15-16版：正弦定理和余弦定理章末复习提升(创新设计)

第7讲 正弦定理、余弦定理,[学生用书P 70～P 71])1．(1)S ＝12 ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin_B ＝12ab sin_C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．[做一做]1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15 B.59 C.53D ．1解析：选B.在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.2．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC的面积为42，则c ＝________．解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.答案：141．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形( ) A ．无解 B ．有两解 C ．有一解 D ．解的个数不确定 解析：选B.∵a sin A ＝bsin B， ∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，∴sin B ＝223.又∵a <b ，∴B 有两个．4．(2014·高考福建卷)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．解析：∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.答案：1,[学生用书P 71～P 72])考点一__利用正、余弦定理解三角形(高频考点)__利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下三个命题角度：(1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数性质结合； (3)解三角形与三角恒等变换结合．(1)(2014·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________； sin A ＝________．(2)(2014·高考江苏卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .①求a 的值；②求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．[解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，把a ＝1，b ＝2，cos C ＝14代入可得c ＝2.因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.再由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，解得sin A ＝158.[答案] 2158(2)解：①因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B . 由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.②由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.[规律方法] 在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．1.(1)(2015·四川成都模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.1116(2)如图所示，△ABC 中，已知点D 在边BC 上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．(3)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.①求角B 的大小；②若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB →·AC →的值．解析：(1)6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，即sin A 2＝sin B 3＝sin C 4，由正弦定理得a 2＝b 3＝c4，可设a＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1116.(2)∵sin ∠BAC ＝sin ⎝⎛⎭⎫∠BAD ＋π2＝cos ∠BAD ＝223，∴根据余弦定理可得cos ∠BAD＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝（32）2＋32－BD 22×32×3＝223，∴BD ＝ 3.答案：(1)D (2) 3(3)解：①因为3a －2b sin A ＝0， 所以3sin A －2sin B sin A ＝0. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，则B ＝π3.②由①可知，B ＝π3，因为b ＝7，根据余弦定理得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3， 整理得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，则ac ＝6. 又a >c ，可得a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝cb cos A ＝2×7×714＝1.考点二__利用正弦、余弦定理判定三角形的形状__在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． [解] (1)由题意知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰钝角三角形．本例的条件变为2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ．且sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解：∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1.又∵0°<B <120°，30°<B ＋30°<150°， ∴B ＋30°＝90°， 即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°， ∴△ABC 为正三角形．[规律方法] 判断三角形的形状，主要有如下两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2.(1)在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________．(2)在△ABC 中，若b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 的形状为________．解析：(1)∵sin 2A 2＝c －b2c ，∴1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c. 由余弦定理b c ＝b 2＋c 2－a22bc，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．(2)由b ＝a sin C 可知b a ＝sin C ＝sin Bsin A ，由c ＝a cos B 可知c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得b 2＋c 2＝a 2，即三角形一定是直角三角形，A ＝90°，∴sin C ＝sin B ，∴B ＝C ，即b ＝c .故△ABC 为等腰直角三角形．答案：(1)直角三角形 (2)等腰直角三角形考点三__与三角形面积有关的问题____________△ABC 的三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 满足(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求A 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值； (3)若a ＝2，求△ABC 周长的取值范围． [解] (1)由余弦定理得：2b cos A ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ，∴cos A ＝12，由0<A <π，得A ＝π3.(2)∵a ＝2，由余弦定理得： 4＝b 2＋c 2－2bc cosπ3＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc . ∴bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32≤34·4＝ 3.即当b ＝c ＝a ＝2时，△ABC 面积的最大值为 3.(3)由b 2＋c 2－bc ＝4，得 (b ＋c )2－3bc ＝4.①又b ＋c ≥2bc ，∴bc ≤（b ＋c ）24，②当且仅当b ＝c 时取等号．将①代入②得（b ＋c ）2－43≤（b ＋c ）24，即(b ＋c )2≤16，∴－4≤b ＋c ≤4，又b ＋c >a ， ∴4<a ＋b ＋c ≤6，即当a ＝b ＝c ＝2时，周长的最大值为6，△ABC 周长的取值范围为(4，6]． [规律方法] 与三角形面积有关问题的解题策略：(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题， 一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．3.(2015·洛阳市统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． 解：(1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0， 即(2cos C ＋1)2＝0，∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ，∴sin A ＝15sin C ＝1010.∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ，∴12ab sin C ＝22sin A sin B ， ∴ab sin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得：⎝⎛⎭⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1.交汇创新——解三角形与数列的交汇(2014·高考陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．[解] (1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.[名师点评] 本题是解三角形问题和数列的交汇，其解题思路是由数列问题转化为边角的等式关系，再利用正、余弦定理即可求解．本题体现了新课标卷的设计理念和意图，在命题上追求知识间的交汇，有时也与不等式、直线、圆等知识交汇命题，注重考查知识应用能力．1.(2015·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上，则角C 的值为( )A.π6 B.π3 C.π4D.5π6解析：选B.因为点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上，所以a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理得a 2－ab ＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，故cos C ＝12，所以C ＝π3.2．(2014·高考江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．解析：由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c . 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－（a ＋2b ）242ab＝34a 2＋12b 2－2ab22ab ≥2⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24， 故cos C 的最小值为6－24. 答案：6－241．(2015·安庆模拟)在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．3∶2∶1 C ．1∶3∶2D ．2∶3∶1解析：选C.∵sin C ＝1，∴C ＝π2，由于A ∶B ＝1∶2，故A ＋B ＝3A ＝π2，得A ＝π6，B ＝π3，由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.2．在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝π3，则C ＝( )A.π6B.π4C.π2D.2π3解析：选C.由正弦定理得3sin B ＝33sin π3，∴sin B ＝12，∵a >b ，∴0<B <π3，∴B ＝π6.∴C ＝π－(A ＋B )＝π－(π3＋π6)＝π2.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 解析：选C.因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，所以b ＝c .所以此三角形一定是等腰三角形． 4．(2015·东北三校高三模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，sin C ＝3sin B ，且S △ABC ＝2，则b ＝( ) A ．1 B ．2 3 C ．3 2D ．3解析：选A.∵cos A ＝13，∴sin A ＝223.又S △ABC ＝12bc sin A ＝2，∴bc ＝3.又sin C ＝3sin B ，∴c ＝3b ，∴b ＝1，c ＝3，故选A. 5．(2015·河北石家庄质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )A.14B.34C.24D.23解析：选B.因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理得b 2＝ac .又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.6．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________．解析：在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，整理得15b －60＝0，∴b ＝4. 答案：4 7．(2015·龙岩质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝2a ，C ＝π3，则△ABC 的周长是________．解析：由22＝a 2＋(2a )2－2a ·2a cosπ3，得a ＝233， ∴△ABC 的周长为a ＋2a ＋2＝3×233＋2＝2＋2 3.答案：2＋2 3 8．(2014·高考广东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________．解析：法一：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ， 所以b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简可得ab＝2.法二：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ， 故sin(B ＋C )＝2sin B ，故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即ab ＝2.答案：29．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4. 解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0，∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．如图所示，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为( )A ．82B ．9 2C ．14 2D ．8 3解析：选A.在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝BC sin ∠BDC ， ∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2. 2．(2015·衡水中学第二学期调研)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0，2)解析：选A.∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ，∴sin B ＝2sin A cos A ，∴b ＝2a cos A ，又∵a ＝1，∴b ＝2cos A .∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2， 即 0<A <π2，0<2A <π2，0<π－A －2A <π2， ∴π6<A <π4，∴22<cos A <32， ∴2<2cos A <3，∴b ∈(2，3)．3．在△ABC 中，b ＝c cos A ＋3a sin C ，则角C 的大小为________．解析：∵b ＝c cos A ＋3a sin C ，由余弦定理得b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc＋3a sin C . 即b 2＋a 2－c 2＝23ab sin C .∴2ab cos C ＝23ab sin C ，即tan C ＝33.又0<C <π，∴C ＝π6. 答案：π64．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，a ＝3，若给定一个b 的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b 的取值范围为____________．解析：如图1所示，当a ＝b sin A ，即3＝b sin π3，b ＝2时，△ABC 为直角三角形，只有一个解；如图2所示，当a ≥b 时，即0<b ≤3时，三角形有且只有一个．所以b 的取值范围为(0，3]∪{2}．答案：(0，3]∪{2}5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3. 法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)△ABC 为等边三角形．∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334， 即12bc sin π3＝334， ∴bc ＝3， ①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3， ∴b 2＋c 2＝6， ②由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形．6．(选做题)△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S .满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)．(1)求C 的值；(2)若a ＋b ＝4，求周长的范围与面积S 的最大值．解：(1)∵S ＝34(a 2＋b 2－c 2)， ∴12ab sin C ＝34·2ab cos C ， 即tan C ＝3，又0<C <π，∴C ＝π3. (2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，又a ＋b ＝4.∴c 2＝a 2＋(4－a )2－a (4－a )＝3a 2－12a ＋16＝3(a －2)2＋4，由a ＋b ＝4，a >0，b >0知0<a <4.∴4≤c 2<16，∴2≤c <4.∴周长a ＋b ＋c ∈[6，8)．又由a ＋b ＝4，知4≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．∴ab ≤4，∴S ＝12ab sin C ≤12×4×32＝3， 即当a ＝b ＝2时，S max ＝ 3.。

《三角恒等变换与正余弦定理》提高篇复习卷一、单选题（共15题；共30分）1.若=2，则sin（α﹣5π）•sin（﹣α）等于（）A. B. C. D. -【答案】B【解析】【解答】由题意知，=2，分子和分母同除以cosα得，=2，解得tanα=3，∵sin（α﹣5π）•sin（﹣α）=﹣sinα•（﹣cosα）=sinαcosα=故选B．【分析】利用商的关系先对所给的齐次式，分子和分母同除以cosα进行转化，求出正切值，再根据诱导公式对所求的式子进行化简，再由商的关系转化为正切的式子，把求出的正切值代入进行求解。

2. 的值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】选A。

【点评】二倍角的正弦公式在解题中经常用到，要准确掌握、灵活应用.3.已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A. -B.C. -D.【答案】B【解析】【解答】解：cosx+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=sin（x+）=，故选：B．【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可．4.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A. 30(+1)mB. 120(-1)mC. 180(-1)mD. 240(-1)m【答案】B【解析】【解答】解: 如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）=．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．5.三角形的两边长分别为3和5，其夹角的余弦值是方程的根，则该三角形的面积为A. 6B.C. 8D. 10【答案】A【解析】【解答】由5x2－7x-6=0，可得x=2或x= ，则cos = ，所以sin = ，则该三角形的面积S= ×3×5× =6．故答案为:A．【分析】由方程的根得到角的余弦值,由面各公式求面积.6.在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）= ，则cosA+sinC的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【解答】解：由：（a+b+c）（a+c﹣b）= ，可得：，根据余弦定理得：，∵B是锐角，∴．∴，即，= ，又△ABC是锐角三角形，∴，即，∴，∴，∴．故选：B．【分析】由已知利用余弦定理可求cosB，结合B是锐角，可求B，进而可得，利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosA+sinC= ，由已知可求范围，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．7.设函数，且其图像关于轴对称，则函数的一个单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解答：函数，图像关于轴对称，必有所以：，又因为：，所以当时，，所以，所以单调递减区间：由解得：，所以的单调递减区间是：，当时，单调递减区间是：，显然C正确．分析：由题首先观察所给三角函数式子，运用差角公式化简，然后利用其关于y轴对称结合三角函数性质得到，然后运用整体方法得到函数的单调区间.8.如图所示，，，三点在地面上的同一直线上，，从两点测得点的仰角分别为，，则点离地面的高为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【解答】在△ACD中，根据正弦定理得，，所以．在△ABD 中，．故答案为:A.【分析】结合条件由正弦定理求解.9.已知tan100°=K，则cos10°=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解答：由tan100°=tan（90°+10°）=﹣cot10°=K，则cot10°=﹣K，且K＜0，所以sin10°= = ，则cos10°= = =﹣．故选D分析：利用诱导公式，由已知tan100°的值求出cot10°的值，且判断出K为负数，然后利用同角三角函数间的基本关系先求出sin10°的值，进而求出cos10°的值．10.已知sin2A=，A∈（0，π），则sinA+cosA=（）A. B. - C. D. -【答案】A【解析】【解答】由sin2A=2sinAcosA= ＞0，又A∈（0，π）．所以A∈（0，），所以sinA+cosA＞0又（sinA+cosA）2=1+2sinAcosA=故选A．【分析】根据sin2A=2sinAcosA，A∈（0，π），可确定角A的范围，再对sinA+cosA进行平方可得答案．11.已知sin=，0＜x＜，则的值为（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【解答】∵0＜x＜∴sin[ ﹣（+x）]=cos（+x）=∴=故选D．【分析】首先利用诱导公式化简sin[ ﹣（+x）]=cos（+x），即可求出结果．12.在锐角三角形中, , , 分别是角, , 的对边, = ,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【解答】解：由得，即，∴，∴，从而，∴=cosA+sinA=sin(A+)又，∴，∴，，∴.故答案为：B.【分析】对题目所给条件整理化简，即可知，在三角形中A+B+C=，利用正弦函数的两角和公式表示出来，根据题意确定的取值范围，利用正弦函数的基本性质，即可得出答案。

余弦定理、正弦定理[课程标准]借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．1．正弦定理条件在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径内容01a sin A ＝02b sin B ＝03c sin C＝2R 变形(2)a ∶b ∶c ＝07sin A ∶sin B ∶sin C ；(3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A2.余弦定理定理在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c内容a 2＝08b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝09c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝10a 2＋b 2－2ab cos C变形cos A ＝11b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝12c 2＋a 2－b 22ac；cos C ＝13a 2＋b 2－c22ab3.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝1412ac sin B ＝1512ab sin C ．(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况图形关系式解的个数A 为锐角a <b sin A无解a ＝b sin A一解b sin A <a <b两解a ≥b 一解A 为钝角或直角a >b 一解a ≤b无解4.三角形中的大角对大边在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .1．(人教A 必修第二册6.4.3例7改编)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b ＝()A ．2B ．1C.3D.2答案D解析由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A ＝sinπ4sin π6＝22×2＝2.2．(人教A 必修第二册6.4.3例8改编)在△ABC 中，已知B ＝120°，AC ＝19，AB ＝2，则BC ＝()A ．1 B.2C.5D ．3答案D解析解法一：由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC 2＋2BC －15＝0，解得BC ＝3或BC ＝－5(舍去)．故选D.解法二：由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得sin C ＝5719，从而cos C ＝41919(C 是锐角)，所以sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×41919－12×5719＝35738.又AC sin B ＝BCsin A，所以BC ＝3.故选D.3．在△ABC 中，已知B ＝30°，b ＝2，c ＝2，则C ＝________．答案45°或135°解析由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝2sin30°2＝22，因为c >b ，B ＝30°，所以C ＝45°或C ＝135°.4．(人教B 必修第四册9.1.2练习A T 4改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．答案1534解析因为a ＝3，b ＝5，c ＝7，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－492×3×5＝－12，因此sin C ＝32，所以△ABC 的面积S ＝12×3×5×32＝1534.5．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________________．答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，又因为0<2A <2π，0<2B <2π且0<A ＋B <π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．例1(1)(2023·柳州模拟预测)在△ABC 中，若sin C ＝3sin A ，b 2＝2ac ，则cos B＝()A.13B.14C.23D.34答案C解析因为sin C ＝3sin A ，由正弦定理可得c ＝3a ，且b 2＝2ac ，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋9a 2－6a 26a 2＝23.故选C.(2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC 中，A ＋B ＝3C ，2sin(A －C )＝sin B .①求sin A ；②设AB ＝5，求AB 边上的高．解①∵A ＋B ＝3C ，∴π－C ＝3C ，即C ＝π4，又2sin(A －C )＝sin B ＝sin(A ＋C )，∴2sin A cos C －2cos A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴sin A cos C ＝3cos A sin C ，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，∴0<A <π2，∴sin A ＝310＝31010.②由①知，cos A ＝110＝1010，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝22＝255，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，可得b ＝5×25522＝210，∴AB 边上的高h ＝b sin A＝210×31010＝6.解三角形的常见题型及解题策略题型解题策略知两角和一边先用A ＋B ＋C ＝π及sin(A ＋B )＝sin C 等求第三角，然后用正弦定理求另外两条边知两边及其夹角先用余弦定理求第三边，然后用正弦定理(或余弦定理)及内角和定理求另外两角知三边用余弦定理求角知两边及一边的对角目标是求角首选正弦定理，目标是求边首选余弦定理提醒：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝4，A ＝30°；③c ＝2，b ＝3，B ＝60°；④c ＝12，b ＝12，C ＝120°.其中满足上述条件的三角形有唯一解的是()A ．①④B ．①②C ．②③D ．③④答案C解析对于①，△ABC 中，b ＝3，c ＝4，B ＝30°，由正弦定理得b sin B ＝c sin C，即3sin30°＝4sin C⇒sin C ＝23＞12＝sin30°，满足条件的角C 有2个，故三角形有两个解；对于②，△ABC 中，a ＝5，b ＝4，A ＝30°，由正弦定理4sin B ＝5sin30°，得sin B ＝25＜12＝sin30°，又b ＜a ，所以满足条件的角B 只有一个，故三角形有唯一解；对于③，△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得332＝2sin C⇒sin C ＝1，即C ＝90°，故三角形有唯一解；对于④，△ABC 中，c ＝12，b ＝12⇒△ABC 为等腰三角形，又C ＝120°，故△ABC 无解．故选C.2．(2023·天津高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a ＝39，b ＝2，A ＝120°.(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求sin(B －C )的值．解(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B，得39sin120°＝2sin B，解得sin B ＝1313.(2)解法一(余弦定理)：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即39＝4＋c 2－4c cos120°，整理得c 2＋2c －35＝0，解得c ＝5或c ＝－7(舍去)．所以c ＝5.解法二(射影定理)：因为A ＝120°，所以B ，C 均为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝23913.由射影定理，得c＝a cos B＋b cos A＝39×23913＋ 5.(3)由正弦定理csin C ＝bsin B，可得sin C＝51326，又B，C均为锐角，所以cos C＝1－sin2C＝33926，cos B＝1－sin2B＝23913，所以sin(B－C)＝sin B cos C－cos B sin C＝1313×33926－23913×51326＝－7326.例2(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案A解析∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a2＋b2－c22ab ＝12，又0<C<π，∴C＝π3，由2cos A sin B＝sin C，得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形．(2)(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.①若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；②是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解①因为2sin C＝3sin A，所以2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，由余弦定理可得cos C＝a2＋b2－c22ab ＝1 8，则sin C＝1－cos2C＝378，因此S△ABC＝12ab sin C＝12×4×5×378＝1574.②显然c >b >a ，若△ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋（a ＋1）2－（a ＋2）22a （a ＋1）＝a 2－2a －32a （a ＋1）<0，解得－1<a <3，则0<a <3，由三角形三边关系可得a ＋a ＋1>a ＋2，可得a >1，又a ∈Z ，故a ＝2.三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．提醒：①注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能；②在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．1.(2023·陕西安康模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案B解析∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又sin A >0，∴sin A ＝1，又A ∈(0，π)，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．2．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC的形状为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案B解析因为cos 2B 2＝a ＋c 2c ，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c－1，所以cos B ＝ac ，所以a 2＋c 2－b 22ac＝ac ，所以c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形．角度三角形面积问题例3(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3，已知S 1－S 2＋S 3＝32，sin B ＝13.(1)求△ABC 的面积；(2)若sin A sin C ＝23，求b .解(1)由题意得S 1＝12·a 2·32＝34a 2，S 2＝34b 2，S 3＝34c 2，则S 1－S 2＋S 3＝34a 2－34b 2＋34c 2＝32，即a 2＋c 2－b 2＝2.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得ac cos B ＝1，则cos B ＞0.又sin B ＝13，则cos B ＝223.ac＝1cos B ＝324，则S△ABC＝12ac sin B＝28.(2)由正弦定理得bsin B ＝asin A＝csin C，则b2 sin2B ＝asin A·csin C＝acsin A sin C＝32423＝94，则bsin B＝32，b＝32sin B＝12.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2cos A＝2.(1)求bc；(2)若a cos B－b cos Aa cos B＋b cos A－bc＝1，求△ABC的面积．解(1)因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以b2＋c2－a2cos A＝2bc cos Acos A＝2bc＝2，解得bc＝1.(2)由正弦定理可得a cos B－b cos Aa cos B＋b cos A－bc＝sin A cos B－sin B cos Asin A cos B＋sin B cos A－sin Bsin C＝sin（A－B）sin（A＋B）－sin Bsin（A＋B）＝sin（A－B）－sin Bsin（A＋B）＝1，变形可得sin(A－B)－sin(A＋B)＝sin B，即－2cos A sin B＝sin B，而0＜sin B≤1，所以cos A＝－12，又0＜A＜π，所以sin A＝32，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×32＝34.角度三角形中的范围问题例4(2023·青岛二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a －c ＝2b cos C .(1)求B ；(2)若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，∠EDF ＝π3，b ＝c＝2.设∠BDE ＝α，将△DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围．解(1)因为2a －c ＝2b cos C ，所以2a －c ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)由B ＝π3及b ＝c ＝2可知△ABC 为等边三角形．又因为∠EDF ＝π3，∠BDE ＝α，所以π6≤α≤π2.在△BDE 中，∠BED ＝2π3－α，由正弦定理可得，DE sin B ＝BD sin ∠BED，即DE ＝3.在△CDF 中，∠CFD ＝α，由正弦定理可得，DFsin C ＝CD sin ∠CFD ，即DF ＝32sin α.所以S ＝38×1α×sin π3＝33α，π6≤α≤π2.因为αα＋12sin α＝32sin αcos α＋12sin 2α＝34sin2α－14cos2α＋14＝12sin α＋14，因为π6≤α≤π2，所以2α－π6∈π6，5π6，所以α12，1，所以12sin α＋14∈12，34.所以α∈[8，12]，所以1α∈112，18，所以S ＝33α∈34，338.所以S 的取值范围为34，338.解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路如下：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．(2024·长沙模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b c sin B ＝0.(1)求角C 的值；(2)若△ABC 的面积为103，D 为AC 的中点，求BD 的最小值．解(1)由b c sin B ＝0及正弦定理可得sin C ＋32cossin C sin B ＝0，则sin C －12sin 0，因为B ，C ∈(0，π)，则sin B >0，所以3cos C ＝sin C >0，可得tan C ＝3，故C ＝π3.(2)由于△ABC 的面积为103，所以12ab sin C ＝12ab ·32＝103，解得ab ＝40.在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝a 2＋b 24－ab cos C ＝a 2＋b 24－12ab ≥2a ·b 2－12ab＝12ab ＝20，故BD ≥25，当且仅当a ＝12b ，即a ＝25，b ＝45时，BD 取得最小值，为25.角度正、余弦定理解决平面几何问题例5(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin ∠ABC ＝a sin C .(1)证明：BD ＝b ；(2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC .解(1)证明：在△ABC 中，由正弦定理，得BD ·b ＝ac .又b 2＝ac ，所以BD ·b ＝b 2，即BD ＝b .(2)因为AD ＝2DC ，所以AD ＝23b ，DC ＝13b .在△ABD 中，由余弦定理，得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB22AD ·BD ＝3＋b 2－c 22·23b ·b ；在△BCD 中，由余弦定理，得cos ∠BDC ＝BD 2＋DC 2－BC 22BD ·DC ＝b 2－a22·b ·13b .因为∠ADB ＋∠BDC ＝π，所以3＋b 2－c 22·23b ·b ＋b 23－a 22·b ·13b ＝0，即113b 2＝2a 2＋c 2.又b 2＝ac ，所以113ac ＝2a 2＋c 2，即6a 2－11ac ＋3c 2＝0，即(3a －c )(2a －3c )＝0，所以3a ＝c 或2a ＝3c .当3a ＝c 时，由113b 2＝2a 2＋c 2，得a 2＝13b 2，c 2＝3b 2，在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13b 2＋3b 2－b 22b 2＝73b 22b2＝76＞1，不成立．当2a ＝3c 时，由113b 2＝2a 2＋c 2，得a 2＝32b 2，c 2＝23b 2，在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32b 2＋23b 2－b 22b 2＝76b 22b 2＝712.综上，cos ∠ABC ＝712.正弦、余弦定理解决平面几何问题的策略(1)计算问题①若题目条件中涉及三角形较多，可从已知边长的三角形入手，寻找突破口；②注意利用平面几何图形的性质，应用正弦、余弦定理建立边长或角的方程；③涉及三角形的周长问题，要注意整体代换思想的应用．(2)证明问题①利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等(不等)式转化为以角为研究对象的三角等(不等)式或以边为研究对象的代数等(不等)式；②充分利用三角形中隐含条件：A ＋B ＋C ＝π；A >B ⇔sin A >sin B ；a －b <c <a ＋b 及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明．(2022·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C sin(A －B )＝sin B sin(C －A )．(1)证明：2a 2＝b 2＋c 2；(2)若a ＝5，cos A ＝2531，求△ABC 的周长．解(1)证明：已知sin C sin(A －B )＝sin B sin(C －A )，可化简为sin C sin A cos B －sin C cos A sin B ＝sin B sin C cos A －sin B cos C sin A .由正弦定理可得ac cos B －bc cos A ＝bc cos A －ab cos C ，即ac cos B ＝2bc cos A －ab cos C .由余弦定理可得ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2bc ·b 2＋c 2－a 22bc －ab ·a 2＋b 2－c 22ab ，即2a 2＝b 2＋c 2.(2)由(1)可知b 2＋c 2＝2a 2＝50，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝50－252bc ＝252bc ＝2531.∴2bc ＝31.∵b 2＋c 2＋2bc ＝(b ＋c )2＝81，∴b ＋c ＝9，∴a ＋b ＋c ＝14.∴△ABC 的周长为14.课时作业一、单项选择题1．在△ABC 中，B ＝2π3，C ＝π6，a ＝5，则此三角形的最大边长为()A ．33B ．53C.552D.21答案B 解析因为B ＝2π3C ＝π6，所以A ＝π6，则B 对的边最大，由a sin A ＝b sin B，可得b ＝a sin Bsin A ＝5×3212＝53.2．(2023·十堰模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝3，c ＝4，设AB 边上的高为h ，则h ＝()A.152B.112C.3154D.3158答案D解析∵a ＝2，b ＝3，c ＝4，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋16－42×3×4＝78，∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－4964＝1564＝158，则h ＝AC sin A ＝b sin A＝3×158＝3158.故选D.3．(2023·全国乙卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a cos B －b cos A ＝c ，且C ＝π5，则B ＝()A.π10B.π5C.3π10D.2π5答案C解析由题意结合正弦定理可得sin A cos B －sin B cos A ＝sin C ，即sin A cos B －sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ，整理可得sin B cos A ＝0，由于B ∈(0，π)，故sin B >0，据此可得cos A ＝0，A ＝π2，则B ＝π－A －C ＝π－π2－π5＝3π10.故选C.4．(2023·陕西安康模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin C ＝45，c ＝4，B ＝π4，则△ABC 的面积为()A ．1B ．2C ．1或7D ．2或14答案C 解析由c sin C ＝b sin B 可得b ＝522，因为sin C ＝45，所以cos C ＝－35或cos C ＝35，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin π4cos C ＋cos π4sin C ，故sin A ＝210或sin A ＝7210，所以S △ABC＝12bc sin A ＝12×522×4×210＝1或S △ABC ＝12bc sin A ＝12×522×4×7210＝7.故选C.5．(2023·昆明一模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，cos ∠BAC ＝13，点D 在BC边上且AD ＝433，则sin ∠ADC ＝()A.63B.13C.33D.223答案A解析在△ABC 中，由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝9＋4－2×3×2×13＝3，∴BC＝AB ，∴∠BCA ＝∠BAC ，∴sin ∠BCA ＝sin ∠BAC ＝1－19＝223，在△ADC 中，由正弦定理得AD sin ∠DCA ＝AC sin ∠ADC ，即433223＝2sin ∠ADC，∴sin ∠ADC ＝63.故选A.6．(2023·吉林模拟)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝c 2－2bc 且b cos C ＝a sin B ，则△ABC 是()A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形答案A解析因为a 2－b 2＝c 2－2bc ，即b 2＋c 2－a 2＝2bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝2bc 2bc ＝22，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4，因为b cos C ＝a sin B ，利用正弦定理可得sin B cos C ＝sin A sin B ，由sin B ≠0，可得cos C ＝sin A ＝22，又C ∈(0，π)，所以C ＝π4，B ＝π－A －C ＝π2，则△ABC 是等腰直角三角形．故选A.7．已知△ABC 中，∠B ＝π6，AC ＝2，则∠A ＝π6的充要条件是()A ．△ABC 是等腰三角形B ．AB ＝23C ．BC ＝4D ．S △ABC ＝3，BC <BA答案D解析由于∠B ＝π6，故当△ABC 是等腰三角形时，∠A ＝π6或∠A ＝5π12或∠A＝2π3；当∠A ＝π6时，△ABC 是等腰三角形，所以“△ABC 是等腰三角形”是“∠A ＝π6”的必要不充分条件，所以A 不正确．当AB ＝23时，AB sin C ＝AC sin B ，即23sin C ＝2sin π6，sin C ＝32，所以∠C ＝π3或∠C ＝2π3，则∠A ＝π2或∠A ＝π6；当∠A ＝π6时，∠C ＝2π3，根据正弦定理可得AB ＝23，所以“AB ＝23”是“∠A ＝π6”的必要不充分条件，所以B 不正确．当BC ＝4时，BC sin A ＝AC sin B ，即4sin A ＝2sin π6，解得sin A ＝1，∠A ＝π2，所以“BC ＝4”不是“∠A ＝π6”的充分条件，所以C 不正确．当∠A ＝π6时，S △ABC ＝3；当S △ABC ＝3时，即12BC ·BA sin B ＝3，所以BC ·BA ＝43，根据余弦定理BC 2＋BA 2－2BC ·BA cos B ＝4，解得BC 2＋BA 2＝16，因为BC <BA ，所以BC ＝2，BA ＝23，则∠A ＝π6，所以“S △ABC ＝3，BC <BA ”是“∠A ＝π6”的充要条件，所以D 正确．故选D.8．(2023·合肥一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋2c sin C ＝2b sin C cos A ，则角A 的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案A解析因为a sin A ＋2c sin C ＝2b sin C cos A ，由正弦定理可得a 2＋2c 2＝2bc cos A ，所以cos A ＝a 2＋2c 22bc①，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A②，由①②可得2a 2＝b 2－c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12（b 2－c 2）2bc＝b 2＋3c 24bc ，因为b 2＋3c 2≥2b 2·3c 2＝23bc ，当且仅当b ＝3c 时取等号，所以cos A ≥23bc 4bc ＝32，又A ∈(0，π)，所以角A 的最大值为π6.故选A.二、多项选择题9．(2023·大连模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是()A ．若a cos A ＝b sin B ，则A ＝π4B ．若sin2A ＝sin2B ，则此三角形为等腰三角形C ．若a ＝1，b ＝2，A ＝30°，则此三角形必有两解D ．若△ABC 是锐角三角形，则sin A ＋sin B >cos A ＋cos B 答案AD解析由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，又a cos A ＝b sin B ，所以a cos A ＝a sin A，可得tan A＝1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4，A 正确；因为2A ∈(0，2π)，2B ∈(0，2π)，且2A ，2B 最多有一个大于π，所以由sin2A ＝sin2B 可知，2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，B 错误；由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×1211，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π2，故此三角形有唯一解，C 错误；因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，又y ＝sin xsin A cos B ，同理sin B cos A ，所以sin A ＋sin B >cos A ＋cos B ，D 正确．故选AD.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，则下列结论正确的是()A ．sin A ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则△ABC 外接圆的半径为877答案ACD解析因为(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，所以可设a ＋b ＝9x ，a ＋c ＝10x ，b ＋c ＝11x(其中x >0)，解得a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x ，所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，所以A 正确；由上可知，c 最大，所以三角形中C 最大，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（4x ）2＋（5x ）2－（6x ）22×4x ×5x＝18>0，所以C 为锐角，所以B 错误；由上可知，a 最小，所以三角形中A 最小，又cos A ＝c 2＋b 2－a 22cb ＝（6x ）2＋（5x ）2－（4x ）22×6x ×5x ＝34，所以cos2A ＝2cos 2A －1＝18，所以cos2A ＝cos C .由三角形中C 最大且C 为锐角可得，2A ∈(0，π)，C ∈0，π2，所以2A ＝C ，所以C 正确；由正弦定理，得2R＝c sin C ，又sin C ＝1－cos 2C ＝378，所以2R ＝6378，解得R ＝877，所以D 正确．故选ACD.11．(2023·烟台模拟)在△ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD ，cos ∠CDB ＝－55，则()A ．sin ∠CDB ＝310B ．△ABC 的面积为8C ．△ABC 的周长为8＋45D ．△ABC 为钝角三角形答案BCD解析由cos ∠CDB ＝－55可得sin ∠CDB ＝1－15＝255，故A错误；设CD ＝x ，CB ＝2x ，在△CBD 中，由余弦定理，可得－55＝9＋x 2－4x 26x ，整理可得，5x 2－25x －15＝0，解得x ＝5，即CD ＝5，CB ＝25，所以S △ABC ＝S △BCD ＋S △ADC ＝12×3×5×255＋12×5×5×255＝8，故B 正确；由余弦定理，可知cos B ＝CB 2＋BD 2－CD 22CB ·BD ＝CB 2＋AB 2－AC 22CB ·AB ，即20＋9－52×3×25＝20＋64－AC 22×8×25，解得AC ＝25，故△ABC 的周长为AB ＋AC ＋CB ＝8＋25＋25＝8＋45，故C 正确；由余弦定理，可得cos ∠ACB ＝20＋20－642×25×25＝－35<0，故∠ACB 为钝角，D 正确．故选BCD.三、填空题12．(2023·北京海淀模拟)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________．答案1解析由题意知sin2π3＝3sin C ，∴sin C ＝12，又0<C <π3，∴C ＝π6，从而B ＝π6，∴b ＝c ，故bc＝1.13．(2023·全国甲卷)在△ABC 中，AB ＝2，∠BAC ＝60°，BC ＝6，D 为BC 上一点，AD 为∠BAC 的平分线，则AD ＝________．答案2解析如图所示，记AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a .解法一：由余弦定理可得，22＋b 2－2×2×b ×cos60°＝6，因为b ＞0，解得b ＝1＋3.由S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD 可得，12×2×b ×sin60°＝12×2×AD ×sin30°＋12×AD ×b ×sin30°，解得AD ＝3b 1＋b 2＝23（1＋3）3＋3＝2.解法二：由余弦定理可得，22＋b 2－2×2×b ×cos60°＝6，因为b ＞0，解得b＝1＋3，由正弦定理可得，6sin60°＝1＋3sin B ＝2sin C ，解得sin B ＝6＋24，sin C＝22，因为1＋3＞6＞2，所以C ＝45°，B ＝180°－60°－45°＝75°，又∠BAD ＝30°，所以∠ADB ＝75°，所以AD ＝AB ＝2.14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF ＝1，FD ＝2，则AB ＝________．答案13解析由题意△EFD 为等边三角形，则∠EDA ＝π3，所以∠BDA ＝2π3，根据条件△AFC ≌△BDA ，所以AF ＝BD ＝1.在△ABD 中，AD ＝3，BD ＝1，所以AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ＝32＋12－13，所以AB ＝13.四、解答题15．(2023·郑州二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a sin(A ＋C )．(1)求角A 的值；(2)若3a ＝2c ＋3b ，求bc 的值以及sin B .解(1)在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，得sin(A ＋C )＝sin B ，由正弦定理，得b sin A ＝a sin B ，结合已知条件得sin A ，A 为△ABC 中的一个内角，所以A －π3A ＝π，解得A ＝2π3.(2)由3a ＝2c ＋3b ，平方得9a 2＝4c 2＋9b 2＋12bc ，①由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2bc cos A ，得a 2＝c 2＋b 2＋bc ，②联立①②解得5c ＝3b ，所以b c ＝53.由b c ＝53，3a ＝2c ＋3b ，结合正弦定理，可得sin B sin C ＝53，3sin A ＝2sin C ＋3sin B .联立解得sin B ＝5314.16．(2023·河北承德模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，sin A ＝2sin B sin C ，点E 在BC 边上，且AE ⊥BC .(1)求AE 的长；(2)若b 2＋c 2＝6bc ，求cos A 的值．解(1)如图所示，记AE 边为h ，由AE ⊥BC 可知，在△AEB 中，sin B ＝AE AB ＝h c，在△AEC 中，sin C ＝AE AC ＝h b ，sin A ＝2sin B sin C ＝2h 2bc，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12ah ，得sin A ＝ah bc ，则2h 2bc ＝ahbc ，即2h 2＝ah ，解得h ＝1，即AE ＝1.(2)由(1)，得S △ABC ＝12bc sin A ＝12ah ＝1，bc ＝2sin A ，b 2＋c 2＝6bc ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6bc －2bc cos A ，即4＝bc (6－2cos A )＝2sin A(6－2cos A )，可得2sin A ＋2cos A ＝6，即＝32，由A ∈(0，π)，有A ＋π4＝π3或2π3，则cos A ＝cos π3cos π4＋sin π3sin π4＝6＋24或cos A ＝cos2π3cos π4＋sin 2π3sin π4＝6－24.17．(2023·茂名模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足tan B(1)求A ；(2)若D 为边BC 上一点，且2CD ＝AD ＝BD ，试判断△ABC 的形状．解(1)由tan B得sin Bcos B＝所以sin B cos B所以sin C －12cos cos C ＋32cos 所以sin B (3sin C －cos C )＝cos B (sin C ＋3cos C )，所以sin C cos B ＋cos C sin B ＋3(cos C cos B －sin C sin B )＝0，所以sin(B ＋C )＋3cos(B ＋C )＝0，所以tan(B ＋C )＝－3，即tan A ＝3，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)设∠BAD ＝θ，θ则∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝π3－θ，∠ACD ＝2π3－θ，在△ADC 中，由正弦定理知AD＝CD，即即θ－12sin ＝32cos θ＋12sin θ，化简得tan θ＝33，所以θ＝π6，∠ACD ＝2π3－θ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．18.(2023·烟台一模)如图，四边形ABCD 中，AB 2＋BC 2＋AB ·BC ＝AC 2.(1)若AB ＝3BC ＝3，求△ABC 的面积；(2)若CD ＝3BC ，∠CAD ＝30°，∠BCD ＝120°，求∠ACB 的值．解(1)在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝－AB ·BC 2AB ·BC＝－12，因为0°<B <180°，所以B ＝120°.所以S △ABC ＝12AB ·BC sin120°＝12×3×1×32＝334.(2)由(1)知B ＝120°，设∠ACB ＝θ，则∠ACD ＝120°－θ，∠ADC ＝30°＋θ，∠BAC ＝60°－θ.在△ACD 中，由AC sin （30°＋θ）＝CDsin30°，得AC ＝sin （30°＋θ）sin30°CD .在△ABC 中，由AC sin120°＝BCsin （60°－θ），得AC ＝sin120°sin （60°－θ）BC .联立上式，并由CD ＝3BC 得sin(30°＋θ)sin(60°－θ)＝14，所以sin(60°＋2θ)＝12，由题意可知0°<θ<60°，所以60°<60°＋2θ<180°，所以60°＋2θ＝150°，解得θ＝45°，即∠ACB 的值为45°.19．(2024·雅礼中学模拟)记锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin （A －B ）cos B ＝sin （A －C ）cos C.(1)求证：B ＝C ；(2)若a sin C ＝1，求1a 2＋1b 2的最大值．解(1)证明：由题意知sin （A －B ）cos B ＝sin （A －C ）cos C ，所以sin(A －B )cos C ＝sin(A －C )cos B ，所以sin A cos B cos C －cos A sin B cos C ＝sin A cos C cos B －cos A sin C cos B ，所以cos A sin B cos C ＝cos A sin C cos B ，因为A 为锐角，即cos A ≠0，所以sin B cos C ＝sin C cos B ，所以tan B ＝tan C ，所以B ＝C .(2)由(1)知，B ＝C ，所以sin B ＝sin C ，因为a sin C ＝1，所以1a＝sin C ，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，sin C ＝sin B ＝b 2R，所以a sin C ＝2R sin A ·b2R＝b sin A ＝1，所以1b＝sin A ，因为A ＝π－B －C ＝π－2C ，所以1b＝sin A ＝sin2C ，所以1a 2＋1b 2＝sin 2C ＋sin 22C ＝1－cos2C 2＋(1－cos 22C )＝－cos 22C －12cos2C ＋32，因为△ABC 是锐角三角形，且B ＝C ，所以π4<C <π2，所以π2<2C <π，所以－1<cos2C <0，当cos2C ＝－14时，1a 2＋1b 2取得最大值2516，所以1a 2＋1b 2的最大值为2516.。

正弦定理教案优秀5篇《正弦定理、余弦定理》教学设计篇一一、教学内容：本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。

二、教材分析：1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书。

数学必修5》（A 版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实，感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证实；难点是三角形外接圆法证实。

三、教学目标：1、知识目标：把握正弦定理，理解证实过程。

2、能力目标：（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。

（3）发展学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观：（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的爱好。

（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。

四、教学设想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己→←所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。

让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

第6节正弦定理与余弦定理一、教材概念·结论·性质重现1．正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．正弦定理的变形公式：(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．2．余弦定理三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.余弦定理的推论：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．三角形的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 4．常用结论在△ABC 中，常用以下结论： (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C2.(5)tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . (6)A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B . 二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( √ ) (2)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C.( √ )(3)在△ABC 中，a 2＋b 2>c 2是△ABC 为锐角三角形的必要不充分条件．( √ ) (4)在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则此三角形是钝角三角形．( √ ) 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3D 解析：由余弦定理，得4＋b 2－2×2b cos A ＝5，整理得3b 2－8b －3＝0，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)．故选D.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形C 解析：在△ABC 中，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以a ＝2b cos C ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，所以a 2＝a 2＋b 2－c 2，所以b ＝c ，所以此三角形一定是等腰三角形．4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A.15 B.59 C.53D.1B 解析：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，有313＝5sin B ，得sin B ＝59.故选B.5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，A ＝45°.若三角形有两解，则边b 的取值范围是________．(2,22) 解析：如图，△ABC 有两解的充要条件是b sin 45°<2<b ，解得2<b <2 2.故b 的取值范围是(2,22)．考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形——基础性1．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A.19 B.13 C.12D.23A 解析：由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3. 又由余弦定理可知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝32＋32－422×3×3＝19.2．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3A 解析：因为a sin A －b sinB ＝4c ·sinC ，所以由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc ＝－3c22bc＝－14，所以bc ＝6.3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.75° 解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22.因为0°＜B ＜180°，且b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.4．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________.3π4 解析：因为b sin A ＋a cos B ＝0， 所以a sin A ＝b－cos B.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得－cos B ＝sin B ，所以tan B＝－1.又B∈(0，π)，所以B＝3π4.利用正、余弦定理解三角形的策略(1)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形，可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数；用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角进行判断．结合图像求解较为直观易解．考点2判断三角形的形状——应用性设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B解析：因为b cos C＋c cos B＝a sin A，由正弦定理得sin B cos C＋sin C·cos B＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.又sin A>0，所以sin A＝1，所以A＝π2，故△ABC为直角三角形．若本例条件变为ab＝cos Bcos A，判断△ABC的形状．解：由ab＝cos Bcos A，得sin Asin B＝cos Bcos A，所以sin A cos A＝cos B sin B，所以sin 2A＝sin 2B.因为A，B为△ABC的内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．判断三角形形状的常用途径2．判断三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时，一定要注意三角形的解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中，要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．在等式变形时，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．1．在△ABC 中，c －a 2c ＝sin 2B2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形A 解析：由cosB ＝1－2sin 2B 2得sin 2B 2＝1－cos B2，所以c －a 2c ＝1－cos B 2，即cos B ＝ac .(方法一)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，所以a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为直角三角形．又无法判断两直角边是否相等．故选A.(方法二)由正弦定理得cos B＝sin Asin C，又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cosB·sin C，所以cos B sin C＝sin B cos C＋cos B·sin C，即sin B cos C＝0.又sin B≠0，所以cos C＝0.又角C为三角形的内角，所以C＝π2，所以△ABC为直角三角形．又因为无法判断两直角边是否相等．故选A.2．给出下列命题：①若tan A tan B>1，则△ABC一定是钝角三角形；②若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC一定是直角三角形；③若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC一定是等边三角形．其中正确命题的序号为________．②③解析：①因为tan A tan B>1，且A，B为三角形内角，所以tan A>0，tan B>0，所以A，B均为锐角．又因为－tan C＝tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A·tan B<0，所以tan C>0，所以C为锐角，所以△ABC不是钝角三角形，故①错误．②由正弦定理及条件，得a2＋b2＝c2，所以△ABC一定为直角三角形，故②正确．③由cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1及A，B，C为三角形内角，可得cos(A －B)＝cos(B－C)＝cos(C－A)＝1，所以A＝B＝C.故③正确．考点3三角形的面积——综合性(2020·广东化州二模)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c.若S△ABC＝23，a＋b＝6，a cos B＋b cos Ac＝2cos C，则c＝()A．27 B．2 3 C．4 D．3 3B解析：因为a cos B＋b cos Ac＝sin A cos B＋sin B cos Asin C＝sin(A＋B)sin(A＋B)＝1，所以2cos C＝1，所以C＝60°.若S△ABC ＝23，则12ab sin C＝23，所以ab＝8.因为a＋b＝6，所以c2＝a2＋b2－2ab·cos C＝(a＋b)2－2ab－ab＝(a＋b)2－3ab ＝62－3×8＝12，所以c＝2 3.故选B.(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝150°.(1)若a＝3c，b＝27，求△ABC的面积；(2)若sin A＋3sin C＝22，求C.解：(1)由余弦定理得a2＋c2－2ac cos B＝b2，将a＝3c，b＝27，B＝150°代入，可得(3c)2＋c2－2×3c×c cos 150°＝(27)2，整理得7c2＝28，解得c＝2.所以a＝2 3.所以S△ABC ＝12ac sin B＝12×23×2×12＝ 3.(2)因为A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin(B＋C)．又因为sin A＋3sin C＝2 2，所以sin(B＋C)＋3sin C＝2 2，所以sin B cos C＋cos B sin C＋3sin C＝2 2.将B＝150°代入，整理得12cos C＋32sin C＝22，即sin(C＋30°)＝2 2.因为B＝150°，所以0°＜C＜30°，即0°＜C＋30°＜60°，所以C＋30°＝45°，解得C＝15°.求解三角形面积问题的方法技巧(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．1．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．63解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.又因为b＝6，a＝2c，B＝π3，所以36＝4c2＋c2－2×2c2×1 2，所以c＝23，a＝43，所以S△ABC ＝12ac sin B＝12×43×23×32＝6 3.2．(2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC＝1，AB ＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.－14解析：AB⊥AC，AB＝3，AC＝1，由勾股定理得BC＝AB2＋AC2＝2.同理得BD＝6，所以BF＝BD＝6，在△ACE中，AC＝1，AE＝AD＝3，∠CAE＝30°，由余弦定理得CE2＝AC2＋AE2－2AC·AE cos 30°＝1＋3－2×1×3×3 2＝1，所以CF＝CE＝1，在△BCF 中，BC ＝2，BF ＝6，CF ＝1，由余弦定理得cos ∠FCB ＝CF 2＋BC 2－BF 22CF ·BC ＝1＋4－62×1×2＝－14. 3．(2020·菏泽高三联考)在①B ＝π3，②a ＝2，③b cos A ＋a cos B ＝3＋1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S .若4S ＝b 2＋c 2－a 2，b ＝6，且________，求△ABC 的面积S 的大小．解：因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，S ＝12bc sin A .所以2bc sin A ＝2bc cos A . 显然cos A ≠0，所以tan A ＝1. 又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ＝π4.若选①，B ＝π3，由a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B ＝6×2232＝2.又sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝6＋24，所以S ＝12ab sin C ＝12×2×6×6＋24＝3＋32.若选②，a ＝2，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝6×222＝32. 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos B ＝12.又sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝6＋24， 所以S ＝12ab sin C ＝12×2×6×6＋24＝3＋32. 若选③，b cos A ＋a cos B ＝3＋1，所以a cos B ＝1， 即a ·a 2＋c 2－62ac ＝1，所以a 2＝6＋2c －c 2.又a 2＝6＋c 2－26c ×22＝6＋c 2－23c ，所以6＋2c －c 2＝6＋c 2－23c ，解得c ＝3＋1. 所以S ＝12bc sin A ＝12×6×(3＋1)×sin π4＝3＋32.已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋2c 2＝8，则三角形ABC 面积的最大值为( )A.55B.255C.355D.53[四字程序]读想算思 △ABC 面积的最大值1.面积的表达式； 2．以谁为变量？ 用适当的变量表示S 转化与化归a 2＋b 2＋2c 2＝81.S ＝12ah ； 2．S ＝12ab sin C ； 3．边作变量； 4．角作变量； 5．海伦公式S 2＝14a 2b 2·(1－cos 2C )；S ≤2sin C3－2cos C1.均值不等式； 2．函数最值； 3．三角函数的性质思路参考：余弦定理＋角化边＋二次函数的最值． B 解析：因为a 2＋b 2＋2c 2＝8，即a 2＋b 2＝8－2c 2， 所以S 2＝14a 2b 2sin 2C＝14a 2b 2(1－cos 2C ) ＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2 ＝14a 2b 2－(8－3c 2)216 ≤14⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222－(8－3c 2)216 ＝－5c 416＋c 2＝－516⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2－852＋45，故当a 2＝b 2＝125，c 2＝85时，S 2有最大值45， 所以△ABC 面积的最大值为255.思路参考：设高转化，利用均值不等式． B 解析：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D . 设AD ＝m ，BD ＝n ，CD ＝h .因为a 2＋b 2＋2c 2＝8，所以m 2＋n 2＋2h 2＋2c 2＝8. 因为m 2＋n 2≥(m ＋n )22＝c 22，当且仅当m ＝n 时取等号．故m 2＋n 2＋2h 2＋2c 2≥c 22＋2h 2＋2c 2＝5c 22＋2h 2≥25ch ＝45S ，所以S ≤255，当且仅当m ＝n ，c ＝255h 时取等号． 所以△ABC 面积的最大值为255.思路参考：利用海伦公式S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )＋均值不等式．B解析：设p＝12(a＋b＋c)，则p－a＝12(b＋c－a)，p－b＝12(a＋c－b)，p－c＝12(a＋b－c)．所以S＝p(p－a)(p－b)(p－c)＝14[(a＋b)2－c2][c2－(b－a)2]＝144a2b2－⎝⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222.因为a2＋b2＋2c2＝8，所以S＝144a2b2－(8－3c2)2.因为a2＋b2＋2c2＝8，所以4a2b2≤(a2＋b2)2＝(8－2c2)2.所以S≤14(8－2c2)2－(8－3c2)2＝1416c2－5c4.当c2＝85时，S2有最大值45.所以△ABC面积的最大值为25 5.思路参考：建系设点．B解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．不妨令x1>0，y2>0，设A(－x1,0)，B(x1,0)，C(x2，y2)．因为a2＋b2＋2c2＝8，所以(x1－x2)2＋y22＋(x1＋x2)2＋y22＋8x21＝8，所以5x21＋x22＋y22＝4.因为S＝x1y2，所以25S≤5x21＋y22＝4－x22≤4.所以S≤255，当且仅当x2＝0,5x21＝y22＝2时取等号．所以△ABC面积的最大值为25 5.1．本题考查三角形的面积的最值问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于三角形的相关知识将目标函数转化为边之间的代数关系，借助于三角函数的性质求最值，对于此类多元最值问题要注意合理转化或消元．2．基于课程标准，解答本题一般需要熟练掌握数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力．3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型．本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了灵活性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．解：(1)由正弦定理和已知条件sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C，得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A．②由①②得cos A＝－1 2.因为0<A<π，所以A＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsin B＝ABsin C＝BCsin A＝23，从而AC＝23sin B，AB＝23sin(π－A－B)＝3cos B－3sin B.故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3.又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 的周长取得最大值3＋2 3.。

4.6正弦定理和余弦定理1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．『试一试』1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．『解析』设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2.在△ABD 中，解得sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得sin C ＝66.『答案』662．(2013·扬州三模)如果满足∠ABC ＝60°，AB ＝8，AC ＝k 的△ABC 有两个，那么实数k 的取值范围是________．『解析』由条件得8sin 60°＜k ＜8，从而k 的取值范围是(43，8)． 『答案』(43，8)1．把握三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .2．选用正弦定理或余弦定理的原则如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．『练一练』1．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．『答案』432．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.『解析』由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t (t >0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝5t2＋3t 2－7t 22×5t ×3t＝－12，故C ＝2π3.『答案』2π3考点一利用正弦、余弦定理解三角形『典例』 (2013·徐州摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C －b cos C ＝c cos B －c cos A ，且C ＝120°.(1)求角A ； (2)若a ＝2，求c .『解析』 (1)由正弦定理及a cos C －b cos C ＝c cos B －c cos A 得sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B －sin C cos A .所以sin(A ＋C )＝sin(B ＋C )．因为A ，B ，C 是三角形的内角，所以A ＋C ＝B ＋C ，所以A ＝B . 又因为C ＝120°，所以A ＝30°.(2)由(1)知a ＝b ＝2，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋4－2×2×2cos 120°＝12，所以c ＝2 3.『备课札记』 『类题通法』1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．『针对训练』(2013·南京、盐城一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6 ＝sin A ，求A 的值； (2)若cos A ＝14，4b ＝c ，求sin B 的值．『解析』(1)因为cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝sin A ， 即cos A cos π6－sin A sin π6＝sin A ，所以32cos A ＝32sin A . 显然cos A ≠0，否则由cos A ＝0得sin A ＝0，与sin 2 A ＋cos 2 A ＝1矛盾，所以tan A ＝33. 因为0＜A ＜π，所以A ＝π6.(2)因为cos A ＝14，4b ＝c ，根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝15b 2，所以a ＝15b .因为cos A ＝14，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝154.由正弦定理得15b sin A ＝b sin B ，所以sin B ＝14. 考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状『典例』 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． 『解析』 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3， 得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1.又∵0°＜B ＜120°，30°＜B ＋30°＜150°， ∴B ＋30°＝90°， 即B ＝60°. ∴A ＝B ＝C ＝60°， ∴△ABC 为正三角形．『备课札记』在本例条件下，若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状. 『解析』由正弦定理，得bc ＝a 2， 又b 2＋c 2＝a 2＋bc ， ∴b 2＋c 2＝2bc .∴(b －c )2＝0.即b ＝c ，又A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． 『类题通法』判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．『针对训练』(2014·镇江期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足b cos C ＋12c ＝a .(1)求角B ；(2)若a ，b ，c 成等比数列，判断△ABC 的形状．『解析』(1)法一：由正弦定理得sin B cos C ＋12sin C ＝sin A .而sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C . 故cos B sin C ＝12sin C .在△ABC 中，sin C ≠0，故cos B ＝12.因为0＜B ＜π，所以B ＝π3.法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝a .化简得a 2＋b 2－c 2＋ac ＝2a 2，即b 2－c 2＋ac ＝a 2， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.因为0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)由题知b 2＝ac .由(1)知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以a 2＋c 2－2ac ＝0，即a ＝c ， 所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 是等边三角形．考点三与三角形面积有关的问题『典例』 (2013·苏州暑假调查)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝60°且cos(B ＋C )＝－1114.(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．『解析』 (1)在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114.得sin(B ＋C )＝1－cos 2B ＋C ＝1－⎝⎛⎭⎫－11142＝5314.又B ＝60°，所以cos C ＝cos 『(B ＋C )－B 』＝cos(B ＋C )cos B ＋sin(B ＋C )sin B ＝－1114×12＋5314×32＝17.(2)因为cos C ＝17，C 为△ABC 的内角，sin(B ＋C )＝5314，所以sin C ＝1－cos 2C ＝ 1－⎝⎛⎭⎫172＝437，sin A ＝sin(B ＋C )＝5314.在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝c sin C 得55314＝c 437， 所以c ＝8.又a ＝5，sin B ＝32， 所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12 ×5×8×32＝10 3. 『备课札记』 『类题通法』三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 『针对训练』(2013·南通一调)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项．(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积． 『解析』(1)由题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos B . 因为A ＋C ＝π－B,0＜B ＜π，所以sin(A ＋C )＝sin B ≠0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由B ＝π3得a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a ＋c2－2ac －b 22ac＝12， 所以ac ＝2.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝32.『课堂练通考点』1．在△ABC 中，a ＝1，c ＝2，B ＝60°，则b ＝________. 『解析』由余弦定理得b ＝12＋22－2×1×2cos 60°＝ 3. 『答案』32．(2014·无锡调研)在△ABC 中，A ＝45°，C ＝105°，BC ＝2，则AC 的长度为________． 『解析』在△ABC 中，由A ＝45°，C ＝105°得B ＝30°.由正弦定理AC sin B ＝BC sin A 得AC 12＝222，所以AC ＝1.『答案』13．(2014·镇江质检)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________. 『解析』由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C， 得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，令a ＝2，b ＝3，c ＝4， 再利用余弦定理得cos C ＝－14.『答案』－144．(2013·山东高考改编)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.『解析』由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.结合余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32，整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2. 当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2.『答案』25．(2013·南通一调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2＋b 2的取值范围． 『解析』(1)因为tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B. 所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ， 即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ， 所以sin(C －A )＝sin(B －C )．所以C －A ＝B －C 或C －A ＝π－(B －C )(不成立)， 即2C ＝A ＋B ，所以C ＝π3.(2)由C ＝π3，设A ＝π3＋α，B ＝π3－α，0＜A ＜2π3，0＜B ＜2π3，知－π3＜α＜π3.因为a ＝2R sin A ＝sin A ，b ＝2R sin B ＝sin B ， 所以a 2＋b 2＝sin 2A ＋sin 2 B ＝1－cos 2A 2＋1－cos 2B2＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α ＝1＋12cos 2α.由－π3＜α＜π3知－2π3＜2α＜2π3，－12＜cos 2α≤1，故34＜a 2＋b 2≤32.。

正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．3．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)．角一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c.解：由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2sin45°，∴ sinA ＝32.∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsinC sinB ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝bsinC sinB ＝6－22.变式训练 在△ABC 中，(1) 若a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，则b ＝________． (2) 若b ＝3，c ＝2，C ＝45°，则a ＝________．(3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A ＝________． 答案：(1) 2 2 (2) 无解 (3) 45°或135°解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由∠B ＝30°，∠C ＝105°，得∠A ＝45°.由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°sin45°＝2 2.(2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝32>1，∴ 无解．(3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312，∴ sinA ＝22.∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴ ∠A ＝45°或135°.【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin A cos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255， 再由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，代入数据解得a ＝210.答案 255210双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．A ．5 2B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .1．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°.答案 C2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.答案 C 3．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角．答案 150° 题型2 余弦定理解三角形4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c.(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理知：cosB ＝a 2＋c 2－b22ac，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cosB cosC ＝－b 2a ＋c，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴ cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵ B 为三角形的内角，∴ B ＝23π.(2) 将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accosB ，∴ 13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ ac ＝3. ∴ S △ABC ＝12acsinB ＝334.备选变式（教师专享）5，(2014·南京期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA.当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ， 解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.【训练1】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例1】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]，即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cosB sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C；则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)．∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .答案 B【例2】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 实录 由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝12，∴A ＝π3，根据正弦定理a sin A ＝bsin B 得： sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4. 以下解答过程略．正解 ∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ，∴1＋2cos(B ＋C )＝1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B， ∴sin B ＝b sin A a ＝22.∵a ＞b ，∴B ＝π4，∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 【试一试】 (2014·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a . (1)求ba ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .[尝试解答] (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sinB ＝2sin A ，所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．3．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)．角一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c.变式训练 在△ABC 中，(1) 若a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，则b ＝________． (2) 若b ＝3，c ＝2，C ＝45°，则a ＝________．(3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A ＝________．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______；a＝________.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．A ．5 2B ．10 2 C.1063D ．5 62．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .1．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 33．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 题型2 余弦定理解三角形4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c.(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．备选变式（教师专享）5，(2014·南京期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．【训练1】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例1】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． ．【训练】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C；则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【例2】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．【试一试】 (2014·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a .实用文档(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .。

c b a H C B A 正余弦函数复习一、知识点1．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===外（R 为外接圆的半径） (1)C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== C B A c b a s i n :s i n :s i n::= 注意：利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc +-=； 3、面积公式：S=21a bsinC=21bcsinA=21c a sinB 利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

二、习题1.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A=3π，a =3，b=1，则 c 等于（ ） A. 1 B. 2 C. 13- D. 32. 已知△ABC 中，a =1，b=3，A=︒30，则角B 等于（ ）A. ︒60B. ︒60或︒120C. ︒30或︒150D. ︒1203、在△ABC 中，已知222c bc b a ++=，则角A 为（ ）A 、 3π B. 6π C. 32π D. 3π或32π 4、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为（ ）A. 6πB. 3πC. 6π或65πD. 3π或32π5、在△ABC 中，若Cc B b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形6. 在△ABC 中，2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是 ( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 满足条件a=4,b=23,A=︒45的△ABC 的个数是 ( )A. 1个 B. 2个 C. 无数个 D. 不存在8、△ABC 的周长为20，面积为310，A=︒60，则BC 边长为（ ）A 、 5 B. 6 C. 7 D. 8二、填空题9、在△ABC 中，已知a =7，b=10，c=6，则△ABC 的形状是 三角形10、在△ABC 中，若B=︒30，AB=32，AC=2，则△ABC 的面积是 .11、在△ABC 中，已知BC=8，AC=5，△ABC 的面积为12，则cos2C= .三、解答题12、△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，B=3π，cosA=54，b=3. （1）求sinC 的值；（2）求△ABC 的面积.13、已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，它们的对边分别为a 、b 、c ，若m =（cosB ，sinC ），n =（cosC ，-sinB ），且m ·n =21.（1）求A ；（2）若a=32，△ABC 的面积S=3，求b+c 的值.14、 三角形ABC 中的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ac b c a +=+222，且a ：c=（3+1）：2，求角C 的大小.15、(2010·陕西卷)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？16．(2010·福建卷，文)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由．。