第一章刚体静力学基础刚体静力学以刚体为研究对象。
所谓刚体，是受力时不变形的物体。
刚体静力学的任务是研究物体的受力分析、力系的等效替换和各种力系的平衡条件及其应用。
刚体静力学在工程中有广泛的应用，同时其它力学分支的基础。
本章介绍刚体静力学理论的基础知识，包括力和力矩的概念，静力学公理和任意力系的简化方法。
1.1 力和力矩●力及其投影力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变(外效应)，或者使物体变形(内效应)。
对刚体而言，只需要考虑力的外效应。
力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点这三个要素。
因此，力是一种定位矢量。
通常用用粗斜体字母来标记力矢量，如F，对应的细斜字母F表示力的大小。
在图中通常用有向线段来表示力，箭头表示力的方向，线段的起点或终点为力的作用点，力的单位是牛顿(N)或千牛顿(kN)。
作用于物体上的一组力称为力系。
作用在刚体上的一力系，如能用另一力系来代替，而对刚体产生同样的作用，则这两个力系互为等效力系。
一个力和一个力系等效，则该力是力系的合力，力系中各力是其合力的分力。
力依据其作用形式，可分为体积力、表面力和集中力。
体积力和表面力连续作用于物体的某一体积上或面积内，也称为分布力。
例如，物体的重力是体积力，浸在水中的物体受的静水压力是表面力。
而集中力作用于物体一点。
实际上，一切真实力都是表面力，集中力只是分布力在一定条件下的理想化模型。
图1–1 力沿直角坐标轴的投影与分解图1–2 二次投影法力在轴上的投影定义为F 与该轴基矢量的标量积。
设坐标系Oxyz 的各坐标轴的基矢量分别为i 、j 和k ，则力F 在各轴上的投影可表示为γβαcos cos cos F F F F F F x x x =⋅==⋅==⋅=k F j F i F (1–1)其中α、β和γ是力F 与各坐标轴的正向夹角，如图1–1所示。
显然，力在轴上的投影是代数量。
如已知力在各轴上的投影，则可将力沿直角坐标轴分解k j i F z y x F F F ++= (1–2)如图1–2所示，计算力在直角坐标轴上的投影，也可以使用二次投影法。
γϕγϕϕγϕcos sin sin sin cos sin cos F F F F F F F F z xy y xy x ===== (1–3)其中，ji F y x xyF F +=为力F 在Oxy 平面上的投影。
例1–1：已知力F 大小为kN 80，试计算它在坐标轴上的投影。
解：89843222=++=ABKN 4.25=⋅=AB OD F F x KN8.67=⋅=AB DB F F yKN9.33-=⋅⨯-=AB AO F F z● 力对点之矩力矩用来量度力使物体产生转动的效应。
依据力使物体产生绕点的转动和绕轴的转动，力矩可分为力对点之矩和力对轴的矩。
力对点之矩，定义为O 点到F 作用点A 的矢径r 与F 的矢量积，即F r F M ⨯=)(O (1–4)其中，O 点称为矩心。
)(F M O 是一个定位矢量，习惯上总是将它的起点画在矩心O 处，如图1–4。
)(F M O 垂直于r 和F 所确定的平面，指向由右手定则确定，其大小为FhO=⨯=F r F M)( (1–5)式中，h 为O 到F 的距离，也称为力臂。
为计算力F 对O 点矩，以O 为原点建立直角坐标系Oxyz 。
力F 沿直角坐标轴的分解为k j i F z y x F F F ++=，力F 作用点的位置矢量k j i r z y x ++=，于是图1–3 例1–1图kj i k j iF r F M)()()()(x y z x y z zyxOyF xF xF zF zF yF F F F z y x-+-+-==⨯= (1–6)● 力对轴之矩如图1–5，设z 轴垂直于Oxy 平面，垂足是O ，力F 在Oxy 平面内的分量为xyF ，O 到xy F 的距离为d 。
则力对轴之矩，定义为乘积xy dF ，并贯以适当的符号，即xyz dF M ±=)(F (1–7)轴z 称为矩轴；)(F z M 的符号按右手定则确定：即用右手弯曲的四指表示力使物体绕z 轴的转动方向，当拇指指向与z 轴正向相同时，取正号；反之为负。
或者从z 轴的正端回头看，如xy F 使物体绕轴z 作逆时针转动，则)(F z M 为正；反之为负。
由定义可知，若力F 和矩轴z 平行(0=xyF )或力的作用线通过矩轴(0=h)，即F 和轴z 共面，则力对轴的矩为零。
考虑xy F 对O 之矩)(xy O F M ，根据力对点之矩的定义kk F F M)()(x y xy xy xy OyF xF dF OA -==⨯=注意到)()(xy OzMF MF =，且)(xy O F M 沿z 轴正向时，对应)(F zM为正，反之亦然。
由此得到)(F zM的计算公式x y xy Oz yF xF M -=⋅=k F MF )()((1–8a)图1–4 力对点之矩 图1–5 力对轴之矩同法可求得力F 对x 轴和y 之矩y z x zF yF M -=)(F (1–8b)zx y xF zF M -=)(F (1–8c)由式(1–6)及(1–8)，得kF j F i F F M)()()()(z y x OM M M ++= (1–9)式(1–9)即力矩关系定理：力对轴之矩等于力对轴上任意点之矩形在轴上的投影。
若力系中各力都位于同一平面，则该力系为平面力系，如图1–6。
显然，平面力系中各力对力系平面内任意点之矩均垂直于该平面，因此可将平面上力对点之矩简化为代数量。
如图1–6，在平面上建立坐标系xoy ，力F 位于xoy 平面内，其作用点坐标为),(y x A 。
定义xoy 平面上力对点之矩x y O o yF xF M -=⋅=k F M F )()( (1–10) 在右手系下，z 轴垂直于xoy 平面向外，因此，若)(F o M 为正，则力使物体作逆时针转动；反之，力使物体作顺时针转动。
根据力矩关系定理，平面上力对点的矩，也可理解为力对轴的矩，该轴过矩心且垂直于力和矩心所确定的平面。
例1–2：如图1–8，力F 沿边长为a 、b 和c 的长方体的一棱边作用。
试计算F 对于O 点之矩和对长方体对角线OC 之矩。
解：在图示坐标系，k F F -=，作用点位置矢量k i r c a OD +=，力F 对O 点之矩jF r F MaF OD O=⨯=)(对角线OC 的单位矢量222)(cb ac b a OC ++++=k j i n图1–6 平面力系 1–7 平面上力对点之矩图1–8 例1–2图因此，力F 对OC 之矩为222)(cb a FabMOc OOC++=⋅=n MF1.2 静力学公理静力学公理概括了力的基本性质，其正确性已由实践所证实，是刚体静力学的基础。
● 公理一 二力平衡公理作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分和必要条件是：这两个力大小相等、方向相反、且在同一直线上(或者说，这两个等值、反向、共线)。
如图1–9，对只在两点各受一个集中力而平衡的刚体，工程上称为二力构件或二力杆。
根据公理一，二力杆所受两力必沿作用点的连线。
公理一只适用于刚体。
对于变形体，公理一给出的平衡条件并不充分。
例如，柔绳受两个等值、反向、共线的拉力作用可以平衡，而受到两个等值、反向、共线的压力则显然不能平衡。
● 公理二 加减平衡力系公理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，新力系与原力系对刚体的作用效果相同。
图1–9图1–10 力的可传性公理二是研究力系等效替换的理论基础。
一个重要的推论是力的可传性：作用在刚体上的任何一个力，可以沿其作用线移动作用点而不改变该力对刚体的作用。
例如，力沿作用线移动，并不会改变力对任意点或任意轴之矩。
因此，作用于刚体上的力的三要素是：力的大小、方向和作用线位置。
图1–10表示了力的可传性的证明思路，其中F F F =-=12。
显然，公理二及其推论也都只适用于刚体而不适用于变形体。
对于变形体，力将产生内效应，当力沿作用线移动时，将改变它的内效应。
● 公理三 力的平行四边形公理作用在物体上同一点的两个力，可以合成一个力。
合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向，由这两个力为邻边的平行四边形的对角线确定。
如图1–11，物体上A 点作用着两个力1F 和2F ，其合力R F 也作用于点A ，表示为21F F F +=R (1–11)公理三对刚体和变形体都是适用的。
运用公理三和力的可传性，可导出仅适用于刚体的同平面三力平衡时的汇交定理：当刚体受同平面内三个力作用而平衡时，此三力的作用线必然交汇于同一点。
简称三力汇交定理。
图1–12是三力不平行时三力汇交定理的证明思路。
当三力平行时，可认为其作用线相交于无穷远。
● 公理四 作用和反作用公理任何两个间相互作用的一对力总是大小相等，作用线相同，而指向相反，同时并分别作用在这两个物体上。
这两个力互为作用力和反作用力。
公理四概括了物体间相互作用力之间的关系，对刚体和变形体都是适用的，是一个普适原理。
通常也称该公理为牛顿第三定律。
● 公理五 刚化公理当变形体在已知力系作用下处于平衡时，如果把变形后的变形体视为刚体(刚化)，则平衡状态保持不变。
对变形体刚化，一定要在变形体达到平衡后才能进行。
如图1–13，柔绳在等值、反向、共线的两个拉力作用下处于平衡，此时可将柔绳刚化，则平衡状图1–11 力的平行四边形公理 图1–12 三力汇交定理态保持不变。
若拉力改成压力，则柔绳不能平衡，就不能将其刚化。
公理五表明，变形体的平衡条件包括了刚体的平衡条件。
因此，可以把任何已处于平衡的变形体看成是刚体，而对它应用刚体静力学的全部理论。
这就是公理五的意义所在。
1.3 力偶及其性质● 力偶作用在刚体上等值、反向而不共线的两个力，称为力偶。
如图1–14，驾驶员用双手转动方向盘，钳工用丝锥攻螺纹，都是都是力偶作用于被转动物体的例子。
力偶的作用效果是改变刚体的转动状态，或引起变形体的弯曲或扭转。
由力F 和F F -='所构成的力偶记为),(F F '。
力偶中两个力的作用线所确定的平面称为力偶的作用面，二力作用线之间的距离d 称为力偶臂，乘积Fd 称为力偶矩。
力偶本身不能平衡，且两力投影之和为零，也不存在合力。
因此，力偶和力一样，是力学中的一种基本力系。
● 力偶矩矢量从实际经验知道，力偶),(F F '使物体转动的效果与力偶三要素有关，即，力偶矩Fd 、力偶作用面的方位和力偶使物体转动的方向。
力偶三要素可通过力偶矩矢量来完整表述。
如图1–15，对任意点O ，F 和F '上任意两点A 和B 的矢径分别为A r 和B r ，自B 至A 引矢量径r ，则力偶对点O 之矩的大小和方向由下式确定F r F r r F r F r F r F r ⨯=⨯-=⨯-⨯='⨯+⨯)(B A B A B A (1–12)上式表明：力偶对任意点之矩恒等于F r ⨯，而与矩心位置无关。
