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Matlab教学第四章 MATLAB符号运算(Symbolic)

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Matlab符号计算

Matlab符号计算

s=log(2*x/y);
simplify(s)
ans =
log(2)+log(x/y)
s=(-a^2+1)/(1-a)
simplify(s)
ans =
a+1
函数simple试用几种不同的化简工具，然后选择在结果中含有最少字符的那种形式。如下例：
syms x y;
syms x y;
V=3*x^2-5*y+2*x*y+6
V =
3*x^2-5*y+2*x*y+6
二．基本的符号运算
1．四则运算：
符号表达式的加减乘除可以分别利用函数symadd、symsub、symmul、symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。
例：
f=‘2*x^2+3*x-5’ %定义符号表达式
④limit(f,x,a,’right’)，求极限，’right’表示变量x从右边趋近于a。
⑤limit(f,x,a,’left’)，求极限，’left’表示变量x从左边趋近于a。
例：求下列极限
syms a m x;
f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
g=‘x^2-x+7’
U=symadd(f,g) %求f+g
V=symsub(f,g) %求f-g
W=symmul(f,g) %求f*g
X=symdiv(f,g) %求f/g
Y=sympow(f,’3*x’) %求f^(3x)
另外，与数值运算一样，也可以用+ - * / ^运算符来实现符号运算。如：
①limit(f,x,a)求符号函数f(x)的极限。当x趋向于a时，f(x)的极限值。

MATLAB的符号运算

MATLAB的符号运算

3.符号表达式的化简
• 可以对符号计算结果进行简化，诸如因
式分解、同类项合并、符号表达式的展 开、符号表达式的化简和通分等等。 • 合并同类项 collect(v) ----将表达式v的相 同次幂的项合并。 例：syms x t % 定义基本变量 f=(x-1)*(x-2)*(x-3) ％定义符号表达式 collect(f) ％合并f中x的同类项
ห้องสมุดไป่ตู้
5.符号代数方程求解 Matlab符号运算能够解一般的线性 方程、非线性方程、超越方程。当方 程组不存在符号解时，又无其他自由 参数，则给出数值解。 命令格式： solve(f,v) —— 求一个方程f=0的解 Solve(f1,f2, …fn) —— 求n个方程的解
例1. f = ax2+bx+c 求解 f='a*x^2+b*x+c'; • solve(f) —— 对缺省变量x求解 ans = 计算机 [1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] 格式 [1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
f=solve('x+y+z=1','x-y+z=2','2*x-y-z=1') f= x: [1x1 sym] f.x ans =2/3 y: [1x1 sym] f.y ans =-1/2 z: [1x1 sym] f.z ans =5/6 [x,y,z]=solve('x+y+z=1','x-y+z=2','2*x-y-z=1') x = 2/3 y =-1/2 z =5/6
6. 符号微分方程求解 —— 用一个函数可以方便地得到微 分方程的符号解 符号微分方程求解指令：dsolve 命令格式：dsolve(f,g) • f —— 微分方程，可多至12个微分方程的求

matlab 符号运算 矩阵公式推导

matlab 符号运算 矩阵公式推导

matlab 符号运算矩阵公式推导
在MATLAB中进行符号运算，可以使用符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)中提供的函数和工具。

要进行矩阵公式的推导，可以使用符号变量来表示矩阵和变量，并使用符号数学工具箱中的函数进行运算和化简。

下面是一个简单的矩阵公式推导的示例：
假设有一个矩阵A和一个向量x，要推导矩阵乘法(A*x)的结果，可以按照以下步骤进行：
1. 定义符号变量：
```matlab
syms A x
```
2. 用符号变量表示矩阵和向量：
```matlab
A = [a b; c d]; % 替换为实际的矩阵元素
x = [x1 x2]'; % 替换为实际的向量元素
```
3. 计算矩阵乘法(A*x)的结果：
```matlab
result = A*x;
```
4. 对结果进行化简：
```matlab
simplified_result = simplify(result);
```
5. 可以使用disp函数显示结果：
```matlab
disp(simplified_result);
```
通过这种方法，你可以进行更复杂的矩阵推导，包括求逆矩阵、行列式、特征值等。

你可以使用符号数学工具箱中提供的函数，如inv、det、eig等，进行矩阵的运算和分析。

希望以上内容对你有所帮助！。

MATLAB中的符号运算精品PPT课件

MATLAB中的符号运算精品PPT课件

符号变量 当字符表达式中含有多于一个的变量时，只有一个变 量是独立变量。如果不告诉MATLAB哪一个变量是独 立变量，MATLAB将基于以下规则选择一个：
在符号表达式中缺省的独立变量是唯一的，除去i和j 的小写字母，不是单词的一部分。如果没有这种字 母，就选择x作为独立变量。如字符不是唯一的，就 选择在字母顺序中最接近x的字母。如果有相连的字 母，就选择在字母表中较后的那一个。
symvar( ' 3*i+4*j ' ) % i and j are equel to sqrt(-1) ans= x
symvar( ' y+3*s ' ， ' t ' ) ans= s % find the variable closest to t rather than x
如果利用规则symvar不能找到一个缺省独立变量， 它便假定无独立变量并返回x。这一结论对含有由 多个字母组成的变量，如：alpha或s2的表达式， 或不含变量的符号常数均成立。如果需要，绝大多 数命令都使用用户选项以指定独立变量。
symvar( ' a*x+y*) % find the default symbolic variable ans= x
symvar( ' a*t+s/(u+3) ' ) % u is the closest to ' x ' ans= u
symvar( ' sin(omega) ' ) % ' omega ' is not a singlee character。 ans= x
MATLAB中的符号运算
2004.8.4
MATLAB所具有的符号数学工具箱与其 它所有工具不同，它适用于广泛的用 途，而不是针对一些特殊专业或专业 分支。另外，MATLAB符号数学工具 箱与其它的工具箱区别还因为它使用 字符串来进行符号分析，而不是基于 数组的数值分析。

MATLAB的符号运算V精简版

MATLAB的符号运算V精简版

ans=[2+y,4+y,6+y]
>> subs(f,x,[1:3]) >> subs(f,{x,y},{[1:3],[5:7]})
ans=[7 10 13]
>> subs(f,{x,y},{a+b,a-b}) >> subs(f,{x,y},{x+y,x-y})
Copyright © CUGB
2024/4/3
Matlab的符号运算
符号对象建立时可以附加属性： real、positive 和 unreal
>> x=sym('x','real') >> k=sym('k','positive') >> x=sym('x','unreal')
表明 x 是实的 表明 k 是正的 去掉 x 的附加属性
Copyright © CUGB 2024/4/3
Matlab的符号运算
符号表达式的建立
>> syms x >> f1=sin(x)+cos(x)
推荐！
>> f2=sym(’sin(x)+cos(x)’)
Copyright © CUGB 2024/4/3
Matlab的符号运算
相关函数
➢ findsym: 查找符号表达式中的符号变量
findsym(f) 按字母顺序列出符号表达式 f 中的所有自由变量 findsym(f,N) 列出 f 中距离 x 最近的 N 个自由变量（i，j 除外）
Matlab的符号运算
其它运算

Matlab教学第四章 MATLAB符号运算(Symbolic)

Matlab教学第四章 MATLAB符号运算(Symbolic)

符号求和
symsum(f,v,a,b): 求和

f (v )
v a
b
symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
1 例：计算级数 及其前100项的部分和 S 2 n 1 n >> syms n; f=1/n^2; >> S=symsum(f,n,1,inf) >> S100=symsum(f,n,1,100) x 例：计算函数级数 S 2 n 1 n
f2=2*(u+2)
ans=14 ans=2*((a+2)+2) f3=2*x+2*y ans=6
符号矩阵
使用 sym 函数直接生成 >> A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]') 将数值矩阵转化成符号矩阵 >> B=[2/3, sqrt(2); 5.2, log(3)]; >> C=sym(B) 符号矩阵中元素的引用和修改 >> A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]'); >> A(1,2) % 引用 >> A(2,2)=sym('cos(x)') % 重新赋值
ln( x h ) ln( x ) L lim 例：计算 h0 h
x M lim1 ， n n
n
>> syms x h n; >> L=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0) >> M=limit((1-x/n)^n,n,inf)
计算导数
符号对象的基本运算

MATLAB符号运算PPT课件

sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为： 符号量名=sym('符号字符串') 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变 量、函数或表达式。 应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行 代数运算时和数值常量进行的运算不同。
2021/5/8
8
2.9 符号变量和符号达式
(2) syms 函数
符号变量和符号表达式在使用前必须说明
syms函数 如果一个数学符号表示式中有多个符号，
如
z = a*t^2+b*t+c 可以用多个符号变量定义语
句放在此式前面。
>> clear
>> syms a b c t
>> whos
Name Size
Bytes Class
a
1x1
126 sym object
运算复杂的数学式，这也是我们使用它的目的。
2021/5/8
5
2.8数值运算与符号运算
数值运算在运算前必须先对变量赋值，再参加 运算。
符号运算不需要对变量赋值就可运算，运算结 果以标准的符号形式表达。
2021/5/8
6
2.8数值运算与符号运算
在MATLAB中是将一符号表示式储存唯 一字串 (character string)，即是以二个单 引号之内的表示式来定义其为 一符号式， 例如：
b
1x1
126 sym object
c
1x1
126 sym object
t
1x1
126 sym object
2021/5/8
12
2.10 符号表示式的运算
2.10.1 算术运算或四则运算

MATLAB符号运算功能PPT课件


2021/6/7
16
§ 3.5 符号矩阵的运算
一、基本运算 1. 符号矩阵的四则运算 • 矩阵的加（+）、减（-）法 例如：>>a=sym('[1/x,1/(x+1);1/(x+2),1/(x+3)] '); >>b=sym('[x,1;x+2,0]'); >>b+a
ans = [ 1/x+x, 1/(x+1)+1] [ 1/(x+2)+x+2, 1/(x+3)]
2021/6/7
19
6. 符号矩阵的指数运算 • 符号矩阵的“数组指数”运算由函数exp实现, 如：exp(b)； • 符号矩阵的“矩阵指数”运算由函数expm实现; 如：expm(b)
>> exp(b) ans =
[ exp(x), exp(1)] [ exp(x+2), 1]
>>expm(b) >>a=[0 1;3 2] >>syms t >>expm(a*t)
ans =1/(1+sin(y)^2) >>compose(f,g,t);
ans =1/(1+sin(t)^2) >>compose(h,g,x,z);
2021/6/7
12
ans =sin(z)^t
>> compose(h,g,t,z); ans =x^sin(z)
>> compose(h,p,x,y,z); ans =exp(-z/u)^t
digits(D) 函数设置有效数字个数为D的近似解精度； R=vpa(S) 符号表达式S在digits函数设置下的精确的数值解； vpa(S,D) 符号表达式S在digits(D)精度下的数值解； 例题：求方程 3x2-ex=0 的精确解和各种精度的近似解。 s=solve(' 3*x^2-exp(x)=0 ')

MATLAB符号计算功能

MATLAB符号计算功能MATLAB是一种高级的数学计算和编程环境，具有强大的符号计算功能。

符号计算是指在计算机上进行代数和数学运算，包括化简表达式、求导、积分、方程求解等。

MATLAB的符号计算功能由Symbolic Math Toolbox提供，它使得用户可以像进行手工计算一样，用符号表达式进行数学计算。

在MATLAB中，符号计算的核心是符号对象。

符号对象是一种特殊的数据类型，用于表示代数表达式。

用户可以使用符号对象来创建符号表达式，并进行各种数学运算。

首先，我们可以使用sym函数或者syms函数来创建符号对象。

例如，创建一个符号对象x：```x = sym('x');```或者一次创建多个符号对象：```syms x y z;```创建了符号对象之后，我们可以使用这些符号对象来构建符号表达式，并进行各种运算。

1.符号表达式的构建使用符号对象创建的符号表达式可以包含变量、常数和运算符。

例如，假设我们要创建一个符号表达式表示一个二次函数：```f=x^2-2*x+1;```这里，f是一个符号表达式，表示二次函数x^2-2*x+12.化简表达式```f_simplified = simplify(f);```3.求导```df = diff(f, x);```这里，df是f关于变量x的导函数。

4.积分```F = int(f, x);```这里，F是f的不定积分，表示为一个符号表达式。

```A = int(f, x, a, b);```这里，A是f在区间[a,b]上的定积分。

5.方程求解```eqn = x^2 - 2*x + 1 == 0;solutions = solve(eqn, x);```这里，solutions是方程x^2 - 2*x + 1 = 0的所有解。

总之，MATLAB的符号计算功能提供了方便的代数和数学运算工具，使用户能够进行复杂的符号计算，从而更好地理解和分析数学问题。

四MATLAB符号运算

实验四 MATLAB符号运算一．实验目的掌握符号变量和符号表达式的创建，掌握matlab的symbol工具箱的一些基本应用。

二．实验内容（1）符号变量、表达式、方程及函数的表示。

（2）符号为积分运算。

（3）符号表达式的操作和转换。

（4）符号微分方程求解。

三．实验步骤1.符号运算的引入在数值运算中如果求lim(sin(pi*x)/x(x-0)，则可以不断让x趋近0，一球的表达式趋近什么数，但是终究不能令x=0，在数值运算中0不能做除数。

Matlab的符号运算能解决这类问题。

输入如下命令：>> f=sym('sin(pi*x)/x')f =sin(pi*x)/x>> limit(f,'x',0)ans =pi2．符号常量、符号变量、符号表达式的创建1）使用sym（）创建输入以下命令，观察workspace中a，b,f是什么类型的数据，占用多少字节的内存空间。

>> a=sym('1')a =1>> b=sym('x')b =x>> f=sym('2*x^2+3*y-1')f =2*x^2+3*y-1>> clear>> f1=sym('1+2'),f2=sym(1+2),f3=sym('2*x+3'),f4=sym(2*x+3)f1 =1+2f2 =3f3 =2*x+3??? Undefined function or variable 'x'.>> x=2,f4=sym(2*x+3)x =2f4 =7Sym()的参数可以是字符串或数值类型，无论你是哪种类型都会生成符号类型数据。

2）使用syms创建>> clear>> syms x y z>> x,y,zx =xy =yz =z>> f1=x^2+2*x+1f1 =x^2+2*x+1>> f2=exp(y)+exp(z)^2f2 =exp(y)+exp(z)^2>> f3=f1+f2f3 =x^2+2*x+1+exp(y)+exp(z)^2用符号类型的变量经过运算（加减乘除）得到。

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>> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') >> syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x^2)
f2=2*(u+2)
ans=14 ans=2*((a+2)+2) f3=2*x+2*y ans=6
符号矩阵
使用 sym 函数直接生成 >> A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]') 将数值矩阵转化成符号矩阵 >> B=[2/3, sqrt(2); 5.2, log(3)]; >> C=sym(B) 符号矩阵中元素的引用和修改 >> A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]'); >> A(1,2) % 引用 >> A(2,2)=sym('cos(x)') % 重新赋值
符号对象的基本运算
基本函数
三角函数与反三角函数、指数函数、对数函数等
sin、cos、tan、cot、sec、csc、… asin、acos、atan、acot、asec、 acsc、…
exp、log、log2、log10、sqrt abs、conj、real、imag
rank、det、inv、eig、lu、qr、svd
How 中记录的为简化过程中使用的方法。
f
2*cos(x)^2sin(x)^2
(x+1)*x*(x-1)
R
HOW
3*cos(x)^2-1 simplify
x^3-x combine(tri g)
函数简化
函数简化
y=simplify(f):
对 f 进行简化
>> syms x; f=sin(x)^2 + cos(x)^2 ; >> simplify(f) >> syms c alpha beta; >> f=exp(c*log(sqrt(alpha+beta))); >> simplify(f)
符号矩阵/数组：元素为符号表达式的矩阵/数组。
符号对象的建立
符号对象的建立：sym 和 syms
sym 函数用来建立单个符号变量，一般调用格式为：
符号变量 = sym(A) 参数 A 可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串
例： >>
a=sym('a')
a 是符号变量 b 是符号常量 C 是符号矩阵
符号对象的基本运算
Matlab 符号运算采用的运算符和基本函数，在形状、名称和使用上，都与数 值计算中的运算符和基本函数完全相同
基本运算符
普通运算：+
- * \ / ^ 数组运算：.* .\ ./ .^
矩阵转置：'
.'
例：>>
X=sym('[x11,x12;x21,x22;x31,x32]'); >> Y=sym('[y11,y12,y13;y21,y22,y23]'); >> Z1=X*Y; Z2=X'.*Y;
六类常见符号运算
因式分解、展开、合并、简化及通分等 计算极限 计算导数 计算积分 符号求和 代数方程和微分方程求解
因式分解
因式分解
factor(f)
>> syms x; f=x^6+1; >> factor(f)
factor 也可用于正整数的分解
>> s=factor(100) >> factor(sym('12345678901234567890'))
>> syms a b x; >> int(x^2,a,b)
符号对象与符号表达式
在进行符号运算时，必须先定义基本的符号对象，可以是符号常量、符号变 量、符号表达式等。符号对象是一种数据结构。
含有符号对象的表达式称为符号表达式，Matlab 在内部把符号表达式表示 成字符串，以与数字变量或运算相区别。

b
a
f ( v )dv
int(f,a,b): 计算关于默认变量的定积分
int(f,v): 计算不定积分
x2 1 例：计算 I 2 dx 2 ( x 2 x 2)
f (v )dv
K
0
int(f): 计算关于默认变量的不定积分
e和dx
x2
>> syms x; f=(x^2+1)/(x^2-2*x+2)^2; >> I=int(f,x) >> K=int(exp(-x^2),x,0,inf)
符号求和
symsum(f,v,a,b): 求和

f (v )
v a
b
symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
1 例：计算级数 及其前100项的部分和 S 2 n 1 n >> syms n; f=1/n^2; >> S=symsum(f,n,1,inf) >> S100=symsum(f,n,1,100) x 例：计算函数级数 S 2 n 1 n
符号计算可以给出完全正确的封闭解，或任意精度的数
值解（封闭解不存在时）。
符号计算指令的调用比较简单，与数学教科书上的公式相近。
符号计算所需的运行时间相对较长。
Matlab 符号运算举例
求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 >> solve('a*x^2+b*x+c=0') 求的根 f (x) = (cos x)2 的一次导数 >> x=sym('x'); >> diff(cos(x)^2) 计算 f (x) = x2 在区间 [a, b] 上的定积分
diff g=diff(f,v)：求符号表达式 f 关于 v 的导数 g=diff(f)：求符号表达式 f 关于默认变量的导数 g=diff(f,v,n)：求 f 关于 v 的 n 阶导数
>> syms x; >> f=sin(x)+3*x^2; >> g=diff(f,x)
计算积分
int(f,v,a,b): 计算定积分
若 x 是一个由多个字符变量组成的数组或矩阵， 则 a 应该具有与 x 相同的形状的数组或矩阵。
例：指出下面各条语句的输出结 subs 举例f=2*u >> f=sym('2*u'); 果 ans=4
>> subs(f,'u',2) >> f2=subs(f,'u','u+2') >> a=3; >> subs(f2,'u',a+2) >> subs(f2,'u','a+2') >> syms x y >> f3=subs(f,'u',x+y) >> subs(f3,[x,y],[1,2])
Lecture 4
MATLAB符号运算 （Symbolic）
MATLAB
Matlab 符号运算
Matlab 符号运算介绍
Matlab 符号运算是通过符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。Matlab 符号数学工具箱是建 立在功能强大的 Maple 软件的基础上的，当 Matlab 进 行符号运算时，它就请求 Maple 软件去计算并将结果返 回给 Matlab。
Matlab 的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算功能。主要包括： 符号表达式的运算，符号表达式的复合、化简，符号矩阵的运算，符号微积 分、符号作图，符号代数方程求解，符号微分方程求解等。此外，该工具箱 还支持可变精度运算，即支持以指定的精度返回结果。
Matlab 符号运算特点
计算以推理方式进行，因此不受计算误差累积所带来的 困扰。
x( x( x( x 1) 1)) 1
>> syms x; >> f=x^4+2*x^3+4*x^2+x+1; >> g=horner(f)
计算极限
f ( x) limit(f,x,a): 计算 lim xa limit(f,a): 当默认变量趋向于 a 时的极限 limit(f): 计算 a=0 时的极限 limit(f,x,a,'right'): 计算右极限 limit(f,x,a,'left'): 计算左极限
ln( x h ) ln( x ) L lim 例：计算 h0 h
x M lim1 ， n n
n
>> syms x h n; >> L=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0) >> M=limit((1-x/n)^n,n,inf)
计算导数
syms a b c
符号表达式的建立
符号表达式的建立：
建立符号表达式通常有以下2种方法： (1) 用 sym 函数直接建立符号表达式。 (2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
例： >>
y=sym('sin(x)+cos(x)')