高考圆锥曲线(减少计算量的◆硬解定理◆)

c a
e.
5、若椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为
F1、F2，左准线为
L，则当
0＜e≤
2 1时，可在
椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.
6、P
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2
为二焦点，A
为椭圆内一定点，则
准线 渐近线 离心率
焦半径
焦准距 通径
(c,0),(-c,0) 【其中 c²=a²-b²】 x=±a²/c —————— e=c/a,e∈（0,1) ∣PF₁∣=a+ex ∣PF₂∣=a-ex p=b²/c 2b²/a
参数方程
过圆锥曲线上一点 (x0,y0）的切线方程 斜率为 k 的切线方程
x=a·cosθ y=b·sinθ，θ 为参数 x0·x/a²+y0·y/b²=1 y=kx±√(a²·k²+b²)
方程是
x2 a2
y2 b2
1.
2、过椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(a＞0, b＞0)上任一点 A(x0, y0) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，
则直线
BC
有定向且
kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）.
3、若
P
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,
平面解析几何
1. 圆锥曲线对比表 2. 硬解定理内容 3. 结论与推论
第一部分
圆锥曲线对比表
圆锥曲线
椭圆
标准方程 范围 对称性 顶点

圆锥曲线硬解定理硬解定理并非原创，网上早有大佬分享，百度百科也有收录：。

但往往大多数版本繁琐而复杂，令人望而却步。

本人所做不过是参考了小猿搜题集上的定理，拓展简化了一下公式。

一直怕圆锥曲线大题？一算就错？一题写太久没时间？学会硬解定理，以后看到圆锥曲线题就在心里偷着乐！先给出公式:对于圆锥曲线（椭圆，双曲线，圆）：\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1及给定一条直线：Ax+By+C=0 （实际上设成 y=kx+ \lambda ||x=my+t）联立： \left\{ \begin{array}{l}\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1 \\ Ax+By+C=0 \end{array}\right. 可得： (mA^{2}+nB^{2})X^{2}+2ACmX+m(C^{2}-nB^{2})=0•••①。

记(mA^{2}+nB^{2}) (①式的X二次项系数)为 \varepsilon， 2ACm (X一次项系数)为 \tau ，m(C^{2}-nB^{2}) (常数项)为 \lambda \Delta’=mn( \varepsilon-C^{2} ) = mn(mA^{2}+nB^{2}-C^{2}) •••②当 \Delta= 4B^{2} \Delta’=4B^{2}mn (mA^{2}+nB^{2}-C^{2})>0时进一步： x_1+x_2=\frac{-\tau}{\varepsilon} x_1x_2=\frac{\lambda}{\varepsilon}且 |EF|= \frac{2\sqrt{(A^{2}+B^{2})\Delta'}}{|\varepsilon|} •••③ x_1y_2+x_2y_1 = \frac{2ABmn}{\varepsilon} •••④因为 y_1+y_2 和 y_1y_2 用的比较多，写y_1+y_2 和y_1y_2仅需在 x_1+x_2 和 x_1x_2 的公式中将A与B交换，m与n交换，C不变即可。

圆锥曲线公式及知识点总结(详解)（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高考数学必胜秘诀――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结§圆锥曲线1.圆锥曲线的定义：定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在．若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是( )A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF（2）方程8表示的曲线是_____2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）．方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）．如（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是__ _（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）．方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）．如（1）双曲线的焦距与实轴长之比等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，焦距与实轴长之比2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->．3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1） 椭圆：由x 2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上．如已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（2）双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向． 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+． 4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；如（1）若椭圆1522=+m y x 的焦距与长轴之比为510=e ，则m 的值是__ （2） 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_ _（2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④两条渐近线：by x a=±．如（1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的焦距与实轴长之比等于______（2）双曲线221ax by -=:a b =（3）设双曲线12222=-by a x （a>0,b>0）中，焦距与实轴长之比e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2p，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2px =-； 如设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________5、点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x （0a b >>）的关系：（1） 点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b +<6．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．如（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______（2）直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______ （3）过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离．特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交．如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2222by a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； ④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．如（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有___ ___（2）过点(0,2)与双曲线116922=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为___ ___（3）过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l有_ ___条（4）对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______（5）过抛物线x y 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp 11_______ （6）设双曲线191622=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于)（7）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离.（8）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点． ①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？ ②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？7、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）如（1）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（2）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（3）点P 在椭圆192522=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______（4）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______ 8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解．设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，焦点12F PF ∆的面积为S ，则在椭圆12222=+by a x 中，①θ＝)12arccos(212-r r b ，且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大为θmax ＝222arccosa cb -；②20tan ||2S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，max S 的最大值为bc ；对于双曲线22221x y a b -=的焦点三角形有：①⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21221arccos r r b θ；②2cot sin 21221θθb r r S ==． 如（1）短轴长为5，焦距与长轴之比为32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为________（2）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=⋅F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为（3）椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→ <0时，点P 的横坐标的取值范围是（4）双曲线的虚轴长为4，焦距与实轴之比为26，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________（5）已知双曲线的焦距与实轴之比为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程.9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ； （4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线．10、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k-+， 若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB12y y -．如（1）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______（2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC 重心的横坐标为_______11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在椭圆12222=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；在双曲线22221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=p y ． 如（1）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的焦距与实轴之比为_______（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称.特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！12．你了解下列结论吗？（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02222=-by a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-by a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222=-b y a x 为参数，λ≠0）．如与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(-的双曲线方程为_______（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mx ny +=；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2b c，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②221212,4p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p . 13．动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；如已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如(1)由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为（2）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______(3) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分−→−PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）．如（1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹．（2）若点),(11y x P 在圆122=+y x 上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____（3）过抛物线y x 42=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________ 注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化．如已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF（1）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （2） 求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=；（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点;（3）给出0=+,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.（6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即PB AP λ=（7） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角,（8）给出MP =⎪⎫ ⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;（11）在ABC ∆中，给出222==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC ∆中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在ABC ∆中，给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC ∆中，给出+=()||||AB ACAB AC λ+)(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内心； （15）在ABC ∆中，给出0=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16） 在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线;高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结§圆锥曲线1.圆锥曲线的定义：定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在．若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF（答：C ）；（2）方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）．方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）．如（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22---）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___2）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）．方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）． 如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）； （2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->．3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （3） 椭圆：由x 2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上．如已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)23,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向． 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，222abc =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+．4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；如（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）（2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④两条渐近线：by x a=±．如（1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______（答：2或3）；（2）双曲线221ax by -=:a b =（答：4或14）； （3）设双曲线12222=-b y a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：[,]32ππ）；（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2px =-；如设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161,0(a）； 5、点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x （0a b >>）的关系：（3） 点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b +<6．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．如（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______（答：(-315,-1)）； （2）直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5]∪（5，+∞））；（3）过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离． 特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交．如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2222by a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．如（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线116922=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：4,3⎧⎪±±⎨⎪⎪⎩⎭）； （3）过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l有____条（答：3）；（4）对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______（答：相离）；（5）过抛物线x y 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp 11_______（答：1）； （6）设双曲线191622=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x）； （8）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点．①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①(；②1a =±）；7、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）如（1）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（2）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）；（3）点P 在椭圆192522=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______（答：2512）；（4）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______（答：2）；8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解．设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，焦点12F PF ∆的面积为S ，则在椭圆12222=+by a x 中， ①θ＝)12arccos(212-r r b ，且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大为θmax ＝222arccosa cb -；②20tan ||2S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，max S 的最大值为bc ；对于双曲线22221x y a b-=的焦点三角形有：①⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21221arccos rr b θ；②2cot sin 21221θθb r r S ==． 如（1）短轴长为5，焦距与长轴之比为32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为________（答：6）；（2）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=⋅F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 （答：224x y -=）；（3）椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→<0时，点P 的横坐标的取值范围是（答：(）； （4）双曲线的虚轴长为4，焦距与实轴之比为26，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________（答：；（5）已知双曲线的焦距与实轴之比为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程（答：221412x y -=）； 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ； （4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线．10、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k-+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB12y y -．特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解．如（1）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______（答：8）； （2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC 重心的横坐标为_______（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；在双曲线22221x ya b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0p y ． 如（1）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的焦距与实轴之比为_______（答：2）；（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称（答：1313⎛- ⎝⎭）； 特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！12．你了解下列结论吗？（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02222=-by a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222=-b y a x 为参数，λ≠0）．如与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(-的双曲线方程为_______（答：224194x y -=） （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mx ny +=；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2b c，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②221212,4p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 13．动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；如已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（答：212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：22y x =）；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为（答：224x y +=）；（2）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ （答：216y x =）；(3) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；。

高考圆锥曲线减少计算量的硬解定理硬解定理的使用1、本质：硬解定理即圆锥曲线联立方程之后，得到的通解。

注意事项：利用a、b、a、b联立后按照固定格式消元的方程，尽量不要化简。

因为硬解定理得到的联立方程是固定的，如果化简(如同等号两边除以2)。

2、好处：有时候时间不够，可以直接算出|x1-x2|之类的数据。

计算速度慢，计算容易出错的同学可以尝试这个方法。

【使用方法(百度文库版)】x2y23、若曲线+=1与直线ax+by+c=0平行于e、f两点,则:mn∆'为一与∆同号的值.2(2)应用领域该定理于椭圆x2+y2=1时,应当将ab代入.代入,同时不应为零,即ε不(3)应用于双曲线为零.x2y2=1时,应将a2b2(4)解y1+y2与y1*y2只须将a与b的值交换且m与n的值交换.所述ε与∆'的值不能因此而发生改变.【个人方法(以及推论)】224、对于一个常见方程联立，如椭圆x+y=1与直线方程ax+bx+c=0，常有以下过程：a2b2acx-=kx+mbbìx2y2222222222ï2+2=1ìï(ak+b)x+2akmx+(am-ab)=0þíbía2ïî视作a'x+b'x+c'=0ïy=kx+mî\d=(b')2-4a'c'=4a4k2m2-4(a2m2-a2b2)(a2k2+b2)=4[a4k2m2-a4k2m2-a2b2m+a4b2k2+a2b4]=4a2b2[k2a2+b2-m2]=4a2b2[=4a2b2[a2a2+b2b2-c2]×c2a222ba+]b2b21(一般而言系数b通常为1，所以视作d=4a2b2[a2a2+b2b2-c2])2b(通常即为把式子化为消元式，d=4a2b2[k2a2+b2-m2])-b'+(b')2-4a'c'-b'-(b')2-4a'c'4a2b2[a2a2+b2b2-c2]dd|x1-x2|=||===×2a'2a'a2a2+b2b2a'a2k2+b2b|y1-y2|=k×|x1-x2|a21+1×4a2b2[k2a2+b2-m2]×222k+1×db∴截弦长|ab|=k2+1×|x1-x2|=22=b2aak+b2a22+b2b=a2+b2×4a2b2[a2a2+b2b2-c2]=a2a2+b2b2a2+b2×d''a''有时候由于同除公因数等原因，算出的a'¹a''，d'¹d''若要算弦长，分母分子要么全部将a、ab、b老实代入公式，要么老实用算得的结果进行计算。

圆锥曲线硬解
圆锥曲线硬解是以圆锥曲线几何概念为基础，对圆锥曲线进行精确分析和处理的一种数学方法。

它利用特定的数学计算方法，用于更加深入地分析圆锥曲线的几何特征，并且能得出圆锥曲线的准确数学解。

圆锥曲线的精确解可以利用几何的方法来求得，即圆锥曲线的硬解。

主要利用的是几何上的方程定义。

对于圆锥曲线硬解，首先要求得圆锥曲线参数，根据几何特征，将曲线转化为椭圆形状，把圆锥曲线定义为椭圆形状，就能够形成椭圆方程，然后利用椭圆方程计算椭圆的根，以及椭圆上任意一点P坐标，最后可以利用椭圆方程求出圆锥曲线的硬解。

对于圆锥曲线的复杂度来说，可以分为单曲面（即一个曲面的曲线）和多曲面（即多个曲面的曲线）两种类型，而曲线的硬解方法也分别不同。

对于单曲面曲线，其圆锥曲线硬解可以利用圆锥曲线相关的几何要素，转化为椭圆曲线，然后根据椭圆曲线方程来求出圆锥曲线的硬解。

而对于多曲面曲线，其圆锥曲线的硬解则要求先计算出所有曲面的参数，接着将曲线整合为一个方程；最后求解出该方程，得出圆锥曲线的硬解。

圆锥曲线硬解在工程中的应用也很广泛。

它可以用于求解复杂的物理系统中涉及的多曲面曲线，例如电机系统。

例如，在车辆空气动力学设计中，可以利用圆锥曲线硬解计算出车辆最优的空气动力性能参数；而在航空工程设计中，也可以利用圆锥曲线硬解计算出最佳的
飞行性能参数等。

总之，圆锥曲线硬解是一种非常有用的数学分析方法，它在工程设计的实践中也得到了广泛的应用。

未来，人们肯定会继续利用圆锥曲线硬解来解决更多、更深入的几何特征，以及在工程实践中的复杂问题。

圆锥曲线硬解定理时间：2021.03.03 创作：欧阳学圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理，其是一套求解椭圆/双曲线与直线相交时∆、x1+x2 、x1• x2及相交弦长的简便算法。

适用领域范围：标准双曲线与抛物线定理内容若曲线与直线Ax+By+C=0相交于E、F两点,则:其中，△‘为一与△同号的值，定理说明:1.应用该定理于椭圆时,应将代入。

2.应用于双曲线时,应将代入,同时不应为零,即ε不为零。

3.求解y1+y2与y1·y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与∆'的值不会因此而改变。

定理补充联立曲线方程与y=kx+是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。

其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。

这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。

1.若曲线与直线y=kx+相交于E、F两点,则:这里的既可以是常数，也可以是关于k的代数式。

由这个公式我们可以推出：2.若曲线为椭圆则3.若曲线为双曲线则由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考生自己填写）：联立两方程得……（二次式子）（*）所以x1+x2=……①，x1x2=……②；所以|x1-x2|=√（x1+x2）2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）化简得|x1-x2|=(偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长了。

时间：2021.03.03 创作：欧阳学。

高考数学圆锥曲线知识点归纳总结在高考数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，准确理解和掌握圆锥曲线的相关概念和性质对于解题至关重要。

本文将对圆锥曲线的知识进行归纳总结，帮助同学们更好地复习和应对高考数学考试。

一、圆锥曲线的基本概念在正式介绍圆锥曲线的各个具体曲线之前，我们首先需要了解圆锥曲线的基本概念。

圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥相交而形成的曲线。

相交的平面可以与圆锥的两个交点、一条交线或者圆锥的某一侧相切，由此得到不同类型的圆锥曲线。

二、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基础的一类曲线。

椭圆是一个闭合的曲线，其定义可以通过焦点和离心率进行描绘。

离心率小于1的椭圆称为狭椭圆，离心率等于1的椭圆称为圆形，离心率大于1的椭圆称为宽椭圆。

椭圆的一些性质和公式：1. 椭圆的离心率e满足0<e<1。

2. 椭圆的焦点到直径的距离之和等于常数2a，即F1F2 = 2a。

3. 椭圆的长半轴长度为a，短半轴长度为b，焦距为c。

满足a^2 =b^2 + c^2。

4. 椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。

三、双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一类曲线。

与椭圆不同，双曲线是开放的曲线，其两个分支无限延伸。

同样可以通过焦点和离心率来定义双曲线。

双曲线的一些性质和公式：1. 双曲线的离心率e满足e大于1。

2. 双曲线的焦点到直归的距离之差等于常数2a，即F1F2 = 2a。

3. 双曲线的长轴长度为2a，短轴长度为2b，焦距为c。

满足a^2 =b^2 + c^2。

4. 双曲线的标准方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1。

四、抛物线抛物线也是圆锥曲线的一种，与椭圆和双曲线不同，抛物线是开放的曲线，其只有一个分支。

抛物线的形状类似于开口向上或向下的弓。

抛物线的一些性质和公式：1. 抛物线的离心率e等于1。

2. 抛物线的焦点与直线的距离相等，即F1F2 = PF。

3. 抛物线的焦点与顶点的距离为a，焦点的坐标为(a,0)。

硬解定理1椭圆1y 2x 22=+，直线l 与椭圆交于不同的P,Q 两点2已知椭圆13y 4x 22=+，过右焦点F 的直线L 与椭圆相交于A,B 两点3过椭圆13y 4x 22=+左焦点F 的直线L 与椭圆分别交于M,N 两点4已知椭圆14222=+y x ，过P （1，0）的直线L 与椭圆交于A,B 两点5已知椭圆13622=+y x ，()2,0M ,设过点M 的直线与椭圆交于A,B 两点6过椭圆12y 3x 22=+的焦点21F F ，分别作相互垂直的两直线与椭圆分别交于A,B,M,N 四点7过椭圆1y 4x 22=+的左焦点作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于A,B,C,D8已知直线L 与椭圆14y 22=+x 交于P,Q 两点9已知椭圆162x 22=+y ，过点（0，2）的直线与椭圆相交于A,B 两点，10.直线l 过抛物线x y C 42=：的焦点F 与C 交于B A ,两点11.已知抛物线281x y =，过点()02，的直线l 与抛物线交于Q P ,两点定比点差法适用条件：定比分点公式：若()()2211,,,y x B y x A ，PB AP λ=,则⎪⎭⎫ ⎝⎛++++λλλλ1,12121y y x x P点差法：1.已知椭圆1222=+y x ，过点()0,1P 的直线交椭圆于B A ,两点，且有3=，求点A 的坐标2.已知椭圆142=+y ，过点()01，P 的直线交椭圆于B A ,两点（点A 在第二象限），若PB AP 2=，求l 的方程3.已知椭圆13622=+y x C ：和点()02，Q ，过点Q 的直线l 交椭圆于B A ,两点，且满足3=+，求直线l 的方程4已知B A ,两点在椭圆13422=+y x 上，点()0,1-C ，若λ=，求λ的取值范围5已知椭圆1422=+y x ，过点()20，P 作直线AB ，交椭圆于B A ,BP的取值范围一．以弦为直径的圆过定点1.椭圆13y 4x 22=+若直线L ：m kx y +=与椭圆相交于M,N 两点（M,N 不是左右顶点）且以MN 为直径的圆过点A ，判断直线L 是否过定点，若是，求出该定点坐标，否则说明理由2.已知椭圆132=+y ，斜率小于零的直线y=kx+2交椭圆于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过点()1,0D ，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由二、直线斜率和为定值3椭圆1y 2x 22=+，A 为椭圆下顶点，过点(1,1)的直线与椭圆交于不同的P,Q 两点（均异于点A ），证明：直线AP ，AQ 的斜率之和为24已知椭圆13y 4x 22=+，过右焦点F 的直线L 与椭圆相交于A,B 两点，设点P （4,3），记PA,PB 的斜率分别为21k k ，，探讨21k k +是否为定值?如果是，求出定值，如果不是，求出21k k +的取值范围三、斜率之积为定值 椭圆13y 4x 22=+，过右焦点F 的直线L 与椭圆相交于A,B 两点，设点P （4,3），记PA,PB 的斜率分别为21k k ，，若直线L 的斜率等于-1，求21k k ⋅的值椭圆14y 6x 22=+，设B 为椭圆的上顶点，e 为椭圆的离心率，直线L 交椭圆于C,D （均异于B 点）两点，且BC,BD 的斜率之积为2e ，直线L 的斜率取值范围四、角平分线问题已知抛物线x 4y 2=，()02，-A ，直线与抛物线相交于P,Q 两点，且QAO PAO ∠=∠,证明：直线L 过定点椭圆14x 22=+y ，直线L 与椭圆交于P,Q 两点，点N(4，0)，O 为原点，若P,Q,N 三点不共线，ONQ ONP ∠=∠,证明动直线L 经过定点五、弦的垂直平分线问题椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围椭圆1222=+y x ，设直线L ：()0m m x y ≠+=与椭圆交于A,B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴与点P,求点P 横坐标的取值范围六、定点定值问题 已知过椭圆1y 4x 22=+的左顶点A 的两条直线21L L ，分别交椭圆于M,N 两点，且21L L ⊥,求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线L 与椭圆1y 4x 22=+交于不同的两点，PQ 若在x 轴上存在定点()0m ，M ，使⋅恒为定值，求m 的值。

2019高考数学复习常用圆锥曲线公式总结
圆锥曲线包括圆, 椭圆, 双曲线, 抛物线。

以下是常用圆锥曲线公式总结, 请考生及时学习。

抛物线: y = ax *+ bx + c
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a 0时开口向上
a 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a(x+h)* + k
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
圆: 体积=4/3(pi)(r^3)
面积=(pi)(r^2)
周长=2(pi)r
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注: (a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注: D2+E2-4F0
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高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结一.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

练习：1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）； A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF2.方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）3.已知点)0,22(Q 及抛物线4x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

大招五 圆锥曲线硬解定理圆锥曲线与直线的联立及弦长的计算，一般较为繁琐，如果借用一些口诀，可以快速写出答案。

1、2222222222222210()2()0x y a b Ax By C a A b B x a ACx a C b B ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩+++-= 口诀：两家（加）小两口 (2222)a Ab B +a 方AC 偶………………22a AC a 方站门外C 方单身狗………………2222()a C b B -如果写出了这个式子，韦达定理就可以快速写出两根之和、两根之积。

2、弦长公式也有口诀可以速算。

MN = 口诀：小倍积（2ab ），大方和)成对(2222a A b B +)去见（减）单身（C ）方见完回到分母上3、判别式222222224()a b B a A b B C ∆=+-。

直线与椭圆相切222220a A b B C ⇔+-=直线与椭圆相交222220a A b B C ⇔+->直线与椭圆相离222220a A b B C ⇔+-<4、麻花公式22122122222ABa b x y x y a A b B +=+ 口诀：大倍积小方积例1、221y b= (a >b >0)的右焦点为F ,过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 34例2、如图,已知椭圆的焦点分别为,,双曲线,设P 为双曲线上异于顶点的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D.(Ⅰ)设直线、的斜率分别为、,求:的值; (Ⅱ)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.例3、(2015年陕西文科卷)如图，椭圆经过点，且离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.2222:1(0)x y E a b a b+=>>(0,1)A -2E (1,1)k E ,P Q A AP AQ。

圆锥曲线硬解
圆锥曲线硬解是指利用圆锥曲线作为几何形状，来解决较复杂的运算问题而得出最优解的算法。

它是一种组合最优化技术，是解决复杂数学优化问题的重要方法之一，广泛应用于各个领域，如线性规划、非线性规划、分析统计学等。

圆锥曲线是计算机应用中的一种重要几何体，它是一种几何体，它由圆弧和线段组成，具有边界可视线段和可视弧等属性，这种几何体可以定义平面几何图形的基本元素，如点、线、圆和椭圆。

因此，圆锥曲线具有广泛的应用。

圆锥曲线硬解是一种求解复杂几何学问题的算法，它可以有效地求解复杂的线性规划和非线性规划问题。

它的基本思想是，将圆锥曲线的硬边界（几何结构）和软边界（强度限制）结合起来，利用图论回溯算法对优化函数进行求解。

圆锥曲线硬解的优点在于它能够有效的解决多种复杂的优化问题。

它能够在少量的运算量内，获得较优的解决方案。

另外，它还具有较高的精度，能够较好的满足实际应用中的精确要求。

然而，圆锥曲线硬解也存在一些不足之处。

首先，对于复杂的优化问题，由于圆锥曲线硬解只能求出局部最优解，因此，它可能无法得到全局最优解。

另外，由于圆锥曲线硬解的复杂度较大，因此，它的执行速度较慢，耗时较长。

圆锥曲线硬解是一种求解复杂几何学问题的有效算法，由于其精度、灵活性及对优化问题的处理能力，因此在许多领域都有广泛应用。

如工程设计、科学研究、图形学等就日益依赖于圆锥曲线硬解算法。

未来，随着计算机技术的发展，有可能会有新的圆锥曲线硬解算法被开发出来，而且这些算法将会产生更强大的解决能力，从而对解决复杂科学问题带来更大的效率。

减少解析几何运算量的若干方法在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。

那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。

一、回归定义，以简驭繁圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。

解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。

例1、在面积为1的ΔPMN 中，tg ∠PMN =21,tg ∠2-=MNP ,建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程(93年高考题)分析：在该题的题设条件中，其实是给出了ΔPMN 的两内角的大小及它的面积。

因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。

解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为12222=+by a x ，则由椭圆定义有PN PM a +=2，MN c =2，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ，tg ∠2-=MNP ，tg ∴∠2=PNA 。

由平面几何知识有: ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=⋅==.,121,2,21MN AN AM PA MN AN PA MA PA⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====⇒.33,334,3,332AN AM MN PA ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒.315,3152PN PM 152=+=∴PN PM a ,,215=a 4152=a ，32==MN c ，23=c ， 3222=-=∴c a b 。

∴所求的椭圆方程为1315422=+y x 说明：在上述解题过程中，PM PN +是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。

例2、长度为a 的线段AB 的两端点在抛物线2x =2py(a ≥2p >0)上运动，以AB 的中点C 为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖北省六市高考预选题）。

分析:这里其实就是要求定长弦AB 的中点C 到准线的最小距离。

260如何“硬解”圆锥曲线田雨湄安徽省马鞍山市第二中学，安徽 马鞍山 243000一、圆锥曲线解答题解题现状圆锥曲线一直是高中生绕不开的“洪水猛兽”，特别是解答题，很多高中生对自己的要求就是保证第一小问拿分，第二小问联立方程，写到韦达定理这步即可。

还有不少学生背了各位公式技巧，试图在考场上“一举歼灭”圆锥曲线第二问。

现实却是，对于新题，还是很容易出现会背的结论对不上要考的题目的现象。

为了确保圆锥曲线解答题的得分，师生需要在“硬解”圆锥曲线上多花工夫进行研究。

二、“硬解”圆锥曲线步骤解答圆锥曲线解答题的核心问题是如何将几何关系转化为坐标表达。

在解题之前要分析题目所给的条件和需要求的结论要怎么代数化，再思考怎么通过韦达定理将两者联系起来。

主要步骤就是：（1）分析题目信息（2）进行坐标表达（3）条件和问题处理化简成韦达定理的形式（4）联立直线和曲线方程。

三、学生“硬解”圆锥曲线出现的问题及解决方法（一）题目信息不会处理学生在刚接触圆锥曲线解答题时，在处理题目信息这块会比较难。

这块的难点主要是，涉及的知识比较多，需要掌握圆锥曲线的三个定义，常见的性质，直线和曲线的位置关系、弦长问题等，并且还需要掌握向量，圆，平面几何等方面的知识。

这块难度的攻克，需要任课教师带着学生梳理清楚一些常规坐标化问题。

在题目的选择上，不找偏题怪题，选择计算量低的题目，可以直接过滤掉解答题中由简单性质推导出曲线方程的小题。

教学的主要目的是让学生在做题中，回顾学过的知识，并能做到将所学的各模块的知识糅合在一起，能够快速地在解析几何、平面几何、向量等知识中切换使用。

常见题型有：（1）数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系，（2）弦或弦长为定值问题，（3）面积问题，（4）弦的垂直平分线问题，（5）过已知曲线上定点的弦的问题，（6）动弦过定点问题，（7）共线向量问题，（8）四点共线问题，（9）角度问题。

（二）因信息未处理到位造成的难度增大例4.抛物线y2=4x，P(1,2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线上，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值。