导数讨论含参单调性习题(含详解答案)

3
（2）试讨论函数 y f x 的零点个数． 9．已知 e 是自然对数的底数, F x 2ex1 x ln x, f x a x 1 3 . （1）设T x F x f x ,当 a 1 2e1 时, 求证：T x 在 0, 上单调递增；
（2）若 x 1, F x f x ,求实数 a 的取值范围.
恒成立，然后再
1
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(1)当 时，
，
∴
在 处的切线斜率
，
由
，得
(2)易知函数
，∴
，∴ ．
的定义域为
，
又
由题意，得
的最小值为负，
∴
．(注：结合函数
， 图象同样可以得到)，
∴
∴
，∴
；
(3)令
则
，
则
，
，其中
，
则
，
∴ 在区间
内单调递减，且
在区间
内必存在实根，不妨设
，
即
，可得
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1．设函数
．
（1）当 时，函数
与
在 处的切线互相垂直，求 的值；
（2）若函数
在定义域内不单调，求 的取值范围；
（3）是否存在正实数 ，使得
对任意正实数 恒成立？若存在，求出
满足条件的实数 ；若不存在，请说明理由．
2．已知函数
是 的导函数， 为自然对数的底数．
（1）讨论 的单调性；
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，求证：无论实数 取什么值都有
.
5．已知函数
（ 为常数）是实数集 上的奇函数，函数
是
区间
上的减函数.
（1）求 的值；
（2）若
在
及 所在的取值范围上恒成立，求 的取值范围；
（3）讨论关于 的方程 1
的根的个数.
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6．已知函数 f x ax ln x, F x ex ax ，其中 x 0, a 0 .
（1）若 f x 和 F x 在区间 0,ln 3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；
（2）若
a
,
1 e2
，且函数
g
x
xeax1
2ax
f
x
的最小值为
M
，求
M
的
最小值.
7．已知函数 f (x) exm ln x .
（1）如 x 1是函数 f (x) 的极值点，求实数 m 的值并讨论的单调性 f (x) ；
，得到
，分 和 两种情况讨论讨论二次函数恒成立的问题，得到 的取值
范围；（2）
，分 和 两种情况讨论函数的单调性，若能满足当
，构造函数，设
，
来自百度文库
，当 时，
，所以
是增函数， 3
，得证；（3）判断函数的零点个数，需要研究函
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数的增减性及极值端点，由（1）可知，当 时， 是先减再增的函数，其最小值为
个零点 ，
，而此时
，且
，故 恰有两
从而得到 的增减性，当
时，
；当
时，
；当
时，
，从而 在 两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值
助函数 ，利用 围.
恒成立
；
恒成立
，即可求出参数范
2．（1）①当 时， 在
上为减函数；②当 时， 的减区间为 ，增区
间为
；（2） 证明见解析；（3）一个零点，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）讨论函数单调性，先求导
，当 时，
，故 在
上为减函数；当 时，解
可得 ，故 的减区间为 ，增区间为
；（2）
根据
则 在区间 内单调递增，在区间
，(*) 内单调递减，
2
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∴
，
，
将(*)式代入上式，得
．
根据题意
恒成立，
又∵
，当且仅当
时，取等号，
∴
，
∴
，代入(*)式，得
，
即 ，又 ，
∴
，∴存在满足条件的实数 ，且 ．
点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值 的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅
（2）若 x x0 是函数 f (x) 的极值点，且 f (x) 0恒成立，求实数 m 的取值范围（注： 已知常数 a 满足 a ln a 1）.
8．已知函数 f x ln 1 mx x2 mx ，其中 0 m 1．
2
（1）当 m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3 ；
10．已知函数 f x ex ax 2 （1）若 a 1，求函数 f x 在区间[1,1]的最小值； （2）若 a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性；
（3）若对于任意的 x1, x2 (0, ),且x1 x2,
都有x2 f (x1) a x1 f (x2 ) a成立，求 a 的取值范围。
，所以函数不可能有两个零点，只能有一个零点． 试题解析：
（1）对函数 求导得
，
，
①当 时，
，故 在
上为减函数；
②当 时，解
可得 ，故 的减区间为
，增区间为
；
（2）
，设
，则
，
易知当 时，
，
； （3）由（1）可知，当 时， 是先减再增的函数，
其最小值为
，
而此时 ∵当
时， ，
，且 ；当
，故 恰有两个零点
时，
2
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参考答案
1．（1） ;（2） 【解析】
；（3） ．
试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当 时，
，
可知
在 处的切线斜率
，同理可求得
，然后再根据函数
与
在 处的切线互相垂直，得
，即可求出结果．
(2)易知函数
的定义域为
，可得
在
内有至少一个实根且曲线与 x 不相切，即
（2）当 时，证明：
；
（3）当 时，判断函数 零点的个数，并说明理由．
3．已知函数
（其中，
）.
（1）当 时，若 在其定义域内为单调函数，求 的取值范围；
（2）当 时，是否存在实数 ，使得当
时，不等式
恒成立，如果存在，
求 的取值范围，如果不存在，说明理由（其中 是自然对数的底数，
）.
4．已知函数
，其中 为常数.
，由题意， 的最小
值为负，由此可得
，进而得到
令
，可得
，由此即可求出结果. (3)
，令
，则
，所以 在区间
内单调递减，且
在区间
内必存
在实根，不妨设
，可得
间
内单调递减，
，(*)，则 在区间 内单调递增，在区
∴
，
，将(*)式代入上式，得
．使
得
对任意正实数 恒成立，即要求
根据基本不等式的性质，即可求出结果． 试题解析：
；当
， 时，
4
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∴在
两点分别取到极大值和极小值，且
，
由
知
，
∴
，
∵
，∴
，但当
时， ，则 ，不合题意，所以
，
故函数 的图象与 轴不可能有两个交点．
∴函数 只有一个零点．
3．（1） 【解析】
；（2）存在，且
.
试 题 分 析 ：（ 1 ） 当
时，首先求出函数的导数，函数的定义域是