最新福建 2016届高三(上) 数学试题(解析版)(理科)

2015-2016学年福建省四地六校高三（上）第三次联考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}则A∩B=（）A．（2，3）B．（2，3]C．（﹣3，﹣2）D．[﹣3，﹣2）2．欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e4i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数的值域为（﹣∞，0]∪[4，+∞），则a的值是（）A．B．C．1 D．24．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=（）A．﹣9 B．﹣6 C．6 D．95．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为（）A． B．C．32πD．8π6．在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=2，则•的值是（）A．2 B．C．0 D．17．若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）8．若a=ln2，b=，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a9．已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]10．对于数列{a n}，定义数列{a n﹣a n}为数列{a n}的“等差列”，若a1=2，{a n}的“等差列”的通项公式为2n，则+1数列{a n}的前2015项和S2015=（）A．22016﹣1 B．22016 C．22016+1 D．22016﹣211．定义行列式运算：=a1a4﹣a2a3．若将函数f（x）=的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A． B．C．πD．12．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b+c=8，1+=，则△ABC面积的最大值为（）A．4 B．4C．D．二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置）.13．已知等差数列{a n}中，，则cos（a1+a2+a6）=．14．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN 所成角的正弦值为．15．已知变量x，y满足，则的最大值为．16．在数列{a n}中，a1=1，a n+（﹣1）n a n=1．记S n是数列{a n}的前n项和，则S200=．+2三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=log2a n+2，设数列{}的前n项和T n，证明．18．如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AD⊥CD，AB=2，CD=4，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于（1）求证：平面BCE⊥平面BDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点，若OQ=4，OP=，PQ=．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，3]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域．20．已知函数．（1）求函数f（x）的图象在点（3，f（3））处的切线方程．（2）若曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．21．设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．选修4-5：不等式选讲23．设函数的最小值为a．（1）求a；（2）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求的最小值．2015-2016学年福建省四地六校高三（上）第三次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}则A∩B=（）A．（2，3）B．（2，3]C．（﹣3，﹣2）D．[﹣3，﹣2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A，B中x的范围确定出A，B，再求出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A=[﹣1，3]，由log2（x2﹣x）＞1，得到x2﹣x﹣2＞0，即x＜﹣1或x＞2，∴B=（﹣∞，﹣1）∩（2，+∞），由B中则A∩B=（2，3]，故选：B．2．欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e4i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】欧拉公式的应用．【分析】由欧拉公式e ix=cosx+isinx，可得e4i=cos4+isin4，结合三角函数的符号，即可得出结论．【解答】解：由欧拉公式e ix=cosx+isinx，可得e4i=cos4+isin4，∵π＜4＜π，∴cos4＜0，sin4＜0，∴e4i表示的复数在复平面中位于第三象限，故选C．3．已知函数的值域为（﹣∞，0]∪[4，+∞），则a的值是（）A．B．C．1 D．2【考点】函数的值域．【分析】利用勾勾函数的性质求解．，当x＞0时，y的最小值为2，当x＜0时，y的最大值为﹣2，可得答案．【解答】解：由题意：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为（﹣∞，0]∪[4，+∞），令，当x＞0，a＞0时，y的最小值2，则当x＞0，a＞0时，的最小值为2+2，由题意：，解得a=1．满足题意．当x＜0，a＞0时，y的最大值为﹣2+2，由题意：﹣2+2=﹣1，解得a=1．满足题意．因此得a=1．故选：C．4．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=（）A．﹣9 B．﹣6 C．6 D．9【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．可得q2．于是a2+a8=+a6q2【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．∴q2=2或．则a2+a8=+a6q2=9．故选：D．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为（）A． B．C．32πD．8π【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为，，2的长方体的外接球，计算出球的半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为，，2的长方体的外接球，故外接球的半径R==，故球的体积V==，故选B．6．在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=2，则•的值是（）A．2B．C．0 D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，写出A，B，C，D，E的坐标，设F（x，4），利用向量的数量积求出F，然后求解所求向量的数量积．【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），E（，2），设F（x，2），则=（2，0），=（x，4），由•=2，2x=2，则x=1，即F（1，4），=（1﹣2，4），=（，2），则•=（2，2）•（1﹣，4）=2﹣8+8=．故选：A．7．若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，函数的导数，利用导数值求解a的范围．【解答】解：函数f（x）=x+alnx的定义域为：x＞0．函数f（x）=x+alnx的导数为：f′（x）=1+，当a≥0时，f′（x）＞0，函数是增函数，当a＜0时，函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．故选：C．8．若a=ln2，b=，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a 【考点】定积分；不等关系与不等式．【分析】利用定积分求解c ，判断a ，b 与c 的大小即可． 【解答】解：，，，所以a ＞c ＞b ， 故选：D ．9．已知ω＞0，函数f （x ）=sin （ωx +）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．（0，2]【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果． 法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意 排除（D ）合题意 排除（B ）（C ）法二：，得：．故选A ．10．对于数列{a n }，定义数列{a n +1﹣a n }为数列{a n }的“等差列”，若a 1=2，{a n }的“等差列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前2015项和S 2015=（ ）A ．22016﹣1B ．22016C ．22016+1D ．22016﹣2 【考点】数列的求和．【分析】利用“累加求和”及其等比数列的前n 项和公式可得a n ，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出． 【解答】解：∵a 1=2，{a n }的“等差列”的通项公式为2n ， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =2n ﹣1+2n ﹣2+…+2+2=+1=2n ．∴数列{a n }的前2015项和S 2015=2+22+…+22015==22016﹣2．故选：D ．11．定义行列式运算：=a 1a 4﹣a 2a 3．若将函数f （x ）=的图象向左平移m （m ＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A． B．C．πD．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由已知利用二阶行列式的展开式法则及函数平移的性质得到y=2sin（x+m﹣）是奇函数，从而m﹣=kπ，k∈Z，由此能求出m的最小值．【解答】解：∵函数f（x）==sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），函数f（x）=图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，∴y=2sin[2（x+m）﹣]是奇函数，∴2m﹣=kπ，k∈Z，∵m＞0，∴m的最小值是．故选：B．12．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b+c=8，1+=，则△ABC面积的最大值为（）A．4 B．4C．D．【考点】余弦定理．【分析】1+=，利用同角三角函数基本关系式、两角和差公式、正弦定理可得，可得=即可得出．．利用基本不等式的性质可得：b+c=8≥2，利用S△ABC【解答】解：∵1+=，∴==，化为，∴=．∵b+c=8≥2，化为bc≤16，当且仅当b=c=4时取等号．==≤4．∴S△ABC故选：B．二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置）.13．已知等差数列{a n}中，，则cos（a1+a2+a6）=．【考点】数列与三角函数的综合．【分析】利用等差数列的性质求出a1+a2+a6的值，然后求解三角函数值．【解答】解：等差数列{a n}中，，则a1+a2+a6=a3﹣2d+a3﹣d+a3+3d=3a3=．cos（a1+a2+a6）=cos=﹣．故答案为：．14．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的正弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】已知ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，取BC的中点0，连接A0，NM，BM，BM∥NO，BC∥NM，那么AN和NO所成角即为BM与AN所成角．求出边长，利用余弦定理求解角的大小．【解答】解：∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，取BC的中点0，连接AO，NM，BM，∴BM∥NO，BC∥NM且BC=2NM，那么AN和NO所成角即为BM与AN所成角．∵设BC=CC1=CA=2，∠BCA=90°，ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AO=，AN=，BM=NO=cos∠ANO==sin∠ANO=．故答案为．15．已知变量x，y满足，则的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，化简目标函数，利用它的几何意义，即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：=1+的几何意义为区域内的点到P（﹣2，﹣1）的斜率加上1．，由图象知，PB的斜率最大由，得，即B（0，2），故PB 的斜率k==．则的最大值为：．故答案为：．16．在数列{a n }中，a 1=1，a n +2+（﹣1）n a n =1．记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 200= 5100 ． 【考点】数列递推式．【分析】a n +2+（﹣1）n a n =1，可得n 为偶数时，a n +2+a n =1．n 为奇数时，a n +2﹣a n =1．是公差为1的等差数列．利用分组求和S 200=（a 1+a 3+…+a 199）+[（a 2+a 4）+（a 6+a 8）+…+（a 198+a 200）]，即可得出． 【解答】解：∵a n +2+（﹣1）n a n =1，∴n 为偶数时，a n +2+a n =1． n 为奇数时，a n +2﹣a n =1．是公差为1的等差数列．∴S 200=（a 1+a 3+…+a 199）+[（a 2+a 4）+（a 6+a 8）+…+（a 198+a 200）]=100×1++50=5100．故答案为：5100．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =log 2a n +2，设数列{}的前n 项和T n ，证明．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由S n ，a n ，成等差数列，可得2a n =S n +，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知，可得．利用“裂项求和方法”与数列的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵S n ，a n ，成等差数列，∴2a n =S n +．，当n=1时，2a 1=a 1+，解得a 1=．=﹣，当n≥2时，2a n﹣2a n﹣1．化为：a n=2a n﹣1∴正项数列{a n}为等比数列，公比为2，首项为，∴．（2）证明：由（1）知，∴．则，即．18．如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AD⊥CD，AB=2，CD=4，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于（1）求证：平面BCE⊥平面BDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）运用面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；（2）以D为原点，DA，DC，DE为x，y，z轴，建立空间的直角坐标系，求得A，B，C，D，E，F的坐标，运用向量垂直的条件，求得平面BDM和平面CDE的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求值．【解答】（1）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴ED⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴BC⊥ED．∵ED⊥平面ABCD，∠EBD为BE与平面ABCD所成的角，设ED=a，则AD=a，DB=，在Rt△EDB中，tan∠EBD==，∴a=2，…在直角梯形ABCD中，BC=2，在△BDC中，BD=2，BC=2，CD=4，∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．又ED∩BD=D，故BC⊥平面BDE．又BC⊂平面BEC，则平面BDE⊥平面BEC．…（2）解：由题知，DA，DC，DE两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，…则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），F（2，0，2），C（0，4，0），E（0，0，2），取平面CDE的一个法向量=（2，0，0），…设平面BDF的一个法向量=（x，y，z），则．令x=1，则y=z=﹣1，所以=（1，﹣1，﹣1）．…、设平面BDF与平面CDE所成锐二面角的大小为θ，则cosθ=|cos＜， |=，…所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是．…19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点，若OQ=4，OP=，PQ=．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，3]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）从给出的三角函数图象中给出三个线段信息，从中可以求出图象最高点的坐标，的长度，由此推理出三角函数的解析式；（2）由题意先求出g（x），h（x）的函数解析式，由x的范围求出x﹣的范围，同时结合三角函数的图象进行分析，即可求出其函数值域．【解答】解：（1）由条件知cos∠POQ==，所以P（1，2）．由此可得振幅A=2，周期T=4×（4﹣1）=12，又=12，则ω=．将点P（1，2）代入f（x）=2sin（x+φ），得sin（x+φ）=1，因为0＜φ＜，所以φ=，于是f（x）=2sin（x+）．（2）由题意可得g（x）=2sin[（x﹣2）+]=2sin x．所以h（x）=f（x）•g（x）=4sin（x+）•sin x=2sin2x+2sin x•cos x=1﹣cos x+sin x=1+2sin（x﹣）．当x∈[0，3]时，x﹣∈[﹣，]，所以sin（x﹣）∈[﹣，1]，即1+2sin（x﹣）∈[0，3]．于是函数h（x）的值域为[0，3]．20．已知函数．（1）求函数f（x）的图象在点（3，f（3））处的切线方程．（2）若曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求导数，确定切线斜率、切点坐标，即可求函数f（x）的图象在点（3，f（3））处的切线方程．（2）令f（x）=2x+m，即x3﹣x2+2x+5=2x+m，设g（x）=x3﹣x2+5，若曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，转化为函数y=g（x）与y=m有三个不同的交点，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数，∴f'（x）=x2﹣3x+2，…f'（3）=2，…f（x）在（3，f（3））处的切线方程是，…即4x﹣2y+1=0…（2）令f（x）=2x+m，即x3﹣x2+2x+5=2x+m，∴x3﹣x2+5=m，设g（x）=x3﹣x2+5，…∵曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，∴函数y=g（x）与y=m有三个不同的交点，令g'（x）=0，解得x=0或x=3，当x＜0或x＞3时，g'（x）＞0，当0＜x＜3时，g'（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，0），（3，+∞）单调递增，在（0，3）单调递减，…∵g（0）=5，g（3）=，即，…画出函数g （x ）的大致图象如图，∴实数m 的取值范围为．…21．设函数f （x ）=+lnx ，g （x ）=x 3﹣x 2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x 1•f （x 1）≥g （x 2）成立，试求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），，对参数a 讨论得到函数的单调区间．（Ⅱ）由题对于任意的，都有x 1•f （x 1）≥g （x 2）成立，则x 1•f （x 1）≥g （x ）max ，然后分离参数，求出a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），，当a ≤0时，f'（x ）＞0，函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增；当a ＞0时，若，则f'（x ）≥0，函数f （x ）单调递增；若，则f'（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；所以，函数f （x ）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（Ⅱ），，可见，当时，g'（x ）≥0，g （x ）在区间单调递增，当时，g'（x ）≤0，g （x ）在区间单调递减，而，所以，g （x ）在区间上的最大值是1，依题意，只需当时，xf （x ）≥1恒成立，即恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx；…令，则h'（x）=1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）=0，当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，即h（x）在区间上单调递增；当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，故a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．【解答】解：（1）∵，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去y并整理，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．∵a＞0，∴a=1．选修4-5：不等式选讲23．设函数的最小值为a．（1）求a；（2）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，通过讨论x的范围，求出a的值即可；（2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可．【解答】解：（1）函数，当x∈（﹣∞，1]时，f（x）单调递减；当x∈[1，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=1时，f（x）的最小值a=．（2）由（Ⅰ）知m2+n2=，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥，故有+≥2≥，当且仅当m=n=时取等号，所以的最小值为．2016年11月10日。

2016年福建卷高考数学计算题真题解析考生们在备考高考数学时，对于历年真题的研究是非常关键的。

通过分析真题，了解出题思路和考点，有助于提高解题的能力和应试技巧。

本文将对2016年福建卷高考数学计算题进行解析，帮助考生们更好地备考。

一、题目概述2016年福建卷高考数学计算题共有三道题，涉及到数列、概率、几何等多个知识点。

下面我们逐个进行解析。

1. 第一题该题是一道数列题，要求求解一个数列的通项公式以及求和。

解题思路是先观察数列的规律，然后利用已知条件列写出递推公式，进而求解出通项公式和求和公式。

详细的解题步骤和计算过程将在下文中具体阐述。

2. 第二题该题是一道概率题，要求求解某事件的概率。

解题思路是先明确问题，然后根据已知条件计算事件的可能性，最终得出概率。

详细的解题步骤和计算过程将在下文中具体阐述。

3. 第三题该题是一道几何题，要求证明两条线段相等。

解题思路是通过几何证明方法，利用已知条件和几何性质，证明两条线段相等。

详细的解题步骤和证明过程将在下文中具体阐述。

二、第一题解析题目要求求解数列 {an} 的通项公式和前 n 项和。

通过观察数列的规律，我们可以发现一个递推关系，即 an = an-1 + 3，利用此关系，我们可以推导出通项公式和求和公式。

具体的计算过程如下：（此处写明具体的计算步骤）三、第二题解析题目要求求解某事件的概率。

根据已知条件，我们可以计算出事件发生的可能性，并得出所求概率。

具体的计算过程如下：（此处写明具体的计算步骤）四、第三题解析题目要求证明两条线段相等。

通过观察已知条件和几何性质，我们可以运用几何证明方法，得出结论。

具体的证明过程如下：（此处写明具体的证明步骤）五、总结通过对2016年福建卷高考数学计算题的解析，我们可以发现数学考试中的问题类型多样，知识点之间也有着紧密的联系。

对于考生来说，要多做历年真题，熟悉各个知识点的考察方式，并注重解题思路和方法的培养。

只有在平时的备考中，积极总结经验，提高解题能力，才能在高考中取得好成绩。

2015-2016学年福建省三明一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）2015-2016学年福建省三明一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）及解析一、选择题：（60分）1．设集合A={x|0≤x≤3}，B={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，则A∩B等于( )A．（﹣1，3）B．[1，2]C．{0，1，2} D．{1，2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求解一元二次不等式，结合x∈Z化简集合B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由集合A={x|0≤x≤3}，B={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}={x|1≤x≤2，x∈Z}={1，2}，则A∩B={x|0≤x≤3}∩{1，2}={1，2}．故选：D．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2．下列结论正确的是( )A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4=0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分不必要条件C．已知命题p“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”，则命题p的否定￢p为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2=0，则m≠0或n≠0”【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】A：写出命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题，可判断A的真假；B：利用充分必要条件的概念可判断“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分不必要条件，可判断B正确；C：m＞0时，△=1+4m＞0，方程x2+x﹣m=0有实根，可判断命题p正确，从而可知命题p的否定￢p为假命题，可判断C错误；D：写出命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题为“若m2+n2≠0则m≠0或n≠0”，可判断D 错误．【解答】解：A：命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，故A错误；B：“x=4”⇒“x2﹣3x﹣4=0”，充分性成立；反之，“x2﹣3x﹣4=0”⇒“x=4或x=﹣1”，必要性不成立，故B正确；C：因为，m＞0时，△=1+4m＞0，故方程x2+x﹣m=0有实根，即命题p正确，则命题p的否定￢p为假命题，故C错误；D：命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系及其真假判断，考查充分必要条件的理解与应用，属于中档题．3．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则在方向上的投影为( ) A．B．C．1 D．2【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】平面向量及应用．【分析】根据条件可判断△ABC为正三角形，利用投影为公式计算．【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，∴∠B=60°，∴△ABC为正三角形，∴•=2×2cos60°=2∴在方向上的投影为==1，故选：C【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，及应用，属于容易题．4．非零向量使得成立的一个充分非必要条件是( ) A．B． C．D．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】平面向量及应用．【分析】可先求出非零向量使得成立的充要条件，进而即可得出答案．【解答】解：∵非零向量使得成立，∴，展开化为，∴．因此非零向量使得成立的充要条件是，即与异向共线．故非零向量使得成立的一个充分非必要条件是．故选B．【点评】熟练求出非零向量使得成立的充要条件是解题的关键．5．设不共线，，，，若A，B，D三点共线，则实数p的值是( )A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】根据三点共线，转化为向量共线，建立方程条件即可得到结论．【解答】解：∵，，，∴=，∵A，B，D三点共线，∴，即，∴，解得，∴实数p的值是﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查三点共线的应用，将条件转化为向量共线是解决本题的关键．6．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，则a=( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】先求出导函数y′，再由两直线垂直时斜率之积为﹣1，列出方程求出a的值．【解答】解：由题意得，y′==，∵在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，∴=，解得a=﹣2，故选B．【点评】本题考查了导数的几何意义，即一点处的切线斜率是该点出的导数值，以及直线相互垂直的等价条件应用．7．下列不等式一定成立的是( )A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）【考点】不等式比较大小．【专题】探究型．【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可【解答】解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2；C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）⇔（|x|﹣1）2≥0；D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．综上，C选项是正确的．故选：C．【点评】本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解题的关键8．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=( ) A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【专题】计算题．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；9．已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=y﹣ax仅在点（﹣3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围为( )A．（3，5）B．（，+∞）C．（﹣1，2）D．（，1）【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值【解答】解：画出可行域如图所示，其中A（﹣3，0），C（0，1）若目标函数z=y﹣ax仅在点（﹣3，0）取得最大值，由图知，直线z=﹣ax+y的斜率大于直线x﹣2y+3=0的斜率，即a＞故选B．【点评】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．10．f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间( )A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选B．【点评】本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．11．设f（x）=lg（+a）是奇函数，且在x=0处有意义，则该函数是( )A．（﹣∞，+∞）上的减函数B．（﹣∞，+∞）上的增函数C．（﹣1，1）上的减函数D．（﹣1，1）上的增函数【考点】复合函数的单调性；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（0）=0，求得a的值，可得f（x）=lg（），由此求得函数f（x）的定义域．再根据f（x）=lg（﹣1﹣），以及t=﹣1﹣在（﹣1，1）上是增函数，可得结论．【解答】解：由于f（x）=lg（+a）是奇函数，且在x=0处有意义，故有f（0）=0，即lg（2+a）=0，解得a=﹣1．故f（x）=lg（﹣1）=lg（）．令＞0，求得﹣1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．再根据f（x）=lg（）=lg（﹣1﹣），函数t=﹣1﹣在（﹣1，1）上是增函数，可得函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，故选D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性，复合函数的单调性，属于中档题．12．函数y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的( )A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：∵是偶函数，排除A，当x=2时，，排除C，当时，，排除B、C，故选D．【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的奇偶性及特殊点来判断．二、填空题：共20分.13．已知函数f（x）=则f[f（）]=．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）=，知f（）=ln=﹣1，由此能求出f[f（）]的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）=ln=﹣1，∴f[f（）]=f（﹣1）=e﹣1=．故答案为：．【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为4．【考点】基本不等式；指数函数的图像与性质．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a1﹣x （a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny﹣1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【解答】解：由已知定点A坐标为（1，1），由点A在直线mx+ny﹣1=0上，∴m+n=1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴=（）（m+n）==2++≥2+2•=4，当且仅当两数相等时取等号．故答案为4．．【点评】均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值．15．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2014年的价格y（单位：元）与时间t（单位：月的函数关系为：y=2+（1≤t≤12），则10月份该商品价格上涨的速度是3元/月．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】根据导数的几何意义，求出函数的导数即可得到结论．【解答】解：∵y=2+（1≤t≤12），∴函数的导数y′=（2+）′=（）′=，由导数的几何意义可知10月份该商品价格上涨的速度为=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查导数的计算，求出函数的导数是解决本题的关键．16．已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【考点】函数的零点．【分析】由f（x）+x﹣a=0得f（x）=﹣x+a，作出函数f（x）和y=﹣x+a的图象，由数形结合即可得到结论．【解答】解：由f（x）+x﹣a=0得f（x）=﹣x+a，∵f（x）=，∴作出函数f（x）和y=﹣x+a的图象，则由图象可知，要使方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则a＞1，故答案为：（1，+∞）【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系转化为两个图象的交点个数问题是解决本题的关键．利用数形结合的数学思想．三、解答题：共70分.17．已知，是夹角为60°的单位向量，且，（1）求；（2）求的夹角＜＞．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的性质及其运算律；数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】（1）按照向量数量积的定义和运算法则求解即可．（2）利用向量数量积公式变形，求出的夹角余弦值，再求出夹角．【解答】解：（1）求===﹣6+1×1×cos60°+2=﹣．（2）===同样地求得=．所以cos＜＞===，又0＜＜＞＜π，所以＜＞=．【点评】本题考查向量数量积的计算、向量夹角、向量的模．均属于向量的基础知识和基本运算．18．已知a＞0，设命题p：函数y=log a x 在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】对于命题p：利用指数函数单调性可得：a＞1．对于命题q：a=0（舍去），或a＞0且△＜0．由“p∧q”为假，“p∨q”为真，可得p、q中必有一真一假．【解答】解：对于命题p：∵函数y=a x在R上单调递增，∴a＞1．对于命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，∴a=0（舍去），或a＞0且△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4．∴0＜a＜4．∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假．①当p真，q假时，，得a≥4．②当p假，q真时，，得0＜a≤1．故a的取值范围为（0，1]∪[4，+∞）．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、指数函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．记函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]（a＜1）的定义域为B．（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．【考点】函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域．【专题】综合题．【分析】（1）令被开方数大于等于零，列出不等式进行求解，最后需要用集合或区间的形式表示出来；（2）先根据真数大于零，求出函数g（x）的定义域，再由B⊆A和a＜1求出a的范围．【解答】解：（1）由2﹣≥0，得≥0，解得，x＜﹣1或x≥1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞），（2）由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0，得（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0，∵a＜1，∴a+1＞2a．∴B=（2a，a+1），∵B⊆A，∴2a≥1或a+1≤﹣1，即a≥或a≤﹣2，∵a＜1，∴≤a＜1或a≤﹣2，故当B⊆A时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[，1）．【点评】本题是有关集合和函数的综合题，涉及了集合子集的运算，函数定义域求法的法则，如：被开方数大于等于零、对数的真数大于零、分母不为零等等．20．已知向量=（x，a﹣3），=（x，x+a）f（x）=•，且m，n是方程f（x）=0的两个实根．（1）求实数a的取值范围；（2）设g（a）=m3+n3+a3，求g（a）的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；函数的零点；平面向量数量积的运算．【专题】综合题；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）利用向量的数量积运算和一元二次方程实数根与△的关系即可得出；（2）利用根与系数的关系，g（a）转化为关于a的函数，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意知：f（x）=•=x2+（a﹣3）x+a2﹣3a，∵m、n是方程f（x）=0的两个实根，∴△=（a﹣3）2﹣4（a2﹣3a）≥0，∴﹣1≤a≤3．（2）由题意知：m+n=3﹣a，mn=a2﹣3a，∴g（a）=m3+n3+a3=（m+n）[（m+n）2﹣3mn]+a3=（3﹣a）[（3﹣a）2﹣3（a2﹣3a）]+a3=3a3﹣9a2+27，a∈[﹣1，3]，故g'（a）=9a2﹣18a，令g'（a）=0，∴a=0或a=2，从而在[﹣1，0），（2，3]上g'（a）＞0，g（a）为增函数，在（0，2）上g'（a）＜0，g（a）为减函数，∴a=2为极小值点，∴g（2）=15，又g（﹣1）=15．∴g（a）的最小值为15．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、一次函数的单调性、一元二次方程的解集与根与系数的关系是解题的关键．21．f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的极值点；（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在[﹣，1]上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数的极值点．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[﹣，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，由此能求出实数t 的取值范围．（Ⅲ）要证（1+m）n＜（1+n）m，只须证：，设g（x）=，利用导数性质能证明当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a①a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，函数既无极大值点，也无极小值点．②当a＞0时，f（x）在（﹣1，]上递增，在[，+∞）单调递减，函数的极大值点为﹣1，无极小值点③当a＜0时，f（x）在（﹣1，]上递减，在[，+∞）单调递增，函数的极小值点为﹣1，无极大值点（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）在[﹣，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，又f（0）=0，f（1）=1﹣ln4，f（﹣）=﹣，∴f（1）﹣f（﹣）＜0，∴当t∈[﹣，0）时，方程f（x）=t有两解．（Ⅲ）证明：要证（1+m）n＜（1+n）m，只须证明nln（1+n）＜mln（1+n），只须证：，设g（x）=，则=，由（1）知x﹣（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，∴x﹣（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n，∴g（m）＜g（n），∴当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．【点评】本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．请修改新增的标题22．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，（1）当x∈[1，2]时，求f（x）的解析式；（2）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f的值．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数的对称性，即可求出当x∈[1，2]时的f（x）的解析式；（2）（根据函数的对称性和函数的奇偶性即可得到f（x）是周期函数，根据函数的周期性先计算f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，然后可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f的值．【解答】解：（1）∵f（x）的图象关于x=1对称，∴f（1+x）=f（1﹣x），即f（x）=f（2﹣x）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1∴f（x）=f（2﹣x）=22﹣x﹣1，x∈[1，2]．（2）∵f（x）的图象关于x=1对称，∴f（1+x）=f（1﹣x），∵f（x）是R上的奇函数，∴f（1+x）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），即f（2+x）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x）是周期为4的周期函数；∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1∴f（0）=0，f（1）=2﹣1=1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，f（4）=f （0）=0，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，即f（0）+f（1）+f（2）+…+f=504×0=0．【点评】本题考查的知识点是函数的值，奇函数，函数的周期性，其中根据已知条件求出函数是为4的周期函数，是解答本题的关键．。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )A ． 2 B. 3 C ．4 D. 5 【答案】A 【解析】试题分析：由条件知，当2n =时，328n +=，当4n =时，3214n +=，故{}8,14A B ⋂=，故选A. 考点：集合的交集运算．2.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 【答案】D考点：复数的运算．3.已知命题:p x R ∀∈,23x x <；命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是：（ ） A ．p q ∧ B.p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D.p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】试题分析：当0x =时，231x x ==，故命题p 为假命题，所以p ⌝为真命题．作出函数3y x =与21y x =-的图像如图所示，由图知命题q 为真命题，所以q ⌝为假命题，所以p q ⌝∧为真命题，故选B ．考点：复合命题真假的判断．4.已知点A的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A．C ．132D ．112【答案】C 【解析】试题分析：因为133313(cos sin )(43)()3322OB OA i i i i ππ=+=++=+，即点B 的纵坐标为132，故选C ．考点：复数的几何意义． 5.若12()2()f x x fx dx =+⎰，则1()f x dx ⎰＝( )A ． －1B ． －13 C. 13 D ． 1【答案】B考点：定积分的运算．6.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7 B.5 C ．-5 D. -7 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，得3611451128a q a q a q a q ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得1312a q =⎧⎨=-⎩或13812a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以9331101111()a a a a q a a q +=+=+＝7-，故选D．考点：等比数列的通项公式．7.若4 cos5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan2αα+=-( )A．12- B.12C． 2 D. -2【答案】A考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．8.若cos22πsin4αα=⎛⎫-⎪⎝⎭则cos sinαα+的值为（）Ａ．7Ｂ．12-Ｃ．127【答案】C【解析】试题分析：因为cos222(sin cos)π2sin(sin cos)4αααααα==-+=⎛⎫--⎪⎝⎭，所以1cos sin2αα+=，故选C．【技巧点睛】已知三角函数等式求三角函数的值，解答时通常是首先利用三角恒等变换公式对已知三角函数进行处理，得到相关的结论后，再对所求式进行处理．处理已知三角函数等式时要注意观察结构特征，主要观察：（1）角间关系，适时选用两角和差公式与二倍角公式等；（2）函数的名称，主要是选用同角三角函数基本关系进行名称变换；（3）结构特征，主要是选用二角公式，或进行公式的逆用．考点：1、两角和与差的正弦；2、二倍角．9.存在函数()f x满足：对任意x R∈都有（）A.(sin 2)sin f x x =B.2(sin 2)f x x x =+C.2(1)1f x x +=+D.2(2)1f x x x +=+ 【答案】D考点：10.设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：当0x ≥时，21()ln(1)1f x x x =+-+，2212()01(1)x f x x x '=+>++．又()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数且在[0,)+∞上为增函数，不等式等价于21|||21|341013x x x x x >-⇒-+<⇒<<，选A ．考点：1、不等式恒成立；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数的奇偶性．11.设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1,（ ） A.若θ确定，则 ||a 唯一确定 B.若θ确定，则 ||b 唯一确定 C.若||a 确定，则 θ唯一确定 D.若||b 确定，则 θ唯一确定 【答案】B 【解析】试题分析：依题意，对任意实数t ，||1b at +≥恒成立，所以()2||||cos 1ta b t a b θ++≥22恒成立．令||t a x =，所以222||2||cos ||b ta x x b b θ+=++，若θ为定值，则当||b 为定值时二次函数才有最小值，故选B ．考点：1、平面向量的模；2、平面向量的夹角．12.设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ） A ．[-32e ，1） B. [-错误！未找到引用源。

2016福建高考理科数学试卷及答案（清晰版）福建高考理科
数学试卷及答案
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2016福建高考理科数学试卷及答案(清晰版)。

数学（理）试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.1.已知平面向量→a ＝(1，1)，→b ＝(1，－1)，则向量12→a －32→b ＝ ( )A ．(－1，2)B ．(－2，1)C ．(－1，0)D ．(－2，－1)2.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -，则向量AC 对应的复数为( ) A ．53i + B ．15i + C ．15i -- D ．53i --3. 在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A ． 4-B ． 4±C ． C 2-D ． 2± 4.已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“b a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分与不必要条件56．曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为 ( )A. 22+=x yB. 22-=x yC. 1-=x yD. 1+=x y 7.若()()()()236log 6f x x f x x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()1f -的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．若θθθπθ2cos ,22cos sin ),2,0(则=-∈等于 （ ）A ．23 B ．—23 C ．±23 D ．21±9．记等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若18,263==S S ，则510S S 等于（ ） A ．3- B ．33 C ．31- D ．510．已知()()()1()f x x a x b a b =---<，,m n 是)(x f 的零点，且n m <，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ．n b a m <<< B ．b n m a <<<C ．n b m a <<<D ．b n a m <<<11．已知简谐振动()sin()f x A x ωφ=+()2πφ<的振幅为32，图象上相邻最高点与最低点之间的距离为5，且过点3(0,)4，则该简谐振动的频率与初相分别为 ( ) A ．1,66π B ．1,86π C ．,46ππ D ． 1,63π12.已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．1个B ．8个C ．9个D ．10个第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 在答题卡上的相应题目的答题区域内作答）． 13.命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是 14. 在等差数列{}n a 中，3104,a a +=则12S 的值为____________15．函数x x x f sin 22cos )(+=的最小值为16．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －a )·f ′(x )≥0，则f (x )与f (a )的大小关系是__________． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且222a cb ac +-=． （1）求角B 的大小； （2）若3c a =，求tan A 的值．18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知334,9a S ==。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；附注：参考数据：y i t i y i≈参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；附注：参考数据：y i t i y i≈参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈∵＞故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈=﹣≈×4≈∴y关于t的回归方程+2016年对应的t值为9，故×9+【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，=|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 满足()23z i i i -=+，则z =（ ）A ． C ．10 D ．18 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，设bi a z +=，由()23z i i i -=+可得，i z -=3，故选A ． 考点：复数的性质.2.已知集合{}{}22|230,|,A x x x B y y x x R =--≤==∈,则AB =（ ）A ．∅B ．[]0,1C ．[]0,3D ．[)1,-+∞ 【答案】C 【解析】考点：集合的运算.3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差32,21d S =-=，则当n S 取得最大值时，n 的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．6 D ．5 【答案】D 【解析】试题分析：由21,23=-=S d 得，91=a ，又因为1,165-==a a ，故当5=n 时，n S 取最大值，故选D ． 考点：等差数列的性质. 4.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos cos 3x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ． C.13- D ． 13【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，33)3sin(3)3cos(cos =+=-+ππx x x ，故选B ． 考点：两角和与差的余弦函数.5.在如图所示的程序框图中，若函数()122,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩, 则输出的结果是（ ）A ．2-B ．0.0625 C.0.25 D ．4 【答案】C 【解析】考点：程序框图.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.223π-B ．423π- C.53π D ．22π- 【答案】A 【解析】考点：由三视图求体积，面积.7.已知抛物线()2:20C y px p =>，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于点,A B ，若:3:1AF BF =，则直线l 的斜率等于（ ）A ．．1± C. D ．【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，设),(),,(2211y x B y x A ，A 在第一象限，∵:3:1AF BF =， 故)2(32,32121x p p x y y -=--=，∴p y p x 3,2311==， ∴直线l 的斜率等于303=-pp ，同理A 在第三象限,直线l 的斜率等于3-，故选D ． 考点：抛物线的简单性质.8.四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（ ） A ．72 B ．96 C. 144 D ．240 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，先从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女生所形成的3个空中，故有144332224=A A A 种，故选C ．考点：计数原理的应用.9.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是偶函数，下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 D ．函数()f x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D 【解析】考点：1.正弦函数的图象；2.由)sin(ϕω+=x A y 的部分图象确定其解析式.10.平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ===, 点P 在边CD 上，则PA PB 的取值范 围是（ ）A ．[]1,8-B ．[)1,-+∞ C.[]0,8 D ．[]1,0- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，∵4,2,4=⋅==AD AB 4=A ，∴21cos =A ，∴︒=60A ，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的坐标系，考点：平面向量的数量积的运算.【方法点睛】本题主要考查的是平面向量的数量积的运算，建模思想，二次函数求最值，数形结合，属于中档题，先根据向量的数量积的运算，求出︒=60A ，再建立坐标系，得1)2(2--=⋅x PB PA ，构造函数)(x f ，利用函数的单调性求出函数的值域m ，问题得以解决，因此正确建立直角坐标系，将问题转化成二次函数最值问题是解题的关键.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点,M N . 若122PF PF =, 且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B D 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，a PF PF PF PF 2,22121=-=a 2，又︒=∠∴︒=∠60,60212PF F N MF ,由余弦定理可得，解得：︒⋅⋅-+=60cos 2424164222a a a a c ，得a c 3=，3==∴ace ，综上所述，选B ．考点：1.双曲线的性质；2.余弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查的是双曲线的离心率，余弦定理，学生的计算能力，属于中档题，此类型题目a 2，再结合︒=∠∴︒=∠60,60212PF F N MF 利用余弦定理得到︒⋅⋅-+=60cos 2424164222a a a a c ，从而得到c a ,的关系，即可求出e 的值，因此此类题目利用正确熟练双曲线的性质是解题的关键.12.已知实数,a b 满足225ln 0,a a b c R --==, ）A ．12 B D ．92【答案】C 【解析】考点：1.利用导数研究曲线的切线性质；2.点到直线距离公式.【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究曲线的切线性质，点到直线的距离公式，推理能力与计算能的最小值即为求曲线)0(ln 522>-=x x x y 上的点到直线0=+y x 的距离的最小值，因此在曲线上找到一个和0=+y x 平行的直线与0=+y x 之间的距离最小，因此将点到直线距离最小值转化成直线与直线距离最小值，因此此类题目将已知条件合理转换是解决问题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若实数,x y 满足10201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩,则13z x y =-+的最小值为__________.【答案】1- 【解析】考点：简单线性规划.14.已知函数()(),1ln 1,1a x f x x x -≥=-<⎪⎩，有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[)1,+∞ 【解析】试题分析： 由题意，得，当1<x 时,令0)1ln(=-x 解得0=x ,故)(x f 在)1,(-∞上有1个零点，∴)(x f 在),1[+∞上有1个零点.当1≥x 时,令0=-a x 得1≥=x a .∴实数a 的取值范围是[)1,+∞.考点：函数零点的判定定理.15.三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面,4,30ABC PA PC AB AC BAC ====∠=. 若 三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________. 【答案】18π 【解析】考点：球的体积和表面积.【方法点睛】本题主要考查的是三棱锥的外接球表面积，直线与平面的位置关系，属于中档题，对于本题而言，根据题中条件画出立体几何图形，求出BC ，假设出球心，利用勾股关系，可得ABC ∆外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积,因此确定三棱锥的外接球的半径是解决此类题目的关键. 16.已知()12n n n a +=，删除数列{}n a 中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{}n b ， 则51b =_________. 【答案】5151 【解析】试题分析： 由题意，得，∵2)1(+=n n a n ，10,6,3,14321====∴a a a a ，⋅⋅⋅，∵2)1(+=n n a n ,删除数列{}n a 中所有能被2整除的数,剩下的数从小到大排成数列{}n b ，∴515110151==a b . 考点：数列性质的合理运用.【方法点睛】本题主要考查的是数列的第51项的求法，属于中档题，解题时要认真审题，注意对数列性质的合理运用，对于本题而言，求出数列{}n a 的前8项，由2)1(+=n n a n 不能被2整除，剩下的数从小到大排成数列{}n b ，则10151a b =，由此可得到答案，因此对于解此类题目，熟练灵活的运用数列的性质是解决问题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21112,n n n a a S S ++==+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设212n an n b a -=, 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()n a n n N *=∈；（2）()12326n n T n +=-+.【解析】（2）由（1）得()()23212212,23252...212na n n n n nb a n T n -==-=++++-, ④()()2312232...232212n n n T n n +=+++-+-,⑤④-⑤得,()21222 (22212)nn n T n +-=+⨯++⨯--,所以()()311212221212n n n T n -+--=+---,故()12326n n T n +=-+ .考点：1.利用递推关系求数列通项公式；2.数列的求和.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2A π≠, 且13sin cos sin 23sin 2A B b A C +=.（1）求a 的值； （2）若23A π=，求ABC ∆ 周长的最大值. 【答案】（1）3=a ；（2）323+.【解析】试题分析：（1）由已知式子和三角函数公式可得()()22230b c a a +--=，进而得到a 的值；（2）由23A π=可得229b c bc =++，利用基本不等式可求出)(c b +的最大值，即可求出ABC ∆周长的最大值.考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解三角形.19.（本小题满分12分）如图（1），在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠===, 分别为11,AB A B 的中点. 现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图（2）所示，连结1111,,B C B A B A . （1）求证: 11AB CC ⊥；（2）若1AB =11C AB A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】试题分析：（1）根据线面垂直的性质定理，证明1CC ⊥平面1AOB ，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角11C AB A --的余弦值.（2）由已知得,11OA OB AB ===, 所以22211OA OB AB +=, 故1OA OB ⊥. 如图（2），分别以11,,OB OC OA 为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得())((110,1,0,,,0,C B A A -,设平面1CAB 的法向量()()(1111,,,3,0,3,0,1,m x y z AB AC==-=-,由100AB m AC m ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 得111100y -=-=⎪⎩, 令11x =, 得111,z y ==所以平面1CAB 的法向量为()1,m =, 设平面11AA B 的法向量 ()()()22211,,,3,0,3,0,2,0n x y z ABAA ==-=, 由1100AB n AA n ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 得222020y ==⎪⎩, 令21x =,得221,0z y ==, 所以平面11AA B 的法向量为()1,0,1n =, 于是cos ,5m n m n m n<>===⨯,因为二面角11C AB A --的平面角为钝角,所以二面角11C AB A --的余弦值为.考点：1.二面角的平面角及求法；2.线面垂直判定及性质.20.（本小题满分12分）以椭圆()222:11x M y a a+=>的四个顶点为顶点的四边形的四条边与22:1O x y +=共有6个交点，且这6个交点恰好把圆周六等分.（1）求椭圆M 的方程； （2）若直线l 与O 相切，且椭圆M 相交于,P Q 两点，求PQ 的最大值.【答案】（1）2213x y +=；（2.【解析】试题解析：（1）如图，依题意，()()0,1,,0,60A B a OAB ∠=, 因为tan BO OAB AO∠=,所以1a=, 得a = 2213x y +=.()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121222316,1313m kmx x x x k k -+=-=++, 所以1x -=2x=()()222212122622323313k kk kk k +++==≤=+当且仅当2212k k +=, 即1k =±时，PQ 取得最大值.综上所述，PQ 最大值为 考点：1.椭圆的简单性质；2.直线与椭圆的综合；3.基本不等式.【方法点睛】本题主要考查的是圆的方程，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想，函数与方程思想，分类与整合思想，属于中档题，解决本题的最重要的思想就是数形结合思想，通过图形分析出其满足的几何关系，再通过韦达定理进行计算，即可求解，因此正确的利用圆的性质，椭圆的性质是解决问题的关键. 21.（本小题满分12分）已知函数()ln 1,af x x a R x=+-∈. （1）若函数()f x 的最小值为0，求a 的值； （2）证明:()ln 1sin 0xe x x +->.【答案】（1）1；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意得，)(x f 的最小值问题，需要借助于导数，对比极值与端点值确定，而由最值也可确定出未知量a ；（2）借助第一问，将问题转化成最常见的形式：xxsin .试题解析：（1）()ln 1a f x x x =+-的定义域为()0,+∞，且()221'a x af x x x x-=-= . 若0a ≤，则()'0f x >，于是()f x 在()0,+∞上单调递增，故()f x 无最小值，不合题意，若0a >，则当0x a <<时，()'0f x <;当x a >时，()'0f x >. 故()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增.于是当x a=时，()f x 取得最小值ln a . 由已知得ln 0a =, 解得1a =. 综上，1a =.1ln x x ≥+,所以1ln x x e e +≥, 即x e ex ≥,又因为()1ln ex e x ≥+, 所以()1ln x e e x ≥+,所以 ()()()()()ln 1sin ln 1ln 1sin sin ln sin 0x e x x e x x x e x x e x +-≥++-=++->,综上，不等式 ()ln 1sin 0x e x x +->成立.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数证明不等式.【方法点睛】本题主要考查的是函数最值问题，需要借助导数确定极值，然后与端点值对比确定出最值，第二问考查的是xxsin 常见形式的运用，需要熟记，属于难题，本题第一问属于基础题，较简单，但对第二问有很大的影响，第一问的结论第二问是需要用到，主要求出导数的零点进行讨论得到不等式恒成立，然后再对不等式进行合理变形即可求解，此题主要是对导数研究函数的单调性的应用，合理变形是解决此类问题的关键.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，,,,A B C D 是半径为1的O 上的点，1,BD DC O ==在点B 处的切线交AD 的延长线于点E .（1）求证:EBD CAD ∠=∠；（2）若AD 为O 的直径，求BE 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】试题分析：（1）利用弦切角定理和圆周角定理能证明EBD CAD ∠=∠；（2）连结OB ,则OB BE ⊥，由1OB OD BD ===，能求出BE.（2）若AD 为O 的直径（如图），连结OB ，则OB BE ⊥，由1OB OD BD ===，可得60BOE ∠=，在Rt OBE ∆中，因为tan BEBOE OB∠=，所以tan 603BE ==.考点：圆的综合性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=,以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线()06πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求AB .【答案】（1）()2227x y +-=，2cos ρθ=；（2）33-. 【解析】试题分析：（1）由1cos sin 22=+αα，能求出曲线1C 普通方程，由θρθρsin ,cos ==y x ，能求出曲线2C 的极坐标方程；（2）由（1）可求出B A ,的坐标，进而求出AB 的值.（2）依题意可设12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为曲线1C 的极坐标方程为24sin 30ρρθ--=,将()06πθρ=>代入曲线1C 的极坐标方程得2230ρρ--=,解得13ρ=.同理将()06πθρ=>曲线2C 的极坐标方程得2ρ=所以123AB ρρ=-=-考点：1.简单曲线的极坐标方程；2.参数方程化成普通方程. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数(),f x x a a R =-∈.（1）当1a =时，求()11f x x ≥++的解集;（2）若不等式()30f x x +≤的解集包含{}|1x x ≤-，求a 的取值范围. 【答案】（1）1|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭；（2）[]4,2-. 【解析】试题分析：（1）当1=a 时，不等式即111x x --+≥，利用绝对值的意义求得它的解集；（2）不等式（2）不等式()30f x x +≤的解集包含{}|1x x ≤-,等价于30x a x -+≤,对(],1x ∈-∞-恒成立，即3x a x -≤-对(],1x ∈-∞-恒成立，所以33x x a x ≤-≤-，即42x a x ≤≤-对(],1x ∈-∞-恒成立，故a的取值范围为[]4,2-. 考点：绝对值不等式的解法.：。

2016届福建省厦门一中高三上学期期中数学试卷（理科）【解析版】一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B∩∁U A=( ) A．{0，3} B．{3} C．{0，4} D．{0，3，4}2．在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”4．已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( ) A．B．C．D．5．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于( )A．B．C．D．8．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的大小关系是( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B10．函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6 C．4 D．211．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是( )A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∂m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=__________．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为__________．15．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，•=4，则△DBC面积的最大值为__________．16．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有__________（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．18．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．19．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．20．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a1（a n﹣1）；数列{b n}满足a nb n=log2a n，数列{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）求a n，T n．（Ⅱ）若∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．（1）求椭圆C的方程．（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．22．已知函数f（x）=，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=b=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（﹣6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n﹣m）＜．2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B∩∁U A=( ) A．{0，3} B．{3} C．{0，4} D．{0，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由已知中全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，根据补集的性质及运算方法，我们求出C U A再根据交集的运算方法，即可求出答案．【解答】解：∵全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，∴C U A={﹣1，0，3，4}又∵B={x∈N|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}∴B∩C U A={0，3}故选A．【点评】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键．2．在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出的坐标得答案．【解答】解：∵z==，∴，则z的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型．【分析】A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且否定；B中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；C中p且q为假命题时，则p或q为假命题，或P、Q都是假命题，即一假则假；D中非p是特称命题的否定．【解答】解：A、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，命题正确；B、当x＞1时，|x|＞1成立，当|x|＞1时，有x＞1或x＜﹣1，∴原命题正确；C、当p且q为假命题时，有p或q为假命题，或P、Q都是假命题，∴原命题错误；D、命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，命题正确．故选：C．【点评】本题考查了四种命题之间的关系，以及命题的否定，命题真假的判定等知识，是基础题．4．已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( )A．B．C．D．【考点】等比数列的性质；诱导公式的作用．【专题】计算题．【分析】由题意可得=a2a12，再由已知条件求得a2a12=，再利用诱导公式求出tan（a2a12）的值．【解答】解：∵数列﹛a n﹜为等比数列，∴=a2a12 ．再由可得a2a12=．∴tan（a2a12）=tan=tan=，故选A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，诱导公式的应用，属于中档题．5．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ABD中用AB表示出BC，BD，作差建立方程求得AB．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AB，在Rt△ABD中，BD=AB，又BD﹣BC=10，∴AB﹣AB=10，AB=5（+1）（m），故A点离地面的高AB为5（+1）m，故选D．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生的观察思考能力．6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．7．函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于( )A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由，可求得∠ABC=120°，再由函数最大值为，通过解三角形可求得周期，由此即可求得ω值．【解答】解：由，得||•||•cos（π﹣∠ABC）=，即||•（﹣cos∠ABC）=，由图知||=2||，所以cos∠ABC=﹣，即得∠ABC=120°，过B作BD⊥x轴于点D，则BD=，在△ABD中∠ABD=60°，BD=，易求得AD=3，所以周期T=3×4=12，所以ω==．故选B．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式及平面向量数量积的运算，解决本题的关键是由所给数量积求出∠ABC=120°．8．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的大小关系是( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B【考点】指数函数单调性的应用．【专题】计算题．【分析】利用特殊值验证，推出A，B的大小，然后利用反证法推出A=B不成立，得到结果．【解答】解：考查选项，不妨令b=1，a=0，则A=e﹣1，B=（e+1）．∵e＜3，⇒2e﹣2＜e+1⇒e﹣1＜（e+1）．即A＜B．排除A、B选项．若A=B，则e b﹣e a=（b﹣a）（e b+e a），整理得：（2﹣b+a）e b=（b﹣a+2）e a观察可得a=b，与a＜b矛盾，排除D．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大．考查学生灵活解题能力．10．函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6 C．4 D．2【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．【解答】解：由图象变化的法则可知：y=lnx的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y=ln|x﹣1|的图象，再把x轴上方的图象不动，下方的图象对折上去可得g（x）=ln|x﹣1||的图象又f（x）=﹣2cosπx的周期为T=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得：x A+x B=﹣2，x D+x C=2，x E+x F=6故所有交点的横坐标之和为6故选B【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．11．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是( )A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∂m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列【考点】命题的真假判断与应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用周期数列的定义，分别进行推理证明．【解答】解：对于选项A，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；对于选项B，＞1，所以；所以，所以，所以数列{a n}是周期为3的数列，所以选项B正确；对于选项C，当B可知当＞1时，数列{a n}是周期为3的周期数列，所以C正确．故错误的是D．故选D．【点评】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由cosα的值及α的范围，求出sinα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵α∈（π，），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==2，故答案为：2【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为：．【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于基础题．15．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，•=4，则△DBC面积的最大值为．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BAC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得A到BC的距离，即可求出△DBC面积的最大值．【解答】解：∵AB=2，AC=4，•=4，∴cos∠BAC=，∠BAC=60°，∴BC=，设A到BC的距离为h，则由等面积可得=，∴h=2，∴△DBC面积的最大值为•（2+6）=．故答案为：．【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，A到BC的距离是解题的关键，属中档题．16．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】求出导数，求出切线的斜率，求出切线方程，令x=0，y=0，n=0，得到方程，解得a，即可判断①；令=t（t），得到y n在t上递增，即可得到最小值，即可判断②；令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，求出导数，判断单调性，即可判断③；由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则有＜，则有＜=（﹣），再由裂项相消求和，即可判断④．【解答】解：对于①，由y2=2x+a，当x＞0时，y=，y′=，则k n=，切线方程为y﹣=（x﹣n），令x=0，则y=，令y=0，则x=n﹣（2n+a）=﹣n﹣a，即有x n=﹣n﹣a，y n=，由于|x0|=|y0|，则|a|=||，解得，a=1，则①正确；对于②，由于y n=，令=t（t），则y n==（t+）在t上递增，则有t=取得最小值，且为（）=，则②错误；对于③，当n∈N*时，k n=，令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，y′=cosu ﹣1，由于0＜u＜，则，即有y′＞0，y在0＜u上递增，即有y＞0，即有k n成立，则③正确；对于④，当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，k n=由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则a+b，则有＜，则有＜=（﹣），则S n=++…+＜[（）+（）+…+（）]=（﹣1）．则④正确．故答案为：①③④【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于中档题和易错题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得，故；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为∪．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．【点评】1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．18．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换，得到f（x）=2sin（2x+）+m+1，再由当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2，求出．由此能求出f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由函数y=f（x）伸缩变换、平移变换得到，由此能求出方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，∴f（x）====2sin（2x+）+m+1，∵x∈[0，]，∴，∴时，f（x）min=2×+m+1=2，解得m=2，∴．令2kπ﹣，得f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到f（x）=2sin（4x+）+3，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，∴，∵g（x）=4，∴，解得4x﹣=2k或4x﹣=2k，k∈Z，∴或x=，k∈Z．∵，∴x=或x=，故所有根之和为：=．【点评】本题考查三角函数的增区间的求法，考查三角方程所有根之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换、伸缩变换、平移变换的合理运用．19．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）取AB中点G，由题意可知四边形CDFG为平行四边形，可得CG∥DF．根据题意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，进而得到DF⊥平面ABE，即可证明面面垂直．（II）取AC中点M，连接BM、DM，所以BM⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，所以BM⊥平面ACDE，所以∠BDM为所求的线面角，再结合解三角形的有关知识求出线面角即可得到答案．【解答】解：（I）证明：取AB中点G，则四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．又△ABC为正三角形，G为AB中点∴CG⊥AB，∴CG⊥平面ABE，又CG∥DF，∴DF⊥平面ABE，又DF⊂平面DBE∴平面DBE⊥平面ABE．（II）解：取AC中点M，连接BM、DM，∵△ABC为正三角形，M为AC中点，∴BM⊥AC．又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ACDE∴平面ACDE⊥平面ABC，∴BM⊥平面ACDE．∴∠BDM为所求的线面角．又因为△ABC为正三角形且AB=2，所以BM=，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC，所以BD=，所以cos∠BDM=故直线BD和平面ACDE所成角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面面垂直的判定定理，并且也考查求直线与平面所成的角的有关知识，找出直线与平面所成的角是解题的难点和关键，属于难题．20．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a1（a n﹣1）；数列{b n}满足a nb n=log2a n，数列{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）求a n，T n．（Ⅱ）若∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用递推式及其等比数列的通项公式即可得出；利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出T n．（Ⅱ）由b n各项大于0，可得T n的最小值为T1=b1=，由题意可得t2+2λt+3＜，即2t2+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ2﹣40＞0，解得即可得到充要条件．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=a1（a1﹣1），∵a1≠0，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1），化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，∴a n=2n．又数列{b n}满足a n b n=log2a n，∴b n==．∴T n=+++…++，∴T n=++…++，∴T n=+++…+﹣=﹣=1﹣﹣，∴T n=2﹣；（Ⅱ）由于b n==＞0，即有T n的最小值为T1=b1=，∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，即有t2+2λt+3＜，即2t2+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ2﹣40＞0，解得λ＞或λ＜﹣．则使关于t的不等式有解的充要条件是λ＞或λ＜﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式有解的条件，考查错位相减法求和的方法，属于中档题．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．（1）求椭圆C的方程．（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1），由此可求出椭圆方程．（2）设直线在y轴上的截距为m，则直线，由直线l与椭圆C交于A、B两点，可导出m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K1，K2，K1+K2=0，然后结合题设条件和根与系数的关系知MA，MB与x轴始终围成等腰三角形，从而得到m 的取值范围．【解答】解：（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1）∴椭圆方程为，（2），设直线在y轴上的截距为m，则直线直线l与椭圆C交于A、B两点，∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K1，K2，∴K1+K2=0，∵==故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形．∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．22．已知函数f（x）=，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=b=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（﹣6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n﹣m）＜．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=b=﹣3时，先求出f（x），然后对函数进行求导，结合导数即可判断函数的单调性；（2）先求出当x＜6时h（x）的解析式，求出h′（x），由h′（x）=0有两个相距大于2的根，列出所满足的不等式组，求出a的取值范围；（3）写出g（x）的表达式，则x=2，x=n，x=m分别是g′（x）=0的三个根，得出m，n，a 的关系，从而证明不等式成立．【解答】（1）解：当x＞6时，，则，即f（x）在（6，+∞）单调递减；当x≤6时，由已知，有f（x）=（x3+3x2﹣3x﹣3）e﹣x，f'（x）=﹣x（x﹣3）（x+3）e﹣x，知f（x）在（﹣∞，﹣3），（0，3）上单调递增，在（﹣3，0），（3，6）上单调递减．综上，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（0，3）．（2）解：当x≤6时，h（x）=e﹣x（3x2+ax+1），h'（x）=e﹣x[﹣3x2﹣（a﹣6）x+a﹣1]，令φ（x）=3x2+（a﹣6）x+1﹣a，设其零点分别为x1，x2．由解得．（3）证明：当x≥﹣6时，g'（x）=e x[﹣x3+（6﹣a）x+（b﹣a）]，由g'（2）=0，得b=3a﹣4，从而g'（x）=﹣e x[x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）]，因为g'（m）=g'（n）=0，所以x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）=（x﹣2）（x﹣m）（x﹣n），将右边展开，与左边比较系数得m+n=﹣2，mn=a﹣2，因为n＞2，所以m＜﹣4，n﹣m＞6，又f（x）在[6，+∞）单调递减，则，因为ln6＜2，所以6ln6＜12，（6ln6）2＜144＜150=，即有，，从而．【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，由零点求参数的取值范围，利用单调性证明不等式成立，试题有一定的难度．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。

2016年福建高考理科数学试题及答案（满分150分，时间120分）第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B 2 （C 3（D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）98 （B ）99 （C ）100 （D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 （5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(–1,3) （C ）(–1,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）20π （B ）18π（C ）17π （D ）28π（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则 （A ）log log b a a c b c < （B ）c c ab ba <（C ）c ca b <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）4y x =（B ）3y x =（C ）2y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=2|DE|=5C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A) 33 (B )22 (C) 32 (D)13 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13) 设向量a=(m ，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=______. (14) 5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是__________.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为___________。