大学物理第十五章第3,4,5节 波的能量能流密度

∆W = u ⋅ ∆t ⋅ ∆S ⋅ w
u△ t
S
∆W x 2 2 2 P= = u ⋅ ∆S ⋅ w = u∆Sρω A sin [ω(t − )] ∆t u
11
∆W x 2 2 2 P= = u ⋅ ∆S ⋅ w = u∆Sρω A sin [ω(t − )] ∆t u
能流总为正值，并随时间作周期性变化。 能流总为正值，并随时间作周期性变化。 在一个周期内能流的平均值称为平均能流 P
2 2 2
5
波动能量： 波动能量：
Y
能量极小
x
极大 极小
体积元在平衡位置时，动能、 体积元在平衡位置时，动能、势能和总 机械能均最大. 机械能均最大 体积元的位移最大时，三者均为零 体积元的位移最大时，三者均为零.
6
总机械能为： 总机械能为：
x dW= dW +dW = ρdV A sin [ω(t − )] ω k p u
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 − 2π
r2 − r1
s1 s2
r1 r2
*
P
λ
定值
22
讨 论
A = A + A + 2A A2 cos ∆ϕ 1
2 1 2 2
决定了合振幅的大小. 位相差 ∆ϕ 决定了合振幅的大小. 干涉的位相差条件 当
∆ϕ = 2kπ时(k = 0,±1,±2,±3...)
合振幅最大 当
s1 s2
r1 r2
*
P
21
y P = y1 P + y 2 P = A cos( ω t + ϕ )
tanϕ =
A=
A1 sin(ϕ1 − A1 coA2 sin(ϕ2 −
2 π r2
λ
) )
2 π r1
λ
) + A2 cos(ϕ2 −
2 π r1
λ
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆ ϕ
27
平均能流
P = u⋅ ∆S ⋅ w
12
平均能流
P = u⋅ ∆S ⋅ w
能流密度 ( 波的强度 )I:
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流 称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度 能流密度或波的强度。 称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。
P 1 2 2 I= = u w = ρA ω u ∆S 2
§15.3 波的能量
一 波动能量的传播 1 波的能量 波的传播是能量的传播， 波的传播是能量的传播，传播 过程中,介质中的质点由不动到动， 过程中,介质中的质点由不动到动， 具有动能 W k ,媒质形变具有势能 W p .
1
•求弹性介质中任意体积元 dV 内的动能： 求弹性介质中任意体积元 内的动能：
17
2 波的干涉 频率相同、 频率相同、振动 方向平行、 方向平行、相位相同 或相位差恒定的两列 波相遇时， 波相遇时，使某些地 方振动始终加强， 方振动始终加强，而 使另一些地方振动始 终减弱的现象， 终减弱的现象，称为 波的干涉现象. 波的干涉现象
18
波的干涉之模拟演示图
19
(1)干涉条件 ) 波频率相同，振动方向相同，位相差恒定 波频率相同，振动方向相同， 满足干涉条件的波称相干波. 满足干涉条件的波称相干波 (2)干涉现象 ) 某些点振动始终加强，另一些点振动始终 某些点振动始终加强， 减弱或完全抵消. 减弱或完全抵消
y
y+dy
S 为体积元 截面积，E 为材料的弹性模量。 为体积元dV 截面积， 为材料的弹性模量。
∵ sdx = dV
纵波速：u = E / ρ
3
1 ∂y 2 ∴dWp = ρu dV 2 ∂x
2
1 x 2 2 2 = ρdVA ω sin ω (t − ) 2 u
4
1 势能： 势能： dWp = (ρdV ) A2ω2 sin 2[ω(t − x / u)] 2
2 2 2
定义：能量密度： 定义：能量密度：单位体积介质内的波动能量
x w = w k + w p = ρω A sin [ω (t − )] u
2 2 2
定义：平均能量密度： 定义：平均能量密度：一个周期内的能量平均值
1 2 2 1 T 2 2 2 x w = ∫ ρA ω sin [ω(t − )]dt = ρA ω T 0 u 2
O
15
二
波的衍射
波在传播过程中遇到障碍物， 波在传播过程中遇到障碍物，能绕过障 碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播. 碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播 波 的 衍 射 水 波 的 衍 射
16
15-5 波的干涉
1 波的叠加原理 波传播的独立性： 波传播的独立性：两列波在某区域相遇后 再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰. 再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰 波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动 波的叠加性：在相遇区， 为二波单独在该点引起的振动的合成. 为二波单独在该点引起的振动的合成
8
讨论： 讨论：
* 能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期 能量密度随时间周期性变化，
的一半。 的一半。
T =π ω
*任意时刻 体元中动能与势能相等，同相的随时 任意时刻,体元中动能与势能相等 体元中动能与势能相等，
间变化，即动能与势能同时达到最大或最小值 因此 间变化，即动能与势能同时达到最大或最小值.因此 对任意体积元来说，它的机械能不守衡。 对任意体积元来说，它的机械能不守衡。 波动是能 量传递的一种形式。 量传递的一种形式。
25
如图所示， 、 例 如图所示，A、B 两点 P 为同一介质中两相干波源. 为同一介质中两相干波源. 15 m 其振幅皆为5 ， 其振幅皆为 cm，频率皆 A 20 m 为100 Hz，但当点 A 为波 ， 峰时， 恰为波谷.设波 峰时，点B 恰为波谷 设波 速为10 m ⋅ s −1 试写出由 、 ，试写出由A、 B发出的两列波传到点 时 发出的两列波传到点P 发出的两列波传到点 干涉的结果. 干涉的结果
2
2
•以棒内传播纵波为例讨论体积元 的弹性势能： 以棒内传播纵波为例讨论体积元dV 的弹性势能： 以棒内传播纵波为例讨论体积元
体积元因形变而具有的 弹性势能： 弹性势能：
o x
2
s dx
F F+dF
x
1 1 dy 2 dWp = k(dy) = ESdx 2 2 dx
o
x
其 中 k = SE / dx
7
总机械能： 总机械能：
x dW= dW +dW = ρdV A sin [ω(t − )] ω k p u
2 2 2
对于某一体积元，它的能量从零达到最大， 对于某一体积元，它的能量从零达到最大， 这是能量的输入过程，然后又从最大减到零， 这是能量的输入过程，然后又从最大减到零， 这是能量输出的过程，周而复始。平均讲来， 这是能量输出的过程，周而复始。平均讲来， 该体积元的能量密度保持不变。 该体积元的能量密度保持不变。 即介质中并不积累能量。 即介质中并不积累能量。因而它是一个 能量传递的过程， 能量传递的过程，或者说波是能量传播的 一种形式；波动的能量沿波速方向传播。 一种形式；波动的能量沿波速方向传播。
1 2 2 I = ρA ω u 2
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。 能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
13
惠更斯原理、 §15.4 惠更斯原理、波的衍射
14
一 惠更斯原理 介质中波动传播到的各点都可以看 作是发射子波的波源， 作是发射子波的波源，而在其后的任意 时刻，这些子波的包络就是新的波前. 时刻，这些子波的包络就是新的波前 平 面 波 球 面 波
1 ∂y 1 x 2 2 2 动能： 动能：dWk = dm = ρdVA ω sin [ω(t − )] 2 ∂t 2 u
2
动能与势能有完全相同的形式，并且是同相位的。 动能与势能有完全相同的形式，并且是同相位的。 总机械能为： 总机械能为：
x dW= dW +dW = ρdV A sin [ω(t − )] ω k p u
B
26
解
BP = 152 + 202 = 25
10 = 0.10 λ= = ν 100 u
15 m A
P
设 A 的相位较 B 超前
20 m
B
ϕA −ϕB = π
∆ϕ = ϕB −ϕA − 2 π BP− AP
λ
25−15 = − π− 2 π = −201π 0.1
点P 合振幅
A = A − A2 = 0 1
20
(3)干涉现象的定量讨论 (3)干涉现象的定量讨论 波源振动
y1 = A1 cos(ωt + ϕ1 )
y2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
点P 的两个分振动
λ r2 y2 P = A2 cos(ωt + ϕ2 − 2 π ) λ
y1P = A1 cos(ωt + ϕ1 − 2 π )
r1
波动的能量与振动能量是有区别的。 波动的能量与振动能量是有区别的。 振动能量是有区别的 孤立振动系统的质元动能最大时， 孤立振动系统的质元动能最大时，势能最小 总机械能守恒，不向外传播能量。 ，总机械能守恒，不向外传播能量。
10
二
能流和能流密度
能流 P —单位时间内垂直通过某一截面的 单位时间内垂直通过某一截面的 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。 该截面的能流 设波速为 u，在 ∆t 时间内通过垂直于波速截面 的能量: ∆S 的能量 u
设行波方程为： 设行波方程为：