放缩法证明导数不等式
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放缩法证明导数不等式
在用导数证明的不等式中,有时采用适当的放缩,会使解题过程事半功倍。下面先介绍几个不等式。
①1+≥x e x (当且仅当x=0时取等号)
对①式两边同时取以e 为底的对数得到②式
②x x ≤+)1ln(,()+∞-∈,1x (当且仅当x=0时取等号) ②式中用x-1替换x ,得到③式
③1ln -≤x x ,()+∞∈,0x (当且仅当x=1时取等号) ③式中用x 1替换x , 得到x x x -≤
11ln 即 ④x
x x 1ln -≥ , ()+∞∈,0x (当且仅当x=1时取等号) 由③④式可得 ⑤1ln 1-≤≤-x x x
x ,两边等号成立的条件均为x=1 ⑤式中用x+1替换x 得到 ⑥()x x x x ≤+≤+1ln 1
,两边等号成立的条件均为x=0 ①式中用x-1替换x ,得到x e x ≥-1,所以x e
e x
≥,即 ⑦ex e x ≥,(当且仅当x=1时取等号)
令()x x x f ln =,则令()0ln 1'=+=x x f ,得e x 1=。⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时,()0' ⎫ ⎝⎛+∞∈,1e x 时,()0'>x f ,()x f 单调递增,所以()x f 的最小值为e e f 11-=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛,即e x x 1ln -≥,所以得到 ⑧ex x 1ln -≥,(当且仅当e x 1=时取等号) 以上的不等式应用在在证明过程中时需要先证明,下面用几个例题说明一下 例1, 求证02ln 2≤+--ex e ex x ex x 证明:先证ex e x ≥ 令()ex e x f x -=,则()()11'-=-=-x x e e e e x f ,则()1,0∈x 时,()0' 要证原式 ,只需证明02ln 2≤+--ex ex ex x ex ,即证 0ln 2≤+-ex ex x ex ,又因为x>0,两边同除ex ,只需证明01ln ≤+-x x 令()1ln +-=x x x g ,则()x x x x g -=-=111 '。则()1,0∈x 时,()0'>x g ,()x g 单调递增,()+∞∈,1x 时,()0' 例2, 求证:12ln 1>+-x x e x x e 证明:先证ex x 1ln - ≥ 令()ex x x f 1ln +=,则()22'111ex ex ex x x f -=-=,所以⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时,()0' ⎫ ⎝⎛+∞∈,1e x 时,()0'>x f ,()x f 单调递增,所以()x f 的最小值为01=⎪⎭⎫ ⎝⎛e f ,所以 ex x 1ln -≥,(当且仅当e x 1=时取等号) 所以x e x e ex e e x x e x x x x x 11122ln ---=+-≥+,令()x e x g x 1 -=,则()()21'1x x e x g x -=-,则()1,0∈x 时,()0' ()0' >x g ,()x g 单调递增。所以()x g 的最小值为()11=g 。即11 ≥-x e x ,(当且仅当x=1时取等号),因为两个不等式等号成立的条件不相同,所以最终不能取等号,即12ln 1>+-x x e x x e 。 例3,求证:2ln >-x e x 证明:先证ex e x ≥ 令()ex e x f x -=,则()()11'-=-=-x x e e e e x f ,则()1,0∈x 时,()0' 所以x ex x e x ln ln -≥-,令()x ex x g ln -=,则()x ex x e x g 11'-=-=,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时,()0' ⎫ ⎝⎛+∞∈,1e x 时,()0'>x g ,()x g 单调递增,所以()x g 的最小值为21=⎪⎭⎫ ⎝⎛e g ,所以ex e x ≥ ,(当且仅当e x 1=时取等号),因为两个不等式等号成立的条件不相同,所以最终不能取等号,即2ln >-x e x 。 在用导数证明不等式的过程中,可以适当使用放缩法,但是要注意等号成立的条件。