二次函数与根的判别式、韦达定理
讲点1：公共点问题
【例1】如图，抛物线y ＝－x 2＋4x －3的顶点为M ，直线y ＝－2x －9与y 轴交于点C ，与直线MO 交于点D ，现将抛物线的顶点在直线OD 上平移，平移后的抛物线与射线CD （含顶点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．
C
O D
M y
x
【练】如图，已知抛物线y ＝－x 2
＋2x ＋8与x 轴交于点A,B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，直线CD 交x 轴于点E ，过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
F
D C
E A B O y x
讲点2：距离问题
【例2】如图，抛物线y ＝a(x －1)2＋4与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，已知CD ＝2，在抛物线上共有三个点到直线BC 的距离为m ，求m 的值．
C
D B
A
O
y
x
【练】如图，抛物线y ＝ax 2
－6ax ＋5a 与x 轴交于A,B 两点（A 左，B 右），若抛物线与直线y ＝2x 的最近点之间的距离为
25
5
，求a 的值． y
x
O B A
讲点3：隐藏判别式
【例3】如图，点P 是直线l ：y ＝－2x －2上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线y ＝x 2与A,B 两点，试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得PA ＝AB 成立．
P
B
A
O y
x
【练】如图，已知二次函数y ＝a(x 2－6x ＋8)（a ＞0）的图象与x 轴分别交于点A,B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标t 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a ，使得四条线段PA,PB,PC,PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
C
P
D
B A
O y x
讲点4：交点间的距离
【例4】已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋m 的图象与函数y ＝kx ＋1的图象交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1＜x 2）两点．
（1）如图1，当k ＝1，m 取不同值时，猜想AB 的长是否不变？并证明你的猜想；
A B
x
O
y
（2）如图2，当m ＝0，k 取不同值时，猜想△AOB 的形状，并证明你的猜想．
B
A
y
O
x
【例5】如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋5与y 轴交于点C ，过点N （1，2）作直线l ，交抛物线于点P ，交y 轴于点E ，连接PC ，若PE ＝PC ，求直线l 的解析式．
l
E P C
N O
y x
【练】如图，抛物线C 1：y ＝x 2＋4x ＋3交x 轴于A,B 两点，交y 轴于点C ，将抛物线C 1沿y 轴翻折得新抛物线C 2，过点C 作直线l 交抛物线C 1于点M ，交抛物线C 2于点N ，若MN ＝82，求直线l 的解析式．
A B x
y
O C
三、对称问题
【例6】如图，已知抛物线y ＝x 2－2x －3，直线y ＝kx －1与抛物线交于P,Q 两点，且y 轴平分线段PQ ，求k 的值．
Q
P
O y x
【练】如图，已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3，过点D （0，－5
2
）的直线与抛物线交于点M,N ，与x 轴交于点E ，且点M,N 关于点E 对称，求直线MN 的解析式．
y
x
N
E
M
D O
四、与面积结合
【例7】如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋5顶点为M ，平移直线y ＝x 交抛物线于点H,K ，若S △MHK ＝3，求平移后直线的解析式．
x
y
O
M H
K
【课后反馈】
1．如图，已知抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，将抛物线沿对称轴向上平移k 个单位长度后与线段BC 交于D,E 两个不同的点，求k 的取值范围．
E C D
B A O y
x
2．如图，抛物线y ＝ax 2－6ax ＋5a 与x 轴交于A,B 两点（A 左，B 右），若抛物线不通过直线y ＝2x 上方的点，求抛物线顶点纵坐标的取值范围．
y
x
O B A
3．如图，抛物线y ＝
14x 2＋3
2
x ＋2与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，将抛物线沿直线BC 平移，与射线AC （含点A ）仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的值或取值范围．
C
B
A
O
y
x
4．如图，已知抛物线C ：y ＝x 2－2x ＋4和直线l ：y ＝－2x ＋8，直线y ＝kx （k ＞0）与抛物线C 交于A,B 两点，与直线l 交于点P ，分别过A,B,P 作x 轴的垂线，垂足依次为A 1、B 1、P 1，若11OA ＋11OB ＝1
u OP ，求u 的值．
A 1
B 1
P 1B A
P O y
x
5．如图1，抛物线C 1：y ＝x 2＋4x ＋3顶点为M ，抛物线C 2与抛物线C 1开口方向相反，形状相同，顶点为N ，且M,N 关于点P （0，2）对称． （1）求抛物线C 2的解析式；
N M
P
O
y
x
（2）直线y ＝m 交抛物线C 1于点A,B ，交抛物线C 2于点C,D ，若AB ＝2CD ，求m 的值；
D
C
B A
N
M
O
y
x
