吃透教材会转化 合理分类求概率——例析几何概型的求解方法
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几何概型的解析方法和类型例解 及蒲丰投针试验、贝特朗奇论的解析几何 概型是高中数学新课程的新增加内容之一.部分师生在几何概型知识的理解上存在一些偏差,在有关内容的教学中有说理不清或解法错误的现象。
本文依据几何概型理论知识和课例,谈谈几何概型问题的解析方法和基本事件为线段、圆、球射线等非质点问题的转化,以及蒲丰投针试验、贝特朗奇论的解析。
1 问题引入题 1 如图所示,A 、B 两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ,问A 与C ,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少?在第99页里和网上一些教师课件中有上述习题及如下答案。
解::记E :“A 与C ,B 与D 之间的距离都不小于10米”,把AB 三等分,由于中间长度为130103⨯=米,所以101()303P E ==。
笔者认为:上述解答错误。
错误主要原因几何概型问题的解析方法不正确。
题2 欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自 钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm 的圆,中间有边长为1cm 的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油(油滴不出铜钱面),油滴的直径是0.2cm 的球,则油滴整体落入孔中的概率是 。
关于此题的教学中,部分学生和教师出现分析无方,说理不清等现象,那么几何概型应怎样分析解决呢?题3 苏教版必修3提到的“贝特朗奇论”:在半径为1的圆内任作一条弦,求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。
贝特朗奇论的经典解法有如下三种。
解法一:如图1弦被其中点位置唯一确定。
只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内,其长才合乎要求。
中点位置都是等可能的,则所求概率为41。
解法二:如图2由于对称性,可预先指定弦的方向。
作垂直于此方向的直径,只有交直径于41点与43 点间的弦,其长才大于内接正三角形边长。
所有交点是等可能的,则所求概率为21 。
专题67 几何概型的方法破析考纲要求:(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.基础知识回顾:一、几何概型1.定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.2.特点:(1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)等可能性:试验结果在每一个区域内均匀分布.二、几何概型的概率公式:P(A)=构成事件A的区域长度角度试验全部结果所构成的区域长度角度应用举例:类型一、与长度角度有关的几何概型例1、甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①,“C为弧AB的中点”),任意转动转盘一次,指针指向圆弧AC时甲胜,指向圆弧BC时乙胜.后来转盘损坏如图②,甲提议连接AD,取AD中点E,若任意转动转盘一次,指针指向线段AE时甲胜,指向线段ED时乙胜.然后继续游戏,你觉得此时游戏还公平吗?答案:________,因为P甲________P乙(填“<”,“>”或“=”).【答案】不公平例2【2018届福建省闽侯第四中学高三上期中】已知,是上的两个随机数,则到点的距离大于其到直线x=-1的距离的概率为()A. B. C. D.【答案】A例3【2018届广西桂林市第十八中学高三上第三次月考】若在上任取实数,则的概率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵,∴,∴的概率为故选:A.点评:求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度).然后求解,要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度、角度).类型二、与体积有关的几何概型例4、在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机抽取一点,则该点在三棱锥A1-ABC内的概率是________.【答案】【解析】由题意可知,为几何概型的体积比,不妨设正方体的棱长为1,所以概率.填.例5、一个球形容器的半径为,里面装满纯净水,因不小心混入了1个感冒病毒,从中任取水含有感冒病毒的概率为()A. B. C. D.【答案】C例6【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】在球内任取一点,则点在球的内接正四面体中的概率是()A. B. C. D.【答案】C类型三、与面积有关的几何概型对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一.归纳起来常见的命题角度有:(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题.例7【2017届黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高三第三次模拟】如图,四边形为正方形,为线段的中点,四边形与四边形也为正方形,连接,,则向多边形中投掷一点,该点落在阴影部分内的概率为()A. B. C. D.【答案】A(2)与线性规划知识交汇命题的问题.例8【2017届黑龙江省齐齐哈尔市高三上第一次模拟】已知点满足则其满足“”的槪率为()A. B. C. D.【答案】B(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题. 例9、已知P 是△ABC 所在平面内一点,PB→+PC→+2PA→=0.现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.23D.12解析:由题意知点P 位于BC 边的中线的中点处.记黄豆落在△PBC 内为事件D ,则P (D )=ABC P 三角形三角形S S BC =12.(4)与定积分交汇命题问题.例10【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设是由轴,直线 和曲线围成的曲边三角形区域,集合 ,若向区域上随机投一点,点落在区域内的概率为,则实数的值是( )A.B. C. D.【答案】D【解析】根据题意,区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1=1,区域A即曲边三角形的面积为,若向区域Ω上随机投一点P,点P落在区域A内的概率是,则有,解可得,,故选D.点评:求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式,在图形中画出事件A发生的区域,通用公式:P(A)=构成事件A的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.方法、规律归纳:1、与长度角度有关的几何概型的公式:P(A)=构成事件A的区域长度角度试验全部结果所构成的区域长度角度2、与体积有关的几何概型的公式:P(A)=构成事件A的区域体积试验全部结果所构成的区域体积.实战演练:1.【2018届衡水11月联考】如图所示是油罐车的轴截面图形,在此图形中任取一点,则此点取自中间矩形部分的概率为()A. B. C. D.【答案】A2.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】在区间上随机取一个的值,执行如下的程序框图,则输出的概率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】解:由条件知,当0≤x≤6,2x﹣1≥3,解得2≤x≤6;当6<x≤8时,,无解,∴输出的y≥3的概率为.3.【2018届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作,书中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内投豆子,则落在其内切圆内的概率是()A. B. C. D.【答案】B4.【2017届云南省红河州高三毕业生复习统一检测】在区间上任取两个实数,则函数在区间没有零点的概率为()A. B. C. D.【答案】D5.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是()A. B. C. D.【答案】A6.【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底】《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是:有一水池一丈见方,池中生有一颗类似芦苇的植物,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深,该植物有多长?其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】设水深为尺,则,解得,即水深12尺.又葭长13尺,则所求概率,故选B.7.点是区域内的任意一点,则使函数在区间上是增函数的概率为()A. B. C. D.【答案】C8.【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】设是圆上任意一点,定点,则的概率是__________.【答案】【解析】由得 ,因此的概率是9.【2018届江苏省南通中学高三10月月考】记函数定义域为,在区间上随机取一个数,则的概率是_______.【答案】【解析】函数有意义,则:,求解对数不等式可得:,结合几何概型计算公式可得所求的概率值为:.10.【2018届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上学期第二次月考】记抛物线与圆所围成的封闭图形为区域则从圆中随机选取一点恰好的概率为______________.【答案】11.【2017届广西省高三上诊断性联考】若从上任取一个实数作正方形的边长,则该正方形的面积大于4的概率为__________.【答案】【解析】由已知可得所求的概率为 .12.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实,图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实,黄实,利用勾股(股勾)朱实黄实弦实,化简,得,设勾股中勾股比为,若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为__________.【答案】134。
几何概型的解法归纳摘要:我们知道如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果,其中每个等可能的基本结果可以用平面(或直线、空间)中的点来表示,而所有的基本结果对应于一个区域Ω,这时与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.事实上从某种意义上来说几何概型是古典概型的补充和推广.本文中将几何概型的问题分为两大类来解决.关键词:几何概型 ,概率,蒲丰投针引言 :几何概率定义:设Ω是某一有界区域,(可以是一维空间的,也可以是二维、三维空间的)向Ω中随机投掷一点M ,如果点M 落在Ω中任一点是等可能的(或说是均匀分布的),则说这个试验是几何概型.对于几个可行试验,事件A=“点M 落在区域Ω⊂A 中”的概率,定义为()的测度的测度Ω=A A P这里的测度指长度 、面积 、体积等 .1 一般问题 1.1 直接解题法这类问题中,样本空间具有明显的几何意义,样本点所在的区域题中已经直接给出.这类问题结构比较简单,易于求解.下面举例说明.例 1 设一个质点落在xoy 平面上由x 轴,y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形内,而且落在这个三角形内每一点处的可能性都相等.求此质点落在直线31=x 的左边的概率.解 由题意得出图(1),可知影阴部分即为题中所要求的样本点A ,大三角形即为样本空间Ω.211121=⨯⨯=Ωs185********=⨯⨯-=A s根据概率的几何定义,可得所求概率为:5518192P ssA Ω=== . 例2 随即地向半圆220x ax y -<<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的的夹角小于4π的概率.解 以Ω表示半圆202y ax x <<- 由题可知:点()y x ,应落在图(2)所示的影阴部分(记为区域A )由于在极坐标下,图形A 的面积:2c o s40a s d rdr πθθA =⎰⎰=22cos 4012a d r πθθ⎛⎫⎪⎝⎭⎰ =22402cos a d πθθ⎰=()2401cos 2ad πθθ+⎰=4222sin 214πθπa a +=2214a ⎪⎭⎫⎝⎛+π221a s π=Ω应用几何概率公式得到所求的概率:2211142122a s P s a πππA Ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+ .1.2 间接解题法这一类几何概率问题中,样本空间所对应的几何区域题中没有直接指明,需要对问题作深入的分析,才能把样本空间归结为几何空间的某个区域.这一类结构比较复杂,解答富有技巧性,下面举例说明.例3 把长度为10的木棒任意分为三段,求这三段可以构成一个三角形的率. 解 设其中两段的长度分别为x 与y 则第三段的长度为y x --10,显然有图(1)11/31xyAπ/4a 图(2)oyx⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<10100100100y x y x也就是 ⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<100100100y x y x把()y x ,看作平面上的直角坐标中的点,则区域Ω可以用图(3)中的大三角形表示出来.为了使分成的三段能构成三角形,必须满足 角形任意两边之和大于第三边所以有:()()⎪⎩⎪⎨⎧>--+>--+-->+x y x y y y x x yx y x 101010 也就是 ⎪⎩⎪⎨⎧>+<<<<55050y x y x , 于是区域A 可以用图(3)中的影阴部分表示,因此,所求概率为155121410102P S SA Ω⨯⨯===⨯⨯ .例 4 从区间()1,0内任意取两个数,求这两个数的积小于41的概率.解 以y x ,表示从()1,0内任意取的两个数,那么x 和y 的变化范围为:10<<x ,10<<y ,即样本空间是边长为1的正方形Ω,两数的积小于41的充要条件为:41<xy ,10<<x ,10<<y ,即当样本点()y x ,落在由双曲线41=xy 及四条直线:0=x ,1=x ,0=y ,1=y 所围成的区域A (如图(4))内时,两数的积小于41,因为区域Ω的面积大小为1,而区域A 的面积大小为:1141111l n 24424dx x s A =+=+⎰ . 于是,所求的概率为:11ln 21124ln 2124P s sA Ω+===+ . 例5 在线段AB 上任取三点1x ,2x ,3x 求1Ax ,2Ax ,3Ax 能构成三角概率.解 设线段AB 的长为1则101<<x ,102<<x ,103<<x 把()321,,x x x 看作空间一点的坐标系,则区域Ω可以用图(5)中的正方体表示出来.要使1Ax 2Ax 3Ax 能构成三角形,当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+132231321xx x x x x x x x ,即六面体ODEBA 为所要求的样本点A ,所以所要求的概率为:111313212A P ννΩ-⨯⨯===.2 典型问题 2.1 会面问题例6 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面并约定先到者应等另一人一刻钟,过时即可离去.求两人会面的概率.解 以x 和y 分别表示甲 乙两人到达约会地点的时间 则两人能够会面的充要条件是:15x y -≤ ,在平面上建立直角坐标系,则()y x ,的所有可能结果是边长为60的正方形,而可能会面的时间由图(6)中的影阴部分所表示,因此所求概率为:222604576016P ssA Ω-=== .例7 甲、乙两艘轮船使向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.如果甲船的停泊时间是1小时,乙船是2小时求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率.图(3)101055y xy-x=15x-y=15图(6)606015150yx1/41/4图(4)yA11x图(5)OHFEDC BA111X3X2X1解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别是x 及y ,则x 及y 均可能取区间[]0,24内的任意一值,即024x ≤≤ ,024y ≤≤而要求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出,也就是要求两船不可能会面,那么1y x -≥,或必须甲比乙早到1h 以上,或乙比甲早到2h 以上,即要2x y -≥ 在平面上建立直角坐标系如图(7),则(),x y 的所以可能结果是边长为24的正方形,而两艘船不可能会面的时间由图(7)中影阴部分表示,则所求概率为:()()22211241242220.89724P -+-==. 2.2 蒲丰投针问题蒲丰投针问题是一个著名的几何概型问题,它是法国科学家蒲丰在1777年提出的,在蒲丰投针问题中,投掷物针可以看作是一条线段,而针的落点是一组平行线构成的平面.蒲丰应用几何概型的一般方法,利用等可能性,巧妙地解了这个问题.例8 平面上画有等距离的平行线,每两条平行线之间的距离为l ,向平面任意投掷一枚长为()a a l <的针,试求针与平行线相交的概率.的距离,ϕ表解 设x 表示针落下后针的中点M 到最近的一条平行线πϕ≤≤0而示针与平行线所成的角(如图(8)a ),则:02l x ≤≤ ,针与一直线相交的充要条件是:sin 2ax ϕ≤. 我们把x 和ϕ表示为平面上一点的直角坐标,则所有基本事件可以用边长为π及2l的矩形内的点表示出来,而“针与直线相交”这一事件所包含的基本事件可以用上图(8)b 中影阴部分内的点表示出来,因而所求概率为:0sin 222ad a P l l ssπϕϕππA Ω===⨯⎰. 例9 把针替换成三角形的蒲丰问题.平面上画有等距离的平行线,每二条平行线之间的距离为l ,向平面任意投掷一个三角形,该三角形的边长分别为c b a ,,(均小于)l ,求三角形与平行线相交的概率.分析 三角形与平行线相交,只可能有三种情况:第一种情况是三角形的一个顶点与平行线相合(如图9(1));第二种情况是三角形的一条边与平行线相合(如图9(2));第三种情况是三角形的两条边与平行线相交(如图9(3)).由于三角形的三个顶点及三条边所占有的区域的面积为零,在几何概率中,其概率也为零.所以上面叙述中第一种情况和第二种情况可以省略,仅考虑第三种情况即可,因此,三角形与平行线相交的概率可转化为三角形中有两条边与平行线相交时的概率.而假设当三角形的a 边与平行线相交时,必须导致b 边或c 边与平行线相交,这两个事件是两两互斥的,且这两个事件的和事件恰好是边长为a 的边与平行线相交这个事件,a 与平行线相交的概率符合蒲丰投针问题.解 分别用 321,,A A A 表示三角形的一个顶点与平行线相合,一条边与平行线相合,两条边与平行线相交,显然0)()(21==A P A P ,所求概率为)(3A P .分别用 bc ac ab c b a A A A A A A ,,,,,表示边c b a ,,,二边 bc ac ab ,,与平行线相交,则 )()()()(3bc ac ab A P A P A P A P ++= 显然 )()()(ac ab a A P A P A P += )()()(bc ab b A P A P A P +=)()()(bc ac c A P A P A P +=所以 [])()()(21)(3c b a A P A P A P A P ++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=l c l b l a πππ22221 lcb a π++=.2.3 贝特朗奇论问题x-y=2y-x=1212424yx图(7)图9(3)图9(2)图9(1)ϕπx=(a/2)sin ϕL/2图(8)bxLaϕx图(8)a几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用,十九世纪时,不少人相信,只要找到适当的等可能性描述,就可以给概率问题以唯一的解答,后来人们对这种观点提出异议,并且具出许多反例. 例10 在单位圆上任作一弦,求弦长大于3的概率.分析 在这个几何概率问题中,对于术语“随机地”的含义解释不同,这个问题存在多种不同的答案.下面为其中的种.解法一 如图10(1),不妨设弦的一端点A 已取定,问题化为在圆上任取另一端点B ,故样本空间 为整个圆周, 因为单位圆的内接正三角形AMN 的边长恰为3,故弦长AB 大于3,当且仅当端点B 落在弧MN上,由于弧MN 的长为圆周长的31,故所求概率P =31.解法二 如图10(2),不妨直考虑与直径MN 垂直的弦,当且仅当弦心距小于21,即所作弦的中心在EF 上时弦长大于3,因此所求概率P =21.于3的充要解法三 如图10(3),弦由其中点位置确定,而弦长大条件是,弦的中点落在半径为21的同心圆内,故所求概率为:P =41 .认真分析上述解题过程可知究其原因,主要是在取弦时采用了不同的P =31 ;理解为等可能性假设,理解为在圆周上任取两点连成一弦,则所求在固定直线上任取一点作弦与此直径垂直的弦则P =21 ;理解为在圆内任取一点作弦的中点而作弦,则P = 41.这三种答案是针对不同的随机试验,对于各自的随机试验而言,它们都是正确的.结论从某种意义上说,几何概型是古典概型的补充和推广.几何概型在概率问题中占有重要的地位.几何概型在本文中被分为两大类来,一是一般性的问题,另一类是典型的问题.通过归纳我们发现几何概型的解题的一般步骤为:首先选择一定的观察角度(必要时可以辅之图形);再把基本事件转化为与之对应的区域,并把随机事件A 转化为与之对应的区域;最后利用概率公式计算.FEOM N BA图10(2)图10(3)OBAO图10(1)NBA。
几何概型课题1:题型讲解几何概型中事件A 的概率计算公式:积等)的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积等)的区域长度(面积或体构成事件)(A A P =.其次要学会构造随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 1.几何概型的两个特征: (1)试验结果有无限多; (2)每个结果的出现是等可能的.事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域,事件A 的概率只与区域A 的度量(长度、面积或体积)成正比,而与A 的位置和形状无关. 2..解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 3.用几何概型解简单试验问题的方法(1)适当选择观察角度,把问题转化为几何概型求解. (2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D. (3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算. 4.均匀随机数在一定范围内随机产生的数,其中每一个数产生的机会是一样的,通过模拟一些试验,可以代替我们进行大量的重复试验,从而求得几何概型的概率.一般地.利用计算机或计算器的rand ()函数可以产生0~1之间的均匀随机数.a ~b 之间的均匀随机数的产生:利用计算机或计算器产生0~1之间的均匀随机数x= rand( ),然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ,b]上的均匀随机数,试验的结果是产生a ~b 之间的任何一个实数,每一个实数都是等可能的. 5.均匀随机数的应用(1)用随机模拟法估计几何概率; (2)用随机模拟法计算不规则图形的面积. 6.几何概型与古典概型的比较:一方面,古典概型具有有限性,即试验结果是可数的;而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关,即试验结果具有无限性,另一方面,二者的试验结果都具有等可能性。
一.与长度有关的几何概型【例】已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min ,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18【解析】设乘客到达站台立即乘上车为事件A ,试验的所有结果构成的区域长度为10 min ,而构成事件A 的区域长度为1 min ,故P (A )=110.答案:A【例】如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少?【解析】记 E :“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”,把AB 三等分,由于中间长度为30×31=10米,∴313010)(==E P .方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.【例】在半径为R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,求任意画的弦的长度不小于R 的概率。
几何概型的类型及解法教案几何概型是几何学中的一种问题类型,通常通过已知条件来确定未知几何量的值。
根据问题的类型,几何概型可以分为以下几类:相似三角形、直角三角形、圆、多边形和平面几何等。
下面将对几何概型的类型和解法进行详细介绍。
一、相似三角形概型相似三角形概型是几何概型中最常见的一类。
相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的概型通常包括已知条件,例如角度和边长,通过这些已知条件求解未知条件。
解决相似三角形概型的方法主要有以下几种:1.根据已知条件的比例关系求解:根据相似三角形的性质,可以得到两个相似三角形的任意两边之比等于另一个两边之比。
通过已知条件的比例关系,可以求解未知条件。
2.利用相似三角形的角度关系求解:通过已知条件的角度关系,可以确定一个相似三角形中的角度,进而求解未知条件。
二、直角三角形概型直角三角形概型是另一类常见的几何概型。
直角三角形是一个角度为90度的三角形,其中直角就是一个90度的角。
解决直角三角形概型的方法主要有以下几种:1.利用勾股定理求解:勾股定理是解决直角三角形问题的重要定理,根据勾股定理可得:直角三角形斜边的长度的平方等于两个直角边长度的平方和。
通过已知条件的边长关系,可以求解未知条件。
2.利用特殊三角函数求解:在直角三角形中,正弦、余弦和正切是常用的三角函数。
通过已知条件的三角函数关系,可以求解未知条件。
三、圆概型圆概型是几何概型中的一类,主要涉及与圆有关的问题。
解决圆概型的方法主要有以下几种:1.利用圆的面积和周长的计算公式求解:根据圆的半径或直径,可以计算圆的面积和周长。
2.利用与圆有关的角度关系求解:在圆上的角可分为弧度角和圆心角。
通过已知条件的角度关系,可以求解未知条件。
四、多边形概型多边形概型主要涉及与多边形有关的问题。
解决多边形概型的方法主要有以下几种:1.利用多边形的内角和定理求解:对于n边形,其内角和等于180度乘以n-2、通过已知条件的内角和关系,可以求解未知条件。
几何概型的概率及其求解策略安徽省宿州市第二中学 柏长胜一、定义:(08年北师大版P155)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ,若点M 落在子区域1G G ⊆的概率与1G 的面积成正比,而与G 的形状、位置无关,即则称这种模型为几何槪型。
几何槪型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率是体积之比或长度之比。
二、几何概型的特点是:(1) 无限性:在每次试验中,可能的出现的结果有无穷多个,即基本事件有无限多个;(2) 等可能性:在每次试验中,每个结果出现的可能性相等,即基本事件的发生是等可能的.三、几何概率的基本性质(1)0≤P(A)≤1;(2)P(G)=1;P(φ)=0;(3)有限可加性:设A 1,A 2,…A n ,是n 个两两互斥的事件,则有P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n );(4)互补性:P(A)=1-P(A ).用几何概型概率公式计算概率问题时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几何图形进行相应的几何度量。
对于一些简单的几何概型问题,可以快捷地找到解决办法。
四、例题详解例1、公交车每隔10分钟来一辆。
假定乘客在接连两辆车之间的任何时刻随机地到达车站,试求乘客候车时间不超过3分钟的概率。
解:从前一辆开出起计算时间,乘客到达车站的时刻t 可以是[0,5)中的任何一点,即G ={t ︱0≤t<10},由假定,乘客到达时刻t 均匀地分布在G 内,故问题归结为几何槪型,设A 表示“乘客候车不超过3分钟”事件,则1G ={t ︱0≤t ≤3}P(A)= 1()3()10m G m G = (其中m(G)是样本空间的度量,m(1G ) 是构成事件A 的子区域的度量 )11()G P M G G =的面积点落在内的面积例2、(会面问题)甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面.先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t <T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.解:从0点开始计时,设两人到达的时刻分别为x ,y ,则G ={(x ,y )︱0≤x ≤T ,0≤y ≤T }假定两人到达时刻是随机的,则问题归结为几何槪型,设A 表示“两人能会面”事件,则1G ={(x ,y )︱0≤x ≤T ,0≤y ≤T ,︱x-y ︱≤t } (图中的阴影部分), 则点评:例1和例2题目的意思简单明了,但如何转化为数学模型来求解却比较困难,需要我们先从实际问题中分析得到几何槪型,并适当地引入变量例1引入一个变量,例2引入两个变量。
几何概率的计算方法——高中数学必修3第三章3.3几何概型教学探讨汝阳县第一高中——孟臣杰 从某中意义上说,几何概率是古典概率的补充和推广,在现代概率的发展中,曾经起过积极的作用。
深入考察几何概率问题,对进一步理解概率的基本性质,具有十分重要的意义。
本文主要讨论几何概率的计算方法,探索解题思路,总结解题技巧。
解答几何概率问题,一般包含相互联系的四个步骤: 1. 判明问题的性质判明问题的性质是解题的第一步,就是先弄清所解的问题,是不是几何概率问题。
如果问题所及的试验,具有以下两个特征:(1).试验的样本空间包含无穷多个元素,每个样本点由几何空间(一维、二维、三维,甚至n 维)中的某一区域G 的点的随机位置来确定;(2)各个样本点的发生是等可能的,也就是区域G 的点的任何位置是等可能的,那么,我们就可以判断它是一个几何概率问题。
2.明确参数的含义任何一个几何概率问题,它的样本点都可以归结为具有某种等可能的几何元素。
为了叙述方便,通常把相应的几何元素叫做等可能值的参数,弄清具有某种等可能性的随机点是什么。
也就是要正确理解“等可能”、“随机”、“均匀分布”等词在题中的实际意义,正确揭示他们的本质,以使问题的解答有一个可靠的基础。
3.确定区域的测度明确了等可能值的参数以后,我们就可以根据题设条件,借助于适当的几何模型,把事件A 所处的样本空间和有利场合,分别与几何空间中的区域G 和G A 对应起来。
从而,利用初等几何或微积分知识,确定G 和G A 测度,即计算他们的长度、面积或体积等。
4.明确事件的概率确定了区域G 和G A 的测度后,就可以直接利用公式推求事件A 的概率。
几何概率的计算公式和古典概率相仿,结构比较简单,如果用L(G)和L(G A )分别表示区域G 和G A 的测度,那么事件A 的概率是()()()A L G P A L G上述四个步骤是一个完整的统一体。
容易看出,明确等可能值的参数,是解题的基础,确定区域的测度,是解题的关键。
庖丁巧解牛知识·巧学一、几何概型的概念对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等。
用这种方法处理随机试验,称为几何概型.深化升华 只有每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例时,这样的概率模型才为几何概率模型.二、几何概型的特征几何概型具有如下两个特征:(1)进行一次试验相当于向一个几何体G 中取一点.(2)对G 内任意子集,事件“点取自g"的概率与g 的测度(长度、面积或体积)成正比,而与g 在G 中的位置、形状无关。
如果试验中的随机事件A 可用G 中的一个区域g 表示(组成事件A 的所有可能结果与g 中的所有点一一对应),那么事件A 的概率规定为:P(A )=的测度的测度G g . 例如,正方形内有一个内切圆,向正方形内随机地撒一粒芝麻的试验就是几何概型,记事件“芝麻落在圆内"为A ,则P(A )=4π=正方形的面积圆的面积. 联想发散 对于几何概型,随机事件A 的概率P(A)与表示它的区域g 的测度(长度、面积或体积)成正比,而与区域g 的位置和形状无关;只要表示两个事件的区域有相同的测度(长度、面积或体积),不管它们的位置和形状如何,这两个事件的概率一定相等.三、几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个。
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
(3)几何概型同古典概型一样也是一种等可能概型。
辨析比较 几何概型与古典概型的区别:几何概型的基本事件总数有无限多个,古典概型的基本事件总数有有限个。
四、几何概型的计算公式几何概型中,事件A 的概率的计算公式如下:P(A )=的测度的区域试验的全部结果所构成的测度的区域构成事件D d A . 公式中的“测度”的意义依D 确定,当D 分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.因为区域中每一点被取到的机会都一样(等可能性),某个事件发生的概率才与构成该事件区域的“测度"成比例.误区警示 当试验的全部结果所构成的区域面积一定时,事件A 的概率只与构成事件A 的区域面积有关,而与A 的位置和形状无关.五、利用几何概型求概率需注意哪些方面(1)几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型;如与速度、温度变化有关的物理问题,与长度、面积、体积有关的实际生产、生活问题.(2)几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目;(3)公式为P(A)=),(),(体积面积长度试验结果所构成的区域体积面积的区域长度构成事件A ;(4)计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的长度(角度、面积、体积).典题·热题知识点 几何概型概率计算例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现30 min 长的磁带上,从开始30 s 处起,有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息。
几何概型的类型及解法几何概型是一种特殊的概率模型,下面结合例题介绍它的类型及其解题方法。
一、与长度有关的几何概型若一次试验中所有可能结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个长度,如线段长、时间区间、距离、路程等,那么需要求出各自相应的长度,然后运用几何概型的计算公式即可求出事件A 发生的概率。
例1某人睡觉醒来,发现钟表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率。
分析假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的。
因为电台每隔1小时报时一次,他在哪个时间段打开收音机的概率只与这时间段的长度有关,因此,需要求出各自相应的时间“长度”,然后用几何概型公式求解。
解设事件A ={等待时间不超过10分钟},我们关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]之间,它的区间长度为10;电台每隔1小时报时一次,它的区间长度为60,由几何概型的计算公式得()P A =605060-=16。
即“他等待的时间不多于10分钟的概率”为16。
评注解决此类问题的关键是确定他在哪个时间段打开收音机的概率只与这时间段的长度有关,把它转化为与“长度”有关的几何概型。
二、与角有关的几何概型若一次试验中所有可能结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个角,那么需要求出各自相应的角度,然后运用几何概型的计算公式即可求出事件A 发生的概率。
例如图1所示,在直角坐标系内,射线OT 落在60的终边上,任作一条射线OA ,求射线OA 落在xOT ∠内的概率。
分析过O 作射线OA 是随机的,射线OA 落在任何位置都是等可能的,落在xOT ∠内的概率只与xOT ∠的大小有关,符合几何概型的条件。
解设事件A ={射线OA 落在xOT ∠内},事件A 的“几何度量”是60,而坐标平面的“几何度量”为360,所以由几何概率公式,得()P A =60360=16。
评注解此题的关键是找到事件A ={射线OA 落在xOT ∠内}的“几何度量”是60,以及坐标平面的“几何度量”为360。