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排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．用符号“A m n ”表示A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)A n n ＝n ！；(2)0！＝1C m n ＝A m nm ！组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号“C m n ”表示C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)C n n ＝C 0n ＝1；(2)C m n ＝C n －m n ；(3)C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳（解析版）【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30B．36C．60D．722.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．483.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A．420B．600C．720D．7802.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种3.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）:【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【变式演练】1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．352.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．3.用五种不同颜色给三棱台ABC DEF的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【题型四】书架插书模型【典例分析】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．168B．260C．840D．560【变式演练】A aB bC cD d1.从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按(),(),(),()先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）2.．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法3.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种【题型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同【典例分析】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（）A．150B．240C．390D．1440【变式演练】1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种2.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A．17B．16C．625D．7243.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）A．15B．30C．20D．42【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同【典例分析】把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子中至少有i 个球（1,2,...,10i ），则不同放法的总数是A ．101940C B ．91940C C ．101949C D ．91949C 【变式演练】1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A ．22B ．25C ．20D ．482.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号盒每盒至少4个球，共有种方法.A ．39C B ．319C C ．3494C AD ．143205C C 3.将7个相同的小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法．A ．60种B ．36种C ．30种D ．15种【题型七】相同元素排列模型1：数字化法【典例分析】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓才加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A ．5B ．25C ．55D ．752.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种3.如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点A 到B ，乙从点C 到D ，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（）.A ．37B ．57C ．514D ．1321【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等【典例分析】1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．240B．360C．480D．7202.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【变式演练】1.某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A．48B．54C．72D．842.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.3.地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有________种.【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等【典例分析】欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A．34种B．55种C．89种D．144种【变式演练】1.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：()11f =，()21f =，()()()()122,f n f n f n n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A ．377B ．610C ．987D ．15972.从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步走完，则从一楼到二楼共有走法．A ．12B ．8C ．70D ．663.某人从上一层到二层需跨10级台阶.他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶.则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A ．6B ．8C ．10D ．122010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题【题型十】多事件限制重叠型【典例分析】班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为A ．217B ．316C ．326D ．328【变式演练】1.某同学计划用他姓名的首字母,T X ，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码．若,T X 必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（）A ．864B ．1009C ．1225D ．14412.2019年11月19日至20日，北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办了以“新课程，我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会，会议期间举办了一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（）A ．1860B ．1320C ．1140D ．10203.有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）【题型十一】多重限制分类讨论【典例分析】高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1），她准备每次走1级或2级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图2）原来在13级处有一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的15级()123+楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种．【变式演练】1.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排),现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答）2.2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有()种．A ．120B ．156C ．188D ．2403.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》．《星火》的票价为50元/人，每人限购一张票．甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞．他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态．（）A ．720B ．360C ．180D ．90【题型十二】综合应用【典例分析】设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti 分钟，假设Ti 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A ．从Ti 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从Ti 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近Ti 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【变式演练】1.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A ．120B ．112C ．110D ．162.设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A ．32B ．56C ．72D ．843.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A．34B．23C．56D．12【经典题专练】1.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．472.将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是A．540B．480C．420D．3603.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（）A．512B．712C．914D．5144.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2263C A B ．2666C A C ．2266C AD ．2265C A 5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A ．90B ．135C ．270D ．3606.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）A ．28B ．24C ．18D ．167.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为A ．16B ．18C ．32D ．728.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）9.如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种C ．甲､乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲､乙两人相遇的概率为1210.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.11.2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ，则满足123P P P <<的分配方案的概率为（）A ．13B ．23C ．120D ．3412.如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A ．24种B ．20种C ．16种D ．12种13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A C C ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示.（如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A ．87B ．95C ．100D ．10315.如图为33⨯的网格图，甲、乙两人均从A 出发去B 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、 的值为（）N，则M NA．10B．14C．15D．16排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A m n”表示A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)A n n＝n！；(2)0！＝1C m n＝A m nm！组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C m n”表示C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)C n n＝C0n＝1；(2)C m n＝C n－m n；(3)C m n＋1＝C m n＋C m－1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，2242 3245 C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
