2021学年高中数学8.3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积学案含解析人教A版必修二.doc

8.3简单几何体的表面积与体积8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积教学目标1. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的求法2. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积计算公式，解决有关的实际问题 教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式 教学难点：球的体积公式的推导 教学过程：一、 导入新课，板书课题上节课我们学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的求法，那么这节课我们学习圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的求法。

【圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积】 二、 出示目标，明确任务1. 了解圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法2. 了解圆柱、圆锥、圆台的体积的求法3. 了解球的表面积和体积的求法 三、 学生自学，独立思考（打开课本阅读116页-119页内容，限时5分钟） 1.找出你阅读内容中的知识点 2.找出你阅读内容中的重点3.找出你阅读内容中的困惑点、疑难问题 四、自学指导，紧扣教材自学指导一(阅读课本116页 至117页 归纳，限时5 分钟) 1.完成下列表格圆柱底面积： 侧面积：表面积： 圆锥底面积： 侧面积：表面积：圆台底面积： 侧面积：表面积：自学指导二（阅读课本117页 至119页 例4，限时5分钟） 1．球的表面积公式S ＝_______(R 为球的半径). 2．球的体积公式V ＝__________. 3. 阅读例3，完成以下几个问题（1）浮标可看成由________和_________组合而成； （2）1个浮标的表面积为：___________. 1000个浮标的表面积为：_________.则1000个浮标涂防水漆需要多少涂料：_______. 4. 阅读例4，完成以下几个问题已知，圆柱的底面直径和高都等于球的直径2R ， （1） 球的体积为：________; （2） 圆柱的体积为：________;（3） 球与圆柱的体积之比为：________；五、 自学展示，精讲点拨1.学生口头回答自学指导问题，教师点拨并板书（答案见PPT ）2.书面检测：课本119页练习1题 精讲点拨 自学指导1 1. 略2. 观察所给出的体积公式，得出棱柱、棱锥、棱台，它们之间的关系。

【新教材】 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（人教A 版）1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式． 2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用； 难点：圆台的体积公式的理解.一、 预习导入阅读课本116-119页，填写。

（一） 圆柱、圆锥、圆台的表面积侧面展开图底面积S底＝2πr2S底＝____S底＝________侧面积S侧＝____S侧＝____S侧＝________S表＝_________表面积S表＝________S表＝_____________________（二）棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝_________.2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝_________.3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝__________________.(三) 球的体积公式与表面积公式1．球的体积公式V＝_________ (其中R为球的半径)．2．球的表面积公式S＝_________.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为1：3，则其表面积之比为1：9.()(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．()(3) 圆台的高就是相应母线的长.()2．直径为1的球的体积是()A ．1 B.π6C.π3D ．π 3.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2,高为4 cm,现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗),那么铸成的铜块的棱长是 ( )A.2 cmB.3 cmC. 4cmD.8 cm4．圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是________．题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm 2，表面积为________cm 2. 跟踪训练一1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( ) A ．81π B ．100π C ．168πD ．169π题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6m 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）跟踪训练二1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．2.梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l ⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．题型三球的表面积与体积例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.例4平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6π B．43πC．46π D．63π跟踪训练三1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2 D.π62．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 21．圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A ．4πSB ．2πSC ．πSD.233πS2．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．33．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．4．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.5．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．答案小试牛刀1. (1)√ (2) √ (2)×2．B.3．C4. 54π.自主探究例1【答案】8π12π.【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，∴圆锥的侧面积S 侧＝π×2×4＝8π (cm 2)， 表面积S 表＝8π＋π×22＝12π (cm 2)． 跟踪训练一 1．【答案】C【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝22()h R r +-＝22(4)(3)r r +＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8. 故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.例2 【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是()2220.150.640.150.8478mππ⨯⨯+⨯=，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.84780.51000423.9(kg)⨯⨯=. 跟踪训练二 1.【答案】10π.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.2. 【答案】见解析【解析】由题意知以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°， ∴CD ＝BC －ADcos60°＝2a ，AB ＝CD sin60°＝3a ，∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a .由上述计算知，圆柱的母线长为3a ，底面半径为2a ；圆锥的母线长为2a ，底面半径为a . ∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2，圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2， 圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2， ∴组合体上底面面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2，∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V 柱＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3， V 锥＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3.∴旋转体的体积V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3. 例3【答案】23【解析】 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R . 球的体积3143V R π=，圆柱的体积23222V R R R ππ=⋅=， 123342::233V V R R ππ∴==.例4 【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1.∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3.∴V ＝43π(3)3＝43π.跟踪训练三 1.【答案】A .【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V 球＝43×π×13＝4π3.2．【答案】B .【解析】选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.当堂检测1-2. AA3.33π. 4. 4.5．【答案】4327π cm 3.【解析】如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC 相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD ＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴OE AO ＝CD AC. ∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ， 设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )，∴r 3－r ＝12，∴r ＝33 cm ，V 球＝43π⎝⎛⎭⎫333＝4327π(cm 3)，即球的体积等于4327π cm 3.。

8.3。

2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课后篇巩固提升基础达标练1。

(多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（)A。

圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C。

圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2R，则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误;圆锥的侧面积为πR×R=πR2，∴B错误；球的表面积为4πR2,∵圆柱的侧面积为4πR2,∴C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3，V球=πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2，∴D正确.2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于（)A.4 B。

8 C。

8 D.8x,球半径为R,则S球=4πR2=4π，∴R=1。

∵正方体内接于球，∴x=2R=2,∴x=,∴S正=6x2=6×=8。

3。

(2019广东高二期末）设A,B,C，D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D—ABC体积的最大值为（)A。

12 B.18C.24D.54点M为三角形ABC的中心,E为AC的中点,当DM⊥平面ABC时，三棱锥D—ABC的体积最大,此时,OD=OB=R=4.∵S△ABC=AB2=9,∴AB=6.∵点M为△ABC的中心，∴BM=BE=2。

∴Rt△OMB中,有OM==2。

∴DM=OD+OM=4+2=6。

∴(V D—ABC)max=×9×6=18。

故选B。

4。

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3，估算出堆放的米约有（)A。

内容索引
利用球的表面积与体积公式去计算．
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已知平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距
离为 2，则此球的体积为( )
A. 6π
B. 4 3π
C. 4 6π
D. 6 3π
【解析】 如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截
面圆上的任意一点，则 OO′＝ 2，O′M＝1，所以 OM
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思考6►►► 在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比 这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积吗？ 【解析】 类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表 面积求球的体积．如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每 个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．
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【解析】 圆柱的母线与它的轴是平行的，故A错误；圆锥的顶点、 圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三 角形，故B正确；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，这两点的连 线不一定是圆台的母线，故C错误，D显然正确．故选BD.
【答案】 BD
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4. (2022 保定期末)某圆台的上、下底面圆的半径分别为32，5，且该圆 台的体积为 139π，则该圆台的高为________.
【答案】 C
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2. (2023 贵阳三模)已知一圆锥内接于球，圆锥的表面积是其底面面积
的 3 倍，则圆锥与球的体积之比是( )
2 A. 3
9 B. 32
33 C. 16
3 D. 2
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【解析】 如图，设圆锥的底面圆圆心为 D，延长 AD 与球面交于点 B.设圆锥底面的半径为 r，母线为 l，则 πrl＋πr2＝3πr2，得 l＝2r，所以圆锥的高 h＝ l2－r2＝ 3r. 设球的半径为 R.在 Rt△ABC 中，因为 CD⊥AB，所以 CD2 ＝AD·BD，即 r2＝h·(2R－h)，即 r2＝ 3r·(2R－ 3r)，所 以 R＝ 2r3，故VV圆球锥＝1343ππr22·r333r＝392.

2.V球=
4
3
πR3(R是球的半径)
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若球的直径为d,则它的表面积为πd2.( √ )
(2)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.( × )
2.已知球的表面积是16π,则该球的体积为
答案
.
32π
3
解析 设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2.
)
4.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱
所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(
A.12√2π
B.12π
C.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ√2π
D.10π
)
答案 B
解析 过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半
径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=2 √2 ,r= √2 ,所
表面积:S= πr2+πrl
几何体
侧面展开图
圆台
底面积、侧面积、表面积
上底面面积:= πr'2 ;
下底面面积:= πr2 ;
侧面积:S侧= π(r+r')l ;
2+πr'2+π(r+r')l
πr
表面积:S=
名师点睛
运用公式时的注意事项
1.明确公式中各符号的含义.
2.S表=S侧+S底,注意所求几何体的底面个数.
面图形的面积相加
变式探究
在上题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体
的表面积.
解以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图.

解：一个浮标的表面积为
S表=2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478 (m2)
∴给1000个这样的浮标涂防水漆所需涂料约为
0.8478×1000×0.5 = 423.9 (kg).
公式运用
P119例4.如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， (1)求球与圆柱的体积之比. (2)求球与圆柱的表面积之比.
AD 3 a, AO 2 AD 3 a.
2
3
3
∴PO PA2 AO2 6 a. 3
∴OO PO PO 6 a R. 3
∴在Rt△AOO中，AO2 OO2 AO2，
即( 3 a)2 ( 6 a R)2 R2， 解得R 6 a，
3
3
4
P
a R
R O• A
C
O• ′ D
B
变式 2 若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上,求 R 与 a 的关系式
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
V球
4 R3,
3
V圆柱
R2 2R
2R3,∴ V球
V圆柱
4 R3
3
2 R3
2. 3
S球
4R2,
S柱
2R2
2R 2R
6R2, S球
S柱
4R2 6R2
2, 3
即球与圆柱的体积和表面积之比均为2:3！
这是我生平 最得意的定理！
RO
圆柱容球
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球 的表面积和体积
复习回顾
柱体、椎体、台体体积公式的关系
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S SS S)h

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积素养目标·定方向素养目标学法指导1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.(逻辑推理)2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(逻辑推理)(数学运算)1．求几何体的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系.求体积问题时，要准确把握底面积和高.2．球心和球的半径是球的“灵魂”. 3．在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决.必备知识·探新知知识点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S 底＝__2πr 2__侧面积：S 侧＝__2πrl __ 表面积：S ＝__2πr (r ＋l )__ 圆锥底面积：S 底＝__πr 2__侧面积：S 侧＝__πrl __ 表面积：S ＝__πr (r ＋l )__ 圆台上底面面积：S 上底＝__πr ′2__下底面面积：S 下底＝__πr 2__ 侧面积：S 侧＝__π(r ′l ＋rl )__ 表面积：S ＝__π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )__知识点2 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积说明圆柱 V 圆柱＝Sh ＝__πr 2h __ 圆柱底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆锥V 圆锥＝13Sh ＝__13πr 2h __圆锥底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆台V圆台＝13(S＋SS′＋S′)h＝__13π(r2＋rr′＋r′2)h__圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h知识点3球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S＝__4πR2__(R为球的半径).2．球的体积公式V＝__43πR3__.[知识解读]1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的.(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题.(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系S圆柱侧＝2πrl――→r′＝rS圆台侧＝π(r＋r′)l――→r′＝0S圆锥侧＝πrl.2．对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个圆柱的体积相同.(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.(3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系V＝Sh――→S′＝SV＝13(S′＋S′S＋S)h――→S′＝0V＝13Sh.(4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积.3．与球的体积、表面积有关的问题(1)球的表面积(体积)与半径之间的函数关系S 球＝4πR 2 V 球＝43πR 3从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数.(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.关键能力·攻重难题型探究题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积典例1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积为__2π__. (3)圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4，若母线长为10，则圆台的表面积为__168π__.[解析] (1)因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.(2)由题意，母线长l ＝2，底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π.(3)先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋(R －r )2＝(4r )2＋(3r )2＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8．故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.[归纳提升] 求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.【对点练习】❶ (1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为__7__.(2)一个圆柱的底面面积是S ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为__4πS __. (3)(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__1__.[解析] (1)设圆台较小的底面半径为r ，那么较大的底面半径为3r ，由已知得π(r ＋3r )×3＋πr 2＋9πr 2＝574π，解得r ＝7．(2)设圆柱的底面半径为R ， 则S ＝πR 2，R ＝S π， 底面周长c ＝2πR .故圆柱的侧面积为S 圆柱侧＝c 2＝(2πR )2＝4π2·Sπ＝4πS .(3)设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧π×r ×l ＝2π2×π×r ＝12×2×π×l，解得r ＝1，l ＝2． 题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积典例2 (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( A )A ．64π3B ．128π3C ．64πD ．1282π(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( D )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是__733π__.[解析] (1)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ∴2r ＝l 2＋l 2，即l ＝2r ，由题意得，侧面积S 侧＝πr ·l ＝2πr 2＝162π， ∴r ＝4．∴l ＝42，高h ＝l 2－r 2＝4．∴圆锥的体积V ＝13Sh ＝13π×42×4＝643π，故选A ．(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.(3)设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π，∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝733π.[归纳提升] 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利用割补法.【对点练习】❷ (1)若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是__12π__. (2)(2020·江苏卷)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是__123－π2__cm.[解析] (1)易知圆锥的高h ＝4，所以V 圆锥＝13π×32×4＝12π.(2)正六棱柱体积为6×34×22×2＝123，圆柱体积为π⎝⎛⎭⎫122·2＝π2，所求几何体体积为123－π2.题型三 球的体积与表面积典例3 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( B )A ．12πB ．16πC ．16π3D ．64π3(2)一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( B )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3(3)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为__4π3__.[解析] (1)设球的半径为R ，则由已知得43πR 3＝32π3，解得R ＝2．故球的表面积S 表＝4πR 2＝16π.(2)设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示.在Rt △OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ，OO 1＝2 cm ， ∴球的半径R ＝OA ＝22＋(5)2＝3(cm)，∴球的体积V ＝43×π×33＝36π(cm 3).(3)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为4π3.【对点练习】❸ (1)(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C )A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π(2)将本例(3)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为__100π__. [解析] (1)这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即R ＝(23)2＋(23)2＋(23)22＝3，所以，这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π. 故选C ．(2)如图，由条件知，O 1A ＝3，OO 1＝4，所以OA ＝5，所以球的表面积为100π.易错警示找错内切球截面致错典例4 一个球的内接正方体的表面积是54，求该球的表面积和体积.[错解] 设正方体的棱长为a ，则有6a 2＝54， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去).∴正方体的面对角线长d ＝32＋32＝32， ∴球的半径R ＝12d ＝322.∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫3222＝18π， V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫3223＝92π.[错因分析] 将球的内接正方体所取截面理解为正方体一个面所在截面，错误得到正方体的面对角线的长等于球的直径的结论.[正解] 设正方体的棱长为a ，则有6a 2＝54， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去).∴正方体的体对角线长d ＝3×32＝3 3. ∴球的半径R ＝12d ＝332.∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫3322＝27π， V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫3323＝2732π.[误区警示] 正方体的一个面所在截面是球的小圆面，不是球的大圆面.解决此类问题应取正方体的体对角线所在的截面.【对点练习】❹ 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为__9π2__.[解析] 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18， ∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3，∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝9π2.。

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积一、内容和内容解析内容：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章第3节第2课时的内容．本节课主要学习圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式.本节课从圆柱、圆锥、圆台的展开图推出它们的表面积，然后比较它们的表面积公式，让学生更容易记忆公式。

类比棱台的体积公式，进而得到圆台的体积公式，再进一步比较圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台的体积公式，找到它们公式之间的关系。

类比初中圆的面积公式的推导，从而推导球的体积公式．二、目标和目标解析目标：（1）通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法．（2）会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积．（3）会用球的体积与表面积公式解决实际问题．目标解析：（1）圆柱、圆锥、圆台和球都是旋转体，它们的表面积由底面和侧面组成，在表面积的求解过程中，从运动变化的观点，从圆柱、圆锥、圆台的结构特征上寻找原因，提高能力和兴趣.（2）从运动变化的观点研究圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系，当圆台上底面扩大到与下底面全等时，圆台转化为圆柱；圆台上底面缩小为一个点时，圆台转化为圆锥，这种转化的思想方法值得思考和学习．（3）类比圆的周长和面积，推导球的表面积和体积，对于球的体积公式的推导，可利用“分割、求近似值、再由近似和转化为球体的体积”的极限思想方法．基于上述分析，本节课的教学重点定为：通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：现在的学生运算能力普遍偏弱，求面积和体积对运算要求又较高，因此，解决运算问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：化繁为简，割补法的应用，让学生把主要精力用在观察、发现规律上．2．教学问题二：圆柱、圆锥、圆台的体积公式是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：从运动变化的观点研究圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系，当圆台上底面扩大到与下底面全等时，圆台转化为圆柱；圆台上底面缩小为一个点时，圆台转化为圆锥．基于上述情况，本节课的教学难点定为：会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中借助具体实物模型．既可以解决学生的空间想象能力，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积公式的推导，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，公式的推导应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图复习回顾，温故知[问题1]棱柱、棱锥、棱台的表面积公式？[问题2]棱柱、棱锥、棱台的表面积公式？教师1：提出问题1．学生1：学生思考，回答．教师2：提出问题2．学生2：学生思考，回答．V棱柱＝Sh通过复习棱柱、棱锥、棱台的表面积体积公式，引入本新V 棱锥＝13ShV 棱台＝13(S ′＋S ′S ＋S )h节新课。

2.底面半径和高都是R的圆锥和圆柱的体积分别是什么?根据这些你猜想半球的 体积是什么?
3.如图,以“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥,那么 这些小棱锥的底面和高近似地看成什么?它们的体积之和近似地等于多少?
【知识生成】 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
底面半径 母线长
底面半径 母线长
V2
【思维导引】(1)正方体的体对角线的长即为外接球的直径. (2)根据球的直径等于圆柱的高和圆柱的底面直径求解.
【类题通法】 常见的几何体与球的切、接问题的解决策略
(1)解决球与几何体的切、接问题的关键是根据“切点”和“接点”,作出轴 截面图,把空间问题转化为平面问题来计算. (2)具体作法 ①内切球问题:找过切点和球心的截面. ②外接球问题:由球心和几何体顶点抽象得出新几何体或过球心作截面.
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球 的表面积和体积
必备知识生成
【情境探究】 1.观察下面几个几何体的侧面展开图:
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么图形? 提示:它们的侧面展开图分别为矩形、扇形、扇环. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积与其侧面展开图的面积有何关系? 提示:它们的侧面积分别等于侧面展开图的平面图形面积.
的独特方法“会玉术”,其中,D为直径,类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方
形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V=kD3,其中,在等边圆柱
中,D表示底面圆的直径;在正方体中,D表示棱长.假设运用此“会玉术”求得
的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1,k2,k3,那么,k1∶k2∶k3= ()
求圆台的表面积.
【补偿训练】 1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问

底面积：S底＝_π_r_2_
侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝___π_r_(_r＋__l_)_____
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第八章 立体几何初步
4
圆台
上底面面积：S上底＝____π_r′_2___ 下底面面积：S下底＝__π_r_2__
侧面积：S侧＝____π_l(_r_＋__r_′)______ 表面积：
第八章 立体几何初步
8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
数学
第八章 立体几何初步
1
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
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第八章 立体几何初步
2
学习指导
核心素养
1. 知 道 圆 柱 、 圆 锥 、 圆 台 、 球 的 表 直观想象、数学运算：利用公式计
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第八章 立体几何初步
12
(1)若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为( )
A．40π C．26π
√B．36π
D．20π
(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台 的表面积为( )
A．81π
B．100π
√C．168π
D．169π
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S＝4πR2＝4π.
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第八章 立体几何初步
10
4．圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体
积为( )
A．2π88 cm3
B．1π92 cm3

圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
2．对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个圆柱的体积相同． (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验 得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的 3 倍． (3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
(2)球的表面积(体积)计算中蕴涵的数学思想 ①函数方程思想：根据球的表面积与体积公式可知，球的 半径 R，球的表面积 S，球的体积 V 三个量“知一求二”． ②转化思想：空间问题平面化． (3)球体的截面的特点 ①球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的 任何截面均为圆，它的三视图也都是圆． ②利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角 三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．
答案：6π
5．若圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则圆锥的体积是 ________．
解析：由已知圆锥的高 h＝4，所以 V 圆锥＝13π×32×4＝12π. 答案：12π
[系统归纳]
1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式. 但 圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是 最重要的． (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转 体的母线长和底面圆的半径长． (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那 就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问 题． (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 S圆柱侧＝2πrl r′―＝―r―S圆台侧＝π(r＋r′)l ―r―′―＝―0 S圆锥侧＝πrl.

新教材高中数学学案含解析新人教A版必修第二册：8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积学习任务核心素养1．通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1．借助圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对圆柱、圆锥、圆台的体积的探究，提升逻辑推理的素养．如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面．问题：(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？知识点1圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)1．圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？[提示]如图所示．S圆柱＝2πr(r＋l)S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)S圆锥＝πr(r＋l)1．圆柱OO′的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为________，表面积为________．24π32π[S侧＝2πrl＝2π×2×6＝24π，S表＝2πrl＋2πr2＝24π＋2π×22＝24π＋8π＝32π．]2．如图，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的侧面积为________．2π[由题图可知，圆锥的母线长l＝(3)2＋12＝2．所以S侧＝πrl＝π×1×2＝2π．]3．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于________．67π[S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝π(9＋16＋18＋24)＝67π．]知识点2圆柱、圆锥、圆台的体积公式V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝13πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆台＝13πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？[提示] 如图．4．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( )A ．288π cm 3B ．192π cm 3C ．288π cm 3或192πcm 3D ．192π cm 3C [圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π2×8＝288πcm 3，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫82π2×12＝192πcm 3．]5．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体，下部是圆柱，其轴截面是边长为4的正方形；上部为圆锥，其高为3，则该几何体的体积为________．20π [圆柱的底面半径是2，高为4，圆锥底面半径是2，高为3，则V ＝π×22×4＋13×π×22×3＝20π．]类型1 圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】 (1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和． ①求圆台的母线长； ②求圆台的表面积．(1)A [设圆柱底面半径为r ，则高为2πr ， 表面积∶侧面积＝[(2πr )2＋2πr 2]∶(2πr )2＝1＋2π2π．](2)[解] ①设圆台的母线长为l ，则由题意得π(2＋6)l ＝π×22＋π×62， ∴8πl ＝40π，∴l ＝5， ∴该圆台的母线长为5． ②由①可得圆台的表面积为 S ＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62 ＝40π＋4π＋36π ＝80π．求圆柱、圆锥、圆台的表面积的步骤是什么？[提示] 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加．[跟进训练]1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C ．2倍 D ．2倍 D [由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D ．]类型2 圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】 过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( ) A ．1∶1 B ．1∶6 C ．1∶7 D ．1∶8 C [如图，设圆锥底半径OB ＝R ，高PO ＝h ，∵O ′为PO 中点，∴PO ′＝h 2，∵O ′A OB ＝PO ′PO ＝12，∴O ′A ＝R2，∴V 圆锥PO ′＝13π·⎝⎛⎭⎫R 22·h2＝124πR 2h ， V 圆台O ′O ＝π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫R 22＋R 2＋R 2·R ·h 2＝724πR 2h ． ∴V 圆锥PO ′V 圆台O ′O ＝17，故选C ．]求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.[跟进训练]2．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A ．233π B ．2 3 C ．736π D ．733πD [S 1＝π，S 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝6π＝π(r ＋R )l ， ∴l ＝2，∴h ＝3．∴V ＝13π(1＋4＋2)×3＝73π3．故选D ．]类型3 组合体的表面积与体积【例3】 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内过点C 作l ⊥CB ，以l 为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积．[解] 如题图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，∴CD ＝BC －ADcos 60°＝2a ，AB ＝CD sin 60°＝3a ，∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a ．由于以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a ，底面半径2a ，圆锥的母线长2a ，底面半径a ．∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2，圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2， 圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2， 圆锥的底面积S 4＝πa 2，∴组合体上底面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2， ∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5 ＝(43＋9)πa 2．又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh ＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3，V 锥＝13S ′h ＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3，∴V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3．如果将例题的梯形绕着BC 边所在直线旋转一周，如何求旋转体的表面积和体积？表面积和体积又分别为多少？[解] 如图所示旋转体为一个圆锥和与它同底的一个圆柱组成，由条件可得：AD ＝BO ＝OC ＝a ，DO ＝AB ＝3a ，DC ＝2a ，所以该旋转体的表面积为： S ＝S 圆柱底面积＋S 圆柱侧面积 ＋S 圆锥侧面积＝π·(3a )2＋2π3a ·a ＋π·3a ·2a ＝3πa 2＋23πa 2＋23πa 2 ＝(3＋43)πa 2，该旋转体的体积为V ＝V 圆锥＋V 圆柱 ＝13π(3a )2·a ＋π(3a )2a ＝4πa 3．求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和（差）.[跟进训练]3．如图所示，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，D 为BC 的中点，H ，G 分别是BD ，CD 的中点，若将正三角形ABC 绕AD 所在直线旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．[解] 旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．令BD ＝R ，HD ＝r ，AB ＝l ，EH ＝h ，则R ＝2，r ＝1，l ＝4，h ＝3． ∴S 圆锥表＝πR 2＋πRl ＝π×22＋π×2×4＝12π， S 圆柱侧＝2πrh ＝2π×1×3＝23π．∴所求几何体的表面积S ＝S 圆锥表＋S 圆柱侧＝12π＋23π＝2(6＋3)π．1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶5 D ．3∶2C [设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r ，∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，则S 底∶S 侧＝1∶5．]2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．πC [底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π．故选C ．] 3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为________． 7π [V 圆台＝13πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)＝13π×3×(1＋2＋4)＝7π．] 4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．6π [由底面周长为2π可得底面半径为1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S底＋S 侧＝6π．]5．已知圆锥的底面半径为2，高为5，则这个圆锥的体积为________． 203π [由题意V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2·h ＝20π3．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式是什么？(2)如何求组合体的表面积和体积？(3)求组合体的表面积时有哪些易错点？。

A．81π B．100π C．168π D．169π
解析：先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截 面如图所示，设上底面半径为 r，下底面半径为 R，则它的母线长为 l ＝ h2＋R－r2＝ 4r2＋3r2＝5r＝10，所以 r＝2，R＝8. 故 S 侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π. 选 C. 答案：C
∴DO＝12DD′＝a. 由于以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为 圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．
由上述计算知，圆柱母线长 3a，底面半径 2a； 圆锥的母线长 2a，底面半径 a.
∴圆柱的侧面积 S1＝2π·2a· 3a＝4 3πa2， 圆锥的侧面积 S2＝π·a·2a＝2πa2， 圆柱的底面积 S3＝π(2a)2＝4πa2， 圆锥的底面积 S4＝πa2， ∴组合体上底面积 S5＝S3－S4＝3πa2， ∴旋转体的表面积 S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4 3＋9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去 一个圆锥的体积．
3 r 2
a
r
，得
a (m)
3 ，
底面直径 2r 2
a 2 3 a (m)
3 3
.
探究二：圆柱、圆锥、圆台的体积
棱柱和圆柱统称为柱体
V柱体 Sh
高h
V棱柱 Sh
底面积S
底面半径r
V圆柱 Sh r2h
棱锥和圆锥统称为锥体
V锥体
1 3
Sh
S 高h
D
E
O
AB
V棱锥
1 3
Sh
底面积S
C
底面半径r

第八章立体几何初步8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计一、教学目标1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.二、教学重难点1、教学重点掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式.2、教学难点圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式的实际应用.三、教学过程1、新课导入在上节课的学习中，我们已经知道了棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式，那么这节课我们就来继续学习一下圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式.2、探索新知一、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，如图所示，可以得到它们的表面积公式：2π()S r r l =+圆柱（r 是底面半径，l 是母线长），π()S r r l =+圆锥（r 是底面半径，l 是母线长），22π()S r r r l rl ''=+++圆台（r '，r 分别是上、下底面半径，l 是母线长）.2.圆柱、圆锥、圆台的体积2 πV r h =圆柱（r 是底面半径，h 是高），2 1π3V r h =圆锥（r 是底面半径，h 是高）， 由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式22 1π()3V h r r r r ''=++圆台（r '，r 分别是上、下底面半径，h 是高）. 二、球的表面积和体积1.球的表面积设球的半径为R ，它的表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R ，那么它的表面积是24πS R =球.2.球的体积类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积，如图，把球O 的表面分成n 个小网格，连接球心O 和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n 个“小锥体”.当n 越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R .设O ABCD -是其中一个“小锥体”，它的体积是13O ABCD ABCD V S R -≈. 由于球的体积就是这n 个“小锥体”的体积之和，而这n 个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此，球的体积23114S 4ππ333V R R R R ==⨯⋅=球球. 由此，我们得到球的体积公式34π3V R =球.3、课堂练习1.底面半径为1，母线长2的圆锥的体积为()A.2π3π C.2π3 3π 答案：D解析：由题意得圆锥的高h =211π133V Sh ==⨯⨯2.直径为2的球的表面积是()A.16πB.8πC.4πD.π 答案：C解析：设半径为R ，由题意可得1R =，所以24π4πS R ==球.3.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为()A.16πB.8πC.16πD.8π答案：C解析：设圆柱的底面圆半径为R ，由题意可得2π4R =，则2πR =， 所以22216ππ()4ππV R h ==⋅⋅=. 4、小结作业小结：本节课学习了圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式. 作业：完成本节课课后习题.四、板书设计8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积：2π()S r r l =+圆柱（r 是底面半径，l 是母线长），π()S r r l =+圆锥（r 是底面半径，l 是母线长），22π()S r r r l rl ''=+++圆台（r '，r 分别是上、下底面半径，l 是母线长）. 2.圆柱、圆锥、圆台的体积：2 πV r h =圆柱（r 是底面半径，h 是高），2 1π3V r h =圆锥（r 是底面半径，h 是高）， 22 1π()3V h r r r r ''=++圆台（r '，r 分别是上、下底面半径，h 是高）. 3.球的表面积：24πS R =球.4.球的体积：34π3V R =球.。

【新教材】8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计（人教A版）本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.课程目标1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；难点：圆台的体积公式的理解.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-119页，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？3．球的表面积与体积公式各式什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r ，母线长为l )圆锥(底面半径为r ，母线长为l )圆台(上、下底面半径分别为r ′，r ，母线长为l )侧面展 开图底面积 S 底＝2πr 2 S 底＝πr 2 S 底＝π(r ′2＋r 2) 侧面积 S 侧＝2πrl S 侧＝πrl S 侧＝π(r ′＋r )l 表面积S 表＝2πr (r+l )S 表＝πr (r+l )S 表＝π(r ′2＋r 2)+ π(r ′＋r )l（二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．棱锥：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h .(三) 球的体积公式与表面积公式1．球的体积公式V ＝43πR 3 (其中R 为球的半径)． 2．球的表面积公式S ＝4πR 2. 四、典例分析、举一反三题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm 2，表面积为________cm 2. 【答案】8π 12π.【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm 的等边三角形， ∴OB ＝2 cm ，PB ＝4 cm ，∴圆锥的侧面积S 侧＝π×2×4＝8π (cm 2)，表面积S 表＝8π＋π×22＝12π (cm 2)．解题技巧（求旋转体表面积注意事项）旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． 跟踪训练一1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( ) A ．81π B ．100π C ．168π D ．169π【答案】C【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝22()h R r +-＝22(4)(3)r r +＝5r ＝10， 所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6m 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是()2220.150.640.150.8478mππ⨯⨯+⨯=，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.84780.51000423.9(kg)⨯⨯=. 解题技巧(求几何体积的常用方法)(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 跟踪训练二1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．【答案】10π.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.2. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内过点C 作l ⊥BC ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积和体积． 【答案】见解析【解析】由题意知以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°， ∴CD ＝BC －ADcos60°＝2a ，AB ＝CD sin60°＝3a ，∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a .由上述计算知，圆柱的母线长为3a ，底面半径为2a ；圆锥的母线长为2a ，底面半径为a . ∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2，圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2， 圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2， ∴组合体上底面面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2，∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V 柱＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3， V 锥＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3.∴旋转体的体积V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3. 题型三 球的表面积与体积例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.【答案】23【解析】 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R . 球的体积3143V R π=，圆柱的体积23222V R R R ππ=⋅=，123342::233V V R R ππ∴==. 例4 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6π B ．43π C ．46π D ．63π【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1.∴OM ＝(2)2＋1＝ 3.即球的半径为 3.∴V ＝43π(3)3＝43π.解题技巧（与球有关问题的注意事项） 1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a 2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝√2a2，如图(2)． 3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝√a 2+b 2+c 22，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . 5．正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为：2R ＝62a .6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决. 跟踪训练三1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6 【答案】A .【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V 球＝43×π×13＝4π3.2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2【答案】B .【解析】选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本119页练习，119页习题8.3的剩余题.本节课的重点是掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.须注意的是:①求面积时看清求的是侧面积，还是底面积，还是表面积；②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系；③解决实际问题时先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.。

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积[目标] 1.会求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积；2.会求圆柱、圆锥、圆台的侧面积；3.了解球的体积和表面积公式．[重点] 求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积．[难点] 圆台的侧面积和体积．要点整合夯基础知识点一圆柱、圆锥、圆台、球的表面积[填一填]1．圆柱的表面积(1)侧面展开图：圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长．(2)面积：若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝2πrl，表面积S表＝2πr(l＋r)．2．圆锥的表面积(1)侧面展开图：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．(2)面积：若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝πrl，表面积S表＝πr(l ＋r)．3．圆台的表面积(1)侧面展开图：圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到．(2)面积：圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积S侧＝π(r＋r′)l，表面积S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)．4．球的表面积若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.[答一答]1．圆锥的侧面展开图为一扇形，怎样根据扇形圆心角度数α°推导出母线l与底面半径r 的关系？提示：圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长，而扇形弧长又是以l 为半径圆周长的α°360°，于是有α°360°·2πl ＝2πr ，即r ＝α°360°l . 知识点二 圆柱、圆锥、圆台、球的体积[填一填]1．圆柱的体积(1)圆柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)若圆柱的底面半径为r ，高为h ，其体积V ＝πr 2h . 2．圆锥的体积(1)圆锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)若圆锥的底面半径为r ，高为h ，其体积V ＝13πr 2h .3．圆台的体积若圆台的上、下底面半径分别为r ′、r ，高为h ，其体积V ＝13πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)．4．球的体积若球的半径为R ，那么它的体积V ＝43πR 3.[答一答]2．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系．提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如下图所示．若球的半径为R ，截面圆的半径为r ，OO ′＝d .在Rt △OO ′C 中，OC 2＝OO ′2＋O ′C 2，即R 2＝r 2＋d 2.典例讲练破题型类型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算[例1] (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3 B.128π3C ．64πD ．1282π (2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm 、20 cm ，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________cm 2.(结果中保留π)[分析] (1)利用圆锥的轴截面得到圆锥的底面半径和高，进而求其体积；(2)利用圆弧与圆心角及半径的关系得到圆台的母线长，再利用表面积公式进行求解．[解析] (1)设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ∴2r ＝l 2＋l 2，即l ＝2r ，由题意得，侧面积S 侧＝πrl ＝2πr 2＝162π， 解得r ＝4，∴l ＝42， 圆锥的高h ＝l 2－r 2＝4，∴圆锥的体积V ＝13Sh ＝13×π×42×4＝64π3.故选A.(2)如图所示，设圆台的上底面周长为c cm ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10 cm ，所以SA ＝20 cm.同理可得SB ＝40cm ，所以AB ＝SB －SA ＝20 cm ，所以S 表面积＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2. [答案] (1)A (2)1 100π解决旋转体的有关问题常需要画出其轴截面图，将空间问题转化为平面问题来解决.对于与旋转体有关的组合体问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积.[变式训练1] 把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积． 解：设圆柱的底面半径为r ，母线长为l .如图所示，当2πr ＝4，l ＝2时 ，r ＝2π，h ＝l ＝2，∴V 圆柱＝πr 2h ＝8π，当2πr ＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4，∴V 圆柱＝πr 2h ＝4π.综上所述，这个圆柱的体积为8π或4π.类型二 球的表面积和体积的计算 [例2] (1)两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为( )A ．23B ．49 C.23D.827(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．(3)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.[分析] 利用球的表面积和体积公式以及圆柱的体积公式进行求解． [解析] (1)两个球的体积之比为827，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为23，从而这两个球的表面积之比为49，故选B.(2)两个小铁球的体积为2×43π×13＝8π3，设大铁球的半径为R ，则大铁球的体积43π×R 3＝8π3，所以大铁球的半径为32. (3)设球的半径为r ，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r . 则有πr 2·6r ＝8πr 2＋3·43πr 3，即2r ＝8，所以r ＝4 cm. [答案] (1)B (2)32 (3)4求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)关键：把握住球的表面积公式S 球＝4πR 2，球的体积公式V 球＝43πR 3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.[变式训练2] 一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求球的表面积．解：当截面在球心同侧时，如图①所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO 1∥BO 2，且O 1，O 2为两截面圆的圆心，则OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2.设球的半径为R ，∵πO 2B 2＝49π，∴O 2B ＝7 cm ， 同理，得O 1A ＝20 cm.设OO 1＝x cm ，则OO 2＝(x ＋9) cm ， 在Rt △O 1OA 中，R 2＝x 2＋202， ① 在Rt △OO 2B 中，R 2＝72＋(x ＋9)2, ② 联立①②可得x ＝15，R ＝25.∴S 球＝4πR 2＝2 500π cm 2，故球的表面积为2 500π cm 2.当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O 1A ∥O 2B ，且O 1，O 2分别为两截面圆的圆心，则OO 1⊥O 1A ，OO 2⊥O 2B .设球的半径为R ，∵π·O 2B 2＝49π，∴O 2B ＝7 cm ， ∵π·O 1A 2＝400π，∴O 1A ＝20 cm ， 设O 1O ＝x cm ，则OO 2＝(9－x ) cm. 在Rt △OO 1A 中，R 2＝x 2＋400， 在Rt △OO 2B 中，R 2＝(9－x )2＋49.∴x 2＋400＝(9－x )2＋49，解得x ＝－15，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为2 500π cm 2.类型三 几何体的“切”“接”问题[例3] (1)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A ．4π(r ＋R )2 B ．4πr 2R 2 C ．4πrRD ．π(R ＋r )2(2)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝4，AC ＝3，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132 D ．310[分析] (1)作出球与圆台相切的轴截面．(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形即可求得球O 的半径． [解析] (1)如图为球与圆台的轴截面，过D 作DE ⊥BC ，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r ，由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr (舍负)．故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr .(2)如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝(52)2＋62＝132.[答案] (1)C (2)C解决几何体与球相切或相接的策略(1)要注意球心的位置，一般情况下，由于球的对称性，球心在几何体的特殊位置，比如几何体的中心或长方体对角线的中点等.(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.[变式训练3] 如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S . 则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ， ∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∴r ＝1. S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. ∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.课堂达标练经典1．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于( D ) A.12 B ．1 C ．2D ．3解析：设球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝4πr 2，解得r ＝3.2．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( D ) A.233πB ．23π C.736πD.733π解析：设圆台的高为h ，上底面的半径为r ，下底面的半径为R ，母线长为l .由题可知πr 2＝π，πR 2＝4π，则r ＝1，R ＝2.又因为圆台的侧面积为6π，所以πl (r ＋R )＝6π，所以l ＝2.因为h 2＋(R －r )2＝l 2，所以h ＝ 3.故圆台的体积V ＝13×(π＋4π＋4π2)×3＝733π.3．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为932或332.解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，设球的半径为r ，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r 2－⎝⎛⎭⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.∴圆锥的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫3r 22×3r 2＝38πr 3，球体积为43πr 3.∴该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932. ②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332. 4．如图所示的几何体是一棱长为4的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2、深为1的圆柱形的洞 ，则挖洞后几何体的表面积是96＋2π.解析：原正方体的表面积为4×4×6＝96， 圆柱的侧面积为2π×1＝2π， 则挖洞后几何体的表面积约为96＋2π.5．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积． 解：如图所示，作出轴截面，因为△ABC 是正三角形，所以CD ＝12AC ＝2，所以AC ＝4，AD ＝32×4＝23， 因为Rt △AOE ∽Rt △ACD ， 所以OE AO ＝CD AC.设OE ＝R ，则AO ＝23－R ， 所以R 23－R ＝12，所以R ＝233.所以V 球＝43πR 3＝43π·⎝⎛⎭⎫2333＝323π27.所以球的体积等于323π27.——本课须掌握的三大问题1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．2．球的表面积和体积仅与球半径有关，因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题解决．3．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．。