高考数学二轮复习课时跟踪检测二十八不等式选讲理

课时跟踪检测（二十三） 不 等 式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2B.a b>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则a b<1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.2．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，n ∈N *，n >2，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是( )A ．φ(n )<f (n )<g (n )B ．φ(n )≤f (n )<g (n )C ．f (n )<φ(n )<g (n )D ．f (n )≤φ(n )<g (n )解析：选C f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n ，所以f (n )<φ(n )<g (n )．故选C.3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27解析：选B 因为第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋26b a ·6ab＝25，当且仅当6b a ＝6a b ，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25.4．(2018·陕西模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，可知当直线过点A (2，－1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值，且z max ＝2×2－1＝3.5．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1，或x >3}B ．{x |－3<x <－1，或x >2}C ．{x |x <－3，或－1<x <2}D ．{x |x <－3，或x >2}解析：选B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<x <－1或x >2.选B.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋12，x ≤0，则“0<x <1”是“f (x )<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<x <1时，f (x )＝log 2x <0，所以“0<x <1”⇒“f (x )<0”；若f (x )<0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－2x ＋12<0，解得0<x <1或－1<x ≤0，所以－1<x <1，所以“f (x )<0”⇒/ “0<x <1”．故选A.7．(2018·重庆模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值，且z min ＝2×1＋2＝4，故选B.8．(2018·广东模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)解析：选B 如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.9．(2018·山东青岛模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：选C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1.所以t 2－12a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －122对t ≥1恒成立，所以t ＋12a≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.10．(2018·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为( )A ．3B ． 3C ．2D. 2解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －1·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3. 11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于x 的不等式ax 2－ax －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( )A ．(－1,0)B ．[－1,0]C ．(0,1]D ．[－1,1]解析：选B 当a >1时，由题意可得x 2－ax －2a 2>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得x 2－ax －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即x 2＋2mx －m ≥0恒成立，故对于方程x 2＋2mx －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．(2018·郑州模拟)若变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则xy 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354D ．[0,9]解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，xy 的最小值为0(当x ＝1，y ＝0时取得)；xy ≤x (6－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋6－x 22＝9，即xy ≤9，当x ＝3，y ＝3时取等号，即xy 的最大值为9，故选D.二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a ·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.答案：(－π，2π)15．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9.答案：916．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的图象在x 轴上方，且与x 轴相切，因此有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c <x ＋a 2<c ，－c －a 2<x <c －a 2.∵不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9.答案：9B 级——难度小题强化练1．(2018·合肥二模)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为x ∈[1,4]，则不等式x 2＋ax －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x－x ，设f (x )＝2x－x ，x ∈[1,4]，由题意得只需a ＜f (x )max ，因为函数f (x )为区间[1,4]上的减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g (x )＝x 2＋ax －2，函数g (x )的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g (x )＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.2．(2018·衡水二模)若关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63 B ．233C.433D.263解析：选C ∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 3．(2018·沈阳一模)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115B ．⎝⎛⎭⎪⎫1，115C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115D ．[－1,3]解析：选A 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4a ＋2≥0，f 1≥0，f 3≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C 设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，z 有最大值，z max ＝400×6＝2 400，故选C.5．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________． 解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，∵x ∈(0,1)，∴1－x ∈(0,1)，∵x ＋(1－x )＝1，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝5＋1－x x ＋4x 1－x≥5＋2 1－x x ·4x1－x＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9. 答案：96．(2018·洛阳尖子生统考)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x ＝0，y ＝3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1max＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝x 上，所以当点(x ，y )在线段AO 上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]．答案：[3,9]。

第二讲 不等式选讲(选修4－5)[考情分析]不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ① 当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得－1＜x ≤－12；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得12≤x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |.3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23＜x ＜2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x ＞a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．含绝对值不等式的解法[方法结论]1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法：(1)若c ＞0，则|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ， 然后根据a ，b 的取值求解即可；(2)若c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2．|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法： (1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集； (4)这些解集的并集就是原不等式的解集．[题组突破]1．设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)求不等式f (x )＞1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围． 解析：(1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时，f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时，f (x )＝2x ＋1＞1，得x ＞0，即0 ＜x ＜1； 当x ≥1时，f (x )＝3＞1，即x ≥1.综上，不等式f (x )＞1的解集为(0，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3，得f (x )max ＝3)， 即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4. 故实数m 的取值范围为[－3,4]．2．(2017·广州模拟)设函数f (x )＝|kx －1|(k ∈R )．(1)若不等式f (x )≤2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤1，求k 的值； (2)若f (1)＋f (2)＜5，求k 的取值范围． 解析：(1)由|kx －1|≤2，得－2≤kx －1≤2， ∴－1≤kx ≤3，∴－13≤k3x ≤1.由已知，得k3＝1，∴k ＝3.(2)由已知，得|k －1|＋|2k －1|＜5.当k ≤12时，－(k －1)－(2k －1)＜5，得k ＞－1，此时－1＜k ≤12；当12＜k ≤1时，－(k －1)＋(2k －1)＜5，得k ＜5，此时12＜k ≤1； 当k ＞1时，(k －1)＋(2k －1)＜5，得k ＜73，此时1＜k ＜73.综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，73. [误区警示]利用零点分段讨论法，解绝对值不等式时易遗漏区间的端点值．不等式的证明[方法结论]证明不等式的5个基本方法 (1)比较法：作差或作商比较．(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论． (3)分析法：执果索因的证明方法． (4)反证法：反设结论，导出矛盾．(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法．[题组突破]1．已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，且abc ＝1. (1)证明：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8； (2)证明：a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.证明：(1)∵1＋a ≥2a ，1＋b ≥2b ，1＋c ≥2c ， ∴(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥2a ·2b ·2c ＝8abc ， ∵abc ＝1，∴(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8. (2)∵ab ＋bc ≥2ab 2c ＝2b ，ab ＋ac ≥2a 2bc ＝2a ， bc ＋ac ≥2abc 2＝2c ，上面三式相加得，2ab ＋2bc ＋2ca ≥2a ＋2b ＋2c ， 即ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c . 又1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ac ，∴a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.2．(2017·武汉调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解析：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤23x －5，x ＞2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0， 此时x ≤0；当x ＞2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}． (2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14.令g (x )＝－(x －12)2＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.3．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1， 这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 4．已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a . 证明：要证 b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2.只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立． [类题通法]不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等．(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；(2)如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；(3)如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．含绝对值不等式的恒成立问题[方法结论]绝对值不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．[典例] (2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.因为|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)， 所以g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 则实数m 的取值范围是(－∞，5]． [类题通法]1．绝对值不等式中蕴含最佳思想，即可利用|||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |去求形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |或f (x )＝|x －a |－|x －b |的最值．2．不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a .[演练冲关]1．(2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |(m ＞0)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥1的解集；(2)对于任意实数x ，t ，不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|恒成立，求m 的取值范围． 解析：(1)f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4m ，x ≥m －2x －2m ，－3m ＜x ＜m .4m ，x ≤－3m当m ＝1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2≥1－3＜x ＜1，或x ≤－3，得x ≤－32，∴不等式f (x )≥1的解集为{x |x ≤－32}．(2)不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )＜(|2＋t |＋|t －1|)min 恒成立，即[f (x )]max ＜(|2＋t |＋|t －1|)min ， ∵f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |≤|(x －m )－(x ＋3m )|＝4m ， |2＋t |＋|t －1|≥|(2＋t )－(t －1)|＝3， ∴4m ＜3，又m ＞0，∴0＜m ＜34.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.。

考点不等式的解法及证明1．(2014·陕西，15A)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．解析由柯西不等式得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，将已知代入得m2＋n2≥5⇒m2＋n2≥ 5.答案 52．(2014·江西，15)x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．解析因为|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，当且仅当x(x－1)≤0，即0≤x≤1时取等号，|y|＋|y－1|≥|y－(y－1)|＝1，当且仅当y(y－1)≤0，即0≤y≤1时取等号，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥1＋1＝2.又已知|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，0≤x≤1且0≤y≤1，所以0≤x＋y≤2.答案[0，2]3．(2013·陕西，15A)设a，b∈R，|a－b|＞2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x －b|＞2的解集是________．解析∵|x－a|＋|x－b|＝|a－x|＋|x－b|≥|(a－x)＋(x－b)|＝|a－b|＞2，∴|x－a|＋|x －b|＞2对x∈R恒成立．故解集为(－∞，＋∞)．答案(－∞，＋∞)4．(2012·陕西，15A)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点x到a点与1点的距离的和小于等于3.由图可得－2≤a≤4.]答案[－2，4]5．(2011·陕西，15A)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解析 法一 ∵|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴使原不等式成立的a 的取值范围是a ≤3.法二 |x ＋1|＋|x －2|表示数轴上一点A (x )到B (－1)与C (2)的距离之和，而|BC |＝3， ∴|AB |＋|AC |≥3.∴a ≤3.法三设f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎨⎧1－2x ，x ＜－1，3，－1≤x ≤2，2x －1，x ＞2，∴f (x )的图象如图所示，∴f (x )≥3.∴a ≤3. 答案 (－∞，3]6．(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．解 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2, 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是 (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． 7．(2015·江苏，21(D))解不等式 x ＋|2x ＋3|≥2.解 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2. 解得x ≤－5或x ≥－13. 综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13.8．(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a＋1，0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．9．(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值． 解 (1)由|x ＋a |＜b ， 得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎨⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t≤[（3）2＋12][（（4－t ））2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1， 即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.10．(2014·新课标全国Ⅰ，24)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.11．(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．(1)证明 由a ＞0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2. (2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |. 当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ， 由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.12．(2013·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.13．(2013·新课标全国Ⅱ，24)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 得a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.。

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第28练不等式选讲［明考情]不等式选讲是每年的高考必考题，以选做题的形式呈现，主要考查基本运算能力和推理论证能力,中低档难度.［知考向］1。

绝对值不等式的解法。

２.不等式的证明。

３。

不等式的应用。

考点一绝对值不等式的解法方法技巧|x－a|+|ｘ－b|≥ｃ(c>0)和|x－a｜＋|x-ｂ｜≤c(c>０）型不等式的解法(1）利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.(２）利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.（3)通过构造函数，利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想．1.已知函数ｆ(x)=|x－a|,其中a>1。

(1）当ａ=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2）已知关于x的不等式|f（2ｘ＋a）－2ｆ（ｘ）|≤２的解集为{ｘ|1≤x≤２}，求a的值.解 (1）当a=２时，ｆ(ｘ)+|x－4|＝错误!当x≤2时,由ｆ(x)≥４-|ｘ－4|，得-2x+6≥4，解得x≤1;当2＜x＜4时,由f(x)≥4－|x－4|,得2≥4，无解;当ｘ≥4时,由ｆ(x)≥4－|x-4｜,得2ｘ－6≥4，解得x≥5.所以ｆ（x）≥4-｜ｘ－4｜的解集为{x|ｘ≤1或x≥５｝。

课时跟踪检测（二十二） 不等式选讲1．(2017·邢台模拟)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|.(1)解不等式f (x )≥2；(2)当x ∈R,0＜y ＜1时，证明：|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y. 解：(1)当x ≥2时，由f (x )≥2，得4≥2，故x ≥2；当－2＜x ＜2时，由f (x )≥2，得2x ≥2，故1≤x ＜2；当x ≤－2时，由f (x )≥2，得－4≥2，无解．所以f (x )≥2的解集为{x |x ≥1}．(2)证明：因为|x ＋2|－|x －2|≤4，1y ＋11－y ＝⎝⎛⎭⎫1y ＋11－y [y ＋(1－y )]＝2＋1－y y ＋y 1－y ≥4⎝⎛⎭⎫当且仅当y ＝12时取等号， 所以|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y. 2．(2017·成都模拟)已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求2a ＋b 的最小值． 解：(1)当－1≤x ＜3时，f (x )＝4；当x ≥3时，f (x )＝2x －2.∴不等式f (x )≤6等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜3，4≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，2x －2≤6. ∴－1≤x ＜3或3≤x ≤4.∴－1≤x ≤4.∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}．(2)由(1)，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，－1≤x ＜3，2x －2，x ≥3.可知f (x )的最小值为4，∴n ＝4. ∴8ab ＝a ＋2b ，变形得1b ＋2a＝8. ∵a ＞0，b ＞0，∴2a ＋b ＝18(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1b ＋2a ＝18⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥18⎝⎛⎭⎫5＋22a b ·2b a ＝98. 当且仅当2a b ＝2b a ，即a ＝b ＝38时取等号． ∴2a ＋b 的最小值为98.3．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b ) ＝2＋3(a ＋b )34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.4．(2017·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|x －a |－12x (a ＞0)． (1)若a ＝3，解关于x 的不等式f (x )＜0；(2)若对于任意的实数x ，不等式f (x )－f (x ＋a )＜a 2＋a 2恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－12x ，即|x －3|－12x ＜0，原不等式等价于－x 2＜x －3＜x 2，解得2＜x ＜6，故不等式的解集为{x |2＜x ＜6}．(2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a 2， 原不等式等价于|x －a |－|x |＜a 2，由绝对值三角不等式的性质，得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a |，原不等式等价于|a |＜a 2，又a ＞0，∴a ＜a 2，解得a ＞1.∴实数a 的取值范围为(1，＋∞)．5．(2017·开封模拟)设函数f (x )＝|x －a |，a <0.(1)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫－1x ≥2； (2)若不等式f (x )＋f (2x )<12的解集非空，求a 的取值范围．解：(1)证明：函数f (x )＝|x －a |，a <0，设f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫－1x ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪－1x －a＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪1x ＋a ≥⎪⎪⎪⎪(x －a )＋⎝⎛⎭⎫1x ＋a ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2(当且仅当|x |＝1时取等号)．(2)f (x )＋f (2x )＝|x －a |＋|2x －a |，a <0.当x ≤a 时，f (x )＋f (2x )＝a －x ＋a －2x ＝2a －3x ，则f (x )＋f (2x )≥－a ；当a <x <a 2时，f (x )＋f (2x )＝x －a ＋a －2x ＝－x ， 则－a 2<f (x )＋f (2x )<－a ； 当x ≥a 2时，f (x )＋f (2x )＝x －a ＋2x －a ＝3x －2a ， 则f (x )＋f (2x )≥－a 2， 则f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，若不等式f (x )＋f (2x )<12的解集非空，则需12>－a 2， 解得a >－1，又a <0，所以－1＜a ＜0，故a 的取值范围是(－1,0)．6．(2017·洛阳模拟)已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围． 解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，x ＜－1，－3x ，－1≤x ≤12，x －2，x ＞12，函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时等号成立．∵1a＋4b≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，∴|2x－1|－|x＋1|≤3，结合图象知－1≤x≤5，∴x的取值范围是[－1,5]．。

第2讲 不等式选讲本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.热点一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a . (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a .(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 例1 (2017届四川省成都市三诊)已知f (x )＝|x －a |，a ∈R. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式即为|x －1|＋|2x －5|≥6. 当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6， ∴x ≤0；当1<x <52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6，∴x ∈∅；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6，∴x ≥4.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}． (2)∵||x －a |－|x －3||≤ |x －a －(x －3)|＝|a －3|， ∴f (x )－|x －3|＝|x －a |－|x －3|∈[－|a －3|，|a －3|] . ∴函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]．∵[－1,2]⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5.∴a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1， 解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，54. 热点二 不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．例2 (2017届福建省福州质检)(1)求函数f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|的最大值M ；(2)若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2≤c ，求证：2(a ＋b ＋c )＋1≥0，并说明取等条件．(1)解 f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|≤|3x ＋2＋1－2x ||x ＋3|＝1，当且仅当x ≤－23或x ≥12时等号成立，所以M ＝1.(2)证明 2(a ＋b ＋c )＋1≥2(a ＋b ＋a 2＋b 2)＋1 ≥2⎣⎡⎦⎤a ＋b ＋(a ＋b )22＋1＝(a ＋b ＋1)2≥0，当且仅当a ＝b ＝－12，c ＝12时取等号，所以存在实数a ＝b ＝－12，c ＝12满足条件．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧． 跟踪演练2 (2017届河北省衡水中学押题卷)已知a ，b 为任意实数． (1)求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)；(2)求函数f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)|的最小值． (1)证明 a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2) ＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2 ＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4. 因为(a －b )4≥0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)．(2)解 f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)| ＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋|2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)| ≥|[2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)]－[2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)]| ＝|(a －b )4＋1|≥1. 即f (x )min ＝1.热点三 柯西不等式的应用 柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． 例3 (2017届长沙市雅礼中学模拟)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求证：2≤at ＋12＋bt ≤4. (1)解 由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4， 解得a ＝－3，b ＝1. (2)证明 由柯西不等式，有(－3t ＋12＋t )2＝(3·－t ＋4＋1·t )2 ≤[(3)2＋12][(－t ＋4)2＋(t )2]＝16， 所以－3t ＋12＋t ≤4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立． 又(－3t ＋12＋t )2＝－3t ＋12＋t ＋2－3t ＋12·t ≥12－2t ≥4(0≤t ≤4)， 所以－3t ＋12＋t ≥2， 当且仅当t ＝4时等号成立， 综上，2≤at ＋12＋bt ≤4.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．跟踪演练3 已知函数f (x )＝|x ＋2|－m ，m ∈R ，且f (x )≤0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝m ，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解 (1)由f (x )≤0，得|x ＋2|≤m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－m －2≤x ≤m －2，又f (x )≤0的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，m －2＝－1，解得m ＝1.(2)由(1) 知a ＋b ＋c ＝1， 由柯西不等式，得(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)·(12＋12＋12)，所以(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]＝18，所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， 当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1， 即a ＝b ＝c ＝13时等号成立，所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于 当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8， 因此a ＋b ≤2. 押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4， 解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，即x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|. 因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立， 所以(f (x )＋|x －2|)min <3， 所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1， 故实数a 的取值范围为(－7，－1)． 2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y ≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据 不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意，分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值． (1)解 因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4， 所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得 1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥12＋12y x ·xy＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y ≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可． 构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|， 则等价于解不等式f (a )≤1. 因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)证明 因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4， 所以y ＝4－x (0<x <4)， 于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝⎛⎭⎫x －832＋323≥323， 当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组 专题通关1．(2017届山西省实验中学模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋4|，g (x )＝x 2＋4x ＋3. (1)求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)如果f (x )≥|1－5a |恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )≥g (x )，即|x －2|＋|x ＋4|≥x 2＋4x ＋3，①当x <－4时，原不等式等价于 －(x －2)－(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3， 即x 2＋6x ＋5≤0，解得－5≤x ≤－1， ∴－5≤x <－4；②当－4≤x ≤2时，原不等式等价于 －(x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋4x －3≤0，解得－2－7≤x ≤－2＋7， ∴－4≤x ≤－2＋7； ③当x >2时，原不等式等价于 (x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋2x ＋1≤0，解得x ＝－1，得x ∈∅.综上可知，不等式f (x )≥g (x )的解集是{x |－5≤x ≤－2＋7}． (2)∵|x －2|＋|x ＋4|≥|x －2－x －4|＝6， 且f (x )≥|1－5a |恒成立，∴6≥|1－5a |，即－6≤1－5a ≤6， ∴－1≤a ≤75，∴a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，75. 2. (2017届陕西省渭南市二模)已知函数f (x )＝|x ＋3|－m ，m >0，f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (1)求m 的值；(2)若∃x ∈R ，f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x ＋3|－m ， ∴f (x －3)＝|x |－m ≥0. ∵m >0，∴x ≥m 或x ≤－m .又∵f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴m ＝2.(2)f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1等价于不等式|x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32t ＋3，g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－3，3x ＋2，－3<x <12，－x ＋4，x ≥12，故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝72，则有72≥－t 2＋32t ＋3，即2t 2－3t ＋1≥0， 解得t ≤12或t ≥1.即实数t 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)． 3．(2017届安徽省蚌埠市教学质检)已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．解 (1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ， 当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立， 当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0； 当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅， 综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}． (2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |， ∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n | ≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5| ＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2， ∴F ≥1，F min ＝1.4．(2017届河南省洛阳市统考)设不等式0<|x ＋2|－|1－x |<2的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪a ＋12b <34； (2)比较|4ab －1|与2|b －a |的大小，并说明理由． (1)证明 记f (x )＝|x ＋2|－|1－x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1.由0<2x ＋1<2，解得－12<x <12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. ∵a ，b ∈M ，∴|a |<12，|b |<12，∴⎪⎪⎪⎪a ＋12b ≤|a |＋12|b |<12＋12×12＝34. (2)解 由(1)得a 2<14，b 2<14.∵|4ab －1|2－4|b －a |2＝(16a 2b 2－8ab ＋1)－4(b 2－2ab ＋a 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， ∴|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |.5．(2017届云南省昆明市适应性检测)已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1. (1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1； (2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c2≥1.证明 (1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |， a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1， 所以|am |＋|bn |＋|cp | ≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p 22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，即|am ＋bn ＋cp |≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1， 所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c2＝⎝⎛⎭⎫m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2(a 2＋b 2＋c 2) ≥⎝⎛⎭⎫m 2a ·a ＋n 2b ·b ＋p 2c ·c 2＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1. 所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c2≥1.B 组 能力提高6．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .(1)解 令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥1，－3x ＋2，x <1， 当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4， 当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0， ∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)． (2)证明 |x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，又∵a ，b ，c >0，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc ≥331a 3·1b 3·1c 3＋3abc ＝3abc＋3abc ≥23abc ·3abc ＝6， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c3＋3abc . 7．(2017届四川省成都市二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0， 根据绝对值的几何意义，得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32表示点(x,0)到A ⎝⎛⎭⎫－32，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0两点的距离之和． 接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．将点A 向左移动12个单位长度到点A 1(－2,0)， 这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；同理，将点B 向右移动12个单位长度到点B 1(2,0)， 这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.∴当x ∈[－2,2]时，⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，由柯西不等式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32 即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9， ∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94. 上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94. 8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于 |x ＋1|－|x |≥12， ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12， 解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12， 解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a | ＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，∴f (x )max ＝a ＋1－a ，对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2 －⎝⎛⎭⎫a －122＋14. ∵当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时单调递增，a ∈⎣⎡⎦⎤12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1， ∴b 的取值范围为(－∞，1]．。

课时跟踪检测（二十八）1．(2017·云南调研)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|m －x |(其中m ∈R)．(1)当m ＝2时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若不等式f (x )≥6对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝2时，f (x )＝|x ＋1|＋|2－x |，①当x <－1时，f (x )≥6可化为－x －1＋2－x ≥6，解得x ≤－52； ②当－1≤x ≤2时，f (x )≥6可化为x ＋1＋2－x ≥6，无实数解；③当x >2时，f (x )≥6可化为x ＋1＋x －2≥6，解得x ≥72. 综上，不等式f (x )≥6的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≤－52或x ≥72. (2)法一：因为|x ＋1|＋|m －x |≥|x ＋1＋m －x |＝|m ＋1|，由题意得|m ＋1|≥6，即m ＋1≥6或m ＋1≤－6，解得m ≥5或m ≤－7，即m 的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．法二：①当m <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋m －1，x<m ，－m －1，m≤x≤－1，2x ＋1－m ，x>－1，此时，f (x )min ＝－m －1，由题意知，－m －1≥6，解得m ≤－7，所以m 的取值范围是m ≤－7.②当m ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|＋|－1－x |＝2|x ＋1|，此时f (x )min ＝0，不满足题意．③当m >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋m －1，x<－1，m ＋1，－1≤x≤m，2x ＋1－m ，x>m ，此时，f (x )min ＝m ＋1，由题意知，m ＋1≥6，解得m ≥5，所以m 的取值范围是m ≥5.综上所述，m 的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．2．(2017·郑州模拟)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |的最小值为4.(1)求a ＋b 的值；(2)求14a 2＋19b 2的最小值． 解：(1)因为|x ＋a |＋|x －b |≥|a ＋b |，所以f (x )≥|a ＋b |，当且仅当(x ＋a )(x －b )<0时，等号成立，又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ，所以a ＋b ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＝4，b ＝4－a ，14a 2＋19b 2＝14a 2＋19(4－a )2＝1336a 2－89a ＋169＝1336⎝⎛⎭⎪⎫a －16132＋1613，故当且仅当a ＝1613，b ＝3613时，14a 2＋19b 2取最小值为1613. 3．(2018届高三·湖南五市十校联考)设函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋a |.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若不等式f (x )>0在x ∈[2,3]上恒成立，求a 的取值范围．解：(1)a ＝1，f (x )>1⇔|x －1|－2|x ＋1|>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x≤－1，－x ＋1＋＋或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x≤1，－x ＋1－＋或⎩⎪⎨⎪⎧ x>1，x －1－＋⇔－2<x ≤－1或－1<x <－23或x ∈∅⇔－2<x <－23，故不等式f (x )>1的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23. (2)f (x )>0在x ∈[2,3]上恒成立⇔|x －1|－2|x ＋a |>0在x ∈[2,3]上恒成立⇔|2x ＋2a |<x －1⇔1－x <2x ＋2a <x －1⇔1－3x <2a <－x －1在x ∈[2,3]上恒成立⇔(1－3x )max <2a <(－x －1)min ⇔－5<2a <－4⇔－52<a <－2.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－2. 4．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式|g (x )|<5；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由||x －1|＋2|<5得－5<|x －1|＋2<5，所以－7<|x －1|<3，解得－2<x <4，则不等式|g (x )|<5的解集为{x |－2<x <4}．(2)因为对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围为{a |a ≥－1或a ≤－5}．5．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥5；(2)若存在x 0满足f (x 0)＋|x 0－2|<3，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|.由f (x )≥5得|x －2|＋|2x ＋1|≥5.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥5，解得x ≥2，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥5，即x ≥2，所以解集为空集；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥5，解得x ≤－43，所以x ≤－43.。

专题跟踪训练(三十三)不等式选讲1．(2018·某某二模)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；(2)若∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32，不等式a ＋1<f (x )恒成立，某某数a 的取值X 围． [解] (1)∵f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x ＋2>4⇔x <－2或0<x ≤1或x >1.∴不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (2)由(1)知，当x <－32时，f (x )＝－3x －2，∵当x <－32时，f (x )＝－3x －2>52，∴a ＋1≤52，即a ≤32.∴实数a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.2．(2018·某某某某二模)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3. (1)求不等式f (x )≤2的解集；(2)若直线y ＝kx －2与函数f (x )的图象有公共点，求k 的取值X 围．[解] (1)由f (x )≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－2x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <4，0≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2x －8≤2，解得0≤x ≤5，故不等式f (x )≤2的解集为[0,5]．(2)f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤1，0，1<x <4，2x －8，x ≥4，作出函数f (x )的图象，如图所示，易知直线y ＝kx －2过定点C (0，－2)， 当此直线经过点B (4,0)时，k ＝12；当此直线与直线AD 平行时，k ＝－2.故由图可知，k ∈(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 3．(2018·某某二模)已知f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|，g (x )＝－x 2＋2mx . (1)求不等式f (x )>4的解集；(2)若对任意的x 1，x 2，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求m 的取值X 围． [解] (1)解法一：不等式f (x )>4即|x ＋3|＋|x －1|>4.可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋3＋x －1>4或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <1，x ＋3＋1－x >4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－3－x ＋1－x >4，解得x <－3或x >1，所以不等式的解集为{x |x <－3或x >1}． 解法二：|x ＋3|＋|x －1|≥|x ＋3－(x －1)|＝4， 当且仅当(x ＋3)(x －1)≤0，即－3≤x ≤1时，等号成立． 所以不等式的解集为{x |x <－3或x >1}．(2)依题意可知f (x )min ≥g (x )max ， 由(1)知f (x )min ＝4，因为g (x )＝－x 2＋2mx ＝－(x －m )2＋m 2， 所以g (x )max ＝m 2.由m 2≤4得m 的取值X 围是－2≤m ≤2.4．(2018·某某一模)设a 、b 为正实数，且1a ＋1b＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值． [解] (1)由22＝1a ＋1b≥21ab 得ab ≥12， 当a ＝b ＝22时取等号． 故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当a ＝b ＝22时取等号． 所以a 2＋b 2的最小值是1.(2)由1a ＋1b＝22可得a ＋b ＝22ab ，∵(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝8a 2b 2－4ab ≥4(ab )3， ∴(ab )2－2ab ＋1≤0，即(ab －1)2≤0， ∴ab －1＝0，即ab ＝1.。

课时跟踪检测 不 等 式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．设a>b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( )A ．ac 2>bc 2B.a b >1C ．a －c>b －cD ．a 2>b 22．已知f(n)=n 2＋1－n ，g(n)=n －n 2－1，φ(n)=12n，n ∈N *，n>2，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系是( ) A ．φ(n)<f(n)<g(n) B ．φ(n)≤f(n)<g(n) C ．f(n)<φ(n)<g(n) D ．f(n)≤φ(n)<g(n)3．已知第一象限的点(a ，b)在直线2x ＋3y －1=0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．274．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z=2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{x|－2<x<－1，或x>3}B ．{x|－3<x<－1，或x>2}C ．{x|x<－3，或－1<x<2}D ．{x|x<－3，或x>2}6．若函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－2x ＋12，x ≤0，则“0<x<1”是“f(x)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．78．已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x<0，若f(3－a 2)<f(2a)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)9．已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．910．已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a=7，则a ＋1b 2－1的最小值为( )A ．3B ． 3C ．2 D. 211．已知关于x 的不等式ax 2－ax －2a 2>1(a>0，a ≠1)的解集为(－a,2a)，且函数f(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0] C ．(0,1] D ．[－1,1]12若变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则xy 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354D ．[0,9]二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．14．已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．15．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z=x ＋y 的最大值为________．16．已知函数f(x)=x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c=________.B 级——难度小题强化练1．若关于x 的不等式x 2＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)2．若关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是( )A.63 B ．233C.433D.2633．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，115 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，115 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115 D ．[－1,3]4．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( ) A ．1 800元 B ．2 100元 C ．2 400元 D ．2 700元5．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．6．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．答案解析A 级——12＋4提速练1．答案为：C a>b ，若c=0，则ac 2=bc 2，故A 错；a>b ，若b<0，则a b <1，故B 错；a>b ，不论c 取何值，都有a －c>b －c ，故C 正确；a>b ，若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.2．答案为：C f(n)=n 2＋1－n=1n 2＋1＋n <12n ，g(n)=n －n 2－1=1n ＋n 2－1>12n ，所以f(n)<φ(n)<g(n)．故选C.3．答案为：B 因为第一象限的点(a ，b)在直线2x ＋3y －1=0上，所以2a ＋3b －1=0，a>0，b>0，即2a ＋3b=1，所以2a ＋3b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b)=4＋9＋6b a ＋6a b ≥13＋2 6b a ·6ab=25，当且仅当6b a =6a b ，即a=b=15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25.4．答案为：C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y=0，平移该直线，可知当直线过点A(2，－1)时，z=2x ＋y 取得最大值，且z max =2×2－1=3.5．答案为：B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<x<－1或x>2.选B.6．答案为：A 当0<x<1时，f(x)=log 2x<0，所以“0<x<1”⇒“f(x)<0”；若f(x)<0，则⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log 2x<0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－2x ＋12<0，解得0<x<1或－1<x ≤0，所以－1<x<1，所以“f(x)<0”⇒/ “0<x<1”．故选A.7．答案为：B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z=2x ＋y ，作出直线2x ＋y=0并平移该直线，易知当直线经过点A(1,2)时，目标函数z=2x ＋y 取得最小值，且z min =2×1＋2=4，故选B.8．答案为：B 如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R 上单调递减，∵f(3－a 2)<f(2a)，∴3－a 2>2a ，解得－3<a<1.9．答案为：C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x ，令1＋x=t ，t ≥1，则x=t 2－1.所以t 2－12a ≥1＋t 2－12－t=t 2－2t ＋12=t －122对t ≥1恒成立，所以t ＋12a ≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min =8，故a 的最大值是8.10．答案为：A 令log a b=t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a=2t ＋3t =7，得t=12，即log a b=12，a=b 2，所以a ＋1b 2－1=a －1＋1a －1＋1≥2a －1·1a －1＋1=3，当且仅当a=2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3.11．答案为：B 当a>1时，由题意可得x 2－ax －2a 2>0的解集为(－a,2a)，这显然是不可能的．当0<a<1时，由题意可得x 2－ax －2a 2<0的解集为(－a,2a)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即x 2＋2mx －m ≥0恒成立，故对于方程x 2＋2mx －m=0，有Δ=4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．答案为：D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，xy 的最小值为0(当x=1，y=0时取得)；xy ≤x(6－x)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋6－x 22=9，即xy ≤9，当x=3，y=3时取等号，即xy 的最大值为9，故选D.13．解析：由x>a ，知x －a>0，则2x ＋2x －a =2(x －a)＋2x －a ＋2a ≥22x －a ·2x －a ＋2a=4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案为：3214．解析：设3α－β=m(α－β)＋n(α＋β)=(m ＋n)α＋(n －m)β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.答案为：(－π，2π)15．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y=z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A(5,4)，∴z max =5＋4=9.答案为：916．解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f(x)=x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的图象在x 轴上方，且与x 轴相切，因此有Δ=a 2－4b=0，即b=a 24，∴f(x)=x 2＋ax ＋b=x 2＋ax ＋a 24=⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c<x ＋a 2<c ，－c －a 2<x<c －a 2.∵不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2=2c=6，解得c=9.答案为：9B 级——难度小题强化练1．答案为：A 法一：因为x ∈[1,4]，则不等式x 2＋ax －2＜0可化为a ＜2－x 2x =2x－x ，设f(x)=2x－x ，x ∈[1,4]，由题意得只需a ＜f(x)max ，因为函数f(x)为区间[1,4]上的减函数，所以f(x)max =f(1)=1，故a ＜1.法二：设g(x)=x 2＋ax －2，函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g(x)＜0在区间[1,4]上有解，所以g(1)＜0，解得a ＜1.2．答案为：C ∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ=16a 2－12a 2=4a 2＞0，又x 1＋x 2=4a ，x 1x 2=3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2=4a ＋a 3a 2=4a ＋13a ≥24a ·13a =433，当且仅当a=36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 3．答案为：A 设f(x)=x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2=0，若A=∅，则Δ=4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a<2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4a ＋2≥0，f 1≥0，f 3≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.4．答案为：C 设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，z=300x ＋400y.作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y=0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z 有最大值，z max =400×6=2 400，故选C.5．解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x，∵x ∈(0,1)，∴1－x ∈(0,1)，∵x ＋(1－x)=1，∴1x ＋41－x =⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x)]=5＋1－x x ＋4x 1－x ≥5＋2 1－x x ·4x 1－x =9，当且仅当1－xx =4x 1－x ，即x=13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9. 答案为：96．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x ＋2y ＋3x ＋1=1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(x ，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x=0，y=3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1max =9.因为点P(－1，－1)在直线y=x 上，所以当点(x ，y)在线段AO上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min=3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]． 答案为：[3,9]。

课时作业28 不等式选讲1．(2019年高考·江苏卷)设x ∈R ，解不等式|x |＋|2x －1|>2.解：当x <0时，原不等式可化为－x ＋1－2x >2，解得x <－13；当0≤x ≤12时，原不等式可化为x ＋1－2x >2，即x <－1，无解；当x >12时，原不等式可化为x ＋2x －1>2，解得x >1.综上，原不等式的解集为{x |x <－13或x >1}．2．(2019年河南省中原名校(即豫南九校)高三联考)已知函数f (x )＝|2x ＋a |，g (x )＝|x －1|.(1)若f (x )＋2g (x )的最小值为1，求实数a 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )＋g (x )<1的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，求实数a 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )＝|2x ＋a |，g (x )＝|x －1|，∴f (x )＋2g (x )＝|2x ＋a |＋2|x －1|＝|2x ＋a |＋|2x －2|≥|2x ＋a －(2x －2)|＝|a ＋2|＝1，解得a ＝－1或a ＝－3.(2)当x ∈[12，1]时，由不等式f (x )＋g (x )<1，即|2x ＋a |＋|x －1|<1，可得|2x ＋a |＋1－x <1，∴|2x ＋a |<x ，∴－a 3<x <－a ，∵不等式f (x )＋g (x )<1的解集包含[12，1]，∴－a 3<12且－a >1，∴－32<a <－1.即实数a 的取值范围为(－32，－1)．3．(2019年吉林省吉大附中高三第四次模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝－2时，解不等式f (x )≥16－|2x －1|；(2)若关于x 的不等式f (x )≤1的解集为[0，2]，求证：f (x )＋f (x ＋2)≥2. 解：(1)当a ＝－2时，不等式为|x ＋2|＋|2x －1|≥16，当x ≤－2时，原不等式可化为－x －2－2x ＋1≥16，解得x ≤－173；当－2<x ≤12时，原不等式可化为x ＋2－2x ＋1≥16，解得x ≤－13，不满足题意，舍去；当x >12时，原不等式可化为x ＋2＋2x －1≥16，解得x ≥5.综上，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－173或x ≥5. (2)f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1解集是[0，2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2， 解得a ＝1，从而f (x )＝|x －1|.于是证明f (x )＋f (x ＋2)≥2，即证|x －1|＋|x ＋1|≥2，因为|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，所以|x －1|＋|x ＋1|≥2，证毕．4．(2019年河北省衡水中学高三第一次摸底)已知函数f (x )＝|x －2|.(1)求不等式f (x )<x ＋|x ＋1|的解集；(2)若函数f (x )＝log 2[f (x ＋3)＋f (x )－2a ]的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)由已知不等式f (x )<x ＋|x ＋1|，得|x －2|<x ＋|x ＋1|，当x >2时，绝对值不等式可化为x －2<x ＋x ＋1，解得x >－3，所以x >2；当－1≤x ≤2时，绝对值不等式可化为2－x <x ＋x ＋1，解得x >13，所以13<x ≤2；当x <－1时，由2－x <x －x －1得x >3，此时无解．综上，所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)要使函数y ＝log 2[f (x ＋3)＋f (x )－2a ]的定义域为R ，只需g (x )＝f (x ＋3)＋f (x )－2a 的最小值大于0即可．又g (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－2a ≥|x ＋1－x ＋2|－2a ＝3－2a ，当且仅当x ∈[－1，2]时取等号，所以只需3－2a >0，即a <32.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32. 5．(2019年甘肃省兰州市第一中学高三质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≥3；(2)记函数f (x )的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝2m ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解：(1)由题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，所以f (x )≥3等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≥3 或⎩⎨⎧－1<x <12，2－x ≥3或⎩⎨⎧x ≥12，3x ≥3，解得x ≤－1或x ≥1，所以不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)由(1)可知，当x ＝12时，f (x )取得最小值32，所以m ＝32，即a ＋2b ＋3c ＝3，由柯西不等式，得(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)≥(a ＋2b ＋3c )2＝9，整理得a 2＋b 2＋c 2≥914， 当且仅当a 1＝b 2＝c 3，即a ＝314，b ＝614，c ＝914时等号成立．所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为914. 6．(2019年山东省郓城一中等学校高三第三次模拟考试数学)已知函数f (x )＝|ax －2|，不等式f (x )≤4的解集为{x |－2≤x ≤6}．(1)求实数a 的值；(2)设g(x )＝f (x )＋f (x ＋3)，若存在x ∈R ，使g (x )－tx ≤2成立，求实数t 的取值范围．解：(1)由|ax －2|≤4，得－4≤ax －2≤4，即－2≤ax ≤6，当a >0时，－2a ≤x ≤6a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2，6a ＝6，解得a ＝1；当a <0时，6a ≤x ≤－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝－2，－2a ＝6无解． 所以实数a 的值为1.(2)由已知，g (x )＝f (x )＋f (x ＋3)＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1（x ≤－1），3（－1<x <2），2x －1（x ≥2），不等式g (x )－tx ≤2转化成g (x )≤tx ＋2，由题意知，函数g (x )的图象与直线y ＝tx ＋2相交，作出对应图象，图1由图得，当t <0时，t ≤k AM ；当t >0时，t ≥k BM ，又因为k AM ＝－1，k BM ＝12，所以t ≤－1或t ≥12，即t ∈(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 7．(2019年广东省揭阳市高三高考二模数学)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1.(1)解关于x 的不等式|x ＋2y |＋|x －y |≤52；(2)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2－1≥9. 解：(1)∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，∴|x ＋2y |＋|x －y |≤52⇔⎩⎨⎧0<x <1，|2－x |＋|2x －1|≤52⇔⎩⎨⎧0<x <1，|2x －1|≤12＋x ⇔⎩⎨⎧0<x <1，－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ≤2x －1≤12＋x ， 解得16≤x <1，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，1. (2)解法1：∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2－1＝（x ＋y ）2－x 2x 2·（x ＋y ）2－y 2y 2 ＝2xy ＋y 2x 2·2xy ＋x 2y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2y x ＋y 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x y ＋x 2y 2 ＝2x y ＋2y x ＋5≥22x y ·2yx ＋5＝9，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．解法2：∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2－1＝1－x 2x 2·1－y 2y 2 ＝（1＋x ）（1－x ）x 2·（1＋y ）（1－y ）y 2＝（1＋x ）y x 2·（1＋y ）x y 2＝1＋x ＋y ＋xy xy＝2xy ＋1≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1＝9， 当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．8．(2019年四川省成都市第七中学高三模拟)已知a >0，b >0，c >0，设函数f (x )＝|x －b |＋|x ＋c |＋a ，x ∈R .(1)若a ＝b ＝c ＝1，求不等式f (x )<5的解集；(2)若函数f (x )的最小值为1，证明：1a ＋b ＋4b ＋c ＋9c ＋a≥18(a ＋b ＋c )．解：(1)当a ＝b ＝c ＝1时，不等式f (x )<5可化为|x －1|＋|x ＋1|<4，当x ≤－1时，1－x －1－x <4⇒－2<x ≤－1；当－1<x <1时，1－x ＋x ＋1<4⇒－1<x <1；当x ≥1时，x －1＋x ＋1<4⇒1≤x <2.∴原不等式的解集为(－2，2)．(2)f (x )＝|x －b |＋|x ＋c |＋a≥|(x ＋c )－(x －b )|＋a ＝|b ＋c |＋a ，∵a >0，b >0，c >0，∴f (x )min ＝a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋b ＋4b ＋c ＋9c ＋a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋4b ＋c ＋9c ＋a (a ＋b ＋c ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋4b ＋c ＋9c ＋a (a ＋b ＋b ＋c ＋a ＋c ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c ＋a 2. []（a ＋b ）2＋（b ＋c ）2＋（c ＋a ）2)c ＋a 2＝18＝18(a ＋b ＋c )．。

专题跟踪训练(三十三) 不等式选讲1．(2018·广州二模)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|.(1)解不等式f (x )>4；(2)若∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32，不等式a ＋1<f (x )恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)∵f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1， f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－3x －2>4 或⎩⎪⎨⎪⎧ －32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，3x ＋2>4 ⇔x <－2或0<x ≤1或x >1.∴不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)由(1)知，当x <－32时，f (x )＝－3x －2， ∵当x <－32时，f (x )＝－3x －2>52，∴a ＋1≤52，即a ≤32. ∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32. 2．(2018·河南新乡二模)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3.(1)求不等式f (x )≤2的解集；(2)若直线y ＝kx －2与函数f (x )的图象有公共点，求k 的取值范围．[解] (1)由f (x )≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，2－2x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <4，0≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥4，2x －8≤2，解得0≤x ≤5，故不等式f (x )≤2的解集为[0,5]． (2)f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤1，0，1<x <4，2x －8，x ≥4，作出函数f (x )的图象，如图所示，易知直线y ＝kx －2过定点C (0，－2)，当此直线经过点B (4,0)时，k ＝12；当此直线与直线AD 平行时，k ＝－2.故由图可知，k ∈(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 3．(2018·大庆二模)已知f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|，g (x )＝－x 2＋2mx .(1)求不等式f (x )>4的解集；(2)若对任意的x 1，x 2，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)解法一：不等式f (x )>4即|x ＋3|＋|x －1|>4.可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋3＋x －1>4或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <1，x ＋3＋1－x >4 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，－3－x ＋1－x >4，解得x <－3或x >1，所以不等式的解集为{x |x <－3或x >1}． 解法二：|x ＋3|＋|x －1|≥|x ＋3－(x －1)|＝4，当且仅当(x ＋3)(x －1)≤0，即－3≤x ≤1时，等号成立． 所以不等式的解集为{x |x <－3或x >1}．(2)依题意可知f (x )min ≥g (x )max ，由(1)知f (x )min ＝4，因为g (x )＝－x 2＋2mx ＝－(x －m )2＋m 2，所以g (x )max ＝m 2.由m 2≤4得m 的取值范围是－2≤m ≤2.4．(2018·西安一模)设a 、b 为正实数，且1a ＋1b＝2 2. (1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．[解] (1)由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12， 当a ＝b ＝22时取等号． 故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当a ＝b ＝22时取等号．所以a 2＋b 2的最小值是1.(2)由1a ＋1b ＝22可得a ＋b ＝22ab ， ∵(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝8a 2b 2－4ab ≥4(ab )3， ∴(ab )2－2ab ＋1≤0，即(ab －1)2≤0， ∴ab －1＝0，即ab ＝1.。

专题七 不等式28 一元二次不等式及其解法1．不等式2230x x +-≥的解集为 A ． 或 B ． C ． 或 D ．【答案】A【解析】因为 的两根为 ，不等式可化为 ， 所以不等式 的解集为 或 . 故选A ． 2．不等式103xx -≤-的解集是 A ．{x |1x ≤或x ＞3} B ．{x |1x ≤或3x ≥} C ．{x |1≤x ＜3} D ．{x |1≤x ≤3}【答案】A 【解析】由103x x -≤-得103x x -≥-,则(3)(1)03x x x --≥≠⎧⎨⎩， 解得1x ≤或x ＞3. 故选A.3．若关于 的方程 的两根为正实数，则实数 的取值范围是 A ．122m ≤--或122m ≥-+ B ． C ． 1 D ．-1 ＜【答案】D【解析】若关于的方程 的两根为正实数，则＞ ＞解得-1 ＜ ．故选D ．4．如果关于 的不等式 的解集是 ，那么 等于 A ．-81 B ．81 C ．-64 D ．64【答案】B【解析】不等式 可化为 ， 其解集是 ，那么，由根与系数的关系得，解得 ， ， 故选B ．5．若关于 的不等式 的解集为(x 1，x 2)，且 ，则 ＝ A ．56- B ．52- C ．154-D ．152-【答案】B【解析】 关于 的不等式 的解集为 ， 是一元二次方程 的实数根， , , ,, 又 ，解得. 故选B ．6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ 若 ，则实数a 的取值范围是 A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】∵()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩， ∴函数 是奇函数，且在R 上单调递增， ∴ 等价于 ， 即 ， 解得 ，∴实数 的取值范围是 . 故选C.7．若关于x 的不等式210ax bx +->的解集是{|12}x x <<，则不等式210bx ax +-<的解集是 A ．2{|1}3x x -<< B ．{|1x x <-或2}3x > C ．2{|1}3x x -<< D ．2{|3x x <-或1}x > 【答案】C【解析】由题意可知，1和2是关于x 的方程210ax bx +-=的两实数根，由根与系数的关系可得12112b a a +=-⋅=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得1232a b ⎧⎪⎪⎨=-=⎪⎪⎩，所以不等式210bx ax +-<，即为2311022x x --<， 即2320x x --<，解得213x -<<. 故选C.8．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是 A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k ³【答案】A【解析】当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意； 当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立， 则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当0k <时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立. 综上，k 的取值范围是01k ≤≤. 故选A.9．已知函数 ，若对任意 ，都有 成立，则实数x 的取值范围为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵ ， ， 对任意的 恒成立， 令 ，则()()1000g g ->>⎧⎪⎨⎪⎩，即22121010x x x x x ⎧-+-+>⎪⎨-+>⎪⎩，解得 或 . 故选D.10．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是A ．2030x ≤≤B ．2045x ≤≤C ．1530x ≤≤D ．1545x ≤≤【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y 元，则2(1602)(50030)2130500y x x x x x =-⋅-+=-+-(080)x <<，根据题意知，221305001300x x -+-≥，解得2045x ≤≤， 所以当2045x ≤≤时，每天获得的利润不少于1300元. 故选B ．11．函数 的定义域为__________.【答案】[0,1]【解析】要使函数有意义，则 ≥0，即 ≤0，解得0≤x ≤1，即所求函数的定义域为[0，1]． 故答案为[0，1]． 12．不等式221x x ++>的解集是__________. 【答案】1{|}01x x x <<>-或【解析】通过移项、整理，原不等式可变为210x xx +>-，即(1)10x x x -+>，即(1)(01)x x x -+>. 利用“穿针引线法”，结合下图，可得原不等式的解集是1{|}01x x x <<>-或.13．若函数f (x )＝2log (x 2－2ax －a )的定义域为R ，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(－1，0)【解析】由已知可得x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立，所以Δ＝(－2a )2＋4a ＜0，解得－1＜a ＜0． 故实数a 的取值范围为(－1，0)．14．满足关于x 的不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是______． 【答案】()2,1--【解析】不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<， ∴方程()()20ax b x --=的实数根为12和2，且012a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩，即20a b =<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是()2,1--． 故答案为()2,1--．15．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 . 【答案】【解析】根据题意得222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m =+-<+=+++-<⎧⎪⎨⎪⎩解得202m -<<． 故答案为.16．设集合{}2A x x x =≤，11B xx ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = A ．(]0,1 B ．[]0,1 C ．(],1-∞D ．()(],00,1-∞【答案】A【解析】求解不等式2x x ≤可得：{}|01A x x =≤≤， 求解不等式11x≥可得{|01}B x x =<≤， 结合交集的定义可知A B =(]0,1.故选A ． 17．不等式282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集是A ．{|24}x x -<<B ．{|24}x x <<C ．{|4}x x <D ．{}|2x x >-【答案】A 【解析】由2821()33xx -->，得28233x x -->，∴8﹣x 2＞﹣2x ，即x 2﹣2x ﹣8＜0， 解得﹣2＜x ＜4． ∴不等式2821()33x x --＞的解集是{x |﹣2＜x ＜4}．故选A ．18．若不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集是{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的大致图象是A B C D【答案】B【解析】因为不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集是{x ｜－2＜x ＜1}，所以a ＜0且－2，1是方程ax 2－x －c ＝0的两个根，所以121a -+=，21c a-⨯=-， 解得a ＝－1，c ＝－2，所以f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2， 令f (－x )＝0，则－x 2＋x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2. 故选B ．19．已知函数 ，如果不等式 的解集为 ，那么不等式 的解集为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由 的解集是 ，得0a <， 且，即 ，， ， 由 ，解得或， 故不等式 的解集是. 故选A ．20．设,a b 是关于x 的一元二次方程2260x mx m -++=的两个实根，则22(1)(1)a b -+-的最小值是A ．494- B ．18 C ．8D ．-6【答案】C【解析】因为,a b 是关于x 的一元二次方程2260x mx m -++=的两个实根，所以由根与系数的关系得26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩ ，且()2460m m ∆=--≥，所以()()22222224(1)(1)610a b ab b y m a b a m =+-=-+--++=--2349444m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 且3m ≥或2m ≤-，由二次函数的性质知，当3m =时，函数2349444y m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最小值为8，即22(1)(1)a b -+-的最小值为8. 故选C ．21．已知不等式 对于 恒成立,则 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立，等价于22y y a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立， 令yt x=，则13t ≤≤，22a t t ∴≥-在[]1,3上恒成立， 22112248y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，1t ∴=时，max 1,1y a =-∴≥-，即a 的取值范围是[)1,-+∞. 故选C ．22．若 ，则不等式 的解集为_________.【答案】,57m m ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【解析】∵ ，∴ ， 解得57m mx <<-，∴所求不等式的解集为,57m m ⎛⎫-⎪⎝⎭． 23．不等式2(3)(01)2x x x +-£-的解集是_________. 【答案】12{|}3x x x<?-或【解析】不等式2(3)(01)2x x x +-£-即2(3)(1)(20)20x x x x ì+--ï£ïí-î≠，由穿针引线法得322x xx ì=-＃ïíïî或1≠，即原不等式的解集是12{|}3x x x <?-或.24．若集合 ，则实数 的取值范围是______________.【答案】【解析】因为集合 ，所以 恒成立，即 ，解得 .25．要使关于 的方程 的一根比1大且另一根比1小，则 的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，设 ，要使得关于 的方程 的一根比1大且另一根比1小， 根据二次函数的图象与性质，则满足 ，即 ， 即 ，解得 ， 故实数 的取值范围是 .26．在R 上定义运算◊：x ◊y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )◊(x ＋a )＜1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________. 【答案】(12-，32) 【解析】由题意可得(x －a )◊(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＜1， 即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，即4a 2－4a －3＜0， 解得12-＜a ＜32． 故实数a 的取值范围为(12-，32).27．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则MN =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<， 则{|22}MN x x =-<<．故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分． 28．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =A ．(–∞，1)B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．29．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥【答案】B【解析】解不等式 得 或 ， 所以 或 ， 所以可以求得{}|12A x x =-≤≤R ð， 故选B ．11 30．（2016江苏）函数y =的定义域是 .【答案】[3,1]- 【解析】要使函数式有意义，必有2320x x --≥， 即2230x x +-≤，解得31x -≤≤．故答案为[3,1]-.232x x --。

专题十八 ⎪⎪⎪不等式选讲(选修4－5)[由题知法][典例] (2018·福州模拟)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．[解] (1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，3－2x ≤3或⎩⎨⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]． (2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时， f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|≤|x －x ＋1|＝1， 所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.[类题通法] 含绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c >0)，|x －a |－|x －b |≥c (或≤c )(c >0)型不等式，可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①零点分区间法求解绝对值不等式的一般步骤： (ⅰ)令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； (ⅱ)将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；(ⅲ)由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； (ⅳ)取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集． ②利用绝对值的几何意义求解绝对值不等式的方法：由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)或|x －a |－|x －b |≥c (c >0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x >12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1； 若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．2．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <12，1－2x －2x －1≤1 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解， 则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2， 当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立，故m >2. 所以m 的取值范围是(2，＋∞)．[由题知法]1．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．[典例] (2018·沈阳质监)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |. (1)当a ＝1，b ＝1时，解关于x 的不等式f (x )>1； (2)若函数f (x )的最大值为2，求证：1a ＋1b≥2.[解] (1)当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1≤x <1，－2，x <－1，①当x ≥1时，f (x )＝2>1，不等式恒成立， 此时不等式的解集为{x |x ≥1}；②当－1≤x <1时，f (x )＝2x >1，所以x >12，此时不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <1；③当x <－1时，f (x )＝－2>1，不等式不成立，此时无解． 综上所述，不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >12.(2)证明：法一：由绝对值三角不等式可得 |x ＋a |－|x －b |≤|a ＋b |，a >0，b >0， ∴a ＋b ＝2，∴1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 法二：∵a >0，b >0，∴－a <0<b ， ∴函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b | ＝|x －(－a )|－|x －b | ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ，x ≥b ，2x ＋a －b ，－a ≤x <b ，－(a ＋b )，x <－a ，结合图象易得函数f (x )的最大值为a ＋b ，∴a ＋b ＝2.∴1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． [类题通法] 证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[应用通关]1．(2018·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1. 解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1， 所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立．综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.2．(2018·陕西质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎝ ⎛－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，。

课时跟踪检测（十八）1．(2017·石家庄质检)设M ，N ，T 是椭圆x 216＋y 212＝1上的三个点，M ，N 在直线x ＝8上的射影分别为M 1，N 1.(1)若直线MN 过原点O ，直线MT ，NT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)若M ，N 不是椭圆长轴的端点，点L 的坐标为(3,0)，△M 1N 1L 与△MNL 的面积之比为5∶1，求MN 中点K 的轨迹方程．解：(1)证明：设M (p ，q )，N (－p ，－q )，T (x 0，y 0)，则k 1k 2＝y 0－qy 0＋q x 0－p x 0＋p ＝y 20－q2x 20－p2，又⎩⎪⎨⎪⎧p 216＋q 212＝1，x 216＋y 2012＝1，故x 20－p 216＋y 20－q212＝0，即y 20－q2x 20－p 2＝－34，所以k 1k 2＝－34，为定值． (2)设直线MN 与x 轴相交于点R (r,0)，S △MNL ＝12|r －3|·|y M －y N |，S △M 1N 1L ＝12·5·|yM 1－yN 1|.因为S △M 1N 1L ＝5S △MNL ，所以12·5·|yM 1－yN 1|＝5·12|r －3|·|y M －y N |，又|yM 1－yN 1|＝|y M －y N |，解得r ＝4(舍去)，或r ＝2，即直线MN 经过点F (2,0)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，K (x 0，y 0)，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的中点K 即为F (2,0)；②当MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y ＝k (x －2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝k x －消去y 得，(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0.x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k2.x 0＝8k 23＋4k 2，y 0＝－6k3＋4k2. 消去k ，整理得(x 0－1)2＋4y 23＝1(y 1≠0)．经检验，(2,0)也满足(x 0－1)2＋4y 23＝1.综上所述，点K 的轨迹方程为(x －1)2＋4y23＝1(x >0)．2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．3．(2017·宁波模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点P (－2,0)与点(1,1)．(1)求椭圆的方程；(2)过P 点作两条互相垂直的直线PA ，PB ，交椭圆于A ，B ，求证：直线AB 经过定点．解：(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b2＝1，1a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝43，椭圆的方程为x 24＋3y24＝1.(2)证明：由对称性知，若存在定点，则必在x 轴上， 当k PA ＝1时，l PA ：y ＝x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＋3y 2＝4，∴x 2＋3(x 2＋4x ＋4)＝4⇒x ＝－1. 以下验证：定点为(－1,0)，由题意知，直线PA ，PB 的斜率均存在，设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )． 则x 2＋3k 2(x 2＋4x ＋4)＝4⇒x A ＝2－6k 21＋3k2，y A ＝4k1＋3k2， 同理x B ＝2k 2－6k 2＋3，y B ＝－4kk 2＋3，则y Ax A ＋1＝4k 3－3k 2＝y B x B ＋1，得证． 4．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y 2＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为14，直线BC 是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)由题意知椭圆的一个焦点为F (1,0)，则c ＝1.由e ＝c a ＝22得a ＝2，∴b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知A (0,1)，当直线BC 的斜率不存在时， 设BC ：x ＝x 0，设B (x 0，y 0)，则C (x 0，－y 0)，k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 2x 20＝12x 20x 20＝12≠14，不合题意．故直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为：y ＝kx ＋m (m ≠1)，并代入椭圆方程，得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0，①由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0， 得2k 2－m 2＋1>0.②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝m 2－1＋2k 2， 由k AB ·k AC ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14得： 4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0， 整理得(m －1)(m －3)＝0， 又因为m ≠1，所以m ＝3， 此时直线BC 的方程为y ＝kx ＋3. 所以直线BC 恒过一定点(0,3)．5．(2017·台州模拟)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过点P (1,0)作斜率为k 的直线l ，且直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .(1)设点A (0,2)，k ＝1，求△AMN 的面积；(2)设点B (t,0)，记直线BM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2.问是否存在实数t ，使得对于任意非零实数k ，(k 1＋k 2)·k 为定值？若存在，求出实数t 的值及该定值；若不存在，请说明理由．解：(1)当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x －1，得x ＝0或x ＝85，当x ＝0时，y ＝－1， 当x ＝85时，y ＝35，不妨设N (0，－1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，35.所以|AN |＝3.所以S △AMN ＝12×3×85＝125.(2)由题意知，直线MN 的方程为y ＝k (x －1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k x －，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.由k 1＝y 1x 1－t，k 2＝y 2x 2－t，得(k 1＋k 2)·k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1－t ＋x 2－1x 2－t＝k 2x 1－tx 2－＋x 2－t x 1－x 1－t x 2－t＝k 2[2x 1x 2－t ＋x 1＋x 2＋2t ]x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝k 2t －k2－8t ＋4t 2＋t 2－4. 若2t －8＝0，则t ＝4，(k 1＋k 2)·k ＝0为定值． 若2t －8≠0，则当t 2－4＝0， 即t ＝±2时，(k 1＋k 2)·k ＝2t －84－8t ＋4t2为定值．所以当t ＝4时，(k 1＋k 2)·k ＝0； 当t ＝2时，(k 1＋k 2)·k ＝－1； 当t ＝－2时，(k 1＋k 2)·k ＝－13.。

专题七 不等式狂刷28 一元二次不等式及其解法1．不等式2230x x +-≥的解集为 A ．{x|x ≤−3或x ≥1} B ．{x |−1≤x ≤3} C ．{x|x ≤−1或x ≥3} D ．{x |−3≤x ≤1}2．不等式103xx -≤-的解集是 A ．{x |1x ≤或x ＞3} B ．{x |1x ≤或3x ≥} C ．{x |1≤x ＜3}D ．{x |1≤x ≤3}3．若关于x 的方程x 2−(m −1)x +(2−m )=0的两根为正实数，则实数m 的取值范围是 A ．122m ≤--122m ≥-+ B ．1<m <2 C ．m ≥ 2√2−1D ．-1+2√2≤m ＜24．如果关于x 的不等式x 2<ax +b 的解集是{x|1<x <3}，那么b a 等于 A ．-81 B ．81 C ．-64D ．645．若关于x 的不等式x 2−2ax −8a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2−x 1=15，则a ＝ A ．56- B ．52- C ．154-D ．152-6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.若f(2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是 A ．(−∞,−2)∪(1,+∞) B ．(−1,1) C ．(−2,1)D ．(−1,2)7．若关于x 的不等式210ax bx +->的解集是{|12}x x <<，则不等式210bx ax +-<的解集是A ．2{|1}3x x -<< B ．{|1x x <-或2}3x > C ．2{|1}3x x -<< D ．2{|3x x <-或1}x > 8．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是 A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k9．已知函数f(x)=x 2+(2m −1)x +1−m ，若对任意m ∈[−1,0]，都有f(x)>0成立，则实数x 的取值范围为A ．(−1,2)B ．(1,2)C ．(−∞,−1)∪(2,+∞)D ．(−∞,1)∪(2,+∞)10．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是A ．2030x ≤≤B ．2045x ≤≤C ．1530x ≤≤D ．1545x ≤≤11．函数y =√x −x 2的定义域为__________. 12221xx 的解集是__________.13．若函数f (x )＝2log (x 2－2ax －a )的定义域为R ，则实数a 的取值范围为_______. 14．满足关于x 的不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是______．15．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .16．设集合{}2A x x x =≤，11B xx ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = A ．(]0,1B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()(],00,1-∞17．不等式282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集是A ．{|24}x x -<<B ．{|24}x x <<C ．{|4}x x <D ．{}|2x x >-18．若不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集是{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的大致图象是A B C D19．已知函数f(x)=(ax −1)(x +b)，如果不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，那么不等式f(−2x)<0的解集为A ．(−∞,−32)∪(12,+∞) B ．(−32,12) C ．(−∞,−12)∪(32,+∞)D ．(−12,32)20．设,a b 是关于x 的一元二次方程2260x mx m -++=的两个实根，则22(1)(1)a b -+-的最小值是A ．494- B ．18 C ．8D ．-621．已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则a 的取值范围是A ．[1,+∞)B ．[−1,4)C ．[−1,+∞)D ．[−1,6]22．若m <0，则不等式35x 2−2mx <m 2的解集为_________.2323)(01)2x x x 的解集是_________.24．若集合{x|y =√x 2+2(a +1)x +a 2−5}=R ，则实数a 的取值范围是______________.25．要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________． 26．在R 上定义运算◊：x ◊y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )◊(x ＋a )＜1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________.27．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则MN =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<28．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =A ．(–∞，1)B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)29．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥30．（2016江苏）函数y 的定义域是 .。