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最小二乘拟合原理
最小二乘拟合是一种常用的数学方法，用于找到一条曲线或者函数来最好地拟合一组具体的数据点。
它的原理是通过最小化数据点与拟合曲线之间的误差平方和，来确定曲线的参数。
首先，我们假设拟合曲线是通过一个函数表示的，例如一个多项式函数或者指数函数。
然后我们用该函数来预测每个数据点的值，并计算预测值与真实值之间的差距，即误差。
为了找到最佳拟合曲线，我们需要找到使得误差平方和最小的参数。
最小二乘拟合的关键思想在于将误差平方和作为一个目标函数，并使用数学优化方法来找到使得该目标函数最小化的参数。
通常情况下，最小二乘拟合会使用普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）来求解参数。
OLS方法通过求解目标函数对参数的偏导数，并令其等于零，来得到参数的解析解。
这样就可以找到使得误差平方和最小的参数。
然而，在某些情况下，目标函数可能不具备解析解，或者解析解存在但不易计算。
这时候，可以使用数值优化方法来近似求解参数。
常用的数值优化方法包括梯度下降法、牛顿法等。
最小二乘拟合的一个重要应用是线性回归分析。
线性回归模型假设拟合曲线是一个线性函数，通过最小二乘拟合可以求解出最佳的线性参数。
线性回归分析在统计学和机器学习中经常被用于建立预测模型。
总而言之，最小二乘拟合是一种常用的数学方法，可以用于寻找最佳拟合曲线或函数。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的误差平方和，我们可以求解出最佳拟合参数，从而得到一个最优的拟合结果。
数学建模实验报告姓名：学院：专业班级：学号：数学建模实验报告（一）——用最小二乘法进行数据拟合一．实验目的：1.学会用最小二乘法进行数据拟合。
2.熟悉掌握matlab软件的文件操作和命令环境。
3.掌握数据可视化的基本操作步骤。
4.通过matlab绘制二维图形以及三维图形。
二．实验任务：来自课本64页习题：用最小二乘法求一形如y=a+b x2的多项式，使之与下列数据拟合：三．实验过程：1.实验方法：用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：先根据所给出数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类；然后按照最小二乘法原则求最小二乘解来确定系数。
即要求出二次多项式: y=a+b x2的系数。
2．程序：x=[19 25 31 38 44]y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]ab=y/[ones(size(x));x.^2];a=ab(1),b=ab(2)xx=19:44;plot(xx,a+b*xx.^2,x,y,'.')3.上机调试得到结果如下：x = 19 25 31 38 44y=19.0000 32.3000 49.0000 73.3000 97.8000a = 0.9726b = 0.0500图形：四．心得体会通过本次的数学模型的建立与处理，我们学习并掌握了用最小二乘法进行数据拟合，及多项式数据拟合的方法，进一步学会了使用matlab软件，加深了我们的数学知识，提高了我们解决实际问题的能力，为以后深入学习数学建模打下了坚实的基础。
数学建模实验报告（二）——用Newton法求方程的解一．实验目的1.掌握Newton法求方程的解的原理和方法。
2.利用Matlab进行编程求近似解。
二．实验任务来自课本109页习题4-2：用Newton法求f(x)=x-cosx=0的近似解三．实验过程1.实验原理：把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
最小二乘曲面拟合插值法1. 引言1.1 背景介绍最小二乘曲面拟合插值法是一种重要的数学建模方法，它在实际工程和科学问题中具有广泛的应用。
背景介绍将从最小二乘法和曲面拟合的基本概念入手，引出最小二乘曲面拟合插值法的重要性和必要性。
在数学建模中，最小二乘法是一种用于拟合数学模型与实际数据之间关系的经典方法。
通过最小化误差的平方和，最小二乘法能够找到最佳的拟合曲线或曲面，从而准确描述数据的分布规律。
曲面拟合则是在二维或三维空间中，用曲面来逼近一组离散数据点的方法，它在地理信息系统、图像处理、计算机辅助设计等领域有着广泛的应用。
最小二乘曲面拟合插值法结合了最小二乘法和曲面拟合的优势，能够更加灵活地适应不规则数据的拟合需求。
通过在曲面上插值数据点，可以得到更加平滑和连续的曲面模型，提高了数据的分析和预测精度。
在接下来的将详细介绍最小二乘曲面拟合插值法的原理、算法流程、应用领域以及优缺点，以便更好地理解和运用这一重要的数学建模方法。
1.2 研究目的研究目的是通过最小二乘曲面拟合插值法，实现对给定数据集的曲面拟合，从而可以更准确地预测未知数据点的值。
目前，曲面拟合在许多领域都有着广泛的应用，比如地理信息系统中的地形建模、工程领域中的曲面设计等。
我们的研究目的是探讨最小二乘曲面拟合插值法的原理和方法，分析其在实际应用中的优缺点，为实际工程和科学研究提供一种更精确的曲面拟合方法。
我们希望通过本研究，能够为相关领域的研究者和实践者提供一个有效的工具，帮助他们更好地解决曲面拟合问题，提高数据预测的准确性和可靠性。
最终的目的是推动科学技术的发展，促进社会的进步和发展。
2. 正文2.1 最小二乘曲面拟合方法最小二乘曲面拟合方法是一种在数学建模和数据分析中常用的技术，它可以通过拟合数据点来找到最佳的曲面模型。
最小二乘曲面拟合方法的核心思想是通过最小化误差的平方和来求解最优的曲面参数，从而使得拟合曲面与实际数据点尽可能接近。
实验数据的最小二乘拟合及平滑概述•拟合–根据所得实验数据去寻找一个最佳的数学表达式，即寻找某一问题的经验公式•平滑–将所得的数据信号进行处理，消除随机误差的影响，提高信噪比•最常用、最有效的方法：最小二乘(LS)法–各数据的偏差的平方和最小–不要求近似函数恰好通过各实验点(x i, y i)，只要求曲线能够反映给定数据的趋势最小二乘原理(1/2)•设有n 对实验数据(x i , y i ), (i=1,2,...,n)，m 次多项式(m<n)：是其拟合曲线。
•e i (i=1,2,...,n)为偏差：•如果所有偏差的平方和最小，即•则成为最小二乘拟合多项式。
•根据偏差的平方和为最小的条件来选择拟合曲线系数 的方法叫做最小二乘法．mm x a x a x a a x ++++=...)(2210ϕ)(i i i x y e ϕ−=[]∑∑∑∑====⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−==n i mk k k i n i n i i i i x a y x y e Q 12021122)(ϕ)(x ϕ),...,1,0(m i a i =最小二乘法实验数据拟合(1/3)•非线性拟合•在化学量测中，用多项式逼近函数来拟合各种曲线。
–对于指数函数，先进行直线变换。
•对于n 对实验数据(x i , y i ), (i=1,2,...,n)，求解多项式的系数(即求解正规方程组)，使Q 最小。
im im ii i e x a x a x a a y +++++= (2210)最小二乘法实验数据拟合(2/3)•由得l ini i l ni kik x y v x s ∑∑====11⋮⋮∑∑∑∑∑∑∑===============ni iini ini ii ni ini in i i ini iy x v xs y x v x s y y x v nx s 12212211111100100由此求解正规方程组，得出:则最小二乘法拟合多项式为:),...,1,0(m i a i =∑==mi ii xa y 0Matlab实现最小二乘拟合•p=polyfit(x,y,n)–x, y为要拟合的数据，n为最小二乘拟合多项式的阶次•n=1:最简单的线性拟合，通常称为线性回归。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 11数学建模课件--最小二乘法拟合4. 最小二乘法线性拟合 我们知道， 用作图法求出直线的斜率a 和截据b ， 可以确定这条直线所对应的经验公式， 但用作图法拟合直线时， 由于作图连线有较大的随意性， 尤其在测量数据比较分散时， 对同一组测量数据， 不同的人去处理， 所得结果有差异， 因此是一种粗略的数据处理方法， 求出的 a 和 b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时, 任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误， 得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据， 用计算的方法求出最佳的 a 和 b 。
显然， 关键是如何求出最佳的 a 和b 。
(1) 求回归直线 设直线方程的表达式为：(2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的 a 和 b 。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi ， yi ），假定自变量xi 的误差可以忽略， 则在同一 xi 下， 测量点 yi 和直线上的点a+bxi 的偏差 di 如下：显然最好测量点都在直线上（即 d1=d2==dn=0）， 求出的 a 和 b 是最理想的， 但测量点不可能都在直线上， 这样只有考虑 d1、 d2、 、dn 为最小， 也就是考虑 d1+d2++dn 为最小， 但因 d1、 d2、 、 dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而| d1| + | d2| ++ | dn| 又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：当 d1对 a 和 b 为最小时， d1、 d2、、 dn也为最小。
取（d12+d22++dn22+d22++dn2）为最小值，求 a和 b 的方法叫最小二乘法。
数学建模与数学实验第五版代码数学建模与数学实验是一门重要的学科，它将数学方法应用于实际问题的解决过程中。
通过数学建模与数学实验的学习，我们可以培养创新思维、数学分析能力和计算能力等重要的数学技能。
在数学建模与数学实验第五版中，我们将学习到各种数学建模方法和相关的代码实现。
下面我将介绍一些常用的数学建模方法以及对应的代码示例。
第一种数学建模方法是线性规划，它是一种用于求解线性目标函数的优化问题的方法。
代码示例如下：```pythonfrom scipy.optimize import linprogc = [-1, -1] #目标函数的系数A = [[2, 1], [-1, 2], [0, 1]] #约束条件的系数矩阵b = [6, 4, 3] #约束条件的取值res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b)print(res)```第二种数学建模方法是最小二乘法，它是一种用于拟合实验数据的方法。
代码示例如下：```pythonimport numpy as npx = np.array([1, 2, 3, 4, 5]) #自变量y = np.array([2.1, 3.9, 6.1, 8.2, 9.9]) #因变量#拟合多项式函数coefficients = np.polyfit(x, y, 2)print(coefficients)#拟合指数函数coefficients = np.polyfit(x, np.log(y), 1)print(coefficients)```第三种数学建模方法是蒙特卡洛模拟，它是一种通过随机抽样的方法来估计概率分布或函数值的方法。
代码示例如下：```pythonimport numpy as np#生成服从正态分布的随机数mean = 0std = 1samples = np.random.normal(mean, std, 10000)print(samples)#计算样本均值和方差mean = np.mean(samples)variance = np.var(samples)print(mean, variance)```以上是数学建模与数学实验第五版中介绍的一些数学建模方法和对应的代码示例。
函数拟合最小二乘法用法
最小二乘法是一种在数学上用于拟合函数的常用方法。
它的目标是找到一个函数，使得该函数与给定的数据点之间的差异最小化。
以下是使用最小二乘法进行函数拟合的一般步骤：
1. 收集数据：首先，需要收集与要拟合的函数相关的数据点。
这些数据点通常包含自变量和对应的因变量的值。
2. 选择函数形式：根据数据的特征和所要拟合的函数类型，选择一个合适的函数形式。
常见的函数形式包括线性函数、多项式函数、指数函数等。
3. 建立函数模型：使用所选择的函数形式，建立一个函数模型。
该模型将包含一些待确定的参数。
4. 定义损失函数：为了衡量函数模型与数据点之间的差异，需要定义一个损失函数。
常见的损失函数是平方和函数，即计算每个数据点与函数模型预测值之间的平方差。
5. 最小化损失函数：使用优化算法（如梯度下降法、牛顿法等）来最小化损失函数。
这将通过调整函数模型中的参数，使得损失函数的值最小。
6. 确定最佳参数：当损失函数最小化时，所得到的函数模型中的参数就是最佳参数。
7. 评估拟合效果：使用拟合得到的函数模型来预测新的数据点，并与实际值进行比较，以评估拟合效果。
需要注意的是，最小二乘法是一种基于数据的拟合方法，它假设数据中存在噪声或误差。
因此，拟合结果可能会受到数据质量和噪声的影响。
在实际应用中，需要根据具体情况进行适当的误差分析和模型验证。
《数学建模期末实验作业》
院系：数学学院
专业：信息与计算科学
年级：2014级
试题编号：37
胡克定律的综合评价分析
背景摘要：
利用一个打蛋器和一个物理学公式，毁掉一面六英寸厚的承重墙，这么天
方夜谭的事你能相信吗？但它却真的发生了！
《越狱》这一电视剧相信很多人都耳熟，即使没看过里面的内容，但应该
都曾经听过它的大名。
在《越狱》第一季第六集中，Michael要通过地下管道
爬到医务室的下面，但是一条重要通道是被封死的，因此必须要把这个封死的
墙破坏掉，由于是混凝土结构，因此破坏起来很难，Michael从纹身上拓下魔
鬼的画像，投影在掩住管道入口的墙上，用“胡克定律”计算出最佳位置，再
用小巧的打蛋器在承重墙上钻出了几个小洞，最后借助这几个小洞毁掉了这堵
承重墙。
相信大多数人都觉的很梦幻很不科学，但事实就是这样的令人惊讶。
搜狐
娱乐曾经报道过，有《越狱》粉丝不相信这一情节，在现实生活中进行实验，
结果真的重现了“胡克定律”凿墙这一情节。
胡克定律的表达式为F=k·x或△F=k·Δx，其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。
在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。
倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）
单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。
在现代，仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形
变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -k·x。
k
是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其
伸长（或压缩）的方向相反。
但当我们进行多次实验，便会发现随着F的逐步增大，便不再服从胡克定律。
为此我们应当运用插值与拟合的内容，探索更加准确的公式。
一、建模问题
1.问题提出
1.1 问题背景
弹簧在压力F 的作用下伸长x，一定范围内服从胡克定理：F与x成正比，即F=kx。
现在得到下面一组F，x数据，并在（x，F）坐标下作图，可以看到
当F大到一定数据值后，就不服从这个定律了。
表1-1
1.2 问题提出
试根据上述所给出的数据及已知的胡克公式，解决一下问题：
（1）试由数据确定k
（2）给出不服从胡克定理时的近似公式
1.3 问题分析
这是一道关于弹簧劲度系数的问题，对于此类建模有实际的价值，而且也可以让我们拓宽物理学习的视野，很有价值。
二、模型假设
通过阅读题目与查阅资料，我们可以发现，F的值是随着X的改变而改变的，当X小于某一值时，F遵循胡克定律，而当X大于某一值时，F便不再遵循胡克定律，故我们可以提出以下假设。
假设1：当X<9时，F遵循胡克定律。
假设2：当X>9时，F不遵循胡克定律。
三、模型建立
已知胡克定律为：F=KX，但通过简单的计算题目中所给的数据，便会发现K的值并非固定值，我们可假设F=KX中还有第三个未知量S。
故建立模型公式：F=KX+S
运用数学建模与数学实验（第四版）7.4.1线性最小二乘拟合内容，在matlab程序上可进行求解。
四、符号说明
表4-1
五、模型求解
解：
（1）试由数据确定k
输入以下程序：
x=[0 1 2 4 7 9 12 13 15 17];
f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1]; k=f/x
可得结果：
k =
1.4377
（2）给出不服从胡克定理时的近似公式：
输入以下程序：
x=[0 1 2 4 7 9 12 13 15 17];
f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1]; a=polyfit(x,f,1)
z=polyval(a,x);
plot(x,f,'k+',x,z,'r')
运行结果：
a =
1.3340 1.2678
可得图5-2-1：
图5-2-1
通过图5-2-1，可以看到当弹簧伸长10个单位长度后，拟合的情况并不好，偏差较多，且用计算结果得出的公式F=1.3340X+1.2678与胡克定律也相差甚远，故可以根据图5-1，将十个数据分为两组来进行验算。
先取前六个数据的值进行线性拟合：
输入程序：
x=[0 1 2 4 7 9];
f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6];
a=polyfit(x,f,1)
z=polyval(a,x);
plot(x,f,'k+',x,z,'r')
可得结果：
a =
1.7085 0.0008
可得图5-2-2：
图5-2-2
通过图5-2-2，可以看到拟合良好，且0.008可以忽略不计，故可以用F=1.7085X来表示力和弹簧伸长的关系，该公式较符合胡克定律。
接下来对后面的四个数据进行二次拟合来观察效果：
输入程序:
x=[12 13 15 17];
f=[18.8 19.6 20.6 21.1];
a=polyfit(x,f,2)
z=polyval(a,x);
plot(x,f,'k+',x,z,'r')
可得结果：
a =
-0.0732 2.5790 -1.5834
可得图5-2-3：
图5-2-3
通过图5-2-3可以看出，当才用后四个数据来进行拟合时，拟合情况较为准确，可以接受，近似公式为F=-0.0732+2.5790X-1.5834
六、结果分析
通过运用matlab分别进行三次拟合，可以发现三次拟合的结果大不相同。
第一次将所有数据进行拟合，拟合的情况并不好，偏差较多，得出的公式与胡
克定律也相差甚远；第二次按照模型假设，只采用[0 1 2 4 7 9]这六个
数据进行拟合，拟合情况较为良好，所得到的公式也极为接近胡克定律；第三
次同样按照模型假设，采用[12 13 15 17]这四个数据进行拟合，拟合情况
同样良好，且所得公式也符合我们的模型假设。
综合三次拟合，现在可以解答
第二步所建立的模型假设。
假设1：当X<9时，F遵循胡克定律。
假设1结果：当X<9时，F遵循胡克定律，其公式为F=1.7085X
假设2：当X>9时，F不遵循胡克定律。
假设2结果：当X>9时，F不遵循胡克定律，其近似公式为近似公式为F=-0.0732+2.5790X-1.5834
七、实验心得
在进行建模和仿真分析时，人们经常面临用已知系统实测数据应用数学模
型描述对应系统，即对数据进行拟合。
拟合的目的是寻找给定的曲线（直线），它在某种准则下最佳的拟合数据。
常用的拟合方法之一是多项式的最小二乘拟合，其准则是最小误差平方和准则，所用的拟合曲线为多项式。
在本次建模实验中，我们所用到的方法就是是线性最小二乘拟合，通过这
次实验，使得我掌握了用线性最小二乘拟合建立回归数学模型（包括参数估计
和模型建立），并通过几个数据拟合的回归分析来判断曲线（直线）拟合的精度，判断模型建立是否正确。
八、参考文献
九、附录
附录A：其实除我们所熟知的F=KX这一简单的胡克定律，还有一个广义的胡克定律，其内容为：在材料的线弹性范围内（见下图的材料应力应变曲线的比例极限范围内），固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ=Εε，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。
把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。
图A1
附录B：各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：
图B1
式中σij为应力分量；εij为应变分量（i，j=1，2，3）；λ和G为拉梅常量，G又称剪切模量。
这些关系也可写为：
图B2
E为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。
λ、G、E和v之间存在下列联系：
图B3
式（1）适用于已知应变求应力的问题，式（2）适用于已知应力求应变的问题。
