2019年《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.doc

微分几何课后习题答案微分几何课后习题答案微分几何是数学中的一个重要分支，研究的是曲线、曲面以及高维空间中的几何性质。

在学习微分几何的过程中，课后习题是巩固知识、提高理解能力的重要途径。

本文将针对微分几何课后习题给出一些答案，并解析其中的一些关键思路和方法。

一、曲线的参数化1. 给定曲线的参数方程为：x = t^2y = t^3求曲线的切向量和法向量。

解析：曲线的切向量是曲线在某一点上的切线的方向，可以通过对参数方程求导得到。

对x和y分别求导，得到：dx/dt = 2tdy/dt = 3t^2所以切向量为：T = (dx/dt, dy/dt) = (2t, 3t^2)曲线的法向量与切向量垂直，可以通过将切向量逆时针旋转90度得到。

所以法向量为：N = (-dy/dt, dx/dt) = (-3t^2, 2t)二、曲线的长度2. 计算曲线的长度：x = e^ty = e^(-t)解析：曲线的长度可以通过积分求解。

首先计算曲线的切向量：dx/dt = e^tdy/dt = -e^(-t)曲线的长度可以表示为：L = ∫√(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt= ∫√(e^t)^2 + (-e^(-t))^2 dt= ∫√(e^2t + e^(-2t)) dt这是一个积分问题，可以通过换元法解决。

令u = e^t，那么du = e^t dt。

将u代入上式，得到：L = ∫√(u^2 + u^(-2)) du= ∫√(u^4 + 1) du这是一个较为复杂的积分，可以通过换元法或者级数展开法求解。

三、曲面的法向量3. 给定曲面的参数方程为：x = u + vy = u - vz = u^2 - v^2求曲面的法向量。

解析：曲面的法向量可以通过对参数方程中的u和v分别求偏导得到。

对x、y、z分别对u求偏导，得到：∂x/∂u = 1∂y/∂u = 1∂z/∂u = 2u对x、y、z分别对v求偏导，得到：∂x/∂v = 1∂y/∂v = -1∂z/∂v = -2v所以曲面的法向量为：N = (∂z/∂u, ∂z/∂v, -∂x/∂u * ∂y/∂v + ∂y/∂u * ∂x/∂v) = (2u, -2v, 2)四、曲面的曲率4. 给定曲面的参数方程为：x = u^2y = v^2z = u + v求曲面的曲率。

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=r r r 138i j k -+rr r ．2．设f ()(sin )i j t t t =+r r r ，2g()(1)i j t t t e =++r r ，求0lim(()())t f t g t →⋅=r r 0 ．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰r ， {}64r()d =2,1,2t t -⎰r ，{}2,1,1a =r，{}1,1,0b =-r ，则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰r r rr r {}3,9,5-.4．已知()r t a '=r r （a r 为常向量），则()r t =r ta c +r r． 5．已知()r t ta '=r r ，（a r 为常向量），则()r t =r 212t a c +r r ．6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____.7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10. 曲线()r r t =r r 在t = 2处有3αβ=v v &，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠rr r ，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点.12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++r r r ，()(sin )(cos )g t t i t j =-r r r ，0t >，则40()d f g dt dt ⋅=⎰r r4cos 62-．13．曲线{}3()2,,t r t t t e =r在任意点的切向量为{}22,3,t t e ．14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =r在0t =点的切向量为{}0,,a a ．15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r在0t =点的切向量为{}0,,a b ．16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = .22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-r ，其中2,sin u t v t ==，则dr d t=r{}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=r，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ=r{}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+． 24．设(,)r r u v =r r 为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠r r r ，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G →r r是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．26．平面{}r(,),,0u v u v =r的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =r第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =229．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++．30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-r的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的平均曲率为 0 ．32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或． 33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II r r或．34.λ是主曲率的充要条件是0E LF MF MG Nλλλλ--=--．35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是22d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M vE F G F u G v M u N vL MN-++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则n n dn k dr k =-r r，其中是沿方向(d)的法曲率． 37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面∏上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为d ds du dsdv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 . 二、单项选择题1．已知{}(),,t t r t e t e -=r，则r (0)''r 为（ A ）．A. {}1,0,1；B. {}1,0,1-；C. {}0,1,1；D. {}1,0,1-.2．已知()()r t r t λ'=r r ，λ为常数，则()r t r为（ C ）．A. ta λr ；B. a λr； C. t e a λr ； D. e a λr .其中a r为常向量． 3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角；B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直．4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个；B ．只有一个；C ．只有两个；D ．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．.6. 已知{}r(,),,x y x y xy =r ，求(1,2)dr r为（ D ）．A. {}d ,d ,d 2d x y x y +；B. {}d d ,d d ,0x y x y +-；C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ；D. {}d ,d ,2d d x y x y +.7．圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =r的切线与z 轴（ C ）.A. 平行；B. 垂直；C. 有固定夹角4π； D. 有固定夹角3π. 8．设平面曲线:()C r r s =r r，s 为自然参数，αβr r ,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．A. αr 为单位向量；B. αα⊥r r &；C. k αβ=-r r &；D. k βατγ=-+r r r &.9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =r r不正确的是（ D ）．A. ()()k s s α=r &；B. ()()k s s ϕ=&，ϕ为()s αr 的旋转角；C. ()k s αβ=-⋅r &；D. ()|()|k s rs =r &. 11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件.12．下列论述不正确的是（ D ）．A. ,αβγr r r ,均为单位向量；B. αβ⊥r r ；C. βγ⊥r r ；D. αβrr P . 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 14．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． A. 垂直； B. 平行； C. 成3π的角； D. 成4π的角. 15．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（ C ）．A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=；B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=；C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=；D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=. 16．曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-r在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ B ）．A. 2135200x y z +-+=；B. 1834410x y z +--=；C. 756180x y z +--=；D. 1853160x y z +-+=.17．球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =r的第一基本形式为（ D ）．A. 2222(d sin d )R u u v +；B. 2222(d cosh d )R u u v +；C. 2222(d sinh d )R u u v +；D. 2222(d cos d )R u u v +.18．正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =r的第一基本形式为（ C ）．A. 22d d u v +；B. 22d d u v -； C 222d d u R v +； D. 222d d u R v -. 19．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（ B ）．A ． 21cosh cosh v v -；B ． 21sinh sinh v v -；C ． 12cosh cosh v v -；D ． 12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A ． 0E =；B ． 0F =；C ． 0G =；D ． 0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ． 0；B ． 1；C ．2；D ． 3．23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）． A ．B ．C ．D ． 24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ． 直线；B ． 平面曲线；C ． 抛物线；D ． 圆柱螺线． 三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数()r r t =r r 具有固定长度，则()()r t r t '⊥r r. √2. 向量函数()r r t =r r 具有固定方向，则()()r t r t 'r rP . √3. 向量函数()r t r关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t 'r . ×4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线. ×5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是圆柱螺线. √6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=rz -线是渐近线. √ 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． × 16. 曲面上的直线一定是测地线．√ 17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √ 四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解 旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--r 的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-r，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰r．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．解 由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+r，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+r，在原点，有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==r r，又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯r r r r r r r r r r r r r，r r r r γ'''⨯='''⨯r r r r r ，所以有αβγ===r r r . 3．圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r，①求基本向量,,αβγr r r； ②求曲率k 和挠率τ.解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-r ，{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--r，又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯r r r r r r r r r r r r r r r rr r}{}}sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a αβγ∴=-=--=-rr r②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='r r r 及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯r r有22a k a b =+，22b a b +=τ. 4．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的切平面和法线方程．解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r，切平面方程为cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u vu vb---=-，sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=r上任一点处的切平面与法线方程．解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--r， {}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-r ，312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=---r r r r r{}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=---∴ 球面上任意点的切平面方程为{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=， 法线方程为2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-r (){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--r所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos 10cos sin 0x a y z a t a t =a ta t------， 即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．解 参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+r ，{}1,0,2x r ax =r ，{}0,1,2y r ay =r，2214x x E r r a x =⋅=+r r，24x y F r r a xy =⋅=r r ，2214y y G r r a y =⋅=+r r ，2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．8．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一基本形式．解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r，1u u E r r =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=r r ，22v v G r r u b =⋅=+r r，2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．9．计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一、第二基本量．解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r，{}0,0,0uu r =r ，{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v b v b v u u v u v b⨯==--r r rr r，sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r -⨯==⨯r rr r r ， 1u u E r r =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+r r， 0uu L r n =⋅=r r ，uv M r n =⋅=r r ，0vv N r n =⋅=r r．10．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．解 设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+r，则{}1,0,2x r x =r ，{}0,1,2y r y =r ，{}0,0,2xx r =r ，{}0,0,0xy yx r r ==r r ，{}002yy r =r，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--r r r r r，2,2,1||x y x y r r x y n r r ⨯--==⨯r r rr r 214x x E r r x =⋅=+r r， 4x y F r r xy =⋅=r ， 214y y G r r y =⋅=+r r， xx L r n =⋅=r r ， 0xy M r n =⋅=r r， yy N r n =⋅=r r，222222222244441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，2232222124422(441)GL FM EN x y H EG Fx y -+++=⋅=-++． 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r的高斯曲率. 解 直接计算知1E =，0F =，22G u a =+，0L=，M =，0N =，222222()LN M a K EG F u a -∴==--+． 12. 求曲面2z xy =的渐近线.解 2z xy =，则2z p y x∂==∂，2z q xy y ∂==∂，220z r x ∂==∂，22z s y x y ∂==∂∂， 222z t x y ∂==∂ 所以，L =0， M =N =20=，化简得(2)0dy ydx xdy +=， 020dy ydx xdy =+=或 渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =r上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-r r2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+r r r r{}{}u vu v bsin v,bcos v,u bsin v,bcos v,u r r n r r bsin v,bcos v,u --⨯===⨯-r rr r r {}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--rr r，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+ 或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=+=+和14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-r在原点处沿任意方向的法曲率.解 {1,0,2},{0,1,2}==-r ru v r u r v ，22214,4,14==+==-=+r r rg u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰu vu v 2u,2v,1r r n r r -⨯==⨯r rr r ruu L n r ==r r g uv M n r 0,==r rg vv N n r ==r rg22=Ⅱ，n k =ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率.解 曲面方程即22{,,()},=+rr x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==r rx y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===r r rxx xy yy r a r r a ，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2a k 0002a k -=-，所以两主曲率分别为 12k k 2a == .16. 求曲面22{,,}r u v u v =+r在点(1,1)的主方向.解 {}u r =,u r 1,02,{},v r ,v r=01,2 2214,4,14E u F uv G v =+==+(1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1=0,L M N ===2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M === 代入主方向方程，得()()0du dv du dv +-=,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+r上的椭圆点，双曲点和抛物点．解 由23{,,},r u v u v =+r 得{}u r =,u r 1,02,{}2,v r ,v r=01,3{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v r r r0,02,0,00,0,06,0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点.18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+r上的抛物点的轨迹方程．解 由32(,){,,},r u v v u u v =+r 得{}u r =u,r 0,21,{}2,v r v ,r=30,1{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,r r r0,20,0,00,6,00,20,L M N ===令320LN M .-=得u =0 或v =0所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v r 30或{}0r=,u ,u r2.19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =r自然参数表示.解 由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =r 得{sin ,cos ,}r a t a t b '=r-，()r t '=r弧长0(),t s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sinr s a a =r20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为a a s r r=(),则主法线曲面为：r=a s v s ,βr r r ()+()则,a =a=α'r r r &,b ==-k βατγ'+r r r r &a b =k,''-r r g 2,22b =k +τ'r所以腰曲线是222a b k r=a s s =a s s k b ββτ'''r r r r g r r r r ()-()()+()+ 21．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．解 因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =，由2πθ=得d 0d s θ=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g u k u a==+． 五、证明题1. 设曲线：(s),r r =r r 证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅r r r r r &&&&&&&&⑴⑵ 证明 ⑴由伏雷内公式，得=k =-,αβγτβr r r r &&， 两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅r r r r && k =-.ταγ∴⋅r r &&⑵r=r==k ,ααβr r r r r &&&&， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴r r r r r r r r r r r &&&&&&& 2. 设曲线：(s),r r =r r 证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττr r r &&&&&&&&&&& 证明 由伏雷内公式，得r==k αβr r r &&&， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&323()(2)r =-kk +-k +k-k +k +k ατβττγr r r r &&&&&&&&&232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯r r r r r r r r r r &&&&&&&&&&&&&&&g3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγr r r r r &&&&&g33432=-k k +k k +k τττ&&&3()=k k -k ττ&& 3. 曲线Γ:()r r s =r r 是一般螺线，证明1:r R ds αβΓ=-⎰r r r也是一般螺线（R 是曲线Γ的曲率半径）．证明 1r R ds αβ=-⎰r r r，两边关于s 微商，得11ds R R ds αααβ=+-r r r r &&1R R R αββ=+-r r r &R α=r &，1αα∴r r P ，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰r是常数）是一般螺线．证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=r(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-r2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-r，,(r r a t ϕ''''⨯=r r 32()()r r r a b t ϕ'''''''=-r r r ,,，322(),r r ak t a b r ϕ'''⨯'==+'r rr ()222(),r r r b t a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯r r r r r ,, k abτ∴=- . 5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明 测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯r r r r r (,,)k n k n αβγ==⋅r r r r rsin k .θ=± (θ是主法向量βr 与法向量n r的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=r r，222n g k =k +k .∴6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r的切向量与曲线的位置向量成定角．证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r，该点切线的切向量为：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+r，则有：2cos 2t r r r r θ'⋅==='r r r r ，故夹角为4π. 由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若r 'r 和r ''r对一切t 线性相关，则曲线是直线．证明 若r 'r 和r ''r对一切t 线性相关，则存在不同时为0的(),()f t g t 使()()()()0f t r t g t r t '''+=r r r，则,()()0, t r t r t '''∀⨯=r r r又3()r r k t r '''⨯='r r r ，故t ∀有()0k t =.于是该曲线是直线．8． 证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．证明 由题意有 {}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--r r，由()()r r r r r r r r rβ''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯r r r r r r r r r r知{}cos ,sin ,0t t β=--r . 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =r ，而0a β⋅=r r ，故a β⊥r r，即主法线与z 轴垂直． 9．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点．证明 由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-r，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边， 故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程.证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-r，{}34210,2r +t,t t '=-+-r ，{}410,2r ,''=-r ，{}00,0r ,'''=r (,,)0r r r ,''''''=r r r0τ=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-r ， {}(0)410,2r ,''=-r密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－， 化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明 设曲线方程()r r s =r r，定点的向径为0R v ，则0()()r s R s λα-=r r r两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+r r r r r &&&(1())()0s s k λαλβ--=r r r & 由于,αβr r 线性无关，∴100k λλ⎧-⎨⎩&＝＝∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 ()r r t =r r，则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=r r r r因任一点的密切平面过定点，所以((),(),())0o r t r t r t '''-=r r r r , 即 ((),(),())0r t r t r t '''=r r r所以 ()r r t =r r 平行于固定平面， 所以 ()r r t =r r是平面曲线.13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ρ，证明曲线是直线或平面曲线.证明 根据已知条件，得0.............e α⋅=r r①，①两边求导，得 0e α⋅=r r &，由伏雷内公式得 0k e β⋅=r r ，ⅰ)0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅=r r 又有①可知 γr ‖e r因e r是常向量，所以γr 是常向量，于是 ||||0,τγ==r&所以0τ= ，所以曲线为平面曲线. 14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 γγ±rr１２＝ , 21ds ds γγ±gg r r １２＝由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±v v １２２＝12ββ∴±r r = 进而12αα=±r r15. 证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =r r，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+r r r 取(),()a r s b s β==r r r r，则(),()k a s b s αβατγ''===-g r r r r r r＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠r rr r r r r r r r r r r ＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =r r，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+r rr取(),()a r s b s γ==r r r r ，则(),()a s b s αγτβ''===-g r r r r r所以, (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠r rr r r r ，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. 17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线r r(s),r r ＝则曲线的主法线曲面为r r s +v s βr r r=()() ,s r v k vk v αατγατγ++r r r r r r =+（-）=(1-) ()v r =s βrr ,s v s v r r n=r r ⨯⨯r r r rr r r （1-）- 沿曲线（v ＝0）n=γr r ，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线. 18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=r沿每一条直母线只有一个切平面.证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r r rr au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0ϕθϕθ'=r r r）, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明.19. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证Γ是一平面曲线.证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0，则cos γθr rg 0ｎ＝ 两边求微商，得 0γγg g r r r rg g ｎ＋ｎ＝由于曲线Γ是曲率线，所以αg r rP ｎ，进而0γg r r gｎ＝，由伏雷内公式得0τβr r g －ｎ＝ ⑴0τ＝时，Γ是一平面曲线⑵n 0βv v g ＝，即n β⊥vv ，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=v v v 即n v是常向量，所以Γ是平面曲线. 20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明 设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r，则{}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r， {}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=r r，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证明 由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k*n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s （）221in cos k θθ=222s +k所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明 因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±r rn从而(),κατγ=±-+r r r &n又因为曲线是平面曲线，所以0,τ= 进一步n κα=±r r &.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线. 23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.证明 曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+rx =常数,y =常数是两族坐标曲线.{1,0,}x r f '=r,{0,1,}y r g '=r . {0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ''''===r r r因为0xy r r M r ⨯==r r r,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网.24．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．证明 参数表示为{}(,),,r x y x y xy =r，则{}1,0,x r y =r ，{}0,1,y r x =r ，{}0,0,0xx r =r ，{}0,0,1xy r =r ，{}0,0,0yy r =r，{},,1x y r r y x ⨯=--r r，,,1||x y x y r r y x n r r ⨯--==⨯r r r r r 0xx L r n =⋅=rr ， xy M r n =⋅=r r，0yy N r n =⋅=r r，222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++，故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的． 证明 设球面的参数表示为 {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =r，则 {}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-r ，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--r， {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--r ，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-r r，{}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---r，22cos u u E r r R v =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=r r ，2v v G r r R =⋅=r r，2cos L R v ==-r r r，0M ==r r r，N R ==-r r r ，1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-，故球面是全脐的． 26．证明平面是全脐的．证明 设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =r，则 {}1,0,0x r =r ，{}0,1,0y r =r ，{}0,0,0xx r =r ，{}0,0,0xy r =r ，{}0,0,0yy r =r，1x x E r r =⋅=r r ，0x y F r r =⋅=r r ，1y y G r r =⋅=r r，0xx L r n =⋅=r r ，0xy M r n =⋅=r r ，0yy N r n =⋅=r r(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．27．证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点．证明 曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+r，则{}2/3131,0,()x r x y -=+r ， {}2/3130,1,()y r x y -=+r ， {}5/3230,0,()xx r x y -=-+r ，{}5/3290,0,()xy r x y -=-+r ， {}5/3290,0,()yy r x y -=-+r ， {}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+r r ， ||x y x y r r n r r ⨯=⨯r r r r r ， {}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅r r r ，{}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅r r r ， {}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅r r r 20LN M ⇒-=，∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．28．求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r是极小曲面．证明 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v a =-r， {}0,0,0uu r =r ，{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a ⨯==--r r rr r，sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r -⨯==⨯r rrr r ， 1u u E r r =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=，22v v G r r a u =⋅=+r r，0uu L r n =⋅=r r ，uv M r n =⋅=r r 0vv N r n =⋅=r r，21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面．29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =r上的纬线是测地线．证明 由{cos ,sin ,},r a u a u v =r{sin ,cos ,0}u r -a u a u =r ，{0,0,1}v r =r，2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=，纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴= 所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点． 证明 1202k k H +==Q ， 12k k ∴=-， 21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，120k k ==， ∴极小曲面的点都是平点； 当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.证明 (1) 因为曲线是测地线，所以0=g k ， 曲线又是渐近线，所以，0=n k ，而222=+n g k k k ，所以k=0，故所给曲线是直线. (2) 证法1因曲线是测地线，所以沿此曲线有βr r P n ，所以βr r &P dn ，又曲线是曲率线，所以αrr r P P dn dr ，所以(k )ατγα-+r r rP ，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.证法2因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n nβαv r r v &P P 而γαβ=⨯r r r ，所以,n γα=±⨯r r r 从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=r r r r r r r r r &&&，又γτβ=-r r&，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.。

习题答案 2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z 上，命(0,0,1)N ，(0,0,1)S . 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v ，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p . (1) 证明：点p 的坐标是2221u xuv，2221v yuv，222211u v zuv，并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示；(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；(4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op . 如图，,,N p p 三点共线，故有tR 使得(1)OptOpt ON .(1)由于21Op ON ，222uv Op，0Op ON，0t，取上式两边的模长平方，得222/(1)tuv. 从而22222222221,,111uvu v uvuvuv，2(,)u v R .(2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)rOptNp ON t u v tu tv t ，又2()dtt uduvdv ，所以2(,,1)(1,0,0)ur t u u v t ，2(,,1)(0,1,0)vr t v u v t ，22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r. (3)因此(,)r r u v 给出了2{}SN 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v 是,S p 两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Opt Oqt OS t u t v t ，222/(1)t uv，22222222221(,,),,111u v u vr x y z Opuvuvuv ，2(,)u v R .(4)2(,,1)(1,0,0)ur t u u v t ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t ，22222(,,1())(,,1)0t t u t v t uv t t u t v tt r. (5)因此(4)给出了2{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1uv uv ，从而上面两种正则参数表示在公共部分2{,}S N S 上的参数变换公式为22uuuv，22v vuv. (6)由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v tuvuv .所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v ，则上面的参数变换可写成1/w z . 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2{}SN 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2{}SS 上采用正则参数表示则在公共部分的参数变换公式为22uuu v，22v vuv. (4)由于22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v ，所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z abc和双曲抛物面22222x y zab作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u ，(0,2)u 为准线. 设直母线的方向向量为()(),(),()l u aX u bY u cZ u . 则直纹面的参数方程为(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b uvY u cvZ u . 由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1uvX u u vY u vZ u ，v R.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u ，222()()()X u Y u Z u .因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u . 取()sin ,cos ,l u a u b u c 得(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a uv u b u v u cv ，(,)(0,2)u v R .(2) 对双曲抛物面，令()xa uv ，()yb uv ，则2zuv. 曲面的参数方程为(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v ，2(,)u v R .p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面它的所有法线都经过一个固定点.证明. “”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R. 则有22((,))r u v a R ，,u v D . (1) 微分可得()0u r ra ，()0v r ra . (2) 所以()//uv ra r r ，从而uv rar r ，即有函数(,)u v 使得(,)(,)[(,)][(,)]u v ar u v u v r u v r u v .(3)这说明球心a 在它的所有法线上.“”设S 的所有法线都经过一个固定点a. 则有函数(,)u v 使得(3)式成立，即有u v rar r . 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d ra ，从而(1)式成立，其中0R (否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v ，(()0)f v .因为()sin ,cos ,0ur f v u u ，()cos ,()sin ,()vr f v u f v u g v ，()()cos ,()sin ,()uvr r f v g v u g v u f v ，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v .由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s sk ，并且()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,01uv f v uf v ug v f v g v u g v uf v r r r k ，所以L 与N共面. 如果L 与N处处平行，则()//uv r r k ，从而()0g v . 此时S 是垂直于z 轴的平面()zg v c . 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“”通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v ，(,)u v D .由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)uvu v y z x z x y r r u v u v u v (0,0,1)，00(,)u v D . 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ，00(,)(,)(,)u v x z u v 不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v . 通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v ，(,)u v D .(1)于是,1,0uu r x ，,0,1vv r x ，1,,u v u v r r x x .因为所有法线都与z 轴相交，0,,uv r r r k，即有0uxx u. 这说明22xu 是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()xuf v ，其中()0f v . 作参数变换()cos ,uf v vv . 由上式得()sinxf v ，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r v f v f v v .这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z 绕z 轴旋转而得.□5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v ，:2,tC ut ve 是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来；(2)证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角. (1)解.C 的参数方程为cos(2),sin(2),cos(2),sin(2),1ttttre e t e t et t .C 的切向量为(2)证明.因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)uvr v u v u r u u ，在曲线C 上每一点t 处，(2,)sin(2),cos(2),0ttu r t e et t ，(2,)cos(2),sin(2),1tv r t e t t .由上可知2t e r. 所以2221cos (,)22tu u t ur r e r r r e r ，(,)4u r r ；21cos (,)222tvv t vrr er r r e r ，(,)(,)4v u r r r r . □p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a ruvauvauva.求它的第一基本形式.解. 记2222/()tu v a . 则(,,)(0,0,1)r at u v a ，2ut ut ，2v t vt ，(,,)(1,0,0)uu r at u v a at ，(,,)(0,1,0)vv r at u v a at .所以22222222222222224()2()u u u a E r a t uva a t t ua ta tuva ，222222()0uv u v u vF r r a t tuva a t t v a t t u ，22222222222222224()2()vv v a G r a t uva a t t va ta tuva ，从而2222222224I()()a EduGdvdudv uva .5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v duQ u v dudv R u v dv (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交函数,,P Q R 满足20ERFQGP，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明.由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()PduQdudv RdvA duB dv A du B dv . (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12PA A ，12212Q A B A B ，12RB B .(3) 由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dvB A ，22::u vB A .(4)这两个切方向彼此正交()Edu u F du v dv u Gdv v (课本(3.18)) 12121212()0E B B F B A A B G A A(由(4)式) 20ERFQGP.(由(3)式)□8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()duu a dv .(1) 求曲线1:0C u v与2:0C uv的交角；(2) 求曲线21:C u av ，22:C u av 和3:1C v 所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av ，2:C u av 和3:1C v所围成的曲边三角形的面积.解. (1) 已知221,0,E FGua . 因为交点为(,)(0,0)u v . 在交点处2Ga .对于1C ，dudv ；对于2C ，uv. 所以它们的切方向,dr r 满足2222222221cos (,)1dr r du u a dv v adr r adrrdua dvuav.于是它们的交角为221arccos1aa，或221arccos1a a.(2) 不妨设常数0a. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，2C 与3C 的交点为(,1)B a .因为是计算内角，在O 点20,0du avdvdv . 同理，0,0uv，所以内角0O .在A 点220du avdv adv ，0,0uv，所以222222cos 6()dr r du uAdr r duua dvu.在B 点220duavdv adv ，0,0u v，222222cos 6()dr r du u Bdrrduua dvu.所以0O，arccos 2/3AB.曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为11222224120()()41()C L C duua dv avvdvL C ，322223()()2a C a L C duua dv du a.注.在90版中，本题为212:a C u v ，222:a C uv ，3:1C v，故1112222242711242600()()1(2)()a C L C duua dva vvdvv dv aL C ，3/222223/2()()a C a L C duu a dvdu a.(3) 因为22d ua dudv ，所以曲边三角形的面积p. 110 习题3.4 1. 设空间曲线()rr s 以弧长s 为参数，曲率是. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s 的Frenet 标架是;,,r . 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s ts . 由sR t，t R 可得它的第一基本形式2222I(1())2ts dsdsdtdt . (1)直母线(即t -曲线)0s的正交轨线的微分方程为0ds dt，即()0d st . 为此，作参数变换u s ，v s t . 则逆变换为s u ，t v u ，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u u .在新参数下，(,)()()()()()()()()u R u v u u v u u u v u u u ，(,)()v R u v u . 第一基本形式化为2222I()()v u u dudv .所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将su ，t vu 直接代入(1)式得到上式：22222222I [1()()]2()()()()v u u du du dv du dvdu v u u dudv .3. 求曲线(cos sin ,sin cos ,)r v u k u v u k u ku 的参数曲线的正交轨线，其中0k 是常数.解.(sin cos ,cos sin ,)ur v u k u v uk u k ，(cos ,sin ,0)v r u u . 第一基本形式为2222I (2)vk dukdudvdv .u -曲线0v 的正交轨线的微分方程为0EduFdv，即22(2)0vk dukdv .解这个微分方程：2222111arctan222221v kv v kdv dud dvkkk，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为002tan 2()vk u u v .v -曲线0u 的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv，即kdudv. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k uu v .p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)ra t a t at ，(,)(0,2)t R与正螺面(cos ,sin ,)rv u v u au ，(,)(0,2)u v R之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为2222cosh ()a t dtd . 正螺面的第一基本形式为222222()dvav dua v .对正螺面作参数变换，令,sinh uva t . 则(,)cosh 0(,)u v a tt ，参数变换是可允许的. 由于222,cosh 1sinh du d dva tdta tdtav dt ，正螺面的第一基本形式化为222222222122I ()cosh ()I dv av a t ddt duav.根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t . □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) 2234233,2,vu v r uuuv u；(2) cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v uv v uv ；(3) (),(),2ra uv b uv uv ；(4) cos ,sin ,sin 2ru v u v v .解. (1) 234236()(),2,1,3,2v v u ra u au u u uu u.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线234(),2,a u u u u(0u )的切线面.(2) ()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v vv v ，其中()cos ,sin ,a v v v v 是圆柱螺线，u u v. 所以它是可展曲面.(3)令(),,0a u au bu ，(),,2l u a b u .则()()ra u v l u ，直接计算得2(),(),()ab a u l u l u .当0ab 时，它是马鞍面，0(),(),()a u l u l u ，所以不是可展曲面.当0a 或0b 时，它是平面，所以是可展曲面.当0a且0b 时，它不是正则曲面.(4)令()0,0,sin 2a v v ，()cos ,sin ,0l v v v . 则()()r a v u l v . 由于2cos20,,va l l，它不是可展曲面.□2. 考虑双参数直线族xuz v ，33uyvz，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x vyu z L u v u v.设所求的函数关系为()vf u . 则得到一个单参数直线族(,())uL L u f u ，它们构成的直纹面S 的方程为3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u .于是S 是可展曲面222200()1210f u ufufu f u c u f f ，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22uvc .(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u ，其中3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ，2()(/2)f u u c .由于()()0,1,l u l u f uff，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u 使得()()()a u t u l u c ，其中c 为常向量.于是2,,at ltlfutt uf tt f t ，从而0t，0tt 是常数. 由此得00ut ，矛盾. 因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ，其中1. 则2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u .取新的准线23()()(),,26u ub u a u ul uc cu u .则22()(),,,,122uu b u l u u c u c .于是S 的参数方程为()()()()()()()()rb u ut l u b u ut b u b u t b u ，其中(,)(,)u t u ut 是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,，Frenet 标架为;,,a .它的主法线族生成的直纹面是1:()()S ra s t s . 因为()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ，所以1S 不是可展曲面. 同理，由可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S ra s t s 不是可展曲面. □。

§ 6.1 测地曲率1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。

证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()}r f v u f v u g v =，22222()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++，222(),()()E f v G f v g v ''==+纬线即u—曲线：0v v =（常数），其测地曲率为2'2'21ln 1ln 22u g E f k v v G f g∂∂=-=-∂∂+ 0'2'2000'()()()()f v f v f vg v =-+为常数。

2、证明：在球面S(cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =，,0222u v πππ-<<<< 上，曲线C的测地曲率可表示成()()sin(())g d s dv s k u s ds dsθ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程，s是曲线C 的弧长参数，()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲线）之间的夹角。

证明 易求出2E a =, 0F =,22cos G a u =,因此1ln 1ln cos sin 22g d E G k ds v u G Eθθθ∂∂=-+∂∂221ln(cos )sin 2d a u ds a uθθ∂=+∂sin sin cos d u ds a uθθ=-，而11sin sin cos dv dsa u Gθθ==，故 sin gd dv ku ds dsθ=-。

3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是(()()()()()())g k g Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，其中s是曲线C 的弧长参数，2g EG F =-，并且12112111222(())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ，22222111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ特别是，参数曲线的测地曲率分别为2311(())u g k g u s '=Γ，1322(())vg kg v s '=-Γ 。

《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）第一章1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos =36 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积⨯=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=04．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为21131--=-=+z y x 5．计算232lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ．6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)tt t e =++g i j ，求0lim(()())t t t →⋅=f g 0 ．7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2t u =，t v sin =，则d d t=r(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =ϕ，2t =θ，则d (,)d tϕθ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+ 9．已知42()d (1,2,3)t t =-⎰r ，64()d (2,1,2)t t =-⎰r ，求4622()d ()d t t t t ⨯+⋅⋅=⎰⎰a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r212t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4d()d d t t ⋅=⎰f g 4cos 62-． 第二章13．曲线3()(2,,)tt t t e =r 在任意点的切向量为2(2,3,)tt e14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b16．设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x 17．设有曲线tt t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x 第三章18．设(,)u v =r r 为曲面的参数表示，如果u v ⨯≠r r 0，则称参数曲面是正则的；如果:()G G →r r 是 一一的 ，则称参数曲面是简单的．19．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．(坐标网;易;3分钟) 20．平面(,)(,,0)u v u v =r 的第一基本形式为22d d u v +，面积元为d d u v21．悬链面(,)(cosh cos ,cosh sin ,)u v u v u v u =r 的第一类基本量是2cosh E u =,0F =,2cosh G u = 22．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =223．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++． 24．双曲抛物面(,)((),(),2)u v a u v b u v uv =+-r 的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++25．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的平均曲率为 0 ．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟） 26．方向(d)d :d u v =2227．两个方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(d ,δ)0=II r r 或d δ(d δd δ)d δ0L u u M u v v u N v v +++= 28．函数λ是主曲率的充要条件是0E LF MF MG Nλλλλ--=--29．方向(d)d :d u v =是主方向的充要条件是d d d d 0d d d d E u F vL u M vF uG v M u N v++=++30．根据罗德里格定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则d d n κ=-n r ，其中n κ是沿(d)方向的法曲率 31．旋转极小曲面是平面 或悬链面 第四章32．高斯方程是k ij ij kij kL =Γ+∑r rn ，,1,2i j =，魏因加尔吞方程为,kj i ik i j kL g =-∑n r ，,1,2i j =33．ijg 用ij g 表示为221212111()det()ij ij g g g g g g -⎛⎫=⎪-⎝⎭． 34．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线()C 在P 点的测地曲率的绝对值等于()C 在P 点的切平面∏上的正投影曲线()C *的曲率35．,,g n κκκ之间的关系是222g n κκκ=+．36．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ．37．测地线的方程为22,d d d 0,1,2d d d k i jk ij i ju u u k s s s +Γ==∑ 38．高斯-波涅公式为1d d ()2kgii GGK s σκπαπ=∂++-=∑⎰⎰⎰39．如果G ∂是由测地线组成，则高斯-波涅公式为1d ()2kii GK σπαπ=+-=∑⎰⎰．二、单选题第一章40．已知(1,0,1)=--a ，(1,2,1)=-b ，则这两个向量的内积⋅a b 为（ C ）．（内积；易；2分钟） A 2 B 1- C 0 D 141．求过点(1,1,1)P 且与向量(1,0,1)=--a 平行的直线的方程是（ A ）．（直线方程；易；2分钟）A ⎩⎨⎧==1y z x B 1321+==-z yxC 11+==+z y xD ⎩⎨⎧==1z yx42．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)=-=-=a b c ，则混合积为（ D ）．（混合积；较易；2分钟） A 2 B 1- C 1 D 2-43.已知()(,,)ttt e t e -=r ，则(0)''r 为（ A ）．（导数；易；2分钟） Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)44．已知()()t t λ'=r r ，λ为常数，则()t r 为（ C ）．（导数；易；2分钟） Ａt λa Ｂ λa Ｃ t e λa Ｄ e λa上述a 为常向量．45.已知(,)(,,)x y x y xy =r ，求d (1,2)r 为（ D ）．（微分；较易；2分钟） Ａ (d ,d ,d 2d )x y x y + Ｂ (d d ,d d ,0)x y x y +- 第二章46．圆柱螺线(cos ,sin ,)t t t =r 的切线与z 轴（ C ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟) Ａ 平行 Ｂ 垂直 Ｃ 有固定夹角4π Ｄ 有固定夹角3π47．设有平面曲线:()C s =r r ，s 为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（C ）． Ａ α为单位向量 Ｂ ⊥αα Ｃ κ=-αβ Ｄ κ=-βα 48．直线的曲率为（ B ）．（曲率；易；2分钟）Ａ –１ Ｂ ０ Ｃ １ Ｄ ２49．关于平面曲线的曲率:()C s =r r 不正确的是（ D ）．（伏雷内公式；较易；2分钟） Ａ()()s s κ=α Ｂ ()()s s κϕ=，ϕ为()s α的旋转角Ｃ ()s κ=-⋅αβ Ｄ ()|()|s s κ=r50．对于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（ D ） ．（曲率；易；2分钟) Ａ 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件 Ｃ 既不充分也不必要条件 Ｄ 充要条件 51．下列论述不正确的是（ D ）．（基本向量；易；2分钟） Ａ α,β,γ均为单位向量 Ｂ ⊥αβ Ｃ ⊥βγ Ｄ //αβ52．对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（ D ） ．（曲率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 53．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（ D ）．（挠率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 54．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． Ａ 垂直 Ｂ 平行 Ｃ 成3π的角 Ｄ 成4π的角 第三章55．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（C ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z ϕθϕθϕ=B (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b ϕθϕθϕ=C (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b c ϕθϕθϕ=D (,,)(cos cos ,sin cos ,sin 2)x y z a b c ϕθϕθθ=56．以下为单叶双曲面2222221x y z a b c+-=的参数表示的是（D ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh sin ,cosh cos ,sinh )x y z a u v b u v u =B (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =C (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =57．以下为双叶双曲面2222221x y z a b c+-=-的参数表示的是（A ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =B (,,)(cosh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =C (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =58．以下为椭圆抛物面22222x y z a b+=的参数表示的是（B ）．（参数表示；易；2分钟）A 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z u v u v =B 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z au v bu v =C 2(,,)(cosh ,sinh ,)2u x y z au v bu v = D (,,)(cos ,sin ,)x y z a v b v v =59．以下为双曲抛物面22222x y z a b-=的参数表示的是（C ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh ,sinh ,)x y z a u b u u =B (,,)(cosh ,sinh ,)x y z u u u =C (,,)((),(),2)x y z a u v b u v uv =+-D (,,)(,,)x y z au bv u v =-60．曲面2233(,)(2,,)u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为（B ）．（切平面方程；易；2分钟）A 2135200x y z +-+=B 1834410x y z +--=C 756180x y z +--=D 1853160x y z +-+=61．球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R u v R u v R u =r 的第一基本形式为（D ）．（第一基本形式；中；2分钟）A 2222(d sin d )R u u v + B 2222(d cosh d )R u u v +C 2222(d sinh d )R u u v +D 2222(d cos d )R u u v +62．正圆柱面(,)(cos ,sin ,)u v R v R v u =r 的第一基本形式为（ C ）．（第一基本形式；中；2分钟）A 22d d u v +B 22d d u v -C 222d d u R v +D 222d d u R v -63．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（B ）．（弧长；中；2分钟）A 21cosh cosh v v -B 21sinh sinh v v -C 12cosh cosh v v -D 12sinh sinh v v -64．设M 为3R 中的2维2C 正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A 0E =B 0F =C 0G =D 0M = 65．以下正确的是（ D ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A d (d )=n rB d (d )u =n rC d (d )u v =n r D d (d )=-n r66．以下正确的是（ C ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟） A (d ,(δ))(d ,δ)=-I r r II r r B (d ,(δ))((δ),d )=-I r r I r r C (d ,(δ))((d ),δ)=I r r I r r D (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r67．以下正确的是（A ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟） A (d ,(δ))(d ,δ)=I r r II r r B (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r C (d ,(δ))((d ),δ)=-I r r I r r D (d ,(δ))((d ),δ)=II r r II r r68．高斯曲率为常数的的曲面叫（C ）．（高斯曲率；易；2分钟） A 极小曲面 B 球面 C 常高斯曲率曲面 D 平面 第四章 B 69．,___________ijji i jgg =∑．（第一基本形式；易；2分钟） A 1 B 2 C 0 D -1 B 70．______j kjl jgδ=∑．（第一基本形式；易；2分钟） A kj g B kl g C ki g D ij g A 71．________kij Γ=．（克氏符号；较易；2分钟）A 1()2jl ijkl il j il i g g g g u u u ∂∂∂+-∂∂∂∑ B 1()2jl ijkl il j i l ig g g g u u u ∂∂∂--∂∂∂∑C1()2jl ij kl il j i l i g g g g u u u ∂∂∂++∂∂∂∑ D 1()2jl ijkl il j i l ig g g g u u u ∂∂∂-+∂∂∂∑ A 72．曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于_____．A 0B 1C 2D 3B 73．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为_____．（刘维尔定理、测地曲率；中；4分钟）ABCD A 74．如果测地线同时为渐进线，则它必为_____．（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟） A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线B 75．在伪球面(1)K ≡-上，任何测地三角形的内角之和____．（高斯-波涅定理；中；4分钟）A 等于πB 小于πC 大于πD 不能确定三、多选题第一章76.若()((),(),()),1,2,3i i i i t x t y t z t i ==r 为向量函数，则下列论述正确的是（ AD ） ．（导数；易；4分钟）Ａ 1111()((),(),())t x t y t z t ''''=r Ｂ 1111111111()((),(),())((),(),())((),(),())t x t y t z t x t y t z t x t y t z t ''''=++r Ｃ 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''''=r r r r r r Ｄ 123((),(),())t t t 'r r r 123123123((),(),())((),(),())((),(),())t t t t t t t t t '''=++r r r r r r r r r Ｅ 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''=r r r r r r77．m,n 为常向量，()t r 为向量函数，则下述正确的是（ ABC ）．（积分的性质；中；4分钟）Ａ()d ()d bbaat t t t ⋅=⋅⎰⎰m r m r Ｂ ()d ()d bbaat t t t ⨯=⨯⎰⎰m r m rＣ(,,())d ()()d bbaat t t t =⨯⎰⎰m n r m n r Ｄ (,,())d ()()d bbaat t t t =⋅⎰⎰m n r m n rＥ(,,())d ()()d bbaat t t t =⨯⨯⎰⎰m n r m n r第二章78．下列曲线中为正则曲线的有（ACDE ）。

微分⼏何练习题库及参考答案（已修改）《微分⼏何》复习题与参考答案⼀、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0lim(()())t f t g t →?=0．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -?，{}64r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则46()()a r t dt+b a r t dt={}3,9,5-.4526.贴近”空间曲线的直线和平⾯分别是该曲线的___切线___7.曲率恒等于零的曲线是_________________.8.9.切线（副法线）和固定⽅向成固定⾓的曲线称为⼀般螺线3αβ=，则曲线在0≠，则(,u v 12．()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ．曲线{()cosh r t a =曲线{()cos r t a =设曲线:C x e =17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线⽅程为11-==-z y x . 18.曲⾯的曲纹坐标⽹是曲率线⽹的充要条件是____F =M =0_______________.19.u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分⽅程是_____E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20.在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是⽅向(d)与u －曲线的夹⾓.21.曲⾯的三个基本形式,,I II III 、⾼斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I =. 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则dr(,)d tθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+．24．设(,)r r u v =为曲⾯的参数表⽰，如果0u v r r ?≠，则称参数曲⾯是正则的；如果:()r G r G →是⼀⼀对应的，则称曲⾯是简单曲⾯．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标⽹为正规坐标⽹． 26．平⾯{}r(,),,0u v u v =的第⼀基本形式为22d d u v +，⾯积微元为d d u v ．27．悬链⾯{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第⼀基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 2829224)d b v u +31{cos ,u v =32(d)d :d u v =和34.是主曲率的充要条件是35. 根据罗德⾥格斯定理，如果⽅向n n dn k dr k =-，其中是沿⽅向37旋转曲⾯中的极⼩曲⾯是平⾯或悬链⾯．38．测地曲率的⼏何意义是曲⾯S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平⾯?上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲⾯上存在直线，则此直线的测地曲率为0． 41．正交⽹时测地线的⽅程为d ds du ds dv dsθθθ． 42．曲线是曲⾯的测地线，曲线(C )上任⼀点在其切平⾯的正投影曲线是直线. ⼆、单项选择题12其中a 为常向量．3.是⼀般螺线，以下命题不正确的是（．切线与固定⽅向成固定⾓；4.5．曲率线；C ．法截线； 6.(1,2)dr 为（C.{d -d ,d x y x d ,d ,2d x y x +7圆柱螺线{cos ,sin r t =8C ）．A.α为单位向量；B.αα⊥；C.k αβ=-；D.k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（B ）．A.-1；B.0；C.1；D.2.10．关于平⾯曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（D ）．A.()()k s s α=；B.()()k s s ?=，?为()s α的旋转⾓；C.()k s αβ=-?；D.()|()|k s r s =.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D ）．A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件. 12．下列论述不正确的是（D ）．A.,αβγ,均为单位向量；B.αβ⊥；C.βγ⊥；D.αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A.充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 56x y z +--球⾯{(,)r u v R =2(d sinh d u u v +正圆柱⾯{(,)r u v R =在第⼀基本形式为的曲线段的弧长为（B ）．A ．21cosh cosh v v -；B ．21sinh sinh v v -；C ．12cosh cosh v v -；D ．12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲⾯，则M 的参数曲线⽹为正交曲线⽹的充要条件是（B ）．A ．0E =；B ．0F =；C ．0G =；D ．0M =． 21．⾼斯曲率为零的的曲⾯称为（A ）．A ．极⼩曲⾯；B ．球⾯；C ．常⾼斯曲率曲⾯；D ．平⾯．22．曲⾯上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．A．0；B．1；C．2；D．3．23．当参数曲线构成正交⽹时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．；B．AC．A．直线；B．平⾯曲线；C．抛物线；D．圆柱螺线．1.2.()r t.√r t'.×3.()r t关于t的旋转速度等于其微商的模()4.的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线5.的曲率、挠率都为⾮零常数，则曲线是圆柱螺线6.7.8.两个曲⾯间的变换等⾓的充要条件是它们的第⼀基本形式成⽐例9.16.19.坐标曲线⽹是正交⽹的充要条件是0F=，这⾥F是第⼀基本量.√20.⾼斯曲率恒为零的曲⾯必是可展曲⾯.√21.连接曲⾯上两点的所有曲线段中，测地线⼀定是最短的.×22.球⾯上的圆⼀定是测地线.×23.球⾯上经线⼀定是测地线.√24.测地曲率是曲⾯的内蕴量.√四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t ⼀段的弧长．解旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t ⼀段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===??．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．解由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t tt e te ''=---+，, r r r r β='''''??，r r γ='''，所以有22666333(0,,),(,,),(,,)223663αβγ==-=-. 3圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，}sin ,cos ,t a t b {}()cos ,sin ,0r t a t a t =--()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''?-??===''''''''②由⼀般参数的曲率公式3()r r k t r '''?='及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''b +4求正螺⾯{(,)r u v u =解{cos ,sin u r v =，{sin v r u =-cos v 法线⽅程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u-． 5．求球⾯{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ?θ?θ?θ?=上任⼀点处的切平⾯与法线⽅程．解{}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ??θ?θ?=--，{}cos sin ,cos cos ,0r a a θ?θ?θ=-，∴球⾯上任意点的切平⾯⽅程为即cos cos cos sin sin 0x y z a θ??θ??+?+?-=，法线⽅程为即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ?θ?θ?θ?θ?---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平⾯. 解(){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-(){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--所以曲线在原点的密切平⾯的⽅程为即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物⾯22()z a x y =+的第⼀基本形式．228求正螺⾯}(,,sin ,r u v u v bv 的第⼀基本形式． 1u r =，F 2v v r r u b ?=+．9．计算正螺⾯{cos ,u v u =}cos ,sin ,0v v ，{}sin ,cos ,u v u v b =-，}0,0,0，{}uv r =，{cos vv r u =-}cos sin cos ,sin cos u v i j k r r v v b v u v u v b=-{sin u v u v b r r n r r b u==+1u u E r r ==，0u v F r r ?=，G 0uu r n ?=，2uv M uN r =．计算抛物⾯z x =的⾼斯曲率和平均曲率．解设抛物⾯的参数表⽰为{}22(,),,r x y x y x y =+，则{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y==--，22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ?--==214xx E r r x =?=+，4x y F r r xy =?=，214y y G r r y =?=+，xx L r n =?=，0xy M r n =?=，yy N r n =?=，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++， 220=，G =x 求螺旋⾯{cos r u v =解u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-{}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--，L 0,M N 0===曲率线的微分⽅程为:2222dv dudv du 10u b =00-+或du bu dv 2积分得两族曲率线⽅程:14.求马鞍⾯22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意⽅向的法曲率. 解{1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v ，u v 2u v n r r 4u =?1=+Ⅱ，{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a ，代⼊主曲率公式，N2a 002a k=-，所以两主曲率分别为求曲⾯2{,,r u v u =解{u r =,u 1,02,{}v r ,v =01,2(1,1)(1,1)N =解由23{,,},r u v u v =+得{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点. 18.求曲⾯32(,){,,}r u v v u u v =+上的抛物点的轨迹⽅程．解由32(,){,,},r u v v u u v =+得{}u r =u,0,21,{}2,v r v ,=30,1令320LN M .-=得u =0或v =0所以抛物点的轨迹⽅程为{}r=v ,,v 30或{}0r=,u ,u 2. 19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =⾃然参数表⽰.解由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =得{sin ,cos ,}r a t a t b '=-，2()r t a '=弧长(),s t =?t =曲线的⾃然参数表⽰为(){sin r s a a =20.求挠曲线的主法线曲⾯的腰曲线.,=a=αb ==-k βατγ'+b =k,''-b '所以腰曲线是222b kr=a s s =a s s k bββτ'''()-()()+()+ 求位于正螺⾯cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线0x u av ==（0u =0u =，由2πθ=设曲线：(s),r r =证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=?⑵ =k =-,αβγτβ，两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ??⑵r=r==k ,ααβ，2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ设曲线：(s),r r =证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττ由伏雷内公式，得()r r s =是⼀般螺线，证明:r Γ．证明1r R ds αβ=-?，两边关于s 微商，得1αα∴，由于Γ是⼀般螺线，所以Γ也是⼀般螺线.4.证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ??=??是常数）是⼀般螺线．证明(){sin (),cos (),},r t a t a t b ??'=τ∴=-.5．曲⾯S 上⼀条曲线(C),P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明测地曲率()g k k k n βεβα=?=??(,,)k n k n αβγ==?sin k .θ=±(θ是主法向量β与法向量n 的夹⾓)法曲率cos n k k n k βθ=?=，6.证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =的切向量与曲线的位置向量成定⾓．证明对曲线上任意⼀点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，该点切线的切向量为：{t r e '=2t r r e ='由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定⾓．7证明：若r '和r ''()()()r t g t r t '''+=则 ,()t r t r '''??3r r r ''''，故t ?有()k t =8．证明圆柱螺线t a x =,cos 证明由题意有{}{()sin ,cos ,,()cos ,sin r t a t a t b r t a t a '''=-=--()()r r r r r r r r r β''''''''?-?=''''知{cos ,t β=-另⼀⽅⾯z 轴的⽅向向量为{}0,0,1a =9证明曲线y t a x ,sin 2==}2,cos2sin t a t t ，则任意点的法平⾯为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代⼊上述⽅程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边，故结论成⽴．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平⾯曲线，并求出它所在的平⾯⽅程. 证明{}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-，{}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=-，{}00,0r ,'''=(,,)0r r r ,''''''=0τ=，所以曲线是平⾯曲线.它所在的平⾯就是密切平⾯{}(0)32,0r ,'=-，{}(0)410,2r ,''=- 密切平⾯⽅程为12132004102x y z -=-－－－，化简得其所在的平⾯⽅程是2x +3y +19z –27＝0.11.证明如果曲线的所有切线都经过⼀个定点，那么它是直线.证明设曲线⽅程()r r s =，定点的向径为0R ，则())s λαλ-0λ＝曲线是直线.证明如果曲线的所有密切平⾯都经过⼀个定点，那么它是平⾯曲线取定点为坐标原点，曲线的⽅程为()r r t =，(),(),())0r t r t r t '''-=,即((),(),())0r t r t r t '''=所以平⾏于固定平⾯，所以()r r t =是平⾯曲线13.若⼀条曲线的所有法平⾯包含⾮零常向量e ，证明曲线是直线或平⾯曲线根据已知条件，得0.............e α?=①，0e α?=，由伏雷内公式得0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β?=⼜有①可知γ‖e因e 是常向量，所以γ是常向量，|||0,τγ==所以0，所以曲线为平⾯曲线设在两条挠曲线的点之间建⽴了⼀⼀对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平⾏，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平⾏证明γγ±１２＝,21ds ds γγ±１２＝由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴±=进⽽12αα=± 15.证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲⾯是不可展曲⾯.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其主法线曲⾯的⽅程是：()()r s t s ρβ=+取(),()a r s b s β==，则(),()k a s b s αβατγ''===-＋所以,(,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝所以挠曲线的主法线曲⾯不是可展曲⾯.16.证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲⾯是不可展曲⾯.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其副法线曲⾯的⽅程是：()()r s t s ργ=+取(),()a r s b s γ==，则(),()a s b s αγτβ''===-.s v s v =r r vk ?（1-）n=γ，所以主法向量与曲⾯的法向量夹⾓θcos 0,θ=沿每⼀条直母线只有⼀个切平⾯0()?θ+u 为直纹⾯(0,?所以，曲⾯可展，即沿每⼀条直母线只有⼀个切平⾯. 19.cos γθ0ｎ＝0γγｎ＋ｎ＝是曲率线，所以αｎ，进⽽0γｎ＝，由伏雷内公式得是⼀平⾯曲线⑵n 0β＝，即n β⊥，n kcos =0k θ=，⼜因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=即n 是常向量，所以Γ是平⾯曲线.20．求证正螺⾯上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明设正螺⾯的参数表⽰是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则{}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ??=?-=，故正螺⾯上的坐标曲线互相垂直．21.证明在曲⾯上的给定点处,沿互相垂直的⽅向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22.如果曲⾯上⾮直线的测地线Γ均为平⾯曲线，则Γ必是曲率线.证明因为曲线Γ是⾮直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±n从⽽(),κατγ=±-+n ⼜因为曲线是平⾯曲线，所以0,τ=进⼀步n κα=±.由罗德⾥格斯定理可知曲线的切线⽅向为主⽅向，故所给曲线为曲率线.23.证明在曲⾯()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭⽹.因为20xy M r EG F =?=-常数,y =常数构成共轭⽹．证明马鞍⾯z xy =上所有点都是双曲点．}，{0,0,0xx r =，{}0,0,1xy r ={},1x y r r x ?=-，{2|1x yx y r r y n r r x ?-==?++0xx r n =?=，2211xy M r n x y =?=++221001M y x -=?-=-++， {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =，则{}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--， {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-， {}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---，22cos u u E r r R v =?=，0u v F r r =?=，2v v G r r R =?=，2cosL R v==-，0M==，N R==-，1(,,)(,,)L M N E F GR∴=-，故球⾯是全脐的．26．证明平⾯是全脐的．证明设平⾯的参数表⽰为{} (,),,0r x y x y=，则{}1,0,0xr =，{}0,1,0yr =，{}0,0,0xxr =，{}0,0,0xyr =，{}0,0,0yyr =，1x xE r r=?=，0x yF r r=?=，1y yG r r=?=，}，{}0,0,r=，{0,0,yyr =-}),1x y+|x yx yr rnr r=，{}5/3290,0,()xxr n x y n-=?=-+?，{}5/3290,0,()xyM r n x y n-=?=-+?，{}5/3290,0,()yyr n x y n-=?=-+?20LN M-=，曲⾯3x y z+=的所有点为抛物点．．求证正螺⾯{} (,)cos,sin,r u v u v u v av=是极⼩曲⾯．证明{}cos,sinur v=，{sinvr u=-{0,0,0uur=，{sinuvr v=-}cos sin cos,sin cosu vi j kr r v v a v uv u v a=-sin,cos,||u vu va v a v ur rnr r-==1u uE r r=?=，0u vF r r=?=，22v vG r r a u=?=+，uuL r n=?=，uvM r n=?=0vvN r n=?=，21210,22EN FM GLHEG F-+∴=?==-故正螺⾯是极⼩曲⾯．29.圆柱⾯{cos ,sin ,}r a u a u v =上的纬线是测地线．证明由{cos ,sin ,},r a u a u v = 2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=+，纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴=所以，纬线是测地线．30．证明极⼩曲⾯上的点都是双曲点或平点．证明1202k k H +==，12k k ∴=-，21220K k k k ∴=?=-≤ 当0K =时，31.因曲线是测地线，所以沿此曲线有βn ，所以βdn ，⼜曲线是曲率线，所以αdn dr ，k )ατγα+，所以0τ=，故所给曲线是平⾯曲线. 因所给曲线既是测地线⼜为曲率线，所以沿此曲线有,,n βαγαβ=?，所以,n γα=±?从⽽()(0)0n n k n γααβ=±?+?=±-?+=，γτβ=-，所以τ。

习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '.(1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示；(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；(4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+-. (1)由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-，又2()dt t udu vdv =-+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=--+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ⎛⎫--'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+， 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=----+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22v v u v=+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=-=-=-<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=-，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫---= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22v v u v -=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++∂==>∂+， 所以2S 是可定向的. □ 5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c+-=和双曲抛物面22222x y z a b =-作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=，v ∀∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+，(,)(0,2)u v π∈⨯.(2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =-，则2z uv =. 曲面的参数方程为 ()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+-(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点.证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R -=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a -=，()0v r r a -=. (2)所以()//u v r a r r -⨯，从而u v r a r r λ-=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=-⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ-=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a -=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=-，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==-⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫-⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭(0,0,1)，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂. 通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是 (),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=--.因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r v f v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来；(2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角.(1) 解. C 的参数方程为 ()()),),),1t t t t r e e e e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t t t t t u v r e t t r t e e r t e '=+-=+(2) 证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =-=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =-，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)2t u u tu r r e r r r e r '⋅'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)22t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.32. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =-+，2u t ut =-，2v t vt =-，(,,)(1,0,0)u u r at u v a at =-+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =-+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=， ()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++， 从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP -+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =-，22::u v B A δδ=-. (4)这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18))12121212()0EB B F B A A B GA A ⇔-++= (由(4)式)20ER FQ GP ⇔-+=. (由(3)式) □8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v -=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积. 解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =-；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr r a dr r a dr r du δδδ⋅-∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a -+，或221arccos 1a a -+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a -.O 20,0du avdv dv ==>0,0u v =>角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===. 在B 点220du avdv adv =-=->，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===所以0O ∠=，A B ∠=∠=.曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为12()()C L C a L C ===⎰⎰， 3()2a C a L C du a -===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =-，3:1C v =，故112712260()(2)()a C L C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰， 3/23/2()a C a L C du a -===⎰⎰.(3) 因为d σ=，所以曲边三角形的面积110002av AOB A d σ∆-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1200ln av ua a dv ⎡=+⎢⎣⎰(120ln a v dv ⎡=+⎢⎣⎰(()(13/2222130ln 1ln 1.a v v v a ⎡⎤⎡=+-+=++⎢⎥⎣⎣⎦ p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s =以弧长s 为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s 的Frenet 标架是{};,,r αβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t s α=+.由s R t ακβ=+，t R α=可得它的第一基本形式2222I (1())2t s ds dsdt dt κ=+++. (1)直母线(即t -曲线)0s δ=的正交轨线的微分方程为0ds dt +=，即()0d s t +=. 为此，作参数变换u s =，v s t =+. 则逆变换为s u =，t v u =-，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u u α=+-.在新参数下，(,)()()()()()()()()u R u v u u v u u u v u u u αακβκβ=-+-=-，(,)()v R u v u α=.第一基本形式化为2222I ()()v u u du dv κ=-+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u =，t v u =-直接代入(1)式得到上式：22222222I [1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dv κκ=+-+-+-=-+.3. 求曲线(cos sin ,sin cos ,)r v u k u v u k u ku =-+的参数曲线的正交轨线，其中0k >是常数.解. (sin cos ,cos sin ,)u r v u k u v u k u k =---，(cos ,sin ,0)v r u u =.第一基本形式为2222I (2)v k du kdudv dv =+-+.u -曲线0v δ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv +=，即22(2)0v k du kdv +-=. 解这个微分方程：222kdv du d v k ===+， 得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v -+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =-+.p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=-+++2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =-++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=-≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ===，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由. (1) ()2234233,2,v u v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =-++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+-； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面.(2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+-，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =-. 则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =-''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面.当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面.当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v u l v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数. (1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u z L u v u v --==. 设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+.于是S 是可展曲面222200()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'， 其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+. (2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+.由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠--，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l tl f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===.取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=-=-+--- ⎪⎝⎭. 则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==-=-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=-+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=--是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠-+，所以1S 不是可展曲面.同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠-可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □。

2 2

dr r (t ) 1 (3cos 2 t sin t ,3sin 2 t cos t , 2sin 2t ). ds | r (t ) | | 5sin t cos t |
3.设曲线 c 是下面两个曲面的交线：
x2 y 2 z 2 1, x ach , a, b 0. 求 c 从点 (a, 0, 0) 到点 2 a b a
y y (t ) y (h( x)) f ( x) , z z (t ) z (h( x)) g ( x) .
即曲线在 t0 的一个邻域内可表示成 y f ( x) , z g ( x) .
5.求曲线
x2 y 2 z 2 1 , z 0 的参数方程. 2 2 x y x


1 3
3
1 2
2
t

c (1, 0, 6). 1 1 r (t ) ( t 3 1, t 2 , et 6). 3 2
§2.3 曲线的曲率和 Frenet 标架 1.求曲线的曲率：
a . a 0 t 3 2 3 （2） r = 3t t ,3t ,3t t .
证明：设曲线 c ： r r (t ) ,点 P 对应 t t0 . 在 c 与 l 所 在 平 面 内 , 作 l1 / / l , 记 l1 c r r (t ) | t t0 t11 , t0 t12





.再作
li / / l ,s.t. dist (li 1 , li ) dist (l , li ) ,记 li c r r (t ) | t t0 ti1 , t0 ti 2 , i 2,3, 4,

习题答案1p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率：(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+,)2|()()|181r t r t t '''⨯=+, 2213(1)t κ=+.(4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，225|sin 2|t κ=，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222229,3x y z x z ⎧++=⎪⎨−=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，0(0)r α=，00(0)r κβ=. 则(),(),()x s y s z s 满足题给的方程组，所以有2222212,26x y y z +=+=.对上式求导得22220,20,1xx yy yy zz x y z +=+=++=. (1)再求导，得22222(2),2(2),0xx yy x y yy zz y z xx yy zz +=−++=−+++=. (2)在()2,2,1处，由(1)解出2x y z =−=，13x =±. 不妨设122333,,x y z ==−=. 所以()()01,,1,2,23x y z α==−.代入(2)得2242,,22033x y y z x y z +=−+=−−+=.所以001(0)(0,1,1)3r κβ==−−，03κ=，01,1)β=−−. 于是()0001(0,1,1)1)1,2,232γαβ=⨯=⨯−−=−−.所以在()2,2,1处，曲率为03κ=，密切平面方程为4(2)(2)(1)0x y z −+−−−=，即490x y z +−−=.7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ. 再设定点为a (常向量). 由条件，a 和()r s 都在C 的过()r s 点的切线上，所以(())//()r s a s α−. 故可设()()()r s a s s λα=+.对上式求导，利用Frenet 公式可得()()()()()()s s s s s s αλαλκβ=+.所以()0s κ=，C 是直线. □ p. 47 习题2.41. 计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+，)2|()()|181r t r t t '''⨯=+，()()61,0,1r t '''=−，()216(),(),()r t r t r t ''''''=，()()222(),(),()1|()()|31r t r t r t r t r t t τ''''''=='''⨯+. (4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，()()()2sin 23cos ,3sin ,42cos23sin ,3cos ,0r t t t t t t t '''=−−−+ ()1sin 23cos ,3sin ,02t t t +−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，()332(),(),()4t r t r t r t ''''''=，()2(),(),()|()()|r t r t r t r t r t τ''''''=='''⨯, (2(21)t k π≠+). 4. 假定()r r s =是正则弧长参数曲线，它的挠率0τ≠，曲率κ不是常数，并且222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (1) 其中a 为常数. 证明该曲线落在一个球面上.证明. 由条件(1)，求导得1111110d d d d ds ds ds ds κκττκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为κ不是常数，上式说明110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (2) 设它的Frenet 标架为{};,,r αβγ. 考虑向量函数111()()()()()()()d r s r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (3) 对上式求导，利用Frenet 公式和(2)式，得111111[]()0d d d d r ds ds ds ds αβκατγγτβκττκκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++−+++−= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以r c =是常向量. 代入(3)得到111()()()()()()d c r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭， ()2222111()d a r s c ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 这说明()r s 在以c 为中心，以a 为半径的球面上. □10. 设()r t 是单位球面上经度为t ，纬度为2t π−的点的轨迹. 求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率.解. 单位球面的参数方程为cos cos ,cos sin ,sin x y z θϕθϕθ===，(,)[/2,/2][,]θϕππππ∈−⨯−. 其中ϕ为经度，θ为纬度. 将,2t t πϕθ==−代入，得曲线的参数方程()2()sin cos ,sin ,cos r t t t t t =.于是()()cos2,sin 2,sin r t t t t '=−，|()|1r t '=+.()()2sin 2,2cos2,cos r t t t t ''=−−，()()()2sin cos2cos sin 2,2sin sin 2cos cos2,2r t r t t t t t t t t t '''⨯=−+()()2sin cos 2(0,0,1)cos2,sin 2,0sin 2,cos2,0t t t t t t =++−，|()()|cos r t r t '''⨯=.()()()4sin (0,0,1)4cos2,4sin 2,sin cos2,sin 2,0r t t t t t t t '''==−+−−,()6sin (),(),()t r t r t r t ''''''=−.所以32cos |()()||()|1sin r t r t r t t κ'''⨯=='+， ()222(),(),()6sin |()()|cos 4(1sin )r t r t r t tr t r t t t τ''''''−=='''⨯++. p. 55 习题2.51，6. 设正则曲线C 的曲率κ处处不为零. 则下述命题是等价的：(a )C 是一般螺线(即C 的切向量与固定方向成定角)； (b )C 的主法线与固定平面平行； (c )C 的挠率与曲率之比:τκ是常数.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠.(a )⇒(b ). 设固定方向的单位向量为n . 则cos (,)n n αα=∠是常数. 因为0κ≠，求导得到0n β=，即主法线方向与固定方向n 垂直. 所以主法线与以n 为法向量的一个固定平面垂直.(b )⇒(c ). 设固定平面的单位法向量为n . 则0n β=. 于是()0d n n dsακβ==. 这说明cos n αθ=是常数，其中(,)n θα=∠. 因为0n β=，可设()()()()n s s s s λαμγ=+.用()s α与等式两边作内积，得()()cos s s n λαθ==是常数. 再由n 是单位向量可知222()1()sin s s μλθ=−=也是常数. 不妨设sin μθ=，则上式成为cos ()sin ()n s s θαθγ=+求导得到0[cos ()sin ()]()s s s θκθτβ=−.所以():()cot s s τκθ=是常数.(c )⇒(a ). 设():()cot s s τκθ=是常数. 令()cos ()sin ()n s s s θαθγ=+. 则()[cos ()sin ()]()0n s ss s θκθτβ'=−=.所以n 是常向量，从而切方向α与固定方向n 成定角(,)n θα=∠. □ 4. 证明：曲线()(,2cos sin )r t t t t t =+−和曲线122()(2cos ,2sin ,)u u r u u =−可以通过刚体运动彼此重合.证明. 对曲线1:C 11()r r u =作参数变换2u v =，可知1C 是圆柱螺线：1(2cos ,2sin ,2)r v v v =−. (2,2a b ==−)它的曲率和挠率分别为114κ=，114τ=−. 因此只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=−，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合. 直接计算可得()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+−，|()|22r t '=，()(3sin ,2cos ,sin )r t t t t ''=−−， ()()(23cos 2,4sin ,2cos )r t r t t t t '''⨯=−−−−2(1,2sin cos )t t t =−+，|()()|42r t r t '''⨯=，14κ=.()(,2sin ,cos )r t t t t '''=−，()8(),(),()r t r t r t ''''''=−，14τ=−. □注. 此类证明题，一般是由等式1()()t u κκ=确定一个函数()u u t =，然后证明1()(())t u t ττ=. p. 63 习题 2.62. 作正则参数曲线C 关于一张平面的对称曲线C *. 证明：曲线C 和C *在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠. 再设∏是过定点a ，以n 为单位法向量的平面. 由上图可见()r s OR =在n 方向的投影向量[()]PR n r s n =⋅，从而()r s 在平面∏上的投影向量()()[()]OP r s PR r s n r s n =−=−⋅.同理，a 在n 方向的投影向量()PQ n a n =⋅. 用11()r s OR =表示()r s 关于平面∏的对称点. 由于Q 是R 和1R 的中点，12PR PR PQ +=，所以111()2()[()]2()[()]()2[()]2().r s OR OP PR OP PQ PRr s n r s n n a n n r s n r s n r s n n a n ==+=+−=−⋅+⋅−⋅=−⋅+⋅ 求导得1()()2[()]r s s n s n αα'=−⋅，2221|()|14[()]4[()]1r s n s n s αα'=−⋅+⋅=.()r s 1()r s naQ1R R所以s 也是C *的弧长参数. 设C *的Frenet 标架为{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为1κ和1τ. 则112()r n n ααα==−⋅.再求导，得1112()[2()]n n n n κβααακββ==−⋅=−⋅.于是11||2()n n κακββκ==−⋅=，12()n n βββ=−⋅.由此得1112()2()2[()()]2[()]2()2(),n n n n n n nn n n n n n γαβγαββαγβααβγαβγγγγ=⨯=−⋅⨯−⋅⨯=−⋅−⋅⨯=−⨯⨯⨯=−⨯⨯=−+⋅2111[2()][2()][2()]n n n n n n τβγββτβτβτββτ=−⋅=−+⋅−⋅=−−⋅=−. 所以有1κκ=，1ττ=−. □3. 如果正则参数曲线的向径()r s 关于弧长s 的n 阶导数是()()()()()()()()n n n n r s a s s b s s c s s αβγ=++，求它的1n +阶导数.解. 由Frenet 公式可得(1)()()()().n n n n n n n n n n n n n n r a a b b c c a b b a c c b ακββκατγγτβκακτβτγ+=+++−++−=−++−++p. 69 习题2.74. 假定曲线:()C r r s =和曲线:()C r r s =的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线C 在每一点的主法线是曲线C 在对应点的次法线. 证明：曲线C 和C 在对应点之间的距离λ为常数，并且曲线C 的曲率和挠率满足关系式22()κλκτ=+.证明. 设曲线C 和C 的弧长参数方程分别为()r r s =和11()r r s =，它们之间的一一对应由函数关系()s s s =给出. 再设它们的Frenet 标架分别为{};,,r αβγ和{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ和11,κτ.由条件，可设1(())()()()r s s r s f s s β=+， (1)1(())()s s s γεβ=， (2)其中1ε=±. 对(1)式两边求导，得1()s f f ααβκατγ''=++−+. (3) 再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得0f '=，所以f 为常值函数. 这说明C 和C 在对应点之间的距离1|(())()|||r s s r s f λ−==为常数.将(3)重写为1(1)s f f ακατγ'=−+. (4)上式再求导，得22111(1)s s f f f f ακβκακκβτγτβ'''''+=−+−+−.用(2)两边分别与上式两边作内积，得22()f κκτ=+. 因为0κ>，所以0f f λ==>，即有22()κλκτ=+. □8. 证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线.证明. 1.以圆柱螺线的轴线为z 轴，建立空间直角坐标系. 它的参数方程为()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =. 因为()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=−，2|()|r t a '=，从0t =开始计算的弧长为()s t =. 由于单位切向量为21()sin ,cos ,)t a t a t b a α=−，根据定理7.3，渐伸线方程为1()()(())()(cos ,sin ,)sin ,cos ,)r t r t c s t t a t a t bt a t a t b α=+−=+−，其中c 是任意一个取定的常数. 记c =. 则渐伸线方程可以写成1()(cos ,sin ,)()(sin ,cos ,)r t a t a t bt c t a t a t b =+−−()cos ()sin ,sin ()cos ,a t a c t t a t a c t t cb =−−+−. (1)它是落在与其轴线(z 轴)垂直的平面z cb =内的一条曲线.2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面z cb =内的一个圆()(cos ,sin ,)r t a t a t cb =.它的弧长为()s t at =. 单位切向量为()(sin ,cos ,0)t t t α=−.所以它的一般的渐伸线方程为()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos ,r t r t c s t t a t c at t a t c at t cb α=+−==−−+−. (2)在(2)中取c ac =，就得到上面的渐伸线(1). □ 注. 在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线. p.75 习题2.81. 求下列平面曲线的相对曲率r κ. (2) 双曲线：(cosh ,sinh )r a t b t =，t ∈.(4) 摆线：((sin ),(1cos ))r a t t a t =−−，[0,2]t π∈.(6) 曳物线：()cos ,ln(sec tan )sin r a t a t t a t =+−，[0,/2)t π∈.解. (2) (sinh ,cosh )r a t b t '=，(cosh ,sinh )r a t b t ''=，2||sinh r a '=，22223/2(sinh cosh )r aba tb t κ=−+.(4) (1cos ,sin )r a t t '=−，(sin ,cos )r a t t ''=，r κ=(0,2)t π∈. (6) 1sin (1,tan )sin ,cos cos r a a t t t t t ⎛⎫'==−−− ⎪⎝⎭，||tan r a t '=， 2cos (1,tan )sin (0,sec )r a t t a t t ''=−+，11cot tan r a t a tκ−=−=−，(0,/2)t π∈.2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是()ρρθ=，其中ρ是极距，θ是极角. 求曲线的相对曲率的表达式.解. ()()()()(),()()cos ,()sin cos ,sin r x y ρθθθρθθρθθθθ===，()()()(sin ,cos )cos ,sin r ρθρθθθθθ''=+−， 2||(r ρθ'=， ()()()2()(sin ,cos )()cos ,sin cos ,sin r ρθρθθθρθθθθθ'''''=+−−()()2()(sin ,cos )()()cos ,sin ρθθθρθρθθθ'''=+−−，22223/2()2()()()[()()]r ρθρθρθρθκρθρθ'''+−='+. 6. 已知平面曲线的相对曲率()r s κ=s 是弧长参数，求它的参数方程.解. 令0()()arcsin sr s d s θκξξ==⎰，则sin(())s s θ=，cos(())s θ=[1,1]s ∈−.因此所求曲线的弧长参数方程为()2001(cos(()),sin(())))arcsin 2s s r d d s s θξθξξξξ===+⎰⎰.8. 求圆222:C x y a +=的渐伸线.解. 习题2.7第8题已经求得圆(cos ,sin )r a t a t =的渐伸线方程为 ()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos r t r t c s t t a t c at t a t c at t α=+−==−−+−. 特别，常数0c =的那一条渐伸线为()1()()()()cos sin ,sin cos r t r t s t t a t t t t t t α=−=+−.习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =−. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221vy u v =++，222211u v z u v +−=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+−. (1) 由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +−'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=−+=−，又2()dt t udu vdv =−+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =−+−=−−=−≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+−=−，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u vr x y z Op u v u v u v ⎛⎫−−'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−−−+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =−+=−=≠. (5)因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v =+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=−=−=−<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=−，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫−−−= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v−=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v −++−−++∂==>∂+， 所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c+−=和双曲抛物面22222x y z a b =−作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++−=，v ∀∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =−±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =−得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =−+，(,)(0,2)u v π∈⨯. (2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =−，则2z uv =. 曲面的参数方程为()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+−(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+−=−+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点. 证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R −=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a −=，()0v r r a −=. (2)所以()//u v r a r r −⨯，从而u v r a r r λ−=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=−⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ−=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a −=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =−，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=−，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==−⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫−⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭(0,0,1)，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂.通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是(),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=−−. 因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r vf v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来； (2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角. (1) 解. C 的参数方程为()()),),),1t t t t r e e e e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t ttttu v r e t t r t e e r t e '=+−=+(2)证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =−=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =−，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)2t u u tur r e r r r e r '⋅'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)22t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =−+，2u t ut =−，2v t vt =−， (,,)(1,0,0)u u r at u v a at =−+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =−+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=，()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++， 从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP −+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =−，22::u v B A δδ=−. (4)这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18)) 12121212()0EB B F B A A B GA A ⇔−++= (由(4)式)20ER FQ GP ⇔−+=. (由(3)式) □8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v −=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积. 解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =−；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr ra dr r a dr r du δδδ⋅−∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a −+，或221arccos 1a a −+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a −.因为是计算内角，在O 点20,0du avdv dv ==>. 同理，0,0u v =>，所以内角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===在B 点220du avdv adv =−=−>，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===. 所以0O ∠=，A B ∠=∠=. 曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为1120()()C L C a L C ===⎰⎰，3()2a C aL C du a −===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =−，3:1C v =，故127 122600()(2)()aCL C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰，3/23/2()aC aL C du a−===⎰⎰.(3)因为dσ=，所以曲边三角形的面积110002avAOBA dσ∆−===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1200lnavuaa dv⎡=++⎢⎣⎰(12lna v dv⎡=++⎢⎣⎰(()(13/222213ln1ln1.a v v v a⎡⎤⎡=+−+=++⎢⎥⎣⎣⎦p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s=以弧长s为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s的Frenet标架是{};,,rαβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t sα=+.由s R tακβ=+，t Rα=可得它的第一基本形式2222I(1())2t s ds dsdt dtκ=+++. (1) 直母线(即t-曲线)0sδ=的正交轨线的微分方程为0ds dt+=，即()0d s t+=. 为此，作参数变换u s=，v s t=+. 则逆变换为s u=，t v u=−，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u uα=+−.在新参数下，(,)()()()()()()()()uR u v u u v u u u v u u uαακβκβ=−+−=−，(,)()vR u v uα=.第一基本形式化为2222I()()v u u du dvκ=−+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u=，t v u=−直接代入(1)式得到上式：22222222 I[1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dvκκ=+−+−+−=−+. 3. 求曲线(cos sin,sin cos,)r v u k u v u k u ku=−+的参数曲线的正交轨线，其中0k>是常数.解.(sin cos,cos sin,)ur v u k u v u k u k=−−−，(cos,sin,0)vr u u=.第一基本形式为2222I(2)v k du kdudv dv=+−+.u-曲线0vδ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv+=，即22(2)0v k du kdv+−=. 解这个微分方程：222kdvdu dv k===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =−+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =−+.p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=−+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =−++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=−≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ====，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) ()2234233,2,vu v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =−++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+−； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面. (2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+−，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =−.则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =−''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面. 当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面. 当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v ul v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u zL u v u v −−==.设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+. 于是S 是可展曲面22220()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+.(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+. 由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠−−，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l t l f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===.取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=−=−+−−− ⎪⎝⎭.则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==−=−−−−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=−+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=−−是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠−+，所以1S 不是可展曲面. 同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠−可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；(2) 旋转椭圆抛物面：()2212,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+−；(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=−，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=−−，()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈−)2cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=.又()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=−，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=−，()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=−.所以2L =，0M=，N =，)222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=−−，)21,,11n u v u =−−+.()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u =++.(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =−，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+−−. 不妨设0a >. 则)2,,2n u v v u a a =+−−+，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =，II 22a u v=++. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=−，)21,,0n g f f ''=−'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II ''''''=.(5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=−，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=−，)21sin ,cos ,n f v f v u f ''=−'+，0uu r=，()sin ,cos ,0uv r v v =−，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=−−，)2II 2f dudv uf dv ='''−+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz −−−++=. (1)因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z −−−=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量()2221/2111(),,n x y z x y z −−−−−−−=++.于是()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz −−−−−−−−−−−−−−=++−++由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz −−−=⊥，故曲面的第二基本形式为()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz −−−−−−−=−⋅=++++.如果由(1)解出111()z dz x dx y dy −−−=−+，再代入上式可得222211222222II −−−−==22222222||xy x =. □3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为(,)()()R s t r s t s α=+.则()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=−，0t >.n γ=−，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=−⋅=−. □6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面. 证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中0,0u v v v M r n N r n =−⋅≡=−⋅≡. 剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++，它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.另一方面，因为L 是直线，有0r r '''⨯=，即//r r '''. 所以00(0)(,)0r n u v ''⋅=. 于是在00(,)u v 点成立()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=⋅=−⋅=−+⋅=.因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是()222,ln()r u v v a u u a =+++，求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+的法曲率.解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则cosh a t =，(sinh cosh )t u a t t ae +=+=，ln(ln t u a =+−，cosh dudt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为()cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+，于是()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =− ()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ⨯=−−，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t −=−−.()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =−，()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =−.2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++222222II aadt adv du adv u a=−+=−++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+中2,1du dv ==，曲面的法曲率222244II 4II ,I 4,I (4)n a a a a a a a a κ−−=−+==+==+. □ 注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时22cosh ,0,E G a t F M L N a =====−=−，2121cosh a t κκ=−=，241cosh K a t =−，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠，曲面12,S S 的单位法向量分别为12,n n . 因为12,,n n β均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α由β到1n 的有向角为ϕ，到2n 的有向角为ϕθ+，02ϕϕθπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠，22(,)n θβ=∠. 则11cos κκθ=，22cos κκθ=.于是1sin κθ==2sin κθ==当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]πϕϕθ∈+，即ϕπϕθ≤≤+. 此时1θϕ=，22()θπϕθ=−+，所以122θθπθ+=−. 则2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=−12κκ=−(1)因此()2222221212()()cos κκκκκκκθ−−=−.化简得42224221212()cos 2cos κκκκκθκκκθ−+=−. 因此 κ=(2)[,]πϕϕθ∉+，即ϕπ>或πϕθ>+. 此时12θπϕ=−，22()θπϕθ=−+或1θϕ=，2θϕθ=+，所以12θθθ−=±. 则同理有212cos κθκκ=+， (2)κ=当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=−). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ22()()()()s u s v s u s E F G L M Nτ''''−=. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，单位法向量为(,)n u v . 设C 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠. 由于C是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s n s γε=，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =. 根据Frenet 公式，()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=−⋅=−⋅⨯==''.利用Lagrange 恒等式，可得()2,,()()()()()()u v u v u v v u EGF r r n r r r n r r n r r r n r r τ''''''''−=⨯=⨯⋅⨯=⋅⋅−⋅⋅.将u v r r u r v '''=+，u v n n u n v '''=+代入上式，得()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=−+++++22Eu Fv Fu Gv E F E G F G u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N''''++''''==++''''++ 22v u v u EF G LMN''''−=. □ p. 166 习题4.31. 求抛物面2212()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为()2212,,()r x y ax by =+，故 (1,0,)x r ax =，(0,1,)y r by =，(,,1)x y r r ax by ⨯=−−，211()(,,1)ax n ax by ++=−−.(0,0,)xx r a =，0xy r =，(0,0,)yy r b =所以在原点处22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，2222II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dyκ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处222222(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++，且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. □注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b . 4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数。

习题答案1p.41 习题2.31. 求下列曲线的曲率：(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =-+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=-+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=-, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=--+,)2|()()|1r t r t t '''⨯=+, 2213(1)t κ=+. (4) ()1()s i n 23c o s ,3s i n ,42r t t t t '=--，5|()||sin2|2r t t '=, ()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=--+, ()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=--⨯ ()23s i n 24c o s ,4s i n ,34t t t =--， 25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，225|sin 2|t κ=，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222229,3x y z x z ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，0(0)r α=，00(0)r κβ=. 则(),(),()x s y s z s 满足题给的方程组，所以有2222212,26x y y z +=+=.对上式求导得 22220,20,1xx yy yy zz x y z +=+=++=. (1) 再求导，得22222(2),2(2),0xx yy x y yy zz y z xx yy zz +=-++=-+++=. (2)在()2,2,1处，由(1)解出2x y z =-=，13x =±. 不妨设122333,,x y z ==-=. 所以()()01,,1,2,23x y z α==-. 代入(2)得 2242,,22033x y y z x y z +=-+=--+=. 所以001(0)(0,1,1)3r κβ==--，0κ=，01,1)β=--. 于是)000(0,1,1)1)1,2,2γαβ=⨯=⨯--=--. 所以在()2,2,1处，曲率为02κ=，密切平面方程为4(2)(2)(1)0x y z -+---=，即490x y z +--=. 7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ. 再设定点为a (常向量). 由条件，a 和()r s 都在C 的过()r s 点的切线上，所以(())//()r s a s α-. 故可设()()()r s a s s λα=+.对上式求导，利用Frenet 公式可得()()()()()()s s s s s s αλαλκβ=+.所以()0s κ=，C 是直线. □p. 47 习题2.41. 计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =-+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=-+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=-, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=--+，()2|()()|1821r t r t t '''⨯=+，()()61,0,1r t '''=-，()216(),(),()r t r t r t ''''''=，()()222(),(),()1|()()|31r t r t r t r t r t t τ''''''=='''⨯+. 223(1)t +(4) ()1()s i n 23c o s ,3s i n ,42r t t t t '=--，5|()||sin2|2r t t '=, ()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=--+, ()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=--⨯ ()23s i n 24c o s ,4s i n ,34t t t =--， ()()()2sin23cos ,3sin ,42cos23sin ,3cos ,0r t t t t t t t '''=---+()1s i n 23c o s ,3s i n ,02t t t +-， 25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，()332(),(),()t r t r t r t ''''''=， ()2(),(),()|()()|25sin2r t r t r t r t r t tτ''''''=='''⨯, (2(21)t k π≠+).4. 假定()r r s =是正则弧长参数曲线，它的挠率0τ≠，曲率κ不是常数，并且222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (1) 其中a 为常数. 证明该曲线落在一个球面上.证明. 由条件(1)，求导得1111110d d d d ds ds ds ds κκττκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为κ不是常数，上式说明110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (2) 设它的Frenet 标架为{};,,r αβγ. 考虑向量函数 111()()()()()()()d r s r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (3) 对上式求导，利用Frenet 公式和(2)式，得111111[]()0d d d d r ds ds ds ds αβκατγγτβκττκκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 所以r c =是常向量. 代入(3)得到111()()()()()()d c r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ()2222111()d a r s c ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 这说明()r s 在以c 为中心，以a 为半径的球面上. □ 10. 设()r t 是单位球面上经度为t ，纬度为2t π-的点的轨迹. 求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率. 解. 单位球面的参数方程为cos cos ,cos sin ,sin x y z θϕθϕθ===，(,)[/2,/2][,]θϕππππ∈-⨯-. 其中ϕ为经度，θ为纬度. 将,2t t πϕθ==-代入，得曲线的参数方程 ()2()sin cos ,sin ,cos r t t t t t =. 于是()()cos2,sin 2,sin r t t t t '=-，|()|1r t '=+.()()2sin 2,2cos2,cos r t t t t ''=--，()()()2sin cos2cos sin 2,2sin sin 2cos cos2,2r t r t t t t t t t t t '''⨯=-+()()2s i n c o s 2(0,0,1)c o s 2,s i n 2,0s i n 2,c o s ,0t t t t t t =++-， |()()|cos r t r t '''⨯=()()4sin (0,0,1)4cos2,4sin 2,sin cos2,sin 2,0r t t t t t t t '''==-+--,()6sin (),(),()t r t r t r t ''''''=-.32cos |()()||()|1sin r t r t r t t κ'''⨯=='+ ()222(),(),()6sin |()()|cos 4(1sin )r t r t r t t r t r t t t τ''''''-=='''⨯++. p. 55 习题2.5 1，6. 设正则曲线C 的曲率κ处处不为零. 则下述命题是等价的：(a )C 是一般螺线(即C 的切向量与固定方向成定角)；(b )C 的主法线与固定平面平行；(c )C 的挠率与曲率之比:τκ是常数.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠.(a )⇒(b ). 设固定方向的单位向量为n . 则cos (,)n n αα=∠是常数. 因为0κ≠，求导得到0n β=，即主法线方向与固定方向n 垂直. 所以主法线与以n 为法向量的一个固定平面垂直.(b )⇒(c ). 设固定平面的单位法向量为n . 则0n β=. 于是()0d n n dsακβ==. 这说明cos n αθ=是常数，其中(,)n θα=∠. 因为0n β=，可设()()()()n s s s s λαμγ=+.用()s α与等式两边作内积，得()()cos s s n λαθ==是常数. 再由n 是单位向量可知222()1()sin s s μλθ=-=也是常数. 不妨设sin μθ=，则上式成为cos ()sin ()n s s θαθγ=+求导得到0[cos ()sin ()]()s s s θκθτβ=-.所以():()cot s s τκθ=是常数. (c )⇒(a ). 设():()cot s s τκθ=是常数. 令()cos ()sin ()n s s s θαθγ=+.则()[cos ()sin ()]()0n s ss s θκθτβ'=-=.所以n 是常向量，从而切方向α与固定方向n 成定角(,)n θα=∠. □ 4. 证明：曲线()(3sin ,2cos sin )r t t t t t =+-和曲线122()(2cos ,2sin ,)uu r u u =-可以通过刚体运动彼此重合.证明. 对曲线1:C 11()r r u =作参数变换2u v =，可知1C 是圆柱螺线： 1(2cos ,2sin ,2)r v v v =-. (2,2a b ==-)它的曲率和挠率分别为114κ=，114τ=-. 因此只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=-，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重直接计算可得()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+-，|()|22r t '=，()(3s i n ,2co s ,si n )r t t t t ''=--， ()()(23c o s 2,n ,232c o s )r t rt t t t '''⨯=--- 2(1,2sin cos )t t t =-，|()()|42r t r t '''⨯=，14κ=. ()(,2sin ,cos )r t t t t '''=-，()8(),(),()r t r t r t ''''''=-，14τ=-. □ 注. 此类证明题，一般是由等式1()()t u κκ=确定一个函数()u u t =，然后证明1()(())t u t ττ=.p. 63 习题2.6 2. 作正则参数曲线C 关于一张平面的对称曲线C *. 证明：曲线C 和C *在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠. 再设∏是过定点a ，以n 为单位法向量的平面. 由上图可见()r s OR =在n 方向的投影向量[()]PR n r s n =⋅，从而()r s 在平面∏上的投影向量()()[()]OP r s PR r s n r s n =-=-⋅.同理，a 在n 方向的投影向量()PQ n a n =⋅. 用11()r s OR =表示()r s 关于平面∏的对称点. 由于Q 是R 和1R 的中点，12PR PR PQ +=，所以111()2()[()]2()[()]()2[()]2().r s OR OP PR OP PQ PRr s n r s n n a n n r s n r s n r s n n a n ==+=+-=-⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅()r s 1()r s na QR求导得1()()2[()]r s s n s n αα'=-⋅，2221|()|14[()]4[()]1r s n s n s αα'=-⋅+⋅=.所以s 也是C *的弧长参数. 设C *的Frenet 标架为{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为1κ和1τ. 则112()r n n ααα==-⋅.再求导，得1112()[2()]n n n n κβααακββ==-⋅=-⋅.于是11||2()n n κακββκ==-⋅=，12()n n βββ=-⋅.由此得1112()2()2[()()]2[()]2()2(),n n n n n n n n n n n n n γαβγαββαγβααβγαβγγγγ=⨯=-⋅⨯-⋅⨯=-⋅-⋅⨯=-⨯⨯⨯=-⨯⨯=-+⋅ 2111[2()][2()][2()]n n n n n n τβγββτβτβτββτ=-⋅=-+⋅-⋅=--⋅=-. 所以有1κκ=，1ττ=-. □3. 如果正则参数曲线的向径()r s 关于弧长s 的n 阶导数是()()()()()()()()n n n n r s a s s b s s c s s αβγ=++，求它的1n +阶导数.解. 由Frenet 公式可得(1)()()()().n n n n n n n n n n n n n n r a a b b c c a b b a c c b ακββκατγγτβκακτβτγ+=+++-++-=-++-++p. 69 习题2.74. 假定曲线:()C r r s =和曲线:()C r r s =的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线C 在每一点的主法线是曲线C 在对应点的次法线. 证明：曲线C 和C 在对应点之间的距离λ为常数，并且曲线C 的曲率和挠率满足关系式22()κλκτ=+.证明. 设曲线C 和C 的弧长参数方程分别为()r r s =和11()r r s =，它们之间的一一对应由函数关系()s s s =给出. 再设它们的Frenet 标架分别为{};,,r αβγ和{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ和11,κτ.由条件，可设1(())()()()r s s r s f s s β=+， (1)1(())()s s s γεβ=， (2)其中1ε=±. 对(1)式两边求导，得1()s f f ααβκατγ''=++-+. (3)再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得0f '=，所以f 为常值函数. 这说明C 和C 在对应点之间的距离1|(())()|||r s s r s f λ-==为常数.将(3)重写为1(1)s f f ακατγ'=-+. (4)上式再求导，得22111(1)s s f f f f ακβκακκβτγτβ'''''+=-+-+-.用(2)两边分别与上式两边作内积，得22()f κκτ=+. 因为0κ>，所以0f f λ==>，即有22()κλκτ=+. □8. 证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线.证明. 1.以圆柱螺线的轴线为z 轴，建立空间直角坐标系. 它的参数方程为()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =.因为()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=-，2|()|r t a '=从0t =开始计算的弧长为()s t . 由于单位切向量为()sin ,cos ,)t a t a t b α=-， 根据定理7.3，渐伸线方程为1()()(())()(cos ,sin ,)sin ,cos ,)r t r t c s t t a t a t bt a t a t b α=+-=+-， 其中c 是任意一个取定的常数. 记c =则渐伸线方程可以写成1()(cos ,sin ,)()(sin ,cos ,)r t a t a t bt c t a t a t b =+-- ()cos ()sin ,sin ()cos ,a t a c t t a t a c t t cb =--+-. (1)它是落在与其轴线(z 轴)垂直的平面z cb =内的一条曲线.2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面z cb =内的一个圆()(cos ,sin ,)r t a t a t cb =.它的弧长为()s t at =. 单位切向量为()(sin ,cos ,0)t t t α=-.所以它的一般的渐伸线方程为()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos ,r t r t c s t t a t c at t a t c at t cb α=+-==--+-. (2) 在(2)中取c ac =，就得到上面的渐伸线(1). □注. 在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线.p.75 习题2.81. 求下列平面曲线的相对曲率r κ. (2) 双曲线：(cosh ,sinh )r a t b t =，t ∈R .(4) 摆线：((sin ),(1cos ))r a t t a t =--，[0,2]t π∈.(6) 曳物线：()cos ,ln(sec tan )sin r a t a t t a t =+-，[0,/2)t π∈.解. (2) (sinh ,cosh )r a t b t '=，(cosh ,sinh )r a t b t ''=， 2||sinh r a '=22223/2(sinh cosh )r ab a t b t κ=-+. (4) (1cos ,sin )r a t t '=-，(sin ,cos )r a t t ''=，22(1cos r a κ=-(0,2)t π∈. (6) 1sin (1,tan )sin ,cos cos r a a t t t t t ⎛⎫'==--- ⎪⎝⎭，||tan r a t '=， 2cos (1,tan )sin (0,sec )r a t t a t t ''=-+，11cot tan r a t a tκ-=-=-，(0,/2)t π∈. 2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是()ρρθ=，其中ρ是极距，θ是极角. 求曲线的相对曲率的表达式.解. ()()()()(),()()cos ,()sin cos ,sin r x y ρθθθρθθρθθθθ===， ()()()(sin ,cos )cos ,sin r ρθρθθθθθ''=+-， 2||(r ρθ'=， ()()()2()(sin ,cos )()cos ,sin cos ,sin r ρθρθθθρθθθθθ'''''=+-- ()()2()(sin ,cos )()()cos ,sin ρθθθρθρθθθ'''=+--，22223/2()2()()()[()()]r ρθρθρθρθκρθρθ'''+-='+. 6. 已知平面曲线的相对曲率()r s κ=s 是弧长参数，求它的参数方程.解. 令0()()arcsin s r s d s θκξξ==⎰，则sin(())s s θ=，cos(())s θ=，[1,1]s ∈-.因此所求曲线的弧长参数方程为()2001(cos(()),sin(())))arcsin 2s s r d d s s θξθξξξξ===+⎰⎰. 8. 求圆222:C x y a +=的渐伸线.解. 习题2.7第8题已经求得圆(cos ,sin )r a t a t =的渐伸线方程为 ()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos r t r t c s t t a t c at t a t c at t α=+-==--+-. 特别，常数0c =的那一条渐伸线为()1()()()()cos sin ,sin cos r t r t s t t a t t t t t t α=-=+-.。

习题答案2p.58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上,命(0,0,1)N =,(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =,可以作为一的一条直线经过,N p 两点,它与球面有唯一的交点,记为p '.<1> 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++,2221v y u v =++,222211u v z u v +-=++, 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；<2> 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示；<3> 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；<4> 证明球面是可定向曲面.证明. <1> 设(,)r u v Op '=. 如图,,,N p p '三点共线,故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+-. <1> 由于21Op ON ==',222u v Op =+,0Op ON '⋅=,0t ≠,取上式两边的模长平方,得222/(1)t u v =++. 从而22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭,2(,)u v ∈. <2>由<1>可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-,又2()dt t udu vdv =-+,所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+,2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+,22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. <3> 因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.<2>令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理,有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-,222/(1)t u v =++,22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ⎛⎫--'=== ⎪++++++⎝⎭,2(,)u v ∈. <4>2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+,2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+, 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. <5>因此<4>给出了2\{}S S 的正则参数表示.<3> 由<2>和<4>式可得2222()()1u v u v ++=,从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+,22v v u v =+. <6>由<3>和<5>可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=-=-=-<∂+++. 所以参数变换是可允许的,并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标,令,z u i v w u i v =+=-,则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.<4> 在2\{}S N 上采用<1>式给出的正则参数表示,在2\{}S S 上采用正则参数表示则在公共部分的参数变换公式为 22u u u v =+,22v v u v -=+. <4> 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖,并且 22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++∂==>∂+, 所以2S 是可定向的. □ 5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c +-=和双曲抛物面22222x y z a b=-作为直纹面的参数方程.解. <1> 对单叶双曲面,取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =,(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程,可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=,v ∀∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=,222()()()X u Y u Z u +=. 因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+,(,)(0,2)u v π∈⨯.<2> 对双曲抛物面,令()x a u v =+,()y b u v =-,则2z uv =. 曲面的参数方程为 (,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+,2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点.证明. "⇒"设S 是球面,参数方程为(,)r u v ,球心为a ,半径为R . 则有22((,))r u v a R -=,,u v D ∀∈. <1>微分可得()0u r r a -=,()0v r r a -=. <2>所以()//u v r a r r -⨯,从而u v r a r r λ-=⨯,即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=-⨯. <3>这说明球心a 在它的所有法线上."⇐"设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得<3>式成立,即有u v r a r r λ-=⨯. 分别用,u v r r 作内积,可得<2>. 这说明2()0d r a -=,从而<1>式成立,其中0R ><否则S 只是一个点,不是正则曲面>是常数. 因此S 是以a 为球心,以R 为半径的球面,或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. "⇒"设S 是旋转面,旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =,(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =-,()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=,()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=-,所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==,并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==-⨯,所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行,则()//u v r r k ⨯,从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时,旋转面S 的所有法线都与z 轴相交."⇐"通过选取坐标系,不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =,(,)u v D ∈.由条件,S 的所有法线都与z 轴相交,所以法线不能与z 轴平行,即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫-⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭(0,0,1),00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂,00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂. 通过参数变换,曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =,(,)u v D ∈. <1>于是(),1,0u u r x =,(),0,1v v r x =,()1,,u v u v r r x x ⨯=--.因为所有法线都与z 轴相交,()0,,u v r r r k ≡⨯,即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=,其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=,S 的参数方程<1>可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r v f v f v v θθθ=.这是一个旋转面,由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =,:,t C u v e ==是S 上的一条曲线.<1>将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来；<2> 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角.<1>解.C 的参数方程为()()),),),1t t t t r e e e e ==.C 的切向量为<2>证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =-=,在曲线C上每一点t 处,()(2,)),0t t u r t e e =-,()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以 222cos (,)2t u u tu r r e r r r e r '⋅'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)22t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠===',(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.32. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =-+,2u t ut =-,2v t vt =-,(,,)(1,0,0)u u r at u v a at =-+,(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =-+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++, 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=, ()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++, 从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ,由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= <1>确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP -+=,其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件,二次方程<1>有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ,因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. <2>其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式,比较两边的系数,得12P A A =,12212Q A B A B =+,12R B B =. <3>由<2>可知<1>所确定两个切方向为11::du dv B A =-,22::u v B A δδ=-. <4>这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= <课本<3.18>>12121212()0EB B F B A A B GA A ⇔-++= <由<4>式>20ER FQ GP ⇔-+=. <由<3>式> □8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.<1> 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v -=的交角；<2> 求曲线21:C u av =,22:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.<3> 求曲线1:C u av =,2:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积. 解. <1> 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ,du dv =-；对于2C ,u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr r a dr r a dr r du δδδ⋅-∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a -+,或221arccos 1a a -+. <2> 不妨设常数0a >. 如图,在曲纹坐标下,1C 与2C 的交点为(0,0)O ,1C 与3C 的交点为(,1)A a ,2C 与3C 的交点为(,1)B a -.因为是计算内角,在O 点20,0du avdv dv ==>. 同理,0,0u v δδ=>,所以内角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<,0,0u v δδ<=,所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===. 在B 点220du avdv adv =-=->,0,0u v δδ>=,2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===所以0O ∠=,A B ∠=∠=.曲线1C ,2C ,3C 的弧长分别为12()()C L C a L C ===⎰⎰, 3()2a C a L C du a -===⎰⎰.注. 在90版中,本题为212:a C u v =,222:a C u v =-,3:1C v =,故127122600()(2)()a C L C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰, /23/2()a C a L C du a -===⎰⎰.<3>因为d σ=,所以曲边三角形的面积p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s =以弧长s 为参数,曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程,使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s 的Frenet 标架是{};,,r αβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t s α=+.由s R t ακβ=+,t R α=可得它的第一基本形式2222I (1())2t s ds dsdt dt κ=+++. <1>直母线<即t -曲线>0s δ=的正交轨线的微分方程为0ds dt +=,即()0d s t +=. 为此,作参数变换u s =,v s t =+. 则逆变换为s u =,t v u =-,切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u u α=+-.在新参数下,(,)()()()()()()()()u R u v u u v u u u v u u u αακβκβ=-+-=-,(,)()v R u v u α=. 第一基本形式化为2222I ()()v u u du dv κ=-+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u =,t v u =-直接代入<1>式得到上式：22222222I [1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dv κκ=+-+-+-=-+.3. 求曲线(cos sin ,sin cos ,)r v u k u v u k u ku =-+的参数曲线的正交轨线,其中0k >是常数.解.(sin cos ,cos sin ,)u r v u k u v u k u k =---,(cos ,sin ,0)v r u u =.第一基本形式为2222I (2)v k du kdudv dv =+-+.u -曲线0v δ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv +=,即22(2)0v k du kdv +-=. 解这个微分方程：222kdv du d v k ===+, 得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =-+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=,即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =-+.p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=,(,)(0,2)t θπ∈⨯与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =,(,)(0,2)u v π∈⨯之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换,令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=-≠∂,参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ====,正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3,在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由. <1> ()2234233,2,v u v r u u uv u =+++； <2> ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =-++++；<3> ()(),(),2r a u v b u v uv =+-； <4> ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. <1> ()()234236()(),2,1,3,2v v ur a u a u u u u u u '=+=+. 所以它是可展曲面,因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =<0u ≠>的切线面.<2> ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+-,其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线,u u v =+. 所以它是可展曲面.<3>令()(),,0a u au bu =,()(),,2l u a b u =-.则()()r a u v l u =+,直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =-''.当0ab ≠时,它是马鞍面,()0(),(),()a u l u l u ≠'',所以不是可展曲面.当0a =或0b =时,它是平面,所以是可展曲面.当0a =且0b =时,它不是正则曲面.<4> 令()()0,0,sin 2a v v =,()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v u l v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠'',它不是可展曲面.□2. 考虑双参数直线族x uz v =+,33u y vz =+,其中,u v 是直线族的参数. <1> 求参数u 和v 之间的关系,使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；<2> 确定相应的可展曲面的类型.解. <1> 对于固定的参数,u v ,该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u z L u v u v --==. 设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =,它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+.于是S 是可展曲面222200()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+', 其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+. <2> 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+,其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==,2()(/2)f u u c =±+.由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠--,S 不是柱面.如果S 是锥面,则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=,其中c 为常向量. 于是()20,,a t l tl f ut t u f t t f t '''=++='''''++++,从而0t '=,0t t =是常数. 由此得00u t ±+=,矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上,记2()(/2)f u u c ε=+,其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===.取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=-=-+--- ⎪⎝⎭. 则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==-=-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=-+=+, 其中(,)(,)u t u u t ε=--是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ,曲率和挠率分别为,κτ,Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠-+,所以1S 不是可展曲面.同理,由可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面.□。

第六章 微分方程与差分方程§1微分方程的基本概念习 题 6 — 11.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型： ⑴03=+'y y x ，3-=Cx y ； 解：3-=Cx y 是03=+'y y x 的通解；⑵ax xyy +='，bx ax y +=2，其中a ，b 为常数； 解：bx ax y +=2是ax xy y +='的特解（因为b 不是任意常数）；⑶()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy ，()xy y ln =；解：()xy y ln =是()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy 的特解；⑷0127=+'-''y y y ，x xe C e C y 4231+=；解：x xe C eC y 4231+=是0127=+'-''y y y 的通解；⑸x y y y 2103=-'+''，50355221--+=-x e C e C y x x. 解：50355221--+=-x e C eC y x x是x y y y 2103=-'+''的通解. 知识点：，定义6.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。

2.在曲线族()xex C C y 221+=中找出满足条件10==x y ，10='=x y 的曲线.解：由题意得：()xe x C C C y 222122++='，∵10==x y ，10='=x y ， ∴解得11=C ,12-=C ， 故所求曲线为()xex y 21-=（xxe y 2=）。

习题答案1p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率：(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+,)2|()()|181r t r t t '''⨯=+, 2213(1)t κ=+.(4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，225|sin 2|t κ=，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222229,3x y z x z ⎧++=⎪⎨−=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，0(0)r α=，00(0)r κβ=. 则(),(),()x s y s z s 满足题给的方程组，所以有2222212,26x y y z +=+=.对上式求导得22220,20,1xx yy yy zz x y z +=+=++=. (1)再求导，得22222(2),2(2),0xx yy x y yy zz y z xx yy zz +=−++=−+++=. (2)在()2,2,1处，由(1)解出2x y z =−=，13x =±. 不妨设122333,,x y z ==−=. 所以()()01,,1,2,23x y z α==−.代入(2)得2242,,22033x y y z x y z +=−+=−−+=.所以001(0)(0,1,1)3r κβ==−−，03κ=，01,1)β=−−. 于是()0001(0,1,1)1)1,2,232γαβ=⨯=⨯−−=−−.所以在()2,2,1处，曲率为03κ=，密切平面方程为4(2)(2)(1)0x y z −+−−−=，即490x y z +−−=.7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ. 再设定点为a (常向量). 由条件，a 和()r s 都在C 的过()r s 点的切线上，所以(())//()r s a s α−. 故可设()()()r s a s s λα=+.对上式求导，利用Frenet 公式可得()()()()()()s s s s s s αλαλκβ=+.所以()0s κ=，C 是直线. □ p. 47 习题2.41. 计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+，)2|()()|181r t r t t '''⨯=+，()()61,0,1r t '''=−，()216(),(),()r t r t r t ''''''=，()()222(),(),()1|()()|31r t r t r t r t r t t τ''''''=='''⨯+. (4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，()()()2sin 23cos ,3sin ,42cos23sin ,3cos ,0r t t t t t t t '''=−−−+ ()1sin 23cos ,3sin ,02t t t +−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，()332(),(),()4t r t r t r t ''''''=，()2(),(),()|()()|r t r t r t r t r t τ''''''=='''⨯, (2(21)t k π≠+). 4. 假定()r r s =是正则弧长参数曲线，它的挠率0τ≠，曲率κ不是常数，并且222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (1) 其中a 为常数. 证明该曲线落在一个球面上.证明. 由条件(1)，求导得1111110d d d d ds ds ds ds κκττκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为κ不是常数，上式说明110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (2) 设它的Frenet 标架为{};,,r αβγ. 考虑向量函数111()()()()()()()d r s r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (3) 对上式求导，利用Frenet 公式和(2)式，得111111[]()0d d d d r ds ds ds ds αβκατγγτβκττκκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++−+++−= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以r c =是常向量. 代入(3)得到111()()()()()()d c r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭， ()2222111()d a r s c ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 这说明()r s 在以c 为中心，以a 为半径的球面上. □10. 设()r t 是单位球面上经度为t ，纬度为2t π−的点的轨迹. 求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率.解. 单位球面的参数方程为cos cos ,cos sin ,sin x y z θϕθϕθ===，(,)[/2,/2][,]θϕππππ∈−⨯−. 其中ϕ为经度，θ为纬度. 将,2t t πϕθ==−代入，得曲线的参数方程()2()sin cos ,sin ,cos r t t t t t =.于是()()cos2,sin 2,sin r t t t t '=−，|()|1r t '=+.()()2sin 2,2cos2,cos r t t t t ''=−−，()()()2sin cos2cos sin 2,2sin sin 2cos cos2,2r t r t t t t t t t t t '''⨯=−+()()2sin cos 2(0,0,1)cos2,sin 2,0sin 2,cos2,0t t t t t t =++−，|()()|cos r t r t '''⨯=.()()()4sin (0,0,1)4cos2,4sin 2,sin cos2,sin 2,0r t t t t t t t '''==−+−−,()6sin (),(),()t r t r t r t ''''''=−.所以32cos |()()||()|1sin r t r t r t t κ'''⨯=='+， ()222(),(),()6sin |()()|cos 4(1sin )r t r t r t tr t r t t t τ''''''−=='''⨯++. p. 55 习题2.51，6. 设正则曲线C 的曲率κ处处不为零. 则下述命题是等价的：(a )C 是一般螺线(即C 的切向量与固定方向成定角)； (b )C 的主法线与固定平面平行； (c )C 的挠率与曲率之比:τκ是常数.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠.(a )⇒(b ). 设固定方向的单位向量为n . 则cos (,)n n αα=∠是常数. 因为0κ≠，求导得到0n β=，即主法线方向与固定方向n 垂直. 所以主法线与以n 为法向量的一个固定平面垂直.(b )⇒(c ). 设固定平面的单位法向量为n . 则0n β=. 于是()0d n n dsακβ==. 这说明cos n αθ=是常数，其中(,)n θα=∠. 因为0n β=，可设()()()()n s s s s λαμγ=+.用()s α与等式两边作内积，得()()cos s s n λαθ==是常数. 再由n 是单位向量可知222()1()sin s s μλθ=−=也是常数. 不妨设sin μθ=，则上式成为cos ()sin ()n s s θαθγ=+求导得到0[cos ()sin ()]()s s s θκθτβ=−.所以():()cot s s τκθ=是常数.(c )⇒(a ). 设():()cot s s τκθ=是常数. 令()cos ()sin ()n s s s θαθγ=+. 则()[cos ()sin ()]()0n s ss s θκθτβ'=−=.所以n 是常向量，从而切方向α与固定方向n 成定角(,)n θα=∠. □ 4. 证明：曲线()(,2cos sin )r t t t t t =+−和曲线122()(2cos ,2sin ,)u u r u u =−可以通过刚体运动彼此重合.证明. 对曲线1:C 11()r r u =作参数变换2u v =，可知1C 是圆柱螺线：1(2cos ,2sin ,2)r v v v =−. (2,2a b ==−)它的曲率和挠率分别为114κ=，114τ=−. 因此只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=−，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合. 直接计算可得()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+−，|()|22r t '=，()(3sin ,2cos ,sin )r t t t t ''=−−， ()()(23cos 2,4sin ,2cos )r t r t t t t '''⨯=−−−−2(1,2sin cos )t t t =−+，|()()|42r t r t '''⨯=，14κ=.()(,2sin ,cos )r t t t t '''=−，()8(),(),()r t r t r t ''''''=−，14τ=−. □注. 此类证明题，一般是由等式1()()t u κκ=确定一个函数()u u t =，然后证明1()(())t u t ττ=. p. 63 习题 2.62. 作正则参数曲线C 关于一张平面的对称曲线C *. 证明：曲线C 和C *在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠. 再设∏是过定点a ，以n 为单位法向量的平面. 由上图可见()r s OR =在n 方向的投影向量[()]PR n r s n =⋅，从而()r s 在平面∏上的投影向量()()[()]OP r s PR r s n r s n =−=−⋅.同理，a 在n 方向的投影向量()PQ n a n =⋅. 用11()r s OR =表示()r s 关于平面∏的对称点. 由于Q 是R 和1R 的中点，12PR PR PQ +=，所以111()2()[()]2()[()]()2[()]2().r s OR OP PR OP PQ PRr s n r s n n a n n r s n r s n r s n n a n ==+=+−=−⋅+⋅−⋅=−⋅+⋅ 求导得1()()2[()]r s s n s n αα'=−⋅，2221|()|14[()]4[()]1r s n s n s αα'=−⋅+⋅=.()r s 1()r s naQ1R R所以s 也是C *的弧长参数. 设C *的Frenet 标架为{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为1κ和1τ. 则112()r n n ααα==−⋅.再求导，得1112()[2()]n n n n κβααακββ==−⋅=−⋅.于是11||2()n n κακββκ==−⋅=，12()n n βββ=−⋅.由此得1112()2()2[()()]2[()]2()2(),n n n n n n nn n n n n n γαβγαββαγβααβγαβγγγγ=⨯=−⋅⨯−⋅⨯=−⋅−⋅⨯=−⨯⨯⨯=−⨯⨯=−+⋅2111[2()][2()][2()]n n n n n n τβγββτβτβτββτ=−⋅=−+⋅−⋅=−−⋅=−. 所以有1κκ=，1ττ=−. □3. 如果正则参数曲线的向径()r s 关于弧长s 的n 阶导数是()()()()()()()()n n n n r s a s s b s s c s s αβγ=++，求它的1n +阶导数.解. 由Frenet 公式可得(1)()()()().n n n n n n n n n n n n n n r a a b b c c a b b a c c b ακββκατγγτβκακτβτγ+=+++−++−=−++−++p. 69 习题2.74. 假定曲线:()C r r s =和曲线:()C r r s =的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线C 在每一点的主法线是曲线C 在对应点的次法线. 证明：曲线C 和C 在对应点之间的距离λ为常数，并且曲线C 的曲率和挠率满足关系式22()κλκτ=+.证明. 设曲线C 和C 的弧长参数方程分别为()r r s =和11()r r s =，它们之间的一一对应由函数关系()s s s =给出. 再设它们的Frenet 标架分别为{};,,r αβγ和{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ和11,κτ.由条件，可设1(())()()()r s s r s f s s β=+， (1)1(())()s s s γεβ=， (2)其中1ε=±. 对(1)式两边求导，得1()s f f ααβκατγ''=++−+. (3) 再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得0f '=，所以f 为常值函数. 这说明C 和C 在对应点之间的距离1|(())()|||r s s r s f λ−==为常数.将(3)重写为1(1)s f f ακατγ'=−+. (4)上式再求导，得22111(1)s s f f f f ακβκακκβτγτβ'''''+=−+−+−.用(2)两边分别与上式两边作内积，得22()f κκτ=+. 因为0κ>，所以0f f λ==>，即有22()κλκτ=+. □8. 证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线.证明. 1.以圆柱螺线的轴线为z 轴，建立空间直角坐标系. 它的参数方程为()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =. 因为()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=−，2|()|r t a '=，从0t =开始计算的弧长为()s t =. 由于单位切向量为21()sin ,cos ,)t a t a t b a α=−，根据定理7.3，渐伸线方程为1()()(())()(cos ,sin ,)sin ,cos ,)r t r t c s t t a t a t bt a t a t b α=+−=+−，其中c 是任意一个取定的常数. 记c =. 则渐伸线方程可以写成1()(cos ,sin ,)()(sin ,cos ,)r t a t a t bt c t a t a t b =+−−()cos ()sin ,sin ()cos ,a t a c t t a t a c t t cb =−−+−. (1)它是落在与其轴线(z 轴)垂直的平面z cb =内的一条曲线.2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面z cb =内的一个圆()(cos ,sin ,)r t a t a t cb =.它的弧长为()s t at =. 单位切向量为()(sin ,cos ,0)t t t α=−.所以它的一般的渐伸线方程为()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos ,r t r t c s t t a t c at t a t c at t cb α=+−==−−+−. (2)在(2)中取c ac =，就得到上面的渐伸线(1). □ 注. 在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线. p.75 习题2.81. 求下列平面曲线的相对曲率r κ. (2) 双曲线：(cosh ,sinh )r a t b t =，t ∈.(4) 摆线：((sin ),(1cos ))r a t t a t =−−，[0,2]t π∈.(6) 曳物线：()cos ,ln(sec tan )sin r a t a t t a t =+−，[0,/2)t π∈.解. (2) (sinh ,cosh )r a t b t '=，(cosh ,sinh )r a t b t ''=，2||sinh r a '=，22223/2(sinh cosh )r aba tb t κ=−+.(4) (1cos ,sin )r a t t '=−，(sin ,cos )r a t t ''=，r κ=(0,2)t π∈. (6) 1sin (1,tan )sin ,cos cos r a a t t t t t ⎛⎫'==−−− ⎪⎝⎭，||tan r a t '=， 2cos (1,tan )sin (0,sec )r a t t a t t ''=−+，11cot tan r a t a tκ−=−=−，(0,/2)t π∈.2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是()ρρθ=，其中ρ是极距，θ是极角. 求曲线的相对曲率的表达式.解. ()()()()(),()()cos ,()sin cos ,sin r x y ρθθθρθθρθθθθ===，()()()(sin ,cos )cos ,sin r ρθρθθθθθ''=+−， 2||(r ρθ'=， ()()()2()(sin ,cos )()cos ,sin cos ,sin r ρθρθθθρθθθθθ'''''=+−−()()2()(sin ,cos )()()cos ,sin ρθθθρθρθθθ'''=+−−，22223/2()2()()()[()()]r ρθρθρθρθκρθρθ'''+−='+. 6. 已知平面曲线的相对曲率()r s κ=s 是弧长参数，求它的参数方程.解. 令0()()arcsin sr s d s θκξξ==⎰，则sin(())s s θ=，cos(())s θ=[1,1]s ∈−.因此所求曲线的弧长参数方程为()2001(cos(()),sin(())))arcsin 2s s r d d s s θξθξξξξ===+⎰⎰.8. 求圆222:C x y a +=的渐伸线.解. 习题2.7第8题已经求得圆(cos ,sin )r a t a t =的渐伸线方程为 ()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos r t r t c s t t a t c at t a t c at t α=+−==−−+−. 特别，常数0c =的那一条渐伸线为()1()()()()cos sin ,sin cos r t r t s t t a t t t t t t α=−=+−.习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =−. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221vy u v =++，222211u v z u v +−=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+−. (1) 由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +−'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=−+=−，又2()dt t udu vdv =−+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =−+−=−−=−≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+−=−，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u vr x y z Op u v u v u v ⎛⎫−−'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−−−+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =−+=−=≠. (5)因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v =+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=−=−=−<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=−，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫−−−= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v−=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v −++−−++∂==>∂+， 所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c+−=和双曲抛物面22222x y z a b =−作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++−=，v ∀∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =−±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =−得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =−+，(,)(0,2)u v π∈⨯. (2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =−，则2z uv =. 曲面的参数方程为()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+−(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+−=−+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点. 证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R −=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a −=，()0v r r a −=. (2)所以()//u v r a r r −⨯，从而u v r a r r λ−=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=−⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ−=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a −=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =−，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=−，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==−⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫−⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭(0,0,1)，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂.通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是(),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=−−. 因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r vf v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来； (2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角. (1) 解. C 的参数方程为()()),),),1t t t t r e e e e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t ttttu v r e t t r t e e r t e '=+−=+(2)证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =−=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =−，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)2t u u tur r e r r r e r '⋅'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)22t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =−+，2u t ut =−，2v t vt =−， (,,)(1,0,0)u u r at u v a at =−+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =−+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=，()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++， 从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP −+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =−，22::u v B A δδ=−. (4)这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18)) 12121212()0EB B F B A A B GA A ⇔−++= (由(4)式)20ER FQ GP ⇔−+=. (由(3)式) □8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v −=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积. 解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =−；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr ra dr r a dr r du δδδ⋅−∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a −+，或221arccos 1a a −+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a −.因为是计算内角，在O 点20,0du avdv dv ==>. 同理，0,0u v =>，所以内角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===在B 点220du avdv adv =−=−>，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===. 所以0O ∠=，A B ∠=∠=. 曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为1120()()C L C a L C ===⎰⎰，3()2a C aL C du a −===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =−，3:1C v =，故127 122600()(2)()aCL C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰，3/23/2()aC aL C du a−===⎰⎰.(3)因为dσ=，所以曲边三角形的面积110002avAOBA dσ∆−===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1200lnavuaa dv⎡=++⎢⎣⎰(12lna v dv⎡=++⎢⎣⎰(()(13/222213ln1ln1.a v v v a⎡⎤⎡=+−+=++⎢⎥⎣⎣⎦p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s=以弧长s为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s的Frenet标架是{};,,rαβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t sα=+.由s R tακβ=+，t Rα=可得它的第一基本形式2222I(1())2t s ds dsdt dtκ=+++. (1) 直母线(即t-曲线)0sδ=的正交轨线的微分方程为0ds dt+=，即()0d s t+=. 为此，作参数变换u s=，v s t=+. 则逆变换为s u=，t v u=−，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u uα=+−.在新参数下，(,)()()()()()()()()uR u v u u v u u u v u u uαακβκβ=−+−=−，(,)()vR u v uα=.第一基本形式化为2222I()()v u u du dvκ=−+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u=，t v u=−直接代入(1)式得到上式：22222222 I[1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dvκκ=+−+−+−=−+. 3. 求曲线(cos sin,sin cos,)r v u k u v u k u ku=−+的参数曲线的正交轨线，其中0k>是常数.解.(sin cos,cos sin,)ur v u k u v u k u k=−−−，(cos,sin,0)vr u u=.第一基本形式为2222I(2)v k du kdudv dv=+−+.u-曲线0vδ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv+=，即22(2)0v k du kdv+−=. 解这个微分方程：222kdvdu dv k===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =−+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =−+.p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=−+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =−++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=−≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ====，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) ()2234233,2,vu v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =−++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+−； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面. (2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+−，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =−.则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =−''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面. 当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面. 当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v ul v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u zL u v u v −−==.设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+. 于是S 是可展曲面22220()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+.(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+. 由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠−−，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l t l f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===.取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=−=−+−−− ⎪⎝⎭.则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==−=−−−−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=−+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=−−是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠−+，所以1S 不是可展曲面. 同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠−可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；(2) 旋转椭圆抛物面：()2212,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+−；(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=−，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=−−，()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈−)2cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=.又()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=−，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=−，()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=−.所以2L =，0M=，N =，)222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=−−，)21,,11n u v u =−−+.()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u =++.(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =−，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+−−. 不妨设0a >. 则)2,,2n u v v u a a =+−−+，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =，II 22a u v=++. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=−，)21,,0n g f f ''=−'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II ''''''=.(5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=−，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=−，)21sin ,cos ,n f v f v u f ''=−'+，0uu r=，()sin ,cos ,0uv r v v =−，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=−−，)2II 2f dudv uf dv ='''−+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz −−−++=. (1)因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z −−−=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量()2221/2111(),,n x y z x y z −−−−−−−=++.于是()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz −−−−−−−−−−−−−−=++−++由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz −−−=⊥，故曲面的第二基本形式为()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz −−−−−−−=−⋅=++++.如果由(1)解出111()z dz x dx y dy −−−=−+，再代入上式可得222211222222II −−−−==22222222||xy x =. □3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为(,)()()R s t r s t s α=+.则()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=−，0t >.n γ=−，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=−⋅=−. □6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面. 证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中0,0u v v v M r n N r n =−⋅≡=−⋅≡. 剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++，它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.另一方面，因为L 是直线，有0r r '''⨯=，即//r r '''. 所以00(0)(,)0r n u v ''⋅=. 于是在00(,)u v 点成立()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=⋅=−⋅=−+⋅=.因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是()222,ln()r u v v a u u a =+++，求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+的法曲率.解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则cosh a t =，(sinh cosh )t u a t t ae +=+=，ln(ln t u a =+−，cosh dudt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为()cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+，于是()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =− ()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ⨯=−−，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t −=−−.()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =−，()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =−.2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++222222II aadt adv du adv u a=−+=−++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+中2,1du dv ==，曲面的法曲率222244II 4II ,I 4,I (4)n a a a a a a a a κ−−=−+==+==+. □ 注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时22cosh ,0,E G a t F M L N a =====−=−，2121cosh a t κκ=−=，241cosh K a t =−，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠，曲面12,S S 的单位法向量分别为12,n n . 因为12,,n n β均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α由β到1n 的有向角为ϕ，到2n 的有向角为ϕθ+，02ϕϕθπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠，22(,)n θβ=∠. 则11cos κκθ=，22cos κκθ=.于是1sin κθ==2sin κθ==当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]πϕϕθ∈+，即ϕπϕθ≤≤+. 此时1θϕ=，22()θπϕθ=−+，所以122θθπθ+=−. 则2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=−12κκ=−(1)因此()2222221212()()cos κκκκκκκθ−−=−.化简得42224221212()cos 2cos κκκκκθκκκθ−+=−. 因此 κ=(2)[,]πϕϕθ∉+，即ϕπ>或πϕθ>+. 此时12θπϕ=−，22()θπϕθ=−+或1θϕ=，2θϕθ=+，所以12θθθ−=±. 则同理有212cos κθκκ=+， (2)κ=当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=−). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ22()()()()s u s v s u s E F G L M Nτ''''−=. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，单位法向量为(,)n u v . 设C 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠. 由于C是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s n s γε=，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =. 根据Frenet 公式，()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=−⋅=−⋅⨯==''.利用Lagrange 恒等式，可得()2,,()()()()()()u v u v u v v u EGF r r n r r r n r r n r r r n r r τ''''''''−=⨯=⨯⋅⨯=⋅⋅−⋅⋅.将u v r r u r v '''=+，u v n n u n v '''=+代入上式，得()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=−+++++22Eu Fv Fu Gv E F E G F G u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N''''++''''==++''''++ 22v u v u EF G LMN''''−=. □ p. 166 习题4.31. 求抛物面2212()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为()2212,,()r x y ax by =+，故 (1,0,)x r ax =，(0,1,)y r by =，(,,1)x y r r ax by ⨯=−−，211()(,,1)ax n ax by ++=−−.(0,0,)xx r a =，0xy r =，(0,0,)yy r b =所以在原点处22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，2222II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dyκ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处222222(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++，且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. □注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b . 4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数。

习题答案1p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率：(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+,)2|()()|181r t r t t '''⨯=+, 2213(1)t κ=+.(4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，225|sin 2|t κ=，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222229,3x y z x z ⎧++=⎪⎨−=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，0(0)r α=，00(0)r κβ=. 则(),(),()x s y s z s 满足题给的方程组，所以有2222212,26x y y z +=+=.对上式求导得22220,20,1xx yy yy zz x y z +=+=++=. (1)再求导，得22222(2),2(2),0xx yy x y yy zz y z xx yy zz +=−++=−+++=. (2)在()2,2,1处，由(1)解出2x y z =−=，13x =±. 不妨设122333,,x y z ==−=. 所以()()01,,1,2,23x y z α==−.代入(2)得2242,,22033x y y z x y z +=−+=−−+=.所以001(0)(0,1,1)3r κβ==−−，03κ=，01,1)β=−−. 于是()0001(0,1,1)1)1,2,232γαβ=⨯=⨯−−=−−.所以在()2,2,1处，曲率为03κ=，密切平面方程为4(2)(2)(1)0x y z −+−−−=，即490x y z +−−=.7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ. 再设定点为a (常向量). 由条件，a 和()r s 都在C 的过()r s 点的切线上，所以(())//()r s a s α−. 故可设()()()r s a s s λα=+.对上式求导，利用Frenet 公式可得()()()()()()s s s s s s αλαλκβ=+.所以()0s κ=，C 是直线. □ p. 47 习题2.41. 计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+，)2|()()|181r t r t t '''⨯=+，()()61,0,1r t '''=−，()216(),(),()r t r t r t ''''''=，()()222(),(),()1|()()|31r t r t r t r t r t t τ''''''=='''⨯+. (4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，()()()2sin 23cos ,3sin ,42cos23sin ,3cos ,0r t t t t t t t '''=−−−+ ()1sin 23cos ,3sin ,02t t t +−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，()332(),(),()4t r t r t r t ''''''=，()2(),(),()|()()|r t r t r t r t r t τ''''''=='''⨯, (2(21)t k π≠+). 4. 假定()r r s =是正则弧长参数曲线，它的挠率0τ≠，曲率κ不是常数，并且222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (1) 其中a 为常数. 证明该曲线落在一个球面上.证明. 由条件(1)，求导得1111110d d d d ds ds ds ds κκττκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为κ不是常数，上式说明110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (2) 设它的Frenet 标架为{};,,r αβγ. 考虑向量函数111()()()()()()()d r s r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (3) 对上式求导，利用Frenet 公式和(2)式，得111111[]()0d d d d r ds ds ds ds αβκατγγτβκττκκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++−+++−= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以r c =是常向量. 代入(3)得到111()()()()()()d c r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭， ()2222111()d a r s c ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 这说明()r s 在以c 为中心，以a 为半径的球面上. □10. 设()r t 是单位球面上经度为t ，纬度为2t π−的点的轨迹. 求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率.解. 单位球面的参数方程为cos cos ,cos sin ,sin x y z θϕθϕθ===，(,)[/2,/2][,]θϕππππ∈−⨯−. 其中ϕ为经度，θ为纬度. 将,2t t πϕθ==−代入，得曲线的参数方程()2()sin cos ,sin ,cos r t t t t t =.于是()()cos2,sin 2,sin r t t t t '=−，|()|1r t '=+.()()2sin 2,2cos2,cos r t t t t ''=−−，()()()2sin cos2cos sin 2,2sin sin 2cos cos2,2r t r t t t t t t t t t '''⨯=−+()()2sin cos 2(0,0,1)cos2,sin 2,0sin 2,cos2,0t t t t t t =++−，|()()|cos r t r t '''⨯=.()()()4sin (0,0,1)4cos2,4sin 2,sin cos2,sin 2,0r t t t t t t t '''==−+−−,()6sin (),(),()t r t r t r t ''''''=−.所以32cos |()()||()|1sin r t r t r t t κ'''⨯=='+， ()222(),(),()6sin |()()|cos 4(1sin )r t r t r t tr t r t t t τ''''''−=='''⨯++. p. 55 习题2.51，6. 设正则曲线C 的曲率κ处处不为零. 则下述命题是等价的：(a )C 是一般螺线(即C 的切向量与固定方向成定角)； (b )C 的主法线与固定平面平行； (c )C 的挠率与曲率之比:τκ是常数.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠.(a )⇒(b ). 设固定方向的单位向量为n . 则cos (,)n n αα=∠是常数. 因为0κ≠，求导得到0n β=，即主法线方向与固定方向n 垂直. 所以主法线与以n 为法向量的一个固定平面垂直.(b )⇒(c ). 设固定平面的单位法向量为n . 则0n β=. 于是()0d n n dsακβ==. 这说明cos n αθ=是常数，其中(,)n θα=∠. 因为0n β=，可设()()()()n s s s s λαμγ=+.用()s α与等式两边作内积，得()()cos s s n λαθ==是常数. 再由n 是单位向量可知222()1()sin s s μλθ=−=也是常数. 不妨设sin μθ=，则上式成为cos ()sin ()n s s θαθγ=+求导得到0[cos ()sin ()]()s s s θκθτβ=−.所以():()cot s s τκθ=是常数.(c )⇒(a ). 设():()cot s s τκθ=是常数. 令()cos ()sin ()n s s s θαθγ=+. 则()[cos ()sin ()]()0n s ss s θκθτβ'=−=.所以n 是常向量，从而切方向α与固定方向n 成定角(,)n θα=∠. □ 4. 证明：曲线()(,2cos sin )r t t t t t =+−和曲线122()(2cos ,2sin ,)u u r u u =−可以通过刚体运动彼此重合.证明. 对曲线1:C 11()r r u =作参数变换2u v =，可知1C 是圆柱螺线：1(2cos ,2sin ,2)r v v v =−. (2,2a b ==−)它的曲率和挠率分别为114κ=，114τ=−. 因此只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=−，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合. 直接计算可得()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+−，|()|22r t '=，()(3sin ,2cos ,sin )r t t t t ''=−−， ()()(23cos 2,4sin ,2cos )r t r t t t t '''⨯=−−−−2(1,2sin cos )t t t =−+，|()()|42r t r t '''⨯=，14κ=.()(,2sin ,cos )r t t t t '''=−，()8(),(),()r t r t r t ''''''=−，14τ=−. □注. 此类证明题，一般是由等式1()()t u κκ=确定一个函数()u u t =，然后证明1()(())t u t ττ=. p. 63 习题 2.62. 作正则参数曲线C 关于一张平面的对称曲线C *. 证明：曲线C 和C *在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠. 再设∏是过定点a ，以n 为单位法向量的平面. 由上图可见()r s OR =在n 方向的投影向量[()]PR n r s n =⋅，从而()r s 在平面∏上的投影向量()()[()]OP r s PR r s n r s n =−=−⋅.同理，a 在n 方向的投影向量()PQ n a n =⋅. 用11()r s OR =表示()r s 关于平面∏的对称点. 由于Q 是R 和1R 的中点，12PR PR PQ +=，所以111()2()[()]2()[()]()2[()]2().r s OR OP PR OP PQ PRr s n r s n n a n n r s n r s n r s n n a n ==+=+−=−⋅+⋅−⋅=−⋅+⋅ 求导得1()()2[()]r s s n s n αα'=−⋅，2221|()|14[()]4[()]1r s n s n s αα'=−⋅+⋅=.()r s 1()r s naQ1R R所以s 也是C *的弧长参数. 设C *的Frenet 标架为{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为1κ和1τ. 则112()r n n ααα==−⋅.再求导，得1112()[2()]n n n n κβααακββ==−⋅=−⋅.于是11||2()n n κακββκ==−⋅=，12()n n βββ=−⋅.由此得1112()2()2[()()]2[()]2()2(),n n n n n n nn n n n n n γαβγαββαγβααβγαβγγγγ=⨯=−⋅⨯−⋅⨯=−⋅−⋅⨯=−⨯⨯⨯=−⨯⨯=−+⋅2111[2()][2()][2()]n n n n n n τβγββτβτβτββτ=−⋅=−+⋅−⋅=−−⋅=−. 所以有1κκ=，1ττ=−. □3. 如果正则参数曲线的向径()r s 关于弧长s 的n 阶导数是()()()()()()()()n n n n r s a s s b s s c s s αβγ=++，求它的1n +阶导数.解. 由Frenet 公式可得(1)()()()().n n n n n n n n n n n n n n r a a b b c c a b b a c c b ακββκατγγτβκακτβτγ+=+++−++−=−++−++p. 69 习题2.74. 假定曲线:()C r r s =和曲线:()C r r s =的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线C 在每一点的主法线是曲线C 在对应点的次法线. 证明：曲线C 和C 在对应点之间的距离λ为常数，并且曲线C 的曲率和挠率满足关系式22()κλκτ=+.证明. 设曲线C 和C 的弧长参数方程分别为()r r s =和11()r r s =，它们之间的一一对应由函数关系()s s s =给出. 再设它们的Frenet 标架分别为{};,,r αβγ和{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ和11,κτ.由条件，可设1(())()()()r s s r s f s s β=+， (1)1(())()s s s γεβ=， (2)其中1ε=±. 对(1)式两边求导，得1()s f f ααβκατγ''=++−+. (3) 再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得0f '=，所以f 为常值函数. 这说明C 和C 在对应点之间的距离1|(())()|||r s s r s f λ−==为常数.将(3)重写为1(1)s f f ακατγ'=−+. (4)上式再求导，得22111(1)s s f f f f ακβκακκβτγτβ'''''+=−+−+−.用(2)两边分别与上式两边作内积，得22()f κκτ=+. 因为0κ>，所以0f f λ==>，即有22()κλκτ=+. □8. 证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线.证明. 1.以圆柱螺线的轴线为z 轴，建立空间直角坐标系. 它的参数方程为()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =. 因为()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=−，2|()|r t a '=，从0t =开始计算的弧长为()s t =. 由于单位切向量为21()sin ,cos ,)t a t a t b a α=−，根据定理7.3，渐伸线方程为1()()(())()(cos ,sin ,)sin ,cos ,)r t r t c s t t a t a t bt a t a t b α=+−=+−，其中c 是任意一个取定的常数. 记c =. 则渐伸线方程可以写成1()(cos ,sin ,)()(sin ,cos ,)r t a t a t bt c t a t a t b =+−−()cos ()sin ,sin ()cos ,a t a c t t a t a c t t cb =−−+−. (1)它是落在与其轴线(z 轴)垂直的平面z cb =内的一条曲线.2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面z cb =内的一个圆()(cos ,sin ,)r t a t a t cb =.它的弧长为()s t at =. 单位切向量为()(sin ,cos ,0)t t t α=−.所以它的一般的渐伸线方程为()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos ,r t r t c s t t a t c at t a t c at t cb α=+−==−−+−. (2)在(2)中取c ac =，就得到上面的渐伸线(1). □ 注. 在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线. p.75 习题2.81. 求下列平面曲线的相对曲率r κ. (2) 双曲线：(cosh ,sinh )r a t b t =，t ∈.(4) 摆线：((sin ),(1cos ))r a t t a t =−−，[0,2]t π∈.(6) 曳物线：()cos ,ln(sec tan )sin r a t a t t a t =+−，[0,/2)t π∈.解. (2) (sinh ,cosh )r a t b t '=，(cosh ,sinh )r a t b t ''=，2||sinh r a '=，22223/2(sinh cosh )r aba tb t κ=−+.(4) (1cos ,sin )r a t t '=−，(sin ,cos )r a t t ''=，r κ=(0,2)t π∈. (6) 1sin (1,tan )sin ,cos cos r a a t t t t t ⎛⎫'==−−− ⎪⎝⎭，||tan r a t '=， 2cos (1,tan )sin (0,sec )r a t t a t t ''=−+，11cot tan r a t a tκ−=−=−，(0,/2)t π∈.2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是()ρρθ=，其中ρ是极距，θ是极角. 求曲线的相对曲率的表达式.解. ()()()()(),()()cos ,()sin cos ,sin r x y ρθθθρθθρθθθθ===，()()()(sin ,cos )cos ,sin r ρθρθθθθθ''=+−， 2||(r ρθ'=， ()()()2()(sin ,cos )()cos ,sin cos ,sin r ρθρθθθρθθθθθ'''''=+−−()()2()(sin ,cos )()()cos ,sin ρθθθρθρθθθ'''=+−−，22223/2()2()()()[()()]r ρθρθρθρθκρθρθ'''+−='+. 6. 已知平面曲线的相对曲率()r s κ=s 是弧长参数，求它的参数方程.解. 令0()()arcsin sr s d s θκξξ==⎰，则sin(())s s θ=，cos(())s θ=[1,1]s ∈−.因此所求曲线的弧长参数方程为()2001(cos(()),sin(())))arcsin 2s s r d d s s θξθξξξξ===+⎰⎰.8. 求圆222:C x y a +=的渐伸线.解. 习题2.7第8题已经求得圆(cos ,sin )r a t a t =的渐伸线方程为 ()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos r t r t c s t t a t c at t a t c at t α=+−==−−+−. 特别，常数0c =的那一条渐伸线为()1()()()()cos sin ,sin cos r t r t s t t a t t t t t t α=−=+−.习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =−. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221vy u v =++，222211u v z u v +−=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+−. (1) 由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +−'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=−+=−，又2()dt t udu vdv =−+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =−+−=−−=−≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+−=−，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u vr x y z Op u v u v u v ⎛⎫−−'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−−−+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =−+=−=≠. (5)因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v =+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=−=−=−<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=−，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫−−−= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v−=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v −++−−++∂==>∂+， 所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c+−=和双曲抛物面22222x y z a b =−作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++−=，v ∀∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =−±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =−得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =−+，(,)(0,2)u v π∈⨯. (2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =−，则2z uv =. 曲面的参数方程为()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+−(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+−=−+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点. 证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R −=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a −=，()0v r r a −=. (2)所以()//u v r a r r −⨯，从而u v r a r r λ−=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=−⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ−=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a −=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =−，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=−，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==−⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫−⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭(0,0,1)，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂.通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是(),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=−−. 因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r vf v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来； (2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角. (1) 解. C 的参数方程为()()),),),1t t t t r e e e e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t ttttu v r e t t r t e e r t e '=+−=+(2)证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =−=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =−，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)2t u u tur r e r r r e r '⋅'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)22t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =−+，2u t ut =−，2v t vt =−， (,,)(1,0,0)u u r at u v a at =−+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =−+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=，()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++， 从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP −+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =−，22::u v B A δδ=−. (4)这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18)) 12121212()0EB B F B A A B GA A ⇔−++= (由(4)式)20ER FQ GP ⇔−+=. (由(3)式) □8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v −=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积. 解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =−；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr ra dr r a dr r du δδδ⋅−∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a −+，或221arccos 1a a −+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a −.因为是计算内角，在O 点20,0du avdv dv ==>. 同理，0,0u v =>，所以内角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===在B 点220du avdv adv =−=−>，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===. 所以0O ∠=，A B ∠=∠=. 曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为1120()()C L C a L C ===⎰⎰，3()2a C aL C du a −===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =−，3:1C v =，故127 122600()(2)()aCL C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰，3/23/2()aC aL C du a−===⎰⎰.(3)因为dσ=，所以曲边三角形的面积110002avAOBA dσ∆−===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1200lnavuaa dv⎡=++⎢⎣⎰(12lna v dv⎡=++⎢⎣⎰(()(13/222213ln1ln1.a v v v a⎡⎤⎡=+−+=++⎢⎥⎣⎣⎦p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s=以弧长s为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s的Frenet标架是{};,,rαβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t sα=+.由s R tακβ=+，t Rα=可得它的第一基本形式2222I(1())2t s ds dsdt dtκ=+++. (1) 直母线(即t-曲线)0sδ=的正交轨线的微分方程为0ds dt+=，即()0d s t+=. 为此，作参数变换u s=，v s t=+. 则逆变换为s u=，t v u=−，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u uα=+−.在新参数下，(,)()()()()()()()()uR u v u u v u u u v u u uαακβκβ=−+−=−，(,)()vR u v uα=.第一基本形式化为2222I()()v u u du dvκ=−+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u=，t v u=−直接代入(1)式得到上式：22222222 I[1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dvκκ=+−+−+−=−+. 3. 求曲线(cos sin,sin cos,)r v u k u v u k u ku=−+的参数曲线的正交轨线，其中0k>是常数.解.(sin cos,cos sin,)ur v u k u v u k u k=−−−，(cos,sin,0)vr u u=.第一基本形式为2222I(2)v k du kdudv dv=+−+.u-曲线0vδ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv+=，即22(2)0v k du kdv+−=. 解这个微分方程：222kdvdu dv k===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =−+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =−+.p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=−+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =−++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=−≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ====，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) ()2234233,2,vu v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =−++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+−； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面. (2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+−，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =−.则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =−''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面. 当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面. 当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v ul v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u zL u v u v −−==.设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+. 于是S 是可展曲面22220()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+.(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+. 由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠−−，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l t l f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===.取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=−=−+−−− ⎪⎝⎭.则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==−=−−−−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=−+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=−−是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠−+，所以1S 不是可展曲面. 同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠−可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；(2) 旋转椭圆抛物面：()2212,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+−；(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=−，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=−−，()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈−)2cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=.又()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=−，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=−，()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=−.所以2L =，0M=，N =，)222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=−−，)21,,11n u v u =−−+.()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u =++.(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =−，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+−−. 不妨设0a >. 则)2,,2n u v v u a a =+−−+，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =，II 22a u v=++. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=−，)21,,0n g f f ''=−'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II ''''''=.(5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=−，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=−，)21sin ,cos ,n f v f v u f ''=−'+，0uu r=，()sin ,cos ,0uv r v v =−，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=−−，)2II 2f dudv uf dv ='''−+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz −−−++=. (1)因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z −−−=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量()2221/2111(),,n x y z x y z −−−−−−−=++.于是()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz −−−−−−−−−−−−−−=++−++由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz −−−=⊥，故曲面的第二基本形式为()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz −−−−−−−=−⋅=++++.如果由(1)解出111()z dz x dx y dy −−−=−+，再代入上式可得222211222222II −−−−==22222222||xy x =. □3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为(,)()()R s t r s t s α=+.则()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=−，0t >.n γ=−，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=−⋅=−. □6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面. 证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中0,0u v v v M r n N r n =−⋅≡=−⋅≡. 剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++，它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.另一方面，因为L 是直线，有0r r '''⨯=，即//r r '''. 所以00(0)(,)0r n u v ''⋅=. 于是在00(,)u v 点成立()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=⋅=−⋅=−+⋅=.因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是()222,ln()r u v v a u u a =+++，求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+的法曲率.解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则cosh a t =，(sinh cosh )t u a t t ae +=+=，ln(ln t u a =+−，cosh dudt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为()cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+，于是()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =− ()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ⨯=−−，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t −=−−.()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =−，()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =−.2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++222222II aadt adv du adv u a=−+=−++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+中2,1du dv ==，曲面的法曲率222244II 4II ,I 4,I (4)n a a a a a a a a κ−−=−+==+==+. □ 注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时22cosh ,0,E G a t F M L N a =====−=−，2121cosh a t κκ=−=，241cosh K a t =−，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠，曲面12,S S 的单位法向量分别为12,n n . 因为12,,n n β均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α由β到1n 的有向角为ϕ，到2n 的有向角为ϕθ+，02ϕϕθπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠，22(,)n θβ=∠. 则11cos κκθ=，22cos κκθ=.于是1sin κθ==2sin κθ==当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]πϕϕθ∈+，即ϕπϕθ≤≤+. 此时1θϕ=，22()θπϕθ=−+，所以122θθπθ+=−. 则2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=−12κκ=−(1)因此()2222221212()()cos κκκκκκκθ−−=−.化简得42224221212()cos 2cos κκκκκθκκκθ−+=−. 因此 κ=(2)[,]πϕϕθ∉+，即ϕπ>或πϕθ>+. 此时12θπϕ=−，22()θπϕθ=−+或1θϕ=，2θϕθ=+，所以12θθθ−=±. 则同理有212cos κθκκ=+， (2)κ=当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=−). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ22()()()()s u s v s u s E F G L M Nτ''''−=. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，单位法向量为(,)n u v . 设C 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠. 由于C是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s n s γε=，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =. 根据Frenet 公式，()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=−⋅=−⋅⨯==''.利用Lagrange 恒等式，可得()2,,()()()()()()u v u v u v v u EGF r r n r r r n r r n r r r n r r τ''''''''−=⨯=⨯⋅⨯=⋅⋅−⋅⋅.将u v r r u r v '''=+，u v n n u n v '''=+代入上式，得()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=−+++++22Eu Fv Fu Gv E F E G F G u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N''''++''''==++''''++ 22v u v u EF G LMN''''−=. □ p. 166 习题4.31. 求抛物面2212()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为()2212,,()r x y ax by =+，故 (1,0,)x r ax =，(0,1,)y r by =，(,,1)x y r r ax by ⨯=−−，211()(,,1)ax n ax by ++=−−.(0,0,)xx r a =，0xy r =，(0,0,)yy r b =所以在原点处22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，2222II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dyκ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处222222(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++，且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. □注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b . 4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数。

|
r
(t) r(t | r(t) |3
)
|

3
1 t2 1
2.
（3） r(t) (a 1 cos t , a sin t,b), r(t) a sin t, a cos t, 0,
r(t) r(t) ab cos t, ab sin t, a2 cos t 1 .
t,
1
sin
t,
1 1 cos t ) .
22 2
22
§2.2 曲线的弧长
1.设下面的常数 a 0 ,求曲线在指定范围内的弧长：
（1） r(t) (acht, asht, at) , 0 t b .
（2）悬链线 y ach x ,0, x .
a
（3）曳物线 r(t) (a cos t, a ln(sect tan t) a sin t) ,0,t .
cos
(r*
(t
),
C
)

r*
(t
)

C

1 1 2t2
(c1

2c2t2c3t来自2 )a,
a
为常数
c12 c22 c32 1
则 c1 c3 a
2 2
, c2

0.
所以, r(t) 的切线与 (
2 , 0,
2 ) 的方向始终成定角 .
22
4


|
r(t) r(t) | r(t) |3
|

a b2

b2

4a2 sin4 4a2 sin2 t
2
t

13第一章 曲线论§2 向量函数向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r ×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t l )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t l 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t l )(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t l e ，所以所以 r ×'r =l 'l （e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t l )(t e求微商得'r ='l e +l 'e ，于是r ×'r =2l （e ×'e ）=0 ，则有则有 l = 0 或e ×'e =0 。

当)(t l = 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当l¹0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以所以'e =0 ，即e 为常向量。

所以，)(t r具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。