2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2010年全国初中数学竞赛试题参考答案、选择题(共 5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的 •请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0分)j- = 10 a+b1.若「C则匚的值为().1121110 210 (A )［一(B ) 11(C) 21(D) 1 .a+b a .-+ 1 20+l 210解: L-b+cl + £b1 + — 1011代数式变形，同除 b1 】-a^ab+ir + 2 = 02•若实数a , b 满足二，贝y a 的取值范围是().(A ) al _(B ) a ：4 ( C ) a < 一或 a >4 (D ) _w a <4解.Cb' -处 +—© + 2 = 0因为b 是实数，所以关于 b 的一元二次方程_A = (p)i -4x1x(—盘+ 2)2>0,解得 a w -2 或 a > 4.方程思想，判别式定理；要解一元二次不等式则AD 边的长为()解：D 如图，过点A , D 分别作AE DF 垂直于直线BC,垂足分别为E, F .的判别式 3.如图，在四边形ABC ［中, / B= 135,BC =L'■■: ,CO —f ',(D ),/ C = 120 °, AB=(A) - j'1■由已知可得BE=AE= J . , C =?述,DI 2J .,于是 EF = 4+ JI .过点A 作AGL DF 垂足为G 在Rt △ AD (中，根据勾股定理得AD 」一"「"】：A —匸:=_丨一,；勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法4.在一列数 ……中，已知冷二，且当k >2时,疋-1~4~因为 2010=4X 502+2,所以 尬(I =2. 高斯函数；找规律。

5•如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰梯形 ABC 啲顶点坐标分别为 A (1, 1), B( 2, —1), C (-2, - 1), D (- 1, 1). y 轴上一点 P ( 0, 2)绕点 A 旋转 180。

“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题一、选择题 1．若2010a b b c==，，则a b b c++的值为【 】 （A ）1121（B ）2111（C ）11021（D ）210112．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是【 】（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤43．如图，在四边形ABCD 中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB ＝BC ＝4-CD＝AD 边的长为【 】（A ） （B ）64 （C ）64+（D ）622+4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444kk k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于【 】(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是【 】（A）（2010，2）（B）（2010，2-）（D）（0，2）-）（C）（2012，2二、填空题6．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t ＝．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则A E A D= ．10．对于i=2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．三、解答题11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF. 求证： tan E F P A D B C∠=．12．如图，抛物线2y ax bx=+（a>0）与双曲线kyx=相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB 的点E的坐标.13．求满足22282p p m m++=-的所有素数p和正整数m.14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？参考答案1．解：D 由题设得12012101111110a ab bc b cb +++===+++．2、解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++=的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．3、解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE=AE=，CF＝DF ＝于是 EF ＝4过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD ==2+4、解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．5、解：B 由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）． 记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得：322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）． 6、 解：0由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0． 7、解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得 ()10a b S -=，①()152a c S -=，② ()x b c S -=． ③由①②，得30b c S -=（），所以，x=30． 故 3010515t =--=（分）． 8、解：11133y x =-+如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以， 过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分． 于是，直线M N 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，，解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+．9、解：215-见题图，设,FC m AF n ==．因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =⋅． 又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n n mm+-=，解得12n m=，或12n m=（舍去）．又Rt △A F E ∽Rt △C F B ，所以A E A E A F n A DB CF Cm====12-， 即A E A D=12．10、解：9 因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足[]012 3 n k += ，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 == ，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720== ，，，，，，，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．11、证明：如图，连接ED ，FD. 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ， 因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分）连接AE ，AF ，则AEF ABC AC B AFD ∠=∠=∠=∠， 所以，△ABC ∽△AEF. …………（10分） 作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH=PD. 由△ABC ∽△AEF 可得E F A H B CA P=，从而E F P D B CA P=，所以tan P D E F P A D A PB C∠==. …………（20分）12、解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=.设点B （t ，4t），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y m x n =+，则有44m n m t n t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，，解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫⎪⎝⎭，故 ()141132A O B t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=，解得2t =-，或t ＝21（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）．因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+（a >0）上，所以4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，， 解得13.a b =⎧⎨=⎩，…………（10分） （2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO ＝42. 又BO=22，所以2=BOCO .设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ， 则点D 的坐标为（3-，0）. 因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB=90︒.（i ）将△B O A 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B O A '.这时，点B '(2-，2)是CO 的中点，点1A 的坐标为（4，1-）.延长1O A 到点1E ，使得1O E =12O A ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△B O A 关于x 轴的对称图形△2B O A '，得到点2A （1，4-）；延长2O A 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点． 所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）.…………（20分）13、解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+， 所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>， 故23k <，从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩，…………（10分）（2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-， 故(1)3k k -<，从而1k =，或2. 由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，，这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p ＝5，正整数m ＝9.…………（20分）14、解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件.（5分）另一方面，设12n a a a <<< 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分） 设133i i a a d =+，i=1，2，3，…，n. 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， 所以1333a ，111a ，即1a ≥11.…………（15分）133n n a a d -=≤2010116133-<，故n d ≤60. 所以，n ≤61.综上所述，n 的最大值为61.…………（20分）。

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF PAD BC∠=．证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，可得…………（20分）12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.（第11题）解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝1（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． ⎧⎨⎩＝B '(2-，2)是CO 的延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .．解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+， 所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =. 所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，， 这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分）另一方面，设12n a a a <<< 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n . 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， …………（15分）故20分）。

二、已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内
切圆⊙I与BC边的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D．证明：PD是⊙I切线．
三、已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象经过两点P(1，a)，Q(2，10a)．
(1)如果a，b，c都是整数，且c＜b＜8a，求a，b，c的值．
(2)设二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C．如果关
于x的方程x2＋bx－c＝0的两个根都是整数，求△ABC的面积．
第二试(B)
一、设正整数a，b，c为三角形的三边长，满足a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝13，求符合条件且
周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次)．
二、同A卷第二题．
三、同A卷第三题．
第二试(C)
一、同B卷第一题．
二、同A卷第二题．
三、设p是大于2的质数，k为正整数．若函数y＝x2＋px＋(k＋1)p－4的图象与x轴的两个
交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．。

2010年全国初中数学联赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.【答】B.因为,,a b c 均为整数，所以a b -和a c -均为整数，从而由1010()()1a b a c -+-=可得 ||1,||0a b a c -=⎧⎨-=⎩或||0,|| 1.a b a c -=⎧⎨-=⎩ 若||1,||0,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a c =，从而|||a b b c c -+-=|||a b b a a a -+-+-=. 若||0,||1,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a b =，从而||||||a b b c c a -+-+-=||||||2||2a a a c c a a c -+-+-=-=.因此，||||||a b b c c a -+-+-=2.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.【答】C.32(3),||(2)55c b c =+=-，而||0b ≥，所以2c ≤. 当2c =时，可得9,0a b ==，满足已知等式.所以c 可能取的最大值为2.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ ）A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 【答】C. 由1110a b b a--++=可得b a b ab a +=++22，则 2()()()(1)ab a b a b a b a b =+-+=++-①由于b a ,是两个正数，所以,0>ab 0a b +>，所以10a b +->，从而.1>+b a 另一方面，由22()()44a b a b ab ab +=-+≥可得4)(2b a ab +≤，结合①式可得14a b a b +≥+-，所以.34≤+b a 因此，413a b <+≤.4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.【答】A.设m 是方程2310x x --=的一个根，则2310m m --=，所以231m m =+.由题意，m 也是方程420x ax bx c +++=的根，所以420m am bm c +++=，把231m m =+代入此式，得22(31)0m am bm c ++++=，整理得2(9)(6)10a m b m c +++++=. 从而可知：方程2310x x --=的两根也是方程2(9)(6)10a x b x c +++++=的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有22(9)(6)1(31)a x b x c k x x +++++=--（其中k 为常数），故961131a b c +++==--，所以333,10b a c a =--=--.因此，2(333)2(10)13a b c a a a +-=+-----=-.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.【答】 B.如图，延长AB 到F ，使BF =ED ，连CF ，EF ．∵ ︒=∠=∠60AED EAB ，∴︒=∠60EDA ，︒=∠=∠120CED EDB ，BF ED AE AD ===，DF BF DB DB ED CE =+=+=，于是，AF AC =，︒=∠=∠60AFC ACF ．又∵︒=∠120EDB ，CDE CDB ∠=∠2，∴ ︒=∠︒=∠80,40CDB CDE ,︒=∠-∠-︒=∠20180EDC CED ECD ．在△CDA 和△CBF 中，CA=CF ，︒=∠=∠60CFB CAD ，AD=BF ，∴ △CDA ≌△CBF ， ∴ ︒=∠=∠20ACD FCB ．于是，︒=∠-∠-︒=∠2060FCB CDE DCB ．6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则123a a a a ++++（ ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068.【答】D.把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变n a 的值）.1在千位上出现的次数为310，1在百位上出现的次数为2210⨯，1在十位和个位上出现的次数均为22101⨯+，因此，1出现的总次数为3210210321602+⨯⨯+=.2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为2210⨯，2在个位上出现的次数为22101⨯+，因此，2出现的总次数为21121031612+⨯⨯+=.类似的，可求得(3,4,5,6,7,8,9)k k =出现的总次数均为221031601⨯⨯+=.因此11a a ++＝28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .【答】 13.由3319x y +=得2()[()3]19x y x y xy ++-=，把1x y +=代入，可得6xy =-. 因此，,x y 是一元二次方程260t t --=的两个实数根，易求得这两个实数根分别为3和2-，所以22223(2)13x y +=+-=.2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ． 【答】 19． 由题意知，点C 的坐标为),0(c ，c OC =．设B A ,两点的坐标分别为)0,(1x ，)0,(2x ，则21,x x 是方程02=++c bx x 的两根． 由根与系数的关系得c x x b x x =-=+2121,．又︒=∠30CAO ，则c AC AB c AC 323,2===． 于是，c AC OA x 330cos 1=︒==，c AB OA OB x 332=+==． 由c c x x ==2219，得91=c ． 3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PAPC ＝5，则PB ＝______．【答】作P E ⊥AB ，交AB 于点E ，作P F ⊥BC ，交BC 于点F ，设,PE mPF n ==，分别在△PAE 、△PCF 中利用勾股定理，得22(5)5m n +-= ①22(5)25m n -+= ②②－①，得10()20n m -=，所以2m n =-，代入①中，得27120n n +-=，解得13n =，24n =. 当3n =时，21m n =-=，在Rt △PAE中，由勾股定理可得PB ==当4n =时，22m n =-=，此时PE AE >，所以点P 在△ABC 的外面，不符合题意，舍去.因此PB =4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.【答】 15.将这些球的位置按顺序标号为1，2，3，4，…….由于1号球与7号球中间夹有5个球，1号球与12号球中间夹有10个球，12号球与6号球中间夹有5个球，7号球与13号球中间夹有5个球，13号球与2号球中间夹有10个球，2号球与8号球中间夹有5个球，8号球与14号球中间夹有5个球，14号球与3号球中间夹有10个球，3号球与9号球中间夹有5个球，9号球与15号球中间夹有5个球，15号球与4号球中间夹有10个球，4号球与10号球中间夹有5个球，因此，编号为1，7，12，6, 13，2，8，14，3，9，15，4，10的球颜色相同，编号为5，11的球可以为另外的一种颜色.因此，可以按照要求摆放15个球.如果球的个数多于15个，则一方面，16号球与10号球应同色，另一方面，5号球与16号球中间夹有10个球，所以5号球与16号球同色，从而1到16号球的颜色都相同，进一步可以知道：所有的球的颜色都相同，与要求不符.因此，按这种要求摆放，最多可以摆放15个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.C于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ …………10分 （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. …………15分（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. ……………………20分二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N.因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP.又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ， …………10分所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.………………………………20分又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线. NCA又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线. ……………………………25分三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-错误！未找到引用源。

12010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若a ，b ，c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B【解析】 因为()()10101a b a c ---=，而左边的两个加数都是非负整数，所以一个等于0，另一个等于1，也就是说，a ，b ，c 三个数中有两个相等，另一个和它们相差1．因此，所求的和式中，两项等于1，另一项等于2，结果为2．2．若实数a ，b ，c 满足等式3||6a b =，49||6a b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】 为了使c 尽量大，a 应该尽量大，b 应该尽量小．因为它们都是非负数，3a ，0b =，不难观察到所求答案为2．3．若a ，b 是两个正数，且1110,a b b a--++= 则（ ）2A ．103a b <+≤B ．113a b <+≤C ．413a b <+≤D ．423a b <+≤. 【答案】 C【解析】 去分母之后得到()()110a a b b ab -+-+=，即220a ab b a b ++--=．给定a 和b 是两个正数，那么如果让它们中的一个等于0，则另一个等于0或14．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．13-B ．9-C ．6D ．0【答案】 A【解析】 这需要使得前者是后者的因式，用综合除法可得，余式为()()33310a b x a c +++++，它应该等于0．所以两个系数都为0，特别地，()()333210a b a c ++-++，所以所求答案为13-．5．在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠,则DCB ∠= ( )A ．15oB ．20oC ．25oD ．30o【答案】 B【解析】 观察可得ADE △为正三角形，6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则312320092010a a a a a +++++=L （ ）A ．28062B ．28065C ．28067D ．28068.【答案】 D【解析】 根据弃九法，它和1到2010的和被9除的余数相等．每连续9个自然数之和被9整除，2010被9除余3，1236++=，所以只有D 符合．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ⎧+=⎨+=⎩，，则22x y += ．【答案】 13【解析】 第一式除以第二式可得2219x xy y -+=，第二式平方可得2221x xy y ++=，那么所求答案就是()1921313⨯+÷=．2．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知3AB ，30CAO ∠=︒，则c = ．【答案】 19【解析】 观察可知A 必须在B 左边，否则B 会跑到x 轴负半轴上．设A 的横坐标为a ，则C 的纵坐标3，23AC =，2AB a =．因此，考虑两根之积，33a a ⨯，3a =319=． 3．在等腰直角ABC △中，5AB BC ==，P 是ABC △内一点，且5PA ，5PC =，则PB = ．4【答案】 10【解析】 设()00B ，，()50A ，，()05C ，，根据熟知的勾三股四弦五，可观察到()31P ，，（另一个点在三角形外，不符合），所以10PB =．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 个球．【答案】 15【解析】 也就是说，编号之差为6或11的两个球颜色相同．下面从1号球开始，依次写出颜色相同的球的编号：11261711516104159314821371→→→→→→→→→→→→→→→→→也就是说，如果有17个球，则全部同色；如果超过17个，则任何连续17个同色，也不行．如果有16个，则上面的圈去掉17号球仍然是一条链，仍然不行；如果有15个，则上面的圈去掉17号球和16号球后断成两部分，所以可以．第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数()a b c a b c ≥≥，，为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长5不超过30的三角形的个数．【解析】 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤， 所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.6⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）已知等腰三角形ABC △中，AB AC =，C ∠的平分线与AB 边交于点P ，M 为ABC △的内切圆I e 与BC 边的切点，作MD AC ∥，交I e 于点D ．证明：PD 是I e 的切线．【解析】 过点P 作I e 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N ．因为CP 为ACB ∠的平分线，所以ACP BCP ∠=∠．又因为PA 、PQ 均为I e 的切线，所以APC NPC ∠=∠．IP QNB7又CP 公共，所以ACP NCP △≌△，所以PAC PNC ∠=∠．由NM QN =，BA BC =，所以QNM BAC △≌△，故NMQ ACB ∠=∠，所以MQ AC ∥．又因为MD AC ∥，所以MD 和MQ 为同一条直线．又点Q 、D 均在I e 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是I e 的切线．三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点()1P a ，，()210Q a ，． ⑴ 如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值．⑵ 设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ．如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC △的面积．【解析】 点()1P a ，、()210Q a ，在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-．⑴ 由8c b a <<知8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，，解得13a <<．又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=．⑵ 设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤，旗开得胜8由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=．所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩，，或982985m n -=⎧⎨-=⎩，，或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩，，或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩，，解得12m n =⎧⎨=⎩，，或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或19323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =．因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+．易求得点A 、B 的坐标为()10，和()20，，点C 的坐标为()02，， 所以ABC △的面积为1(21)212⨯-⨯=．第二试 （B ）旗开得胜9一．（本题满分20分）设整数a ，b ，c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）．【解析】 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤，旗开得胜10所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）11一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数2(1)4y x px k p =+++-的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．【解析】 由题意知，方程2(1)40x px k p +++-=的两根1x ，2x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得12x x p +=-，12(1)4x x k p =+-，从而有()()()()12121222241x x x x x x k p ++=+++=- ①⑴ 若1k =，则方程为22(2)0x px p ++-=，它有两个整数根2-和2p -．⑵ 若1k >，则10k ->.因为12x x p +=-为整数，如果1x ，2x 中至少有一个为整数，则1x ，2x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知1|2p x +或2|2p x +．不妨设1|2p x +，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，12故()()12122k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+， 即1(1)4k m p m-++= ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p ++⨯=≥，10k m->， 从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<， 从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1k >时，方程2(1)40x px k p +++-=不可能有整数根．综上所述，1k =．旗开得胜13。

第1页（共4页）2010年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母1. 若x 为实数，则代数式|x|-x 的值一定是 A. 正数B. 非正数C. 非负数D. 负数2．已知(a+b)2=8，(a-b)2=12，则ab 的值为 A ．1B ．-1C ．4D ．-43．若bk ＜0，则直线y=kx+b 一定通过 A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第三、四象限D ．第一、四象限4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，和棋的概率为50%，那么乙不输的概率为 A ．20% B ．50%C ．70%D ．80%5．已知20102011-20102009=2010x×2009×2011，那么x 的值是A ．2008B ．2009C ．2010D ．20116. 一项工程，甲建筑队单独承包需要a 天完成，乙建筑队单独承包需要b 天完成. 现两队联合承包，那么完成这项工程需要A. b a +1天B.（b a 11+）天 C. b a ab+天 D. ab 1天第2页（共4页）7．在平面上，如果点A 和点B 到点C 的距离分别为3和4，那么A 、B 两点的距离d 应该是 A. d=1B. d=5C. d=7D. 1≤d ≤78．如图1，在直角梯形ABCD 中， AB ∥CD ，∠ABC=90°，动点P 从点B 出发，沿B →C →D 的线路匀速运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是 A ．3B ．4C ．5D ．69．如图3，C 是⊙O 外一点，CA 、CB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，P 是上一点，若∠C=x °，则∠APB 的度数是A ．x °B ．(90-2x)°C ．(90-x)°D ．(180-x)°10.如图4，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使 点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是A ．53B ．43C ．32D ．75二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11．已知点P 在直角坐标系中的坐标为(0,1)，O 为坐标原点，∠QPO=150°，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 ．12．点A ，B 是在数轴上不同的两个点，它们所对应的数分别是-4，5322-+x x ，且点A 、B 到原点的距离相等，则x 的值为 ．13．50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8B AOC图3Px ° m BAC 图4FED图2 yxO 25图1 ABC DP第3页（共4页）人，则既会讲英语又会讲日语的人数为 人．14．已知3122=+x x ，且x ＜0，则x x 1+的值是 ． 15．设c ＜b ＜0＜a ，a+b+c=1，a cb M +=，b ca N +=，c b a P +=，则M,N,P 之间 的关系是 ．16．如图5，已知矩形ABCD ，AB=2，BC=3，MB=MC ，则点D 到AM 的距离为 ．17．如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD=1，∠B:∠A=1:2，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，P 是直线MN 上的一点，则PC+PD 的最小值为 ．18．如图7，在平行四边形ABCD 中，P 为BC 上任一点，连结DP 并延长交AB 延长线于Q ，则BQ ABBP BC -= ．三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19．如图8，△ABC 是边长为1的等边三角形，P 是AB 边上的一个动点（P 与B 不重合），以线段CP 为边作等边△CPD （D 、A 在BC 的同侧），连结AD ． （1）判断四边形ABCD 的形状，并给予证明；（2）设BP=x ，△PAD 的面积为y ，求出y 关于x 的函数关系式，并求出△PAD 面积的最大值及取得最大值时x 的值．CBDA图8PCBDA图5M图6CBDA图7PQ第4页（共4页）20．某单位欲购买A 、B 两种电器．根据预算，共需资金15750元．购买一件A 种电器和两件B种电器共需资金2300元；购买两件A 种电器和一件B 种电器共需资金2050元． （1）购买一件A 种电器和一件B 种电器所需的资金分别是多少元？ （2）若该单位购买A 种电器不超过5件，则可购买B 种电器至少有多少件？（3）为节省开支，该单位只购买A 、B 两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元；自己出资金不超过4000元；其中政府对A 、B 两种电器补贴资金分别为每件100元和150元．请你通过计算求出有几种购买方案？2010年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷参考答案一、选择题1. 若x ≥0，则|x|-x=x-x=0；若x ＜0，则|x|-x=-x-x=-2x ＞0，故选C.2．由题意有a 2+2ab+b 2=8，a 2－2ab+b 2=12，两式相减得4ab=－4，得ab=－1，故选B ．3．由bk ＜0，知b ＞0，k ＜0或b ＜0，k ＞0，前者直线经过第一、二、四象限，后者直线经过第一、三、四象限，因而必经过第一、四象限，选D ．4．由已知条件知乙胜的概率为20%，又和棋概率为50%，故乙不输的概率为70%，选C ．5．由20102011-20102009=2010x×2009×2011，20102009（2010-1）(2010+1)= 2010x×2009×2011,则有20102009×2009×2011= 2010x×2009×2011,则有x=2009，选B ．6． 两队联合承包每天完成工程的b a 11+，完成这项工程需要的时间为1÷（b a 11+）=b a ab + 天.选C.7．根据题意可知符合条件的点A 和点B 分别在以点C 为圆心的两个同心圆上. 故选D. 8．由图象可知，直角梯形的高BC=2，上底CD=3，所以33221=⨯⨯=∆BCD S ，选A ．9．分别连结OA 、OB ，则OA ⊥CA ，OB ⊥CB ，即可求得，选B ．10．由已知条件知∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，∴∠BED=∠CDF ，设CD=1，CF=x ，则CA=CB=2，所以DF=FA=2-x ，在Rt △CDF 中，有x 2+1=(2-x)2，解第5页（共4页）得x=43，所以sin ∠BED=sin ∠CDF=53=DF CF ，选A ．二、填空题11．(1,1+3)或(-1,1+3)；在直角坐标系中,以P(0,1)为顶点,作出∠QPO=150°可求得．12．由45322=-+x x 解得511=x ． 13．英语、日语至少会一门的人数为50-8=42人，设既会英语又会日语的为x 人，则只会英语的为(36-x)人；只会日语的为(20-x)人，于是得(36-x)+x +(20-x)=42，解得x=14．14．由3122=+x x ，得5122=++x x ，所以5)1(2=+x x ，又x ＜0，所以51-=+x x ．15．由a+b+c=1可得a a cb 11=++，则M=11-=+a a c b ，同理11-=+=b b c a N ，P=11-=+c c b a ，由c ＜b ＜0＜a ，得b c a 111>>，111111->->-b c a，∴M ＞P ＞N ． 16．过D 作DG ⊥AM ，则有2×3=2221⨯⋅+⋅BMAB DG AM ，DG=2.4；17．3；当P 在对角线AC 与MN 的交点处时PC+PD 最小．18．1；∵ BQ AQ BP AD BP BC ==，∴ 1==-=-=-BQ BQBQ AB AQ BQ AB BQ AQ BQ AB BP BC ．三、解答题 19．（1）四边形ABCD 是梯形或菱形，证明如下：① 当点P 不与点A 重合时，∵ △ABC 与△CPD 都是等边三角形， ∴ ∠ACB=∠DCP=60°，∴ ∠1=∠2，又AC=BC ，DC=PC ，∴△ADC ≌△BPC ，∴∠DAC=∠B=∠BCA=60°，∴ AD ∥BC.又∠1=∠2＜60°，∴ ∠DCB ＜120°，即 ∠B +∠DCB ＜180°，∴ DC 与AB 不平行， ∴ 四边形ABCD 是梯形．② 当点P 与点A 重合时，PC 与AC 重合，此时AB=BC=CA=AD=DC ，四边形ABCD 是菱形，综上所述，四边形ABCD 是梯形或菱形．C BD A P1 2M第6页（共4页）（2）由（1）知∠BAD=120°，AD=BP=x ，过P 作DA 延长线的垂线PM ，M 为垂足，则∠PAM=60°，∠APM=30°，又BP=x ，AB =1，∴ AP=1-x ，∴ AM=)1(21x -，PM=)1(23x -∴163)21(43)(43)1(23212122+--=--=-⋅=⋅=x x x x x PM AD y (0＜x ＜1). 当21=x 时，y 取最大值为163，即当21=x 时△PAD 面积取得最大面积为163． 20．（1）设购买一件A 种电器和一件B 种电器所需的资金分别为a 元和b 元．依题意得： ⎩⎨⎧=+=+2050223002b a b a 解之得⎩⎨⎧==850600b a （答略） （2）设该单位购买A 、B 两种电器分别为m 件和n 件．则600m+850n=15750 ,153151217+-=n m .∵ A 种电器不超过5件,∴ 153151217+-n ≤5. ∴ n ≥15，即可购买B 种电器至少有15件． （3）设购买A 种电器x 件，则购买B 种电器为(6-x)件，依题意得：⎩⎨⎧≥-+≤-+700)6(1501004000)6(700500x x x x , 解之得1≤x ≤4 .∵ x 取整数，∴ x=1,2,3,4. 即共有4种购买方案．。

2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分） （1）计算2222010200920102009201122009--⨯+⨯的值为（ ）． （A ）1 （B ）1- （C ）2 009 （D ）2 010【解】选A ．原式22222222010200920102009120102009(20112)20102009--===---．[例11] (2005-4)设22211148()34441004A =⨯++---，则与A 最接近的正整数是( )．(A)18 (B)20 (C)24 (D)25[解答]当n ≥3时，有()()211111422422n n n n n ⎛⎫==- ⎪--+-+⎝⎭,所以22211148()34441004A =⨯++---111111481452698102⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112123499100101102⎛⎫=⨯+++---- ⎪⎝⎭1111251299100101102⎛⎫=-⨯+++ ⎪⎝⎭,因为11111111411212129910010110299999999992⎛⎫⎛⎫⨯+++<⨯+++=⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以与A 最接近的正整数是25，选D.[点评]数列求和问题是一类基本问题，裂项相消法则是其中一个基本方法，要特别注意裂项后哪些项没有抵消.当然，只有符合一定的特点的式子（数列）才能裂项，常见的裂项有：()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=.（3）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，6AB BC CD ++=, BE =，则梯形ABCD 的面积等于（ ）．（A ）13 （B ）8ABCD E 第（3）题（C ）132（D ）4 【解】选D ．如图，过点E 作//EF AB 交BC 于点F ，则12BF BC =,11()(6)22EF AB CD BC =+=-,又∵BC AB ⊥,∴EF BC ⊥∴在Rt △BFE 中，222EF BF BE +=．∴22211[(6)]()22BC BC -+=，即2680BC BC -+=，解得 2BC =或4BC =，则2EF =或1EF =, ∴ 4ABCD S EF BC =⋅=梯形． （4）某个一次函数的图象与直线132y x =+平行，与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，并且过点（2-，4-），则在线段AB 上（包括点A ，B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）．（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 【解】选B ．根据题意，设一次函数的解析式为12y x b =+，由点（2-，4-）在该函数图象上，得14(2)2b -=⨯-+，解得3b =-．所以，132y x =-．可得点A （6，0），B （0，3-）． 由06x ≤≤，且x 为整数，取0,2,4,6x =时，对应的y 是整数． 因此，在线段AB 上（包括点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有4个．（5）如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a（a ≥）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）．（A ）2π3r（B2（C）2π)r （D ）2πr 【解】选C ．如图，当圆形纸片运动到与A ∠的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心1O 作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连1AO ，则Rt △1ADO 中，130O AD ∠=︒，1O D r =，AD =．∴12112ADO S O D AD ∆=⋅=．有1122ADO ADO E S S ∆=四形形．∵由题意，1120DO E ∠=，得12π3O DE S r =扇形，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为22π3)3r -2π)r =第（5）题ABC D EFCNCABDM第（8）题二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．【解】710． 根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率710P =．（7）如图，是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数【解】21个．观察图形规律，可得，从第3行起，每行中的实心圆的个数都是上两行实心圆个数的和．于是，第7行实心圆的个数为3+5=8（个）； 第8行实心圆的个数为5+8=13（个）； 第9行实心圆的个数为8+13=21（个）． （8）如图，在△ABC 中，中线CM 与高线 CD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 （度）.【解】30︒.根据题意，可得CD AB ⊥，AM MB =，ACD MCD BCM ∠=∠=∠. ∵ACD MCD ∠=∠，CD CD =，90CDA CDM ∠=∠=︒,点数之积 3 7 8 96 2 14 16 183 78921 24 27 56 78963 8 972 第（6）题1行 2行 3行 4行 5行 6行……第（7）题∴△ACD ≅△MCD ∠. ∴12AD DM AM ==. 过点M 作MN BC ⊥于点N ,∵DCM NCM ∠=∠,CM CM =,90CDM CNM ∠=∠=︒, ∴△DCM ≅△NCM ∠. ∴DM NM =.于是12NM MB =，∴在Rt △MNB 中，30B ∠=︒.（9）有n 个连续的自然数1，2，3，…，n ，若去掉其中的一个数x 后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n 和x 的值分别是 .（参考公式：2)1(321+=++++=n n n S n ） 【解】30n =，1x =；31n =，16x =；32n =，32x =.由已知，n 个连续的自然数的和为(1)2n n n S +=.若x n =，剩下的数的平均数是12n S n nn -=-； 若1x =，剩下的数的平均数是 1112n S nn -=+-，故16122n n+≤≤，解得 3032n ≤≤. 当30n =时，30(301)29162x ⨯+⨯=-，解得1x =； 当31n =时，31(311)30162x ⨯+⨯=-，解得16x =； 当32n =时，32(321)31162x ⨯+⨯=-，解得32x =. （10）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲.小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付 元．【解】20．方法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为x 元，y 元，z 元， 根据已知条件，列出方程组3714,41016.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去z ，得23x y =-． ③ 将③代入①，得82z y =+．④由③，④得 10x y z ++=．有 2()20x y z ++=． 所以，小莹应付20元． 方法二：(37)(410)2()m x y z n x y z x y z +++++=++，(34)(710)()222m n x m n y m n z x y z +++++=++．①②∴342,7102,2.m n m n m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得4,6.n m =-⎧⎨=⎩∴2()6(37)4(410)61441620x y z x y z x y z ++=⨯++-++=⨯-⨯=． 三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分） （11）（本小题满分20分）已知，抛物线2y ax bx c =++（0≠a ）经过A 、B图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息，（Ⅰ）确定a ，b ，c 的符号； （Ⅱ）当b 变化时，求a b c ++的取值范围．【解】（Ⅰ）如图，由抛物线开口向上，得0a >．……3由抛物线过点(0,1)-，得10c =-<． ……6分 由抛物线对称轴在y 轴的右侧，得02ba->，又 0a >，得0b <． ∴0a >，0b <，0c <． ……………………………………10分 （Ⅱ）由抛物线过点(1,0)-，得0a b c -+=．即1a b =+，由0a >，得1b >-． ……………………………………16分 ∴10b -<<，∴(1)12a b c b b b ++=++-=．∴20a b c -<++<． ……………………………………20分 （12）（本小题满分20分）设直角三角形的两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ．若,,a b c 均为整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数．【解】由勾股定理，得222c a b =+． ……………………………………3分又1()3c ab a b =-+，得2222112[()]()()()393c ab a b ab ab a b a b =-+=-+++．即2222212()()293a b ab ab a b a ab b +=-++++．整理，得6()180ab a b -++=．即(6)(6)18a b --=． ………………………8分 因为,a b 均为正整数，不妨设a b <， 可得61,618,a b -=⎧⎨-=⎩或62,69,a b -=⎧⎨-=⎩或63,6 6.a b -=⎧⎨-=⎩可解出7,24,25,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8,15,17,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或9,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，满足条件的直角三角形有3个． ……………………………………20分 （13）（本小题满分20分）AC如图，在△ABC 中，45ABC ∠=，点D 在边BC 上，60ADC ∠=，且12BD CD =．将△ACD 以直线AD 为轴做轴对称变换，得到△AC D '，连接BC '，（Ⅰ）求证BC BC '⊥； （Ⅱ）求C ∠的大小．（Ⅰ）【证明】∵△AC D '是△ACD 沿AD 做轴对称变换得到的，∴△AC D '≌△ACD .有C D CD '=，ADCADC '∠=∠．………………3分∵12BD CD =，60ADC ∠=，∴12BD C D '=，18060BDC ADC ADC ''∠=-∠-∠=．……5分取C D '中点P ，连接BP ，则△BDP 为等边三角形，△BC P '为等腰三角形，…8分有113022BC D BPD BDC ''∠=∠=∠=︒．∴90C BD '∠=，即BC BC '⊥． ……10分（Ⅱ）【解】如图，过点A 分别作,,BC C D BC ''的垂线，垂足分别为,,E F G ．∵ADC ADC '∠=∠，即点A 在C DC '∠的平分线上， ∴AE AF =．……13分 ∵90C BD '∠=，45ABC ∠=， ∴45GBA C BC ABC '∠=∠-∠=，即点A 在GBC ∠的平分线上，∴AG AE =．……16分 于是，AG AF =，则点A 在GC D '∠的平分线上．…………………………18分 又∵30BC D '∠=︒,有150GC D '∠=． ∴12AC D '∠=75GC D '∠=．∴C ∠75AC D '=∠=．………………………20分 （14）（本小题满分20分）（Ⅰ）如图（a ），在正方形ABCD 内，已知两个动圆1O 与2O 互相外切，且1O 与边AB 、AD 相切，2O 与边BC 、CD 相切．若正方形ABCD 的边长为1，1O 与2O 的半径分别为1r ，2r ．①求1r 与2r 的关系式；②求1O 与2O 面积之和的最小值．（Ⅱ）如图（b ），若将（Ⅰ）中的正方形ABCD 改为一个ABCDC 'PA 图（a ）BDC 'FGAC宽为1，长为32的矩形，其他条件不变，则1O 与2O 面积的 和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 这个最小值．【解】（Ⅰ）如图（a ），在正方形ABCD 中，连接AC ，显然1O 与2O 在AC 上，且1AO =，1212O O r r =+，22CO =，由1122AC AO O O CO =++=，122r r +++=∴122r r += ………………………5分②根据题意，1r 12≤，2r 12≤，可得21122r r =-≤，即321r 12≤．∵1O 与2O 的面积之和2212π()S r r =+，∴2211(2)πSr r =+21122(26r r =-+-2122(32r =-+-32-2212≤，…………8分∴当1r =时，1O 与2O是等圆，其面积和的最小值为(3π-． ……………………………………10分（Ⅱ）如图（b ），作辅助线，得到Rt △12O O P ， 则1212O O r r =+，1121232O P AB r r r r =--=--， 212121O P BC r r r r =--=--．∵在Rt △12O O P 中，2221212O O O P O P =+，∴2221212123()()(1)2r r r r r r +=--+--．即2121213()5()04r r r r +-++=．解得1252r r +=+1252r r +=图（a ）B图（b ）由于1235122r r +<+=，故1252r r +=∴1252r r +=……………………………………15分 ∵1O 与2O 的面积之和2212π()S r r =+，而2221212()2r r r r ++≥，当且仅当12r r =时，等号成立，∴当12r r =时，1O 与2O 面积和存在最小值，最小值为25(2π2-，即37(π8-． ……………………………………20分。