物理学9-刚体定轴转动定律的应用举例
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大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
刚体定轴转动定律
角称为角坐标（或角位置）。 角坐标为标量。但可有正负。
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
物理学9-刚体定轴转动定律的应用举例
物理学9-刚体定轴转动定律的应用举例刚体定轴转动定律是描述刚体绕固定轴转动时的运动规律的重要定律。
它包括角动量定理、角动量守恒定律和动能定理三个部分，这些定理在物理学中有着广泛的应用。
以下是一些应用举例。
1.陀螺的稳定性陀螺是一种具有一定自旋的旋转体，它的转轴固定在空间中的一点上。
当陀螺开始旋转时，它的自旋轴并不和转轴重合，但是随着陀螺的旋转，自旋轴始终在垂直于转轴的平面内旋转。
根据角动量定理和角动量守恒定律可以说明，当外力瞬间作用在陀螺上时，它会使陀螺的自旋轴发生进动，即自旋轴绕着转轴做圆周运动。
而由于角动量守恒，陀螺的自旋速度不会发生改变，因此在一定条件下陀螺能够保持稳定旋转，虽然它的自旋轴始终在变化。
2.动物的奔跑在物理学中，奔跑的过程可以视为人体绕着重心做定轴转动。
根据角动量定理和动能定理，人体的角动量和动能随着奔跑的速度变化而改变。
如果奔跑速度比较慢，人体的重心不会发生太大的变化，因此可以近似地看作点质量绕着固定轴转动。
但是当奔跑速度比较快时，人体的重心会发生较大的偏移，因此需要考虑人体的形变和弹性来描述奔跑的过程。
3.滑冰在滑冰的过程中，滑冰鞋与冰面之间存在摩擦力，摩擦力使得滑冰鞋相对于冰面产生旋转。
根据角动量定理和动能定理，滑冰鞋的角动量和动能会不断地改变，从而导致身体的姿态和速度也在不断变化。
为了保持平衡和稳定性，滑冰运动员需要不断进行调整和控制。
4.扭曲摆扭曲摆是一种具有非线性运动特征的振动系统，它包括一个重物、一个弹簧和一个摆动的基座。
当扭曲摆发生振动时，重物会绕着摆动的基座旋转，同时弹簧也会发生形变。
根据扭曲摆的特征方程和能量守恒定律可以推导出扭曲摆的振动规律，从而用来描述一系列自然现象，比如地震、心脏跳动等。
5.自行车的平衡自行车是一种需要保持平衡的交通工具，它的平衡性和稳定性与骑车人的动作和机械结构密切相关。
根据角动量定理和动能定理可以推导出自行车的转动惯量和角加速度，并利用牛顿第二定律和动能定理求解车轮的角速度和匀速斜面上行驶的距离等问题。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料
mg FT2 ma2
FT1 FT2
R
mg FT1 r
m
a1
J
a1 r
a2 R
FT1 r R
FT1'
A
mg
β
FT2
FT2'
B
mg
mg(R r)
J mR2 mr2
a1
r
J
mgr(R r) mR2 mr2
40 半径减小角速度增加。
（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0， 为什么拉力还作功呢？
W
0
Md
在定义力矩作功 时，我们认为只 有切向力作功， 而法向力与位移 垂直不作功。
但在例题中，小 球受的拉力与位 移并不垂直，小 球的运动轨迹为 螺旋线，法向力 要作功。
o
F
r d Fn F
解得
a2
R
mgR(R r) J mR2 mr2
FT1 mg ma1
FT2 mg ma2
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半 径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面 下滑，求:下滑的加速度 a 。
解：物体系中先以
物体 m 研究对象，
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
T1
mAmB g
mA mB mC
2
T2
(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0，可得：
2.2 刚体定轴转动定律及其应用
两边积分
2 k R 2 d dt 0 0 m
0
t
d
0
0
0
2 k R 2 d m
2 k R 2 0 m m0 m 0 N 2 2 2 k R 2 2 4 kR
例. 将一根质量为M，长为L的匀质细杆两端A、B用 等长的线水平地悬挂在天花板上，若突然剪断其中一 根，求此瞬间另一根绳内的张力有多大。 解: 突然剪断B线，棒AB受重力和A线对它的拉力作用 AB绕A点在竖直面内转动。 A线的拉力对A点的力矩为零 重力对A点的力矩为 转动定律
n0 30 270 弧度 2 20 . 4 270 N 43 圈 2
2
2
例、一轻绳跨过一质量为 m，半径为 r 的定滑轮，滑 轮视为匀质圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的 物体， m1<m2 ，忽略滑轮轴处的摩擦。绳与滑轮之间 无相对滑动。求物体的加速度和绳的张力。 解： 认对象，看运动； 分析力和力矩; 定方向, 列方程 m1： T1 m1 g m1a m2： m 2 g T2 m2 a
其中
a
解方程得 MBg
1 2 Jc Mc r 2
a r
1 M A M B MC 2 1 M A MC M B g 2 T2 1 M A M B MC 2
M AM B g T1 1 M A M B MC 2
M C 0时
MBg a M A MB
M J
f
d
解：(1) 求
f N
d M f 2
以向外为正
由转动定律
刚体定轴转动的转动定律的应用重点
zi r i
O
2
mi Ri
vi
2
1
M Z d E K末
1 2 I 2 I1 2 2 W E K末 E K初 E K初
18
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体 的转动动能的增量。称为定轴转动的动能定理。
刚体的重力势能
将重力看成是刚体受到的外部保守力,按质心的 定义，重力作的功等于质心势能的变化
第四章
刚体的运动规律
§4-3 刚体定轴转动的转动定律
刚体定轴转动的转动定律的应用
§4-4 刚体定轴转动的动能定理
4.1 力矩的功 4.2 刚体定轴转动中的动能 4.3 刚体定轴转动中的动能定理
作业：4-7，4-8，4-9
1
§4-3 刚体定轴转动的转动定律
作用于刚体上的力对转轴的力矩， 实际就是该力对原点力矩在转轴上 的分量。证明如下：
d o'
Ri
dm
c
适于刚体 的任一运动
17
4.3 刚体定轴转动中的动能定理
刚体定轴转动中动能变化的原因 是力矩做功；将定轴转动的转动 定律两边乘以d 再同时对 积分
z
2
1
M Z d
2
2
1
d I dt 1 dt 2 1 Id
1
d I d dt
I C mk 2
(0) 0 mk
2
( t ) ( 0 )
t
aF
aF ( t ) t 2 mk
(3) 在L系中若要
vQ 0
v C b
1 a k
2
F aF t t b 2 m mk
运用刚体定轴转动定律解题（2）
运⽤刚体定轴转动定律解题（2）运⽤刚体定轴转动定律解题转动定律描述刚体定轴转动中的瞬时关系，常常⽤来求解⾓加速度，⼀般步骤为：1) 隔离物体：即明确研究对象。
2) 具体分析：分析所选定的定轴刚体的受⼒情况和运动情况，画出受⼒图。
3) 选定坐标：在惯性系中建⽴⼀维坐标，即在转轴上选择正⽅向。
4) 建⽴⽅程：⽤转动定律列出定轴刚体的运动微分⽅程。
5) 要特别注意⽅程中的⼒矩、转动惯量必须对同⼀轴⽽⾔。
还要注意此⽅程是标量式，式中各量均为代数量，与所选正⽅向同向的⼒矩和⾓速度为正，反之为负。
6) 求解讨论：求解⽅程，理解和讨论结果的物理意义。
请注意常常与转动定律相联系的综合性问题：与刚体定轴转动或质点圆周运动的运动学问题相联系。
刚体定轴转动与质点平动相联系（例如滑轮两边悬挂物体）。
处理⽅法仍然是隔离法，对定轴刚体⽤转动定律列⽅程，对平动质点⽤⽜顿第⼆定律列⽅程，⼆者之间⽤⾓量与线量的关系联系起来，求解⽅程组。
运⽤⾓动量定理或⾓动量守恒定律解题因为对定轴转动的刚体，其总动量往往并⽆实际意义（例如定轴转动滑轮的总动量为零），所以只能⽤⾓动量对其整体机械运动量进⾏量度。
在⼒矩持续作⽤⼀段时间的问题中，则⽤⾓动量定理取代平动问题中的动量定理。
对于平动质点和定轴刚体组成的系统，既可以对于系统整体运⽤⾓动量定理，也可以分别对平动质点运⽤动量定理，对定轴刚体运⽤⾓动量定理，再⽤⼒矩表达式将⼆者联系起来。
运⽤⾓动量定理或⾓动量守恒定律解题的⼀般步骤与运⽤动量定理或动量守恒定律求解平动问题类似，只不过⽤⾓量取代相应的线量：1. 选系统：即确定研究对象。
2. 建坐标:选取惯性系，确定参考点或转轴。
3. 选过程：即选取⼀定的时间间隔，确定系统的初、末态。
对于综合性问题，可以划分为⼏个互相衔接的阶段处理。
4. 算⼒矩：画出对所选定的参考点或转轴⼒矩不为零的外⼒，⽆须分析系统内⼒和对参考点或转轴⼒矩为零的外⼒。
5. 列⽅程：如果不满⾜⾓动量守恒条件，运⽤⾓动量定理列⽅程：对固定点：对定轴：如果满⾜⾓动量守恒条件，运⽤⾓动量守恒定律列⽅程：对固定点：对定轴：6. 求解并讨论：求解⽅程，理解和讨论结果的物理意义。
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
3.1定轴转动刚体的转动定理解析
h
x
C dx
x
m I x dx L ( L / 2 h )
2
L / 2 h
平行轴定理
质量为 m 的刚 体，如果对其质心轴 的转动惯量为 IC ， 则对任一与该轴平行， d 相距为 的转轴的 转动惯量
注意
d
C
m
O
I O I C md
2
z
I
r
y
Iy
x
y
Ix
2 2 2
x
I z r dm ( x y )dm I x I y
A
mA
C
mC
mB
B
A
mA FN F T1 mA O x PA
FT1
C
mC FT2
FT2
2r
r
2m
B
A
m
课堂练习：在半径分别为R1和R2的 阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳， 各悬挂质量分别为m1、m2的物体， 若滑轮与轴间的摩擦忽略不计，绳 子与滑轮间无相对滑动，滑轮的转 动惯量为I，求滑轮的角加速度和各 绳中的张力T1和T2。
R2
R1
m1g T1 m1a1
a1 R1
m2
1 2 14 2 2 2 I I1 I 2 ml 0 sin ml 0 sin 3 9
例、求通过圆环中心并与圆环所在平面垂直的 转轴的转动惯量。设圆环的半径为R，质量m均 匀分布在圆环上。
dl
m
R
m I R dl mR 2 2R
2
例:有两个半径相同、质量相等的细圆环A和B， A环的质量均匀分布，B环的质量分布不均匀， 它们对通过环心且垂直于环面的轴的转动惯量 C 分别为IA和IB，则：【 】 （A）A环的转动惯量大于B环的转动惯量； （B）A环的转动惯量小于B环的转动惯量； （C）两个圆环的转动惯量相等； （D）无法判断。
大学物理-刚体定轴转动
F Fz F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
18
（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
M ji
第5 刚体的定轴转动 §1 刚体的运动 §2 刚体定轴转动的运动定律
1
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
2
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
j
定义转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
z
O rj
Fej
m j
Fij
转动定律 M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
24
转动定律 M J
讨论 （1）M 0， ω不变
（2） M
J （3） M J J d
dt
25
三 转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
等都相同．
刚体平动 质点运动
3
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
4
一般运动
= (平动)+(转动)
原则: 随某点(基点)的平动
+ 过该点的定轴转动 基点任选。
刚体定轴转动定律
于 180°的夹角 θ 转向 F 时，拇指所指的方向就是力矩的方向。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
刚体的定轴转动
为一矢量，叫矢量积，也叫叉乘、矢量积。
① ②
大小： | a b || a | | b | sin
方向：方向由右手螺旋法则决定。
a
b
12
a b
2.
①
矢量性质：
结合律： (a ) b (a b ) a (b )
t
t0
M dt L L0 L
这就是单个质点的角动量定理 其中， M dt是力矩对时间的累积效应， 叫冲量矩。
t0 t1
质点的角动量定理：质点所受的冲量矩等 于质点角动量的增量。
二． 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律：
1. 刚体绕定轴转动的角动量：设刚体绕固定轴O以角速度ω转 动，如图示：考察质量为Δmi的质量元，其角动量
28
三． 转动的动能定理：
d d dA Md J d J d J d Jd dt dt 当刚体的角速度由1 2时，外力矩对刚体所做的功： A dA
2 1
1 2 1 2 Jd J2 J1 2 2
刚体定轴转动的动能定理：外力矩对刚体所 做的功等于刚体转动动能的增量。
vi ri O Δmi
ω
Li mi vi ri mi ( ri )ri mi ri
2
则整个刚体的角动量为所有质量元的角动量之和 L Li mi ri ( mi ri ) J
2 2 i i
结论：刚体绕固定轴转动的角动量等于刚体的转动惯量与角 速度的乘积。
2
对刚体的所有质量元求和，得：
Fi ri sin i F内i ri sin i mi ri ( mi ri )
① ②
大小： | a b || a | | b | sin
方向：方向由右手螺旋法则决定。
a
b
12
a b
2.
①
矢量性质：
结合律： (a ) b (a b ) a (b )
t
t0
M dt L L0 L
这就是单个质点的角动量定理 其中， M dt是力矩对时间的累积效应， 叫冲量矩。
t0 t1
质点的角动量定理：质点所受的冲量矩等 于质点角动量的增量。
二． 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律：
1. 刚体绕定轴转动的角动量：设刚体绕固定轴O以角速度ω转 动，如图示：考察质量为Δmi的质量元，其角动量
28
三． 转动的动能定理：
d d dA Md J d J d J d Jd dt dt 当刚体的角速度由1 2时，外力矩对刚体所做的功： A dA
2 1
1 2 1 2 Jd J2 J1 2 2
刚体定轴转动的动能定理：外力矩对刚体所 做的功等于刚体转动动能的增量。
vi ri O Δmi
ω
Li mi vi ri mi ( ri )ri mi ri
2
则整个刚体的角动量为所有质量元的角动量之和 L Li mi ri ( mi ri ) J
2 2 i i
结论：刚体绕固定轴转动的角动量等于刚体的转动惯量与角 速度的乘积。
2
对刚体的所有质量元求和，得：
Fi ri sin i F内i ri sin i mi ri ( mi ri )
刚体定轴转动定律
F ma
(2) 列方程: 对于刚体：定轴转动定律 M J
线量与角量的关系：at R
(3) 解方程.
例题. 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮可视为
圆 盘 ， 绳 的 两 端 分 别 悬 有 质 量 为 m1 和 m2 的 物 块 ， 且 m1<m2. 设滑轮的质量为M，半径为R，绳与轮之间无 相对滑动，求物块的加速度和绳中张力.
本次课所讲知识点是刚体力学这部分内容的重点， 希望大家课后好好复习，多多练习，熟练掌握。
切向分量式： Fit fit miait
ait ri Fit fit miri
ri
作圆周运动. z
o
f Fit
i fit
ri mi
Fir
Fi
上式两端同乘以ri再对所有质点求和：
Fit ri fit ri miri2
i
i
i
合外力矩M 内力矩之和 =0 转动惯量J
M J
刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所 获得的角加速度的乘积.
二、 刚体定轴转动定律与牛顿第二定律的比较
定律方程
牛顿第二定律 F ma
促使运动状态发 生变化的因素
合外力：F
阻碍运动状态发 生变化的因素
产生的物理量
质量：m
加速度：a
刚体定轴转动定律
M J
合外力矩：M
ห้องสมุดไป่ตู้转动惯量：J
角加速度：
三、 刚体定轴转动定律的应用
解题思路:
(1) 受力分析;
对于质点：牛顿第二定律
刚体定轴转动定律
一、 刚体定轴转动定律的证明
刚体可看成是由n个质点组成的连续质点系.
刚体的定轴转动
均匀圆环的转动惯量。轴与
圆环平面垂直并通过圆心。
OБайду номын сангаас
解：JR 2dm R 2 dm m2R
讨论:J具可加性，
O
所以若为薄圆筒
（不计厚度）结果
相同。
O’
R dm
32
例5 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量： (1)轴通过棒的中心并和棒垂直； (2)轴通过棒的一端并和棒垂直；
c2 t 2 2 360 20 π0 07 πr5asd 3
1ct2 π t2
2 150
16
由 d π t2
dt 150
得 d π tt2dt
0
1500
π t3 rad
450
在 300 s 内转子转过的转数
N
π
(30 )3 0 3 140
当总质量一定时， 质量分布离轴越远J 越大.
同一刚体，转轴位置不同，转动惯量不一样。
L
L
m
m
30
转动惯量叠加性 J J a Jb J c
a
c
b
回转半径： J mrG2
式中m为刚体质量，rG称为回转半径 就转动规律而言，假设将刚体的所有质量集
中在一个半径为rG细圆环上。
31
例4求质量为m、半径为R的
x
角位移 (tt)(t)
角速度矢量 limd
t t0 dt
角加速度 ddt
8
定轴转动的矢量描述
角位移 d dk
大小：dt时间转过的角度
z
ω
r P’(t+dt)
.. O d P(t)
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刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半。 比较：
n
1 2 E k I 2
L2 Ek 2I
p2 Ek 2m
1 2 E k mv 2
2、力矩的功
dAi Fi dsi Fi ri d M i d
式中 F F cos i i i
O
解：棒下摆为加速过程，外 力矩为重力对O的力矩。 棒 上取质元dm,当棒处在下摆 角时，该质量元的重力对轴 的元力矩为
O
l
dm
dl
gdm
dM l cos gdm gl cos dl
dM l cos gdm gl cos dl
重力对整个棒的合力矩为
O
l
dm
dl
地位相当 M＝I 与 F ma
m反映质点的平动惯性，I反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生 角加速度的原因。
刚体定轴转动的转动定律的应用
例1、一个质量为M、半径为R的定滑
轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，
绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
mg
一质量为m的物体而下垂。忽略轴处
物理学 9 刚体定轴转动定律的应用举例
张宏浩
1
回顾第7讲的知识
回顾：刚体的转动定律
d I M iz I i 1 dt
n
dLz d M iz ( I ) dt dt i 1
n
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚 体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量 成反比。 刚体定轴转动的转动定律
当θ=θ1时，ω=ω1 所以：
2
1
1 1 2 2 M d I 2 I 1 2 2
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。
四、刚体组对轴的角动量守恒定律
dLz d M iz ( I ) dt dt i 1
n
( M )dt
d ri
dri
Fi
i
M i Fi ri
对i求和，得： dA (
2 1
M )d Md
i
A M d
力矩的功率为：
dA d P M M dt dt
当输出功率一定时, 力矩与角速度成反比。
3、刚体定轴转动的动能定理
d d d d MI I I I dt d dt d
t t0 z
L
L0
dLz I I 0
冲量矩
定轴转动刚体的角动量的增量等于 合外力矩对冲量矩。
若 M z 0
有I I 0
对轴的角动量守恒定律 外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对 同一轴的角动量守恒。
角动量守恒定律的两种情况：
1、转动惯量保持不变的刚体 当M 0时，I I 0 ,则 0 例：回转仪 2、转动惯量可变的物体
M＝ dM gl cosdl
0
L
2 1 gL cos mgL cos 2 2
gdm
代入转动定律，可得 1 mgL cos M 2 3 g cos 1 2 I 2 L mL 3
0
1
1 1 2 2 Md I 2 I1 2 2
1 代入M＝ mgl cos 2
摩擦，求物体m由静止下落高度h时
的速度和此时滑轮的角速度。
解： 对M：M ＝TR＝I
1 I＝ MR 2 2
对m : mg T ma
a R
g 2
mg
m 解方程得： a mM
v 2ah v 1 R R
4mgh 2m M 4mgh 2m M
例2、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转 动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的 角加速度和角速度。
1 1 2 mgL cos d I 2 2
1 1 2 mgL sin I 2 2
mgL sin I
3 g sin L
1 2 I mL 3
三、定轴转动的动能定律
1、转动动能
1 1 n 1 2 2 2 2 2 E k mi ri ( mi ri ) I 2 i 1 2 i 1 2
当I增大时，就减小； 当I减小时，就增大，从而 I保持不变
例：旋转的舞蹈演员
n
1 2 E k I 2
L2 Ek 2I
p2 Ek 2m
1 2 E k mv 2
2、力矩的功
dAi Fi dsi Fi ri d M i d
式中 F F cos i i i
O
解：棒下摆为加速过程，外 力矩为重力对O的力矩。 棒 上取质元dm,当棒处在下摆 角时，该质量元的重力对轴 的元力矩为
O
l
dm
dl
gdm
dM l cos gdm gl cos dl
dM l cos gdm gl cos dl
重力对整个棒的合力矩为
O
l
dm
dl
地位相当 M＝I 与 F ma
m反映质点的平动惯性，I反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生 角加速度的原因。
刚体定轴转动的转动定律的应用
例1、一个质量为M、半径为R的定滑
轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，
绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
mg
一质量为m的物体而下垂。忽略轴处
物理学 9 刚体定轴转动定律的应用举例
张宏浩
1
回顾第7讲的知识
回顾：刚体的转动定律
d I M iz I i 1 dt
n
dLz d M iz ( I ) dt dt i 1
n
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚 体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量 成反比。 刚体定轴转动的转动定律
当θ=θ1时，ω=ω1 所以：
2
1
1 1 2 2 M d I 2 I 1 2 2
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。
四、刚体组对轴的角动量守恒定律
dLz d M iz ( I ) dt dt i 1
n
( M )dt
d ri
dri
Fi
i
M i Fi ri
对i求和，得： dA (
2 1
M )d Md
i
A M d
力矩的功率为：
dA d P M M dt dt
当输出功率一定时, 力矩与角速度成反比。
3、刚体定轴转动的动能定理
d d d d MI I I I dt d dt d
t t0 z
L
L0
dLz I I 0
冲量矩
定轴转动刚体的角动量的增量等于 合外力矩对冲量矩。
若 M z 0
有I I 0
对轴的角动量守恒定律 外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对 同一轴的角动量守恒。
角动量守恒定律的两种情况：
1、转动惯量保持不变的刚体 当M 0时，I I 0 ,则 0 例：回转仪 2、转动惯量可变的物体
M＝ dM gl cosdl
0
L
2 1 gL cos mgL cos 2 2
gdm
代入转动定律，可得 1 mgL cos M 2 3 g cos 1 2 I 2 L mL 3
0
1
1 1 2 2 Md I 2 I1 2 2
1 代入M＝ mgl cos 2
摩擦，求物体m由静止下落高度h时
的速度和此时滑轮的角速度。
解： 对M：M ＝TR＝I
1 I＝ MR 2 2
对m : mg T ma
a R
g 2
mg
m 解方程得： a mM
v 2ah v 1 R R
4mgh 2m M 4mgh 2m M
例2、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转 动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的 角加速度和角速度。
1 1 2 mgL cos d I 2 2
1 1 2 mgL sin I 2 2
mgL sin I
3 g sin L
1 2 I mL 3
三、定轴转动的动能定律
1、转动动能
1 1 n 1 2 2 2 2 2 E k mi ri ( mi ri ) I 2 i 1 2 i 1 2
当I增大时，就减小； 当I减小时，就增大，从而 I保持不变
例：旋转的舞蹈演员