《多目标规划》PPT课件

PART 02
多目标规划的基本概念
REPORTING
目标函数
01
目标函数是用来衡量规划方案效果的数学表达式， 通常表示为决策变量的函数。
02
在多目标规划中，目标函数可能不止一个，每个目 标函数代表一个需要优化的目标。
03
目标函数的值可以是最大化或最小化的，具体取决 于问题的要求。
约束条件
01 约束条件是限制决策变量取值范围的规则或条件 。
混合智能算法
结合人工智能、机器学习等先进技术，开发混合智能算法，提高多 目标规划的自动化和智能化水平。
扩展应用领域
多目标规划的应用领域将进一步扩大，涵盖经济、工程、环境、社 会等更多领域，为解决实际问题提供更多思路和方法。
如何更好地应用多目标规划解决实际问题
强化理论支撑
深入研究多目标规划的基本理论，提高其理论水平和科学性，为实际应用提供更有力的理论支撑。
总结词
资源分配问题是一个多目标规划的经典问题，旨在合理分配有限资源以达到多 个目标最优。
详细描述
资源分配问题通常涉及多个相互冲突的目标，如最大化效益、最小化成本、确 保资源公平分配等。通过多目标规划方法，可以找到一种权衡方案，使得各个 目标在不同程度上得到优化。
实例二：生产计划问题
总结词
生产计划问题是多目标规划在制造业中的实际应用，旨在平衡生产成本、交货期和产品质量等多个目 标。
解释
在多目标规划中，决策者需要权衡多 个目标之间的利益关系，并找到一个 平衡点，使得所有目标都能得到相对 最优的解。
多目标规划的重要性
解决现实问题
多目标规划能够解决许多现实问题， 如资源分配、项目评估等，这些问题 通常涉及到多个相互冲突的目标。

O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
多目标规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* R ，如果对于 x R 均有 F x F x ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42 x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周 的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下 述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500 x1 400 x2 600 x3 f 2 x 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 x1 x2 x3 40 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 20 20 x1 700 25 x2 800 15 x3 500 x1 , x2 , x3 0
多目标规划的解集
直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1 , x2 R ，通过比较它们的目标函数 值 f x1 , f x2 就可以确定哪个更优。 但对于多目标规划而言， 给定任意两个可行解

环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。

多目标规划问题的典型实例
例1 木梁设计问题
用直径为 1（单位长）的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？ 假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
2 x12 + x2 = 1
且此时木梁的截面面积为 x x 。同时根据材料力规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* ∈ R ，如果对于 ∀x ∈ R 均有 F ( x ) ≤ F ( x ) ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n = 1, p = 2 时绝对最优解的示意图。
以显然 A2 比 A3 好。 对于方案 A1 和 A2 ，由于无法确定其优劣， 而且又没有比它们更好的其他方案，所 以它们就被称之为多目标规划问题的有效解 有效解 （或者非劣解） ，其余方案都称为劣解。所有 非劣解构成的集合称为非劣解集 非劣解集。 非劣解集
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
x2 L xn ] ； F ( x ) = f1 ( x )
T
f2 ( x ) L
f p ( x ) , p ≥ 2
对向量形式的 p 个目标函数求最小，且目标函数 F ( x ) 和约束函数 gi ( x ) 、hi ( x ) 可以 是线性函数也可以是非线性函数。
令 R = {x | gi ( x ) ≤ 0, i = 1, 2,..., m} ，则称 R 为问题的可行域，V-min F ( x ) 指的是
多目标规划问题的典型实例
例2 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。 设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 ( x ) = 2 x1 + 1.5 x2 购得的原料总量为： f 2 ( x ) = x1 + x2 那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f ( x ) 的同时

如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩
写， 即
max(m ZiF n(X ) )
（6.1.3）
(X)G
（6.1.4）
式中： ZF(X)是k维函数向量；
k是目标函数的个数；
Φ(X ) 等是m维函数向量；
G是m维常数向量；
m是约束方程的个数。
甘肃农业大学资源与环境学院
对 于 线 性 多 目 标 规 划 问 题 ， （ 6.1.3 ） 和 （6.1.4）式可以进一步用矩阵表示
尽可能的小，或即：
(x12x22)min
根据问题的要求，应满足下述约束条件：
x1 H
x1 x1
x2
x2
W
0
4
x
2
x1
0
x 1 0 , x 2 0
这是具有两个目标的非线性规划问题。
甘肃农业大学资源与环境学院
多目标规划及其非劣解
例3：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A万元， 今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，2，……，n)个 项目要用资金ai万元，预计可得到收益bi万元。问应如何使 用总资金A万元，才能得到最佳的经济效益？
甘肃农业大学资源与环境学院
第1节 多目标规划及其非劣解
➢多目标规划及其非劣解 ➢多目标规划的非劣解
甘肃农业大学资源与环境学院
多目标规划及其非劣解
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。
n
f1(x1，……，xn) bixi max i1 n
f2(x1，……，xn) aixi min i1

max Z ( X )
s . t .
（1）
( X ) G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
max i i
i 1 k
( x , x , x ) g ( i 1 , 2 , , m ) i 1 2 n i
x d d 200 1 d d 0( j 1 . 2 . 3 ) j, j x d d 250 2
2 3
2 3
若规定3600的钢材必须用完，原式9 x1 +4 x2 ≤3600 x 4 x d d 3600 d , d 0 则变为 9 1 2 4 4 4 4
1( X ) 0 2( X ) 0 ( X ) ( X ) 0 m
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想 化的期望目标 fi* ( i=1,2,…,k ) , 每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,…,k ) ， 再设 为一松弛因子。 那么，多目标规划问题就转化为：
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即 可。
二 多目标规划求解
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。

1， 投资第i个项目 0，不投资第i个项目
约束条件： n
i1
ai xi
A
xi 0或1（i 1,, n)
第十页，共57页。
§2 多目标规划模型及其解的概念
目标函数：何为最佳的经济效益？
（1）收益最大：
n
max f1 ( x1 ,, xn ) bi xi i 1
（2）投资最少：
n
min f2 ( x1 ,, xn ) ai xi i 1
运筹学多目标规划演示文稿
第一页，共57页。
运筹学多目标规划
第二页，共57页。
§1 多目标决策简介
一、多目标决策问题实例
• 干部评估－德、才兼备
• 教师晋升－教学、科研、论文等
• 购买冰箱－价格、质量、耗电、品牌等 • 球员选择－技术、体能、经验、心理
• 找对象－容貌、学历、气质、家庭状况
第三页，共57页。
三、多目标决策与单目标决策区别
• 点评价与向量评价
单目标： 方案dj ←评价值f(dj) 多目标：方案dj←评价向量(f1(dj)，f2(dj)…，fp(dj))
• 全序与半序: 方案di与dj之间
单目标问题: di<dj ; di=dj ; di>dj 多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况
先引进一些记号，记
F1
(
f11，……，f
1 p
)
Ep
F2
(
f12，……，f
2 p
)
Ep
(1)" "：F 1 F 2意味着向量F 1的每个分量都要严格的小于向
量F
2对应的分量。即对于i
1，……，p，均有f
1 i

1
例题1 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品 都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位 消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和 所造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每 期怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染 最小？
甲
资源A单位消耗
max( f3 ( X )) 3x1 2x2
9x1 4x2 240 4x1 5x2 200 3x1 10x2 300 x1, x2 0
望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f2 (X ) 400x1 600x2 20000
f3 (X ) 3x1 2x2 90
由主要目标法化为单目标问题max f1( X ) 70x1 120x2
用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5, x2 26.25, f1(x) 4025, f2 (x) 20750, f3 (x) 90
400x1 600x2 20000 3x1 2x2 90 9x1 4x2 240 4x1 5x2 200 3x1 10x2 300 x1, x2 0
aij
f1
f2
f3
f4
f5
f6
A1
1
1
67
50.5 34
50.5
A2
100
100
1
100
1
1
A3
1
42.25 100
1
67
100
A4
40.6 25.75 67
25.75 100
1
设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3), 则

• 全序与半序: 方案di与dj之间 单目标问题: di<dj ; di=dj ; di>dj 多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况
• 决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对
是不可比较大小 目标的偏好。
第3页/共58页
• 解概念区别
单目标决策的解只有一种（绝对）最优解; 多目标决策的解有下面三种情况： ➢ 绝对最优解
目标值空间
（1）平行直线簇
α1f1+α2f2=c ；
（2）同一条直线上X1与
B
X2有相同的评价值，即有
U*=minU U［F(X1)］=U［F(X2)］。
f12
两个目标的最大化问题： f2 D
C B
A 0
劣解与有效解
E f1
第17页/共58页
§2 多目标规划模型及其解的概念
多目标规划——解的关系
p
定理1 Ra*b Ri* ，其中 Ri* 为单目标 fi (X) 上
最优点集合。 i 1
定理2 Ra*b R*pa Rw*p R
f f1(x) f2(x)
第13页/共58页
§2 多目标规划模型及其解的概念
定义1 设X*∈R，若对任意X∈R，均有 F(X*)≦F(X)，则称X*为问题（VMP）的 绝对最优解。其全体记为R*ab 。
f
f1(x)
f2(x)
0
x*
x
绝对最优解示意图
注：绝对最优解往往不存在！
第14页/共58页
§2 多目标规划模型及其解的概念
(VMP)
XR
向量数学规划 (Vector
Mathematical Programming)
第11页/共58页

其余的目标满足一定的条件，即 max f1(X )
第7页/共61页
g s.t.h
i j
( (
X X
) )
0, 0,
i j
1,2,...,n 1,2,...,m
fk
(X
)
k
,k
1,2, . . . , p
1
例题1 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品 都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位 消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和 所造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每 期怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染 最小？
f2 (X ) 400x1 600x2 20000
f3 (X ) 3x1 2x2 90
由主要目标法化为单目标问题max f1( X ) 70x1 120x2
用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5, x2 26.25, f1(x) 4025,
400x1 600x2 20000 3x1 2x2 90
劣解，因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰
的解。而方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解
），因为这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其
余任何一个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却更
差。
f2 1
56
3
7
24
8
第1页/共61页
f1
二、模型结构
多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策 者。
z理ki 想 值f k，( X此i*最), k优解Xi,处k 别 的1f,12目,...标,fp2所取的，值把f用i上述计表算示f结p，果即列入下表