平方差及完全平方公式的趣味题目 Microsoft Word 97 - 2003 文档

完全平方公式和平方差公式的题在咱们的数学学习中，完全平方公式和平方差公式那可真是相当重要的两把“利器”！要是能把这俩公式玩得溜溜转，好多数学题都能轻松拿下。

就拿我曾经教过的一个学生小明来说吧。

小明这孩子平常挺机灵，可一遇到完全平方公式和平方差公式的题，就像霜打的茄子——蔫了。

有一次课堂测验，我出了一道这样的题：(2x + 3y)²等于多少？小明瞅着这题，抓耳挠腮半天，最后交上来的答案居然是4x²+ 9y²。

我一看，这明显是没掌握好完全平方公式啊！课后我把小明叫到办公室，耐心地给他讲解。

我拿着笔在纸上一边写一边说：“小明啊，你看，完全平方公式 (a + b)² = a² + 2ab + b²，那这道题里 a 就是 2x ，b 就是 3y ，所以应该是 (2x)² + 2×2x×3y + (3y)²，算出来就是 4x² + 12xy + 9y²，懂了吗？”小明似懂非懂地点点头。

为了让他真正掌握，我又给他出了几道类似的题目让他练习。

比如(3m - 4n)²、(5a + 2b)²等等。

小明一开始做得磕磕绊绊，但在我的指导下，逐渐找到了感觉，做得越来越顺。

咱们再来说说平方差公式。

平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²，这个公式在解题时也非常好用。

有一次作业里有这样一道题：(101×99) ，这要是直接算，那可太麻烦了。

但如果用平方差公式，那就简单多啦。

把 101 看成 100 + 1 ，99看成 100 - 1 ，那这道题就可以变成 (100 + 1)(100 - 1) ，根据平方差公式，就是 100² - 1²，等于 10000 - 1 = 9999 。

像这样的例子在数学题里数不胜数。

比如说计算 (4 + 0.1)(4 - 0.1) ，用平方差公式就能很快得出 4² - 0.1² = 16 - 0.01 = 15.99 。

平方差公式专项练习题有关配方问题（一）对于a2+2ab+b2=(a+b)2、a2-2ab+b2=(a-b)2的配方问题是，对于a2，2ab，b2这三项，认准特点，式子中缺哪项就补哪项，但要保证式子相等。

具体操作：先确定第一项，再确定第三项，最后确定中间项，并且要检验中间项与原式中的中间项相等。

（二）练习: 1.若x2+mx+9是完全平方式，则m=_____.2. 若x2+12x+m2是完全平方式，则m=_____.3. 若x2-mx+9=(x+3)2，则m=_____.4. 若4x2-mx+9是完全平方式，则m=_____.5.若4x2+12x+m2是完全平方式，则m=_____.6.若(mx)2+12x+9是完全平方式，则m=_____.7.若mx2+12x+9是完全平方式，则m=_____.8.已知x2-2(m+1)xy+16y2是一个完全平方式，那么m的值是_____.9.(1)化简(a-b)2+(b-c)2+(a-c).(2)利用上题的结论，且a-b=10，b-c=5，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值.(3)已知a=2x-12,b=2x-10,c=2x+4,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值(4)已知a，b，c是三角形的三边且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，判断三角形的形状.10.已知x2-2x+y2+6y+10=0,求x=_____，y=_____，x+y=_____.11. 已知x2-4x+y2+6y+13=0,求x=_____，y=_____，xy=_____.12.试说明N=x2-4x+y2+6y+15永远为正值.平方差公式专项练习题一、基础题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a）D．（a2－b）（b2+a）3．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－5二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题9．利用平方差公式计算：2023×2113．10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．二、提高题1．计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n +1）+1（n 是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）利用平方差公式计算：22007200820061⨯+．3．解方程：x （x+2）+（2x+1）（2x －1）=5（x 2+3）．三、实际应用题4．广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？四、经典中考题5．下列运算正确的是（）A．a3+a3=3a6B．（－a）3·（－a）5=－a8C．（－2a2b）·4a=－24a6b3D．（－13a－4b）（13a－4b）=16b2－19a26．计算：（a+1）（a－1）=______．拓展题型1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______．②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字4．3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有:ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ab b a b a 4)(22=--+）（ bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

乘法公式的复习一、复习 :(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2 =a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a 2 -ab+b2)=a 3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a 3－b3概括小结公式的变式，正确灵巧运用公式：①地点变化， x y y x x2y2②符号变化， x y x y x 2 y2 x 2 y2③指数变化， x2 y2x2 y2x4y4④系数变化， 2a b2a b4a2b2⑤换式变化， xy z m xy z mxy 2z m2x2y2z m z mx 2y2z22zm zm mx 2y2z222zm m⑥增项变化， x y z x y zx y 2z2x y x y z2x2xy xy y2 z2x22xy y2 z2⑦连用公式变化， x y x y x2 y2x2 y2 x2 y2x4 y4⑧逆用公式变化，x y z 2x y z 2x y z x y z x y z x y z2x2y 2z4xy 4xz例 1．已知a b 2 ， ab1，求a2b2的值。

解：∵ (a b)2a22ab b2∴ a 2b2=(a b) 22ab ∵ a b 2 ， ab 1∴ a 2b2=22 2 1 2例 2．已知a b 8 ， ab 2 ，求(a b)2的值。

解：∵ (a b) 2 a 22ab b 2(a b)2a22ab b 2∴∵(a b) 2(a b) 24ab∴ (a b) 24ab =(a b) 2 a b 8， ab 2∴ ( a b) 282 4 2 56例 3：计算 19992-2000 ×1998〖分析〗本题中 2000=1999+1，1998=1999-1，正好切合平方差公式。

解： 19992 -2000 ×1998 =1999 2- （1999+1）×（ 1999-1 ）=19992- （19992-1 2）=19992-1999 2+1 =1例 4：已知 a+b=2，ab=1，求 a2+b2和(a-b) 2的值。

公式变形一、基础题1．（－2x+y）（－2x－y）=______．2．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．3．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．4．两个正方形边长之和为5, 边长之差为2, 那么用较大正方形面积减去较小正方形面积, 差是_____．5．利用平方差公式计算: 2023×2113．×－2．6．计算: （a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）;（3+1）（32+1）（34+1）…（3+1）－401632．22007200720082006-⨯．22007200820061⨯+．7．解方程: x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．8（规律探究题）已知x≠1, 计算（1+x）（1－x）=1－x2, （1－x）（1+x+x2）=1－x3, （1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想: （1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）依据你猜想计算:①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）经过以上规律请你进行下面探索:①（a－b）（a+b）=_______．②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．完全平方法常见变形有:abbaba2)(222-+=+abbaba2)(222+-=+abbaba4)(22=--+）（bcacabcbacba222)(2222---++=++1、已知m2+n2-6m+10n+34=0, 求m+n值2、已知0136422=+-++yxyx, yx、都是有理数, 求y x值。

.选择题:1.下列四个多项式: a2完全平方和平方差公式习题b2, a2 b2, a2 b2, a 2b中，能用平方差公式分解因式的式子有(A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. (3x 2y)(3x 2y)是下列哪个多项式分解因式的结果(2 2A. 9x 4y2 2 2B. 9x 4yC. 9x4y2 D. 9x24y23.下列各式中，能运用完全平方公式分解因式的是(A. a2b2 2 2B. a 2ab 4bC. abD. a22ab A224.如果Xk是一个完全平方公式，则k的值为(1A.——36B.1 1 1- C. - D.-9 6 3 25.如果9a2kab 25b是一个完全平方式，则k的值6 .7 .9 . A.只能是30 B.只能是30 C.是30或30把(X26)26(X2A. (X 3)(x 3)2a 16因式分解为(A. (a4a2A. (a9(xD. 是15或156)B.9分解因式为(C.(X 3)2(X3)2D. (X 3)28)(a 8) B.(a 4)(a 4) C. (a 2)(a 2) D. (a 4)24a 1因式分解为2)2 B. (2a 2)2 C. (2a 1)2 D. (a 2)2\ 2 .〜2 2 ,y) 12(x y )4(Xy)2因式分解为(A. (5x y)2B. (5x y)2C. (3x 2y)(3x 2y)D. (5x 2y)22 210.把a2(b c)22ab(a c)(bc) b2(a c)2分解因式为(A. c(a b)2 2 2B. c (a b)C. c(a b)2 2 2D. c (a b)二.填空题:1.把X212x 36因式分解为2.把1 6ab 3 9a 2b 6因式分解为6.把25a 2b 4c 161因式分解为把(x y)22(x 2 y 2) (x y)2分解因式为 把169y 225x 2130xy 因式分解为 把(a b)2 8(a 2 b 2)16(a b)2 分解为4410.把(a b) 81b 因式分解为三.解答题：1.把下列各式因式分解:3 2 23(3) 2x y 4x y 2xy(4) 16a 472a 2b 2 81b 4(5) 2acd c 2a ad 22.因式分解 4a 2b 2(a 2 b 2 c 2)22 3.把 4 m2n 因式分解为 24.把 144a256b 2因式分解为165.把 16x4 4y z 因式分解为(1) a 5b 16a 4b 3 64a 3b 542(2) a 2a 13. 把(a 2匚2) 4因式分解a4.因式分解(m n)6(m n)65.2 2把(x 2x) 2x( x 2) 1分解因式6.分解因式(X 1)(x 2)(x 3)( x 6) x 27.因式分解(1 x 2)(1 y 2) 4xy7. 9.【试题答案】1.(X 6) 22. (1 3ab 3)23. (2m n)(2m n)4. 16(3a 4b)(3a 4b)5. (2x 4yz)(2x 4yz)(4x 8y 2z 2)6. (5ab 2c 81)(5ab 2c81)7. 4y 228. (5x 13y)9. (5b 3a)210. (a 2b)(a 24b)(a22ab 10b )1.解：(1) a 5b 16a 4b 364a 3b 5a 3b(a 216ab 264b 4)a 3b(aC. 2、28b )(2) a42222a 1 (a 1)[(a1)(a1)]2(a1)2(a1)2(3) 2x 3y 4x 2y 22xy 32xy(x 22xy 2y ) 2xy(xy)2(4) 16a 472a 2b 281b 4 (4a 2 9b 2)2(2a 3b)2(2a3b)2 (5) 2acdc 2a ad 2a(2cd c 2d 2)a(c 2 2cdd 2)a(c d)24a 2l b 2 (a 2 b 2 c 2)22(2ab a 22 2b 2c 2)(2ab2a b 2 c 2)[(a b) c][(a b) c][c (a b)][c (a b)]][(a b)2c 2][c 2 » 2 (a b)](a bc)(a b c)(a b c)(c a b)(a 21 2 )24 (21 (a 22)(a 2- 1^,12 2) (a )2(a 丄)2aaaa a(m n)6 (mn)6 [(m n)3]2 [(I m n)3]2[(m n)'3(m 3 n) ][(m n)3 (mn)3](x 22x )2 2x( :x 2) 1 x 2(x 2) 222x(x 2)[x 2(x 2) 1](x 22x :1)2 [(x 1) ]2 '(x 1)4(x1)(x2)(x 3)(x 6)x 2[(x 1)(x 6)][( x2)(x3)] x 2(x 27x 6)(x 25x 6) x 2[(x 26) 7x][(x 26) 5x] x 22.解:3.解:4.解:5.解:6.解: 1. B2. D3. C4. B5. C6. C7. B8. C9. A 10. D(x26)2 12x(x2 6) 35x2x2 (x2 6)2 12x(x 2 6) 36x2 (x2 6 6x)27. 解：(12)(1 y2 ) 4xy 1 x2x2y24xy(x2y 22xy 1) (x2y 2 2xy)22(xy 1) (x y)(xy 1 x y)(xy 1 x y)。

平方差完全平方公式计算题好嘞，以下是为您生成的关于平方差完全平方公式计算题的文章：在咱们数学的学习旅程中，平方差和完全平方公式那可是非常重要的“小伙伴”，它们就像神奇的魔法钥匙，能帮咱们轻松打开很多数学难题的大门。

我还记得有一次，我在教室里给学生们讲解平方差公式和完全平方公式的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

那天阳光透过窗户洒在课桌上，同学们都显得有些懒洋洋的。

当我在黑板上写下平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²和完全平方公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²，然后开始举例讲解时，不少同学的眼神都开始变得迷茫。

我就问大家：“是不是觉得有点晕乎啦？”这时候，平时特别调皮的小王举起手说：“老师，这感觉就像一堆乱麻，理不清呀！”我笑了笑，决定换个方式。

我拿出了一个边长为 10 厘米的正方形卡纸，对同学们说：“假设这是一块边长为 a 的正方形土地，现在要在它的一边减少 3 厘米，另一边增加 3 厘米，变成一个长方形，那这个长方形的面积怎么算呢？”同学们开始七嘴八舌地讨论起来。

小李同学很快就说：“原来正方形的面积是 a²，也就是 100 平方厘米，现在长方形的长是 13 厘米，宽是 7 厘米，面积就是 91 平方厘米。

”我接着问：“那用平方差公式能解释这个变化吗？”聪明的小张马上回答：“可以呀，原来的正方形边长是 a ，也就是 10 厘米，变化后的长方形就可以表示为 (a + 3)(a - 3) ，用平方差公式一算，就是 a² - 9 ，也就是 100 - 9 = 91 平方厘米。

”同学们顿时恍然大悟，眼睛里都闪着兴奋的光。

接下来咱们就好好练练这些公式的计算题。

比如说这道：(3x +2y)(3x - 2y) ，这就是典型的平方差公式的应用呀，咱们把 3x 看成 a ，2y 看成 b ，那式子就变成了 (a + b)(a - b) ，根据平方差公式，结果就是 (3x)² - (2y)² = 9x² - 4y²。

乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

平方差公式专项练习题A卷：根底题一、选择题1．平方差公式〔a+b〕〔a－b〕=a2－b2中字母a，b表示〔〕A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．以下多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是〔〕A．〔a+b〕〔b+a〕 B．〔－a+b〕〔a－b〕C．〔13a+b〕〔b－13a〕 D．〔a2－b〕〔b2+a〕3．以下计算中，错误的有〔〕①〔3a+4〕〔3a－4〕=9a2－4；②〔2a2－b〕〔2a2+b〕=4a2－b2；③〔3－*〕〔*+3〕=*2－9；④〔－*+y〕·〔*+y〕=－〔*－y〕〔*+y〕=－*2－y2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．假设*2－y2=30，且*－y=－5，则*+y的值是〔〕A．5 B．6 C．－6 D．－5二、填空题5．〔－2*+y〕〔－2*－y〕=______．6．〔－3*2+2y2〕〔______〕=9*4－4y4．7．〔a+b－1〕〔a－b+1〕=〔_____〕2－〔_____〕2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，则用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题9．利用平方差公式计算：2023×2113．10．计算：〔a+2〕〔a2+4〕〔a4+16〕〔a－2〕．B卷：提高题一、七彩题1．〔多题－思路题〕计算：〔1〕〔2+1〕〔22+1〕〔24+1〕…〔22n+1〕+1〔n是正整数〕；〔2〕〔3+1〕〔32+1〕〔34+1〕…〔32008+1〕－401632．2．〔一题多变题〕利用平方差公式计算：2009×2007－20082．〔1〕一变：利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．〔2〕二变：利用平方差公式计算：22007 200820061⨯+．二、知识穿插题3．〔科穿插题〕解方程：*〔*+2〕+〔2*+1〕〔2*－1〕=5〔*2+3〕．三、实际应用题4．广场有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？四、经典中考题5．〔2007，，3分〕以下运算正确的选项是〔〕A．a3+a3=3a6 B．〔－a〕3·〔－a〕5=－a8C．〔－2a2b〕·4a=－24a6b3 D．〔－13a－4b〕〔13a－4b〕=16b2－19a26．〔2008，，3分〕计算：〔a+1〕〔a－1〕=______．C卷：课标新型题1．〔规律探究题〕*≠1，计算〔1+*〕〔1－*〕=1－*2，〔1－*〕〔1+*+*2〕=1－*3，〔1－*〕〔•1+*+*2+*3〕=1－*4．〔1〕观察以上各式并猜测：〔1－*〕〔1+*+*2+…+*n〕=______．〔n为正整数〕〔2〕根据你的猜测计算：①〔1－2〕〔1+2+22+23+24+25〕=______．②2+22+23+…+2n=______〔n为正整数〕．③〔*－1〕〔*99+*98+*97+…+*2+*+1〕=_______．〔3〕通过以上规律请你进展下面的探索：①〔a－b〕〔a+b〕=_______．②〔a－b〕〔a2+ab+b2〕=______．③〔a－b〕〔a3+a2b+ab2+b3〕=______．2．〔结论开放题〕请写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字4．3.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个一样的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影局部的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有:1、m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。