四年级《数列求和》

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1例1：计算下列数列的和（1）1，2，3，4，5， (100)（2）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2随堂小练：计算等差数列1，3，5，7，9，…，99的和例2：计算下面数列的和1＋2＋3＋…＋1999分析：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得解：原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例3：计算下面数列的和11＋12＋13＋…＋31分析：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

数列求和方法数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。

数列求和是数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。

在本文中，我们将介绍数列求和的常见方法，包括等差数列求和、等比数列求和以及其他常见数列求和方法。

一、等差数列求和。

等差数列是指数列中相邻两项之间的差是一个常数的数列。

例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中公差为2。

对于等差数列求和，我们可以使用以下的公式：Sn = n/2 (a1 + an)。

其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。

通过这个公式，我们可以很方便地求得等差数列的和。

二、等比数列求和。

等比数列是指数列中相邻两项之间的比是一个常数的数列。

例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，其中公比为2。

对于等比数列求和，我们可以使用以下的公式：Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)。

其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。

通过这个公式，我们可以很方便地求得等比数列的和。

三、其他常见数列求和方法。

除了等差数列和等比数列之外，还有一些其他常见的数列求和方法，例如调和数列、斐波那契数列等。

对于这些数列，求和的方法各有不同，需要根据数列的特点来选择合适的求和方法。

对于调和数列，我们可以使用以下的公式来求和：Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。

对于斐波那契数列，我们可以使用递推公式来求和：Sn = F(n+2) 1。

其中，F(n)表示斐波那契数列的第n项。

四、数列求和的应用。

数列求和在数学中有着广泛的应用，特别是在数学分析、概率论、统计学等领域。

例如，在概率论中，我们经常需要计算一些特定数列的和来求解概率分布函数；在统计学中，我们经常需要计算一些特定数列的和来求解统计指标。

因此，掌握数列求和的方法对于我们解决实际问题具有重要意义。

总之，数列求和是数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。

通过本文的介绍，相信读者对数列求和的方法有了更深入的了解，希望本文对读者有所帮助。

求数列求和的方法数列求和是数学中的一个重要问题，它涉及到数列的性质和求解方法。

在数学中，数列求和有多种方法，下面将为您介绍最常用的数列求和方法。

一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

等差数列求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的第一项，an表示等差数列的第n项，n表示等差数列的项数。

二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

等比数列求和的公式如下：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的第一项，q表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。

三、算术级数求和算术级数是指数列中每一项与前一项的差为一个固定的数d的数列，它可以看作是等差数列的变形。

算术级数求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示算术级数的前n项和，a1表示算术级数的第一项，an 表示算术级数的第n项，n表示算术级数的项数。

四、几何级数求和几何级数是指数列中每一项与前一项的比为一个固定的数q的数列，它可以看作是等比数列的变形。

几何级数求和的公式如下：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示几何级数的前n项和，a表示几何级数的第一项，q表示几何级数的公比，n表示几何级数的项数。

五、调和级数求和调和级数是指数列的每一项都是倒数数列的项的数列，它的求和公式如下：Sn=1/1+1/2+1/3+...+1/n其中，Sn表示调和级数的前n项和，n表示调和级数的项数。

六、费马数列求和费马数列是一个特殊的数列，它的每一项都是前一项的平方。

费马数列求和的公式如下：Sn=(a1^(n+1)-1)/(a1-1)其中，Sn表示费马数列的前n项和，a1表示费马数列的第一项，n 表示费马数列的项数。

七、斐波那契数列求和斐波那契数列是一个经典的数列，它的每一项都是前两项的和。

求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，()111nn a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+L ；（2）21nk k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=L ；（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L .例1 已知3log 1log 23-=x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

第五讲数列求和专题解析：0，1，2，3......像这样的按一定顺序排列的数叫做数列，数列不一定从小到大，也不一定从大到小，但是每个位置的数都是确定的，数列会帮助我们理解位置与位置上所对应的数之间一一对应的关系，就像学校中每个座位所对应坐的小朋友一样。

本章我们就要来学习等差数列，以及等差数列的和知识回顾之数列求和：重点知识理解：等差数列的概念，等差数列与植树问题的相似之处，如何利用植树问题所学的知识求等差数列的某一项等【经典例题】【例题1】有四个数列如下：●1，2，4，8，16，32，64●1，1，2，3，5，8，13，21●2，4，6，8，10，12，14，16，18●21，18，15，12，9，6，3●1，5，1，5，1，5，1，5，1，5请问以上哪个数列是等差数列，不是等差数列的你能找找其中的规律吗？思维点拨：等差数列之要求相邻两项的差一样，但一定要按顺序作差随堂演练：（1）请任意说出三个有五项的等差数列（2）若公差为5，第一项是3，数列是逐渐增大的，请写出数列的前十项【例题2】求等差数列1，6，11，16......的第二十项是多少，第35项是多少？251是这个数列的第几项？思维点拨：每一个数可以代表一棵树，而数的大小可以代表树与0的距离，第几项可表示第几棵数随堂演练：1.已知数列2，5，8，11，14......,请问47是其中的第几项2.已知数列96，91，86，81......，请问第10项是多少，第16项呢？3.如果一个数列的第一项是3，最后一项是219，公差是4，请问这个数列一共有多少项？如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项思维点拨：间距不变，公差也不变随堂演练：1.已知等差数列的公差为4，末项为280，数列共25项，这个数列的首项是多少？这个数列的第16项是多少？2.小剧场共有40排座位，每一排都比前一排多两个座位，最后一排有120个座位，那第一排有多少个座位？第25排有多少个座位？【例题4】数列的求和推论有自然数列1，2，3，4，5，6......99,100,求数列1+2+3+......+99+100的和。

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：小四课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型C-等差数列基础 C -等差数列求和1C-等差数列求和2授课日期及时段教学内容解决逻辑推理问题有什么方法，请你回顾一下，并说一说。

课堂导入小时，爸爸妈妈常用数数的方法教我们学习数学。

“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”；“1、3、5、7、9”“2、4、6、8、10”……那这些是数学中的哪些知识点呢？这就是等差数列，我们来学习一下吧。

知识点梳理知识点1：数列基础知识按一定顺序排成的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中共有的项的个数叫做项数。

知识点2：等差数列与公差一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列。

其中相邻两项的差叫做公差。

譬如：2、5、8、11、14、17、20、L从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、L从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列知识点3：常用公式项数=（末项-首项）÷公差+1 公差=（末项-首项）÷（项数-1）末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2 等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数一、专题精讲题型1：找等差数列例：下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③ 1，2，4，8，16，32，64；④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；分析：此题考查我们对等差数列的认识，根据等差数列每相邻两个数等差的特点就可以判断。

【答案】①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。