2021学年高中数学8.3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积学案含解析人教A版必修二.doc

8.3简单几何体的表面积与体积8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积教学目标1. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的求法2. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积计算公式，解决有关的实际问题 教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式 教学难点：球的体积公式的推导 教学过程：一、 导入新课，板书课题上节课我们学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的求法，那么这节课我们学习圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的求法。

【圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积】 二、 出示目标，明确任务1. 了解圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法2. 了解圆柱、圆锥、圆台的体积的求法3. 了解球的表面积和体积的求法 三、 学生自学，独立思考（打开课本阅读116页-119页内容，限时5分钟） 1.找出你阅读内容中的知识点 2.找出你阅读内容中的重点3.找出你阅读内容中的困惑点、疑难问题 四、自学指导，紧扣教材自学指导一(阅读课本116页 至117页 归纳，限时5 分钟) 1.完成下列表格圆柱底面积： 侧面积：表面积： 圆锥底面积： 侧面积：表面积：圆台底面积： 侧面积：表面积：自学指导二（阅读课本117页 至119页 例4，限时5分钟） 1．球的表面积公式S ＝_______(R 为球的半径). 2．球的体积公式V ＝__________. 3. 阅读例3，完成以下几个问题（1）浮标可看成由________和_________组合而成； （2）1个浮标的表面积为：___________. 1000个浮标的表面积为：_________.则1000个浮标涂防水漆需要多少涂料：_______. 4. 阅读例4，完成以下几个问题已知，圆柱的底面直径和高都等于球的直径2R ， （1） 球的体积为：________; （2） 圆柱的体积为：________;（3） 球与圆柱的体积之比为：________；五、 自学展示，精讲点拨1.学生口头回答自学指导问题，教师点拨并板书（答案见PPT ）2.书面检测：课本119页练习1题 精讲点拨 自学指导1 1. 略2. 观察所给出的体积公式，得出棱柱、棱锥、棱台，它们之间的关系。

【新教材】 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（人教A 版）1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式． 2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用； 难点：圆台的体积公式的理解.一、 预习导入阅读课本116-119页，填写。

（一） 圆柱、圆锥、圆台的表面积侧面展开图底面积S底＝2πr2S底＝____S底＝________侧面积S侧＝____S侧＝____S侧＝________S表＝_________表面积S表＝________S表＝_____________________（二）棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝_________.2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝_________.3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝__________________.(三) 球的体积公式与表面积公式1．球的体积公式V＝_________ (其中R为球的半径)．2．球的表面积公式S＝_________.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为1：3，则其表面积之比为1：9.()(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．()(3) 圆台的高就是相应母线的长.()2．直径为1的球的体积是()A ．1 B.π6C.π3D ．π 3.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2,高为4 cm,现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗),那么铸成的铜块的棱长是 ( )A.2 cmB.3 cmC. 4cmD.8 cm4．圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是________．题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm 2，表面积为________cm 2. 跟踪训练一1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( ) A ．81π B ．100π C ．168πD ．169π题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6m 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）跟踪训练二1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．2.梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l ⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．题型三球的表面积与体积例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.例4平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6π B．43πC．46π D．63π跟踪训练三1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2 D.π62．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 21．圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A ．4πSB ．2πSC ．πSD.233πS2．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．33．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．4．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.5．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．答案小试牛刀1. (1)√ (2) √ (2)×2．B.3．C4. 54π.自主探究例1【答案】8π12π.【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，∴圆锥的侧面积S 侧＝π×2×4＝8π (cm 2)， 表面积S 表＝8π＋π×22＝12π (cm 2)． 跟踪训练一 1．【答案】C【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝22()h R r +-＝22(4)(3)r r +＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8. 故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.例2 【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是()2220.150.640.150.8478mππ⨯⨯+⨯=，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.84780.51000423.9(kg)⨯⨯=. 跟踪训练二 1.【答案】10π.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.2. 【答案】见解析【解析】由题意知以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°， ∴CD ＝BC －ADcos60°＝2a ，AB ＝CD sin60°＝3a ，∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a .由上述计算知，圆柱的母线长为3a ，底面半径为2a ；圆锥的母线长为2a ，底面半径为a . ∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2，圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2， 圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2， ∴组合体上底面面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2，∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V 柱＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3， V 锥＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3.∴旋转体的体积V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3. 例3【答案】23【解析】 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R . 球的体积3143V R π=，圆柱的体积23222V R R R ππ=⋅=， 123342::233V V R R ππ∴==.例4 【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1.∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3.∴V ＝43π(3)3＝43π.跟踪训练三 1.【答案】A .【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V 球＝43×π×13＝4π3.2．【答案】B .【解析】选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.当堂检测1-2. AA3.33π. 4. 4.5．【答案】4327π cm 3.【解析】如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC 相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD ＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴OE AO ＝CD AC. ∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ， 设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )，∴r 3－r ＝12，∴r ＝33 cm ，V 球＝43π⎝⎛⎭⎫333＝4327π(cm 3)，即球的体积等于4327π cm 3.。

8.3。

2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课后篇巩固提升基础达标练1。

(多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（)A。

圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C。

圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2R，则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误;圆锥的侧面积为πR×R=πR2，∴B错误；球的表面积为4πR2,∵圆柱的侧面积为4πR2,∴C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3，V球=πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2，∴D正确.2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于（)A.4 B。

8 C。

8 D.8x,球半径为R,则S球=4πR2=4π，∴R=1。

∵正方体内接于球，∴x=2R=2,∴x=,∴S正=6x2=6×=8。

3。

(2019广东高二期末）设A,B,C，D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D—ABC体积的最大值为（)A。

12 B.18C.24D.54点M为三角形ABC的中心,E为AC的中点,当DM⊥平面ABC时，三棱锥D—ABC的体积最大,此时,OD=OB=R=4.∵S△ABC=AB2=9,∴AB=6.∵点M为△ABC的中心，∴BM=BE=2。

∴Rt△OMB中,有OM==2。

∴DM=OD+OM=4+2=6。

∴(V D—ABC)max=×9×6=18。

故选B。

4。

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3，估算出堆放的米约有（)A。

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积素养目标·定方向素养目标学法指导1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.(逻辑推理)2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(逻辑推理)(数学运算)1．求几何体的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系.求体积问题时，要准确把握底面积和高.2．球心和球的半径是球的“灵魂”. 3．在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决.必备知识·探新知知识点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S 底＝__2πr 2__侧面积：S 侧＝__2πrl __ 表面积：S ＝__2πr (r ＋l )__ 圆锥底面积：S 底＝__πr 2__侧面积：S 侧＝__πrl __ 表面积：S ＝__πr (r ＋l )__ 圆台上底面面积：S 上底＝__πr ′2__下底面面积：S 下底＝__πr 2__ 侧面积：S 侧＝__π(r ′l ＋rl )__ 表面积：S ＝__π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )__知识点2 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积说明圆柱 V 圆柱＝Sh ＝__πr 2h __ 圆柱底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆锥V 圆锥＝13Sh ＝__13πr 2h __圆锥底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆台V圆台＝13(S＋SS′＋S′)h＝__13π(r2＋rr′＋r′2)h__圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h知识点3球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S＝__4πR2__(R为球的半径).2．球的体积公式V＝__43πR3__.[知识解读]1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的.(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题.(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系S圆柱侧＝2πrl――→r′＝rS圆台侧＝π(r＋r′)l――→r′＝0S圆锥侧＝πrl.2．对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个圆柱的体积相同.(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.(3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系V＝Sh――→S′＝SV＝13(S′＋S′S＋S)h――→S′＝0V＝13Sh.(4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积.3．与球的体积、表面积有关的问题(1)球的表面积(体积)与半径之间的函数关系S 球＝4πR 2 V 球＝43πR 3从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数.(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.关键能力·攻重难题型探究题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积典例1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积为__2π__. (3)圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4，若母线长为10，则圆台的表面积为__168π__.[解析] (1)因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.(2)由题意，母线长l ＝2，底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π.(3)先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋(R －r )2＝(4r )2＋(3r )2＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8．故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.[归纳提升] 求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.【对点练习】❶ (1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为__7__.(2)一个圆柱的底面面积是S ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为__4πS __. (3)(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__1__.[解析] (1)设圆台较小的底面半径为r ，那么较大的底面半径为3r ，由已知得π(r ＋3r )×3＋πr 2＋9πr 2＝574π，解得r ＝7．(2)设圆柱的底面半径为R ， 则S ＝πR 2，R ＝S π， 底面周长c ＝2πR .故圆柱的侧面积为S 圆柱侧＝c 2＝(2πR )2＝4π2·Sπ＝4πS .(3)设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧π×r ×l ＝2π2×π×r ＝12×2×π×l，解得r ＝1，l ＝2． 题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积典例2 (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( A )A ．64π3B ．128π3C ．64πD ．1282π(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( D )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是__733π__.[解析] (1)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ∴2r ＝l 2＋l 2，即l ＝2r ，由题意得，侧面积S 侧＝πr ·l ＝2πr 2＝162π， ∴r ＝4．∴l ＝42，高h ＝l 2－r 2＝4．∴圆锥的体积V ＝13Sh ＝13π×42×4＝643π，故选A ．(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.(3)设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π，∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝733π.[归纳提升] 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利用割补法.【对点练习】❷ (1)若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是__12π__. (2)(2020·江苏卷)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是__123－π2__cm.[解析] (1)易知圆锥的高h ＝4，所以V 圆锥＝13π×32×4＝12π.(2)正六棱柱体积为6×34×22×2＝123，圆柱体积为π⎝⎛⎭⎫122·2＝π2，所求几何体体积为123－π2.题型三 球的体积与表面积典例3 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( B )A ．12πB ．16πC ．16π3D ．64π3(2)一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( B )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3(3)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为__4π3__.[解析] (1)设球的半径为R ，则由已知得43πR 3＝32π3，解得R ＝2．故球的表面积S 表＝4πR 2＝16π.(2)设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示.在Rt △OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ，OO 1＝2 cm ， ∴球的半径R ＝OA ＝22＋(5)2＝3(cm)，∴球的体积V ＝43×π×33＝36π(cm 3).(3)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为4π3.【对点练习】❸ (1)(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C )A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π(2)将本例(3)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为__100π__. [解析] (1)这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即R ＝(23)2＋(23)2＋(23)22＝3，所以，这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π. 故选C ．(2)如图，由条件知，O 1A ＝3，OO 1＝4，所以OA ＝5，所以球的表面积为100π.易错警示找错内切球截面致错典例4 一个球的内接正方体的表面积是54，求该球的表面积和体积.[错解] 设正方体的棱长为a ，则有6a 2＝54， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去).∴正方体的面对角线长d ＝32＋32＝32， ∴球的半径R ＝12d ＝322.∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫3222＝18π， V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫3223＝92π.[错因分析] 将球的内接正方体所取截面理解为正方体一个面所在截面，错误得到正方体的面对角线的长等于球的直径的结论.[正解] 设正方体的棱长为a ，则有6a 2＝54， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去).∴正方体的体对角线长d ＝3×32＝3 3. ∴球的半径R ＝12d ＝332.∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫3322＝27π， V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫3323＝2732π.[误区警示] 正方体的一个面所在截面是球的小圆面，不是球的大圆面.解决此类问题应取正方体的体对角线所在的截面.【对点练习】❹ 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为__9π2__.[解析] 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18， ∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3，∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝9π2.。

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积一、内容和内容解析内容：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章第3节第2课时的内容．本节课主要学习圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式.本节课从圆柱、圆锥、圆台的展开图推出它们的表面积，然后比较它们的表面积公式，让学生更容易记忆公式。

类比棱台的体积公式，进而得到圆台的体积公式，再进一步比较圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台的体积公式，找到它们公式之间的关系。

类比初中圆的面积公式的推导，从而推导球的体积公式．二、目标和目标解析目标：（1）通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法．（2）会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积．（3）会用球的体积与表面积公式解决实际问题．目标解析：（1）圆柱、圆锥、圆台和球都是旋转体，它们的表面积由底面和侧面组成，在表面积的求解过程中，从运动变化的观点，从圆柱、圆锥、圆台的结构特征上寻找原因，提高能力和兴趣.（2）从运动变化的观点研究圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系，当圆台上底面扩大到与下底面全等时，圆台转化为圆柱；圆台上底面缩小为一个点时，圆台转化为圆锥，这种转化的思想方法值得思考和学习．（3）类比圆的周长和面积，推导球的表面积和体积，对于球的体积公式的推导，可利用“分割、求近似值、再由近似和转化为球体的体积”的极限思想方法．基于上述分析，本节课的教学重点定为：通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：现在的学生运算能力普遍偏弱，求面积和体积对运算要求又较高，因此，解决运算问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：化繁为简，割补法的应用，让学生把主要精力用在观察、发现规律上．2．教学问题二：圆柱、圆锥、圆台的体积公式是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：从运动变化的观点研究圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系，当圆台上底面扩大到与下底面全等时，圆台转化为圆柱；圆台上底面缩小为一个点时，圆台转化为圆锥．基于上述情况，本节课的教学难点定为：会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中借助具体实物模型．既可以解决学生的空间想象能力，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积公式的推导，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，公式的推导应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图复习回顾，温故知[问题1]棱柱、棱锥、棱台的表面积公式？[问题2]棱柱、棱锥、棱台的表面积公式？教师1：提出问题1．学生1：学生思考，回答．教师2：提出问题2．学生2：学生思考，回答．V棱柱＝Sh通过复习棱柱、棱锥、棱台的表面积体积公式，引入本新V 棱锥＝13ShV 棱台＝13(S ′＋S ′S ＋S )h节新课。