数学数表从杨辉三角谈起讲义
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课件2：1.3.2 杨辉三角
1.3.2 杨辉三角
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其 课标 中的规律． 解读 2．掌握二项式系数的性质及其应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活运用.
【问题导思】 观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？ 第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系？ 第 4 行中 3 与第 3 行各数之间什么关系？ 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？
答：①20,21,22,23,24，第 n 行各数之和为 2n－1. ②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除 1 外的每一个数都 等于它“肩上”两个数的和，设 Crn＋1表示任一不为 1 的数，则它“肩上”两数分 别为 Crn－1，Crn，所以 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
类型1 与杨辉三角有关的问题
例 1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________． 【思路探究】 观察规律，可先计算出前(n－1)行的数字个数来求解．
【解析】 观察上述数阵，能够发 现，第一行有一个数字是 1，第二行
【答案】 B
3．设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， (x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝________.
【解析】 由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，所以 13Cm2m＝7Cm2m＋1， ∴m13！·2·mm！！＝m7！·（·（2mm＋＋11））！！，∴7（2mm＋＋11）＝13，解得 m＝6，
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其 课标 中的规律． 解读 2．掌握二项式系数的性质及其应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活运用.
【问题导思】 观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？ 第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系？ 第 4 行中 3 与第 3 行各数之间什么关系？ 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？
答：①20,21,22,23,24，第 n 行各数之和为 2n－1. ②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除 1 外的每一个数都 等于它“肩上”两个数的和，设 Crn＋1表示任一不为 1 的数，则它“肩上”两数分 别为 Crn－1，Crn，所以 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
类型1 与杨辉三角有关的问题
例 1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________． 【思路探究】 观察规律，可先计算出前(n－1)行的数字个数来求解．
【解析】 观察上述数阵，能够发 现，第一行有一个数字是 1，第二行
【答案】 B
3．设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， (x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝________.
【解析】 由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，所以 13Cm2m＝7Cm2m＋1， ∴m13！·2·mm！！＝m7！·（·（2mm＋＋11））！！，∴7（2mm＋＋11）＝13，解得 m＝6，
高中数学第1章计数原理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角课件新人教B版选修2_3(4)
由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍)，或2n＝32， ∴n＝5. 由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间 两项，它们分别是
2
T3＝C25(x 3 )3(3x2)2＝90x6，
2
22
T4＝C35(x 3 )2(3x2)3＝270x 3 .
第 3 项是 C23， 第 4 项是 C13， …， 第 17 项是 C210， 第 18 项是 C110， 第 19 项是 C211.
∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)
＋C211 ＝C23＋C24＋C25＋…＋C211＋C211 ＝C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C211－1＋C211 ＝C312－1＋C211 ＝274.
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解 方法一 ∵(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零， 而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187.
(2)系数绝对值最大的项； 解 设系数绝对值最大的项是r＋1项，于是 C2r0·320－r·2r≥C2r＋0 1·319－r·2r＋1，
Cr20·320－r·2r≥C2r－0 1·321－r·2r－1， 3r＋1≥220－r，
化简得 221－r≥3r，
解得357≤r≤452(r∈N)， 所以r＝8，
第一章——
1.3 二项式定理 1.3.2 杨辉三角
[学习目标] 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的 各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用.
∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍)，或2n＝32， ∴n＝5. 由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间 两项，它们分别是
2
T3＝C25(x 3 )3(3x2)2＝90x6，
2
22
T4＝C35(x 3 )2(3x2)3＝270x 3 .
第 3 项是 C23， 第 4 项是 C13， …， 第 17 项是 C210， 第 18 项是 C110， 第 19 项是 C211.
∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)
＋C211 ＝C23＋C24＋C25＋…＋C211＋C211 ＝C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C211－1＋C211 ＝C312－1＋C211 ＝274.
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解 方法一 ∵(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零， 而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187.
(2)系数绝对值最大的项； 解 设系数绝对值最大的项是r＋1项，于是 C2r0·320－r·2r≥C2r＋0 1·319－r·2r＋1，
Cr20·320－r·2r≥C2r－0 1·321－r·2r－1， 3r＋1≥220－r，
化简得 221－r≥3r，
解得357≤r≤452(r∈N)， 所以r＝8，
第一章——
1.3 二项式定理 1.3.2 杨辉三角
[学习目标] 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的 各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用.
课件7：1.3.2 杨辉三角
【解析】 (1＋2x)2n 的展开式中共有 2n＋1 项，中间 一项的系数最大，即第 n＋1 项． 【答案】 n＋1
4．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋ a14x14，试求： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a14； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
解：(1)在已知等式中令 x＝1，则得： a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.① (2)在已知等式中令 x＝－1，则得： a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.② ①－②得： 2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808. 因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.
解：(1)令 x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.① (2)令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012.② ①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2
011＝1－232
012
.
(3)∵Tr＋1＝Cr2012(－2x)r＝(－1)r·Cr2 012·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.
) D．70
【答案】 B
2．在(a－b)20 的二项展开式中，二项式系数与第 6 项
二项式系数相同的项是( )
A．第 15 项
B．第 16 项
C．第 17 项
D．第 18 项
【解析】 由二项式系数的性质知与第 6 项系数相等
的项应为倒数第 6 项，即第 16 项． 【答案】 B
4．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋ a14x14，试求： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a14； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
解：(1)在已知等式中令 x＝1，则得： a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.① (2)在已知等式中令 x＝－1，则得： a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.② ①－②得： 2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808. 因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.
解：(1)令 x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.① (2)令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012.② ①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2
011＝1－232
012
.
(3)∵Tr＋1＝Cr2012(－2x)r＝(－1)r·Cr2 012·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.
) D．70
【答案】 B
2．在(a－b)20 的二项展开式中，二项式系数与第 6 项
二项式系数相同的项是( )
A．第 15 项
B．第 16 项
C．第 17 项
D．第 18 项
【解析】 由二项式系数的性质知与第 6 项系数相等
的项应为倒数第 6 项，即第 16 项． 【答案】 B
高二数学《二项式定理-杨辉三角》详说课件
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
1答案 2答案
令a=1，b=－1得
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
……………………
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
思考: 观察二项式系数表，寻求其规律： (a+b)1…………… 1 1
(a+b)2……………1
2 1
(a+b)3…………1 3 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 5 (a+b)6…1 6
除了这个性质外, 该表还蕴藏有什 么性质呢?
思考3
2答案
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考: 0 1 2 n n1 Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2 1.求证：
市场一直在上涨趋势中，其中有一些微小的回调(更高的高点和更高的低点)。5分钟线图上，在之前小幅下跌到该线下方后，价格温和反弹上涨到100线移动均线上方。最后一步的止损位并没有 威胁性，并且价格迅速飙升。市场一直在上涨趋势中，其中有一些微小的回调(更高的高点和更高的低点)。在此轮上涨过程中，不应该有恐惧。当然，价格上涨并且回调到前期高点(见灰线)下 方，但是，在它达到100线移动均线前，它形成一个v形反转。价格在1.2891见顶，自最后的回调低点又上涨了将近100个基点。我在1.272 5价位做多。价格现在是1. 289 1。伴随趋势万事顺利。 然而，随着价格触及1.291 5-1.293 1的关键阻力位(月度高点)，现在是时候思考未来的情况并计划下一次交易了，是时候考虑哲时退出交易了。在交易日以及交易之初，这看起来似乎不可能， 但是,1. 291 5-1. 293 1的月度交易高点近在眼前。这是可能会导致兑现部分利润并在第一次检验时抛售的价位水平。精明的交易者预测到趋势，赚取了165个基点的利润，他们可能在此水平 抛售，或者兑现部分利润，他们知道，如果价格上涨到1.293 1，他们就会买入。这是非常健康的资金管理方式，并且该交易很合理。在市场走得越来越高时，交易者卖出(做空)，他们也会在 此水平卖出。在他们的思想中，这是回调的时刻，可以让其重返盈亏平衡点。千万不要成为这样的交易者!如果价格的确发现了卖方，并且走低，该出现的情况是买入并改建低点支撑位。为了 兑现利润(或退出),我总是需要一个卖出的技术面因素。仅仅因为产生利润就卖出并不是一个好理由。然而,依据在1. 291 5-1. 293 1关键阻力位卖出就是一个卖出的好理由。它应该适一个关 键界限。界限会给我们提供交易的理由。除了1.291 5-1. 293 1区城外,还有没有其他可以卖出的区域?,1. 289 1-1. 293 1仍有40个基点。因为我总是要展望未来，并且我的图表是动态，而非 静态的.所以存在三种退出交易的选择。 选择方案1依据顶部趋势(图11.5A)卖出。当市场趋势走高(或走低)时，它不仅对通过连接更高低点绘制牛市趋势线是重要的，而且对连接图中更高的高点也是很重要的。 依据顶部趋势(图 11.5A)卖出。当市场趋势走高(或走低)时在图中，当最后一次平仓做空仓位时，市场已经把价位推升到了顶部趋势线。该线连接着该交易日的高点。这个价位水平出现在1.289 1。这是低风险 卖出界限吗?是的!依犯顶部趋势线界限卖出时，我的风险是什么?我确实有风险，因为我正在把自己带离自己想要处于的趋势。此时，我的风险是，是否价格会上涨到趋势线上方，并且突破到 月度高点1.293 1上方。如果出现这种情况，我需要在突破时买入。因此，通过在这里卖出，我会放弃40个基点的利润，并且必须在新突破时买入。可以通过其他途径界定风险。我可能依靠 1.289 1区域的趋势线卖出，但是，如果价格上涨到顶部趋势线上方7-10个基点(1. 289 8 -1. 290 1)，我就会买回自己的仓位。如果价格带最上涨到趋势线上方，就会出现额外的空头回补买 盘，这会迅速把价格推升到1.293 1,如果依据1.290。区域买入，我只会把止损放到趋势线下方5-10个基点的1.288 5。逻辑是，如果价格突破这条明显的趋势线，之后突破失败，回调下跌就有 可能自该点开始。因此，在这种选择中，在趋势线上兑现利润时，我所冒的风险为12-20个基点。这是我无法拒绝的选择。我依据界限进行交易，我已经界定了风险，并且我制订了明确的计划。 如果市场回调下跌，我可以在一个更合适的水平上重建多头仓位，或者，如果市场没有回调，并且继续走高，我会返回趋势重新买入。我取得165个基点的利润，所有选择都可以重建多头仓位。 这是抓紧趋势的回报。在逻辑上也完全说得通。对良好的趋势交易来讲.没有恐惧，只有快乐。
1答案 2答案
令a=1，b=－1得
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
……………………
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
思考: 观察二项式系数表，寻求其规律： (a+b)1…………… 1 1
(a+b)2……………1
2 1
(a+b)3…………1 3 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 5 (a+b)6…1 6
除了这个性质外, 该表还蕴藏有什 么性质呢?
思考3
2答案
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考: 0 1 2 n n1 Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2 1.求证：
市场一直在上涨趋势中，其中有一些微小的回调(更高的高点和更高的低点)。5分钟线图上，在之前小幅下跌到该线下方后，价格温和反弹上涨到100线移动均线上方。最后一步的止损位并没有 威胁性，并且价格迅速飙升。市场一直在上涨趋势中，其中有一些微小的回调(更高的高点和更高的低点)。在此轮上涨过程中，不应该有恐惧。当然，价格上涨并且回调到前期高点(见灰线)下 方，但是，在它达到100线移动均线前，它形成一个v形反转。价格在1.2891见顶，自最后的回调低点又上涨了将近100个基点。我在1.272 5价位做多。价格现在是1. 289 1。伴随趋势万事顺利。 然而，随着价格触及1.291 5-1.293 1的关键阻力位(月度高点)，现在是时候思考未来的情况并计划下一次交易了，是时候考虑哲时退出交易了。在交易日以及交易之初，这看起来似乎不可能， 但是,1. 291 5-1. 293 1的月度交易高点近在眼前。这是可能会导致兑现部分利润并在第一次检验时抛售的价位水平。精明的交易者预测到趋势，赚取了165个基点的利润，他们可能在此水平 抛售，或者兑现部分利润，他们知道，如果价格上涨到1.293 1，他们就会买入。这是非常健康的资金管理方式，并且该交易很合理。在市场走得越来越高时，交易者卖出(做空)，他们也会在 此水平卖出。在他们的思想中，这是回调的时刻，可以让其重返盈亏平衡点。千万不要成为这样的交易者!如果价格的确发现了卖方，并且走低，该出现的情况是买入并改建低点支撑位。为了 兑现利润(或退出),我总是需要一个卖出的技术面因素。仅仅因为产生利润就卖出并不是一个好理由。然而,依据在1. 291 5-1. 293 1关键阻力位卖出就是一个卖出的好理由。它应该适一个关 键界限。界限会给我们提供交易的理由。除了1.291 5-1. 293 1区城外,还有没有其他可以卖出的区域?,1. 289 1-1. 293 1仍有40个基点。因为我总是要展望未来，并且我的图表是动态，而非 静态的.所以存在三种退出交易的选择。 选择方案1依据顶部趋势(图11.5A)卖出。当市场趋势走高(或走低)时，它不仅对通过连接更高低点绘制牛市趋势线是重要的，而且对连接图中更高的高点也是很重要的。 依据顶部趋势(图 11.5A)卖出。当市场趋势走高(或走低)时在图中，当最后一次平仓做空仓位时，市场已经把价位推升到了顶部趋势线。该线连接着该交易日的高点。这个价位水平出现在1.289 1。这是低风险 卖出界限吗?是的!依犯顶部趋势线界限卖出时，我的风险是什么?我确实有风险，因为我正在把自己带离自己想要处于的趋势。此时，我的风险是，是否价格会上涨到趋势线上方，并且突破到 月度高点1.293 1上方。如果出现这种情况，我需要在突破时买入。因此，通过在这里卖出，我会放弃40个基点的利润，并且必须在新突破时买入。可以通过其他途径界定风险。我可能依靠 1.289 1区域的趋势线卖出，但是，如果价格上涨到顶部趋势线上方7-10个基点(1. 289 8 -1. 290 1)，我就会买回自己的仓位。如果价格带最上涨到趋势线上方，就会出现额外的空头回补买 盘，这会迅速把价格推升到1.293 1,如果依据1.290。区域买入，我只会把止损放到趋势线下方5-10个基点的1.288 5。逻辑是，如果价格突破这条明显的趋势线，之后突破失败，回调下跌就有 可能自该点开始。因此，在这种选择中，在趋势线上兑现利润时，我所冒的风险为12-20个基点。这是我无法拒绝的选择。我依据界限进行交易，我已经界定了风险，并且我制订了明确的计划。 如果市场回调下跌，我可以在一个更合适的水平上重建多头仓位，或者，如果市场没有回调，并且继续走高，我会返回趋势重新买入。我取得165个基点的利润，所有选择都可以重建多头仓位。 这是抓紧趋势的回报。在逻辑上也完全说得通。对良好的趋势交易来讲.没有恐惧，只有快乐。
杨辉三角上课用PPT课件
(a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？
(1)对称性: Cn0 1,Cnn 1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: Cnm
C nm n
第2页/共32页
(a性+b质)1…………… 1 1
(2)递推性:
除(a1+以b)外2…的…每…一个…数…都1等2于它1肩上两个数的和.
第15页/共32页
题型 证明不等式
例20．证明： 当n N*且n 1 2 (1 1)n 3
n
证明 (1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
11 Cn2
1 n2
2
通项
Cnk
1 nk
n(n
1)
k
(n !
k
1)
1 nk
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1)n n
1
C
1 n
1 n
Cn2
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
第21页/共32页
探究：横行规律
第0行
1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 2n-1行的 各个数字为奇数？
则第2n行的数字有什么特点？除两端的1之外都是偶数.
第22页/共32页
解:?1二项式系数之和为C90 C91 C92 C99 29 512.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质讲义新人教A版
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数□01相等． (2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的□02和，即C r n ＋1＝□03C r －1n＋C rn .2．二项式系数的性质(1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数．(2)在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1等，赋值法体现了函数思想f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a n.在解题时要注意审题，恰当赋值．(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.( )(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是第________项． (2)若(a ＋b )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________.(3)已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 答案 (1)6和7 (2)8 (3)1解析 (1)由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．(2)由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式有9项，故n ＝8.(3)展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a5－r·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，所以a＝2.则(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1.探究1 杨辉三角的有关问题例 1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19.[解] 由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.∴S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋10)×92＋C 312＝274. 拓展提升解决与杨辉三角有关的问题的一般思路[跟踪训练1] (1)如图数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________；(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．答案 (1)n 2－n ＋22(2)2n－1 32解析 (1)由图中数字规律可知，第n 行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1.(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n 次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.探究2 二项展开式的系数和问题 例2 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解] 在(2x －3y )10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1024. (2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512， 偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9. 由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1.①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510.②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为12(1＋510)；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510,故偶数项系数的和为12(1－510)．拓展提升求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x ＝－1则可得各项系数绝对值之和．[跟踪训练2] 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.与(2)中(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1. (5)因为T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r·(3)r x r，所以a 2k －1<0(k ∈N *)．所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100 ＝(2＋3)100.探究3 求二项展开式中的最大项问题 例3 已知在的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [解] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n. ∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，拓展提升1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． (1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1 项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解得r ，即得出系数的最大项．[跟踪训练3] 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解 (1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ， ∴n 2－21n ＋98＝0，∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∵T 8的系数为C 714×⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3432.故展开式中二项式系数最大项的系数为3432. (2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79， 解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第r ＋1项的系数最大，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧C r12·4r≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4.又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16896x 10.1．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B 解析∴展开式中x 4项的系数为C 88＝1.又∵(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1， ∴展开式中不含x 4项的系数的和为0.2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－3x n (n ∈N *)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．1 答案 D解析 由题意得2n ＝32，得n ＝5.令x ＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D.3．若(1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 201922019的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－1 答案 D 解析 (1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×122019＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝－1.4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是________．答案2n (n －1)(n －2)(n ∈N *，n ≥3)解析 杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三角形．∵杨辉三角形中第n (n ≥3)行第3个数字是n C 2n －1，则“莱布尼茨调和三角形”第n (n ≥3)行第3个数字是1n C 2n －1＝2n (n －1)(n －2). 5．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1， 令x ＝1，y ＝－1，可得：a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加除以2可得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．(4)解法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59.解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.。
版高中数学第一章计数原理第8课时杨辉三角课件新人教b版选修2_3
2 新视点·名师博客 类型一 与杨辉三角有关的问题 【例 1】 (1)如图所示，满足如下条件： ①第 n 行首尾两数均为 n. ②表中的递推关系类似杨辉三角． 则第 10 行的第 2 个数是__________．第 n 行的第 2 个数是 __________．
1 22 343 4774 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6
解析：(1)令 x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.① (2)令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012.② ①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2
011＝1－232
012
.
(3)∵Tr＋1＝Cr2 012(－2x)r＝(－1)r·Cr2 012·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…|a2 012| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.
变式训练 2 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求 (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6.
解析：(1)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 令 x＝1，得
中间一项是第n2＋1 项，它的二项式系数是 ，它是所有二项 式系数中的最大值；
当 n 是奇数时，(a＋b)n 的展开式共有 n＋1 项，n＋1 是偶数， 这时展开式的形式是
中间两项是第n＋2 1，n＋2 3项，它们的二项式系数是： ， ， 这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值．
3．各二项式系数和：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n 源于(a＋b)n＝ C0nan＋Cn1an－1b＋…＋Cnnbn 中，令 a＝1，b＝1，即可得到.
2020版高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件新人教A版选修2_3
题型一 题型二 题型三
(3)由①+2 ②得,a6+a4+a2+a0 =12[128+(-4)7]=-8 128. (4)∵(3x-1)7展开式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零, ∴|a7|+|a6|+…+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a2+a4+a6)
=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0
,它是所有二项式系
数中的最大值;②当 n 是奇数时,(a+b)n 的展开式共有(n+1)项,n+1 是
偶数,这时展开式的形式是
中间两项是第������+1
2
,
������+2 3项,它们的二项式系数是C������������2-1,
������+1
C������2 ,这两
个系数相等,并且是所有二项式系数中的最大值.
=8 256-(-8 128)+(-1)=16 383.
反思“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题
目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为
系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1
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Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一
题型二
题型三
题型一
与杨辉三角有关的问题
【例1】 如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示
高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式
新课标导学
数学
选修2-3 ·人教A版
第一章
计数原理 1．3 二项式定理
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人为 之痴迷．一天，时任台州地方官的杨辉外出巡游，遇到一学童， 学童正在为老先生布置的题目犯愁：“把 1 到 9 的数字分行排 列，不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于 15”．杨 辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究起来，直至 午后，两人终于将算式摆出来了．
C
• A．5
B．6
• C．7
D．8
• [解析] 二项式(a＋b)n的展开式中，
• 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
• ∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C．
• 2．(2017·全国卷Ⅲ理，4)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为( ) C • A．－80 B．－40 • C．40 D．80
⇒rr！ ！8888！！－ －·2rr！ ！≥ ≥rr－ ＋11！ ！88！88！－ －·2rr＋ －11！ ！， ⇒2r＋8－1≥r＋218－≥rr， ⇒rr≤ ≥65，⇒5≤r≤6． 又∵r∈N， ∴r＝5 或 r＝6， ∴系数最大的项为 T6＝1792x5，T7＝1792x6．
[解析] 因为 x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40， x3y3＝y·(x3y2)，其系数为 C25·23＝80． 所以 x3y3 的系数为 80－40＝40． 故选 C．
• 3．已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项
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第一章
计数原理 1．3 二项式定理
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人为 之痴迷．一天，时任台州地方官的杨辉外出巡游，遇到一学童， 学童正在为老先生布置的题目犯愁：“把 1 到 9 的数字分行排 列，不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于 15”．杨 辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究起来，直至 午后，两人终于将算式摆出来了．
C
• A．5
B．6
• C．7
D．8
• [解析] 二项式(a＋b)n的展开式中，
• 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
• ∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C．
• 2．(2017·全国卷Ⅲ理，4)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为( ) C • A．－80 B．－40 • C．40 D．80
⇒rr！ ！8888！！－ －·2rr！ ！≥ ≥rr－ ＋11！ ！88！88！－ －·2rr＋ －11！ ！， ⇒2r＋8－1≥r＋218－≥rr， ⇒rr≤ ≥65，⇒5≤r≤6． 又∵r∈N， ∴r＝5 或 r＝6， ∴系数最大的项为 T6＝1792x5，T7＝1792x6．
[解析] 因为 x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40， x3y3＝y·(x3y2)，其系数为 C25·23＝80． 所以 x3y3 的系数为 80－40＝40． 故选 C．
• 3．已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件新人教a选修2_3
最大值:①当 n 是偶数时,(a+b)n 的展开式共(n+1)项,n+1 是奇数,
这时展开式的形式是
12
中间一项是第���2���+1
������
项,它的二项式系数是C���2���
,它是所有二项式系
数中的最大值;②当 n 是奇数时,(a+b)n 的展开式共有(n+1)项,n+1 是
偶数,这时展开式的形式是
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1.会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项二项式系数. 2.掌握二项式系数的性质,并能灵活运用.
123
1.杨辉三角 (a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形 式:
上面的二项式系数表称为杨辉三角. 归纳总结从上面的表示形式可以直观地看出:在同一行中,每行 两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
剖析一般地,化繁为简是我们解题的基本思路,但有时候,化简
为繁也是一种创举. 由简变繁可以判断二项式系数的关系,如C������������ =
C������������-������ (n≥m),C������������--11 + C������������-1 = C������������ (n≥k+1)等,可以更深刻地理解组合数的 一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征,比较二项式系数 之间的大小关系,如 n 是偶数,则中间一项的二项式系数最大等.如果 给左边赋值的话,会出现更有趣的一些结论,如 2n=C���0��� + C���1��� +…+C������������ , C���0��� + C���2��� +…=C���1��� + C���3��� +….
这时展开式的形式是
12
中间一项是第���2���+1
������
项,它的二项式系数是C���2���
,它是所有二项式系
数中的最大值;②当 n 是奇数时,(a+b)n 的展开式共有(n+1)项,n+1 是
偶数,这时展开式的形式是
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1.会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项二项式系数. 2.掌握二项式系数的性质,并能灵活运用.
123
1.杨辉三角 (a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形 式:
上面的二项式系数表称为杨辉三角. 归纳总结从上面的表示形式可以直观地看出:在同一行中,每行 两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
剖析一般地,化繁为简是我们解题的基本思路,但有时候,化简
为繁也是一种创举. 由简变繁可以判断二项式系数的关系,如C������������ =
C������������-������ (n≥m),C������������--11 + C������������-1 = C������������ (n≥k+1)等,可以更深刻地理解组合数的 一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征,比较二项式系数 之间的大小关系,如 n 是偶数,则中间一项的二项式系数最大等.如果 给左边赋值的话,会出现更有趣的一些结论,如 2n=C���0��� + C���1��� +…+C������������ , C���0��� + C���2��� +…=C���1��� + C���3��� +….
高中数学第1章计数原理1.31.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件新人教A版选修2_3
70a4b4 126a5b4 与 126a4b5 [因为(a＋b)8 的展开式中有 9 项， 所以中间一项的二项式系数最大，该项为 C48a4b4＝70a4b4.
因为(a＋b)9 的展开式中有 10 项，所以中间两项的二项式系数最 大，这两项分别为 C49a5b4＝126a5b4，C59a4b5＝126a4b5.]
A．1
B．－＝1 即得各项系数和，∴各项系数和为－1.]
2．在(a＋b)10 二项展开式中与第 3 项二项式系数相同的项是( )
A．第 8 项
B．第 7 项
C．第 9 项
D．第 10 项
C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相 等．]
3．在(a＋b)8 的展开式中，二项式系数最大的项为________，在 (a＋b)9 的展开式中，二项式系数最大的项为________________．
在本例条件不变的情况下，求下列各式的值． (1)a2＋a4＋a6＋…＋a2 018； (2)a1＋2a2＋3a3＋…＋2 018a2 018.
[解]
(1)由aa00＋－aa11＋＋aa22＋－……＋＋aa22
018＝1， 018＝32 018，
得 2(a0＋a2＋…＋a2 018)＝32 018＋1，
∴a0＋a2＋…＋a2 018＝32 0128＋1，
又令 x＝0 得 a0＝1，
∴a2＋a4＋a6＋…＋a2
018＝32
018－1 2.
(2)∵(1－2x)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018(x∈R)， ∴两边分别求导得 －4 036(1－2x)2 017＝a1＋2a2x＋…＋2 018a2 018x2 017(x∈R)，令 x ＝1 得，4 036＝a1＋2a2＋…＋2 018a2 018.
因为(a＋b)9 的展开式中有 10 项，所以中间两项的二项式系数最 大，这两项分别为 C49a5b4＝126a5b4，C59a4b5＝126a4b5.]
A．1
B．－＝1 即得各项系数和，∴各项系数和为－1.]
2．在(a＋b)10 二项展开式中与第 3 项二项式系数相同的项是( )
A．第 8 项
B．第 7 项
C．第 9 项
D．第 10 项
C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相 等．]
3．在(a＋b)8 的展开式中，二项式系数最大的项为________，在 (a＋b)9 的展开式中，二项式系数最大的项为________________．
在本例条件不变的情况下，求下列各式的值． (1)a2＋a4＋a6＋…＋a2 018； (2)a1＋2a2＋3a3＋…＋2 018a2 018.
[解]
(1)由aa00＋－aa11＋＋aa22＋－……＋＋aa22
018＝1， 018＝32 018，
得 2(a0＋a2＋…＋a2 018)＝32 018＋1，
∴a0＋a2＋…＋a2 018＝32 0128＋1，
又令 x＝0 得 a0＝1，
∴a2＋a4＋a6＋…＋a2
018＝32
018－1 2.
(2)∵(1－2x)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018(x∈R)， ∴两边分别求导得 －4 036(1－2x)2 017＝a1＋2a2x＋…＋2 018a2 018x2 017(x∈R)，令 x ＝1 得，4 036＝a1＋2a2＋…＋2 018a2 018.
数学探究杨辉三角的性质与应用课件
1， 3， 6， 10， 15， 21，… 2 3 4 5 6… 1 1 1 1…
视察和实验
1
① ①
1
1
② ③
1
2
1
⑤ ⑧
1
3
3
1
⑬ ㉑
1 4 6 4 1㉞
5 将各条虚线上的数分别相加， 得到 1，1，2，3，5，8，13，21，…
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数列.
1
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n
推理和论证
猜性想质1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
证明：
递归性 Cnr
C r1 n1
Cnr1
C r 1 n 1
Cnr1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n r 1)!
(n 1)! r (n r)
1 3 6 78 364
应用： 1.堆垛问题：
求n层三角垛的圆球总个数：
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n)
1 11
1 3 6 n(n 1)
121
2
1331
C22 C32 C42 Cn21
14641
C3 n2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角 第8 行
C80
C81
C82
C83
C84
C85
C86
C87
C88
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行，第5个数
反过来，
C140 即120
数
形
视察和实验
1
① ①
1
1
② ③
1
2
1
⑤ ⑧
1
3
3
1
⑬ ㉑
1 4 6 4 1㉞
5 将各条虚线上的数分别相加， 得到 1，1，2，3，5，8，13，21，…
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数列.
1
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n
推理和论证
猜性想质1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
证明：
递归性 Cnr
C r1 n1
Cnr1
C r 1 n 1
Cnr1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n r 1)!
(n 1)! r (n r)
1 3 6 78 364
应用： 1.堆垛问题：
求n层三角垛的圆球总个数：
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n)
1 11
1 3 6 n(n 1)
121
2
1331
C22 C32 C42 Cn21
14641
C3 n2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角 第8 行
C80
C81
C82
C83
C84
C85
C86
C87
C88
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行，第5个数
反过来，
C140 即120
数
形
数学数表从杨辉三角谈起讲义
+ 数表—从杨辉三角谈起 2下面是按规律排列的杨辉三角：图(1) 图(2)(1)杨辉三角第8行第2个数是_________;(2)观察图(2)中的线，你会发现左斜线的数之和等于下一行右面的数．如：1+2+3=6，照此规律，第8行的第3个数是_____．(3)杨辉三角第1行的所有数之和为1，第2行的所有数之和为2，第3行为4，第4行为8，…，那么，第n 行的所有数之和是________.(4)杨辉三角中，第101行中左起第三个数是 ．(5) 5050可能是杨辉三角中第几行的第几个数?[杨辉三角]★★【分析】 ⑴根据题意：每一行第2个数是1n -；所以第8行第2个数是7.(2) 1+2+3+L +6=21．老师可拓展到第n 行的第3个数．(3)第n 行的和是12n -，所以第10行所有数的和是1012512-=.(4)考查学生对杨辉三角形特性的认识． ………………………... (110511051)61441313112111------------------------------------------------------------------------------------------- 例1第三行左起第三个数是11=；第四行左起第三个数是312=+；第五行左起第三个数是6123=++；第六行左起第三个数是101234=+++；……归纳可知，第101行左起第三个数是991001239949502⨯++++==L . 或者是杨辉三角的每一行的第三个数都满足21n C -，所以第101行的第三个数是2210111001009949502CC -⨯===. (5)杨辉三角第m 行第n 个数实际就是11n m C --． 11(1)!5050()!(1)!n m m C m n n ---==--，而，101是质数，因此m -1≥101，0<n -1<m -1.当n =2，m =5051;当n ＝3时，m =102；当12m -≥n >3时，存在122111015050n m m C C C --->>=.不会再出现5050.因此5050在左侧只能出现在第5051行第2个数和第102行第3个数．由对称可知，第5051行第5051个数和第102行第100个数也是5050.杨辉三角中，55可能是杨辉三角中第几行的第几个数?[杨辉三角]★★------------------------------------------------------------------------------------------- 练一练【分析】 第56行第2个和第55个；第13行第3个和第11个．(1)如图所示的三角形数表中，满足：①第一行的数为1；②第n 行首尾两数均为n ，其余的数都是等于它肩上的两个数相加；则第50行第2个数是_________.1223434774511141156162525166L L L (2) 下图是按规律排列的三角形数表：1111123211367631①在方格中填上第五行的各个数．②求第10行各数的和．[杨辉三角]★★☆ 【解析】(1)每一行的第二个数是22223(1)2n n n -+++++-=L ，代入50n =后，得第50行第2个数是1226.------------------------------------------------------------------------------------------- 例2(2)由数表可以得到如下的规律，(a )两边的数以中间的数为轴对称分布，两边分别包1，其他的数等于上一行对应的数和相邻数的和；(b )每一行数的和分别是：1，3，9，27…，即第n 行数的和是3n -1，由此解决．①1+0=1，1+3=4，1+3+6=10，3+6+7=16，6+7+6=19，后面的数就是16、10、4、1；故答案为：1、4、10、16、19、16、10、4、1；②93=19683；如图所示三角形数表叫“莱布尼茨调和三角形”，有111=+122、111=+236、111=+3412、……、则第11行第2个数（从左往右数）为________。
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+ 数表—从杨辉三角谈起 2下面是按规律排列的杨辉三角：图(1) 图(2)(1)杨辉三角第8行第2个数是_________;(2)观察图(2)中的线，你会发现左斜线的数之和等于下一行右面的数．如：1+2+3=6，照此规律，第8行的第3个数是_____．(3)杨辉三角第1行的所有数之和为1，第2行的所有数之和为2，第3行为4，第4行为8，…，那么，第n 行的所有数之和是________.(4)杨辉三角中，第101行中左起第三个数是 ．(5) 5050可能是杨辉三角中第几行的第几个数?[杨辉三角]★★【分析】 ⑴根据题意：每一行第2个数是1n -；所以第8行第2个数是7.(2) 1+2+3+L +6=21．老师可拓展到第n 行的第3个数．(3)第n 行的和是12n -，所以第10行所有数的和是1012512-=.(4)考查学生对杨辉三角形特性的认识． ………………………... (110511051)61441313112111------------------------------------------------------------------------------------------- 例1第三行左起第三个数是11=；第四行左起第三个数是312=+；第五行左起第三个数是6123=++；第六行左起第三个数是101234=+++；……归纳可知，第101行左起第三个数是991001239949502⨯++++==L . 或者是杨辉三角的每一行的第三个数都满足21n C -，所以第101行的第三个数是2210111001009949502CC -⨯===. (5)杨辉三角第m 行第n 个数实际就是11n m C --． 11(1)!5050()!(1)!n m m C m n n ---==--，而，101是质数，因此m -1≥101，0<n -1<m -1.当n =2，m =5051;当n ＝3时，m =102；当12m -≥n >3时，存在122111015050n m m C C C --->>=.不会再出现5050.因此5050在左侧只能出现在第5051行第2个数和第102行第3个数．由对称可知，第5051行第5051个数和第102行第100个数也是5050.杨辉三角中，55可能是杨辉三角中第几行的第几个数?[杨辉三角]★★------------------------------------------------------------------------------------------- 练一练【分析】 第56行第2个和第55个；第13行第3个和第11个．(1)如图所示的三角形数表中，满足：①第一行的数为1；②第n 行首尾两数均为n ，其余的数都是等于它肩上的两个数相加；则第50行第2个数是_________.1223434774511141156162525166L L L (2) 下图是按规律排列的三角形数表：1111123211367631①在方格中填上第五行的各个数．②求第10行各数的和．[杨辉三角]★★☆ 【解析】(1)每一行的第二个数是22223(1)2n n n -+++++-=L ，代入50n =后，得第50行第2个数是1226.------------------------------------------------------------------------------------------- 例2(2)由数表可以得到如下的规律，(a )两边的数以中间的数为轴对称分布，两边分别包1，其他的数等于上一行对应的数和相邻数的和；(b )每一行数的和分别是：1，3，9，27…，即第n 行数的和是3n -1，由此解决．①1+0=1，1+3=4，1+3+6=10，3+6+7=16，6+7+6=19，后面的数就是16、10、4、1；故答案为：1、4、10、16、19、16、10、4、1；②93=19683；如图所示三角形数表叫“莱布尼茨调和三角形”，有111=+122、111=+236、111=+3412、……、则第11行第2个数（从左往右数）为________。
11112211136311114121241111152030205L L L L L L[杨辉三角]★【解析】 “莱布尼兹调和三角形”数阵中所示的规律，可得每1行的第1个数均为行数的倒数，且每一个数等于下------------------------------------------------------------------------------------------- 例3一行中“脚踩”的两个数的和，第10行第1个数是110.第11行第1个数是111，则第11行第2个数是1111011110-=。
如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：(1)第10行左起第5个数是多少?(2)100在第几行?100是这一行左起第几个数?(3)前10行的数的和是多少?12345678910L L[三角形数表]★★【解析】 （1）第9行的最后一个数为：()199452+⨯=，所以第10行左起第5个数为45+5=50.（2） 根据题意：1231391++++=L ，第13行的最后一个数是91，所以100在第14行，是这一行中的第100919-=个数．（3）前10行一共1231055++++=L 个数，()1555515402+⨯=------------------------------------------------------------------------------------------- 例4把自然数按如下规律排成三角形数表：如4是第3行的第3个数，那么(1)自然数60是第____行的第____个数．(2)94是第___行的第____个数.123654789101211L L[三角形数表]★★【解析】 观察规律.每n 行有n 个数，奇数行是从大数到小数，偶数行是从小到大； (1)1232n n n +++++=L ， (1)1011552⨯=，1112662⨯=，因此60在第11行，666017-+=，所以60是11行第7个数.(2)1314912⨯=，14151052⨯=，94-91=3，因此94在第14行第3个数．此题可以说是自然数列的“神龙摆尾”，奇数行第一个数是三角形数，偶数行最后一个数是三角形数，在做题时，要分清方向．如图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来.请问：（1）200排在第几行，第几列?-------------------------------------------------------------------------------------------例5 ------------------------------------------------------------------------------------------- 练一练（2）第18行第22列的数是多少?1247111635812176913101415L L L L L L[三角形数表]★★【解析】 （1）根据题意，每一行相邻两个数的差在依次增加1，每一列的相邻两个数的差依次增加1，所以12345678910111213141516171819190++++++++++++++++++=， 得到190排第19行第1列，191排在第1行第20列.所以200排在10行第11列；（由原数表转化到下数表，原数表中行数+列数相等的数都在此数表中的同一行中．）1326541098715141312111716L（2）第18行的第1个数为：12318171+++⋯+=.公差为18.所以第22列为17118192038759+++++=L把从2开始的偶数数列排成如下图所示三角形数表，则表中的偶数80是第_____行第_____个数. -------------------------------------------------------------------------------------------例62468101214161820L L L[三角形数表]★★★【解析】 法1：每个偶数都除以2，会得到例2中的自然数列，80是第40个偶数，1+2+3+4+5+6+7+8=36，40-36=4.因此80在第9行第4个数．法2：第n 行的最后一个数是(1)n n +，第8行最后一个数为72，之后第9行的前几个数分别为74，76，78，80，因此80在第9行第4个数．把奇数数列排成如下图所示三角形数表，则表中的奇数67是第________行第________个数.135791113151719L L L[三角形数表]★★★【解析】 上面数表第n 行有n 个数，所以前n 行有(1)1232n n n +++++=L 个数，从小到大排列. 先计算67是第(671)234+÷=个奇数；-------------------------------------------------------------------------------------------练一练前7行一共有7(71)282⨯+=个数. 34286-=，所以67是第8行第6个数.如图所示数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右都是无限项，则这个数表中的第13行中第10个数是__________.123456735791113812162024 LLL L L L L[三角形数表]★★★☆【解析】 研究这个数表，可以得到规律：某数是其上间隔一行，垂直位置的数的4倍．因此第13 行第10个数，是第11行第11个数的4倍、第9行第12个数的24倍，直至第1行第16个数“16”的64倍．因此这个数为16×46=216，故答案为216.4倍的关系可以用下图来证明：设三个数分别为, ,n d n n d -+2- 2 4n d n n dn d n dn -++------------------------------------------------------------------------------------------- 例7表中的第一行依次全部排列出1到100的整数，然后从第二行起根据规律一直排到最后的第100行。
问：这个表中一共有多少个数能被77整除?第1行 1 2 3 4 5……………………96 97 98 99 100第2行 2 5 7 9…………………………193 196 197 199第3行 8 12 16………………………………388 392 396第4行 …………………………………………………………第5行 …………………………………………………· ……………………………………………· ………………………………………· …………………………………·第100行 ………………………[三角形数表]★★★★【解析】 在这个表里,有的数的正下方写着它4倍的数.假如,某数是不能被77整除的数,那么不管它被4乘多少回,也不能被77整除.于是我们得知不能被77整除的数下面写的数都不能被77整除.那么,如果某数是可以被77整除,不管乘多少回4,得出的数都可以被77整除.可被77整除的数下面都可以被77整除.题目的表中从左右两边第N 个的下面写着N 个整数.表的第一行从右数第24个是77,在它下面写的24个整数都可以被77整除.另外,从左数第二行第38个是383977+=,所以在它下面写的38个整数都可以被77整除.在表的第一行和第二行里除此之外再没有可以被77整除的数了.从整个表来看,除了上述的2A +12A -14A A +1AA -1------------------------------------------------------------------------------------------- 例8+=个以外,再也没有可以被77整除的数了,所以243862答案为62.五年级第2讲数表――从杨辉三角谈起（C版）11。