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河南科技大学2014年硕士研究生入学考试试题考试科目代码： 856 考试科目名称： 高等代数（如无特殊注明，所有答案必须写在答题纸上，否则以“0”分计算）一.（40分）以下各题只有一个答案是正确的，请选择正确的答案。
1. 设,A B 为n 阶方阵, 满足等式AB O =, 则必有( )．(A) A O = 或 B O =. (B) BA O =.(C) ||0A = 或 ||0B =. (D) ||||0A B +=.2. 设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,212223111213311132123331a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭, 1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 2100010,101P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 则必有( ). (A) 12APP B=. (B) 12PP A B =. (C) 21AP P B =. (D) 21P P A B =. 3. 设A 是n 阶（2n ≥）可逆矩阵, 则**()A =( ).(A) 1||n A A -. (B) 1||n A A +. (C) 2||n A A -. (D) ||n A A .4. 已知向量组1234,,,αααα线性无关, 则( ).(A) 12233441,,,αααααααα++++ 线性无关. (B) 12233441,,,αααααααα---- 线性无关.(C) 12233441,,,αααααααα++-- 线性无关. (D) 1223344,,,ααααααα--- 线性无关.5. 若向量组 ,,αβγ线性无关；,,αβδ线性相关, 则( ).(A) α必可由,,βγδ线性表示. (B)β必不可由,,αγδ线性表示。
(C) δ必不可由,,αβγ线性表示。
(D) δ必可由,,αβγ线性表示。
河南科技大学2011年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 856 考试科目名称： 高等代数一.（40分，每题4分）答：1.(C) 2.(B) 3.(D) 4.(D) 5.(C) 6.(B) 7.(A) 8.(B) 9.(A) 10.(D)二.（20分）(1). 证明：如果((),())1f x g x =, ((),())1f x h x =, 那么((),()())1f x g x h x =. (2). 命题“如果α是()f x '的m 重根，那么α是()f x 的1m +重根”对吗？若你认为这个命题是对的，给出一个证明。
若你认为不对，请举出反例。
答：(1). 如果()f x 与()()g x h x 不互素，那么存在不可约多项式()p x , 使()()p x f x ∣并且()()()p x g x h x ∣.（5分）由后者可知，()()p x g x ∣或者()()p x h x ∣, 都与((),())1f x g x =及((),())1f x h x =矛盾。
(10分)(2). 命题不对（4分）。
反例：取2()1f x x =-, 则()2f x x '=. 0是()f x '的1重根，但0不是()f x 的2重根。
（10分）三.（15分）已知行列式13311172173141151D --=--. 求12223242A A A A +++，其中ij A 是元素ija 的代数余子式。
解：考虑行列式1131117211314151C -=---，按它的第二列展开。
（5分）由于C 和D 除了第二列外均相同，故12223242C A A A A =+++，（10分）而计算可得113111721131415154C -=-=---. 所以1222324254A A A A +++=-.（15分）四．（20分）计算n 阶行列式123111000022*******n n n n-----L L LM M M M M L .解：各列加到第一列；按第一列展开。
河南科技大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码： 856 科目名称： 高等代数一、（15分）计算下列各题：1、（5分）已知4阶行列式D 的第3行元素分别为 1,0,2,4-，第4行元素对应的余子式依次是5,10,,4a ，求a 的值。
2、（5分）已知矩阵B A ,满足关系A B AB =-，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012021B ，求矩阵A 。
3、（5分）设*A 为3阶方阵A 的伴随矩阵，A =2，计算行列式|21)3(|*1A A --。
解：1、因为 31413242334334440a A a A a A a A +++=，(3)L L分这里ij a 和ij A 分别是第i 行第j 列处的元素和该元素的代数余子式，所以有 150102440a -⨯+⨯+⨯-+⨯=（-）（），可得212a =。
(5)L L 分 2、 因为B A AB =-，所以B E B A =-)(，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-20001210211)(1E B B A ，(5)L L 分 3、|21)3(|*1A A --=111||3A A ---=12||3A --=312()||3A --=427-。
(5)L L 分二、（15分）计算)3(≥n n 阶行列式：0111101010n x xD x x x x =L L LM M M OM L。
（注释：该行列式主对角线上元素都是0，第一行和第一列除去第一个位置的元素是0外，其余的都是1，行列式中其余的元素都是x 。
要求写出解题步骤，也可以用语言叙述）。
解（法一）：0111101010n x x D x x x x =L L LM M M O M L1(),(2,3,,)i r x r i n ⨯-+=L 0111100100100x x x---L L L M M M O M L(6)L L 分当0x ≠时，再把第j 列的1x倍加到第1列（2,3,,j n =L ），就把n D 化成了上三角行列式 121111000(1)(1)000000n n n n x x D n x x x----==----L LL M M M O M L， (12)L L 分当0x =时，显然有0n D =。
2010年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 856 考试科目名称： 高等代数一.（40分）答：1.(D)2.(D)3.(A)4.(D)5.(B)6.(C)7.(B)8.(D)9.(D) 10.(C)二.（20分）证明下列命题：(1). 如果多项式(),()f x g x 不全为零，证明：()((),())f x f xg x 与()((),())g x f x g x 互素。
(2). 证明：0x 是()f x 的k 重根的充分必要条件是1000()()()0k f x f x fx -'==== 而0()0kf x ≠.答：(1).证： 存在多项式(),()u x v x , 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+. (4分)因而()()()()1((),())((),())f x g x u x v x f x g x f x g x +=. (7分)由定理3,()(),1.((),())((),())()f x g x f x g x f x g x = (10分)(2). 必要性：设0x 是()f x 的k 重根。
那么0x 是()f x '的1k -重根，……，是1()k fx -的1重根，是()k f x 的0重根，即不是()k f x 的根，（3分）所以 1000()()()0k f x f x fx -'==== 而0()0kf x ≠. （5分）充分性：设1000()()()0k f x f x f x -'==== 而0()0kf x ≠. 设0x 是()f x 的l 重根。
由必要性的证明 1000()()()0l f x f x fx -'==== 而0()0lf x ≠. 从而l k =.(10分)三.（15分）已知行列式12114126211214783D --=. 求13233343A A A A +++，其中ij A 是元素ija 的代数余子式。
河南科技大学2014年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 856 考试科目名称： 高等代数一.（40分）以下各题只有一个答案是正确的，请选择正确的答案。
1. (C)2. (B)3. (C)4. (D)5. (D)6. (C)7. (D)8. (C)9. (C) 10. (D)二.（20分）设(),()f x g x 均为有理数系数多项式，且()g x 在有理数域上不可约。
若(),()f x g x 有一个公共的复根c . 证明：()|()g x f x .证 不可约多项式()g x 与任一多项式()f x 之间只可能有两种关系，或者()()g x f x ∣或者((),())1g x f x =（5分）. 如果((),())1g x f x =，那么存在有理数系数多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=（10分）. 因此，(),()f x g x 在复数域上也互素（15分）。
但(),()f x g x 有一个公共的复根c . 所以这是不可能的。
因此，()()g x f x ∣.（20分） 三.（10分）计算行列式3111131111311113.解31116111131163111131613111136113=（5分）11111311611311113=（8分）1111020064800200002==（10分）.四．（20分）证明：含有n 个未知量，1n +个方程的线性方程组11111111,111,1n nn nn nn n n n n n a x a x b a x a x b a x a x b +++++=⎧⎪⎪⎨++=⎪⎪++=⎩有解的必要条件是111111,11,10.n n nn n n n nn a a b a a b a a b +++=这个条件充分吗？若这个条件是充分的，给出一个证明。
若你认为不是充分条件，请举出反例。
河南科技大学
20XX 年硕士研究生入学考试试题 考试科目代码： 856 考试科目名称： 高等代数
（如无特殊注明，所有答案必须写在答题纸上，否则以“0”分计算） 一.（40分）以下各题只有一个答案是正确的，请选择正确的答案。
1. 设,A B 是n 阶矩阵, 则必有( )．
(A) ||||||A B A B +=+. (B) |
|||AB BA '=. (C) ()AB A B '''=
. (D) 111()A B A B ---+=+. 2. 设,A B 为同阶可逆矩阵, 则( ).
(A) 存在可逆矩阵,P Q 使PAQ B =. (B) 存在可逆矩阵P 使P AP B '=.
(C) 存在可逆矩阵P 使1P
AP B -=. (D) 存在可逆矩阵C 使BC CA =. 3. 设A 是n 阶可逆矩阵（2n ≥）, 则( ).
(A) *1||||A A -=. (B)
*||||A A =. (C) *||||n A A =. (D) *1||||n A A -=.
4. 向量组1
2(1,2,3,4,5),(2,3,4,5,1),αα== 3(2,3,4,5,6),α= 4(3,4,5,6,2),α= 5(3,4,5,6,7)α=的秩r =( ).
(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5
5. 已知向量组123,,ααα线性无关, 则下列向量组中, 线性无关的是( ).
(A) 122331,,αααααα++-
(B) 1223123,,2ααααααα++++
(C) 1223312,23,3αααααα+++
(D) 123123123,232,353ααααααααα++--+++
6. 设1111a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 是n 阶方阵, 秩为1(3)n n -≥, 则
a =( ). (A)
11n -. (B)11
n -. (C) 1. (D) 1-. 7. 设A 是m n ⨯矩阵, 则方程组AX O =仅有零解的充要条件是( ). (A) A 的列向量线性无关. (B) A 的列向量线性相关.
(C) A 的行向量线性无关. (D) A 的行向量线性相关.
8. 若线性齐次方程组
123123123(1)(1)0(1)0(1)0x x x x x x x x x λλλλ+---=⎧⎪+-+=⎨⎪-++-=⎩
的基础解系只含一个非零向量,则λ=( ).
(A)0 (B)2 (C) 1 (D) 2-
9. 设12,,,n ααα 为n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基, V 中向量,αβ在该基下的坐标分别为12(,,,)T n n x x x x =∈ 和
12(,,,)T n n y y y y =∈ . 则有( ).
(A) ,,x y αβ<>≠<> (B)||||x y αβ
-≠- (C) ||||α
β= 当且仅当 x y = (D) α与β正交当且仅当x 与y 正交。
10. 设λ是n 阶可逆方阵A 的一个特征值, 则
A 的伴随矩阵*A 一个特征值为( ). (A) 1||n
A λ- (B) 1||A λ- (C) ||A λ (D) ||n A λ
二.（20分）
证明：)(x p 是不可约多项式的充分必要条件是，对于任意的两个多项式)(),(x g x f , 由)()(|)(x g x f x p 一定推出)(|)(x f x p 或者)(|)(x g x p 。
三.（15分）已知行列式1
23423166
7894
51
9D =. 求31323334A A A A +++，其中ij A 是元素ij a 的代数余子式。
四．（20分）计算n 阶行列式1222
2222
.2232222A n
=
.
五.（10分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为(1,3,2)η=-.
六.（15分）设数域P 上的3维空间V 的线性变换A 在基123,,ααα下的矩阵为1010
14128-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 求线性变换212-+-A A A 在基123,,ααα下的矩阵。
七.（15分）设σ 是n 维欧氏空间V 的一个正交变换，证明σ 的不变子空间的正交补也是σ 的不变子空间。
八.（15分）设A 是n 级实对称矩阵，且2
A A =，证明存在正交矩阵T ，使 111.00T A T -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
