(完整版)平面向量数量积及运算律教案

平面向量的数量积及运算律教案

课题：平面向量的数量积及运算律

◆一、教学目标 ▼（一）知识目标

1平面向量数量积的定义及几何意义； 2平面向量数量积的运算律；

3平面向量数量积的5个重要性质。 ▼（二）能力目标

1． 掌握数量积的定义、5个重要性质及运算律；

2． 能应用数量积的5个重要性质及运算律解决问题；

3． 了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题，为下节课灵活运用平面向量数

量积解决问题打好基础。 ▼（三）情感目标

创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与其它学科及生活实践的联系。 ◆二、教学难点

平面向量数量积运算律的理解；与实数运算律的区别和联系；平面向量数量积在解决长度、角度等问题的运用。 ◆三、教学重点

平面向量数量积的定义和运算律的应用。 ◆四、教学手段

在多媒体环境下，老师引导、启发和激励学生大胆参与活动和讨论的民主式的教学。 ◆五、教学过程 ●问题

一个物体在力F 的作用下产生的位移

s ，且F 与s 的夹角为θ ,那么力F 所做的功应当怎样计算？ ||||s F W =

其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量. 数量 θcos s F 叫做力F 与位移s 的数量积

●向量的夹角

两个非零向量 和 ，作 AC = ，BC =，则θ=∠AOB （︒180）叫做向量 和 的夹角。

b

a

A

a θ

B

b

注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的 与同向 与反向

与反向 记作b a ⊥

●例1、如图，等边三角形中，求

（1）AB 与AC 的夹角；（2）AB 与BC 的夹角。

通过平移变成共起点！

5.6 平面向量的数量积及运算律 平面向量的数量积的定义

已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ ，我们把数量θcos ||||b a 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即 θcos ||||b a b a =⋅规定：零向量与任意向量的数量积为0，即=⋅0a 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合． （3） a · b 不能写成a ×b ，a ×b 表示向量的另一种运算．

5.6 平面向量的数量积及运算律 例题讲解

例1．已知向量a 与b 的夹角为 ，|a |=2，|b |=3，，求a ·b.

()b a b

a ⊥=3)2(135)1(0

∥θ

a ·

b =|a | |b |cos θ 平面向量的数量积 讨论总结性质： （1）e · a=a · e=| a | cos θ （2）a ⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向

时， a · b =-| a | · | b | ．特别地a a a a a a ⋅=

=⋅||||2或

0=

θO A B a b

180=θO

A

B

a b

90=θO

A

B θa b

（4）|

|||cos b a b

a ⋅=

θ

（5）a · b ≤| a | · | b | 练习：

1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b =0．√

2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b ≠0．×

3．若a ≠0，a · b =0，则b =0×

4．若a · b =0，则a · b 中至少有一个为0．×

5．若a ≠0，a · b = b · c ，则a =c × 6．若a · b = a · c ,则b ≠c ,当且仅当a = 0 时成立×．

7．对任意向量 a 有2

2||a a =√

8.a a 00=•×

例2、如图，等边三角形中，求 （1）AC AB 与的数量积； （2）BC AB 与的数量积； （3）BC AC 与的数量积. 例3

平面向量的数量积及运算律 1．a · b= b · a 交换律 2. (λ·a) b= a · (λ b)= λ(a · b)= λ a · b 3. (a+b) · c= a · c+ b · c 分配律 思考: 结合律成立吗: (a · b ) · c=a · (b · c) ?

物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．

b OB a OA ==，作，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为，则=1OB

| b | cos θ 其中 | b | cos θ叫向量b 在a 方向上的投影。

A B

C

F

S

θ

B b

B

b

θ为锐角时，| b | cos θ＞0 θ为钝角时，| b | cos θ＜0

θ为直角时，| b | cos θ=0 平面向量的数量积及运算律

讨论总结性质：a ·b =|a | |b |cos θ)1800(

≤≤θ （1）e · a=a · e=| a | cos θ （2）a ⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向

时， a · b =—| a | · | b | ．特别地a a a a a a ⋅=

=⋅||||2或

（4）|

|||cos b a b

a ⋅=

θ

（5）a · b ≤| a | · | b |

运算律

◆ 六、课后反思和巩固

◆ 对数量积的运算律的证明思考和阅读

O A θ

1B O A a θ

1O A B a

b θ)(1B