．就生产能力而言，类工人中个体间的差异程度与类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）图类工人生产能力的频率分布直方图图2②分别估计类工人和类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．20、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第20题12分2009年高考真题宁夏卷文科第20题12分已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是和．(1) 求椭圆的方程．(2) 若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（为椭圆的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21、【来源】 2009年高考真题宁夏卷文科第21题12分2009年高考真题海南卷文科第21题12分2016~2017学年广东深圳盐田区深圳外国语学校高中部高二下学期期中文科第21题12分已知函数．(1) 设，求函数的极值．(2) 若，且当时，恒成立，试确定的取值范围．四、选做题（本大题共3小题，选做1题，共10分）【选修4-1：几何证明选讲】22、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第22题10分2009年高考真题宁夏卷文科第22题10分2009年高考真题宁夏卷理科第22题10分2009年高考真题海南卷理科第22题10分如图，已知的两条角平分线和相交于，，在上，且.(1) 证明：，，，四点共圆;(2) 证明：平分.【选修4-4：坐标系与参数方程】23、【来源】 2009年高考真题海南卷文科第23题10分2009年高考真题宁夏卷文科第23题10分2009年高考真题宁夏卷理科第23题10分2017~2018学年黑龙江哈尔滨香坊区哈尔滨市第六中学高二上学期期中文科第18题12分2009年高考真题海南卷理科第23题10分已知曲线为参数)，为参数)．(1) 化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2) 若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线为参数)距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24、【来源】 2009年高考真题宁夏卷文科第24题10分2009年高考真题海南卷文科第24题10分2009年高考真题宁夏卷理科第24题10分2009年高考真题海南卷理科第24题10分如图，为数轴的原点，，，为数轴上三点，为线段上的动点．设表示与原点的距离，表示到距离的倍与到距离的倍的和．(1) 将表示成的函数；(2) 要使的值不超过，应该在什么范围内取值？1 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 B;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 D;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 C;13 、【答案】;14 、【答案】;15 、【答案】;16 、【答案】;17 、【答案】．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 三棱锥的体积．;19 、【答案】 (1) 人，人．;(2)①类工人中个体间的差异程度更小．②，和．;20 、【答案】 (1) 椭圆的标准方程为．;(2) 点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段．;21 、【答案】 (1) 极大值，极小值．;(2);22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;23 、【答案】 (1) ，分别为圆和椭圆．;(2) ．;24 、【答案】 (1) ，．;(2) ．;。

页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。

——培根2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏/海南卷）数学（文史类）第I 卷一， 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。

（1） 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则AB = (A) }{3,5 (B) }{3,6(C) }{3,7 (D) }{3,9（2） 复数3223i i+=- （A ）1 （B ）1- （C ）i (D)i -（3）对变量,x y 有观测数据（1x ，1y ）（1,2,...,10i =），得散点图1；对变量,u v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关（4）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=-3p : ∀x ∈[]0,πsin x = 4p : sin cos 2x y x y π=⇒+= 其中假命题的是 （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p（5）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（A ）2(2)x ++2(2)y -=1 （B ）2(2)x -+2(2)y +=1（C ）2(2)x ++2(2)y +=1 （D ）2(2)x -+2(2)y -=1 （6）设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值（C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值（7）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为（A ）17- （B ）17 （C ）16- （D ）16（8）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =（A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9（9） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是 （A ）AC BE ⊥（B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值（D ）AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于（A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（A ）48+ （B ）48+（C ）36+ （D ）36+（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值。

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（ ）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（ ）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（ ）A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A．150种B．180种C．300种D．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（ ）A．150°B．120°C．60°D．30°9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．1B．2C．D．412．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（ ）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9= ．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于 ．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是 （写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b ，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（ ）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（ ）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）===﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（ ）A．0B．1C．2D．4【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（ ）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120°，故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．　12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（ ）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于　﹣240　．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r+1=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=　24　．【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于　16π　．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S球=4πR2=16π．故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是　①或⑤　（写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a n}，{b n}的通项公式．【解答】解：设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，解得q=2，d=2∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b ，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz ，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z 1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P （B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，整理得（x 02+1）（x02﹣2）=0，解得或．所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x 1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。

2009年宁夏、海南高考数学试卷分析（数学文理）一、2009年高考宁夏数学试卷的总体特点2009年高考宁夏数学试卷仍然坚持了“稳中有变，稳中有新”的主旋律.试卷在普遍遵循《考试说明》的基础上，进一步体现了新课改的理念.试题有“五大”特点：（1）阅读量加大，考查学生提取信息的能力.（2）试题贴近生活，考查学生用数学知识解决实际问题的能力.（3）淡化特殊技巧和方法，运算能力更加注重算理.（4）增加“设计方案”问题，考查学生自主解决问题的意识和能力.（5）新增内容魅力四射，活力无限.二、阅卷分析主观题总分90分，文科均分25.5分，理科均分30分，文理均分都比2008年降低了5分，说明试题难度加大！答卷中存在的问题1.审题不清.俗话说“成在审题，败在审题”，考生由于审题不够细心而出错现象比较普遍、频繁.导致失误的因素有主观臆断、遗漏条件.2.运算能力差.1）如第19题是一道解析几何题.第一问是求椭圆的方程，很多学生在求出a=4,c=3后，因求而出现错误，进而导致后面的解答全部无效.2）在第二问.已知，把坐标代入化简时出现错误.如3）在分类讨论中，不能全面分类，顾此失彼.3.表述不规范，抓不住重点.4.基础知识不牢固，应变能力差.三、对今后教学的启示：1.加强对《课程标准》和《考试说明》的学习，提高教学的针对性.也就是要把握好大方向，进一步体会课改理念.2.全面复习，不留死角，夯实基础.要扎实搞好系统复习，使学生建立清晰的知识网络，掌握好通行通法，要努力克服“眼高手低”通病，从基础抓起.3.复习时回归课本，充分利用教材资源.4.重视数学能力和数学理念的培养.一是认知再现能力；二是数形结合的数学理念；三是数学运算追求简单准确的意识；四是分类讨论的数学方法.5.加强常规题的解题模式训练，使学生形成规范书写的习惯.解题要抓住关键，踩的分点.6.复习最关键是调动起学生主动学习意识，师生形成合理是高考成功的必要条件.- 1 -。

2009普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。

锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

第一部一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合21{|340},{|0}A x x x B x x=+-==>，则A B ＝ ．2．复数512i-的实部为 ．3．已知1sin ,3α=且(,)2παπ∈，则tan α＝ ．4．执行右边的流程图，得到的结果是 ．5．已知,x y 满足不等式组0,40y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则2x y -的最大值是 ．6．为了解某校男生体重情况，将样本数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为12，则样本容量是 ． 7．设,l m 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列命题中正确的是 ．（填序号） ①若,//,,l m αβαβ⊥⊥则l m ⊥； ②若//,,,l m m l αβ⊥⊥则//αβ； ③若//,//,//,l m αβαβ则//l m ；④若,,,,m l l m αβαββ⊥=⊂⊥ 则l α⊥．8．设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线方程是 ．9．先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为,m n ，则mn 是奇数的概率是 ．10．已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且14239,8a a a a +==，则2011201220092010a a a a +=+ ．11．在边长为6的等边△ABC 中，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅ 等于 ．12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>过点P （3，1），其左、右焦点分别为12,F F ，且126F P F P ⋅=-，则椭圆E 的离心率是 ． 13．若关于x 的方程2||1x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．14．已知,,x y z R ∈，且2221,3x y z x y z ++=++=，则xyz 的最大值是 ． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知())cos 3f x x x π=+-．（I ）求()f x 在[0,]π上的最小值；（II ）已知,,a b c 分别为△ABC 内角A 、B 、C的对边，3cos 5b A ==，且()1f B =，求边a 的长．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 是等边三角形，D 为AB 中点． （I ）求证：1//BC 平面1A C D ；17．（本小题满分15分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35k p x x =≤≤+，若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （I ）求()f x 的表达式；（II ）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．18．（本小题满分15分） 如图，正方形ABCD 内接于椭圆22221(0)x y a b ab+=>>，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ 的顶点M ，N 在椭圆上，顶点P ，Q 在正方形的边AB 上，且A ，M 都在第一象限．（I ）若正方形ABCD 的边长为4，且与y 轴交于E ，F 两点，正方形MNPQ 的边长为2． ①求证：直线AM 与△ABE 的外接圆相切； ②求椭圆的标准方程．（II ）设椭圆的离心率为e ，直线AM 的斜率为k ，求证：22e k -是定值．19．（本小题满分16分） 已知函数()ln f x x x =．（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程． 20．（本小题满分16分）设数列{}n b 满足*2121(),2n n n b b b n N b b ++=--∈=．（I ）若33b =，求1b 的值；（II ）求证数列12{}n n n b b b n +++是等差数列；（III ）设数列{}n T 满足：*11()n n n T T b n N ++=∈，且1112T b ==-，若存在实数,p q ，对任意*n N ∈都有123n p T T T T q ≤++++< 成立，试求q p -的最小值．第二部分（加试部分）21．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分） 求矩阵1426M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量．22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 已知(,)P x y 是椭圆2214xy +=上的点，求2M x y =+的取值范围．23．（本小题满分10分）口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ．（I ）若取到红球再放回，求X 不大于2的概率；（II ）若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望．24．（本小题满分10分）已知(2)p p ≥是给定的某个正整数，数列{}n a 满足：111,(1)()k k a k a p k p a +=+=-，其中1,2,3,,1k p =- ．（I ）设4p =，求234,,a a a ； （II ）求123p a a a a ++++ ．数 学 参 考 答 案第一部分一、填空题：1. )1,0( 2．1 3. 42-4.785. 86. 327. ②④8. 0323=--y x9.1410. 4 11. 24 12.32213. 4k <- 14. 527二、解答题： 15.（Ⅰ）sin ()cos cos 22x f x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭1cos sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 4分 6766πππ≤+≤x ∴当π=x 时m in 1()2f x =-； 7分（Ⅱ）∵2,62x k k Z πππ+=+∈时()f x 有最大值，B 是三角形内角∴3B π=10分∵3cos 5A = ∴4sin 5A = ∵正弦定理sin sin a b AB=∴8a =． 14分16.（Ⅰ）连1AC ，设1AC 与1A C 相交于点O ，连D O ，则O 为1AC 中点，∵D 为AB 的中点 ∴1//D O BC 4分（Ⅱ）∵等边A B C ∆，D 为A B 的中点 ∴C D A B ⊥∵1CD DA ⊥，1D A AB D = ∴C D ⊥平面11ABB A∵1B B ⊂平面11ABB A ∴1BB CD ⊥ ∵矩形11BCC B ∴1BB BC ⊥ 11分 ∵BC CD C = ∴1B B ⊥平面ABC∵底面A B C ∆是等边三角形 ∴三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱． 14分 17.（Ⅰ）根据题意得100800315k k =∴=⨯+ 3分800()56,0835f x x x x ∴=++≤≤+ 7分 （Ⅱ）800()2(35)580535f x x x =++-≥-+ 11分 当且仅当8002(35)35x x =++即5x =时m in ()75f x =． 14分答：宿舍应建在离厂5km 处可使总费用()f x 最小为75万元． 15分 18.（Ⅰ）①依题意：(2,2)A ，(4,1)M ，(0,2)E -(2,1),(2,4)AM AE ∴=-=--0AM AE AM AE ∴∙=∴⊥3分AE 为Rt ABE ∆外接圆直径∴直线A M 与A B E ∆的外接圆相切； 5分②由⎧⎪⎨⎪⎩22224411611a b ab+=+=解得椭圆标准方程为221205xy+=． 10分（Ⅱ）设正方形A B C D 的边长为2s ，正方形M NPQ 的边长为2t ，则(,)A s s ，(2,)M s t t +，代入椭圆方程22221x y ab+=得⎧⎪⎨⎪⎩222222221(2)1s s abs t t ab+=++=⇒⎧⎪⎨⎪⎩22221(3)14(3)s t a s s t t bs s t -=+=+222514b t s e at-∴=-=14分(2)2t st s k s t st--==+- 222e k ∴-=为定值． 15分19.（Ⅰ）'()ln 1f x x =+ '()0f x ∴<得ln 1x <- 2分 10x e ∴<<∴函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e； 4分（Ⅱ） 2()6f x x ax ≥-+-即6ln a x x x≤++设6()ln g x x x x=++则2226(3)(2)'()x x x x g x xx+-+-== 7分当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增；∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+； 10分 （Ⅲ）设切点00(,)T x y 则0'()AT k f x =∴00002ln ln 11x x x x e=++即200ln 10e x x ++=设2()ln 1h x e x x =++，当0x >时'()0h x >∴()h x 是单调递增函数 13分∴()0h x =最多只有一个根，又2222111()ln10h e eee=⨯++=∴021x e=由0'()1f x =-得切线方程是210x y e++=. 16分20.（Ⅰ）∵21n n n b b b ++=--∴32113b b b b =--=-=3∴1b =-1； 3分 （Ⅱ）∵21n n n b b b ++=--①∴321n n n b b b +++=--②，②-①得3n n b b += 5分 ∴（1231n n n b b b n +++++）-（12n n n b b b n +++）=123()1n n n n b b b b +++-+=1为常数 ∴数列{12n n n b b b n +++}是等差数列． 7分 （Ⅲ）∵11n n n T T b ++=⋅=11n n n T b b -+=211n n n n T b b b --+=……=1231n b b b b + 当2n ≥时123n n T b b b b = （*），当1n =时11T b =适合（*）式∴123n n T b b b b = （*n N ∈）． 9分 ∵112b =-，2121b b ==-，31332b b =-=，3n n b b +=，∴1112T b ==-，21212T T b ==，32334T T b ==，43431134T T b T b T ===，54523452123234T T b T b b b T b b b T ====，65634563123334T T b T b b b T b b b T ====，……313233323133131331323313233n n n n n n n n n n n n n n n T T T T b b b T b b b T b b b +++--+-+++++++=++ =32123311233123n n n T b b b T b b b T b b b --++=323133()4n n n T T T --++，*首项12334T T T ++=且公比34q =11分记123n n S T T T T =++++①当*3()n k k N =∈时1234563231()()()n k kkS T T T T T T T T T --=++++++++ =33[1()]44314k--=33[1()]4k- ∴334n S ≤<； 13分②当*31()n k k N =-∈时12345632313()()()n k k k S T T T T T T T T T --=++++++++ -3k T=33[1()]4k --123()kb b b =334()4k -⋅∴03n S ≤<； 14分 ③当*32()n k k N =-∈时12345632313()()()n k k k S T T T T T T T T T --=++++++++ -31k T --3k T=33[1()]4k --112312()k b b b b b --123()kb b b =33[1()]4k --113()24k --3()4k =1433()34k -⋅ ∴132n S -≤< 15分 综上得132n S -≤<则12p ≤-且3q ≥∴q p -的最小值为72． 16分第二部分（加试部分）21．2()(1)(6)8514(7)(2)f λλλλλλλ=+--=--=-+由()0f λ=可得：17λ=，22λ=-． 4分 由⎧⎨⎩(71)402(76)0x y x y +-=-+-=可得属于17λ=的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7分由⎧⎨⎩(21)402(26)0x y x y -+-=-+--=可得属于12λ=-的一个特征向量为41⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． 10分 22．∵2212xy +=的参数方程⎧⎨⎩2cos sin x x θθ==（θ是参数）∴设P (2cos ,sin )θθ 4分∴22cos 2sin M x y θθ=+=+)4πθ=+ 7分∴2M x y =+的取值范围是[-． 10分 23．（Ⅰ）∵3(1)7P X ==，23412(2)749P X ⨯===∴33(1)(2)49P P X P X ==+==； 4分（Ⅱ）∵X 可能取值为1，2，3，4，5，∴13173(1)7A P X A===，1143272(2)7A A P X A===，2143376(3)35A A P X A ===，3143473(4)35A A P X A ===，4143571(4)35A A P X A ===∴32631()12345277353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=答：X 的数学期望是2． 10分24．（Ⅰ）由1(1)()k k k a p k p a ++=-得11k ka k p p a k +-=⨯+，1231k p =- ，，，，即2141462a a -=-⨯=-，2166a a =-=-；32428433a a -=-⨯=-，316a =4343414a a -=-⨯=-，416a =-； 3分（Ⅱ）由1(1)()k k k a p k p a ++=-得：11k ka k p p a k +-=⨯+，1231k p =- ，，，，即2112a p p a -=-⨯，3223a p p a -=-⨯，…，1(1)k k a p k p a k---=-⨯，以上各式相乘得11(1)(2)(3)(1)()!k k a p p p p k p a k -----+=-⨯5分∴1(1)(2)(3)(1)()!k k p p p p k a p k -----+=-⨯11(1)!()!()!()!!()!k k p p p p k p k pk p k ----=-⨯=⨯--221()()k kk kp p p C C p p-=--⨯=--，123k p = ，，，， 7分∴123p a a a a ++++ 11223321[()()()()]p pp p p p C p C p C p C p p=--+-+-++-21[(1)1]pp p=--- 10分。

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）解析版参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，{1M =，3，5，7}，{5N =，6，7}，则()(U MN =ð )A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{2，4，8}D ．{1，3，5，6，7}【考点】1H ：交、并、补集的混合运算 【专题】11：计算题 【分析】先求集合MN ，后求它的补集即可，注意全集的范围．【解答】解：{1M =，3，5，7}，{5N =，6，7}， {1MN ∴=，3，5，6，7}，{1U =，2，3，4，5，6，7，8}， (){2U MN ∴=ð，4，8}故选：C ．【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．2．（5分）函数0)y x =…的反函数是( )A ．2(0)y x x =…B ．2(0)y x x =-…C ．2(0)y x x =…D ．2(0)y x x =-…【考点】4R ：反函数 【专题】11：计算题【分析】直接利用反函数的定义，求出函数的反函数，注意函数的定义域和函数的值域． 【解答】解：由原函数定义域0x …可知A 、C 错， 原函数的值域0y …可知D 错， 故选：B ．【点评】本题考查反函数的求法，反函数概念，考查逻辑推理能力，是基础题． 3．（5分）函数22log 2xy x-=+的图象( )A ．关于直线y x =-对称B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断；3M ：奇偶函数图象的对称性 【专题】31：数形结合【分析】先看函数的定义域，再看()f x -与()f x 的关系，判断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．【解答】解：由于定义域为(2,2)-关于原点对称， 又222222()loglog()x x x x f x f x +--+-==-=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选：B ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性． 4．（5分）已知ABC ∆中，12cot 5A =-，则cos (A = ) A ．1213B ．513C ．513-D ．1213-【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系 【专题】11：计算题【分析】利用同角三角函数的基本关系cos A 转化成正弦和余弦，求得sin A 和cos A 的关系式，进而与22sin cos 1A A +=联立方程求得cos A 的值． 【解答】解：12cot 5A =-A ∴为钝角，cos 0A <排除A 和B ，再由cos 12cot sin 5A A A ==-，和22sin cos 1A A +=求得12cos 13A =-， 故选：D ．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．5．（5分）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( )A B ．15C D ．35【考点】LM ：异面直线及其所成的角【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G ：空间角【分析】由11//BA CD ，知1AB E ∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，由此能求出异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值．【解答】解：正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点， 11//BA CD ∴，1A BE ∴∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，设122AA AB ==，则11A E =，BE =，1A B ==2221111cos 2A B BE A E A BE A B BE +-∴∠===．∴异面直线BE 与1CD ． 故选：C ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量(2,1)a =，10a b =，||52a b +=，则||(b = )AB C ．5D ．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对||a b +=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可． 【解答】解：||52a b +=，||5a =222()250a b a b a b ∴+=++=， 得||5b = 故选：C ．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a lge =，2()b lge =，c =，则( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【考点】4M ：对数值大小的比较；4O ：对数函数的单调性与特殊点【分析】因为101>，所以y lgx =单调递增，又因为110e <<，所以01lge <<，即可得到答案．【解答】解：13e <<< 01lge ∴<<，21()2lge lge lge ∴>>．a cb ∴>>．故选：C ．【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．8．（5分）双曲线22163x y -=的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则(r = )A B ．2C ．3D ．6【考点】IT ：点到直线的距离公式；KC ：双曲线的性质 【专题】11：计算题【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y =，即0x ±=，圆心(3,0)到直线的距离d ==r ∴=故选：A ．【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式． 9．（5分）若将函数tan()(0)4y x πωω=+>的图象向右平移6π个单位长度后，与函数tan()6y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为( )A ．16B ．14 C ．13D ．12【考点】HJ ：函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 【专题】11：计算题【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数tan()6y x πω=+的图象重合，比较系数，求出16()2k k Z ω=+∈，然后求出ω的最小值．【解答】解：tan()4y x πω=+，向右平移6π个单位可得：tan[()]tan()646y x x πππωω=-+=+∴466k πππωπ-+=1()2k k Z ω∴=+∈，又0ω> 12min ω∴=． 故选：D ．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种【考点】5D ：组合及组合数公式 【专题】11：计算题【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数224436C C =， ②两人所选两门都相同的有为246C =种，都不同的种数为246C =， 故选：C ．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法． 11．（5分）已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则(k = )A ．13B C ．23D 【考点】8K ：抛物线的性质 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，根据||2||FA FB =，推断出||2||AM BN =，点B 为AP 的中点、连接OB ，进而可知1||||2OB AF =，进而推断出||||OB BF =，进而求得点B 的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率． 【解答】解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =- 直线(2)(0)y k x k =+>恒过定点(2,0)P -如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由||2||FA FB =，则||2||AM BN =， 点B 为AP 的中点、连接OB ， 则1||||2OB AF =， ||||OB BF ∴=，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为k ∴==故选：D ．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用． 12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位( )A ．南B ．北C ．西D ．下【考点】LC ：空间几何体的直观图 【专题】16：压轴题【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定． 【解答】解：如图所示．故选：B ．【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，634S S =，则4a = 3 ．【考点】87：等比数列的性质；89：等比数列的前n 项和 【专题】11：计算题【分析】根据634S S =可求得3q ，进而根据等比数列的通项公式，得到答案． 【解答】解：设等比数列的公比为q ，则由634S S =知1q ≠， 63614(1)11q q S q q--∴==--． 33q ∴=．313a q ∴=． 故答案为：3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．14．（5分）4(-的展开式中33x y 的系数为 6 ． 【考点】DA ：二项式定理【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x ，y 的指数都为1求出33x y 的系数【解答】解：4224(x y =，只需求4展开式中的含xy 项的系数．4的展开式的通项为414(rr r r T C -+= 令422r r -=⎧⎨=⎩得2r =∴展开式中33x y 的系数为246C = 故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 15．（5分）已知圆22:5O x y +=和点(1,2)A ，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=254． 【考点】7J ：圆的切线方程 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】判断点A 在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：由题意知，点A 在圆上，切线斜率为111221OA K --==-， 用点斜式可直接求出切线方程为：12(1)2y x -=--，即250x y +-=，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52， 所以，所求面积为15255224⨯⨯=．【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 16．（5分）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45︒角的平面截球O 的表面得到圆C ．若圆C 的面积等于74π，则球O 的表面积等于 8π ． 【考点】LG ：球的体积和表面积 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案． 【解答】解：设球半径为R ，圆C 的半径为r ， 2277,44r r ππ==由得．因为22R OC R ==． 由222217)84R r R =+=+得22R = 故球O 的表面积等于8π 故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 前n 项和n s ． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和 【专题】34：方程思想【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于1a ，d 的方程组，求出1a 、d ，进而代入等差数列的前n 项和公式求解即可．【解答】解：设{}n a 的公差为d ，则1111(2)(6)16350a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩，即22111812164a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩，解得118822a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或， 因此8(1)(9)n S n n n n n =-+-=-，或8(1)(9)n S n n n n n =--=--．【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解． 18．（12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B ．【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；HP ：正弦定理 【专题】11：计算题【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sin B （负值舍掉），从而求出答案． 【解答】解：由3cos()cos 2A CB -+=及()B AC π=-+得 3cos()cos()2A C A C --+=， 3cos cos sin sin (cos cos sin sin )2A C A C A C A C ∴+--=， 3sin sin 4A C ∴=． 又由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =， 故23sin 4B =，∴sin B =sin B =， 于是3B π=或23B π=．又由2b ac = 知b a …或b c … 所以3B π=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．19．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC ．（Ⅰ）证明：AB AC =；（Ⅱ）设二面角A BD C --为60︒，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小．【考点】LQ ：平面与平面之间的位置关系 【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）连接BE ，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD DC =，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB AC =；（2）求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可，作AG BD ⊥于G ，连GC ，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，在三角形AGC 中求出GC 即可．【解答】解：如图 ()I 连接BE ，111ABC A B C -为直三棱柱，190B BC ∴∠=︒，E 为1B C 的中点，BE EC ∴=．又DE ⊥平面1BCC ，BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ，AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）． ()II 求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可．作AG BD ⊥于G ，连GC ， AB AC ⊥，GC BD ∴⊥，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，60AGC ∠=︒不妨设AC =2AG =，4GC =在RT ABD ∆中，由AD AB BD AG =，易得AD =设点1B 到面BDC 的距离为h ，1B C 与平面BCD 所成的角为α． 利用11133B BCBCD SDE Sh ∆=，可求得h =1112h B C B C α===，30α∴=︒． 即1B C 与平面BCD 所成的角为30︒．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．【考点】3B ：分层抽样方法；6C ：等可能事件和等可能事件的概率 【专题】11：计算题【分析】（1）根据分层抽样原理，要从甲、乙两组各10人中共抽取4名工人，则从每组各抽取2名工人．（2）从甲组抽取2人的结果有210C 种，恰有1名女工人的结果有1146C C 种，代入等可能事件的概率公式即可（3）从甲乙各10人虫各抽2人的结果有221010C C 种，而4名工人中恰有2名男工人的情况分①两名男工都来自甲，有2266C C ②甲乙各抽1名男工11116446C C C C ③两名男工都来自乙有2244C C 种结果【解答】解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．（2）记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则11462108()15C C P A C ==（3）i A 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，0i =，1，2 Bj 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，0j =，1，2B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．i A 与j B 独立，i ，0j =，1，2，且021120B A B A B A B =++故P （B ）021*********()()()()()()()P A B A B A B P A P B P A P B P A P B =++=++22111122666464442210103175C C C C C C C C c C ++== 【点评】本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率．21．（12分）设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >，（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若当0x …时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 【考点】3R ：函数恒成立问题；6B ：利用导数研究函数的单调性 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．（2）先将问题转化为求函数在0x …时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定()f x 在2x a =或0x =处取得最小值，求出最小值，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）2()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a '=-++=-- 由1a >知，当2x <时，()0f x '>， 故()f x 在区间(,2)-∞是增函数； 当22x a <<时，()0f x '<， 故()f x 在区间(2,2)a 是减函数； 当2x a >时，()0f x '>，故()f x 在区间(2,)a +∞是增函数．综上，当1a >时，()f x 在区间(,2)-∞和(2,)a +∞是增函数， 在区间(2,2)a 是减函数．（2）由（1）知，当0x …时，()f x 在2x a =或0x =处取得最小值． 323214(2)(2)(1)(2)422442433f a a a a a a a a a a =-+++=-++，(0)24f a =由假设知1(2)0(0)0a f a f >⎧⎪>⎨⎪>⎩即14(3)(6)03240.a a a a a >⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩解得16a << 故a 的取值范围是(1,6)【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l， （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由． 【考点】4K ：椭圆的性质 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】()I 设(,0)F c ，则直线l 的方程为0x y c --=，由坐标原点O 到l 的距离求得c ，进而根据离心率求得a 和b ．()II 由()I 可得椭圆的方程，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，:1l x my =+代入椭圆的方程中整理得方程△0>．由韦达定理可求得12y y +和12y y 的表达式，假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为：点P 的坐标为12(x x +，12)y y +，代入椭圆方程；把A ，B 两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c ，进而求得P 点坐标，求出m 的值得出直线l 的方程．【解答】解：()I 设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l=1c =又c e a ==∴a b = ()II 由()I 知椭圆的方程为22:132x y C += 设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设:1l x my =+代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=，显然△0>． 由韦达定理有：122423m y y m +=-+，122423y y m =-+，① 假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为： 点P 的坐标为12(x x +，12)y y +，点P 在椭圆上，即221212()()132x x y y +++=．整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=． 又A 、B 在椭圆上，即2211236x y +=，2222236x y +=、 故12122330x x y y ++=②将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得212m =∴12y y +=，2122432232m x x m +=-+=+，即3(,2P当3,,,:12m P l x y ⎛==+ ⎝⎭；当3,,:12m P l x y ⎛==+ ⎝⎭【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．。

2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（文史类）第I 卷 一， 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。

（1） 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A B = (A) }{3,5 (B) }{3,6 (C) }{3,7 (D) }{3,9 (2) 复数3223ii+-= （A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（3）对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关（41p ：∃∈R, sin(x-y)=sinx-siny3p : ∀x ∈[]0,π 4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p（5）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线x-y-1=0对称，则圆2C 的方程为（A ）2(2)x ++2(2)y -=1 （B ）2(2)x -+2(2)y +=1 （C ）2(2)x ++2(2)y +=1 （D ）2(2)x -+2(2)y -=1（6）设x,y 满足（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值（7）已知a=(-3,2) b=(-1,0)，向量λa+b 与a-2b 垂直，则实数λ的值为 （A ）-17 （B ）17 （3）-16 （4）16（8）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知1m a -+1m a +-2m a =0，21m s -=38则m=（A ）38 （B ）20 （3）10 （4）9（8） 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（A ）AC BE ⊥ （B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值 （D ）AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等（9）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且P A P B P B P C P C P A ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的合等于（A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（A ）48+（B ）48+（C ）36+（D ）36+（9）如图，正方体ABCD-111A B C 1D 的棱长为1，线段1B 1D 上有两个动点E,F,且EF=12，则下列结论中错误的是（A ）AC ⊥BE (B)EF//平面ABCD(C)三棱锥A-BEF 的体积为定值 (D) ∆AEF 的面积与∆BEF 的面积相等（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的合等于 （A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（A ） （B ） （C ） （D ）（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。

2009年普通高校招生统一考试全国2卷——数学（文）全解全析1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7} 则UC M N ⋃=（） A {5，7} B {2，4} C {2,4,8}D {1,3,5,7} 解析：集合的并补运算 答案：C2．函数0)y x =≤的反函数是A 2(0)y x x =≥B 2(0)y x x =-≥C 2(0)y x x =≤D 2(0)y x x =-≤ 解析：反函数概念 答案：B 3．函数22log 2x y x-=+的图像A 关于原点对称B 关于直线y x =-对称C 关于y 轴对称D 关于直线y x =对称 解析：函数奇偶性及对数式定义域及运算 答案：A4．3.已知 ABC 中，cotA=125-,则cosA=（A ）1213（B ）513（C ）513- (D)1213-解析：同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号 答案：D5．已知正四棱柱1111ABC D A B C D -中，12AA AB =，E 为1A A 中点，则异面直线BE 与1C D 所成角的余弦值为（A ）10(B)15(C)10(D)35解析：平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于900答案：C6．已知向量(2,1)a =，10a b ∙=,||a b +=,则b =（A ） (B) (C) 5 (D) 25答案：C解析：将||a b +=平方即可7．2lg ,(lg ),lga eb ec ===(A) a ＞b ＞c (B) a ＞c ＞b (C) c ＞a ＞b (D) c ＞b ＞a 解析：将lg lg 20.3e =看作判断即可 答案：B 8．双曲线22163xy-=的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则r=A B 2 C 3 D 6解析：联立消y 得x 的一元二次方程，由判别式为0，得 答案：A9．若将函数tan(0)4y x πωω=+＞的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan(6y x πω=+的图像重合，则ω的最小值为 （A ）16(B) 14(C)13(D) 12解析：由646x x k πππωωπ-+=++（可得答案：D10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（A ）6种 （B ）12种 （C ）30种 （D ）36种解析：由222444c c c -得答案：C11．已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=（A ）13(B)3(C)23(D)3解析：由一元二次根系关系出1212,x x x x +，由抛物线定义出1222(2)x x +=+，三式联立得k答案：D12．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标∆“”的面的方位是（A ）南 （B ）北 （C ）西 （D ） 解析：空间想象几何体还原能力 答案：B13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n s .若163,41,4a S S ===则a .解析：由条件得q 3=3，所以4133a =⨯=答案：314．4(的展开式中33x y 的系数为 .解析：224(1)c -答案：615．已知圆O ：225x y +=和点A （1，2），过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为解析：由切线方程 得横、纵截距分别为5和52，得面积为15255224⨯⨯=答案：25416．设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点,过M 且与OA 成45角的平面截球O 的表面得到圆C.若圆C 的面积等于74π,则球O 的表面积等于 .解析：由小圆面积得小圆的274r =，由222()2()2R R r=-得22R =，所以248S R ππ==答案：8π17．17.(本小题满分10分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 等差数列{}n a 中，374616,0a a a a =-+=，求数列{}n a 的前n 项和S n 32461111116,0d,(2)(6)16884022a a a a a d a d a a a d d d =-+=++=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+===-⎩⎩⎩解：由，设公差为则 解得或122*(1)2S 9S 9)n n nn n S na d n n n n n N -=+=-=-+∈所以由得或（ 18．(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c 23cos()cos ,2A CB b ac -+==求B答案：060222sin sin sin cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin 3cos()cos 2sin sin 2sin 2sin 23cos B cos A-C 02B B 60b ac B A C A C A C A C A C A C A C A C B A C B B =⇒=-=+⎧⎨+=-⎩⇒-+===⇒==-=解：由又（）〉故为锐角，所以19．本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，A B A C ⊥，D 、E 分别为AA 1、BC 1的中点D E ⊥平面1BC C证明：AB=AC（1） 设二面角A-BD-C 为600，求1B C 与平面BCD 所成角的大小111111BC F EF AF W EIAD EFD E BC C AF BC CAF BC BF=C F AB=AC(2)AC=AB1AA2xxAG BD G,AG=C A ABB C G C G BDACC G A60tanAG,AA2AC G Axx⊥⊥⊥==⊥⊥⊥∠==∠===（）证明：取中点，连、，依题意有矩形因为面，所以面所以，又，所以解：设，作于则依题意有面，连，则所以，由得解得所以以为11AB AC AABD-10BC-1102n BD x z0n x,y,z),,2n BC x y0n(1,1,C B1-1==⎧⋅=-+=⎪=⎨⎪⋅=-+=⎩==坐标原点，、、分别为x、y、z轴正方向建系，则（，，，（，，）设（且取又（，1111cos n,C B n,C B60,2B C BC D30<>=<>=于是可得，所以其余角即为所求，所以与面所成的角的大小为20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。