[中学联盟]福建省闽清县天儒中学(人教版)数学九年级上册课件：22-3二次函数与面积问题(共25张PPT)

8．如图，一个正方形纸板的边长为10 cm，将它割去一个正方形， 留下四个全等的直角三角形(图中阴影部分)．设AE＝BF＝CG＝DH ＝x(cm)，阴影部分的面积为y(cm2)． (1)求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围； (2)当x取何值时，阴影部分的面积达到最大，最大值为多少？
解：(1)y＝－2x2＋20x(0＜x＜10)
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式； (不要求写出自变量x的取 值范围) (2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
1 2 解：(1)S＝－ x ＋30x 2 1 1 1 (2)∵S＝－ x2＋30x＝－ (x－30)2＋450，且a＝－ ＜0，∴当x＝30 2 2 2 时，S有最大值，最大值为450.即当x为30 cm时，菱形风筝的面积最 大，最大面积是450 cm2
(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB 边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为ym2,当x取何 值时,y的最大值是多少?
M
30m
C
G
H
D P┐
B
A N 解 : 1 .由勾股定理得MN 50m, PH 24m. 40m 12 设AB bm, 易得b x 24. 12 2 12 25 12 2 x 25 300. 2. y xb x x 24 x 24 x 25 25 25 2 b 4ac b 或用公式 : 当x 25时, y最大值 300. 2a 4a
13 ．如图， 等腰直角三角形 ABC以 2 cm/s的速度沿直线 m 匀速向 正方形CDEF移动，直到AB与EF重合．设移动x s时，三角形与正方 形重合部分的面积为y cm2. (1)当x＝2，7时，y的值分别为多少？ (2)求从开始移动时到AB与EF重合时， y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
A B
D C
4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 3 时，S最大值＝ 4a ＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤6 4≤x<6 ∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
巩固 3、如图，△ABC中，∠B=90°，AB= 6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边 向B以1cm/s的速度移动；点Q从B开始 沿BC边向C以2cm/s的速度移动。如果 C P、Q同时出发，问经过几秒钟, △PQB的面积最大？最大面积 是多少？ Q
A P B
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(2)怎样围才能使菜园的面积最大？ 最大面积是多少？
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
1.某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的 矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使 存放场地的面积最大。
2.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边 做一个水槽，水槽的横断面为底角120º 的 等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它 的侧面AB应该是多长？
A D
B
C
巩固 2、如图，正方形ABCD的边长是4， E是AB上一点，F是AD延长线上一点， BE=DF。四边形AEGF是矩形，则矩 形AEGF的面积y随BE的长x的变化而 变化，y与x之间可 A D F 以用怎样的函数来 表示？ E G
B M A
F
N
P
C
E
D
图３
5.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点 P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移 动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/ 秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C 两点后就停止移动，回答下列问题： D C （1）运动开始后第几秒时， △PBQ的面积等于8cm2 Q （2）设运动开始后第t秒时， 五边形APQCD的面积为Scm2， 写出S与t的函数关系式， 并指出自变量t的取值范围； B A P t为何值时S最小？求出S的最小值。
B
C
巩固 4、如图是一块三角形废料，∠A=30°， ∠C=90°，AB=12。用这块废料剪出一 个长方形CDEF，其中，点D、E、F分 别在AC、AB、BC上。要使剪出的长方 形CDEF的面积最大，点E应选在何处？ B
E A D F C
范例 例2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm， BC=12cm，点P从A开始向B以1cm/s的 速度移动，点Q从B开始向C以2cm/s的 速度移动。如果P、Q分别从A、B同时 出发，设△PBQ的面积为 D C S(cm2)，移动时间为t(s)。 (1)求S与t的函数关系； Q A
y x2 最大值
(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园。 (2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ y
30
A
D
25
20 15 10 5 -1 0 1 2
x
B (0<x<10)
3 4 5 6 7 8 9 1o
y
C
x
如图，用长20米的篱笆围成一个一面靠 墙的长方形的菜园，设菜园的宽为x米，面 积为y平方米。 D A (1)求y与x的函数关系式及 自变量的取值范围； B C
5．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一 20m 时，矩形场地的面积最大，最大值为 个矩形场地，当AD＝________ __________ ． 800m2
第4题图
第5题图
6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点 P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC 向C点以1 cm/s的速度移动，如果P，Q分别同时出发，当△PBQ的 面积为最大时，运动时间t为_______ s. 2 7．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度 为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面 积S(单位：cm2)随x的变化而变化． 1 2 S＝－ x ＋20x (1)S与x之间的函数关系式为____________________ ； 2 (2) 当 x ＝ _______ 20cm 时 ， 这 个 三 角 形 面 积 S 最 大 ， 最 大 面 积 是 __________ 200cm2 ．
(2)配方得y＝－2(x－5)2＋50， ∴当x＝5时，阴影面积最大，y最大＝50
9．将一条长20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长为周长各围 12.5cm2 ． 成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_________
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm， 点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F， 9 3cm2 ． 6cm 时，四边形PECF的面积最大，最大值为________ 当PB＝________ 11．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两 条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一 条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．
P
B
范例 例2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm， BC=12cm，点P从A开始向B以1cm/s的 速度移动，点Q从B开始向C以2cm/s的 速度移动。如果P、Q分别从A、B同时 出发，设△PBQ的面积为 D C S(cm2)，移动时间为t(s)。 (2)当移动时间为多少时， Q △PBQ的面积最大？是 多少？ A B P
7.二次函数y=ax 2+bx+c的图象的一部分如图所示， 已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和 点B（0，1）。 （1）请判断实数a的取值范围，并说明理由； -1＜a＜0 （2）设此二次函数的图象 与x轴的另一个交点为C， 当△AMC的面积为△ABC 的 5 倍时，求a的值。 4
y
1B A 1
3．已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形 B 的最大面积为( ) A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定 4．用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如 ) D．4 m2 图)，那么这个窗户的最大透光面积是( C 64 2 4 8 A. m B. m2 C. m2 25 3 3
O
x
例２：有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角 为45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为 12cm．按图14—1的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形 纸板的斜边AB上，且点D与点A重合．若直尺沿射线AB方向平 行移动，如图14—2，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形 纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S cm 2）． （1）当x=0时，S=_____________； 当x = 10时，S =______________； （2）当0＜x≤4时，如图14—2，求S与x的函数关系式； （3）当6＜x＜10时，求S与x的函数关系式； （4）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并写 出最大值．
12 ． (2014·成都 ) 在美化校园的活动中 ， 某兴趣小组想借助如图所 示的直角墙角 ( 两边足够长 ) ， 用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m. (1)若花园的面积为192 m2，求x的值； (2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m， 要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)， 求花园面积S的最大值．