2018年高考数学数列压轴专项练习集（一）
1.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，其中{}n a 的公差不为0．设n S 是数列{}n a 的前n 项和．若521,,a a a 是数列{}n b 的前3项，且4S =16．
（1）求数列{}n
a 和{}n
b 的通项公式；
（2）若数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+-t a S n n 14为等差数列，求实数t ；
（3）构造数列,...,,...,,,,...,,,,,,,,,21321321211k
k b b b a b b b a b b a b a 若该数列前n 项和
1821=n T ，求n 的值．
2.已知数列{}n a 满足1,121=-=a a ，且)(2
)1(2*2N n a a n n
n ∈-+=+．
（1）求6
5a a +的值；
（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，求n S ； （3）设
n
n n a a b 212+=-，是否存正整数i ，j ，k （i ＜j ＜k ），使得b i ，b j ，b k 成等差数
列？若存在，求出所有满足条件的i ，j ，k ；若不存在，请说明理由．
3.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知121a a ==,(2)n n n b nS n a =++,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,*n N ∈. (1) 求d 的值;
(2) 求数列{}n a 的通项公式;
(3) 求证:21
12122()()(1)(2)
n n n a a a S S S n n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<++.
4.设数列{}n a 的首项1()a a a =∈R ，且
13,34,3n n n n n a a a a a +->⎧=⎨
-+⎩≤时，1m =，2，3，L ． (1)若01a <<，求2a ，3a ，4a ，5a ． (2)若04n a <<，证明：104n a +<<．
(3)若02a <≤，求所有的正整数k ，使得对于任意*n ∈N ，均有n k n a a +=成立．
5.已知数列{a n }
的前n 项和为S n ，a 1=0，a 1+a 2+a 3+…+a n +n=a n+1，n∈N *
． （Ⅰ）求证：数列{a n +1}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{b n }的前n 项和为T n ，b 1=1，点（T n+1，T n ）在直线上，若不等式
n
n n a m a b a b a b 229
1112211+-≥++•••++++对于n∈N *
恒成立，求实数m 的
最大值．
6.设不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧∈≤≥≤)(04*N x nx y y x 所表示的平面区域为D n ，记D n 内整点的个数为a n （横纵坐
标均为整数的点称为整点）．
（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D 2，再求a 2的值； （2）求数列{a n }的通项公式；
（3）记数列{a n }的前n 项的和为S n ，试证明：对任意n∈N *恒有
+
+…+
＜
成立．
7.在数列{}n a 中，12
3
a =-
，()*121,n n n S a n n N S +=->∈． （Ⅰ）求123,,S S S 的值；
（Ⅱ）猜想n S 的表达式，并证明你的猜想．
8.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，
5348S S -=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++L
13246n n +=⋅--，且集合*|,n n b M n n N a λ⎧⎫
=≥∈⎨⎬⎩⎭
中有且仅有3个元素，试
求λ的取值范围.
9.已知f （n ）=1++++…+，g （n ）=﹣，n∈N *
．
（1）当n=1，2，3时，试比较f （n ）与g （n ）的大小关系； （2）猜想f （n ）与g （n ）的大小关系，并给出证明．
10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若（n∈N *
），则称{a n }是“紧密数列”；
（1）若a 1=1，
，a 3=x ，a 4=4，求x 的取值范围；
（2）若{a n }为等差数列，首项a 1，公差d ，且0＜d≤a 1，判断{a n }是否为“紧密数列”； （3）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，若数列{a n }与{S n }都是“紧密数列”，求q 的取值范围．
试卷答案
1.
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）设{a n}的公差d≠0．由a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．可得，即，4a1+=16，解得a1，d，即可得出．（2）S n==n2．可得=．根据数列{}为等差数列，可得=+，t2﹣2t=0．
解得t．
（3）由（1）可得：S n=n2，数列{b n}的前n项和A n==．数列{A n}的前n项和U n=﹣n=﹣n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，可得：该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），根据37=2187，38=6561．进而得出．
【解答】解：（1）设{a n}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．
∴，即，4a1+=16，
解得a1=1，d=2，
∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
∴b1=1，b2=3，公比q=3．
∴b n=3n﹣1．
（2）S n==n2．∴ =．
∵数列{}为等差数列，
∴=+，t2﹣2t=0．
解得t=2或0，经过验证满足题意．
（3）由（1）可得：S n=n2，数列{b n}的前n项和A n==．数列{A n}的前n项
