焦半径公式

焦半径公式记忆口诀全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：焦半径公式是物理学中非常重要的一个公式，用来描述光学器件（如透镜、凸透镜等）的焦距与曲率半径之间的关系。

学生们在学习这一公式时，经常会遇到记忆不牢固的问题。

制作一份关于焦半径公式的口诀是非常必要的。

下面我将为大家介绍一份简单易记的焦半径公式口诀。

我们来回顾一下焦半径公式的原理。

焦半径公式是根据透镜成像规律推导出来的，其表达形式为：\frac{1}{f} = (n-1)(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})f为透镜的焦距，n为透镜的折射率，R_1和R_2分别为透镜的两个曲率半径。

这个公式是非常重要的，因为通过这个公式我们可以计算出透镜的焦距，从而确定成像位置。

接下来，让我们来看看如何记忆这个公式。

我给大家编写了一个口诀，希望能够帮助大家记忆焦半径公式：焦半径关系公式是焦中心求半径就对了透镜焦距除同负，焦半径之和定反之则焦半径之差焦半径关系公式牢记心中光学器件真不易，理解需付出心机勤动脑更重要，公式口诀记牢听这个口诀是根据焦半径公式的表达形式进行了简化和提炼，方便大家记忆。

通过这个口诀，我们可以轻松记住焦半径公式的公式形式和推导思路。

总结一下，通过以上的介绍，我们不仅了解了焦半径公式的原理和重要性，还学会了如何通过口诀来记忆这一重要的公式。

希望这份口诀可以帮助大家更好地掌握焦半径公式，提高物理学习的效率和成绩。

【2000字已达】。

第二篇示例：焦半径公式是物理学中一个非常重要的概念，它用来描述光学系统中的聚焦能力。

焦半径公式是由光学学家发现的，它是用来计算透镜或镜片的焦距以及聚焦能力的关键参数。

在实际工程应用中，我们经常需要使用焦半径公式来设计光学系统，确保系统具有良好的聚焦性能。

焦半径公式的记忆口诀有很多种，下面我给大家介绍一种简单易记的口诀：“焦半径公式记忆要点，求焦距用透镜厚心远；水接气常乘焦半径，透镜实快值边参照。

”这句口诀包含了焦半径公式的要点，下面我们来逐步解读：1. “焦半径公式记忆要点”：首先要强调重要性，记忆焦半径公式是非常关键的。

圆锥曲线焦半径公式
圆锥曲线焦半径公式是一种比较复杂的数学运算公式，通过利用该公式，我们
可以求得圆锥曲线的焦半径。

一般来说，这个公式非常重要，因为它与圆锥曲线的属性有关，可以对圆锥曲线的平面投影或者轮廓作出准确的描述。

圆锥曲线焦半径公式可以用简洁的数学表示式来表示，如下：
R=c/2√2h
其中：R 为圆锥曲线焦半径，c 为圆锥曲线曲线圆心到曲线上任一点的距离，
h 为圆锥曲线曲线圆心到曲线外点的距离。

圆锥曲线的焦半径是由圆锥曲线的半角和曲率来决定的，它与曲率之间的关系
是正比的，这意味着，随着曲率的增加，圆锥曲线的焦半径也会相应增加。

圆锥曲线焦半径公式的应用非常广泛，它既可以用于求解圆锥曲线的几何特征，也可以用于计算圆锥曲线曲线与所需圆或椭圆的关系。

圆锥曲线的焦半径公式已经被广泛应用于室内景观设计、建筑设计、测量计算等领域。

总之，圆锥曲线焦半径公式是一个复杂但又非常有用的数学公式，它与圆锥曲
线的曲率有关，对于求解圆锥曲线属性和计算各类圆或椭圆的关系有着重要的作用，应用范围也十分广泛，值得我们加以重视。

高中数学-抛物线焦半径公式及应用
概述
抛物线是高中数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学和
自然科学中应用广泛。

本文将介绍抛物线焦半径公式及其应用。

焦点和焦半径
抛物线是一个特殊的几何曲线，由平面上到一个定点（焦点）
和定直线（准线）的距离相等的所有点组成。

焦半径是从焦点到抛
物线上任意点的距离。

抛物线焦半径公式
抛物线的方程一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数。

根据焦半径定义，我们可以得到焦半径公式：
r = |2a| / (4a^2 + 1)
其中，r表示焦半径，a表示抛物线的系数。

应用示例
1. 镜面反射
抛物面镜是一种应用抛物线形状的透镜。

当光线从无穷远处射到抛物面镜的表面上时，会聚到焦点上。

抛物线焦半径公式可以帮助我们计算光线在抛物面镜上的反射和折射。

2. 轨迹预测
在物理学中，抛物线常用于描述物体在受重力和空气阻力作用下的运动轨迹。

通过抛物线焦半径公式，我们可以计算出物体在不同速度和角度下的最大射程和最大高度。

总结
抛物线焦半径公式是高中数学中重要的工具之一，它可以应用于物理学、工程学等领域。

通过理解公式的含义和应用示例，我们可以更好地理解抛物线的性质和特点。

参考文献：
以上为800字的文档内容。

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左准线为l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2以F2为焦点，l为准线，点P是C1、C2的一个公共点，则F1F2/PF1-PF1/PF2=设点P的横坐标为m，则由焦半径公式，PF1=a+em，PF2=a-em，因为点P又在以F2为焦点，l为准线的抛物线上，l的方程为x=-a²/c；所以，P到l的距离d=m-(-a²/c)=m+a²/c抛物线满足：抛物线上的点到焦点的距离=到准线的距离；所以d=PF2即：m+a²/c=a-em得：m=a²(c-a)/c(a+c)所以，em=a(c-a)/(a+c)所以，PF1=a+em=2ac/(a+c)，PF2=2a²/(a+c)所以，F1F2/PF1=(a+c)/a，PF1/PF2=c/a；F1F2/PF1-PF1/PF2=(a+c)/a-c/a=1；椭圆的焦半径公式设M（xo，y0）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，那么(左焦半径)r1=a+ex0，(右焦半径)r2=a -ex0，其中e是离心率。

推导：r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+x0）= a+ex0，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-x0）= a-ex0。

同理：∣MF1∣= a+ex0，∣MF2∣= a-ex0。

编辑本段双曲线的焦半径公式双曲线的焦半径及其应用：1：定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1点P(x,y)在左支上│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)点P(x,y)在右支上│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a编辑本段抛物线的焦半径公式抛物线r=x+p/2</CA>通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a^2/c-c抛物线的通径是2p抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2.。

椭圆的焦半径公式椭圆是一种常见的几何形状，它有两个焦点和一个不变的总长度。

在数学中，椭圆可以通过其焦点到弦的距离比的平方等于1的定义来描述。

焦半径是一个用来描述椭圆形状的参数，它是从焦点到椭圆上的一点的距离。

下面将介绍椭圆的焦半径公式以及其推导过程。

在椭圆上任意取一点P，并设其距离左焦点F1的距离为r1，距离右焦点F2的距离为r2、根据椭圆的定义，可以得到以下的等式：(r1+r2)^2=(2a)^2其中，2a表示椭圆的长轴长度。

接下来，我们将推导出焦半径公式。

将焦点F1处的坐标设为(-c,0)，焦点F2处的坐标设为(c,0)。

椭圆的离心率定义为c/a。

根据离心率的定义，我们可以得到以下等式：c^2=a^2-b^2其中，a表示椭圆的长轴长度，b表示椭圆的短轴长度。

将上述等式代入到等式(r1+r2)^2=(2a)^2中，可以得到：(r1+r2)^2=(2a)^2[(r1+r2)^2]/(4a^2)=1[(r1^2+2r1r2+r2^2)]/(4a^2)=1[(r1^2+2r1r2+r2^2)]/(4a^2)=[(r1^2+r2^2-b^2)]/(a^2)（将c^2=a^2-b^2代入）r1^2+2r1r2+r2^2=4a^2-4b^2接下来，我们对等式进行处理，得到焦半径公式。

注意到等式左边可以写为一个完全平方的形式，可表示为(r1+r2)^2，因此我们将等式进行如下变形：r1^2+2r1r2+r2^2=(r1+r2)^2=4a^2-4b^2r1^2+r2^2+2r1r2=4a^2-4b^2(r1-r2)^2=4a^2-4b^2r1-r2=±2√(a^2-b^2)r1+r2=2a将上述两个等式相加，可以得到：2r1=2a±2√(a^2-b^2)r1=a±√(a^2-b^2)类似地，对焦点F2处的坐标进行处理，可以得到：r2=a∓√(a^2-b^2)因此，我们得到了椭圆的焦半径公式，即：r1=a±√(a^2-b^2)r2=a∓√(a^2-b^2)需要注意的是，焦半径的计算需要知道椭圆的长轴长度a和短轴长度b。

焦半径公式推导及应用在我们学习圆锥曲线的过程中，焦半径公式可是个相当重要的“小伙伴”。

今天咱们就一起来好好琢磨琢磨这个焦半径公式的推导以及它在解题中的神奇应用。

先来说说啥是焦半径。

简单来讲，焦半径就是圆锥曲线上的一点到焦点的距离。

那对于椭圆来说，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），焦点在$x$轴上，焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$P(x_0,y_0)$是椭圆上的任意一点。

那焦半径$|PF_1|$和$|PF_2|$咋算呢？咱们一步步来。

根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴$2a$，所以有$|PF_1| + |PF_2| = 2a$。

再根据两点间的距离公式，$|PF_1| = \sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2}$，$|PF_2| = \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2}$。

把这俩式子相加得到：$\sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2} + \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2} = 2a$。

经过一番整理和化简（这过程可有点复杂，就不详细展开啦），最终就能得到焦半径公式：$|PF_1| = a + ex_0$，$|PF_2| = a - ex_0$。

这里的$e$是椭圆的离心率，$e = \frac{c}{a}$。

咱再来说说双曲线。

设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>0$，$b>0$），焦点在$x$轴上，焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$P(x_0,y_0)$是双曲线上的任意一点。

同样根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于实轴长$2a$，所以有$||PF_1| - |PF_2|| = 2a$。

焦半径公式焦半径公式是光学中一个重要的公式，用于描述透镜的焦距与曲率半径之间的关系。

它是光学理论中的基本公式之一，对于研究透镜的特性和性能具有重要意义。

在光学中，透镜是一种光学元件，它能够将光线聚焦或发散。

焦距是透镜的一个重要参数，它表示平行光线通过透镜后所聚焦的距离。

而曲率半径则表示透镜表面的曲率程度，它描述了透镜的曲率大小。

焦半径公式提供了焦距和曲率半径之间的定量关系。

焦半径公式的表达式如下：1/f = (n-1) * (1/R1 - 1/R2)其中，f表示透镜的焦距，n表示透镜的折射率，R1和R2分别表示透镜两侧的曲率半径。

在这个公式中，焦距的倒数与曲率半径之间存在线性关系。

从焦半径公式可以看出，当透镜两侧的曲率半径R1和R2相等时，透镜为球面透镜，并且该公式也可以简化为：1/f = (n-1) * (2/R)其中，R表示透镜的曲率半径。

对于球面透镜而言，曲率半径相同，焦半径公式简化为这个形式可以更加方便地计算焦距。

焦半径公式的推导涉及到几何光学的一些基本原理，包括球面反射定律、斯涅尔定律等。

透镜的焦距与曲率半径之间的关系是由这些基本原理推导出来的。

这个公式为光学工程师和设计人员提供了计算透镜焦距的方法，帮助他们设计出满足特定要求的透镜系统。

除了焦半径公式，光学中还有一些关于透镜的重要公式，比如物距与像距的关系公式和薄透镜公式等。

这些公式在解决光学问题时都发挥着重要作用。

焦半径公式和其他透镜相关的公式共同构成了光学理论的基础。

总结起来，焦半径公式是描述透镜焦距和曲率半径之间关系的基本公式。

它在光学工程和设计中具有重要作用，为光学工程师提供了一个计算透镜焦距的方法。

了解和掌握焦半径公式对于理解和应用光学知识具有重要意义。

圆锥曲线焦半径公式带倾斜角圆锥曲线是数学中的重要概念，也是物理、工程等学科中经常用到的基本元素。

其中，焦半径是一个非常重要的参数，可以帮助我们更好地理解和分析圆锥曲线的性质。

本文将详细介绍焦半径公式，并结合倾斜角进行阐述，以期为读者提供有用的参考和指导。

首先，我们需要了解什么是焦半径。

简单来说，焦半径就是一段线段，它连接圆锥曲线上一个点和该曲线上对应的焦点。

圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型，每种类型的焦半径公式略有不同，下面就分别介绍。

对于椭圆，其焦半径公式为：$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos{\theta}}$其中，$a$为长轴长度，$e$为离心率，$\theta$为与长轴成的角度，$r$为焦半径。

需要注意的是，当$\theta$为零时，即短轴与焦半径重合，此时公式无法计算。

对于双曲线，其焦半径公式为：$r=\frac{a(e^2-1)}{e\cos{\theta}-1}$其中，$a$为距离焦点最近的顶点到直线的距离，$e$为离心率，$\theta$为与距直线最近的顶点连线成的角度，$r$为焦半径。

对于抛物线，其焦半径公式为：$r=\frac{p}{2}(1+\cos^2{\theta})$其中，$p$为抛物线的焦距（焦点到顶点的距离），$\theta$为与焦点相对的对称轴的夹角，$r$为焦半径。

接下来，我们来看看如何利用倾斜角来计算圆锥曲线的焦半径。

倾斜角是指圆锥曲线所在平面与$xy$平面的夹角，通常用$\alpha$表示。

不同类型的圆锥曲线具有不同的倾斜角范围，一般可参考如下表格：类型|倾斜角范围----|------椭圆|$-90°\leq\alpha\leq90°$双曲线|$0°\leq\alpha\leq90°$或$-90°\leq\alpha\leq0°$抛物线|$0°\leq\alpha\leq90°$或$-90°\leq\alpha\leq0°$对于椭圆和双曲线，其倾斜角对焦半径的影响比较明显，可以通过对焦半径公式进行简单的修正来计算。

椭圆过右焦点的半径raex过左焦点的半径raex过上焦点的半径raey过下焦点的半径raey双曲线过右焦点的半径rexa双曲线过左焦点的半径rexa双曲线过下焦点的半径reya双曲线过上焦点的半径reya抛物线焦点x开口右的半径rp2x0
焦半径
圆锥曲线
圆锥曲线上一点到焦点的距离,不是定值。
2
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
焦点y，开口上的半径r=p/2+y0；
焦点y，开口下的半径r=p/2-y0
记忆方法：
椭圆的焦半径是左加，右减；下加，上减。
双曲线的焦半径是左加套绝对值，右减套绝对值；下加套绝对值，上减套绝对值。
3
设M（x0，y0）是椭圆x2/a2+ y2/b2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，那么(左焦半径)r1=a+ex0，(右焦半径)r2=a -ex0，其中e是离心率。
推导：r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+x0）= a+ex0，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-x0）= a-ex0。同理：∣MF1∣= a+ey0，∣MF2∣= a-ey0。双曲线焦半径公式的推导双曲线的焦半径及其应用：1：定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。2．当点P在双曲线右支时的焦半径公式,(其中F1为左焦点,F2为右焦点)它是由第二定义导出的,其中a是实半轴长,e是离心率,x。是P点的横坐标.|PF2|=ex。-a并且只记右支,左支和右支只差一个负号。若焦点在y轴同理只记上支双曲线过右焦点的半径r=|a－ex|双曲线过左焦点的半径r=|a+ex|抛物线焦半径公式抛物线r=x+p/2</CA>通径:就是过焦点垂直于轴的弦,这时的焦半径为半通径双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a^2/c抛物线的通径是2p

抛物线焦半径公式的三角形式及应用设抛物线的顶点为坐标原点O，焦点为F(x1, y1)，过F的直线方程为y = mx + c，焦点到抛物线上任意一点P(x, y)的线段与该点的切线方程为y = nx + k，其中m、n分别为两个斜率，c、k分别为两个截距。

根据焦点到直线的距离等于焦点到点P的距离，可以得到焦半径公式如下：√((x-x1)²+(y-y1)²)=，(n-m)x+(k-c)，/√(n²+1)将直线方程y = mx + c代入，得到：√((x-x1)²+(y-y1)²)=，(n-m)x+(k-c)，/√(n²+1)即√(1+m²)x²-2x(x1+m(y-y1))+(x1²+(y-y1)²)=n²x²+(n²+1)(k-c)²通过对等号两边展开平方，并整理得到焦半径公式的三角形式：(x1²+(y-y1)²-(n²+1)(k-c)²)/((1+m²)-n²)=x(x-x1)²/((1+m²)-n²)这个公式可以用于求抛物线上任意一点与焦点的距离，以及点到线的距离。

1.几何学中，可以利用焦半径公式计算抛物线上的点到焦点的距离。

这在解决一些求角度、长度等几何问题中非常有用。

2.物理学中，焦半径公式可以用于分析抛物线轨迹的反射、折射等问题。

例如，当抛物线上的点物体受到反射、折射等作用时，可以利用焦半径公式计算相应的角度、距离等，从而研究其光学、声学等性质。

3.工程学中，焦半径公式可以应用于光学系统设计、天线设计等领域。

例如，反射望远镜的设计中，可以利用焦半径公式计算焦点位置，从而确定焦点到探测器的距离，进而进行光学系统的优化设计。

4.生物学中，焦半径公式可以用于研究生物体表面的形态、结构等问题。

焦半径公式的三角形式及其应用重庆清华中学张忠焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新, 故值得我们进一步总结与研究。

焦半径公式的代数形式：设F I,F2是曲线的左、右焦点，点P(X o,y。

)在曲线上，记r1PF1、r2PF2为左、右焦半径。

则在椭圆中：r i a ex o, r2 a ex o ；在双曲2 p线中：r1ex0a, r2ex0a ；在抛物线y 2px(p 0)中：r x0专。

若焦点在y轴上时，则把相应的X。

改为y o即可。

因应用情形比较常见，不再叙述。

，本文介绍它的三角形式及其应用。

定理1：若椭圆的离心角为贝U (1)|PF i| = a + ccos 0; (2)|PF 2| = a —ccos 0.证明：•••椭圆的离心角为0,由椭圆参数方程知点P的横坐标为acos0，依焦半径的代数形式知：|PF i| = a+ex p= a + ea • cos 0= a + c • cos 0 ,|PF 2| = a—ex p= a —c • cos 0.例1. F i、F2是椭圆+ y2= 1的左右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1| • |PF2|的最大值是_______ ,最小值是__________ .(1996年第七届“希望杯”赛)解：设椭圆的离心角为0,又知a= 2, c2= 3，由定理1得2 2 2 2|PF 1|c • |PF 2| = a —c cos 0 = 4 —3cos 0•/0< cos 0W1 故知|PF1|c • |PF 2| max= 4—3 • 0= 4|PF1| • |PF2| min= 4 —3 • 1= 1例2.椭圆的左右焦点为F1、F2,试问此椭圆的离心率e在什么值范围内，椭圆上恒存在点P,使得PF i ± PR。

解：2 2 2 2 2 2设椭圆方程为b x + a y = a b (a > b> 0)，离心角为B,依题设、定理1及勾股定理得(2 c) 2= (a —ccos 0) 2+ (a + ccos 0) 2化简得cos20 =2O w cos20<1 , ••• 0W2<1结合0 v e v 1PFeFH 1 ecos ep 1 ecos，这里p 为焦准距，在椭圆和双曲线中,b 2W e v 1为所求。

1椭圆的焦半径公式及其拓展1. 焦半径：连结椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径。

2. 焦半径公式：（1）),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，)0,(),0,(21c F c F -是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,ex a PF ex a PF -=+=.（2）),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上一点，),0(),,0(21c F c F -是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,-ey a PF ey a PF +==.推导过程：（以x 型椭圆方程为例进行推导）方法一：利用椭圆的标准方程推导 由两点间距离公式，可知20201)(y c x PF ++=， 根据椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x ，解得)(22222x a ab y -= 故)(2022220x a a b y -= 将上式代入20201)(y c x PF ++= 可得：)(0001a x a ex a x ac a PF ≤≤-+=+= 同理可得：)(--0002a x a ex a x a c a PF ≤≤-== 方法二：利用椭圆的第二定义2椭圆的左准线方程为：ca x 2-=，设点),(00y x P 到左准线的距离为PD 由椭圆的第二定义：)(002011a x a ex a c a x e PD e PF e PD PF ≤≤-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⇒= 同理可得：)(-002a x a ex a PF ≤≤-=五、典型例题例1：在椭圆18422=+y x 上有一个点P ，满足P 到一个焦点的距离是到另一个焦点距离的3倍，则点P 的坐标为________.【推荐理由】可以直观对比出运用焦半径公式的优越性，且同时考查了椭圆的对称性，学生容易漏情况，是易错题.解法一：根据椭圆方程：18422=+y x 可知，椭圆焦点为)2,0()2,0(-和 设),(n m P ，则有18422=+n m 且2222)2(3)2(n m n m ++=+-或2222)2-(3)2(n m n m +=++ 解两次二次方程可得：)2,2()2,2(±-±P P 或解法二：设椭圆度上下焦点分别为21,F F ，点),(n m P 由椭圆方程可知：22,2,22===e c a3利用焦半径公式：,2222,22-2221n PF n PF +== 由题意可得：212133PF PF PF PF ==或解一元一次方程可得：2±=n 所以)2,2()2,2(±-±P P 或【思路点拨】1.椭圆上的点到焦点的距离即是焦半径的概念，很直接联系到焦半径公式；2.本题明确到P 上、下焦点的距离哪个大，故要分类讨论，或者根据椭圆的对称性直接得到结果，需要考虑全面，否则容易漏解，这是本题的易错点.【点评】本题的两种解法对比可以看出，对比利用距离公式，利用焦半径达到了降次的作用，大大化简了计算过程，可以让学生简洁高效地求解。

知识导航椭圆是历年高考的必考内容，也是圆锥曲线的核心内容.与椭圆有关的问题一般难度和运算量都较大.而在解题时灵活运用椭圆的焦半径公式，能有效地简化运算,提升解题的效率.一、椭圆的焦半径公式我们把连接椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径.椭圆的焦半径公式有两种形式:坐标式和三角式.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F 1()-c ,0、右焦点为F 1()-c ,0，在椭圆上任取的一点P ()x 0,y 0，则椭圆的坐标式焦半径公式为|PF 1|=a +ex 0，|PF 2|=a -ex 0.这里e 为离心率.若在椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中，过左焦点F 1的直线l 与椭圆交于A ,B 两点（A 位于x 轴上方，B 位于x 轴下方），直线的倾斜角为θ，且椭圆的离心率为e ,则椭圆的角度式焦半径公式为||AF 1=b 2a -c cos θ=b 2a 1-e cos θ；||BF 1=b 2a +c cos θ=b 2a1+e cos θ.二、椭圆焦半径公式的应用1.椭圆的坐标式焦半径公式的应用根据椭圆的坐标式焦半径公式的特点，我们可以利用椭圆的坐标式焦半径公式解答“已知椭圆方程和椭圆上点的坐标，求椭圆的焦半径”的问题.例1.设F 1,F 2是椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若ΔMF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为_______.解：由题意得a =6,b =25,c =4,e =c a =23,因为点M 为椭圆C 上一点且在第一象限，所以当||MF 1=||F 1F 2时,ΔMF 1F 2为等腰三角形设M ()x 0,y 0,则||MF 1=a +ex 0，||F 1F 2=2c =8，所以6+23x 0=8，解得x 0=3，将x 0=3代入椭圆C 方程可得y 0=15，所以M ()3,15.本题若利用两点间距离公式求解,计算过程较为复杂.这里利用椭圆的坐标式焦半径公式表示出||MF 1，根据||MF 1=||F 1F 2求出M 点的坐标.该过程简单，运算量小.例2.如图,ΔABC 为椭圆x 24+y 23=1的内接三角形，且右焦点F 为ΔABC 的重心，则||FA +||FB +||FC =_______.分析:因为ΔABC 为椭圆的内接三角形，F 为椭圆右焦点，所以||FA ，||FB ，||FC 即为椭圆焦半径，可设出A ，B ，C 三点的坐标，用椭圆的坐标式焦半径公式表示出||FA ，||FB ，||FC ，根据右焦点F 为ΔABC 的重心列出关系式，化简即可求出结果.解：根据椭圆的方程可得a =2,b =3,c =1，F ()1，0，e =c a =12，设A ()x 1,y 1，B ()x 2,y 2，C ()x 3,y 3,则||FA =a -ex 1=2-12x 1，||FB =a -ex 2=2-12x2，||FC =a -ex 3=2-12x 3，因为F 为ΔABC 的重心，所以x 1+x 2+x33=1，即x 1+x 2+x 3=3,所以||FA +||FB +||FC =2-12x 1+2-12x 2+2-12x 3=6-x 1+x 2+x32=92.2.椭圆的角度式焦半径公式的应用根据椭圆的角度式焦半径公式的特点，我们可以利用椭圆的角度式焦半径公式解答以下问题：(1)已知椭圆方程和过椭圆焦点的直线的倾斜角角度，求椭圆的焦半径；(2)已知椭圆的方程和椭圆的焦半径关系式，求过椭圆焦点的直线的斜率.例3.过椭圆x 24+y 23=1的左焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，l 与椭圆交于A 、B 两点，则1||AF +1||BF =_______.分析:已知椭圆的方程和过椭圆焦点的直线方程的倾斜角角度，可利用椭圆角度式焦半径公式表示出38解题宝典||AF ,||BF ，这样便可快速求出1||AF +1||BF 的值.解：由题意得a =2,b =3，||AF =b 2a -c cos 60°,||BF =b 2a +c cos 60°,所以1||AF +1||BF =a -c cos 60°b 2+a +c cos 60°b 2=2a b 2=2×23=43.例4.已知椭圆C ：x 22+y 2=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点A ,B 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点,并且AF 1//BF 2.如果||AF 1-||BF 2=，求直线||AF 1的斜率k .分析:先设∠AF 1F 2=θ，用椭圆角度式焦半径公式表示出||AF 1,||DF 1,然后由椭圆对称性可表示出BF ，根据已知条件列出关系式，即可求出cos θ，再通过三角恒等变换求得tan θ，就能得到所求的斜率.解：由题意得a =2,b =1,c =1,设∠AF 1F 2=θ,由椭圆角度式焦半径公式可得||AF 1=||DF 1=12+cos θ,因为AF 1//BF 2，所以由椭圆对称性可得||BF 2=||DF 1=12+cos θ,又||AF 1-||BF 2=,所以,化简得6cos 2θ+4cos θ-26=0，解得cos θ=由sin θ2+cos θ2=1得sin θ，所以k =tan θ=sin θcos θ.总之，椭圆的焦半径公式的两种形式有着各自的特点和适用范围，在解答与椭圆有关的问题中应用非常广泛.在解题时,我们常常需要将椭圆的焦半径公式与椭圆的方程、定义、性质等结合起来应用.这就要求同学们不仅要加深对概念、公式、性质的理解，强化训练，同时也要培养灵活处理问题的能力.（作者单位：湖南人文科技学院数学系）含参问题的类型有很多，如求参数的取值范围、证明不等式恒成立、判断函数的单调性等.解答含参问题的途径也有很多，如利用方程思想、利用导数法、借助待定系数、利用函数思想等.本文重点探讨一下解答含参问题的三种途径：利用方程思想、利用函数的性质、借助待定系数，以帮助同学们拓宽解题的思路.一、利用方程思想方程思想是解答高中数学问题的常用思想，是指通过建立方程或者方程组使问题获解的数学思想.在解答含参问题时，我们可以根据代数式的特点建立方程或者方程组，然后利用方程的判别式△=b 2-4ac 、根与系数的关系来解答问题.例1.已知函数f ()x =x 2-()m +5x +2()m +5在定义域内恒为非负数，求方程2x m +1=||m +2+1的根的取值范围.解：因为f ()x 恒为非负数，所以方程f (x )=0的判别式△=()m +52-8()m +5≤0，解得-5≤m ≤3.方程2xm +1=|m +2|+1可化为2x=()m +1()|m -2|+1，当-5≤m ≤2时，2x =()m +1()2-m +1，所以2x =-m 2+2m +3=-()m -12+4，则2x ≤4,x ≤2，当2<m ≤3时，2x =()m +1()m -1=m 2-1,3<m 2-1≤8，所以log 23<x ≤3.39。

焦半径的推导公式焦半径是光学中一个非常重要的概念，它是指一束光线经过透镜后在焦点处形成的光斑的半径。

焦半径的大小直接影响着透镜成像的清晰度和质量。

因此，研究焦半径的大小和求解其推导公式具有重要的理论和实际意义。

1. 焦距的定义在研究焦半径的推导公式之前，我们需要了解焦距的概念。

焦距是指透镜将平行光线聚焦成的像与透镜的中心面的距离。

焦距的大小与透镜的曲率半径和折射率有关系，可以用下面的公式进行计算：1/f = (n-1)(1/R1 - 1/R2)其中，f为透镜的焦距，n为透镜的折射率，R1和R2为透镜的两个曲率半径。

2. 焦半径的定义在透镜的焦点处，光线会聚成一个光斑。

焦半径是指这个光斑的半径，通常用r表示。

焦半径的大小与光线的波长、透镜的曲率半径和入射光线的孔径有关系。

3. 焦半径的计算方法为了求解焦半径的推导公式，我们需要先了解焦半径的计算方法。

在光学中，焦半径的计算方法有两种，分别是几何光学方法和物理光学方法。

3.1 几何光学方法几何光学方法是一种简单的计算焦半径的方法，它假设光线是直线，不考虑光的波动性。

在几何光学方法中，焦半径可以用下面的公式进行计算：r = 0.61λf/D其中，λ为光线的波长，f为透镜的焦距，D为入射光线的孔径。

3.2 物理光学方法物理光学方法是一种更加精确的计算焦半径的方法，它将光看作是波动的电磁场，考虑了光的波动性。

在物理光学方法中，焦半径可以用下面的公式进行计算：r = λf/πd其中，λ为光线的波长，f为透镜的焦距，d为入射光线的孔径。

4. 焦半径的推导公式通过上面的介绍，我们可以看出焦半径的大小与光线的波长、透镜的曲率半径和入射光线的孔径有关系。

因此，我们可以将焦半径的大小表示为这些参数的函数。

根据物理光学方法，焦半径可以表示为：r = λf/πd将f用透镜的曲率半径R和折射率n表示：1/f = (n-1)(1/R1 - 1/R2)整理得：f = R2/(n-1)(R2-R1)将d用透镜的口径D表示：d = πD将上述公式代入焦半径公式中，得到：r = λR2D/(n-1)(R2-R1)这就是焦半径的推导公式。

椭圆焦半径公式及应用面面观在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。

一、椭圆焦半径公式P 是椭圆x a y b2222+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。

P 是椭圆y a x ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。

以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。

（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.例1 已知点P （x ，y ）是椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+x a c ；|PF 2|=a -x ac . 【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y ”即可.【解答】 由两点间距离公式，可知|PF 1|=22)(y c x ++ (1)从椭圆方程12222=+b y a x 解出 )(22222x a a b y -=(2)代（2）于（1）并化简，得|PF 1|=x aca +(-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x aca - (-a ≤x ≤a)【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r 1=a+ex r 2=a-ex (e=ac ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2． P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点F 1（-c ，0），F 2（c ，0）的距离的和为2a （a>c>0）.试用x ，y 的解析式来表示r 1=|PF 1|和r 2=|PF 2|.【分析】 问题是求r 1=f （x ）和r 2=g （x ）.先可视x 为参数列出关于r 1和r 2的方程组，然后从中得出r 1和r 2.【解答】 依题意，有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(① 22222222121 y c x r y c x r a r r ②-③得④ 42221cx r r =-代①于④并整理得r 1-r 2=x ac2 ⑤ 联立①，⑤得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=xa c a r x ac a r 21【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c 而无b ，其基础性显然.二、 焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右，点P （x ，y ）是以F 1（-c,0）为焦点，以l 1：x=-ca 2为准线的椭圆上任意一点.PD ⊥l 1于D.按椭圆 的第二定义，则有ex a ca x e PD e PF e PD PF +=+==⇒=)(||||||||2即r 1=a+ex,同理有r 2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线ca x 2±=缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3． P （x ，y ）是以F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为2a 的椭圆上任意一点.直线l 为x=-ca 2，PD 1⊥l 交l 于D 1. 求证：e PD PF =||||11. 【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a+ex.对|PD 1|用距离公式 |PD 1|=x-)(2c a -=x+ca 2. 故有e ca x c a x e c a x ex a PD PF =++=++=22211)(||||. 【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F 1（-c,0）（F 2（c,0））与定直线l 1:x=-c a 2(l 2：x=c a 2)的距离之比为定值e （0<e<1）.三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4． 设点P （x ，y ）适合方程12222=+b y a x .求证：点P （x ，y ）到两定点F 1（-c,0）和F 2（c ，0）的距离之和为2a （c 2=a 2-b 2）.【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】 P （x ，y ）到F 1（-c,0）的距离设作r 1=|PF 1|.由椭圆的焦点半径公式可知r 1=a+ex ①同理还有r 2=a-ex ②①+② 得 r 1+r 2=2a即 |PF 1|+|PF 2|=2a.即P （x ，y ）到两定点F 1（-c ，0）和F 2（c,0）的距离之和为2a.【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便. 四、椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2α；（2）||cos PF b a c =+2β。