六年级奥数下册综合题型训练(二)

学科培优数学“数论综合二”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在整个数学领域,数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。

翻开任何一本数学辅导书,数论的题型都占据了显著的位置。

在小学各类数学竞赛和小升初考试中,我们系统研究发现,直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右,而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中,这一分值比例还将更高。

知识梳理涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题,以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．例题精讲【试题来源】【题目】一台计算器大部分按键失灵,只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用,因此可以输入77,707这样只含数字7和0的数,并且进行加法运算．为了显示出222222,最少要按“7”键多少次?【试题来源】【题目】有一批图书总数在1000本以内,若按24本书包成一捆,则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆,最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆,则最后一捆是30本．那么这批图书共有本．【试题来源】【题目】一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍,则这个五位数是 .【试题来源】【题目】在纸上写着一列自然数1,2,…,98,99.一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去,然后把这三个数的和写在数列的最后面.例如一次操作后得到4,5,…,98,99,6；而两次操作后得到7,8,…,98,99,6,15.这样不断进行下去,最后将只剩下一个数,则最后剩下的数是 .【试题来源】【题目】有两种规格的9箱钢珠,每箱300个,甲种钢珠每个10克,乙种钢珠每个11克,将这9箱钢珠编为1~9号,然后依次从1~9号箱中取出20,21,22,23,24,25,26,27,28,个钢珠,这些钢珠共重5555克。

问：哪几箱是甲种钢珠？【试题来源】【题目】把除1外的所有奇数依次按一项,二项,三项,四项循环的方式进行分组：(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,3l,33),(35,37,39,41),(43),……．那么,第1994个括号内的各数之和是多少?【试题来源】【题目】2001个球平均分给若干人,恰好分完。

六年级奥数专项复习训练（二）行程问题1、—辆客车和一辆货车同时从AB 两地相对开出，经过8小时，相遇后两车都以原速继续前进，又经过6小时，货车到达A 地，客车离B 地还有35千米，AB 两地相距多少千米?2、一辆汽车往返于AB 两地，去时每小时行45千米，要使来回的平均速度为54千米．回来的速度是多少千米?3、已知甲、乙两车的速度比是5：4，乙车出发，从B 站开往A 站，开到离B 站120千米的地方时，甲车从A 站发车开往B 站，两车相遇的地方离B 、A 两站的距离比是4：3，A 、B 两站相距多少千米？4、甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两地同时相对而行，当乙车行了甲车所行路程的65%时，正好与甲车在汽车总站相遇，这时甲车在原地检修，而乙车又继续向前行驶了54千米，结果乙车行的总路程比甲车行的总路程多26千米，甲车所行的路程是多少千米？5、甲乙两车同时从A 地开往B 地，甲车到达B 地后立即返回，两车在离B 地56千米处相遇，这时甲车共行了14小时，已知甲车每小时速度比乙车快16%，乙车每小时行多少千米？6、甲乙两车同时从两地相向而行，相遇时，如果甲车再向前行驶自己已行路程的 ，就与乙车已行的路程一样多；如果甲车少行8千米，就是乙车已行路程的3/4，乙车行了多少千米？7、大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶，大货车先走2小时，小轿车出发后4小时追上了大货车；如果小轿车每小时多走8千米，出发后3小时就可追上大货车，大货车每小时走多少千米？8、王华在一段路上练习长跑，如果每小时多跑51千米，时间就变为原来的54，原来的速度是每小时多少千米？行程问题练习1、在男子100米短跑比赛中，细心的裁判发现，当小小到达终点时，小叮距终点还有10米，小铛则才跑了81米。

如果照这样的速度跑下去，当小叮到达终点时，小铛距终点还有多少米？2、甲、乙两人的速度比是9：10，甲、乙两人同时从两地相向而行，相遇时离中点5千米，相遇后两人继续前进，当乙到达甲的出发地时，甲离乙的出发地多少千米？3、兔子和乌龟同时从甲地去乙地，兔子的速度是乌龟的8倍，途中兔子睡了一觉，耽误了一段时间，这样乌龟到达乙地时，免子离乙地还有640米，已知兔子睡觉的一段时间内乌龟跑了10580米，甲乙两地相距多少米？4、某人从A地到B地，如果用每分钟90米的速度走，那么要迟到5分钟；如果他用每分钟100米的速度走．那么要迟到3分钟，AB两地相距多少千米?5、一艘轮船所带的燃料最多可用14小时，轮船去时顺风．每小时航行120千米，返回时逆风，每小时航行90千米，这艘轮船最多航行多少千米就需返航？行程问题练习3、在男子100米短跑比赛中，细心的裁判发现，当小小到达终点时，小叮距终点还有10米，小铛则才跑了81米。

学科培优 数学 “行程综合二” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题,例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时,这里的参考系便是公路,而公路本身是没有速度的,所以我们只需要考虑人本身的速度即可。

但是在流水行船问题中,我们的参考系将不再是速度为0的参考系,因为水本身也是在流动的,所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响.重难点在于1．流水行船中的相遇与追击2．火车问题知识梳理知识点：行程综合（二）流水问题：顺水速度=船速+水速, 逆水速度=船速-水速. ( 其中为船在静水中的速度,为水流的速度)由上可得：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2；水速=（顺水速度-逆水速度）÷2.流水行船中的相遇与追击：水船顺V V V +=水船逆V V V -=船V 水V（1）两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出,它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速.这就是说,两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样,与水速没有关系.（2）同样道理,如果两只船,同向运动,一只船追上另一只船所用的时间,也只与路程差和船速有关,与水速无关.这是因为：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速.也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样.由上述讨论知,解流水行船问题,更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答火车问题⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间,因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵火车与人错身时,忽略人本身的长度,两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时,两者路程和则为两车身长度之和.⑶火车与火车上的人错身时,只要认为人具备所在火车的速度,而忽略本身的长度,那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目,在分析题目的时候一定得结合着图来进行.例题精讲【试题来源】【题目】两港相距 120 千米,甲船往返两港需 60 小时,逆流航行比顺流航行多用了 20 小时．乙船的静水速度是甲船的静水速度的 3 倍,那么乙船往返两港需要多少小时？【试题来源】【题目】一艘轮船顺流航行 120 千米,逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米,逆流航行 120 千米也用 16 时。

2 1 2 十二、圆和组合图形（2）年级 班 姓名 得分 一、填空题1.如图,阴影部分的面积是阴影部分的面积是 .2.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积大面积比小圆的面积大 平方厘米.3.在一个半径是4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是面积是 平方厘米.(π取3.14,结果精确到1平方厘米)4.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是阴影部分的面积是 (平方厘米).5.如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是周长是 厘米.)14.3(=π6.如图,151=∠的圆的周长为62.8厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是阴影部分的面积是 .EDCB AG FO D CAB7.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率1416.3=π,那么花瓣图形的面积是那么花瓣图形的面积是 平方厘米.8.已知:ABCD 是正方形, ED =DA =AF =2厘米,阴影部分的面积是阴影部分的面积是 .9.图中,扇形BAC 的面积是半圆ADB 的面积的311倍,那么,CAB ∠是 度.10.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是 平方厘米.(π取3.14)二、解答题11.如图:阴影部分的面积是多少?四分之一大圆的半径为r .(计算时圆周率取722)2甲乙12.已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米求阴影部分的面积.13.有三个面积都是S 的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是2S +2,并且重合的两块是等面积的,直线a 过两个圆心A 、B , 如果直线a 下方被圆覆盖的面积是9,求圆面积S 的值.14.如图所示,一块半径为2厘米的圆板,从平面上1的位置沿线段AB 、BC 、CD 滚到2的位置,如果AB 、BC 、CD 的长都是20厘米,那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米120ABCD12A B C a1OC B A E D———————————————答 案——————————————————————1. 6. 两个扇形面积相等,故阴影部分面积等于一个长为3,宽为2的长方形面积,为6个平方单位.2. 188.4.小圆的半径为2)14(6=-÷(厘米),大圆的半径为842=⨯(厘米).大圆的面积比小圆的面积大4.18814.3)28(22=⨯-(平方厘米). 3. 57.305.57214.3)22(14.35.422=⨯⨯÷-⨯(平方厘米)≈57(平方厘米). 4. 10.26.从圆中可以看出,阴影部分的面积是两个半圆的面积与三角形面积之差,即26.10621)26(14.322=⨯-÷⨯(平方厘米).5. 20.5.设圆的半径为r ,则圆面积即长方形面积为2r π,故长方形的长为r DC π=.阴影部分周长r r r r r r AD BA BC DC ππππ245241)(⨯=⨯+-++=+++= 5.204.1645=⨯=(厘米). 6. 6548(平方厘米).如图,连结OA 、AC ,过A 点作CD 的垂线交CD 于E .三角形ACD 的面积为502100=÷(平方厘米).又圆半径为10)214.3(28.6=⨯÷(厘米),因为151=∠, 又OA=OD ,故30215=⨯=∠AOC ,扇形AOC 的面积为的面积为61261014.3360302=⨯⨯(平方厘米).三角形AOC 的面积为25250=÷(平方厘米).方形面积为611256126=-(平方厘米),从而阴影部分的面积为654861150=-(平方厘米). 7. 19.1416.⌒E D C BAGF①②花瓣图形的结构是正方形的面积,加上四个43圆面积后,再割去四个半圆的面积.圆的半径为1厘米,正方形边长为4厘米.故花瓣图形的面积是故花瓣图形的面积是1416.1916421144314222=+=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+πππ(平方厘米).8. 2.43平方厘米. 如图,将①移到②得:阴影部分面积等于梯形CEFB 的 面积减去三角形CED 、三角形CDA 、扇形AFG 的面积,即 43.236045214.32122122212)322(22=⨯⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯+(平方厘米).9. 60.设扇形ABC 圆心角的度数是x ,半圆的半径OA=r ,有2221311)2(360r r x⨯⨯⨯=⨯⨯ππ, 解得x=60. 10. 0.14.扇形面积为14.341214.32=⨯⨯(平方厘米),甲部分面积为43.0214.32122=÷-⨯(平方厘米),乙部分面积为57.04122214.3=⨯⨯-÷(平方厘米),甲乙两部分面积差为14.043.057.0=-(平方厘米).11. 如图,小正方形的边长为2r,则①的面积为: 72227224122r r r r =⨯-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯, ②的面积为222417272221r r r =-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯,①和②的面积和为2227224172241r r r =⨯⨯-⨯⨯.即阴影部分面积为272r . 12. 将阴影部分旋转后,可以看出所求阴影部分面积为大正方形面积的一半减去小正形的一半,即阴影部分面积等于10242622=÷-÷(平方厘米).13. 设一个阴影部分的面积为x ,则有:2223+=-S x S ,于是22+=x S(1) 又9232=-x S ,于是有23184+-=S x ,解得S=6.③①②14. 圆板的正面滚过的部分如右图阴影部分所求, 它的面积为:)420(4614)220(22122-+⨯⨯+⨯-+⨯⨯ππ 07.228323204221)24(414)220(4222≈+=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-+⨯πππ(平方厘米).ABCD12。

小学六年级奥数专题之相遇问题一、基本练习(1)甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？(2)两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇。

两个车站之间的铁路长多少千米？(3)甲、乙两列火车同时从相距988千米的两地相向而行，经过5.2小时两车相遇。

甲列车每小时行93千米，乙列车每小时行多少千米？二、综合练习（1）师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小时以后还有70个零件没有加工？（2）甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖75米；乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天挖好，这条水渠一共长多少米？（3）甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米。

已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？（4）一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。

已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？（5）两地相距270千米，甲、乙两列火车同时从两地相对开出，经过4小时相遇。

已知甲车的速度是乙车的1.5倍，求甲、乙两列火车每小时各行多少千米？（6）甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米，2小时后，快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？（7）甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行，甲车每小时行45千米，途中因汽车故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇。

乙车每小时行多少千米？（8）A、B两地相距3300米，甲、乙两人同时从两地相对而行，甲每分钟走82米，乙每分钟走83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟才可以相遇？（9）甲、乙两列汽车同时从两地出发，相向而行。

已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行32千米，相遇时甲车比乙车多行52千米。

六年级奥数(分数应用题2)姓名1、(例)甲、乙、丙三人到银行存款，甲存入的款数比乙多51，乙存入的款数比丙多51，问甲存入的款数比丙多几分之几？2、甲、乙、丙三人合作生产一批机器零件，甲生产的零件数量的一半与乙生产零件数量的53相等，又等于丙生产的零件数量的43。

已知乙比丙多生产50个零件，问这批零件共有多少个？3、某学校四、五、六三个年级共有学生618人，其中五年级人数比四年级多101，六年级人数比五年级少101，求各年级学生人数。

4、甲、乙、丙、丁四人平均植树30多棵，甲植树棵数是乙的32，乙植树棵数是丙的411倍，丁比甲还多植树3棵，那么丙植树多少棵？5、(例) 甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，甲的捐款数是另外三人捐款总数的31，乙的捐款数是另外三人总数的41，丙的捐款数是另外三人捐款总数的51，丁捐款460元。

求四人共捐款多少元？6、四个孩子合买一只60元的小船。

第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的一半。

第二个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的三分之一，第三个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的四分之一，第四个孩子付了多少钱？7、兄弟四人合作修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的31，老三修了另外三人总数的41，老四修了91米，问这条路长多少米？8、育英小学四、五、六年级的学生栽树450棵。

已知四年级已经栽完了自己任务的65，五年级已经栽完了自己任务的32，六年级已经栽完了自己任务的95，并且他们已经栽完的棵数同样多。

问一共还剩下多少棵树没有栽？9、(例)3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了31，第二只猴子吃了剩下的31，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的41，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原来有桃子多少只？10、修一条路，第一天修这条路的21还多2千米，第二天修余下的31少1千米，这样还剩下20千米没有修，求公路的长。

11、妈妈买了一些苹果。

小宇第一天吃去31又31个，第二天吃去剩下的41又41个，第三天吃去剩下的31又31个，这时还剩下3个苹果，问妈妈买了多少个苹果？12、某人拿了一筐桔子到集市上出售。

第2讲数的整除特征（二）知识网络上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。

（1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。

（2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

重点·难点同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。

学法指导上面数的整除特征可以结合例子来理解。

例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。

因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。

记忆要理论联系实际。

经典例题[例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？思路剖析能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。

一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。

解答要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p 和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。

小学六年级奥数工程问题1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。

如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。

现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。

现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。

乙单独做完这件工作要多少小时？4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。

已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？5．师徒俩人加工同样多的零件。

当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。

当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。

单份给男生栽，平均每人栽几棵？7．一个池上装有3根水管。

甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。

现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？10、一项工程,甲先做2天,乙在做3天,完成全工程的四分之一,甲再做3天完成余下的四分之一,最后再由乙做,完成这项工作还要多少天？小升初数学专题之解方程一.字母的运算 =+x x 2 =-x x 312 =-x x %3543=+x x 56=-x x 5.0%75 =+a a 5.23 =+x x %33%25 =-x x 533=++x t x 543 =-+t x t 243 =+--t x t x 27326 =-+x x 5367二.去括号（主要是运用乘法的分配律和加减法的运算性质） 1.=+)(c b a 2.=++)(c b a =-+)(c b a3.=+-)(c b a=--)(c b a应用上面的性质去掉下面各个式子的括号，能进行运算的药进行运算 =-)3(3x=-)326(21x =++)23(12x =-+)3261(65x =--)3(5x =+-)1(27x =++)123(4183x x =--)312(36x x x=+++)62(31)43(21x x =--+)212(21)58(41x x 三.等式的性质.1.等式的定义： ，叫做等式；2.等式的性质：(1).等号的两边同时加上或减去同一个数，等号的左右两边仍相等； 用字母表示为：若a=b ，c 为任意一个数，则有a+c=b+c(a-c=b-c); (2).等号的两边同时乘以同一个数，等号的左右两边仍相等； 用字母表示为： ; (3).等号的两边同时除以同一个不为零的数，等号的左右两边仍相等. 用字母表示为： ; 四.方程1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程；2.方程的解：满足方程的未知数的值，叫做方程的解；3.解方程：求方程的解的过程，叫做解方程. 五.解方程1.运用等式的性质解简单的方程，257575575=-=-=-+=+x x x x 解：3399345345443543=÷==+=+=+-=-x x x x x x 解：如果把画框的部分省略，我们把一个数从等号的左边移到右边的过程，叫做移项， 注意把一个数从方程的左边移到右边时，原来是加的变成减，原来是减的变成加号。

六年级下册奥数第十二讲综合应用题选讲（二）例题习题通用版（例题含答案）解综合题，除了要有结实的解基此题的基础之外，还要求解题者有发明性看法，有结构〔构思〕才干，有探求才干，要擅长把复杂的效果化归为较复杂的效果.例1 恣意100个自然数，从中能否可找出假定干个数〔也可以是一个，也可以是多个〕，使得找出的这些数之和可以被100整除？说明理由.剖析 100太大，先从小一些的数剖析.假设是两个自然数，当其中有偶数时，这个偶数可被2整除，这时结论成立；当其中没有偶数时，这两个奇数之和是偶数，这两个数之和能被2整除，可见关于两个自然数，结论成立.假设有3个自然数，当其中有3的倍数时，这个数就可被3整除，选这个数即可；当其中没有3的倍数时，假设这3个数被3除的余数相等，那么这3个数之和可被3整除，这时可选出这3个数；假设这3个数被3除后有的余1，有的余2，就取余1和余2的各一个数，这两个数之和可被3整除.因此，关于3个整数的情形，结论成立.相似的剖析可知，关于4个整数的情形，结论成立.不过火析的进程要更长些.按这种思绪剖析下去，虽然可以依次判定关于5个，6个，7个，8个，…整数时结论成立，但是还不能说〝关于100个整数结论也成立〞.由于我们不能够在短时间内不时验证到100.看来要另外设计证题的方法.虽然没有证出原来的标题，但是从复杂状况可猜想原题的结论应当是一定的.由于此题结论是与假定干个数之和有关的，由此可联想结构〝假定干个数之和〞方式的数.再进一步思索被100除后的余数.设原来的 100个数是a1， a2，…， a100.思索 b1， b2，…，b100，其中b1=a1，b2=a1＋a2，b3=a1+a2+a3，b100=a1+a2+a3+…+a100.很显然每个bi〔i=1，2，…，100〕，以及它们中的恣意两个之差〔例如b5-b2=a3+a4+a5〕，都是假定干个原来的数之和.思索b1，b2，…， b100被 100除后各自的余数.假设有一个数，例如b1，它能被 100整除，那么效果就处置了.假设任一个数被100除之后的余数都不是0，那么100个数最多能够余1，余2，…，余99，所以致少有两个数，它们被100除后的余数相反.这时，它们的差可被100整除，也就是说在a1，a2，…，a100中存在假定干个数，它们的和可被100整除.说明：下面的论证方法应用了余数类，同余，抽屉原理，这些解数学竞赛题中常用的方法.在思索b1，b2，…，b100时，采用了结构法.应当指出，标题中的〝100〞不是实质的，改成200，300…，甚至改成任一自然数n，结论也成立，证法相反.例2某班先生有以下特点：任何四团体中，都有一团体与另外三团体经过 .证明：全班之中的恣意四团体中，可找到一团体，这团体与全班一切人都经过 .剖析这个标题中〝数〞很少，要论证的结论〝恣意四团体中可找到一团体，这团体与全班一切的人都经过〞又比拟强，为此，要充沛应用〝任何四团体中都有一团体与另外三团体经过〞的条件.画个表示图，人用点表示，两团体之间经过就用这两点的实连线表示，否那么就用虚线表示.假设这些先生之间的任何两团体都有线相连，那么效果已处置；假设有四团体A、B、C、D有如以下图所示的关系：那么D与A、B、C都经过，思索除A、B、C、D外的任何一团体E.D、E之间一定经过 .否那么A、C、D、E四人与条件不符.由于E的恣意性说明D与一切人经过 .假设有四团体A、B、C、D，它们间的关系如以下图所示，与上图的证法相似，可知D与一切人经过 .我们已讨论了一切能够的情形，因此综上所证知：恣意四人中，总有一团体，这团体与一切人经过 .说明：我们采用的证明方法是用图这种直观方式表达关系和逻辑，把人和通区分用点、边表示，未通用虚线表示.这样便于对照图形剖析效果.这种方法是图论的基本方法.在上述证明中，运用了分状况论证〔分状况讨论〕的方法.这是推实际证的基本方法之一.例3 甲、乙两所学校的先生中，有些先生相互看法.甲校的先生中任何一团体也认不全乙校的先生，乙校的恣意两名先生都有甲校中的一个公共冤家.问：能否在甲校中找出两个先生A、B，从乙校中找出三个先生C、D、E，使得A看法C、D，不看法E，B看法D、E，不看法C？说明理由.〔看法是相互的，即甲看法乙时，乙也看法甲〕.剖析假设选乙校先生中恣意两团体为C、D，那么甲校中有看法C、D 的人，设它为A.由于A认不全乙校先生，所以在乙校中有先生E，A不看法E.这时A看法C、D，不看法E.按这个思绪，再思索选B时有些费事.虽然关于乙校的D、E，可知甲校中有先生看法D、E，假设把甲校的这个看法D、E的人选为B.这个B能够看法C，这样就达不到标题要求了.之所以堕入上述困境，缘由在于C、D在乙校中太〝恣意〞了，在乙校中任选C、D，就能够使得最后甲校中的B选不出来，看来要选特殊一点的人.由于甲校先生都认不全乙校的先生，所以存在甲校的看法乙校先生数目最多的人〔或看法乙校先生数目最多的人之一〕.选他为A.由于A认不全乙校先生，取A不看法的乙校的一名先生为E，设A看法的乙校的一名先生为D.关于D、E，在甲校中有一团体，设它为B，B看法D、E.由于B看法E，A不看法E，所以A、B不是同一团体.在A看法的乙校先生中，一定有B不看法的人，假定不然，当A看法的乙校的任何一名先生都看法B时，B至少要比A多看法一团体E，这与〝甲校先生中看法乙校人数最多的人之一是A〞的假定矛盾.设在乙校中，先生C看法A而不看法B，这样就有：A看法C、D，不看法E，B看法D、E，不看法C.说明：为论证的需求，选择特殊元素〔如最多、最少、最早、最晚、…等〕，是行之有效的方法，这个特殊元素的性质作为论证的一个重要条件.例4假定干个自然数之和是1993，这些自然数之积的最大值是多少？剖析这个效果中有以下难点：〝假定干个〞是几个？这些自然数都是什么？如何找出这些自然数之积的最大值？虽然把有限数1993拆成各种不同的自然数之和的方法也是有限的，但是逐一分拆再求出它们的乘积，最后再从乘积中选出最大的是不理想的，那样计算量过大.首先可以看出，1993拆开的各加数中不应当有1.由于1作为因数对乘积无作用，当把1兼并到另一个加数中去后，会使乘积增大，因此不拆出1为加数.另一方面，拆成的加数也不应当太大，例如当拆成的加数中有5时，只需把5再拆为2+3，由于2×3＞5，可见把5去掉，换成2+3会使乘积增大.异样，假设加数中有6，换成 3+3，由于 3×3＞6，可见换成 3+3会使乘积增大.普通地，由于当a＞4时，2×〔a-2〕＞a，所以我们总可以把5或5以上的加数a换成2＋〔a-2〕，这样使乘积增大，也就是说，所拆成的加数中至少是4.进一步思索，假设有加数4，把4用2+2换一下，乘积不变.因此，为使思索效果复杂起见，可以以为所拆成的加数中不含4，即加数中只要2和3两种数.假设加数中有3个或3个以上的〝 2〞，当把3个〝 2〞用2个〝 3〞替代时，和不变，但由于 2×2×2＜ 3×3，可见乘积增大.由此可以想象1993拆成的各加数中仅有2、3，而且2的数目不多于两个.由于1993不是3的倍数，所以致少要拆出一个〝2〞，但1993-2=1991也不是3的倍数，可见1993要拆出两个〝2〞.容易看出：这时取得最大乘积 22×3663.说明：下面采取了层层化简的剖析方法，把1993的剖析效果归结为〝只含有2、3，且2的数目不多于两个〞，以到达乘积最大.这是在不时比拟、调整的进程中对各加数的性质逐渐看法失掉的.在野着使乘积逐渐添加的方向，我们扫除了加数中的1，扫除了加数中大于4的数，进而去掉4，限制了加数中〝2〞的数目，经过这样一系列的比拟、简化才比拟方便地找出了乘积的最大值，我们应当学习这种层层化简的转化战略.习题十二1.某个四位数有如下特点：①这个数加 1之后是 15的倍数；②这个数减去3是38的倍数；③把这个数各数位上的数左右倒过去所得的数与原数之和能被10整除，求这个四位数.2.某学校的假定干先生在一次数学考试中所得分数之和是8250分.第一、二、三名的效果是88、85、80分，得分最低的是30分，得异样分的先生不超越3人，每个先生的分数都是自然数.问：至少有几个先生的得分不低于60分？3.一个自然数，假设它的奇数位上各数字之和与偶数位上各数字之和的差是11的倍数，那么这个自然数是11的倍数，例如 1001，由于1+0=0+1，所以它是 11的倍数；又如1234，由于 4+2-〔3＋1〕=2不是 11的倍数，所以 1234不是11的倍数.问：用0、1、2、3、4、5这6个数字排成不含反双数字的六位数，其中有几个是11的倍数？4.做少年广播体操时，某年级的先生站成一个实心方阵时〔正方形队列〕时，还多10人，假设站成一个每边多1人的实心方阵，那么还缺少15人.问：原有多少人？。

六年级下册奥数综合题型训练题
六年级奥数综合题型训练（二）
题型二解题技巧
一、画图解应用题技巧
【例1】甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。

到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。

问小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？
【例2】一群人在两片草地上割草，大的一片草地比小的正好大1倍。

他们先全体在大的一片草地干了半天，下午留下一半人在大草地上继续干，收工时正好把草割完；另一半人到小草地上干，收工时还余下一块地，这块地再用1人经1天也可以割完。

问这群干活的人共有多少位？
【例3】把一笔22500元的科研奖金发给一、二、三等奖获奖者，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍多500元，每个二等奖的奖金是每个三等奖的2倍，一、二、三等奖的获奖者各是3人，那么每个一等奖的奖金是多少元呢？
【例4】两名运动员在长为50米的游泳池里回游泳。

甲运动员的速度是1米/秒，乙运动员的速度是06 01)]×[(211)－(010)]。

小学毕业升学考试挑战奥数题测试卷（二）1、一份中学数学竞赛试卷共15题，答对一题得8分，答错一题或不作答均倒扣4分。

有一个参赛学生得分为72，则这个学生答对的题目数是：A.9B.10C.11D.122 、演唱会门票300元一张，卖出若干数量后，组织方开始降价促销。

观众人数增加一半，收入增加了25%。

则门票的促销价是：A.150B.180C.220D.2503 、如果把一个体积为125立方厘米的正方体铁块切割成体积相等的8个小正方体，则每个小正方体铁块的表面积是：A.6.25平方厘米B.15.625平方厘米C.16.5平方厘米D.37.5平方厘米4 、两个城市中心距离在比例尺为1∶100000的地图上为16.8cm，则两地实际距离的公里数是：A.1.68B.16.8C.168D.16805 、接受采访的100个大学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没手机的共有多少人?。

A.25B.15C.5D.36 、某商场在一楼和二楼间安装一自动扶梯，该扶梯以均匀的速度向上行驶。

一男孩与一女孩同时从自动扶梯走到二楼（扶梯本身也在行驶），假设男孩与女孩都做匀速运动，且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍，已知男孩走了27级达到扶梯顶部，而女孩走了18级到达扶梯顶部（设男孩、女孩每次只跨一级），则扶梯露在外面的部分共有（）级。

A.54B.64C.817 、3个人用3分钟时间可以把3只箱子装上卡车，按这个工作效率，如用1小时39分钟把99只箱子（假设每只箱子的重量是一样的）装上卡车，需要（）个人。

A.3B.9C.18D.998 、一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如下图所示，若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第10件工艺品的宝石数为______颗。

A.229B.231C.238D.2459 、如下图所示，某城镇共有6条东西方向的街道和6条南北方向的街道，其中有一个湖，街道在此变成一个菱形的环湖大道。

综合测试卷一、填空题：例1计算1 1 1( 0.25) ( 5 ) ( 3.5) ( ) 22 4 4例2-a的相反数为5，b的倒数是c，c的负倒数是2，d在数轴的左侧且与原点的距离为3，|2a －(b－d)|－c3＝_____。

例3在平行四边形ABCD中，OE＝EF＝DF，平行四边形的面积是240平方厘米，暗影部分的面积是_____平方厘米。

例4如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC＝2DE，F是DG的中点。

暗影部分的面积是_____平方厘米。

例5以下列图，六边形ABCDEF中，AB＝ED，AF＝CD，BC＝EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD＝24厘米，BD＝18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？例6图中两个四分之一圆弧的半径分别为2cm和4cm，这两个暗影部分的面积差是_____。

例7一个六位数，它能被99整除，去掉这个六位数的首尾两位，中间是1997，这个六位数是_______。

例8一艘船从甲港到乙港，逆水每小时行24千米，到乙港后又顺流返回甲港，已知顺流航行比逆水航行少用5小时，水流速度为3千米/时，甲、乙两港相距_____千米。

二、应用题例1一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北慢慢驶去，铁路旁一条小道上，一位工人也正向北步行。

14时10分时火车追上这位工人，15秒后走开。

14时16分迎面碰到一个向南走的学生，12秒后走开这个学生。

问：工人与学生将在何时相遇？例2求最小的自然数，它的各位数字之和是56，它的末两位是56，同时它能被56整除。

例3国庆时期，小明买了甲乙两种书，打九折后共付144元，甲种书依据25%收益订价，乙种依据20%的收益订价，此刻都打九折销售后仍赢利14元，甲种书进价多少元？例4一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处。

客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度同样且一直保持不变。

第12讲行程问题（二）在四年级的教材中，我们已经对于相遇问题、追及问题、水流问题和车长及桥长等问题，进行了较为细致的研究。

在这一讲中，我们将进一步就环行路上的行程问题以及多次相遇等问题进行研究。

行程问题在小学的应用题中是变化最多的类型之一。

对于行程问题的研究是小学综合运用知识解决问题的一个重要的内容。

因为行程问题的变化可谓是丰富多彩，不仅在小学，而且在中学的数学和物理的学习中，也是极其重要的内容。

一、环行路上的行程问题环行路上的行程问题，有着它独特的方面，由于环行的道路是封闭的，因此，环行路上的运动，计算行程时，通常与环行道路的周长有关。

例1在400米的环行跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。

甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他们每人跑100米，都要停10秒钟。

求甲追上乙需要多少秒？分析：这道题初看时，由于他们每人跑100米，都要停10秒钟。

似乎不太好解决。

但如果将二人看成不停的跑，就很容易算出甲追上乙的时间，这时再考虑在这期间所停留的时间，问题的解决就比较简单了。

解答：如果甲、乙不停的跑步，甲追上乙共需：100÷（5－4）=100（秒），甲在100秒中共跑：5×100=500（米），而甲在跑100米、200米、300米、400米时共停留了4次，到了500米处恰好追上乙。

不必计算停留的时间。

所以，甲追上乙所需的时间是：100＋4×10=140（秒）说明：甲跑到500米处时，正好是乙跑完400米，并且休息完10秒时。

当甲跑到时，乙恰好要出发，他们两个在这一瞬间正好相遇。

例2 如图，A、B是圆直径的两个端点，小华在点A，小明在点B，他们同时出发，反向而行。

他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。

求这个圆的周长。

分析：第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两人合起来走了一圈，因此，从开始出发到第二次相遇，两人合起来走了一圈半。

六年级奥数综合过关检测卷（二）（满分120分，考试用时90分钟）一、填空题（每题8分，共64分）1．x=1999.123456789101112……，x的小数点后第300位上的数是( )。

2．以1998为分母的最简真分数一共有( )个，它们的和是( )。

3．已知A，B，C三只箱子内各放着一些球。

如果从A箱取出16个球放到B箱内，那么A，B两箱内球数相等；如果从B箱取出14个球放到C箱内，那么B，C两箱内球数相等。

现从A箱取出8个球放到C箱内，那么A箱内球数正好是C箱内球数的2倍，B 箱内有( )个球。

4．一个正方体增高2厘米（底面不变）后，得到一个长方体。

长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了96平方厘米。

长方体的体积比正方体的体积增加( )立方厘米，正方体的表面积是( )平方厘米。

5．刘师傅加工一批零件，如果把工效提高20%，可以提前1小时完成任务；如果先以原工作效率生产100个，然后再将工效提高30%，也比原定计划提前1小时完成，这批零件有( )个。

6．湖滨新村的常住人口在25000～35000之间，其中男性人口与女性人口所占的比例分别为50.19%和49. 81%（这两个百分率都是绝对精确的）。

湖滨新村的常住人口中，女性人口有( )人。

7．明明用不到1小时的时间做完作业后，发现钟面上的时针与分针恰好与他开始做作业时交换了位置。

明明做作业共花了( )分。

8．某个院子里共有5个小朋友，每个小朋友的年龄都小于13岁，他们年龄的乘积是18480，这5个小朋友中年龄最小的至少是( )岁。

二、应用题（每题8分，共24分）1．电子商场今年销售的某品牌笔记本电脑按台数统计，每月销售量平均增长20%，今年12月销售了120台，按此速度下去，请你预计明年3月份比1月份多销售多少台（按四舍五入法计算）?2．奶奶到商店买了一件上衣和一条裤子，由于都是库存商品，廉价销售，上衣是原价的八折，裤子是原价的六折，总共花去75元，平均便宜25%，那么这件上衣和裤子原价各是多少元？3．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

知识要点抢先看船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航推行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。

流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程速度问题中三个量(速度、时间、路程复用到。

此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速由公式⑴可以得到：由公式⑵可以得到：根据公式⑴和公式⑵，相加和相减就可以得到：船速＝知识要点抢先看船速(顺水速度＋逆水速度水速＝(顺水速度－逆水速度两只船在河流中相遇问题：当甲、乙两船乙在下游)在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和。

这是因为甲船顺水速度＋乙船逆水速度这是因为：甲船顺水速度＋乙船逆水速度＝水速)＋船速船速。

这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车知识要点抢先看同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速所，无关。

这是因为：【例1】经典例题妙解甲乙两船在乙上行全程需要30h ，乙上行全程需要请问：乙下行全程需要多长时间？【例2】经典例题妙解一艘轮船在两个港口间航行，水速为顺水下行需要个港口之间的距离。

经典例题妙解【例3】一条船从甲地沿水路去乙地，往返一次共需去时顺水去时顺水，比返回时每小时多行驶二小时比第一小时少行驶路的距离。

经典例题妙解【例4】一艘船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时的时间比是原来的2倍，这艘船往返共用乙两港相距经典例题妙解【例5】轮船顺流航行9小时；顺流航行用7小时。

求轮船在静水中航行的速度和水流的速度。

测试题1．一艘轮船在两个港口间航行，静水速度为25/km h，顺水下行需要4h，返回上行需要6h。

求：这两个港口之间的距离。

2．一艘船从甲港到乙港，逆水每小时行24千米，到乙港后又顺水返回甲港，已知顺水航行比逆水航行少用5小时，水流速度为每小时3千米，甲、乙两港相距千米。

八行程问题(2)年级班姓名得分一、填空题1.A、B两地相距150千米.两列火车同时从A地开往B地.快车每小时行60千米.慢车每小时行48千米.当快车到达B地时,慢车离B地还有千米.2.某人沿直线从甲城到乙城去旅行,去的时候以每小时30公里的速度匀速前进.回来时以每小时60公里的速度匀速返回,此人在往返行程中的平均速度是每小时公里.3.某教师每天早上驾车40公里到学校需要用55分钟,某天早上她迟离开家7分钟,那么她的车速每小时为公里时才能和平常一样按时到达学校.4.一辆汽车从甲地开往乙地,每分钟行750米,预计50分钟到达.但汽车行驶到3/5路程时,出了故障,用5分钟修理完毕,如果仍需要在预定时间内到达乙地.汽车行驶余下的路程时,每分钟须比原来快米.5.有甲、乙、丙三辆汽车,各以一定的速度从A地开往B地,乙比丙晚出发10分钟,出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟,出发后1小时40分钟追上丙,那么甲出发后需分钟才能追上乙.6.甲、乙二人相距100米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑2.8米,乙每秒钟跑2.2米.他们同时分别在直路两端出发,当他们跑了30分钟时,这段时间内相遇了次.7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发,背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟.如果在出发后第45分钟甲、乙二人相遇,那么乙走一圈的时间是分钟.8.有人沿公路前进,对面来了一辆汽车,他问司机：“后面有自行车吗？”司机回答：“十分钟前我超过一辆自行车”,这人继续走了10分钟,遇到自行车.已知自行车速度是人步行速度的三倍,汽车的速度是步行速度的倍.9.某校和某工厂之间有一条公路,该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告,往返需用1小时.这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来,途中遇到接他的汽车,便立刻上车驶向学校,在下午2点40分到达.汽车速度是劳模步行速度的倍.10.游船顺流而下,每小时前进7公里,逆流而上,每小时前进5公里.两条游船同时从同一个地方出发,一条顺水而下,然后返回；一条逆流而上,然后返回.结果,1小时以后它们同时回到出发点.在这1小时内有分钟这两条船的前进方向相同?二、解答题11.一个圆的周长为1.26米,两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行.这两只蚂蚁每秒分别爬行 5.5厘米和 3.5厘米.它们每爬行1秒,3秒,5秒……(连续的奇数),就调头爬行.那么,它们相遇时已爬行的时间是多少秒?A B12.小明和小刚乘火车出外旅行,离开车时间只有2小时,他们家离车站12公里,两人步行每小时只能走4公里,按这个速度非误车不可.恰好小华骑自行车经过,就先将小明带了9公里,让小明继续步行,接着返回原路接小刚.小华在距他们家3公里处遇到小刚,带着小刚追小明.他们提前赶到了车站.你知道他俩在开车前几分钟到达车站的吗?13.有100名少先队员在岸边准备坐船去湖中离岸边600米的甲岛,等最后一人到达甲岛15分钟后,再去离甲岛900米的乙岛,现有机船和木船各1条,机船和木船每分钟各行300米和150米,而机船和木船可各坐10人和25人,问最后一批少先队员到达乙岛,最短需要多长时间?(按小时计算)14.甲乙两地相距很远,每天从甲、乙两地同时相对开出一辆客车,两车速度和路线相同,都要经过整整五天才能到达终点站,然后休整两天,又按原路返回.在这条线路上的每辆客车都这样往返运行.为了保证这条线路上客运任务能正常进行,问这条线路上至少应配备多少辆客车.———————————————答 案——————————————————————1. 30快车到达B 地所需时间是:150÷60=2.5(小时),慢车离B 地的距离是150-48⨯2.5=30(千米).2. V =40(公里)设甲乙两城相距S 公里,平均速度为每小时V 公里,依题意有VS S S 26030=+,解得: V =40.3. 5050607605540=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷(公里/小时). 4. 250 汽车行驶余下路程需要的时间是100055315053150750=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯(米);故每分钟必须比原来快1000-750=250(米).5. 500根据已知条件得知,乙用40分钟所走的距离与丙用50分钟所走的距离相等;甲用100分钟所走的距离与丙用130分钟所走的距离相等.故丙用130分钟所走的距离,乙用了1045040130=⨯(分钟),即甲用100分钟走的距离,乙用104分钟走完.由于甲比乙晚出发20分钟,当甲追上乙时,设甲用了x 分钟,则乙用了(x +20)分钟.依题意得20104100+=x x ,解得x =500. 6. 45两人一共跑的路程为(2.8+2.2)⨯30⨯60=9000(米),去掉二人第一次相遇时跑的100米,二人每跑200米,就相遇一次,共相遇的次数为(9000-100)÷200=44.5,取整得44次.加上第一次相遇,共44+1=45(次).7. 126设乙骑自行车走一圈要x 分钟,环行公路长为S 米,则有S x S S =⎪⎭⎫ ⎝⎛+7045,解得x =126(分钟).8. 7设人行速度为每分钟1单位,则自行车速度为每分钟3单位,再设汽车速度为每分钟x 单位,依题意有(x -3)⨯10=(3+1)⨯10,故有x =7.9. 8如下图,A 是学校,C 是工厂,B 是相遇地点.汽车从A 到C 往返需要1小时,从A 到B 往返要40分钟即32小时,这说明AC AB 32=,即也说明汽车从A 到B 要用40÷2=20(分钟).而劳模由C 到B 要用1小时20分,即80分钟.是汽车的4倍,又易知AB =2BC ,即汽车的路程是劳模的2倍,于是汽车的速度是劳模步行速度的4⨯2=8(倍).10. 10设1小时顺流时间为x 分钟,则逆流时间为(60-x )分钟,由于路程一定,行驶时间与速度成反比例,故x :(60-x )=5:7.解得x =25,60-x =35.当两条船同时从同一地方出发,一条顺流走25分钟后,开始返回(逆流行走),这时另一条还在逆流前进,这其间的35-20=10(分钟).两船同时向上游前进.11. 两只蚂蚁分别从直径AB 的两端同时出发,相向而行,若不调头的话,两只蚂蚁的行程为半个圆的周长,即1.26÷2=0.63(米)=63(厘米).而两只蚂蚁的速度和为每秒5.5+3.5=9(厘米).它们相遇的时间为63÷9=7(秒).即两只蚂蚁需要向前爬的时间是7秒钟.但蚂蚁是按向前,再调头向后,再调头向前……的方式前进.每只蚂蚁向前爬1秒,然后调头反向爬3秒,又调头向前爬5秒,这时相当于又向前爬行了2秒.同理再向后爬7秒,再前爬9秒,再向后爬11秒,再向前爬13秒,就相当于一共向前爬了1+2+2+2=7秒,正好相遇,这时它们用了1+3+5+7+11+13=49(秒).A B C12. 小刚走3公里用的时间是4343=÷(小时);小华骑自行车的速度为()2043939=÷+-(公里/小时);小明到火车站所用时间为()2.14912209=÷-+÷(小时);小刚到火车站用的时间为()2.12031243=÷-+÷(小时);小明、小刚开车前到达火车站的时间为2-1.2=0.8(小时)=48(分).即他俩在开车前48分钟到达车站.13. 机船去甲岛,单程时间为600÷300=2(分).木船去甲岛,单程时间为600÷150=4(分).其中机船在18分钟内,可运5次学生共10⨯5=50(人),到达甲岛时间分别为2、6、10、14、18(分钟);而木船18分钟内,只能运2次学生共25⨯2=50(人),到达甲岛的时间为4、12(分钟),故18分钟内两船可运完学生去甲岛.机船去乙岛,单程时间为:900÷300=3(分),木船去乙岛,单程时间为:900÷150=6(分).其中机船27分钟内,可运5次学生共10⨯5=50(人),到达乙岛的时间为:3、9、15、21、27(分钟),而木船27分钟内,只能运2次学生共25⨯2=50(人),到达乙岛的时间为:6、18(分钟).所以27分钟两船可运光全部学生去乙岛.最短需要时间为18+5+27=50(分)=65 (小时). 14. 本题要求每天从甲、乙两地同时相对开出一辆客车,每辆客车运行5天再休整2天,需7天后再往回开,这样为保证每天在线路上有两辆客车在相对开,至少应配备2⨯7=14(辆)客车.。

六年级奥数训练第15讲几何综合二内容概述综合运用各种方法处理具有相当难度的几何问题．掌握几何变换的初步技巧，例如平移、翻转、旋转等，必要时可利用辅助线进行分析．典型问题兴趣篇1．图15-1中有半径分别为5厘米、4厘米、3厘米的三个圆，A部分（即两小圆重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？大多少？2．如图15-2，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为10厘米．求阴影部分的面积．（л取3.14）3．如图15-3，大正方形中有三个小正方形，右上角正方形的面积为27，左下角正方形的面积为12，中间阴影正方形的2个顶点分别位于右上角和左下角正方形的中心．请问：中间阴影正方形的面积是多少？4．如图15-4，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积2．请问：阴影部分的分别为10与12.已知梯形的上底长度是下底的3总面积是多少？5．图15-5是由一个边长为2厘米的正方形和一个长为5厘米的长方形拼成的，线段MN把它们各分成两部分，已知A、B两块的面积和是C、D两块面积和的1.5倍．请问：长方形的宽是多少厘米？6．图15-6中四边形ABCD为平行四边形，三角形MAB的面积为11平方厘米，三角形MCD的面积为5平方厘米．请问：平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？7．如图15-7，一张边长为18厘米的正方形纸片，从距离四角5厘米处，用剪刀剪出450的角度，纸片中间会形成一个小正方形，这个小正方形的面积是多少平方厘米？8．如图15-8所示，平行四边形ABED与平行四边形AFCD的面积都是30平方厘米．其中AF垂直于ED，AO、OD、AD分别长3、4、5厘米．求三角形OEF的面积和周长．9．如图15-9．ABCD是直角梯形，AB =4，AD =5，DE =3.求： (1)三角形OBC的面积；(2)梯形ABCD的面积．10．有一些黑、白两种颜色的小正方体积木，把它们摆成如图15-10所示的形状．已知相邻的积木颜色不同（有公共面的两块积木叫做相邻的积木），标有A的积木为黑色．图中共有黑色积木多少块？拓展篇1．如图15-11，正方形ABCD的面积是64平方厘米，E、F分别为所在半圆弧的中点．求阴影部分的面积．（л取3.14）2．图15-12中阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（л取3.14）3．如图15-13，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘米、5厘米．求这个六边形的周长．4．如图15 -14，在长方形ABCD中，AB= 30厘米，BC= 40厘米，P 为BC上一点，PQ垂直于AC，PR垂直于BD.求PQ与PR的长度之和．5．如图15-15，八边形的8个内角都是135°，已知AB=EF，BC=20，DE=10，FG= 30，求AH的长度．6．如图15-16，已知CD=5，DE =7，EF= 15，FG =6.直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65.请问：三角形ADG的面积是多少？7．如图15-17所示，P为长方形ABCD内的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为13．请问：三角形PBD的面积是多少？8．如图15-18，四边形ABCD是一个长方形，AC是对角线，试比较两块阴影区域S1，与S2的面积大小.9．如图15-19所示，一块半径为2厘米的圆板，从位置①起始，依次沿线段AB、BC、CD滚到位置②．如果AB、BC、CD的长都是20厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？(л取3.14，答案保留两位小数．)10．如图15-20，有一块长5厘米，宽3厘米的长方形木盘，先从某个顶点处沿45。