加试模拟训练题（79）
1 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证
：∠GAC=∠EAC。
2. ?数列y1，y2，y3，…满足条件y1=1，对于k＞0，
证明：数列y1，y2，y3，…能取遍每个正整数并且恰好一次．
3.设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一；若在5次之内跳到D点
，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从A点出发跳动到停止为止，可能出现的不同跳法共有多少种？
4.求都能使成立的最大的
加试模拟训练题（79）
1 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证
：∠GAC=∠EAC。
证 如图，连接BD交AC于H，
过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J。
对△BCD用塞瓦定理，可得
①
因为AH是∠BAD的角平分线，
由角平分线定理知。
代入①式得 ②
因为CI∥AB，CJ∥AD，则，。
代入②式得.
从而CI=CJ。又由于∠ACI=180°－∠BAC=180°－∠DAC=∠ACJ，
所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC.
2. ?数列y1，y2，y3，…满足条件y1=1，对于k＞0，
证明：数列y1，y2，y3，…能取遍每个正整数并且恰好一次．
【题说】第二十五届（1993年）加拿大数学奥林匹克题5．
【证】用二进制表示．设
n=（amam-1…a1a0）2
其中am=1，ai=0或1，i=0，1，…，m-1．
我们用归纳法证明
yn=（bmbm-1…b1b0）2
其中bm=1，b2≡ai+ai+1（mod2），i=0，1，…，m-1．
（1）n=1时，显然．
（2）假设对于小于n的正整数结论成立．对于n=（am…a1a0）2，
其中b0=0≡a1+a0（mod2）．
（ii）若a1=1，a0=0，则
其中b0=1≡a0+a1（mod2）．
（iii）若a1=0，a0=1，则
其中b0=1≡a0+a1（mod2）．
（iv）若a1=a0=1，则
其中b0=0≡a0+a1（mod2）．
因此，命题对任意正整数n也成立．
反之，对任意数（bm…b1b0）2，可以唯一确定n=（amam-1…a1a0）如下：
am=bm=1，ai≡bi-ai+1（mod2）
所以，yn→n是N+→N+的一一对应．?
3.设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一；若在5次之内跳到D点
，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从A点出发跳动到停止为止，可能出现的不同跳法共有多少种？
【题说】 1997年全国联赛一试题2(5)．
【解】 如果跳5次才停，那么由于在每一点都有2种跳法，共有25种跳法．其中3步跳到D的有2种，跳到D后继续再
跳2次的有2×22种．因此符合要求的跳法有25＋2－2×22＝26种． 4.求都能使成立的最大的
解析：容易知道是关于的增函数。
当时，，由知，即是的约数；
当时，；当时，
由上知，有，故猜测。
容易想到用数学归纳法证明结论。1)当时猜测成立。
2)假设当时猜测为真，即，则当时，
，
由假设知，只需证，即。
事实上，，
由此知被除余1，从而。因此当时，。
