高三数学求三角函数最小正周期的五种方法
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求三角函数最小正周期的五种方法
spacetzs
关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手。本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法，仅供参考。
一、定义法
直接利用周期函数的定义求出周期。
例1.求函数y m x =-cos(
)56π（m ≠0）的最小正周期。 解：因为y m x =-cos()56
π =-+=+-cos(
)cos[()]m x m x m 5625106ππππ 所以函数y m x =-cos()56
π（m ≠0）的最小正周期 T m =
10π||
例2.求函数y x a =cot
的最小正周期。 解：因为y x a x a a x a ==+=+cot
cot()cot[()]ππ1 所以函数y x a
=cot
的最小正周期为T a =||π。 二、公式法
利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T =2πω||
。 2.y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T =πω||
。 3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T =πω||
。 4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T =
πω||
例3.求函数y x =|tan |3的最小正周期。 解：因为T ==πωω||
而3 所以函数y x =|tan |3的最小正周期为T =
π
3。
例4.求函数y n m
x =-cot()3π的最小正周期。 解：因为T n m
==-πωωπ||||而， 所以函数y n m x =-cot()3π的最小正周期为T n m
m n =-=ππ||||。
三、转化法
对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再用公式法求解。
例5.求函数y x x =+sin cos 66
的最小正周期。
解：因为y x x =+sin cos 66
=+-+(sin cos )(sin sin cos cos )224224x x x x x x
=+-=-=--=+(sin cos )sin cos sin cos cos 2222223134
2134142
38458
x x x x
x x x · 所以函数y x x =+sin cos 66的最小正周期为T ==22
πωπ||。
例6.求函数f x x x x ()sin cos cos =+422·的最小正周期。
解：因为f x x x x ()sin cos cos =+422·
=++=++2221
521
sin cos sin()x x x φ 其中sin cos φφ==1525
，， 所以函数f x x x x ()sin cos cos =+422·的最小正周期为T ==2πωπ||
。
四、最小公倍数法
由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。
注：
1.分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。
2.对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。
例7.求函数y x x =+csc tan 432
的最小正周期。 解：因为csc4x 的最小正周期T 12=
π，tan 32x 的最小正周期T 223=π，由于π2和23π的最小公倍数是2π。 所以函数y x x =+csc tan
432的最小正周期为2π。
例8.求函数y x x =+sin cot 2745
的最小正周期。 解：因为sin
27x 的最小正周期T 17=π，cot =45x 最小正周期T 254=π，由于7π和54
π的最小公倍数是35π， 所以函数y x x =+sin
cot 2745
的最小正周期为T ＝35π。
例9.求函数y x x x =-+sin cos sin 2244的最小正周期。 解：因为sinx 的最小正周期T 12=π，cos2x 的最小正周期T 2=π， sin4x 的最小正周期T 32=π，由于2ππ，，π2
的最小公倍数是2π。 所以函数y x x x =-+sin cos sin 2244的最小正周期为T ＝2π。
五、图像法
利用函数图像直接求出函数的周期。
例10.求函数y x x =+|sin ||cos |的最小正周期。
解：函数y x x =+|sin ||cos |的图像为图1。
图1
由图1可知：函数的最小正周期为T=π
2
。