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三角形角平分线研究PPT教学课件

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角的平分线的性质 教学课件(共27张PPT)初中数学人教版八年级上册

角的平分线的性质 教学课件(共27张PPT)初中数学人教版八年级上册
第三步：分析找出由已知推出要证的结论的途 径，写出证明过程.
如图，已知∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
A
由 18此0°”，的你思又路能∴在吗受△？到∠P什DPDO么O和启=△发∠P？EPEO你O中能=，发90现°.证明“三角形内D角和P 等于C
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
∴PD = PE
O
E
B
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路 与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
O
S 实际问题
A
B
几何问题
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、 OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路
与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作∠AOB的角平分线OC， 截取OP=2.5cm ，P即为所求.
O
D
E
A
P
B
【猜想】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
12.3角的平分线的性质
第十二章——全等三角形
学习目标 01 会用尺规作一个角的平分线；
02 探索并证明角的平分线的性质，掌握角的 平分线的判定；
03 会用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
回顾旧知
我们之前学习了三角形的角平分线，什么是三角形的角平分线？

角平分线的性质教学课件

角平分线的性质教学课件

三角形中的角平分线与相对边 成比例，这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质，可以解决与三 角形相关的问题，例如求边长 、角度等。
此外，三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面，可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构，使其更加美观和 稳固。
THANK YOU
角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条射线，使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案： $AB = AC$
解析：由于$AD$是$angle BAC$的角平分线，且$BD = CD$，根据等 腰三角形的性质，我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$（ SAS），所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3：
02
答案： AC是$angle BCD$的角平分线。

三角形的角平分线和中线-PPT课件

三角形的角平分线和中线-PPT课件

OBC OCB 1 (1800 800 ) 500 ,BOC 1300
2
3
任意画一个三角形，用刻度尺画BC的中 A 点D，连接AD。
在三角形中，连结一个顶 点与它对边中点的线段， 叫做三角形的中线。
B
D
C
书写形式：∵AD是△ABC中的BC边上的中线。 ∴BD＝CD
特别提醒：（1）三角形的中线是一条线段；（2）三角
形的中线的一端平分这条边。
4
Байду номын сангаас
操作归纳：
任意画一个三角形， 然后利用刻度尺画 出这个三角形的三 条中线，你有什么 发现？
三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形内部。
5
巩固提升：
A
1.如图，AF是ΔABC的角平分线，AE是BC边
上的中线，选择“＞”“＜”或“=”号填空：
（1）BE_=__EC
（2）∠CAF_=__
点， CF C，D如果 ACB 7，0那么下列说法中错误的
是（ B） A．CF 平分 ACE B．B、 55 C．1 4 90
D．3 4 55
5．如图，E、 F、G 分别是 AB 、BC AC 边上的中点，则
S SABC __4___ SBEF ___4_____ FGC
9
大家有疑问的，可以询问和交流
形，这两个小三角形的周长的差是2cm。你能求出AB的长吗？
解 ABD的周长 AB AD BD
A
ACD的周长 AC AD DC
AD是中线 BD DC,两三角形
的周长差为: AB AC 2, AB 7
B
C D
7
课堂巩固：
1. 如图，在 ABC 中，若 BD平分 ABC
则下列说法中不正确的是（ D ）

三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)

三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)

复习提问
1.什么叫线段的中点？
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点
A
B
2.什么叫角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
B
O
A
复习提问 3.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
放、靠、过、画.
01
01
01
23
23
23
0
1 0 2 1 03 21 3 2
3
探究新知
B
C
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
AF
(2)AC边上的高是__B_F__； BC边上的高是__A__D_；
DB
C
AB边上的高是__C_E__；
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点.
O
(4)它们所在的直线交于一点吗?
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的中线
B
D
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中 点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =12 BC
探究新知
思考2.如图，在△ABC中，还能画出几条中 线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
B
重心：三角形的三条中线相交于一点，三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心
A
O C
D
探究新知
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2
三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？

北师大版数学八年级下册1.4第2课时三角形三条内角的平分线课件(共17张)

北师大版数学八年级下册1.4第2课时三角形三条内角的平分线课件(共17张)

∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = 6 cm.
C E
A
D
B
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建
一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相
等，凉亭的位置应选在 ( C )
A
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A
＝40°，则∠BOC 的度数为 ( A )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即
三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ 1∠ACB，
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于
点 N，连接 OC.
S ABC S AOC S BOC S AOB
B
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
OP
1 OM ( AB BC OM )
2
1 4 32 64.
A
2
DM C
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一
∴ DE = CD = 4 cm.
E
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. C D
B
在等腰 Rt△BDE 中，BD 2DE2 4 2 cm.
AC BC CD BD (4 4 2) cm.

三角形的角平分线PPT课件

三角形的角平分线PPT课件

B
D
C
一特个点三：角（形1）有三几角条形中的线中?有线什是么一特条点线？段；
（2(）三三条角)形的中线的一端平分这条边。
请画出这个三角形的另外两条中线，
你发现了什么？
A
F
E
B
D
C
三角形的三条中线交于一点．
称之为三角形的重心．
1、AD是ΔABC的角平分线（如图），
那么∠BAC= 2 ∠BAD；
2、AE是ΔABC的中线（如图），那么
的角平分线如图那么如图af是abc的角平分线ae是bc边上的中线选择1beec2cafbac3afbcfab4aecb在abcabc中中cdcd是中线是中线已已知知bcbcac5cmdbcac5cmdbc的周长为25cm25cm求求adcadc的周长的周长
怎样才能得到一个角的平分线?
角平分线
用量角器或折纸的办法
B
D
C
三角形的三条角平分线交于一点． 称之为三角形的内心．
例１、如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知∠B=4
0
0
５ , ∠ C=60 ,求下列角的大小.
(1) ∠BAE (2) ∠AEB
解：（１）∵ＡE是△ABC的角平分线
∴∠CAE=∠BAE= 1 ∠BAC
C
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=1800
（ 三角形的内角和定理 ）
∴∠BAC=1800-∠B-∠C=1800-450-600=750
∴∠BAE=37.50
A
E B
（2）∵∠AEB=∠CAE+∠C （ 三角形的一个外角等于和它不 ） 相邻的两个内角的和
∠CAE=∠BAE=37.50 ∴∠AEB=37.50+600=97.50

角平分线的性质课件


角平分线的定义
从一个角的顶点引出一条射线 ，把这个角分成两个相等的角 ，这条射线叫做这个角的平分 线。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等。
角平分线的性质定理的推 论
角的内部到角的两边距离相等 的点在角的平分线上。
课后作业布置
作业1
阅读教材，复习本节课所学内容，并 完成教材上的练习题。
05
角平分线在几何变换中作 用
旋转对称中心确定方法
旋转对称中心定义
若一个平面图形绕着某一点旋转一定角度后 能与自身重合，则该点称为旋转对称中心。
利用角平分线确定旋转对 称中心
在角的两边上分别取两点，连接这两点的线 段的中点即为该角的旋转对称中心。
轴对称图形判断依据
轴对称图形定义
若一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形称为轴对 称图形。
根据角平分线的性质，角平分线将相对边按照两邻边的比 例分割。因此，我们可以通过作平行线和利用相似三角形 的性质来证明此结论。
解析
根据角平分线的性质，角平分线是到角的两边距离相等的 点的集合。因此，我们可以通过证明三角形ABD和三角 形ACD全等，从而得出AB=AC。
课堂小结与知识点回顾
课堂小结
本节课我们学习了角平分线的 性质，包括角平分线的定义、 性质定理和性质定理的推论。 通过典型例题的解析，我们加 深了对角平分线性质的理解和 应用。
应用举例
例题1
例题3
已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线 ，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且 DE=DF。求证：△ABD≌△ACD。
已知△ABC中，∠B=2∠C，AD是 ∠BAC的平分线。求证：AC=AB+BD 。

角平分线的性质PPT课件

∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
应用这个性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
证明的书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
三者缺一不可，否
则不可证明两线段
相等
5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
情景导入
旧知回顾
判定三角形全
SSS：三边分别相等的两个三角形全等
等的基本事实
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
有哪些？
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
求证：BD＝DF.
点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在
的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有
一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
F
E
B
D
C
新知探究
2.角平分线的性质的应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC
于点P，若PC＝4，AB=14.

《角平分线的性质》课件


在解决பைடு நூலகம்际问题中的应用
实际应用
在建筑设计、工程绘图等领域， 角平分线性质可以帮助确定物体 的位置和方向，从而保证设计的 准确性和施工的顺利进行。
案例分析
在设计桥梁、建筑或管道时，可 以利用角平分线性质来确定结构 的支撑点或固定点，以确保结构 的稳定性和安全性。
在数学竞赛中的应用
竞赛题特点
数学竞赛中常常出现与角平分线性质相关的题目，这类题目 通常涉及多个知识点，需要学生具备较高的逻辑思维和推理 能力。
角平分线的表示方法
在几何图形中，通常用符号“∟”表 示角平分线。
例如，若射线OA是∠AOB的角平分线 ，则标记为“OA∟∠AOB”。
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
角平分线定理：对于三角形中的角平分线 ，它所对的边与该角的对边之比等于其他 两边之比。即，在△ABC中，若AD是 ∠BAC的角平分线，则BD/DC=AB/AC。
在其他领域的应用
农业灌溉
在农田灌溉中，可以利用 角平分线性质优化灌溉管 道和水渠的布局，提高灌 溉效率。
航空导航
在航空导航中，可以利用 角平分线性质确定航向和 飞行高度，确保航行安全 。
军事战略部署
在军事战略部署中，可以 利用角平分线性质优化部 队的驻扎和部署，提高作 战效率。
THANKS
感谢观看
在道路规划中的应用
01
02
03
道路交叉口设计
利用角平分线性质，合理 规划道路交叉口的位置和 形状，提高交通流畅度和 安全性。
道路指示牌设置
根据角平分线性质，合理 设置道路指示牌的位置， 确保驾驶员能够清晰地获 取指示信息。
道路排水设计
在道路规划中，可以利用 角平分线性质优化排水系 统的布局，提高道路的排 水性能。

角平分线的性质和判定(共张)课件


作法应用
01
在几何证明题中，常常需要用到 角平分线的作法来构造辅助线， 从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理 解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质， 等腰三角形的两个底角相 等。
第二步
由于所作的线段是等腰三 角形的底边，所以这条线 段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两 边垂直，从而证明这条线 段是角的平分线。
证明方法二
利用相似三角形的性质，通过相似三角形的边长比例关系证明角平分线的性质 。
02
角平分线的判定
判定定理
判定定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理证明
在角的平分线上任取一点，过这点作角的两边的垂线，垂足分别为A、B。根据角 平分线的定义，角平分线上的点到角的两边距离相等，即$PA=PB$。因此，角 平分线上的点满足到角的两边距离相等的性质。
03
角平分线定理的逆定理
逆定理内容
逆定理
如果一条射线将一个角分成两个相等的部分，那么这条射线 就是这个角的角平分线。
证明过程
首先，我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。反之，如果一条射线上的点到这个角的两边的距离相等， 那么这条射线将这个角平分。因此，我们可以得出上述逆定 理。
逆定理应用
通过角平分线的定义和性质，结合三角形全 等的判定定理，证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质，证明推论 2的正确性。
感谢您的观看
THANKS
角平分线的性质和判定(共 张)课件
目录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线定理的逆定理 • 角平分线的作法 • 角平分线定理的推论
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2020/12/10
C
D
从三角形端 点——分点 的两个线段
11
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
12
三角形角平分线的研究
如图，画∠BAC 的平分线，与BC D，则
AD 是△ABC 的角平分线，此时有：
∠BAD =∠DAC =
1 2
∠BAC．
A
2020/12/10
B
D
C
1
画出△ABC 的另两条角平分线， 观察三条角平分线，你有什么发现？
三角形的三条角平分线相交于一点．
2020/12/10
2
你能证明三条角平分线相交于一点到三边的距离相等
能画一个最大的圆
2020/12/10
3
比较：用位似图形法画内接三角形和正方形
思考：画三角形内的最大圆 用位似法是否可行？
2020/12/10
4
三角形有几条角平分线？ 它与角的平分线有什么区别？
三角形角平分线有哪些性质？ • 1.角平分线可以得到两个相等的角。 • 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。 • 3.三角形的三条角平分线交于一点，这一点
A
已知如图：AD平分∠BAC， 求证： AB BD
AC DC
B
D
C
结论：三角形内角平分线分 对边所得两条线段的比=相应 两个邻边的比
2020/12/10
10
角平分线与比例线段
已知如图：AD平分⊿ABC
的外角∠EＡＣ，求证：AB BD
A
AC DC
B
结论：三角形外角平分线分 对边（延长线）所得两条线 段的比=相应两个邻边的比
到三角形三边的距离相等。
2020/12/10
5
三角形的外角平分线
三角形两条外角平分线的交点
思考：这个交点P到三 边所在的直线的距离是 否相等？
2020/12/10
P
6
到三角形三边所在直线距离相等的点有几个？
P4
安徽中考：三条马路交汇成 三角形，要建一个加油站，使 P1 加油站到三条马路的距离相等，
应该有几种选址方案？
P2
P3
2020/12/10
7
角平分线的夹角
A P
P
∠P=90°+ 1/2∠A
∠P=1/2∠A
2020/12/10
P
∠P=90°- 1/2∠A
8
1
Ａ
∠Ｐｎ＝ 2 n ∠Ａ．
Ｐ１
Ｐ２
Ｐ３
∠Ｐ１＝１/２∠Ａ． ∠Ｐ２＝１/４∠Ａ． ∠Ｐ３＝１/８∠Ａ．
2020/12/10
9
角平分线与比例线段