排列组合题型分解及技巧点拨

排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。

复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。

一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55种站法，故站法共有：A A 4155⋅＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44种，故站法共有：A A 5244480⋅=（种）二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再进行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320⋅=（种）。

三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A 44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440⋅=（种）四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。

..排列组合解题技巧归纳总结排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学内容1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类方法，在第1类方法中有1m 种不同的方法，在第2类方法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理〔乘法原理〕完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进展,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步穿插，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A..由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,假设两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进展排列，同时对相邻元素内部进展自排。

解排列组合问题的常用小技巧排列组合问题在高考中一般以选择或填空题的形式出现，它联系生活实际，生动有趣，题型及其解法也灵活多变.实践证明，备考的有效方法是将题型与解法归类，识别模式，熟练应用.同时，还要抓住一些基本策略和方法技巧，排列组合问题便能迎刃而解.一、特殊元素优先安排对于有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素.例1 用0，1，2，3，4这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个.分析由于所求三位数是偶数，故末位数字必须是偶数.又因为0不能排在首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排. 按“0排在末位”和“0不排在末位”，分为两类讨论：当0排在末位时，三位偶数有 A24个；当0不排在末位时，有 A12 A13 A13个.故三位偶数共有30个.二、总体淘汰对于含有否定词以及“至多”、“至少”的问题，可以从总体中把不符合要求的减去，应注意既不能多减也不能少减.比如对例1，也可这样解答：五个数字组成三位数的全排列有 A35个，0排在首位的有 A14 A13个，0不在首位而3或1排在末位的有 A12 A13 A13个，这两种不符合题意的排法要减去，即有A35- A14 A13- A12 A13 A13=30(个).三、合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，将事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.例2 五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有种.分析由题意，可先安排甲，并按其所站位置进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有 A44种站法；（2）若甲在第三、第四或第五个位置上，则根据分步计数原理，有 A13 A13 A33种站法.所以不同的站法共有78种.四、“捆绑”相邻元素对于要求某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”的元素，与其他元素一起排列，然后再对被“捆绑”的元素内部进行排列.例3 7人站成一排照相，要求甲、乙、丙3人相邻，有种不同的排法.分析先把甲、乙、丙3人“捆绑”起来，看作是一个元素，与其余4人共5个元素做全排列，有 A55种排法；而后对甲、乙、丙3人进行全排列，有 A33种排法.即共有 A55 A33=720(种)不同的排法.五、不相邻元素分别“插空”对于要求某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入在已排好的元素之间及两端的空隙处即可.例4 在例3中，若要求甲、乙、丙3人两两不相邻，则又有多少种不同的排法？分析先让其余4人站好，有 A44种排法；再在这4人之间及两端的共5个“空隙”中选3个位置让甲、乙、丙插入，有 A35种排法.故共有 A44 A35=1 440（种）不同的排法.六、顺序固定用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.例5 5人排队，甲在乙前面的排法有种.分析若不考虑限制条件，则有 A55种排法；而甲、乙两人之间的排法有 A22种，其中甲在乙前面的排法只有1种.故符合条件的排法有 A55 A22=60（种）.七、统一分排把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理.例6 7人坐2排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种坐法.分析7个人，可以在前后两排随意就座，再无其他条件，两排可看作一排来处理，故不同的坐法有A77=5 040（种）.八、逐步尝试当题目中的附加条件多，直接解决困难时，通过逐步尝试，不失为一种行之有效的方法.例7 将数字1，2，3，4填入标号分别1，2，3，4的方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有种.分析此题考查排列的定义，附加条件较多.方格1内可填2或3或4.如填2，则方格2内可填1或3或4. 若方格2内填1，则方格3内只能填4，方格4内只能填3；若方格2内填3，则方格3内填4，方格4内填1；若方格2内填4，则方格3，4内应分别填1，3.即有3种填法.同理，方格1内填3或4也各有3种填法.所以共有9种填法.九、探索规律对于情况复杂、似乎无从下手的问题需要仔细分析，探索出其中规律，再予以解决.例8 从1到100的自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和大于100，则不同的取法有种.分析本题数字较多，情况也复杂，需要分析其规律.为方便起见，称两个加数中较小的数为被加数.1+100=101＞100，1为被加数的取法有1种；2为被加数的取法有2种……49为被加数的取法有49种；50为被加数的取法有50种；但51为被加数的取法只有49种；52为被加数的取法只有48种……99为被加数的取法只有1种.故不同的取法共有（1+2+…+50）+（49+48+…+1）=2 500（种）.十、让“客”住“店”解决允许重复的排列问题时，要注意区分其中可以重复和不能重复的两类元素.把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，然后“让客住店”，利用乘法原理即可求解.例9 七名学生争夺五项冠军，获得各项冠军的可能情况有种.分析因为同一名学生可夺得多项冠军，故学生可重复排列.而同一项冠军只能由一名学生获得（隐含条件）.于是，将七名学生看作7个“店”，五项冠军看作5个“客”，每个“客”有7种住法，由乘法原理得共有7 5种可能的情况.十一、混合排列时先选后排对于排列组合混合问题，一般的解法是先取（组合）后排（排列）.例10 四名同学分别被保送到清华、北大、复旦三所大学深造，每所学校至少1人，则不同的保送方案有种.分析由于必有两人选到同一所学校，有 C24种选法；再将这三组分别送到三所大学，有 A33种排法，由分步计数原理，保送方案有 C24 A33＝36（种）.十二、间隔分组对于要求把n个元素分成m个组的问题（n≥m），用“挡板法”.例11 将12个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子中至少有1个小球的不同放法有种.分析将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选3个放上“隔板”，有 C3 11 =165（种）放法.思考如果盒子可空，有多少种放法？（）C04 C3 11 + C14 C2 11 + C24 C1 11 + C34 C0 11 =455.以上介绍的排列组合应用题的解题策略不是彼此孤立，而是相互依存的，有时解决某一问题时要综合运用几种求解策略. 总的来说，解决排列组合问题的思路是：（1）先组合,后排列；（2）先分类,再分步；（3）先特殊（特殊元素、特殊位置），再一般，以简捷为原则.巩固练习1. （1）五个1和两个2可组成多少个不同的七位数？（2）某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有一人参加的选法有多少种？2. （1）从正方体中的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有种.（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种.3. （1）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有种.（2）6本不同的书分给3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种分法？4. (1) 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种.(2) 10个人站成一排，其中甲乙丙3人两两不相邻且不站两端，问有多少种不同的站法？5. 把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？6. 7名师生战成一排表演节目，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（1）2名女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）4名男生按从高到低一种顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端.参考答案1. （1） C27=21;（2） C6 11 =462.2. （1）12;（2）141.3. (1) 540;(2) C16 C25 C33 A33=370.4. (1) 78;(2) A77 A36=100 800.5. 3 4=81.6. （1） A66 A22=1 440；（2） A33 A44=144；（3）2• A77 A44=420；（4）A12 A14 A55+ A24 A14 A44=2 112.排列组合应用问题，题型繁多，解法独特，但经仔细分析研究，还是有一定规律可循。

解排列组合问题的十二种技巧排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，因此排列组合问题成了近几年高考的必考内容之一，而且题量逐渐增大。

学习和总结此类问题的解题原则、掌握其规律，对培养学生的逻辑思维能力、开发智力、提高素质都非常重要。

学习中除了灵活运用基本原理和公式外，还必须讲究一些基本策略和方法，抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

下面以例题分析的形式，说明解排列组合问题的十二种技巧，望大家在理解的基础上将其掌握。

例1 7人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的排列方法？1）甲不在排头，也不在排尾；2）甲不在排头，乙不在排尾；3）甲、乙、丙三人一定相邻；4）甲、乙、丙不相邻；5）甲在乙的左边；6）甲、乙、丙顺序固定；7）甲、乙之间恰隔2人。

1 特殊元素（位置）法对于有要求的特殊元素的排列组合问题，一般应优先安排。

分析：例题的第1）问中，甲不在排头也不在排尾，则先安排甲有15P 种排法，其余有66P 种方法，共有15P 66P =3600种方法（特殊元素法），或：甲不在排头，也不在排尾，谁来当排头和排尾呢？从剩下的6人中选2 人有26P 种方法，其余全排列55P 种，则共有26P 55P =3600种方法（特殊位置法）。

2 总体淘汰法对于含有否定字眼的问题还可以从总体中把不符合要求的除去，此时注意既不能多减也不能少减。

分析：例题的第1）问中7人可先做全排列有77P 种方法，站好后发现甲在排头不符合题意除掉，甲在排尾也不符合要求，则有77P -266P =3600种方法。

在第2）问中甲在排头有66P 种方法；乙在排尾有66P 种方法；甲在排头乙在排尾，有55P 种方法；则共有77P -266P +55P =3700种方法。

3 分类法与分步法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

分析：在第2）问中还可以进行分类考虑：第一类：甲在排尾，此时乙无任何要求和其它5个共6个元素进行全排列，有66P 种方法。

13种排列组合题型详解，助你拿下高考数学卷上17分，一分都不能丢高考数学中有一部分知识叫做排列组合概率及统计学，大概占17分左右，但是这部分知识又不是很难，所以这17分一分都不能丢！类型一、特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素；若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置；若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

这种首先确定排列还是组合的问题，对于首位和末位无须考虑顺序，但是首位末位有优先需求，所以先要排首位和末位，末位必须是奇数，也就是从1，3,5这个里边去挑选一个即可，那首位还不能排0，在排除一个奇数，只剩下4个数可以选择，所以剩下的三位我们直接全排列就可以。

类型二、相邻/相间元素捆绑策略要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。

审题时一定要注意关键字眼。

类型三、不相邻问题插空策略先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。

所以这两个方法的关键字都是相邻，以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。

“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定。

类型四、定序问题倍缩空位插入策略顺序固定问题用“除法”，对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

当然还可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。

类型五、重排问题求幂策略分房问题又名：住店法，重排问题求幂策略，解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。

（完整版）解排列组合应用题的解法技巧（可编辑修改word版）n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法注：数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一. 运用两个基本原理二. 特殊元素（位置）优先三. 捆绑法四. 插入法五. 排除法六. 机会均等法七. 转化法八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，有 C 0 种结果；1 个人通过，有 C 1 种结 n n果，……；n 个人通过，有C n 种结果。

所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。

排列组合题型分类解析一. 知识梳理：1、 两个计数原理：___________________________(分类)____________________________(分步)2、 排列：（1）排列的定义：_______________________（2）排列数公式：__________________________3、 组合：（1）组合的定义：_______________________（2）组合数公式：__________________________（3）组合数性质：①______________②_______________二.排列组合题常见解法.1. 分类法.例1：50件产品中有4件是次品从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共多少种．解析：分两类，有4件次品抽法14644C C ⋅；有三件次品的抽法24634C C ⋅，所以共有14644C C ⋅ +24634C C ⋅＝4186种不同的抽法．练习1. 假设在100件产品中有3件次品，从中任意抽取5件. ①至少有两件是次品的抽法共多少种? ②至多有两件是次品的抽法共有多少种?2. 捆绑法例2： 6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有___种 ( C )(A)720种 (B)360种 (C)240种 (D)120种解析 将甲、乙两人视为一人，则有55A 种，再将甲、Z 两人互换位置，则共有5522A A ⋅=240种.练习2. 7个人按如下各种方式排队照相, 甲乙两人要站在一起的排法共有多少种?练习3. 6人站成一排，其中甲乙丙不全相邻的排法共有_________种3. 对称法例3. A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，若B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻)．则不同排法共有( )。

A. 24种B. 60种C. 90种D. 120种解析：考虑对称性，B 在A 右和A 在B 右机会均等．应得排法5521A =60种． 说明 本题还可以推广到更为一般的情况，m 个人并排站成一排，其中n(m>n)个人的相对顺序一定，共有n n m m A A 种．如例3中，若A 、B 、C 顺序一定，共有3355A A =20种。

排列组合题型分析还有21种常用方法的整理排列组合应用题的类型及解题策略一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。

二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。

（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。

解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。

特殊优先法列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。

例1．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48. 从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。

弄清要“完成什么样的事件”是前提。

三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（C ）种。

A）720 B）360 C）240 D）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。

（2）、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A种例4高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040解：不同排法的种数为5256A A＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。

排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。

所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。

例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题一般可分为相异元素不许重复的排列组合问题，相异元素允许重复的排列组合问题和不尽相异元素的排列组合问题.对于复杂的排列组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本排列组合的题型对学好本节内容是很有必要的.一、相异元素不许重复的排列组合问题1. 若对元素无特殊要求，这类问题比较简单，直接运用排列数、组合数定义就可以解决，只需分清是组合问题还是排列问题即可.例1 有北京、上海、广州三个车站，需准备几种车票？有几种票价？解析车票与起点、终点顺序有关，故是排列问题；而票价与顺序无关，故是组合问题. 因此有[A23=6]种车票，有[C23=3]种票价.2. 相异元素有限制条件的排列问题，常用方法有：特殊元素优先法、相邻问题捆绑法、相邻问题插入法等.例2 6人站成一排，其中甲既不站在最左端也不站在最右端，有多少种不同的站法？解析因为甲不能站在左、右两端，故第一步考虑甲，除去两端位置甲有4种站法；第二步让其余的5人站在其他5个位置上，有[A55=120]种站法.故满足题目条件的站法共有[4×A55=480]种.例3 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？解析将3个女生看成一个元素，与5个男生进行排列，共有[A66=720]种排法；然后女生内部再进行排列，有[A33=6]种排法.故共有[A66A33=4320]种排法.点拨对于某些元素要求排在一起的问题，可用“捆绑法”将这些元素看作一个整体、看作一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素间内部再进行排列.例4 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解析先将其余4人排成一排，有[A44=24]种排法，再将甲、乙、丙3人插入其余4人之间和两端的5个缝隙中，有[A35=60]种排法，故共有[A44A35=1440]种排法.点拨对于某些元素要求间隔排列的问题一般运用插入法. 在插入时，要先排无限制条件的元素，再将不相邻的元素插入已排好元素位置间的缝隙中.例5 有9本不同的书，分成3堆.（1）每堆3本有多少种不同的分法；（2）一堆5本，其他两堆各2本，有多少种不同的分法；（3）若一堆4本，一堆3本，一堆2本有多少种不同的分法.解析（1）此分堆属于平均分组问题，并且不计每堆顺序，所以分堆方法共有[C39C36C33A33=560]种.（2）分堆中，有两堆是均匀的，故有[C59C24C22A22=378]种.（3）非均匀分堆，由于不知3堆中哪一堆4本，哪一堆3本，哪一堆2本，故有[C49C35C22]=1260种.点拨对于分组、分堆问题，要注意是“均匀分”还是“非均匀分”，均匀分组要除以分组数的全排列数（堆与堆之间没有顺序），而不均匀分组则不用除以分组数的全排列数.二、相异元素允许重复的排列组合问题不能直接用[Amn]解决，因元素可重复出现，往往需分步考虑，运用计数乘法原理来解决.例6 有3封信和4个邮筒，则将信投入邮筒的所有不同投法种数有（）A. [A34]B. [43]C.[34]D.[C34]解析 [Amn]，[Cmn]只能表示没有重复的排列组合问题，而本题中明显可以将多封信投入到一个邮筒中，是一个可重复问题，应考虑运用分步原理来做. 每封信都有4种可能的投法，故有[4×4×4=64]种不同的投法.答案 B例7 用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，若每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，共有多少种涂色方法.[1][2][3][4]解析这是一道染色排列组合问题，很容易错误地认为就是[A45=120]，但仔细分析可知，1，3区域可以同色，故应分步考虑. 先涂区域2有5种方法，再涂区域4有4种方法，剩下三种颜色涂区域1，3各有3种方法，故共有[5×4×3×3=180]种涂法.点拨对于这类染色问题，一般采取分步或分类计数的方法进行解决.三、不尽相异的元素的排列组合问题这类排列组合问题，直接考虑很难解决，分类讨论又十分麻烦. 有些排列组合问题，从表面上看是不尽相异的元素排列组合，但若交换元素与位置关系，运用转化思想，变换角度来考虑，问题就可能转化为相异元素的排列组合问题.例8 有2个a，3个b，4个c，共9个字母排列成一排，有多少种排法？解析将9个字母看作元素，1～9位置作为位子，这是一个不尽相异元素的全排列.若转换角度，将1～9号位置作元素，字母作位置，那么问题就转化为一个相异元素不许重复的组合问题，故有[C29C37C44=1260]种不同的排法.例10 3面红旗、2面黄旗，全部都升上旗杆作信号，共能表示多少种不同的信号？解析由于同色旗间没有顺序，因此只用考虑红旗或黄旗中的一种在5个空处的位置即可，故有[C35=C25=10]种信号.例11 从5个班中选10人组成校篮球队，每班至少1人，有多少种选法？解析这是一道选人问题，只要把人选出来就可以了，不用考虑顺序，因此可以将10个人看成10个相同的小球，放入5个不同的盒子中，每个盒子至少1球，可先把10个球排成一排，再在其中9个间隙中选4个位置插入4块“挡板”，将总体分成5个部分对应着5个盒子，故有[C49=126]种选法，这种计数方法叫做隔板法，可专门用来解决同种元素的分配问题.以上是对一些常见排列组合问题的分类和小结，它们对应着不同的题型，在解题过程中需灵活多变，其实在解决大多数计数问题时，往往要交叉用到排列、组合，不能拘泥于某种分类，但必须要清楚排列和组合间的区别.。