2014上海虹口区高考数学(理)二模试题-_

上海市虹口区2014届高三4月高考模拟（二模）数学试卷（文科）（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、已知集合{}12A x x =-<，{}2B 4x x =<，则A B ⋂= ．2、223lim 2n n n n n →∞-+-=- ．3、函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 . 4、在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:2:5A B C =，则最大角等于 ．5、已知函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ．6、复数z 满足11z iii=+，则复数z 的模等于__________．7、已知tan 2α=，tan()1αβ+=-，则tan β= ． 8若正三棱柱的主视图如图所示，则此三棱柱的体积等于 ．9、已知(12)nx -关于x 的展开式中，二项式系数和等于512，则展开式的系数之和为 .10、抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a -=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 .11、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是 ． 12、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ．13、对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中11()n n n a a a n N *+∆=-∈．第8题211对于正整数k ，规定{}k n a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-∆=∆-∆．若数列{}n a 的通项13n n a -=，则2122232n a a a a ∆+∆+∆++∆=L．14、如图ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC的中点，14AM AB m AC=+⋅u u u u r u u u r u u u r，向量AM u u u u r 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知:α“2=a ”；:β“直线0=-y x 与圆2)(22=-+a y x 相切”．则α是β的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件16、若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<17、设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=u u u r u u u r，0AC AD ⋅=u u u r u u u r ，0AD AB ⋅=u u u r u u u r，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是（ ）..A 12 .B 2 .C 4 .D 818、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）.A 1 .B 1- .C 1± .D 2DCBA第14题C DBAPMABO三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于60︒．（1）求圆的侧面积和体积．（2）求异面直线MC 与PO 所成的角；20、（本题满分14分）已知函数()2()23sin cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a为常数．（1）求函数()y f x =的周期；（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程. 21、（本题满分14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变． （1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，求二十年发放的汽车牌照总量． 22、（本题满分16分）我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题：已知抛物线22x py =(0)p >上的点)3,(0x 到焦点的距x离等于4，直线l y kx b =+：与抛物线相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h-=（h 为定值）．设线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的抛物线的切点为C ．.（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；（2）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （3）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关.23、（本题满分18分）函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得xM x f ≥)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．（2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，求出M 的最大值． （3）问实数k 、b 满足什么条件，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．上海市虹口区2014届高三4月高考模拟（二模） 数学答案（文科）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、 (1,2)-；2、12-； 3、4； 4、 43π； 5、2()log f x x=；65 7、3； 8、3 9、1-； 10、 3π；11、710； 12、1α，3α； 13、232n ⋅-； 14、1344m <<； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、B ； 三、解答题（满分74分） 19、(12分) 解：（1）圆锥的侧面积24S rl ππ==侧．Q 226425PO =-=，∴2132533V r h ππ==…………4分（2） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ． 又，5MD ∴=．又43OC OM ==，．//MD PO Q ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角Q //MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………9分当60MOC ∠=︒时，∴13MC =．∴65cos 13MD DMC MC ∠==，∴65arccos13DMC ∠=当120MOC ∠=︒时，∴37MC =．∴185cos MD DMC MC ∠==，∴185arccos37DMC ∠=综上异面直线MC 与PO 所成的角等于65arccos13或185arccos 37．………………12分20、（14分）解（1）1cos 2322sin(2)16y x x a x a π=+++=+++．…………4分T π=.……………………6分（2）)(x f 的最小值为0，所以210a -++= 故1=a …………8分D OCBAMP所以函数2)62sin(2++=πx y .最大值等于4……………………10分()262x k k Z πππ+=+∈，即()26k x k Z ππ=+∈时函数有最大值或最小值， 故函数)(x f 的图象的对称轴方程为()26k x k Z ππ=+∈.………………14分110a =29.5a =3a = 9 4a = 8.5 …………12b =2b =33b =4.54b =6.75…………当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，n a =．∴21,120220,21n n n n N a n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且……………………5分而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n N b n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且………………8分（2）1220201911020()10522a a a ⨯+++=⨯+⨯-=L ……………………10分4123452032[1()]2 6.7516=124.25312b b b b b b -++++++=+⨯-L ……………………13分∴从2013年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张．……………………14分22、（16分）解：（1）Θ423=+p，得2=p ，抛物线方程为y x 42=．…………2分 焦点坐标)1,0(F ，准线方程为1-=y ．…………4分（2）由224404y kx bx kx b x y =+⎧⇒--=⎨=⎩，得124x x k +=，124x x b ⋅=-点2(2,2)D k k b +…………………………6分 设切线方程为y kx m =+，由224404y kx mx kx m x y =+⎧⇒--=⎨=⎩,得216160k m ∆=+=，2m k =-，切点的横坐标为2k ，得2(2,)C k k …………8分由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x 轴．……………………10分（3）Q2222211212)41616h x x x x x x k b =-=+-=+（，∴221616h k b -=．………12分322211122232ABCh S CD x x h k b k ∆=⋅-=+-=．……………………15分C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．………………16分（本小题也可以求21AB k h=+⋅，切点到直线l 的距离2222221161k k b d kk -+==++，相应给分）23、（18分）解：（1）．222x x x=≥Q ，即对于一切实数x 使得()2f x x≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当2Mx =时，由322M M M≥，∴2MM ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………5分（2）Q 1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x+取得最小值2，∴2M ≤．…………………………9分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………10分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………12分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx=是“圆锥托底型” 函数．………………14分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0bx M >．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………16分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00b x k =-≠，有00()0<M bf x M x k =-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数．由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………18分。

（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编 专题10.圆锥曲线 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面宽是____________米（精确到01.0米）．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是 ．3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ．4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】已知抛物线220y x =焦点F恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且双曲线过点15(,3)4，则该双曲线的渐近线方程为________.5. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是…………………………………………………（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x6. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】抛物线28y x=-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .【答案】3π 【解析】7. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124FF =，则a 等于 ．8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．（A ）210x y +-= （B ）10x =（C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+=考点：方程与曲线，曲线的切线．9. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）A ．① ③B ．② ③C ．① ②D ．① ② ③三．拔高题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ过点)1,3(．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角形PAB ，其中顶点P 的坐标为)2,3(-，求△PAB 的面积．【答案】（1）141222=+y x ；（2）92．所以24343-=-mm ，解得2=m ． …………………………………………（5分） 此时方程①变为0642=+x x ，解得)1,3(--A ，)2,0(B ，所以23||=AB ． 又)2,3(-P 到直线l ：02=+-y x 的距离2232|223|=+--=d ， ………（7分）所以△PAB 的面积29||21=⋅=d AB S ． ………………………………………（8分） 考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>> 经过点3(1,)2M ，且其右焦点与抛物线22:4C y x = 的焦点F 重合，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q两点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)N n，使得QP NP PQ NQ ⋅=⋅？ 若存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点0(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为E ，试证明：直线AE 过定点．试题解析：（1）由题意，得：(1,0)F所以222291411a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩ ， 解，得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以椭圆的方程为：22143x y += ；（1） 证明：设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得： 2222(34)3264120k x k x k +-+-=，由2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，得：11(,)22k ∈- ， 设334444(,),(,),(,)A x y B x y E x y - ，则22343422326412,3434k k x x x x k k-+==++ ， 则直线AE 的方程为343334()y y y y x x x x +-=-- ，令0y = 得：343443344333343434(4)(4)(8)x x x y x y x k x x k x x y x y y y y k x x -+⋅-+⋅-=-⋅+==+++- 2222343423426412322424()34341328834k k x x x x k k k x x k-⋅-⋅⋅-+++===+--+ ， 所以直线AE 过定点(1,0) .考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如图，已知平面内一动点A到两个定点1F 、2F 的距离之和为4，线段12F F 的长为2c (0)c >. （1）求动点A 的轨迹Γ；（2）当c =过点1F 作直线l 与轨迹Γ交于A 、C 两点，且点A 在线段12F F 的上方，线段AC 的垂直平分线为m ①求12AF F ∆的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称，请说明理由.【答案】（1）参考解析；（2【解析】试题解析：（1）当42c >即02c <<时，轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆 3分当2c =时，轨迹是线段12F F 4分 当2c >时，轨迹不存在 5分2②结论：当12AC F F 时，显然存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 11分 下证当AC 与12F F 不垂直时，不存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 12分直线m的斜率为114k k-≠-，则假设不成立，故此时椭圆上不存在两点（除了点A 、点C 外）关于直线m 对称 16分 考点：1.点的轨迹问题.2.椭圆的性质.3.直线与椭圆的位置关系.3.对称性的应用. 4. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．【答案】（1）2(,)2pk C pk ，2(,)D pk pk b +，（2）316h p，（3）能. 【解析】试题分析：（1）因为D 点为直线与抛物线的交点A ，B 中点，所以求D 点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由222202y kx bx pkx pb x py =+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-，点2(,)D pk pk b +.因为C 点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别（本小题也可以求AB h=，切点到直线l的距离2d==，相应给分）5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程； (2)斜率为21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，若直线l 不过点)23,1(P ，设直线PB PA 、的斜率分别为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；(3)试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．设存在这个定圆N 与动圆M 内切，则圆心距MN 为两圆半径之差，从而MN 与两圆中的某个圆的半径之和或差为定值（定圆N 的半径），由于点D 是椭圆的右焦点，这时联想椭圆的定义，若N 是椭圆的左焦点，则就有24MN MD a +==是常数，故定圆是以(1,0)N -为圆心，4为半径的圆.6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k-++.所以DP MN的取值范围是1(0,)4.考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA ===βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船．该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优.（1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？第21题图考点：解析法解应用题.8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】设椭圆1Γ的中心和抛物线2Γ的顶点均为原点O ，1Γ、2Γ的焦点均在x 轴上，过2Γ的焦点F 作直线l ，与2Γ交于A 、B 两点，在1Γ、2Γ上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1Γ，2Γ的标准方程；（2）若l 与1Γ交于C 、D 两点，0F 为1Γ的左焦点，求00F AB F CDS S △△的最小值；（3）点P Q 、是1Γ上的两点，且OP OQ ⊥，求证：2211OPOQ+为定值；反之，当2211OPOQ+为此定值时，OP OQ ⊥是否成立？请说明理由.试题解析：（1）()-2,0⎭在椭圆上，(()34-4，，在抛物线上， 2211,43x y ∴Γ+=： 2Γ：24.y x = …………………（4分）联立方程22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得222221212,4343P P k x y k k ==++； ……………（12分）9. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C 的方程； （2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈，MA MB ⋅为定值，若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）14822=+y x ；（2）存在点11(,0)4M 使得MA MB ⋅为定值.。

虹口区2014学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷时间120分钟，满分150分 一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、计算：20151+1i i =+____.（i 是虚数单位） 2、已知函数()()()132,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()()3f f -=___. 3、函数()()1ln 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数()1f x -=_______.4、已知正实数,x y 满足31x y +=，则13xx y+的最小值为___________.5、已知复数3sin cos z i θθ=+（i 是虚数单位），且z =，且当θ为钝角时，tan θ=_______. 6、在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有_________种.7、设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13N n n a S n +=∈，则n S =_________. 8、在极坐标系中，过点4π⎫⎪⎭且与圆2cos ρθ=相切的直线的方程为_______________.9、若二项式6x ⎛- ⎝展开式中含2x 项的系数为52，则()2lim 1n n a a a →∞++++=L __________.10、若行列式()51sin 0cos 24x x ππ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1行第2列的 元素1的代数余子式为1-，则实数x 的取值集合为___________.11、如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆为正三角形， 则双曲线的实轴长为__________.12、随机变量ξ的分布列为其中,,a b c 成等差数列，若13E ξ=，则D ξ=_________.13、已知向量,a b r r ，满足2a b a b ==⋅=r r r r ，且()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则2b c -r r的最小值为_______.14、若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k =__________.二、选择题（本题共4题，满分20分）每题只有一个正确答案，考生在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15、设全集R U =，已知2302x A x x ⎧+⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}12B x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A. 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B. (]1,2-C. (]2,3D. [)2,316、设R a ∈，则“1a =-”是“()()2f x ax x =-在()0,+∞上单调递增”的（ ）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件17、如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分18、已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（ ）三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19、（本题满分12分）本题共2小题，第1小题5分，第2小题7分. βαP BA D C已知函数()log a f x b x =+（0a >且1a ≠）的图像经过点()8,2和()1,1-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）令()()()21g x f x f x =+-，求()g x 的最小值及取最小值时x 的值. 20、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.在如图所示的几何体中，四边形CDPQ 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，且90BAD ADC ∠=∠=o ，平面CDPQ ⊥平面ABCD ，112AB AD CD ===，PD =.（1）若M 为PA 的中点，求证：AC //平面DMQ ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小.21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，经过村庄A 有两条夹角60o 为的公路,AB AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米）.记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来； （2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第2小题6分. 已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限， 若122OM ON OF +=u u u u r u u u r u u u r，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由. 23、（本题满分18分）本题共3小题，第1小题6分，第2小题6分，第2小题6分.已知数列{}n a 满足：121a a ==，且()*22N n n n a a n +-=∈，设3n n b a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，是否存在连续的三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项； 若不存在，请说明理由；（3）试证明：在数列{}n b 中，一定存在正整数(),1k l k l <<，使得1,,k l b b b 构成等比数列； 并求出,k l 之间的关系.虹口区2014学年度第二学期高三年级语文学科教学质量监控测试卷时间120分钟，满分150分 考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须写在答题纸上，A BCQPD M M B P N C做在试卷上一律不得分。

2014年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，若集合A ={2, 3}，则∁U A =________．2. 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程为________． 3. 函数f(x)=|sinx 4cosx13|的最大值为________． 4. 已知直线l 1:ax −y +2a +1=0和l 2:2x −(a −1)y +3=0(a ∈R)，若l 1⊥l 2，则a =________．5. 函数y =f(x)的反函数为y =f −1(x)，如果函数y =f(x)的图象过点(2, −2)，那么函数y =f −1(x)+1的图象一定过点________．6. 已知数列{a n }为等差数列，若a 1+a 3=4，a 2+a 4=10，则{a n }的前n 项的和S n =________．7. 一个与球心距离为√3的平面截球所得的圆的面积为π，则球的体积为________．8. （理）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为________．9. 设a ∈R ，(ax −1)8的二项展开式中含x 3项的系数为7，则limn →∞(a +a 2+...+a n )=________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l:{x =t y =t −a ，（t 为参数）过椭圆C:{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数）的右顶点，则常数a 的值为________．11. （理）已知随机变量ξ的分布列如表，若Eξ=3，则Dξ=________的周长为________．13. 抛物线y 2=4mx(m >0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(−m, 0)，则|PF||PA|的最小值为________．14. （理）已知函数f(x)的定义域为{1, 2, 3}，值域为集合{1, 2, 3, 4}的非空真子集，设点A （1, f(1)），B （2, f(2)），C （3, f(3)），△ABC 的外接圆圆心为M ，且MA →+MC →=λMB →(λ∈R)，满足条件的函数f(x)有________个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “a >1”是“1a <1”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件16. （理）已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位．若复数z1+i+i是实数，则|z|的最小值为（）A 0B 52C 5D √217. 能够把椭圆x24+y2=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（）A f(x)=4x3+xB f(x)=ln5−x5+x C f(x)=arctan x4D f(x)=e x+e−x18. 方程lg(x−100)2=72−(|x|−200)(|x|−202)的解的个数是（）A 2B 4C 6D 8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19. （理）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AA1＝AB＝AC＝1，∠ABC=π4，D、M、N分别是CC1、A1B1、BC的中点．（1）求异面直线MN与AC所成角的大小；（2）求点M到平面ADN之间的距离．20. 如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=π4（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S的最大值，并求此时θ的值．21. （理）已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x1，x2都有f(x1+x2)=1+f(x1)+f(x2)，且f(1)=1．（1）若对任意正整数n，有a n=f(12n)+1，求a1、a2的值，并证明{a n}为等比数列；（2）设对任意正整数n ，有b n =1f(n)，若不等式b n+1+b n+2+...+b 2n >635log 2(x +1)对任意不小于2的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围．22.（理）已知中心在原点O ，左焦点为F 1(−1, 0)的椭圆C 1的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为√77|OB|． （1）求椭圆C 1的方程；（2）过点P(3, 0)作直线l ，使其交椭圆C 1于R 、S 两点，交直线x =1于Q 点．问：是否存在这样的直线l ，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（3）若椭圆C 1方程为：x 2m 2+y 2n 2=1(m >n >0)，椭圆C 2方程为：x 2m 2+y 2n 2=λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．已知C 2是椭圆C 1的3倍相似椭圆，若直线y =kx +b 与两椭圆C 1、C 2交于四点（依次为P 、Q 、R 、S ），且PS →+RS →=2QS →，试研究动点E(k, b)的轨迹方程．23. （理）定义区间(c, d)，[c, d), (c, d]，[c, d]的长度均为d −c ，其中d >c ．（1）已知函数y =|2x −1|的定义域为[a, b]，值域为[0, 12]，写出区间[a, b]长度的最大值与最小值．（2）已知函数f M (x)的定义域为实数集D =[−2, 2]，满足f M (x)={x,x ∈M−x,x ∈M （M 是D 的非空真子集）．集合A =[1, 2]，B =[−2, −1]，求F(x)=f A∪B (x)f A (x)+f B (x)+3的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数f(x)=1x−1+2x−2+3x−3+4x−4−1，判断函数f(x)在区间(2, 3)上是否有零点，并求不等式f(x)>0解集区间的长度总和．2014年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）答案1. {1, 4, 5}2. y =±43x 3. 5 4. 135. (−2, 3)6. 32n 2−52n 7. 323π 8. 0.98 9. −1310. 3 11. 1 12. 6+6√6 13. √2214. 12 15. A 16. D 17. D 18. B19. 设AB 的中点为E ，连接EN ， 则EN // AC ，且EN =12AC ，所以∠MNE 或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角．…3分 连接ME ，在Rt △MEN 中，tan∠MNE =ME NE=2⋯5分所以异面直线MN 与AC 所成的角为arctan2．…6分 因为AB ＝AC ＝1，∠ABC =π4，所以AB ⊥AC ，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则：M(12,0,1)，N(12,12,0),D(0,1,12)，…8分设平面AND 的一个法向量为n →=(x,y,z)则{n →⋅AN →=0n →⋅AD →=0 ⇒{x +y =0y +z 2=0所以平面ADN 的一个法向量为n →=(1,−1,2)．…10 又AM →=(12,0,1)，所以点M 到平面OAD 的距离d =|AM →⋅n →||n →|=|12+2|√6=5√612．…12分．20. 解：（1）S =S ABCD −S △ABP −S △ADQ ...2分 =100−50tanθ−50tan(π4−θ)…4分 =100−50(tanθ+1−tanθ1+tanθ)，(0<θ<π4)…6分 （2）令t =1+tanθ，t ∈(1, 2)…8分 S =100−50[1+(t−1)2t ]=100−50(t +2t −2)=200−50(t +2t )…10分∵ t +2t≥2√t ⋅2t=2√2，（当且仅当t =2t时，即t =√2∈(1,2)，等号成立）…12分 ∴ 当t =√2时，搜索区域面积S 的最大值为200−100√2（平方海里） 此时，θ=arctan(√2−1)…14分．21. 解：（1）令x 1=x 2=12，得f(1)=1+f(12)+f(12)，则f(12)=0，a 1=f(12)+1=1...1分令x 1=x 2=14，得f(12)=1+f(14)+f(14)， 则f(14)=−12，a 2=f(14)+1=12...2分 令x 1=x 2=12n+1，得f(12n+1+12n+1)=1+f(12n+1)+f(12n+1)，即f(12n )=1+2f(12n+1)，…4分则f(12n )+1=2[1+f(12n+1)]，a n =2a n+1所以，数列{a n }是等比数列，公比q =12，首项a 1=1．…6分（2）令x 1=n ，x 2=1，得f(n +1)=1+f(1)+f(n)，即f(n +1)=f(n)+2 则{f(n)}是等差数列，公差为2，首项f(1)=1，故f(n)=1+(n −1)⋅2=2n −1，…8分 b n =1f(n)=12n−1．…9分设g(n)=b n+1+b n+2+⋯+b 2n =12n+1+12n+3+⋯+14n−1， 则g(n +1)−g(n)=14n+1+14n+3−12n+1=1(4n+1)(4n+3)(2n+1)>0， 所以{g(n)}是递增数列，g min =g(2)=15+17=1235，…11分 从而635log 2(x +1)<1235，即log 2(x +1)<2...12分 则{x +1>0x +1<4，解得x ∈(−1, 3)． …14分． 22. 解：（1）设椭圆C 1方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， ∴ 直线AB 方程为：x −a+yb=1...1分∴ F 1(−1, 0)到直线AB 距离为d =√a 2+b2=√77b ， ∴ a 2+b 2=7(a −1)2...2分又b 2=a 2−1，解得：a =2，b =√3...3分 故：椭圆C 1方程为：x 24+y 23=1．…4分（2）当直线l 与x 轴重合时，|PQ|=2，而|PR|⋅|PS|=1×5=5，∴ |PQ|2≠|PR|⋅|PS|若存在直线l ，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项， 则可设直线l 方程为：x =my +3...5分代人椭圆C 1的方程，得：3(my +3)2+4y 2=12，即：(3m 2+4)y 2+18my +15=0 ∴ △=(18m)2−4×15(3m 2+4)=48(3m 2−5) 记R(x 1, y 1)，S(x 2, y 2)，Q(x 0, y 0)， ∴ y 1y 2=153m 2+4，y 0=−2m...7分∵ |PQ|2=|PR|⋅|PS|，即|PR||PQ|=|PQ||PS|⇒y 1y 0=y0y 2，∴ y 1y 2=y 02∴153m 2+4=4m2，解得：m 2=163，符合△>0，∴ m =±4√33...9分 故存在直线l ，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项，其方程为x =±4√33y +3，即：y =±√34(x −3)…10分（3）椭圆C 1的3倍相似椭圆C 2的方程为：x 212+y 29=1...11分设Q 、R 、P 、S 各点坐标依次为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)、(x 3, y 3)、(x 4, y 4) 将y =kx +b 代人椭圆C 1方程，得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−12=0 ∴ △1=(8kb)2−4(3+4k 2)(4b 2−12)=48(4k 2+3−b 2)>0(∗) 此时：x 1+x 2=−8kb 3+4k 2，x 1x 2=4b 2−123+4k 2⇒|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3(4k 2+3−b 2)3+4k 2...13分将y =kx +b 代人椭圆C 2方程，得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−36=0 ∴ x 3+x 4=−8kb3+4k 2，x 3x 4=4b 2−363+4k 2⇒|x 3−x 4|=4√3(12k 2+9−b 2)3+4k 2...14分∴ x 1+x 2=x 3+x 4，可得线段PS 、QR 中点相同，∴ |PQ|=|RS|由PS →+RS →=2QS →⇒PQ →=QR →，∴ |PS|=3|QR|，可得：|x 3−x 4|=3|x 1−x 2| ∴4√3(12k 2+9−b 2)3+4k 2=3×4√3(4k 2+3−b 2)3+4k 2，∴ 12k 2+9=4b 2（满足(∗)式）． 故：动点E(k, b)的轨迹方程为4b 29−4k 23=1．…16分．23. 解：(1)|2x −1|=12，解得x =−1或x =log 232，|2x −1|=0，解得x =0，画图可得：区间[a, b]长度的最大值为log 23，最小值为log 232．（2）F(x)={x 3，x ∈A ∪Bx2x−3，x ∈(−1,1)当x ∈A ∪B ，F(x)∈[−23，−13]∪[13,23]， 当x ∈(−1, 1)，F(x)∈(−1,15)，所以x ∈[−2, 2]时，F(x)∈(−1,15)∪[13,23] 所以值域区间长度总和为2315．（3）由于当2<x <3时，取x =2.001，f(2.001)>0，取x=2.999，f(2.999)<0，所以方程f(x)=0在区间(2, 3)内有一个解考虑函数f(x)=1x−1+2x−2+3x−3+4x−4−2，由于当x<1时，f(x)<0，故在区间(−∞, 1)内，不存在使f(x)>0的实数x；对于集合{1, 2, 3, 4}中的任一个k，由于当k−1<x<k时，取x=k+0.001，f(x)>0，取x=k+1−0.001，f(x)<0又因为函数y=f(x)在区间(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，(4, +∞)内单调递减，所以方程f(x)=0在区间(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，(4, +∞)内各有一个解；依次记这4个解为x1，x2，x3，x4，从而不等式f(x)>0的解集是E=(1, x1)∪(2, x2)∪(3, x3)∪(4, x4)，故得所有区间长度的总和为S=(x1−1)+(x2−2)+(x3−3)+(x4−4)=x1+x2+x3+x4−10…①对f(x)>0进行通分处理，分子记为p(x)p(x)=(x−2)(x−3)(x−4)+2(x−1)(x−3)(x−4)+3(x−1)(x−2)(x−4)+4(x−1)(x−2)(x−3)−2(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)如将p(x)展开，其最高项系数为−2，设p(x)=−2x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②又有p(x)=−2(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4)…③对比②③中p(x)的x3系数，2(x1+x2+x3+x4)=1+2+3+4+2(1+2+3+4)=30可得：S=x1+x2+x3+x4−10=5．。

第二部分 函数一、 函数的定义域、解析式、反函数，函数求值1. 【2014年黄浦区二模文理第1题】函数xxy -+=11log 2的定义域是 ． 【答案： (1,1)-】2. 【2014年黄浦区二模文理第6题】函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f -，则反函数的解析式是=-)(1x f ．【答案： 1()0)f x x -=-?】3. 【2014年徐汇、金山、松江区二模文第4题】函数()20y x x x=+>的值域为______．【答案： )⎡+∞⎣】4. 【2014年徐汇、金山、松江区二模理第4题】函数()22y x x x=+≥的值域是_______．【答案： [)3,+∞ 】5. 【2014年奉贤区二模文第1题】函数()()42lg -=xx f 的定义域为________.【答案：{}2>x x 】6. 【2014年奉贤区二模理第1题】函数()12-=xx f 的反函数为________.【答案：()1log 2+=x y 】7. 【2014年虹口区二模文理第3题】函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .【答案：4 】8. 【2014年虹口区二模文理第5题】已知函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ．【答案：2()log f x x = 】9. 【2014年浦东新区二模文理第5题】函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y fx -=+的图像一定过点______.【答案：(2,3)- 】10. 【2014年嘉定、长宁区二模文第7题】对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(lo g 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f-的图像经过的定点的坐标是______________．【答案：)2,1( 】11. 【2014年崇明二模文第8题】已知函数()21x f x =+的反函数为1()y f x -=，则1()0f x -<的解集是 . 【答案：(1,2) 】12. 【2014年崇明二模理9】已知()2xf x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f xg x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是 ．【答案：(0,1)】13. 【2014年虹口区二模文理第16题】若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<【答案：C 】14. 【2014年嘉定、长宁区二模理第12题】若不等式2||≤+a x 在]2,1[∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案：]0,3[- 】 二、 函数的单调性与奇偶性15. 【2014年普陀区二模文第6题】若集合D {||1|1}x x =-…，则函数11)(+=x x f (D x ∈)的值域为 . 【答案：]1,31[ 】16. 【2014年黄浦区二模文理第5题】5．函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是 ． 【答案：[1,)+? 】17. 【2014年闵行区二模理第10题】设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为221x y +=．已知时间0t =时，观光箱A 的坐标为1(,)22，则当024t ≤≤时（单位：分），动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递减区间是 ． 【答案：[2,14]】18. 【2014年浦东新区二模文理第17题】能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（ ）（A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln 5x f x x -=+（C ）()arctan 4xf x =（D ）()x x f x e e -=+ 【答案： D 】19. 【2014年嘉定、长宁区二模文第18题】已知偶函数)(x f 对任意R ∈x 都有)2(2)()4(f x f x f =-+，则)2014(f 的值等于……（ ）A ．2B ．3C ．4D ．0 【答案：D 】20. 【2014年崇明二模文第18题】某同学对函数sin ()xf x x=进行研究后，得出以下五个结论：①函数()y f x =的图像是轴对称图形；②函数()y f x =对任意定义域中x 值，恒有()1f x <成立；③函数()y f x =的图像与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数0N >，存在常数b a N >>，函数()y f x =在[],a b 上单调递减，且1b a -≥；⑤当常数k 满足0k ≠时，函数()y f x =的图像与直线y kx =有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的个数是 ( ) A.5B.4C.3D.2【答案：C 】21. 【2014年崇明二模理第18题】某同学对函数sin ()xf x x=进行研究后，得出以下五个结论：①函数()y f x =的图像是轴对称图形；②函数()y f x =对任意定义域中x 值，恒有()1f x <成立；③函数()y f x =的图像与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数0N >，存在常数b a N >>，函数()y f x =在[],a b上单调递减，且1b a -≥；⑤当常数k 满足0k ≠时，函数()y f x =的图像与直线y kx =有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③④B ．①③④⑤C ．①②④D ．①③④【答案：C 】 三、 函数的图像与数形结合22. 【2014年闸北区二模文科第9题】已知集合{}m x y y x A +==|),(，{}mx y y x B ==|),(，若集合B A 中有且仅有两个元素，则实数m 的取值范围是 . 【答案：(1,0)-】23. 【2014年闸北区二模理科第9题】已知集合{}x m y y x A ==|),(，{}m x y y x B +==|),(，若集合B A 中仅含有一个元素，则实数m 的取值范围是 ． 【答案：[]1,1- 】24. 【2014年闵行区二模理第9题】已知关于x 的不等式2320ax ax a ++-<的解集为R ，则实数a 的取值范围 ．【答案：8,05⎛⎤- ⎥⎝⎦】25. 【2014年闵行区二模文第9题】已知关于x 的不等式222(1)(3)0x a x a --++>的解集为R ，则实数a 的取值范围 ． 【答案：(1,5)- 】26. 【2014年闵行区二模理第14题】对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ． 【答案：①③ 】27. 【2014年闵行区二模文第14题】对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ． 【答案：①③④．】28. 【2014年黄浦区二模文第14题】14．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2l o g 20,21)(16x x x x f x．若关于x的方程2[()]()0fx a f x b +⋅+=R a b ∈、有且只有7个不同实数根，则b a +的值是 ． 【答案：1- 】29. 【2014年黄浦区二模理第14题】14．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2l o g 20,21)(16x x x x f x．若关于x的方程2[()])0fx a f x b +⋅+=(R a b ∈、有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ． 【答案：524a -<<-】30. 【2014年虹口区二模理第18题】函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ）.A 8 .B 9 .C 10 .D 11【答案：C 】31. 【2014年普陀区二模文第14题】若函数x x a x f +-=)((a 为常数)，对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ，恒有1|)()(|21<-x f x f 成立，用)(a S 表示满足条件的所有正整数a 的和，则)(a S = . 【答案：15】32. 【2014年普陀区二模理第14题】已知函数⎩⎨⎧>≤+-=0,ln 0,2)(2x x x x x x f ，若不等式1|)(|-≥ax x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案：(]0,4-】33. 【2014年普陀区二模文理第17题】若函数a x x x f -+=2)(，则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条件是………………………………………………………………（ ）)(A 241≤≤-a . )(B 241<≤-a . )(C 20<<a . )(D 041<<-a . 【答案：A 】34. 【2014年浦东新区二模文第18题】方程2lg 4(||200)(||202)x x x =---的解的个数为（ ） （A ）2 (B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案： C 】35. 【2014年浦东新区二模；理第18题】方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ ）（A ）2（B ）4（C ） （D ）8【答案： B 】36. 【2014年嘉定、长宁区二模文第14题】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--=,2,)2(,20,)1(1)(2x x f x x x f 若对于正数n k （*N ∈n ），直线x k y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则=+++∞→)(lim 22221n n k k k ______．【答案：41】37. 【2014年四区二模文第14题】（文） 函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 . 【答案：]41,0(】38. 【2014年四区二模理第18题】函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）.)(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦)(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案： D 】 四、 特殊函数（幂指对二次）39. 【2014年普陀区二模理第3题】方程1)4(log )1(log 42=+-+x x 的解=x . 【答案：5】40. 【2014年黄浦区二模文理第7题】7．方程1)34(l o g 2+=-x x的解=x ．【答案： 2log 3x =】41. 【2014年奉贤区二模文第3题】如果函数x x f a log )(=的图像过点⎪⎭⎫⎝⎛121，P ，则2lim()n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=________.【答案： 1 】42. 【2014年四区二模理7文8】已知1lo g lo g 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________. 【答案：22】43. 【2014年崇明二模文理第12题】如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案：11[,]32】44. 【2014年嘉定、长宁区二模理第14题】定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21 ________________． 【答案：2】 五、 抽象函数与函数周期性45. 【2014年普陀区二模文第4题】若函数)(x f y =(x ∈R )满足条件：)()2(x f x f =+，且1)1(=f ，则=)101(f . 【答案：1】46. 【2014年普陀区二模理第6题】若偶函数)(x f y =(R x ∈)满足条件：)1()(x f x f +=-，则函数)(x f 的一个周期为 .【答案：1】47. 【2014年奉贤区二模文第12题】定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为123,,,x x x ⋅⋅⋅，则123x x x ++=________. 【答案： 14 】48. 【2014年奉贤区二模理第12题】定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,x ,,,,x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=________. 【答案： 50 】49. 【2014年嘉定、长宁区二模文第18题】已知偶函数)(x f 对任意R ∈x 都有)2(2)()4(f x f x f =-+，则)2014(f 的值等于…（ ）A ．2B ．3C ．4D ．0 【答案：D 】50. 【2014年嘉定、长宁区二模理第18题】设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为（ ）A ．4027B ．4027-C ．8054D ．8054- 【答案：D 】 六、函数应用题51. 【2014年闸北区二模文理第7题】如右图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设x FB AE ==cm ．若要使包装盒的侧面积最大，则x 的值为______．【答案：15】52. 【2014年四区二模文理第20题】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？【答案： (1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，O(第20题东BO第21题东第21题所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 】53. 【2014闵行区二模文理第21题】21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分．为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA =海里，且==βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船．该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优.（1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？【答案：（1）以O 点为原点，正北的方向为y 轴正方向建立直角坐标系，…（1分）则直线OZ 的方程为3y x =，设点A （x 0，y 0），则0900x β==，0600y β==，即A （900，600）， …………………（3分） 又B （m ，0），则直线AB 的方程为：600()900y x m m=--，…………（4分）由此得到C 点坐标为：200600(,)700700m mm m --，…（621300()||||(700)2700C m S m OB y m m ∴=⨯=>- …（8（2）由（1）知22300300()7001700m S m m m m==--+ …（10223003007001111700()14002800m m m =-+--+………（12分）所以当111400m =，即1400m =时，()S m 最小， （或令700t m =-，则222300300(700)700()300(1400)700m t S m t m t t+===++- 840000≥，当且仅当1400m =时，()S m 最小）∴征调1400m =海里处的船只时，补给方案最优. …………………（14分） 】 七、 函数综合大题54. 【2014年闸北区二模文科第14题】本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分设函数xxx f 2323)(+-=R)(∈x . (1)求函数)(x f y =的值域和零点；(2)请判断函数)(x f y =的奇偶性和单调性，并给予证明.【答案：【解】(1)xx x x f 23612323)(++-=+-=， 02>x ，∴3+2x >3⇒0<132x +<13⇒0<632x+<2, 1)(1<<-∴x f ，故)(x f y =的值域为()1,1-；----------------------------------------6分令f(x)=0,即6132x=+，解得2log 3x =， ∴()y f x =的零点为.3log 2=x ----------------------------------------2分 (2)对任意的x ∈R ，)1(51752323)1(11f f ±=±≠=+-=---， ----------------------------------------2分故)(x f y =是非奇非偶函数. ---------------------------------------2分 所以，对任意的12,x x ∈R ，21x x <，)23)(23()22(6236236)()(21122121x x x x x x x f x f ++-=+-+=-.-------------------------------2分 因为022,023,0231221>->+>+xx x x ，所以)()(21x f x f >. ----------------------------------------2分 故()y f x =在定义域R 上是减函数. ---------------------------------------2分】55. 【2014年闸北区二模理科第13题】已知函数)(x f y =在定义域R 上是增函数，值域为()+∞,0，且满足：)(1)(x f x f =-． 设)(1)(1)(x f x f x F +-=．（1）求函数)(x F y =值域和零点；（2）判断函数)(x F y =奇偶性和单调性，并给予证明．【答案：解：（1）)(121)(1)(1)(x f x f x f x F ++-=+-=， 0)(>x f ，1)(110<+<∴x f1)(1<<-∴x F ，故，)(x F y =的值域为()1,1-；---------------------------------------- 4分)(1)(x f x f =- ，令0=x ，1)0(±=f ，0)(>x f ，1)0(=∴f ．故，)(x F y =的零点为.0=x ---------------------------------------------------------------------4分（2）对任意的R x ∈，)()(1)(1)(11)(11)(1)(1)(x F x f x f x f x f x f x f x F -=+--=+-=-+--=-，-------- 3分 所以，)(x F y =是奇函数．----------------------------------------------------------------------- 2分 由已知，)(x f y =在定义域R 上是增函数，所以，对任意的R x x ∈21,，21x x <，都有0)()(21<-x f x f ．又0))(1))((1()()()(12)(12)()(21122121>++-=+-+=-x f x f x f x f x f x f x F x F ．------------3分所以，)(x F y =在定义域R 上是减函数．-----------------------------------------------------2分】56. 【2014年奉贤区二模文第20题】已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． （1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性； （2）当()3,1∈a 时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．【解：(1)判断：若1a =，函数()f x 在[1,6]上是增函数.证明：当1a =时，9()f x x x=-， ()f x 在[1,6]上是增函数. 2分 在区间[1,6]上任取12,x x ，设12x x <，12121212121212129999()()()()()()()(9)0f x f x x x x x x x x x x x x x x x -=---=----+=<所以12()()f x f x <，即()f x 在[1,6]上是增函数. 6分(2) （文）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()f x 在[1,6]上是增函数 12分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 13分所以当6x =时，()f x 取得最大值为92； 14分 】57. 【2014年奉贤区二模理第20题】已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． （1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性；（2）当()3,1∈a 时，求证函数()f x 存在反函数．【解：(1)判断：若1a =，函数()f x 在[1,6]上是增函数. 证明：当1a =时，9()f x x x =-， ()f x 在[1,6]上是增函数.2分在区间[1,6]上任取12,x x ，设12x x <，12121212121212129999()()()()()()()(9)f x f x x x x x x x x x x x x x x x -=---=----+=<所以12()()f x f x <，即()f x 在[1,6]上是增函数.6分(2) （理）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()x f y =[]6,1∈x 上是增函数12分所以任意一个[]6,1∈x ，均能找到唯一的y 和它对应，所以()x f y =[]6,1∈x 时，()f x 存在反函数 14分】58. 【2014年普陀区二模文第21题】已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x fy -=，记)1()(1-=-x f x g(1)求函数)()(21x g x fy -=-的最小值；(2)集合}2|)(|)](1[|{≥⋅+=x f x f x A ，对于任意的A x ∈，不等式0)()(21≥-+-x g m x f 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案：（1）由12-=x y 得)1(log 2+=y x ，即)1(log )(21+=-x x f（1->x ）)1()(1-=-x f x g x 2log =（0>x ） )()(21x g x fy -=-x x 22log )1(log 2-+=)21(log 12log 222++=++=xx x x x 由于0>x ，所以21≥+xx （当且仅当1=x 时，等号成立） 所以当1=x 时，函数24log 2min ==y （2）【文科】2|12|22|)(|)](1[≥-⋅⇔≥⋅+xxx f x f ①若0≥x ，解得1≥x ，所以1≥x ； ②若0<x ，解得φ∈x .所以),1[+∞=A 由)1(log )(21+=-x x f （1->x ）得，x m x x g m x f 221log )1(log 2)()(2≥++⇔≥+-(1≥x )所以不等式1-+-≥x x m (1≥x )恒成立，函数143)21(12-≥---=-+-=x x x y ，所以1-≥m 】59. 【2014年普陀区二模理第21题】已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x fy -=，记)1()(1-=-x f x g .（1）求函数)()(21x g x fy -=-的最小值；（2）【理科】若函数)()(2)(1x g m x f x F -+=-在区间),1[+∞上是单调递增函数，求实数m 的取值范围.【答案：【解】（1）由12-=x y 得)1(log 2+=y x ，即)1(l o g )(21+=-x x f（1->x ）)1()(1-=-x f x g x 2log =（0>x ） )()(21x g x fy -=-x x 22log )1(log 2-+=)21(log 12log 222++=++=xx x x x 由于0>x ，所以21≥+xx （当且仅当1=x 时，等号成立） 所以当1=x 时，函数24log 2min ==y （2）【理科】由)1(log )(21+=-x x f（1->x ）得，x m x x g m x f x F 221log )1(log 2)()(2)(-++=-+=-…8分)(x F x m x 22)]1([log ++=)]1(2)1([log 22++++=m xm x 在区间),1[+∞上是单调递增函数需满足：当1≥x 时，01>++m x ，即2->m ……10分),1[)|,1[|+∞⊆+∞+m …12分，即021|1|≤≤-⇔≤+m m ，…13分，所以02≤<-m …14分】60. 【2014年崇明二模文理第21题】设121()log 1axf x x x -=+-为奇函数，a 为常数.(1)求a 的值；(2)判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞上的单调性，并说明理由； (3)若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式1()()2x f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案：（1）121()log 1axf x x x -=+- 为奇函数，()()0f x f x ∴-+=对定义域内的任意x 都成立，112211log log 011ax axx x x x +-∴-++=---，11111ax ax x x +-∴⋅=--- ， 解，得1a =-或1a =（舍去）. （2）由（1）知：121()log 1xf x x x +=+- ， 任取12,(1,)x x ∈+∞ ，设12x x < ，则：1221121211011(1)(1)x x x x x x x x ++--=>----， 121211011x x x x ++∴>>-- ，1211122211log log 11x x x x ++∴<-- 121112122211log log 11x x x x x x ++∴+<+--，12()()f x f x ∴<()f x ∴ 在(1,)x ∈+∞ 上是增函数.（3）令1()()(),[3,4]2xg x f x x =-∈ ，1()[3,4]2x y x =∈ 在 上是减函数，∴由（2）知，1()()(),[3,4]2x g x f x x =-∈是增函数，min 15()(3)8g x g ∴== ，对于区间[3,4] 上的每一个x 值，不等式1()()2x f x m >+ 恒成立，即()m g x < 恒成立， 158m ∴< .】61. 【2014年四区二模文第23题】本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（文）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=. （1）解方程：0)1()(8)(=--h x g x h ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，求证：22013)20142013()20142012()20142()20141(=++++p p p p ； （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案：（文）（1）0)1()(8)(=--h x g x h 即：09389=-⋅-x x ，解得93=x，2=x（2）21323)21()20141007(===p p . 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，所以，22013211006)20142013()20142()20141(=+=+++p p p ， （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x xk 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k .】62. 【2014年四区二模理第22题】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 （理）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=.（1） 解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案：理（1）99)832(3+=-⋅⋅x x x ，93=x，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ． （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增.由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k .】63. 【2014年虹口区二模文第23题理22题】函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得x M x f ≥)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，求出M 的最大值． （3）问实数k 、b 满足什么条件，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数． 【答案：解：（1）．222x x x=≥ ，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当x =时，由M≥，∴2M M ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………5分（2） 1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．…………………………9分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………10分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………12分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………14分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0b x M>．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………16分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00bx k=-≠，有00()0<M bf x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数． 由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………18分】64. 【2014年浦东新区二模文第22题】（文）定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．（1）已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，写出区间[],a b 长度的最大值与最小值.（2）已知函数()2sin f x x =，将函数()y f x =的图像的每点横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移8π个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求区间[,]a b 长度的最小值．（3）已知函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-,满足(),,M x x M f x x x M∈⎧=⎨-∉⎩(M 是D 的非空真子集) . 集合[]1,2A =,[]2,1B =-- ,求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++ 的值域所在区间长度的总和．【答案 解：（1）1212x-=，解得1x =-或23log 2x =， 210x -=，解得0x =，……………………2分画图可得：区间[],a b 长度的最大值为2log 3，最小值为23log 2. …………………4分 （2）()2sin(2())2sin(2)84g x x x ππ=++=++6分11()0sin(2)4224g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,24x k k Z ππ=-∈， 即()g x 的零点相离间隔依次为6π和56π， …………………………………………8分故若()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，则b a -的最小值为 511007100666πππ-=．…………………………………………………………10分 （3）(),3,(1,1)23xx A B F x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈-⎪-⎩ …………………………………………………12分当x A B ∈ ，2112(),,3333F x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，………………………………………………………13分当(1,1)x ∈-，1()(1,)5F x ∈-，……………………………………………………14分 所以[2,2]x ∈-时，112()(1,),533F x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦……………………………………15分所以值域区间长度总和为2315。

2014届高中数学·二模汇编（专题：立体几何）C DBA第12题2014届高中数学·二模汇编 立体几何一、填空题1、（2014年虹口二模理12）设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=， 0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、 △ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .2、（2014年崇明二模理10）已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同， 若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= ．3、（2014年崇明二模文10） 已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 的高与球O 直径 相等，则它们的体积之比:V V =圆柱球 (结果用数值作答).4、（2014年闵行二模理7）用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ， 则该球的体积是 cm 3.5、（2014年徐汇松江金山二模文理9）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．6、（2014年浦东二模文理7） 一个与球心距离为3的平面截球所得的圆的面积为π，则球的体积为 .7、（2014年黄浦二模文理10）若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离 是3，则这个球的表面积是 ．8、（2014年长宁嘉定二模理8）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=,21,)1(1,10,)(2x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．9、（2014年长宁嘉定二模文8）已知函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=,21,2,10,)(x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________． 10、（2014年奉贤二模文8理7）若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为________. 11、（2014年四区二模文理4)已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)． 12、（2014普陀二模文8）一个正方体内接于球，若球的体积为34π，则正方体的棱长为 .CDBA13、（2014普陀二模理12）若三棱锥ABC S -的底面是边长为2的正三角形，且⊥AS 平面SBC ，则三棱锥ABC S -的体积的最大值为 .14、（2014闸北二模文理5）若轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上，且球与圆柱的 体积分别为1V 和2V ，则21:V V 的值为 ．15、（2014闸北二模理6）如右图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1CC 的中点，则直线DE 与平面11BC A 的夹角为______． 16、（2014闸北二模文理7）如右图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设x FB AE ==cm ．若要使包装盒的侧面积最大，则x 的值为______．二、选择题17、（2014年虹口二模文17）设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=， 0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是（ ）. .A 12.B 2 .C 4 .D 818、（2014年闵行二模文理15）下列命题中，错误．．的是（ ）． （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行 （B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α （D ）垂直于同一个平面的两条直线平行19、（2014年徐汇松江金山二模文16理15）已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是 ① m l ⊥⇒βα// ② m l //⇒⊥βα ③ βα⊥⇒m l // ④ βα//⇒⊥m lA ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③BAC DA BC D 第15题（理）PMA BO20、（2014年黄浦二模文理16）已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等” 是“α||l ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件21、（2014年奉贤二模理15）已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是 （ ） A ．11AD BC ⋅ B ．1BD AC ⋅ C ．1AB AD ⋅D ．1BD BC ⋅22、（2014年四区二模文理17）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别 记为1S 、2S ,则1S :2S =…（ ）. )(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:1三、解答题23、（2014年虹口二模理19）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于θ．（1）当60θ=︒时，求异面直线MC 与PO 所成的角； （2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的值．24、（2014年虹口二模文19）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于60︒．（1）求圆的侧面积和体积．（2）求异面直线MC 与PO 所成的角；25、（2014年崇明二模理19） 如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1AB =，2BC =，12AA =，E 是侧棱1BB 的中点．（1）求证：1A E ⊥平面AED ； （2）求二面角1A A D E --的大小．BACED第19题图如图，在体积为3的正三棱锥BCD A -中，BD 长为23，E 为棱BC 的中点，求 （1）异面直线AE 与CD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）正三棱锥BCD A -的表面积．27、（2014年徐汇松江金山二模理19）如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体． （1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．1C第19题图Ａ Ｃ 1B 1A ＤＢ如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小； （2）求点M 到平面ADN 之间的距离.29、（2014年黄浦二模理19）已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====，D 是棱1AA 的中点．如图所示． (1) 求证：1DC ⊥平面BCD ； (2) 求二面角A BD C --的大小．ABCD PQ30、（2014年黄浦二模文19）已知矩形11ABB A 是圆柱体的轴截面，1O O 、分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2:1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示． (1) 求圆柱体的侧面积S 侧的值；(2) 若1C 是半圆弧11A B 的中点，点C 在半径OA 上，且12OC OA =， 异面直线1CC 与1BB 所成的角为θ，求sin θ的值．31、（2014年长宁嘉定二模理20）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．ADCFPB 32、（2014年奉贤二模理19）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，求直线AD 与平面11A BC 所成的角.33、（2014年四区二模理19) 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，F 是BC 的中点.（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. A 1 B 1C 1D B A C(理19题图)34、（2014普陀二模文20）如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径1=R ，圆柱的表面积为π8；点C 在底面圆O 上，且︒=∠120AOC . （1）求三棱锥CB A A 1-的体积；（2）求异面直线B A 1与OC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.35、（2014闸北二模理14）如图，平面α内一椭圆14:22=+y x C ，1F 、2F 分别是其焦点，P 为椭圆C 上的点，已知α⊥1AF ，α⊥2BF ，121==BF AF ，直线PA 、PB 和平面α所成角分别为θ、ϕ．（1）求证：4cot cot =+ϕθ； （2）若2πϕθ=+，求直线PA 与PB 所成角的大小．第2011 36、（2014闸北二模文13） 如右图，在正三棱柱111C B A ABC -中，=1AA 411=B A ， D 、E 分别为1AA 与11B A 的中点．（1）求异面直线D C 1与BE 的夹角；（2）求四面体1BDEC 体积．。

2014年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=．2．（4分）函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于．3．（4分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1：：，则最大角等于．4．（4分）已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=．5．（4分）复数z满足=1+i，则复数z的模等于．6．（4分）已知tanα=2，tan（α+β）=﹣1，则tanβ=．7．（4分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．8．（4分）某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是．9．（4分）已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为．10．（4分）等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，下列四个命题．α1：数列{a n}是递增数列；α2：数列{na n}是递增数列；α3：数列{}是递增数列；α4：数列{a n2}是递增数列．其中真命题的是．11．（4分）椭圆（a＞b＞0），参数φ的范围是（0≤φ＜2π）的两个焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且|F1F2|=4，则a等于．12．（4分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是．13．（4分）在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是．14．（4分）对于数列{a n}，规定{△1a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△1a n=a n+1﹣a n（n∈N*）．对于正整数k，规定{△k a n}为{a n}的k阶差分数列，其中△k a n=a n+1﹣△k﹣1a n．若数列{a n}有a1=1，a2=2，且满足△2a n+△1a n﹣2=0（n∈△k﹣1N*），则a14=．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）已知α：“a=2”；β：“直线x﹣y=0与圆x2+（y﹣a）2=2相切”．则α是β的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜﹣1或a＞1D．﹣1＜a＜1 17．（5分）已知数列{a n}是首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，若数列{cosa n}是等比数列，则其公比为（）A．1B．﹣1C．±1D．218．（5分）函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8B．9C．10D．11三、解答题（满分74分）19．（12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．（1）当θ=60°时，求异面直线MC与PO所成的角；（2）当三棱锥M﹣ACO的体积最大时，求θ的值．20．（14分）已知函数y=f（x）=2sinxcosx+2cos2x+a（x∈R），其中a为常数．（1）求函数y=f（x）的周期；（2）如果y=f（x）的最小值为0，求a的值，并求此时f（x）的最大值及图象的对称轴方程．21．（14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=a4=…b1=2b2=b3=b4=…（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22．（16分）函数y=f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数f（x）=2x，g（x）=x3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．（2）若f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值．（3）问实数k、b满足什么条件，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．23．（18分）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．2014年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=（﹣1，2）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】解绝对值不等式求得A，解一元二次不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题主要考查绝对值不等式、一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（4分）函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于4．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据f（x）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]），可得函数在[﹣1，1]上是增函数，从而求得函数取得最大值．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+4x+1=﹣（x2﹣4x﹣1）=﹣（x﹣2）2+5，（x ∈[﹣1，1]）∴函数在[﹣1，1]上是增函数，故当x=1时，函数取得最大值为4，故答案为：4．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的单调性的应用，属于中档题．3．（4分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1：：，则最大角等于．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用正弦定理化简已知等式得到三边之比，利用大边对大角得到C为最大角，利用余弦定理求出cosC的值，即可确定出C的度数．【解答】解：已知sinA：sinB：sinC=1：：，利用正弦定理化简得：a：b：c=1：：，设a=k，b=k，c=k，且最大角为C，∴cosC===﹣，∴C=．故答案为：．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．4．（4分）已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=log2x．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），求得a的值，可得f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），可得=2=a，即a=2，故f（x）=log2x，故答案为：log2x．【点评】本题主要指数函数和对数函数互为反函数，属于基础题．5．（4分）复数z满足=1+i，则复数z的模等于．【考点】A8：复数的模；O1：二阶矩阵．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件求得z==2﹣i，再根据复数的模的定义求得|z|．【解答】解：∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴|z|==，故答案为：．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．6．（4分）已知tanα=2，tan（α+β）=﹣1，则tanβ=3．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】已知第二个等式左边利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanα的值代入即可求出tanβ的值．【解答】解：∵tan（α+β）==﹣1，tanα=2，∴=﹣1，整理得：2+tanβ=﹣1+2tanβ，解得：tanβ=3．故答案为：3【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（4分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件推导出a2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0）与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，∴a2+1=4，解得a=，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．8．（4分）某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】本题考查古典概型中利用排列组合求基本事件个数，再求概率的类型，有2个特殊元素，从其中一个数学开始讨论，分2种情况讨论即可．【解答】解：从元素入手，特殊元素优先，先排数学，分2类：①当数学在第一节时，其他5个元素全排列即可，②当数学不在第一节时，也不排在最后一节，则应为；再排体育，又不排在第一节，应为，然后剩下4个元素全排列，即本类排法为，综上共有+=504又基本事件共有=720所以概率P==，故答案为：．【点评】利用排列组合求概率，属于排列中的特殊元素特殊位置类型，从元素入手或者从位置入手都可，但讨论标准讨论完前，不可更换．9．（4分）已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为1．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】由题意求得n=6，再令x=1，可得展开式的系数之和．【解答】解：∵（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，∴．∴解得5＜n＜7，再根据n∈N，可得n=6，∴令x=1可得展开式的系数之和为（1﹣2）6=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．10．（4分）等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，下列四个命题．α1：数列{a n}是递增数列；α2：数列{na n}是递增数列；α3：数列{}是递增数列；α4：数列{a n2}是递增数列．其中真命题的是α1，α3．【考点】83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用函数的单调性直接进行判断，从而得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，∴数列{a n}是递增数列，故α1是真命题；∵na n=2n2﹣8n，∴数列{na n}是先减后增数列，故α2是假命题；∵=2﹣，∴数列{}是递增数列，故α3是真命题；∵a n2=4n2﹣32n+64，∴数列{a n2}不是递增数列，故α4是假命题．故答案为：α1，α3．【点评】本题考查数列的函数特性的应用，是基础题，解题时要注意函数的单调性的灵活运用，属于基础题．11．（4分）椭圆（a＞b＞0），参数φ的范围是（0≤φ＜2π）的两个焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且|F1F2|=4，则a等于+1．【考点】K4：椭圆的性质；QL：椭圆的参数方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先将椭圆参数方程化为普通方程，可设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，连接AF2，再由题设条件可知|AF1|=|F1F2|，∠F1AF2=90°，由|F1F2|=4，即c=2，由勾股定理求出|AF2|，再由椭圆的定义求出a即可．【解答】解：椭圆（a＞b＞0），可化为：（a＞b＞0）如图设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，连AF2，由题设条件知|AF1|=|F1F2|=c，∠F1AF2=90°，又|F1F2|=4，即2c=4，c=2，则|AF1|=2，|AF2|===2，由椭圆的定义知，|AF1|+|AF2|=2a，则2a=2+2，∴a=+1．故答案为：+1．【点评】本题主要考查椭圆的参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的简单性质和应用，解题时要注意运用定义，是快速解题的关键，本题属于基础题．12．（4分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是2．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB，AC，AD两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三度，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=4S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc ）≤（a2+b2+c2）=2即最大值为：2故答案为2．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键．13．（4分）在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是0＜m＜．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．由=+m •，可知点M在线段DE上（不含点D，E），借助于点D，E即可得出．【解答】解：如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．∵=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D，E）当点M取点D时，，可得m=0，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m＞0．当点M取点E时，，此时可得m=，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m．∴．故答案为：．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、共面向量的基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．14．（4分）对于数列{a n}，规定{△1a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△1a n=a n+1﹣a n（n∈N*）．对于正整数k，规定{△k a n}为{a n}的k阶差分数列，其中△k a n=a n+1﹣△k﹣1a n．若数列{a n}有a1=1，a2=2，且满足△2a n+△1a n﹣2=0（n∈△k﹣1N*），则a14=26．【考点】8B：数列的应用．【专题】23：新定义；54：等差数列与等比数列．【分析】利用新定义，可得{a n}是从第2项起，2为公差的等差数列，即可求出a14．【解答】解：∵△k a n=△k﹣1a n+1﹣△k﹣1a n，△2a n+△1a n﹣2=0，∴△1a n+1=2，∴a n+2﹣a n+1=2，∵a1=1，a2=2，∴{a n}是从第2项起，2为公差的等差数列，∴a14=2+2（14﹣2）=26．故答案为：26．【点评】本题考查数列的应用，考查新定义，确定{a n}是从第2项起，2为公差的等差数列是关键．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）已知α：“a=2”；β：“直线x﹣y=0与圆x2+（y﹣a）2=2相切”．则α是β的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据直线与圆相切的等价条件，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若直线与圆相切则，圆心到直线的距离d=，即|a|=2，∴a=±2，∴α是β的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜﹣1或a＞1D．﹣1＜a＜1【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．17．（5分）已知数列{a n}是首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，若数列{cosa n}是等比数列，则其公比为（）A．1B．﹣1C．±1D．2【考点】87：等比数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出=，由积化和差得cos（n﹣2）d﹣cosnd=0，再由和差化积得2sin[（n﹣1）d]sind=0，对任意的正整数n都成立，由此能求出公比q=﹣1．【解答】解：∵数列{a n}是首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，∵数列{cosa n}是等比数列，∴=，①∴2cosa1cos（a1+nd）=2cos（a1+d）cos[a1+（n﹣1）d]，积化和差得cos（2a1+nd）+cosnd=cos（2a1+nd）+cos（n﹣2）d，∴cos（n﹣2）d﹣cosnd=0，和差化积得2sin[（n﹣1）d]sind=0，对任意的正整数n都成立，∴sind=0，0＜d＜2π，∴d=π．由①，公比q=﹣1．故选：B．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意积化和差公式与和差化积公式的灵活运用．18．（5分）函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8B．9C．10D．11【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x）的图象，设==…==k，则由数形结合即可得到结论．【解答】解：设==…==k，则条件等价为f（x）=kx，的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f（x）最多有10个交点，即n的最大值为10，故选：C．【点评】本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．三、解答题（满分74分）19．（12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．（1）当θ=60°时，求异面直线MC与PO所成的角；（2）当三棱锥M﹣ACO的体积最大时，求θ的值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】（1）过点M作MD⊥AO，从而MD∥PO，∠DMC即异面直线MC与PO所成的角；（2）当三棱锥M﹣ACO的体积最大时，其高为，只需棱锥底面△ACO面积最大，即可，从而求得θ值．【解答】（12分）解：（1）连MO，过M作MD⊥AO交AO于点D，连DC．又PO=，∴MD=．又OC=4，OM=3．又MD∥PO，∴∠DMC等于异面直线MC与PO所成的角或其补角．∵MO∥PB，∴∠MOC=60°或120°．…（5分）当∠MOC=60°时，∴MC=．∴cos∠DMC==，∴∠DMC=arccos当∠MOC=120°时，∴MC=．∴cos∠DMC==，∴∠DMC=arccos综上异面直线MC与PO所成的角等于arccos或arccos．…（8分）（2）∵三棱锥M﹣ACO的高为MD且长为，要使得三棱锥M﹣ACO的体积最大只要底面积△OCA的面积最大．而当OC⊥OA时，△OCA的面积最大．…（10分）又OC⊥OP，此时OC⊥平面PAB，∴OC⊥PB，θ=90°．…（12分）【点评】本题考查异面直线所成的角，及三棱锥体积最值问题，数中档题．20．（14分）已知函数y=f（x）=2sinxcosx+2cos2x+a（x∈R），其中a为常数．（1）求函数y=f（x）的周期；（2）如果y=f（x）的最小值为0，求a的值，并求此时f（x）的最大值及图象的对称轴方程．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】（1）先利用倍角公式对函数解析式化简，求得函数的周期．（2）利用（1）中的解析式及f（x）的值求得a，求得函数解析式，最后根据三角函数的性质求得答案．【解答】解（1）y=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1∴T==π（2）∵f（x）的最小值为0，∴﹣2+a+1=0∴a=1∴函数y=2sin（2x+）+2最大值等于为2+2=4当2x+=kπ+（k∈Z），即x=+（k∈Z）时函数有最大值或最小值，∴函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）．【点评】本题主要考查三角函数的周期，三角函数的图象及三角函数恒等变换的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．21．（14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=9a4=8.5…b1=2b2=3b3= 4.5b4= 6.75…（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？【考点】8B：数列的应用．【专题】12：应用题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）利用从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，可得﹣n2+17n﹣≥200，即可得出结论．【解答】解：（1）a1=10a2=9.5a3=9 a4=8.5 …b1=2b2=3b3=4.5 b4=6.75 ……（2分）当1≤n≤20且n∈N*，a n=10+（n﹣1）×（﹣0.5）=﹣0.5n+10.5；当n≥21且n∈N*，a n=0．∴a n=…（5分）而a4+b4=15.25＞15∴b n=，…（8分）（2）当n=4时，S n=a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=53.25．当5≤n≤21时，S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+b3+b4+b5+…+b n）=10n+++6.75（n﹣4）=﹣n2+17n﹣…（11分）由S n≥200得﹣n2+17n﹣≥200，即n2﹣68n+843≤0，得34﹣≤n≤21 …（13分）∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…（14分）【点评】本题考查数列的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（16分）函数y=f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数f（x）=2x，g（x）=x3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．（2）若f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值．（3）问实数k、b满足什么条件，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．【考点】3T：函数的值．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立进行判断，即可得到结论．（2）根据|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，建立条件关系，即可求出结论，（3）利用函数是“圆锥托底型”函数．则满足条件|f（x）|≥M|x|对一切实数x 均成立，即可得到结论．【解答】解：（1）∵|2x|=2|x|≥2|x|，即对于一切实数x使得|f（x）|≥2|x|成立，∴f（x）=2x是“圆锥托底型”函数．…（2分）对于g（x）=x3，如果存在M＞0满足|x3|≥M|x|，而当时，由，∴，得M≤0，矛盾，∴g（x）=x3不是“圆锥托底型”函数．…（5分）（2）∵f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x2+1|≥M|x|对于任意实数恒成立．∴当x≠0时，=|x|+，此时当x=±1时，|x|+取得最小值2，∴M≤2．…（9分）而当x=0时，|f（0）|=1≥M|0|=0也成立．∴M的最大值等于2．…（10分）（3）①当b=0，k=0时，f（x）=0，无论M取何正数，取x0≠0，则有|f（x0）=0＜M|x0|，f（x）=0不是“圆锥托底型”函数．…（12分）②当b=0，k≠0时，f（x）=kx，对于任意x有|f（x）|=|kx|≥|k||x|，此时可取0＜M＜k|，∴f（x）=kx是“圆锥托底型”函数．…（14分）③当b≠0，k=0时，f（x）=b，无论M取何正数，取|x0|．有|b|＜M|x0|，∴f（x）=b不是“圆锥托底型”函数．…（16分）④当b≠0，k≠0时，f（x）=kx+b，无论M取何正数，取x0=≠0，有|f（x0）|=0≤M|x0|，∴f（x）=kx+b不是“圆锥托底型”函数．由上可得，仅当b=0，k≠0时，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．…（18分）【点评】本题主要考查与函数有关的新定义，考查学生的推理能力和运算能力，综合性较强，难度较大．23．（18分）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）直线l：y=kx+b代入抛物线x2=2py，求出D的坐标，设切线方程为y=kx+m，代入抛物线方程，求出C的坐标，即可证明结论；（2）利用韦达定理，表示出三角形面积，即可得出结论；（3）分别求出a1=S△ABC=，a2=S△ACE+S△BCF=•，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，即可得出结论．【解答】解：（1）由直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py，得x2﹣2pkx﹣2pb=0，∴x1+x2=2pk，x1x2=﹣2pb∴点D（pk，pk2+b）…（2分）设切线方程为y=kx+m，代入抛物线方程可得x2﹣2pkx﹣2pm=0，得△=4p2k2+8pm=0，m=，切点的横坐标为pk，得C（pk，）…（4分）由于C、D的横坐标相同，∴CD垂直于x轴．…（6分）（2）∵=4p2k2+8pb，∴b=．…（8分）∴S△ABC=|CD||x2﹣x1|=．…（11分）∴△ABC的面积与k、b无关，只与h有关．…（12分）（3）由（1）知CD垂直于x轴，|x C﹣x A|=|x B﹣x C|=，由（2）可得△ACE、△BCF的面积只与有关，将S△ABC=中的h换成，可得S△ACE =S△BCF=．…（14分）记a1=S△ABC=，a2=S△ACE+S△BCF=•，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{a n}的无穷项和，此数列公比为，∴封闭图形的面积S===…（18分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

虹口区2013学年高三年级二模数学答案（理科）D O C B A MP一、填空题（每小题4分，满分56分）1、(1,2)-；2、4；3、43π； 4、2()log f x x =； 56、3；7、 3π； 8、710； 9、1； 10、1α，3α； 111； 12、2； 13、304m <<； 14、26 ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、C ；三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．又PO ==MD ∴=43OC OM ==，． //MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．//MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………5分当60MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos 13MD DMC MC ∠==，∴arccos 13DMC ∠= 当120MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos MD DMC MC ∠==∴DMC ∠= 综上异面直线MC 与PO所成的角等于arccos 13或arccos 37．………………8分 （2）三棱锥M ACO -的高为MD，要使得三棱锥M ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．…………10分 又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒………………12分21、（14分）解：（1）110a =29.5a = 3a = 9 4a = 8.5 ………… 12b = 2b =33b = 4.5 4b = 6.75 ………… ………………………………2分当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，0n a =． ∴21,120220,21n n n n N a n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且……………………5分而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n N b n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且………………8分 （2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=． 当521n ≤≤时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++--216843444n n =-+- ………………………………11分由200n S ≥ 得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，得31316.3021n -≈≤≤ ……………………13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分22、（16分）解：（1）．222x x x =≥，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当x =时，由M ≥，∴2M M ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………4分（2）1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．…………………………7分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………8分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………10分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………12分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0bx M >．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………14分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00b x k =-≠，有00()0<M b f x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数． 由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………16分x23、（18分）解：（1）由222202y k x b x p k x p b x p y=+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +…………………………2分 设切线方程为y kx m =+，由222202y k x m x p k x p m x p y=+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pk C pk …………4分 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x （2）22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p -=．………8分 232211122216ABC pk h S CD x x h pk b p∆=⋅-=+-=．……………………11分 C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．………………12分 （本小题也可以求AB h =，切点到直线l 的距离2d ==（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C h x x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只与2h 有关，将316ABC h S p ∆=中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p ∆∆==⋅．……14分记3116ABC h a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a的无穷项和，此数列公比为14．所以封闭图形的面积3114131214a hS ap===-…………………………18分。

C DBA第12题上海市虹口区2014届高三4月高考模拟（二模）数学试卷（理科）（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}12A x x =-<，{}2B 4x x =<，则A B ⋂= ． 2、函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .3、在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:2:5A B C =，则最大角等于 ．4、已知函数()y f x =是函数xy a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ．5、复数z 满足11z ii i=+，则复数z 的模等于_______________． 6、已知tan 2α=，tan()1αβ+=-，则tan β= ．7、抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后 一节，体育不排在第一节的概率．．是 ． 9、已知(12)nx -关于x 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 .10、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ． 11、椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ， 以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124F F =，则a 等于 ．12、设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=， 0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、 △ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .PMABO13、在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界）， 则实数m 的取值范围是 ．14、对于数列{}n a ，规定{}1n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中11()n n n a a a n N *+∆=-∈．对于正整数k ，规定{}k n a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-∆=∆-∆．若数列{}n a 有11=a ，22a =，且满足2120()n n a a n N *∆+∆-=∈，则14a = ．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知:α“2=a ”；:β“直线0=-y x 与圆2)(22=-+a y x 相切”．则α是β的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件16、若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） .A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<17、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列， 则其公比为（ ）.A 1 .B 1- .C 1± .D 218、函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ） .A 8 .B 9 .C 10 .D 11三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于θ．（1）当60θ=︒时，求异面直线MC 与PO 所成的角； （2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的值．20、（本题满分14分）已知函数()2()23sin cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数．（1）求函数()y f x =的周期；（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程.21、（本题满分14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车 2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的 牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数 为构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式； （2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22、（本题满分16分）函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得x M x f ≥)(对一切 实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，求出M 的最大值． （3）问实数k 、b 满足什么条件，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．23、（本题满分18分）如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的DCBAyxO切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线， 切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 与抛物线 围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．上海市虹口区2014届高三4月高考模拟（二模）数学答案（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分）D OCBAMP1、(1,2)-； 2、4； 3、43π； 4、2()log f x x =； 5、5； 6、3； 7、 3π； 8、710； 9、1； 10、1α，3α；11、31+； 12、2； 13、304m <<； 14、26 ；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、C ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ． 又226425PO =-=，5MD ∴=．又43OC OM ==，．//MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角． //MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………5分当60MOC ∠=︒时，∴13MC =．∴65cos 13MD DMC MC ∠==，∴65arccos 13DMC ∠=当120MOC ∠=︒时，∴37MC =．∴185cos 37MD DMC MC ∠==，∴185arccos 37DMC ∠=综上异面直线MC 与PO 所成的角等于65arccos13或185arccos 37．………………8分 （2）三棱锥M ACO -的高为MD 且长为5，要使得三棱锥M ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．…………10分又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒………………12分 20、（14分）解（1）1cos 23sin 22sin(2)16y x x a x a π=+++=+++．…………4分T π=.……………………6分（2）)(x f 的最小值为0，所以210a -++= 故1=a …………8分 所以函数2)62sin(2++=πx y .最大值等于4……………………10分()262x k k Z πππ+=+∈，即()26k x k Z ππ=+∈时函数有最大值或最小值， 故函数)(x f 的图象的对称轴方程为()26k x k Z ππ=+∈.………………14分 21、（14分）解：（1） ………………………………2分110a = 29.5a = 3a = 9 4a = 8.5 …………12b =2b =33b = 4.54b = 6.75………… 当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，0n a =．∴21,120220,21n n n n N a n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且……………………5分而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n Nb n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且………………8分 （2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=． 当521n ≤≤时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++-- 216843444n n =-+-………………………………11分由200n S ≥ 得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，得3431316.3021n -≈≤≤ ……………………13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分22、（16分）解：（1）．222x x x =≥，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当2Mx =时，由322M MM≥， ∴2MM ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………4分 （2）1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x ≤+=+，此时当1x =±时，1x x+取得最小值2，∴2M ≤． (7)DCBAyxO分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………8分 （3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………10分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k<≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………12分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0b x M>．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………14分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00bx k=-≠，有00()0<M bf x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数． 由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………16分23、（18分）解：（1）由222202y kx bx pkx pb x py=+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +…………………………2分设切线方程为y kx m =+，由222202y kx mx pkx pm x py=+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pk C pk …………4分 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x 轴．……………………6分 （2）22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p-=．………8分 232211122216ABCpk h S CD x x h pk b p∆=⋅-=+-=．……………………11分 C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．………………12分（本小题也可以求21AB k h =+⋅，切点到直线l 的距离222222181pk pk bh d kp k-+==++，相应给分）（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C hx x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积 只与2h 有关，将316ABC h S p ∆=中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p∆∆==⋅．……14分记3116ABCh a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C 与线段AB 所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a 的 无穷项和，此数列公比为14． 所以封闭图形的面积3114131214a h S a p ===-…………………………18分。