勾股定理应用整理(2017的整理)

周长=5+ 13
用方程思想解决图形 折叠问题
方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
（应用）小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸 边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向 岸边，竹竿和岸边的水平线刚好相齐，求河水深度。
F
·
B
A
东
练习：如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m， 两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一 棵树的树梢，至少要飞______m
A
8m
C
B
2m
8m
不规则图形的面积
如右图，每个小正 方形的边长为1，求 四边形ABCD的面积。
S四边形ABCD
5 5 1 1 5 1 2 4 1 1 2 1 1 1 4
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
例2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D
B
A
C
E
例3：三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC
方向对折，再将CD折叠到CA边上，
折痕CE，求三角形ACE的面积
D
C
E
AG
B
例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8， 先把它对折，折痕为EF，展开后再沿 BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二次
折痕BG的长。 提示：先证明正三角形AA1B
C
B
A1
E
F
D
G
A
例2：矩形ABCD如图折叠，使点 D落在BC边上的点F处，已知 AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
A
x
x+1
C
B
5
如图，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一 杆高20m，两杆相距50m，现两杆上各有一只鱼 鹰，它们同时看到两杆之间的河面上浮起一条小 鱼（即E点），于是以同样的速度同时飞过来夺鱼， 结果两只鱼鹰同时到达，问：两杆底部距鱼处的 距离各是多少？
D
A
C
B
E
（1）吸管的长度
一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内
已知： 求：
文字语言
解：如图：设AB=xm,则AC=x+0.5， 在直角三角形ABC中： x2+1.52=(x+0.5)2 解得：x=2 答：河水深2米。
图形语言 符号语言
折叠三角形
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
H
G
E
F
D C
A
B
如图是一个40cm×30cm×120cm 的长方体空盒子。小明准备放入一些铅 笔（要使铅笔完全放入盒中），问最长 能放入多长的铅笔？
H
G
E D
A 40
F
120
C 30 B
（2）箱壁上的最短距离
如图，一圆柱高8cm，地面半径2cm，一只蚂蚁 从点A爬到点B处吃食，问蚂蚁要爬行的最短路 程是多少？
ab=6
(4)
(3)
(2)
变式一：小明用电脑把四个全等的直角三角形 拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为 13，中间小正方形的面积为1，直角三角形的两 条直角边为a,b，求(a+b)2=?
(a+b)2=25
(4)
(3)
(2)
变式二、小明用电脑把四个全等的直角三角形拼 成了一个大正方形，已知大正方形的面积为13， 中间小正方形的面积为1，直角三角形的两条直 角边为a,b，求直角三角形的周长等于多少？
解：如图
BC为芦苇长， AB为水深， AC为池中心点距岸边的距离。
5
设AB ＝x尺，则BC ＝（X＋1）尺，
根据勾股定理得：x2+52=(x+1)2
x
X+1
即：(x+1)2- x2 =52
解得：x＝12
所以芦苇长为12＋1＝13（尺）
答:水深为12尺,芦苇长为13尺。
盛开的水莲 平静湖面清可鉴，面上半尺生红莲；
部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进
杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要做多长？
吸管长 １８ｃｍ
5㎝
1３㎝
？
12㎝
5㎝
如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、
高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒
子中，则细木棒露在盒外面的最短长度
是
．
？ 10㎝
10㎝？ 8㎝
6㎝
如图是一个棱长为10cm的正方体盒子，小 明准备放入一些铅笔（要使铅笔完全放入 盒中），问最长能放入多长的铅笔？
2
2
2
2
14.5
在数轴上表示二次根数
在数轴上表示 17 的点？
17= 1+16= 12 +42
在数轴上表示 7 的点？
7= 16 9= 42 32
赵爽弦图
(4)
(3)
(2)
小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一 个大正方形，已知大正方形的面积为13，中间 小正方形的面积为1，直角三角形的两条直角边 为a,b，求ab=?
勾股定理的应用
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方
c
股
弦
b
a2 + b2 = c2 a2 = c2 - b2
a勾
b2 = c2 - a2
练一练(数学就在我们身边)
A
?
B
120cm
C
90cm
持竿进城（课本P25例1） 摆梯子（例2）
“引葭赴岸”
《九章算术》专设勾 股章来研究勾股问题， 共24个问题．按性质 可分为三组，其中第 一组的14个问题可以 直接利用勾股定理来 解决．很多是具有历 史地位的世界著名算 题．
触地面处离竹根6尺，试
x
10-x 问折断处离地面多高？
设：折断处离地面高x尺
B6
C
旗杆有多高
下图是学校的旗杆,旗杆上的绳 子垂到了地面,并多出了一段. 有一把卷尺你能想办法测量出 旗杆的高度吗? 请你与同伴交流设计方案?
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1米，当他们把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗 杆的高度和绳子的长度计算出来吗？
A
D
E
B
FC
例4：边长为8和4的矩形OABC的两边分
别在直角坐标系的X轴和Y轴上，若 沿对
角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处， 设B1C交X轴于点D，求（1）三角形 ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3） AB1所在的直线解析式。
C1
B
2
O
D E3 A
B1
如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点 C落在C’处，BC’交AD于E，AD=10，AB=8, 求DE的长。
10-x
8
x x
(10-x)2=x2+82 x=1.8
变式：将矩形ABCD折叠，使点D落BC边上
点D’处，折痕为AE，AD=8，AD=4,求EC的 长。
8-x
10 6
8-x x
4
(8-x)2=x2+42 x=3
走进生活（1）
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最长 的吧！
快点回家，
好用它凉衣 服。
糟糕，太
长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么， 能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出 小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
x
1.5米
1.5米
2.2米
2.2米
1.5米
1.5米
Cx
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
A
A
B
B
在图中，如果在正方体箱内的A处 有一只昆虫，它要在箱壁上爬行
. 到B处，至少要爬多远？ B
.A
在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，
它要在箱壁上爬行到G处，至少要爬多
远？
H
.G
E
F 120
.D
A 40
C
30
B
与方位相关
如图：A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的 BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受 到台风影响的区域。 北 （1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城受到这次 台风影响有多长时间？
B到河边的距离分别为AC=3kmM,并且CD=10Km.问：如果要求水泵站到A、B两 村的距离相等，则水泵站应该建在什么位置？
10-x x
(10-x)2+32=x2+72 x=3
走进生活（3）
小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高 30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间的距离 是50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟 同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻 以同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。 问这条鱼出现在两树之间的何处？
AB≈3米
走进生活（2） 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A,B两个村庄送水， 已知A、B到河边的距离分别为AC=3km M,并且CD=10Km.问：水泵站建立在什么地方，可使所用的 水管最短？请在图中标出水泵站P的位置。
AB 10 2
变式：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A,B两个村庄送水，已知A、
在数学中，我们发现真理的主要工具是归 纳和模拟。
————拉普拉斯
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。 渔人观看忙向前，花离原位两尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？
A
0.5
wenku.baidu.com
C
2
H
┓
印度数学家什迦逻（?x 1141年-
1225年）曾提出过“荷花问
题”：
B
《九章算术》中的折竹问题：“今有竹
高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高
者几何？”
题意是：有一根竹子原
A
高1丈（1丈=10尺）， 中部有一处折断，竹梢
探索(古题鉴赏)
“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题: “今有池方一 丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与 岸齐。 问水深、葭长各几何？”
题意是：
有一个边长为10尺的正方形池塘， 在水池正中央有一根新生的芦苇， 它高出水面1尺，如果把这根芦苇 沿与水池边垂直的方向拉向岸边， 它的顶端恰好到达岸边。请问这个 水池的深度和这根芦苇的长度各是 多少？
A
A
A
B
D
C
D
D1 E
CD
C
折叠四边形
例1：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求 1.CF 2.EC.
10
D
A
8-X
8 10
E
8-X X
B
6
F4 C
例2：折叠矩形纸片，先折出折痕 对角线BD，在绕点D折叠，使点A 落在BD的E处，折痕DG，若AB=2， BC=1，求AG的长。