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《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
《实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是( )_________ oo oo oo oo(A) limA = u n A ; (B) lim A = n u A ;n—H=1k=n，?一z?=l k=n00 00 00 00(C) limA" = n u ; (D) lim= A k ;打一＞oo z:=l k=n z?=l k=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A) ~P= c (B) mP = 0 (C) P = P (D) P=P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设以(4是£上的E有限的可测函数列，则下而不成立的是( )(A)若又(x)=>/(x),则又(x) + /(x) (B)sup{/…Cr)}是可测函数(O inf{//%)}是可测函数；(D)若/T H又⑺=>/U)，则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数，则卜*面不成立的是()(A) /(X)在［6Z，/7］上有界(B) /(X)在［6/，刎上儿乎处处存在导数c b(C) / (X)在上L 可积(D) J a f\x)cbc=f(b)-f(a)二.填空题(3分X 5=15分)1、(C s AuC v5)n(A-(A-B))= ________________2、设£是［0，1］上有理点全体，则E - ______ , E- ________ , E- _______ .3、设£是/?。
中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的4、/⑶可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设/(x)为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________ ，则称/(x)为［6Z，/7］上的有界变差函数。
《实变函数》复习资料1一单选题1. 设是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的是（）A. 在[a,b]上的一致连续函数B. 在[a,b]上处处可导C. 在[a,b]上L可积D. 是有界变差函数2. 设是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是（）A. 若,则B. 是可测函数C. 是可测函数D. 若,则可测．3. 若是可测函数，则下列断言（）是正确的（）A.B.C.成考复习资料D.4. 下列断言中( )是错误的（）A. 零测集是可测集B. 可数个零测集的并是零测集C. 任意个零测集的并是零测集D. 零测集的任意子集是可测集5. 设是 [a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（）A. 在[a,b]上有界B. 在[a,b]上几乎处处存在导数；C. 在[a,b]上L可积；D.二填空题6. 设，则________________________ （）7. 设若________________________,则称是E的聚点. （）8. 设P为Cantor集，则mP=_________________ （）9. 设是E上几乎处处有限的可测函数列, 是E上几乎处处有限的可测函数,若 , 有________________________, 则称在E上依测度收敛于 . （）10. 设E使闭区间[a,b]中的全体无理数集, 则 ________________________（）三、名词解释1. Jordan分解定理2. 伯恩斯坦定理3. Levi定理4. Fatou引理四、计算题1.2.成考复习资料答案一、单选题1-5 BAACD 5-10二、填空题123 045 b-a三、名词解释1. Jordan分解定理 : 在上的任一有界变差函数都可表示为两个增函数之差.2. 伯恩斯坦定理：设A，B是两个非空集合. 如果A对等于B的一个子集，又B对等于A的一个子集，那么A对等于B.3. Levi定理：设是可测集E上的一列非负可测函数，且对任意 ,,令则4. Fatou引理：设是可测集E上一列非负可测函数,则四、计算题1.2.成考复习资料《实变函数》 复习资料2一、计算题1、设⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈=0302]1,0[,)(P x x P x x x f ，，其中0P 为Cantor 集，计算⎰]10[)(，dm x f ．2、求极限0ln()lim cos xnx n e xdx n∞-+⎰． 二、证明题1、设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集．2、设在E 上)()(x f x f n ⇒,而..)()(e a x g x f n n =成立, ,2,1=n ,则有)()(x f x g n ⇒．3、设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数．(鲁津定理的逆定理)4、在有限闭区间],[b a 上的单调有限函数)(x f 是有界变差函数．成考复习资料答案一、计算题1、设⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈=0302]1,0[,)(P x x P x x x f ，，其中0P 为Cantor 集，计算⎰]10[)(，dm x f 。
实变函数综合练习题《实变函数》综合训练题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若nE R ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ）（A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是nR 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） （A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ⋂ 。
第五章 复习题一、判断题1、设()f x 是定义在[,]a b 上的实函数，由于()baV f 总存在，所以()f x 一定是[,]a b 上的有界变差函数。
（× ）2、设()f x 是定义在[,]a b 上的实函数，()f x 是[,]a b 上的有界变差函数⇔()baV f <+∞。
（√ ）3、设()f x 是[,]a b 上的单调函数，则()f x 一定是[,]a b 上的有界变差函数。
（√ ）4、设()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 既可表示成两个递减函数的差，也可表示成两个递增函数的差。
（√ ）5、有界变差函数一定是几乎处处连续的函数，也一定是几乎处处可微的函数。
（√ ）6、设()f x 是定义在[,]a b 上的实函数，[,][,][,]a b a c c b =⋃，a c b <<，则()()()bcbaacV f V f V f =+。
（√ ）7、设[,][,][,]a b a c c b =⋃，a c b <<，则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数的充要条件是()f x 既是[,]a c 上的有界变差函数，也是[,]c b 上的有界变差函数。
（√ ） 8、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 既是[,]a b 上的一致连续函数，也是()f x 是[,]a b 上的连续函数。
（√ ） 9、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 一定是[,]a b 上的有界变差函数。
（√ ） 10、若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 一定是[,]a b 上的绝对连续函数。
（× ） 11、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，()g x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()()f x g x ±，()()f x g x 都是[,]a b 上的绝对连续函数。
《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的就是( )(A)1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; (B)1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;(C)1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; (D)1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的就是( ) (A)=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的就是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集与闭集都就是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 就是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的就是( )(A)若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 就是可测函数(C){}inf ()n nf x 就是可测函数;(D)若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)就是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的就是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数(C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二、 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 就是[]0,1上有理点全体,则'E =______,oE =______,E =______、 3、设E 就是n R 中点集,如果对任一点集T 都_________________________________,则称E 就是L 可测的4、)(x f 可测的________条件就是它可以表成一列简单函数的极限函数、(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。
即或为有限集或为可数集。
（3）可数个可数集的并集是可数集。
（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。
3、常见的可数集：有理数及其无限子集。
三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
2、掌握集之间的并、交、差、余运算。
3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
4、理解集列的收敛、单调集列的概念。
5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。
五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。
即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。
我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。
第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。
二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。
2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。
3、开集、闭集具有对偶性。
4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。
实变函数论考试试题及答案证明题：60分1、证明 1lim =n m n n m nA A ∞∞→∞==。
证明：设lim n n x A →∞∈，则N ∃，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞+=∈1n m mAx ∞=∞=⊂1n nm m A ,则可知n n A ∞→lim ∞=∞=⊂1n nm m A 。
设 ∞=∞=∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞=∈nm m A x ，所以n n A x lim ∞→∈。
因此，n n A lim ∞→= ∞=∞=1n nm m A 。
2、若n R E ⊂，对0>∀ε，存在开集G , 使得G E ⊂且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。
证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ⊃，使得()1*m G E n-<。
令 ∞==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n-≤-<， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。
由)(E G G E --=知E 可测。
证毕。
3、设在E 上()()n f x f x ⇒，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立， ,3,2,1=n , 则有{()}n f x a.e.收敛于)(x f 。
证明 因为()()n f x f x ⇒，则存在{}{}i n n f f ⊂，使()i n f x 在E 上a.e.收敛到()f x 。
设0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。
1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。
因此0()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑。
在1n n E E ∞=-上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。
因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
实变函数（复习资料,带答案）《实变函数》试卷⼀⼀、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=??;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===??; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=??;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成⽴的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何⼦集都可测(C) 开集和闭集都是波雷⽿集（D ）波雷⽿集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下⾯不成⽴的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下⾯不成⽴的是（）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上⼏乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)-=b aa fb f dx x f )()()('⼆. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任⼀点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成⼀列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的⼀切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。
四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。
2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。
同理可证第2个集合等式。
3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。
4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。
第一章 复习题（一）一、判断题1、大人全体构成集合。
（× ）2、小个子全体构成集合。
（× ）3、所有集合都可用列举法表示。
（× ）4、所有集合都可用描述法表示。
（√ ）5、对任意集合A ，总有A ∅⊂。
（√ ）6、()A B B A -⋃=。
（× ）7、()()A B B A B B A A -⋃=⋃=-⋃。
（√ ）8、若B A ⊆，则()A B B A -⋃=。
（√ ）9、cA A ⋂≠∅，c A A X ⋃=，其中X 表示全集。
（× ）10、A B B A ⨯=⨯。
（× ）11、()c c c A B A B ⋃=⋃，()c c c A B A B ⋂=⋂。
（× ）12、()()()A B C A C B C ⋃⋂=⋂⋃⋂，()()()A B C A C B C ⋂⋃=⋃⋂⋃。
（√ ）13、若A B ，B C ，则A C 。
（√ ） 14、若A B ，则A B =，反之亦然。
（√ ） 15、若12A A A =⋃，12B B B =⋃，且11A B ，22A B ，则A B 。
（× ）16、若A B ⊆，则A B ≤。
（√ ） 17、若A B ⊆，且A B ≠，则A B <。
（× ）18、可数集的交集必为可数集。
（× ）19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。
（√ ）20、因整数集Z ⊂有理数集Q ，所以Q 为不可数集。
（× ）21、()c cA A =。
（√ ）二、证明题1、证明：cA B A B -=⋂。
证明：对任意x A B ∈-，有x A ∈且x B ∉，从而x A ∈且c x B ∈，即c x A B ∈⋂，所以 c A B A B -⊂⋂；反之，对任意c x A B ∈⋂，有x A ∈且c x B ∈，从而x A ∈且x B ∉，即x A B ∈-，所以 c A B A B -⊃⋂。
实变函数试题库及参考答案（5） 本科一、填空题1．设为集合，则,A B ___(\)A B B A A U U 2．设，如果满足（其中表示的内部），则是nE R ⊂E 0E E =0E E E 3．设为直线上的开集，若开区间满足且，则必为G (,)a b (,)a b G ⊆,a G b G ∉∉(,)a b 的G 4．设，则的基数(其中表示自然数集的基数){|2,}A x x n n ==为自然数A a a N 5．设为可测集，且，则,A B B A ⊆mB <+∞__(\)mA mB m A B -6．设是可测集上的可测函数，则对任意实数，都有()f x E ,()a b a b <是[()]E x a f x b <<7．若是可数集，则()E R ⊆__0mE 8．设为可测集上的可测函数列，为上的可测函数，如果{}()n f x E ()f x E ，则（是否成立）.()()()a en f x f x x E →∈()()n f x f x ⇒x E ∈二、选择题1、设是中的可测集，是上的简单函数，则 （ ）E 1R ()x ϕE （A ）是上的连续函数 （B ）是上的单调函数()x ϕE ()x ϕE （C ）在上一定不可积 （D ）是上的可测函数()x ϕE L ()x ϕE 2．下列集合关系成立的是（）（A ） （B ） ()()()A B C A B A C =I U I U I (\)A B A =∅I（C ） （D ）(\)B A A =∅I A B A B⊆U I 3. 若是闭集，则 （）()nE R⊆（A ） （B ） （C ） （D ）0E E =E E =E E '⊆E E '=三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设，则（ ）{[0,1]}E =中的有理点（A ）是可数集 （B ）是闭集E E （C ）（D ）中的每一点均为的内点0mE =E E 2．若的外测度为0，则（ ）()E R ⊆（A ）是可测集 （B ）E 0mE =（C ）一定是可数集（D ）一定不是可数集E E 3．设，为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有mE <+∞{}()n f x E ()f x E 限的可测函数，如果，则下列哪些结果不一定成立（）()(),()n f x f x x E ⇒∈（A ）存在（B ）在上-可积()Ef x dx ⎰()f x E L （C ） （D ）.()()()a en f x f x x E →∈lim()()n EEn f x dx f x dx→∞=⎰⎰4．若可测集上的可测函数在上有积分值，则（）E ()f x E L （A ）与至少有一个成立()()f x L E +∈()()f x L E -∈（B ）且()()f x L E +∈()()f x L E -∈（C ）在上也有-积分值 |()|f x E L （D ）|()|()f x L E ∈四、判断题1. 可列个开集的交集仍为开集 （）2. 任何无限集均是可列集 （ ）3. 设为可测集，则一定存在集，使，且. （ E F σF F E ⊆()\0m E F =）4.设为零测集，则为上的可测函数的充要条件是：实数都有E ()f x E ∀a 是可测集（()E xf x a ⎡≥⎤⎣⎦）五、定义题1. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？2. 可测集上的可测函数与连续函数有什么关系？E 3. 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？[],a b 六、计算题1. 设，求.()[][]101001x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为，上的有理点为，上的无理点()[]01D x dx ⎰，2. 求.()0ln limcos xn x n e xdx n+∞-→∞+⎰七、证明题1．设是有界集，则nE R ⊂*m E <+∞2．上的实值连续函数是可测函数1R ()f x3．设，函数在上有界可测，则在上可积，从而上的mE <+∞()f x E ()f x E L -[,]a b 连续函数是可积的L -4．设（）是上的可积函数，如果，则()n f x 1,2,n =L E L -lim|()|0nn E n f x dx →∞=⎰()0n f x ⇒实变函数试题库及参考答案（2） 本科一、填空题1.=2.开集3.构成区间4.=5.=6.可测集7.=8.不一定成立2、单选题1.D 2.A 3.B三、多选题1.AC2.AB3.ABCD4.AD4、判断题××√√五、定义题1.答：设是可测集上的一列可测函数，那()(),n f x f x E当时，于，必有.mE <+∞()(),.n f x f x a e →E ()()n f x f x ⇒反之不成立，但不论还是，存在子列，使mE <+∞mE =+∞(){}n f x (){}k n f x 于.()(),.k n f x f x a e →E 当时，于，由定理可得近一致收敛于mE <+∞()(),.n f x f x a e →E Egoroff ()n f x ，反之，无需条件，结论也成立.()f x mE <+∞2.答：上连续函数必为可测函数但上的可测函数不一定时连续函数，上可测函数在E E E 上是“基本上”连续的函数E 3.答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数6、解答题1.证明 记是中有理数集，是中无理数集，则1E []0,12E []0,1，，且，[]12120,1,E E E E ==∅U I120,1mE mE ==()1210E E D x χχ=+所以.()[]120,1100D x dx mEmE =+=⎰2.解 易知()ln lim cos 0xn x n e x n-→∞+=对任意，0,1x n ≥≥()()ln ln cos x x n x n e x n n-++≤设，，则，()ln ()x y f y y +=0y >()2ln ()yx y x yf y y-++'=当时，，.3y ≥()1ln yx y x y<<++()0f y '<则是单调减函数且非负（）；()ln ()x n f n n+=3n ≥又，由单调收敛定理得()ln 1limlim 0n n x n n x n→∞→∞+==+Levi ，即，()()000ln ln lim lim 00n n x n x n dx dx dx n n +∞+∞+∞→∞→∞++===⎰⎰⎰()ln ()x n L E n+∈再由控制收敛定理得Lebsgue ()()000ln ln lim cos lim cos 00x xn n x n x n e xdx e xdx dx n n+∞+∞+∞--→∞→∞++===⎰⎰⎰7、证明题1..证明 因为是有界集，所以存在开区间，使 E I E I ⊂由外测度的单调性，，而（其中表示区间的体**m E m I ≤*||m I I =<+∞||I I 积），所以*m E <+∞2.证明因为连续，所以对任何实数，是开集，而开集为可测集，()f x a {|()}x f x a >因此是可测函数()f x 3.证明因为在上有界可测，所以存在，使，，()f x E 0M >|()|f x M <x E ∈是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，|()|f x|()|EEf x dx Mdx M mE <=⋅<+∞⎰⎰故在上可积，从而在上可积|()|f x E L -()f x E L -因为上的连续函数是有界可测函数，所以可积的[,]a b L -4.证明 对任何常数，0σ>[|()|][|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dxσσσ≥⋅≥≤⎰所以 [|()|]1[|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dxσσσ≥≥≤⎰1|()|0()nEf x dx n σ≤→→∞⎰因此()0n f x ⇒。
《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k；(B) lim 代A；n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k；( D) l imA n 人；n nikn n nikn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae•有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数；(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是［a,b］上有界变差函数，则下面不成立的是( )(A) f(x)在［a,b］上有界(B) f(x)在［a,b］上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在［a, b］上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体，则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集，如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数，如果对于a, b的一切分划，使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设E R ⊂是稠密集，则CE 是无处稠密集。
2、若0=mE ，则E3、若|()|f x 是可测函数，则()f x4．设()f x 在可测集E ,()0E f x ∈>，则()0Ef x >⎰四、解答题（8分×2=16分）.1、（8分）设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数()x 在[]0,1上是否R -可积，是否L - 2、（8分）求0ln()lim cos xnx n e n∞-+⎰五、证明题（6分×4+10=341、（6分）证明[]0,1c .2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞意常数,{|()}a E x f x a =≥3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。
4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则lim 0n nn me ⋅=.5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。
(鲁津定理的逆定理试卷一 （参考答案及评分标准）一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1．∅ 2、[]0,1； ∅ ； []0,1 3、***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂4、充要5、11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑成一有界数集。
三、1．错误2分例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密5分2．错误2分例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集 5分 3．错误例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;(),,;x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩ 则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数…4．错误0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0Ef x dx =⎰四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集……..3分因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]120,101()3f x dx x dx ==⎰⎰ (8)分2．解：设ln()()cos xn x n f x e x n -+=，则易知当n →∞时，()0n f x → 2分又因'2ln 1ln 0t tt t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，ln()ln()ln 3ln 3(1)33x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++……4分 从而使得ln 3|()|(1)3x n f x x e -≤+………………………6分但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有lim ()lim ()0n n nnf x dx f x dx ∞∞==⎰⎰…………………8分五、1．设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =⋂=⋂B M B ∴∃⊂是无限集，可数子集 ………………2分 .A A MM ∴⋃是可数集， ……………………………….3分(\),(\),()(\),(\),B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=⋃=⋃=⋃⋃⋃⋂=⋂=且………..5分,.E B B c ∴∴=…………………………6分2．,{},lim n n n x E E x x x →∞'∀∈=则存在中的互异点列使……….2分,()n n x E f x a ∈∴≥………………….3分()()lim ()n n f x x f x f x a →∞∴=≥在点连续，x E ∴∈………………5分E ∴是闭集.………………………….6分3. 对1ε=，0δ∃〉，使对任意互不相交的有限个(,)(,)i i a b a b ⊂当1()ni i i b a δ=-<∑时，有1()()1ni i i f b f a =-<∑………………2分将[,]a b m 等分，使11ni i i x x δ-=-<∑，对:T ∀101i x z z -=<k i z x <<=，有11()()1k i i i f z f z -=-<∑，所以()f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函数……………….5分所以1()1,i i x x f V -≤从而()baf m V ≤，因此，()f x 是[,]a b 上的有界变差函数………..6分 4、()f x 在E 上可积lim (||)(||)0n mE f n mE f →∞⇒≥==+∞=……2分据积分的绝对连续性，0,0,,e E me εδδ∀>∃>∀⊂<，有|()|ef x dx ε<⎰……….4分对上述0,,,(||)k n k mE f n δδ>∃∀>≥<，从而|()|nn e n me f x dx ε⋅≤<⎰，即lim 0n nn me ⋅=…………………6分 5．,n N ∀∈存在闭集()1,,()2n n nF E m E F f x ⊂-<在n F 连续…………2分 令1n k n kF F ∞∞===，则,,,()n n n kx F k x F n k x F f x ∞=∀∈⇒∃∈⋂∀≥∈⇒在F 连续………4分又对任意k ,()[()][()]n n n kn km E F m E F m E F ∞∞==-≤-⋂=⋃-1()2n kn km E F ∞=≤-<∑………………………….6分 故()0,()m E F f x -=在F E ⊂连续…………..8分又()0,m E F -=所以()f x 是E F -上的可测函数，从而是E 上的可测函数……………………..10分《实变函数》试卷二一.单项选择题（3分×5=15分）1．设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（ ）(A) M (B) N (C) M N ⋂ (D) ∅ 2. 下列说法不正确的是( )(A) 0P 的任一领域都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点(C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 点必是聚点3. 下列断言( )是正确的。
（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集；(C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；4. 下列断言中( )是错误的。
（A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集；（C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集；5. 若()f x 是可测函数，则下列断言（ ）是正确的(A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ⇔在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -⇔-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -⇔-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-⇒∞-在广义可积在a,+可积 二. 填空题(3分×5=15分)1、设11[,2],1,2,n A n n n=-=，则=∞→n n A lim _________。
2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，oP =________。
3、设{}i S 是一列可测集，则11______i i i i m S mS ∞∞==⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭∑4、鲁津定理：__________________________________________5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。
