巧用“截口曲线法”解决一类立体几何中的轨迹问题

立体几何中的轨迹问题探索一、单选题1．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果. 【详解】由题意可知：点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ， 则当动点M 运动到点N 时，111 22=++=<+===N A B C l NA NC ND l l l ， 同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，符合C选项的图像特征.故选：C【点睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.EF=，长为4的线段AB的两端点分别在直线a、b上2．已知异面直线a、b成60°角，其公垂线段为EF，||2运动，则AB中点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．圆D．以上都不是【答案】A【解析】【分析】AB EF的中点,O P所在的平面，建立合适坐标系，先根据余弦定理求出根据条件画出合适的示意图，确定,OM ON之间的关系，然后利用P的坐标形式表示出,OM ON之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.,【详解】如图所示：M N，设EF的中点为O，过O作EF的垂面α，则AB的中点P必在平面α内，设,A B在平面内的射影点为,以MON ∠的角平分线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：设OM m =，ON n =，由余弦定理可知：2220122cos60MN m n mn ==+-，所以2212m n mn +-=，又因为30MOx NOx ∠=∠=︒，设(),P x y，所以)()22122x m n y m n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以223m x y n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 将上述结果代入等式2212m n mn +-=中化简可得：2219x y +=，故轨迹是椭圆.故选：A. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.3．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aCD．2【答案】D【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C ． 故选：D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.4．已知直线a 平行于平面α，且它们的距离为2d ，我们把到直线a 与到平面α的距离都相等的点构成的集合定义为集合A ，那么集合A 中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（ ） A ．椭圆 B ．两条平行直线 C ．一条直线 D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】把问题放在正方体ABCD -EFGH 中去，建立空间直角坐标系，找出关于,,x y z 的方程，通过方程判断可能的图形． 【详解】棱长2d ，如图，建立空间直角坐标系，设点M (,,)x y z ，则点M 到平面α的距离为z ，(2,0,2),(0,0,2E d d H d ），(2,0,0),(,,2HE d HM x y z d ∴==-）， |cos ,|2HE HM HE HM HE HMd ⋅∴<>==则sin ,1HE HM<>==点M 到直线a 的距离为：sin ,MH HEHM x ⋅<>==z ∴=整理得：22440y d dz +-=当z d =时，20y =，即0y =，一条直线，C 有可能；当z d >时，24()y d z d =-，即y =B 有可能； 当z 不取常数，为一个变量时，22440y d dz +-=是一个抛物线的方程，D 有可能；故选：A ． 【点睛】本题考查利用空间直角坐标解决空间图形的轨迹问题，是一道难题．5．在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由BC ⊥平面11ABB A 可知P 到直线BC 的距离即为P 到点B 的距离，从而可得其轨迹为抛物线的一部分且过点A ，依次判断各个选项即可. 【详解】BC ⊥平面11ABB A ，PB ⊂平面11ABB A P B B C∴⊥ P ∴到直线BC 的距离为PB ，即P 点到点B 的距离P ∴点轨迹是以B 为焦点，11A B 所在直线为准线的抛物线的一部分又P 在平面11ABB A 上，1AB AA = P ∴点轨迹过点A,A C 中轨迹不是抛物线，则,A C 错误；D 中轨迹不过A ，则D 错误.本题考查立体几何中点的轨迹的求解，关键是能够通过线面垂直关系确定动点轨迹为抛物线的一部分.6．给定正三棱锥P ABC -，点M 为底面正ABC ∆内(含边界)一点，且M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆的一部分 B ．一条线段 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分【答案】B 【解析】 【分析】根据M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列可设距离分别为,,d a d d a -+,根据等体积法可求得d 为常数。

立体几何中的轨迹问题求解策略作者：何冬梅来源：《读写算》2011年第26期在知识网络交汇点处设计试题是高考命题改革的一个方向，以空间问题为为背景的轨迹问题作为解析几何与立体几何的交汇点，由于知识点多，数学思想和方法考查充分，求解比较困难。

以下精选几个问题来对这一问题进行探讨，旨在探索题型规律，揭示解题方法。

一、用空间运动的观点来得到点的轨迹。

例1：直线PA是平面M的一条斜线，斜足为A，动直线PB过点P且与直线PB垂直，且交平面M于点B，求动点B的轨迹。

解：先探讨直线PB的运动轨迹，由于直线PB始终与PA垂直，可知PB的运动轨迹应是直线PA的垂直平面N。

再结合点B一定在平面M内，所以点B的轨迹应该是两个平面的交线，所以点B的轨迹是一条直线。

针对以上解法，我们对这一问题作一深层次的探讨：若直线PA与平面M成α角，直线PB始终与直线PA成β角，求点B的轨迹。

由上述解法可知，我们只要得到直线PB的空间轨迹，再来考察该轨迹与平面M的交线即可。

由简单的模型模拟即可知，直线PB的轨迹是一个圆锥面，再用一个平面截圆锥面，这一知识在平面解析几何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线。

因此，我们在以下命题：直线PA是平面M的一条斜线，且与平面M成α角，斜足为A，动直线PB过点P且与直线PB成β角，交平面M于点B，求动点B的轨迹。

结论：（1）若α=90°，β≠90°，则动点B的轨迹是一个圆；（2）若α≠90°，β=90°，动点B的轨迹是一条直线；（3）若α≠90°，β≠90°，则①若90°>α>β，则轨迹是椭圆；②若α=β，则轨迹是抛物线；③若α用上面的观点我们来看下一例：例2：已知平面α//平面β，直线L α，点P∈L，平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10且到直线L的距离为9的点的轨迹是()（A）一个圆（B）两条直线（C）四个点（D）两个点解：空间中到直线的距离为定值的点的轨迹是一个圆柱，平面与圆柱的交线是两条直线。

ʏ陈 婷立体几何中的轨迹问题,是立体几何与解析几何的知识交汇点㊂这类问题,立意新颖,重视不同知识的交叉与渗透,重视对数学知识与数学能力的考查与应用,是培养同学们数学核心素养的好素材㊂一㊁直接法直接法就是直接利用立体几何的相关知识,合理分析和研究问题中各个元素之间的关系,或者直接利用轨迹定义进行求解的方法㊂例1 如图1,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,P 是侧面B C C 1B 1上的一个动点,若点P 到直线B C 与直线C 1D 1的距离相等,则动点P 的轨迹是下列哪种线的一部分( )㊂图1A.直线 B .圆C .双曲线 D .抛物线分析:根据题设条件,利用空间点线面的位置关系,直接得到动点P 到直线B C 与到点C 1的距离相等,再结合解析几何中抛物线的定义,可得对应的答案㊂解:根据正方体的性质,可知C 1D 1ʅ平面B C C 1B 1,所以动点P 到直线C 1D 1的距离与到点C 1的距离相等㊂又动点P 到直线B C 与到直线C 1D 1的距离相等,所以动点P 到直线B C 与到点C 1的距离相等㊂根据抛物线的定义,可得动点P 的轨迹是一条抛物线的一部分㊂应选D ㊂二㊁转化法转化法就是将立体几何问题转化为平面几何问题,进行合理 降维 处理,进而应用平面几何㊁解析几何等相关知识来分析与求解的方法㊂例2 (2022年高考北京卷)已知正三棱锥P -A B C 的六条棱长均为6,S 是әA B C 及其内部的点构成的集合㊂设集合T ={Q ɪS |P Q ɤ5},则T 表示的区域的面积为( )㊂A .3π4B .πC .2πD .3π分析:根据题设条件,结合正三棱锥的性质,合理构建点P 在底面әA B C 内的射影点O ,结合集合的创新设置进行合理转化,将空间中的距离问题转化为平面上的距离问题加以分析与求解㊂解:设点P 在底面әA B C 内的射影为点O ㊂依题意知әA B C 是边长为6的正三角形,所以A O =B O =C O =23㊂因为P A =P B =P C =6,所以P O =62-(23)2=26㊂若P Q =5,则O Q =P Q 2-P O 2=1,可知动点Q 的轨迹是在底面әA B C 内,以O 为圆心,半径为r =1的圆及其内部,其对应的面积为πr 2=π㊂应选B ㊂三㊁解析法解析法就是利用解析几何在研究轨迹方面的一整套比较完整的理论体系,通过坐标法进行代数运算与逻辑推理的一种求轨迹的方法㊂解析法是解决立体几何图形的二维轨迹问题的常用方法之一㊂例3 (多选题)如图2所示,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,E 是C C 1的中点,点P 在底面A B C D 内运动,若P D 1,P E 与底面A B C D 所成的角相等,则动点P 的轨迹是( )㊂71知识结构与拓展高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.图2A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.经过线段B C靠近B的三等分点D.经过线段C D靠近C的三等分点分析:根据题意得D P=2P C,以点D为坐标原点,建立平面直角坐标系,通过坐标法进行讨论求解㊂解:由正方体的性质得D D1ʅ平面A B C D,E Cʅ平面A B C D,所以øD P D1,øC P E分别为P D1,P E与底面A B C D所成的角,所以øD P D1=øC P E㊂因为t a nøD P D1=D D1D P,t a nøC P E= C EP C,又D D1=2C E,所以D P=2P C㊂在平面A B C D中,以D为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图3所示㊂图3设正方体的边长为a,点P(x,y),xȡ0,yȡ0,则点D(0,0),C(a,0),所以D P2= x2+y2,P C2=(x-a)2+y2,所以x2+y2= 4(x-a)2+4y2,整理得3x2+3y2-8a x+ 4a2=0,显然3x2+3y2-8a x+4a2=0表示圆的方程,所以动点P的轨迹是圆的一部分,A正确,B错误㊂线段B C靠近B的三等分点的坐标为a,23a,线段C D靠近C的三等分点的坐标为23a,0,分别代入方程3x2+3y2-8a x+4a2=0,可得3a2+3ˑ23a2-8a2+4a2=13a2ʂ0,3ˑ23a2+ 3ˑ02-8aˑ23a+4a2=0,所以23a,0在圆3x2+3y2-8a x+4a2=0上,a,23a不在圆3x2+3y2-8a x+4a2=0上,C错误,D 正确㊂应选A D㊂四㊁性质法性质法就是利用轨迹的相关知识来解决立体几何中轨迹问题的一种基本方法㊂有些空间图形的轨迹不一定是二维的,转化为平面问题比较困难,这时可借助性质法来处理㊂例4已知棱长为3的正方体A B C D-A1B1C1D1中,长为2的线段M N的一个端点M在D D1上运动,另一个端点N在底面A B-C D上运动,则线段M N的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为㊂分析:不论әMD N如何变化,点P到点D的距离始终等于1㊂从而点P的轨迹是一个以点D为球心,半径为1的球的18,由此可求出体积㊂解:如图4所示,端点N在正方形A B C D内运动㊂图4因为әMD N为直角三角形,P为斜边MN的中点,所以不论әMD N如何变化,点P到点D的距离始终等于1㊂利用立体几何的性质,可知动点P的轨迹是一个以点D为球心,半径为1的球的18,所以所求体积V= 18ˑ43ˑπˑ13=π6㊂作者单位:江苏省海安高级中学(责任编辑郭正华)8 1知识结构与拓展高一数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

立体几何中的轨迹问题求解策略立体几何是数学中一个重要分支，它涉及到空间几何对象的结构和属性。

它用于描述物体的运动轨迹，这类问题被称为轨迹问题。

这是一类重要的数学问题，可以帮助人们了解物体的运动轨迹，因此研究轨迹问题的求解策略具有重要的意义。

轨迹问题是一类复杂的数学问题，要有效地求解它们，必须先对轨迹进行分析，然后采用有效的求解策略。

传统的轨迹研究主要是对轨迹进行几何分析，从几何角度解决轨迹问题，通过构建几何方程来求解。

然而，这种方法耗时，效率低。

随着计算机技术的进步，人们研究轨迹问题的求解策略也有了很大的变化。

最近在轨迹求解中出现了更多的计算机辅助技术，如统计学习、机器学习和神经网络等，克服了传统方法复杂、耗时的不足。

这些技术可以有效地分析出轨迹的规律，从而简化轨迹求解的过程，大大提高求解效率。

求解轨迹问题的数学解法一般分为四种。

首先，可以采用拟合方法，即利用待求轨迹的几何信息，拟合出相应的曲线或曲面函数，据此求出各点的位置关系；其次，可以用微分方程的求解方法，从而获得轨迹的表达式和参数；第三，可以利用混沌理论、技术求解；最后，采用计算机辅助方法，如统计学习、机器学习和神经网络等，以模型和算法为基础求解轨迹问题。

计算机辅助方法是求解轨迹问题最有效的策略，它可以在计算机上得到更加准确和准确的结果，但要注意，数据处理和特征工程是一项重要的任务，要根据实际情况，结合求解这些问题的目的，仔细观察轨迹中的特征，以便分析实际轨迹的特性，选择合适的数据处理方法和机器学习算法，从而有效地求解轨迹问题。

综上所述，轨迹问题求解策略的研究具有重要的意义，在立体几何中，人们可以采用几何分析、微分方程求解，混沌理论以及计算机辅助方法等策略来求解立体几何中轨迹问题。

目前，使用统计学习、机器学习和神经网络等计算机辅助方法，求解轨迹问题已经取得了很大的进展，而且效率非常高。

未来的研究将更加注重于利用计算机辅助技术，进一步提高轨迹问题求解的效率。

立体几何路径问题
立体几何路径问题可以通过以下几种方法解决：
1. 几何法：根据平面的性质进行判定。

例如，如果一个点在运动过程中保持与某直线的垂直关系不变，那么这个点必然在经过该直线且与该直线垂直的平面内。

2. 定义法：将问题转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义进行判定，或者用代数法进行计算。

3. 截面法：根据丹德林双球进行判定。

例如，可以通过比较不同截面与球心的距离来确定最短路径。

4. 特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除。

5. 向量法：将几何问题与向量结合起来，通过向量的运算和性质来解决问题。

例如，可以计算向量的模长、向量的夹角、向量的和与差等，从而确定点在空间中的位置和运动轨迹。

以上方法仅供参考，立体几何路径问题比较复杂，需要根据具体问题选择合适的方法进行解决。

4.定长型动态问题对于定长型动点问题，即空间中动点满足到某个定点的距离为定值，其实由球的定义可知，动点的轨迹即以定点为球心，定长为半径的球.另一方面动点会在某个其他平面上运动，所以，这实际就是一个球的截线问题.处理这样问题的关键点有两个：第一，找到球在这个面的边界点（利用已知数据计算），第二，找到这个截面的外接圆圆心，其利用球的截面性质来算，做到上述两点，这个问题就基本上能够解决！当然，坐标法也是一个不错的手段，等会例题中将会体现.一．典例分析例1.（2020新高考1卷）已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．解析：如图：解析：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E =<找到球在这个面的边界点（利用已知数据计算）>.111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥，因为1111BB B C B = ，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥1D E =，所以||EP ===11B C CB 与球面的交线上的点到E 的，因为||||EF EG ==所以侧面11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧 FG ，因为114B EF C EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得222FG π==.故答案为：22π.其实，相关问题亦可用向量法来解决，下面我们看一下相关例子.例2.已知正方体1111ABCD A B C D -过顶点1,,B D C 的平面为α，点P 是平面α内的动点，1A P =P 的轨迹长度等于（）A．πD．2π解析：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，)B，(1C，1A ，所以)DB =，(1DC =，1DA = ，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z = ，则100n DB n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，令1x =，则()1,1,1n =- ，所以点1A 到平面1BDC 的距离12DA n d n ⋅== ，设点1A 在平面1BDC 的射影为O ，即12AO =，又12A P =，所以2OP =，1BDC △的等边三角形，其内切圆半径为1222332BDC S BD BD ==△，所以P 为以O为圆心，半径r =所以点P的轨迹长度为222r ππ=⨯=；故选：B 注：此题亦可用几何法算得，球与面1DBC 的边界点分别是B C D C 11,的中点，三角形1DBC 的外接圆圆心为其中心.例3.在四棱锥P ABCD －中，PA ⊥面,ABCD 四边形ABCD 是边长为2的正方形，且2PA ＝．若点E F 、分别为,AB AD 的中点，则直线EF 被四棱锥P ABCD －的外接球所截得的线段长为_____．解法1.如图所示：因为PA ⊥面,ABCD 四边形ABCD 是正方形，所以,,PAC PBC PDC 均为以PC 为斜边的直角三角形，所以外接球的球心O 为PC 的中点，则12R PC ===,取EF 的中点G,因为3664,22PC GC AC OC ⨯====，所以PC GC AC OC=，则PAC GOC ，所以GO PC ⊥，所以球心到直线的距离为2d GO ==，所以l ==，.这个几何证法可以让很多学生望洋兴叹，下来我们再尝试用例1所总结的向量方法来计算.即计算球心O 与截线上两个特殊点F E ,所构成的EOF ∆的高线长.解法2.以A 为原点，AP AD AB ,,所在直线分别为z y x ,,轴，所需各点坐标为)1,1,1(),0,1,0(),0,0,1(O F E ，则)0,1,1(),1,0,1(),1,1,0(-===→→→EF FO EO ，则EOF ∆为边长是2的等边三角形，则点O 到直线EF 的距离26=d.两个方法，高低立现，所以我们在处理一些立体几何的选题压轴题时，多去尝试用向量的方法来解决可以着实提高很多学生的解题能力.。

例谈⽴体⼏何中的轨迹问题例谈⽴体⼏何中的轨迹问题上海虹⼝⽥庆涛引例如图，AB是平⾯?的斜线段．．．，A为斜⾜，若点P在平⾯?内运动，使得ABP?的⾯积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．⼀条直线D．两条平⾏直线本题是2008年浙江省⾼考题，诸如此类的⽴体⼏何中的轨迹问题在近⼏年各地区的模考与⾼考中频出，本⽂就⾼中范围内，常见轨迹产⽣的原理进⾏分析，给出⽴体⼏何中轨迹问题的两种常见的处理⽅法.⼀、平⾯截圆柱⾯所得的截线曲线在空间，由平⾏于定⽅向且与⼀条定曲线相交的⼀族平⾏线所⽣成的曲⾯叫做柱⾯，平⾏直线中的每⼀条直线叫做柱⾯的母线[1].特别地，在空间，到定直线的距离为定值的动点（或动直线）形成的轨迹为以定直线为轴的圆柱⾯，平⾯截圆柱⾯产⽣的截⼝轨迹通常为圆、直线、椭圆等.命题1[2]圆柱⾯被与圆柱的轴斜交的平⾯截得的截线为椭圆.如图，平⾯APB为圆柱⾯的截线，其中AB为截⾯与圆柱的轴截⾯的交线，下⾯证明截线为椭圆：分别作焦球与截⾯相切，切点分别为1F，2F，在截线上任取动点P，过P作圆柱的母线，与焦球分别切于M、N两点，连接1PF、2PF，易知1PFPM?，2PFPN?，所以有：12PFPFPMPNMN即动点P到定点1F，2F的距离之和为定值MN，所以P的轨迹为以1F，2F为焦点，以MN为长轴长的椭圆.命题2圆柱⾯被平⾏于轴的截⾯截得的曲线为两条平⾏于轴的平⾏线.命题3圆柱⾯被垂直于轴的截⾯截得的曲线为圆.⼆、平⾯截圆锥⾯所得的截⼝曲线在空间，通过⼀定点，且与定曲线相交的⼀族直线所⽣成的曲⾯叫做锥⾯[1].特别地，过定直线l上的某⼀定点O，且与定直线l成等⾓（⾮直⾓）的直线族所⽣成的曲⾯为圆锥⾯，定直线l为圆锥⾯的轴，直线族中的每⼀条直线均为圆锥⾯的母线，定点O为圆锥⾯的顶点.圆锥⾯被平⾯截得的截⼝曲线可以为直线、圆、抛物线、双曲线、椭圆等.命题4[2]当截⾯与圆锥的轴垂直时，截⾯曲线为圆；当截⾯的焦点轴与圆锥⾯的轴截⾯的两条母线都相交，且交点位于圆锥⾯的同⼀叶时，截得的曲线为椭圆；当截⾯的焦点轴与圆锥⾯的轴截⾯的两条母线都相交，且交点位于圆锥⾯的不同叶中时，截⾯曲线为双曲线；当截⾯的焦点轴与圆锥⾯的轴截⾯的两条母线中的某⼀条平⾏时，截⾯曲线为抛物线.如图，平⾯PQL为圆锥⾯的截⾯，其中AK为截⾯与圆锥的轴截⾯的交线，做焦球与截⾯切于F，设P为截线上的任意动点，过P作母线与焦球切于M，易知，PMPFNB??，ANAF?，NKABJA??，所以ANABANABNBAKAJAKAJKJ，结合ANNBAKKJ?，PMPFNB??，ANAF?，KJPQ?，可得：PFANePQAK??，由此，F为截线的焦点，直线LQ为截线的准线，定值ANAK为截线的离⼼率，直线KJ为截线的焦点轴.P1F2FABNMPFMONQABKLJABP?当焦点轴与圆锥⾯的母线平⾏时，1ANAK?，此时截线为抛物线；当焦点轴与轴截⾯的两条母线的交点位于同⼀叶时，01ANAK??，此时的截线为椭圆；当焦点轴与轴截⾯的两条母线的交点位于不同叶时，1ANAK?，此时截⼝曲线为双曲线.三、⽴体⼏何中轨迹问题的两种常见处理⽅法（1）⼏何法借助曲线的定义或⼏何图形的特征进⾏识别轨迹类型的⽅法称之为⼏何法.使⽤⼏何法时，需特别关注圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义，同时还需关注被截⾯的类别，常见的被截⾯有平⾯、圆柱⾯与圆锥⾯等.如两平⾯的交线为直线，平⾯截圆柱⾯所得截⼝曲线可以为圆或椭圆，平⾯截圆锥⾯所得截⼝曲线可以为圆、椭圆、抛物线、双曲线等，具体可以结合前⽂的命题进⾏识别.（2）代数法建⽴坐标系，通过解析法，求出截⼝曲线的轨迹⽅程的⽅法称为代数法.使⽤代数法时，⼀般需要选择合适平⾯，建⽴的平⾯直⾓坐标系，在截⼝曲线上任取点??,Pxy，依照题中的条件，建⽴⽅程并化简，得到⽅程??,0fxy?（⾼中范围内，通常只涉及到两个变量．．．．的⽅程），最后结合⽅程的特征识别轨迹的类型.【注】偶尔会涉及到建⽴空间直⾓坐标系，但此类问题中最终的⽅程⼀般只含有两个变量.四、⽴体⼏何中常见的轨迹问题举例（1）轨迹类型识别此类问题最为常见，求解时，关注⼏何体的特征，灵活选择⼏何法与代数法.例1、（2006北京）平⾯?的斜线AB交?于点B，过定点A 的动直线l与AB垂直，且交?于点C，则动点C的轨迹是()A．⼀条直线B.⼀个圆C.⼀个椭圆D.双曲线的⼀⽀【解析】直线l运动后形成的轨迹刚好为线段AB的垂⾯，由公理⼆易知点C刚好落在平⾯?与线段AB的垂⾯的交线上，所以动点C的轨迹是⼀条直线.选择A.【点评】空间的轨迹最简单的⼀直存在形式就是两个平⾯的交线，在处理问题中注意识别即可.?BCAlAAANNNKKKK?K?【变式】（2004重庆）若三棱锥ABCD?的侧⾯ABC内⼀动点P到底⾯BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC?组成图形可能是（）A.B.C.D.【解析】显然点B点符合题⽬要求，在ABC?中取⼀点符合条件的点P?，过P?分别作平⾯BCD、线段AB的垂线，垂⾜分别为E?、F?，即有PEPF??，连接BP?，在线段BP?上取点P??，在BPE与BPF中分别作PE??、PF??的平⾏线，分别交BE?、BA于E??、F??两点，易知，PE平⾯BCD，PFAB，结合相似不难得到PEPF，由此可知符合条件的点P的轨迹为直线BP?，排除A、B选项，对⽐C、D选项，易知选择D.【变式】如图，在正⽅体1111ABCDABCD?中，M为BC中点，点N在四边形11CDDC内运动，且11MNAC?，则N点的轨迹为（）A.线段B.圆的⼀部分C.椭圆的⼀部分D.双曲线的⼀部分【解析】过N向平⾯ABCD作垂线，垂⾜为H，则ACMH?，所以H为DC中点，不难得到N点的轨迹为⼀条线段.ABCABCABCABCPPPPABCDE?E??F??F?P?P??ABCD1A1B1C1DNMABCD1A1B1C1DNMH例2、如图，在正⽅体1111ABCDABCD?中，若四边形11ABCD内⼀动点P到1AB和BC的距离相等，则点P的轨迹为（）A．椭圆的⼀部分B．圆的⼀部分C．⼀条线段D．抛物线的⼀部分【解析】由于1AB?平⾯11ABCD，连接OP，此即为点P到1AB的距离，由此，动点P到1AB和BC的距离相等转化为在平⾯内到定点（定直线外）的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹问题，符合抛物线的定义，所以本题选D.【点评】⽴体⼏何中的距离问题，往往需要借助线⾯垂直转化；涉及到动点的轨迹问题，优先考虑定义法.【变式1】在正⽅体1111ABCDABCD?中，若平⾯11ABCD上⼀动点P到1AB与到BC的距离⽐为2，则点P的轨迹为（）A．椭圆的⼀部分B．圆的⼀部分C．双曲线的⼀部分D．抛物线的⼀部分【答案】C【变式2】在正⽅体1111ABCDABCD?中，若平⾯11ABCD上⼀动点P到1AB与到BC的距离⽐为12，则点P的轨迹为（）A．椭圆的⼀部分B．圆的⼀部分C．⼀条线段D．抛物线的⼀部分【答案】AABCD1A1B1C1DPO例3、（2008浙江）如图，AB是平⾯?的斜线段．．．，A为斜⾜，若点P在平⾯?内运动，使得ABP?的⾯积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．⼀条直线D．两条平⾏直线【解析】考虑到三⾓形的⾯积为定值，结合线段AB固定，易知动点P到线段AB的距离为定值，结合前⽂定义，在空间到定直线距离为定值的点的轨迹为以定直线为轴的圆柱⾯，可以得到P点在此圆柱⾯上，⼜点P在平⾯?内运动，所以点P在平⾯?与圆柱⾯的截线上，由于AB是平⾯?的斜线段．．．，所以平⾯?与圆柱⾯斜交，由命题1，可以得到动点P的轨迹是椭圆，选择B.【点评】“动中寻静”，充分挖掘不变量，是解决此类问题的关键，另外需注意圆柱⾯的⽣成过程.例4、已知动点P在正⽅体1111ABCDABCD?的侧⾯11BBCC中,且满⾜11PDDBDD,则动点P的轨迹是（）的⼀部分A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解析】由于11PDDBDD，所以可视点P为以1DD为轴，以1DB为母线的圆锥⾯上的动点，⼜动点P在11BBCC中，所以动点P在平⾯11BBCC与圆锥⾯的截线上，由于1//DD平⾯11BBCC，所以平⾯11BBCC与圆锥轴截⾯的母线的交点在不同叶上，截⼝曲线为双曲线，选择C.【点评】结合圆锥⾯⽣成过程，识别圆锥⾯是解决问题的前提，平⾯截圆锥⾯所得的截⼝曲线的识别，需关注截⾯与圆锥轴截⾯母线的位置关系，辩证识别.【变式】（2014上海⼋校联考）设B、C是定点，且均不在平⾯?上，动点A在平⾯?上,且1sin2ABC??，则点A的轨迹为（）A.圆或椭圆B.抛物线或双曲线C.椭圆或双曲线D.以上均有可能【解析】由1sin2ABC??，可知ABC?为固定⾓，由于B、C是定点，可视点A为以直线BC 为轴，AB为母线的圆锥⾯上的动点，⼜动点A在平⾯?上，所以点A在平⾯?与圆锥⾯的截线上，由于截⾯与母线的位置关系不定，所以截线可以为圆、椭圆、双曲线、抛物线等，本题选择D.ABP?ABCD1A1B1C1DP例5、如图，在矩形ABCD中，E为边AD上的动点，将ABE?沿着直线BE翻转成1ABE?，使平⾯1ABE?平⾯ABCD，则点1A的轨迹是（）A.线段B.圆弧C.椭圆的⼀部分D.以上都不是【解析】将ABE?沿着直线BE翻转成1ABE?的过程中，1AB的长度始终是保持不变的，这样，点1A在以B为球⼼，以AB为半径的球⾯上，所以点1A的形成轨迹为圆弧，选择B.【点评】在空间，到定点的距离为定长的点的轨迹为球，球的概念⽣成的两个必要条件为定点与定长，解题时注意把控.例6、已知正⽅体1111ABCDABCD?的棱长为1，点P是平⾯ABCD内的动点，若点P到直线11AD的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．直线【解析】本题从⼏何的⾓度很难找到突破⼝，可以尝试从代数的⾓度处理：如图，建⽴直⾓坐标系xDy??，设??,Pxy，则有21yx??化简可得：221xy??，即动点P的轨迹所在的曲线为双曲线，选择B.【点评】“数缺形式少直观，形缺数时难⼊微”，轨迹问题更是如此，从⼏何⾓度不好⼊⼿时，可以尝试从代数的⾓度，利⽤解析法求解出相应轨迹，不失为此类问题解决的好⽅法.【变式1】已知正⽅体1111ABCDABCD?的棱长为1，M在棱AB上，且13AM?，点P在平⾯ABCD上，动点P到直线11AD的距离的平⽅与点P到点M的距离的平⽅的差为1，则点P的轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．直线【解析】涉及到数值的具体量化，采⽤代数法，建⽴如图所⽰的直⾓坐标系xAy??，设??,Pxy，则有22211103xxy化简可得：22139yx??，故点P的轨迹为抛物线，选择A.ABCD1AEABCD1A1B1C1DMPxyQNABCD1A1B1C1DMPxyABCD1A1B1C1DMP【变式2】四棱锥PABCD?，AD?⾯PAB，BC?⾯PAB，底⾯ABCD为梯形，2BCAD?，APDCPB，则四棱锥的顶点P的轨迹是（）A．圆B．不完整的圆C．抛物线D．抛物线的⼀部分【解析】结合题中的条件易知2PDPA?，在平⾯PAD内符合“阿⽒圆．．．”定义，考虑到P不能在直线AD上，故顶点P的轨迹是不完整的圆，选择B.（2）与轨迹相关的度量与轨迹相关的度量，具体涉及到轨迹长度，轨迹⾯的⾯积，轨迹体的体积，以及与轨迹相关的⾓度、距离、周长等.例1、在棱长为1的正⽅体1111ABCDABCD?中，,MN分别为1AC、11AB的中点，点P在正⽅体的表⾯上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长为________.【解析】依照题意，只需过点M作直线BN 的垂⾯即可，垂⾯与正⽅体表⾯的交线即为动点P的轨迹.分别取1CC、1DD中点G、H，易知BN?平⾯AGHD，过M作平⾯AGHD的平⾏平⾯EFGH??，点P所构成的轨迹即为四边形EFGH??，其周长与四边形AGHD的周长相等，所以点P所构成的轨迹的周长为25?.【点评】本题中⾯⾯的交线（截痕）即为动点P的轨迹，处理问题的关键抓住线⾯垂直，进⾏合理转化.例2、已知正⽅体1111ABCDABCD?的棱长为3，长为2的线段MN点⼀个端点M在1DD上运动，另⼀个端点N在底⾯ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹与正⽅体的⾯所围成的⼏何体的表⾯积为_________，体积为_________．【解析】线段MN移动中，MDN?始终为直⾓三⾓形，所以112PDMN??，即动点P到定点D的距离为定值，故点P的轨迹为以D为球⼼，1为半径的球，考虑到与正⽅体围成的⼏何体为18球，所以⼏何体的体积为6?，表⾯积为18球⾯外加三个扇形的⾯积，表⾯积为54?.【点评】识别动点轨迹是进⾏量化的前提，本题中涉及球的概念识别.ABCD1A1B1C1DNMPADCBPABCD1A1B1C1DNMABCD1A1B1C1DNMEG?FHGH?例3、正⽅体1111ABCDABCD?的棱长为1，P为侧⾯11BBCC内的动点，且2PAPB?，则P点在四边形11BBCC内形成轨迹图形的长度为_________．【解析】符合“球——在空间到两定点距离之⽐为定值（定值不为1）的点的轨迹”的定义，所以P点在空间形成的轨迹被平⾯11BBCC 截得的轨迹为圆，涉及到具体长度，需要代数法进⾏量化，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系：设??,0,Pxz，依照题意，则有：222221xzxz化简可得：2213xz??，所以在平⾯11BBCC内的轨迹为以B为圆⼼，以33为半径的圆，在四边形11BBCC内形成轨迹刚好为14圆周，轨迹程度为36?.【点评】在平⾯内，到两定点的距离之⽐为定值（且定值不为1）的点的轨迹为圆；此结论最早由希腊数学家阿波罗尼斯发现，后⼈常称此圆为阿⽒圆.类似的，在空间，到两定点距离之⽐为定值（且定值不为1）的点的轨迹为球（证明略）.例4、正⽅体1111ABCDABCD?中，⾯11ABBA上的点P到直线11,ABAD的距离相等，且PAPB?，则AC与AP所成⾓的⼤⼩为_________.【解析】在平⾯11ABBA内，点P到直线11,ABAD的距离相等，所以点P在以1A为焦点，AB为准线的抛物线上，⼜PAPB?，所以点P在线段AB的垂直平分线上，由此可以确定点P的位置，进⽽进⾏量化计算.如图所⽰，设正⽅体的棱长为2，则54PQ?，22AC?，414AP?，1054PC?，由余弦定理，则有282cos41PAC??，所以AC与AP所成⾓的⼤⼩为282arccos41.【点评】找到P点的位置是解决本题的关键，后⾯只需构造三⾓形，解三⾓形即可.ABCD1A1B1C1DPxABCD1A1B1C1DPyzABCD1A1B1C1DPABCD1A1B1C1DQ例5、已知直线l?平⾯?，垂⾜为O，在矩形中ABCD，1AD?，2AB?，若点A在l上移动，点B在平⾯?上移动，则O、D两点间距离的最⼤值为（）A.5B.322?C.3D.21?【解析】点A在l上移动，点B在平⾯?上移动过程中，AB的中点M到O点的距离始终保持不变，即AB的中点始终在以O为球⼼，1为半径的球⾯上.由此可以采⽤⼏何法处理，如图，连接OD、MO、MD，易知OMMDOD??，所以OD的最⼤值为21OMMD，选择D.本题亦可采⽤代数法求解，如图所⽰建⽴坐标系，设OBA，其中0,2，则有222222sincossinODOAAHHD化简可得222sin234OD所以?? 2222321OD，即21OD??.【点评】利⽤⼏何法解决问题，关键抓住⼏何要素，本题中线段的中点在球⾯上是⼏何法解决问题的突破⼝.利⽤代数法解决问题时，选择合适的建系⽅案，尽可能的简化运算.【变式1】（2015上海13校联考）直线m?平⾯?，垂⾜为O，正四⾯体ABCD的棱长是4.点C在平⾯?上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是（）A.425425,22B.222,222??????C.322322,22D.322,322??????【解析】如图所⽰，易知122OMBC??，由此可知，线段BC的中点的轨迹为以O为球⼼，2为半径的球，随着,BC的移动变化，BC始终与球相交，结合异⾯直线BC与AD之间的距离为22，要使点O到直线AD的距离取最值，需O到BC的距离最⼤，此时BC与球O相切，由此可得点O到直线AD的距离的取值范围是222,222.m?OCBADM?ABCDOmABCDOlOABCDM21OADHCBxy【变式2】（2012温州⼀模）如图，直线l?平⾯?，垂⾜为O，正四⾯体ABCD的棱长为4，C在平⾯?内，B是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最⼤时，正四⾯体在平⾯?上的射影⾯积为（）A．422?B．222?C．4D．43【解析】分别取BC、AD的中点M、N，由变式1可知，当O到AD的距离为最⼤时，O、M、N三点共线，且OMBC?，OM与?所成的⾓为4?，222ON??，此时正四⾯体在平⾯?上的射影为等腰三⾓形OEF，底为4，⾼为??222sin224，所以射影的⾯积为422?.结束语⽴体⼏何中轨迹问题以及与轨迹相关的度量问题，可以综合采⽤⼏何法与代数法处理，采⽤⼏何法时，需要抓住⼏何不变量，熟悉⼀些常见曲线定义及其⽣成过程，以及常见的截⼝曲线的类型；使⽤代数法，要建⽴合适的坐标系，尽可能的简化运算，最后，在个别问题中，还需要注意纯粹性与完备性.参考⽂献[1]吕林根许⼦道解析⼏何[M].⾼等教育出版社，2012.2[2]蒋声圆锥曲线的⼏何性质[M].上海教育出版社，2002.2[3]范剑云⽴体⼏何中的轨迹问题[J].中国科教创新导刊，2010年，第18期.?ABCDOl?ABCDOlNMFE。