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蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法整理介绍
通常蒙特卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。

对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。

一般蒙特卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特卡罗积分。

积分[编辑]
非权重蒙特卡罗积分，也称确定性抽样，是对被积函数变量区间进行随机均匀抽样，然后对被抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值。

此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。

当抽样点数为m时，使用此种方法所
得近似解的统计误差只与m有关（与正相关），不随积分维数的改变而改变。

因此当积分维度较高时，蒙特卡罗方法相对于其他数值解法更优。

圆周率[编辑]
蒙特卡洛方法可用于近似计算圆周率：让计算机每次随机生成两个0到1之间的数，看以这两个实数为横纵坐标的点是否在单位圆内。

生成一系列随机点，统计单位圆内的点数与总点数，（圆面积和正方形面积之比为PI:4，PI为圆周率），当随机点取得越多时，其结果越接近于圆周率（然而准确度仍有争议：即使取10的9次方个随机点时，其结果也仅在前4位与圆周率吻合）。

用蒙特卡洛方法近似计算圆周率的先天不足是：第一，计算机产生的随机数是受到存储格式的限制的，是离散的，并不能产生连续的任意实数；上述做法将平面分割成一个个网格，在空间也不是连续的，由此计算出来的面积当然与圆或多或少有差距。

统计学模拟试题及解答

统计学模拟试题及解答

统计学模拟试题及解答(总8页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除模拟试题一一. 单项选择题(每小题2分，共20分)1. 一项调查表明，在所抽取的1000个消费者中，他们每月在网上购物的平均花费是200元，他们选择在网上购物的主要原因是“价格便宜”。

这里的参数是（ ） A. 1000个消费者 B. 所有在网上购物的消费者C. 所有在网上购物的消费者的平均花费额D. 1000个消费者的平均花费金额2. 为了调查某校学生的购书费用支出，从男生中抽取60名学生调查，从女生中抽取40名学生调查，这种抽样方法属于（ ）A. 简单随机抽样B. 整群抽样C. 系统抽样D. 分层抽样3. 某班学生的平均成绩是80分，标准差是10分。

如果已知该班学生的考试分数为对称分布，可以判断考试分数在70到90分之间的学生大约占（ ） A. 95% B. 89％ C. 68％ D. 99％4. 已知总体的均值为50，标准差为8，从该总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的数学期望和抽样分布的标准误差分别为（ ）A. 50，8B. 50，1C. 50，4D. 8，85. 根据某班学生考试成绩的一个样本，用95%的置信水平构造的该班学生平均考试分数的置信区间为75分～85分。

全班学生的平均分数（ ）A ．肯定在这一区间内B ．有95%的可能性在这一区间内C ．有5%的可能性在这一区间内D ．要么在这一区间内，要么不在这一区间内6. 一项研究发现，2000年新购买小汽车的人中有40%是女性，在2005年所作的一项调查中，随机抽取120个新车主中有57人为女性，在05.0=α的显著性水平下，检验2005年新车主中女性的比例是否有显著增加，建立的原假设和备择假设为（ ） A ．%40:,%40:10≠=ππH H B ．%40:,%40:10<≥ππH H C ．%40:,%40:10>≤ππH H D ．%40:,%40:10≥<ππH H 7. 在回归分析中，因变量的预测区间估计是指（ ）A. 对于自变量x 的一个给定值0x ，求出因变量y 的平均值的区间B. 对于自变量x 的一个给定值0x ，求出因变量y 的个别值的区间C. 对于因变量y 的一个给定值0y ，求出自变量x 的平均值的区间D. 对于因变量y 的一个给定值0y ，求出自变量x 的平均值的区间8. 在多元线性回归分析中，如果F 检验表明线性关系显著，则意味着（ ）A. 在多个自变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性相关系著B. 所有的自变量与因变量之间的线性关系都显著C. 在多个自变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系不显著D. 所有的自变量与因变量之间的线性关系都不显著9. 如果时间序列的逐期观察值按一定的增长率增长或衰减，则适合的预测模型是（ ）A. 移动平均模型B. 指数平滑模型C. 线性模型D. 指数模型 10. 设p 为商品价格，q 销售量，则指数∑∑10qp q p 的实际意义是综合反映（ ）A. 商品销售额的变动程度B. 商品价格变动对销售额影响程度C. 商品销售量变动对销售额影响程度D. 商品价格和销售量变动对销售额影响程度二. 简要回答下列问题（每小题5分，共15分）1. 简述直方图和茎叶图的区别。

统计技术应用(连载十)——模拟

统计技术应用(连载十)——模拟

二 模拟 的发展历史
计算机模拟早 期也称为蒙特卡罗方 法。１７ ７ ７年 ，法 国科学
进 了模拟 技术 的发展 ，２ ０世纪 ４ 年 代研制 成功第 一 台通 用 电 ０
子模拟计算机开始 到 ５ 年代计算机模拟主要采用模拟机 。 Ｏ
２２模拟 一数字混合机模拟 阶段 ： ． ６ ０年代后 串行 处理数字机逐渐应用 到模 拟之中 ，模拟技术 有 了快速 的发展 ，但 难 以满 足航天 、化工 等大规模复 杂系统对
种有 益的工具 。相 对廉价 的计 算能力 的发展正使模 拟越来越
多地应用于迄今为止 尚未被解决的问题 。
现在 ，计算机模 拟技术 的应 用并不受 限于行业 的类型 ，在
以概率 和统 计理论方 法为基础 的一种计算方 法 ，它 的基本 思想
是 ，为 了求解数学 、物理 、工程技术 以及 管理 等方面的问题 ，
首先建立一 个概率模 型或随机 过程 ，使它们 的参数 ，如概 率分
布或数学期 望等 问题 的解 ；然后 通过对模型 或过程 的观察 或抽
训 复杂工业 系统操作人员 的模拟系统等 产品 。相继 出现了一些
决方法 时 ，则可使用 模拟法 。在 经验方 面 ，如果计算 机程序 能 够充分地 描述系统 时 ，可采用模 拟法 。模拟 在统计教 学 中也是
一
六 应 用 示 例
大 型项 目 （ 如太空计划 ）通常采用 蒙特卡 罗方法 。模拟 的
应用 不受任何 具体工业 类型 的限制 ，典 型应用领域包 括典型 的
２３ ．数字 机模 拟阶段 ： ８ ０年代后 由于并行处理 技术 的发展 ，数字机才最终成 为计
的概率法则 ， 用计算机 直接进行 抽样试 验 ， 以获得 问题 的近似解 。

统计模拟

统计模拟

11
Monte Carlo方法简史

2、1930年，Enrico Fermi利用Monte Carlo方法研究中 子的扩散，并设计了一个Monte Carlo机械装臵， Fermiac,用于计算核反应堆的临界状态 3、Von Neumann是Monte Carlo方法的正式奠基者,他与 Stanislaw Ulam合作建立了概率密度函数、反累积分布 函数的数学基础，以及伪随机数产生器。在这些工作中 ，Stanislaw Ulam意识到了数字计算机的重要性

合作起源于Manhattan工程：利用 ENIAC(Electronic Numerical Integrator and Computer)计算产额 Nhomakorabea
4、随着计算机和统计技术的快速发展，Monte Carlo方 法不断丰富、应用也越来越广泛
13
Monte Carlo模拟的应用：




自然现象的模拟： 宇宙射线在地球大气中的传输过程； 高能物理实验中的核相互作用过程； 实验探测器的模拟 数值分析： 利用Monte Carlo方法求积分 金融工程： 股票期权的模拟定价 离散事件的模拟 ……
例子： >3+5 >3-5 >3/5 >3^5 >x=5 >?plot >help(plot)
32

向量

向量是R中最为基本的类型 一个向量中元素的类型必须相同，包括
统计模拟
主讲教师：刘洪伟 E-mail: liuhungwei@
1
目录




第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章

统计模拟与R相关资料习题答案

统计模拟与R相关资料习题答案

第一篇：R介绍
– R是
• 一个开放(GPL)的统计编程环境 • 一种语言，是Ｓ语言(由AT&T Bell实验室的Rick Becker, John Chambers,Allan Wilks开发)的一 种方言(dialect) 之一，另一则为S-plus. • 一种软件，是集统计分析与图形直观显示于一体的统计 分析
• 参考资料 随软件所附pdf文档(help->manuals),随版 本更新: – W.N. Venables, D.M. Smith and the R DCT: Introduction to R -- Notes on R: A Programming Environment for Data Analysis and Graphics, 2003. /R web/Rnotes/R.html – R DCT, The R Environment for Statistical Computing and Graphics -- Reference Index,2003. – R DCT, R Data Import/Export, 2003. – R DCT, R Language Definition,2003 – R DCT, Writing R Extensions,2003
– R作为一个计划(project)，最早(1995年)是由 Auckland大学统计系的Robert Gentleman 和Ross Ihaka开始编制，目前由Ｒ核心开发小 组(R Development Core Team – 以后用R DCT表示)维护，他们完全自愿、工作努力负责， 并将全球优秀的统计应用软件打包提供给我们。我 们可以通过Ｒ计划的网站()了解有关Ｒ的最新信息和使用说明， 得到最新版本的Ｒ软件和基于Ｒ的应用统计软件包 .

统计学模拟试题及答案[1]

统计学模拟试题及答案[1]

一、名词解释：（每小题名4分，共计20分）重点调查：是指在调查对象中选择一部分重点单位搜集资料的一种非全面调查方法。

统计调查：指按照统计研究的任务和要求，运用科学的调查方法，有组织、有计划地向客观实际搜集各种统计资料的工作过程。

统计标志：是总体单位具有的特点和属性。

标志变异指标：它是反映总体各单位标志值差异程度或离散程度的综合指标，表明了总体标志值分布状况的特征。

平均指标：是反映同质总体各单位某一数标志一般水平的综合指标。

普查：普查是根据统计研究的特定目的和任务专门组织的一次性全面调查。

长期趋势：是由各个时间普遍，持续的决定基本因素的作用而形成的，使现象发展水平在一个长时间内沿着一个方向逐渐向上或向下变动的趋势。

抽样调查：以数理统计学和概率论为理论基础，在调查对象中按随机的原则抽取一部分单位进行调查，并据以推断总体数量特征的一种非全面调查方法。

统计总体：是由客观存在的，具有相同特性的许多个别单位事物所组合成的整体。

中位数：将所研究的总体中的各单位标志值按大小顺序排列，位于中点位置的那个标志值就是中位数。

统计指数:是用于反映社会经济现象数量对比关系的相对数。

时间数列:是将某种经济现象的同类的统计指标按时间顺序排列起来而形成的数列。

统计指标:是反映统计总体数量特征的科学概念及具体数值。

统计报表：是基层企业、事业单位按照国家或上级部门统一规定的表格形式、指标解释，报送内容、报送时间、报送程序等，以企事业单位原始记录为基础，自下而上搜集统计资料的一种调查方式。

频数: 将总体中所有总体单位按一定的标志分成若干组，列出各组总体单位数，反映总体各单位在各组之间的分布状况，用以表明总体内部的构成。

分布在各组的总体单位数，叫频数。

二、简述题：（每小题6分，共30分）1.简述标志变异指标的作用。

答：（1）标志变异指标是评价平均指标代表性的依据。

（2）标志变异指标可用来反映社会生产的稳定性和其他经济活动过程的均衡性及协调性。

MCMC方法介绍

MCMC方法介绍MCMC（Markov Chain Monte Carlo）方法是一种统计模拟方法，可用于高维参数空间中的复杂问题。

它结合了Markov链和Monte Carlo方法，通过生成一个与所需分布相关的马尔科夫链来近似分布的抽样。

MCMC方法的核心思想是利用马尔科夫链的收敛性质来模拟概率分布。

该方法通过选择一个合适的初试状态并定义一个状态跳转规则，使马尔科夫链足够接近所需分布，从而得到分布的近似抽样。

具体而言，MCMC方法通过以下几个步骤实现：1.选择一个初始状态：从分布中随机选择一个初始状态作为马尔科夫链的初始状态。

2. 定义状态跳转规则：定义一种状态跳转规则，使得从当前状态到下一个状态的转移满足其中一种概率分布。

常见的状态跳转规则有Metropolis-Hastings算法和Gibbs采样算法。

3.进行状态跳转：根据状态跳转规则，从当前状态跳转到下一个状态。

这个过程是基于马尔科夫链的收敛性质，在连续的状态跳转过程中逐渐逼近所需分布。

4.迭代状态跳转：迭代进行状态跳转，直到马尔科夫链收敛到稳定的状态。

稳定状态将近似表示所需分布。

1.贝叶斯推断：MCMC方法可用于贝叶斯推断中的参数估计和模型选择。

通过构建参数的后验概率分布，利用MCMC方法对参数空间进行抽样，可以获得参数的近似后验分布和模型的边缘似然分布。

2.隐马尔科夫模型：MCMC方法可以用于隐马尔科夫模型的参数估计和状态推断。

通过定义状态跳转规则和观测概率分布，MCMC方法可以从观测数据中推断出隐含的状态和模型参数。

3.概率图模型：MCMC方法在概率图模型中的应用比较广泛，如贝叶斯网络、马尔科夫随机场等。

通过定义状态转移规则和随机潜在变量的条件概率分布，MCMC方法可以从给定数据中对潜在变量进行抽样，从而进行模型推断和学习。

4.高维积分：MCMC方法可用于高维积分的近似计算，如计算多维积分、求解期望值等。

通过构建状态转移规则和定义目标概率分布，MCMC 方法可以将积分问题转化为马尔科夫链上的状态转移问题，从而使用蒙特卡洛方法进行近似计算。

统计计算与模拟的实验目的

统计计算与模拟的实验目的
统计计算与模拟的实验目的可以有多个，具体取决于研究领域和具体问题。

以下是一些常见的实验目的：
1. 数据分析与统计推断：通过分析和理解数据，研究者可以推断出潜在的关联、趋势和规律。

例如，在医学研究中，统计分析可以用于评估药物疗效或诊断测试的准确性。

2. 参数估计与假设检验：通过实验数据，统计学可以帮助研究者估计未知参数的值，并对假设进行检验。

例如，在社会科学研究中，可以利用统计模型来测试两个群体之间的差异是否显著。

3. 模拟实验：当现实世界中的实验不可行或不可接受时，模拟实验可以用来探索各种假设的影响，并预测结果。

例如，在气候变化研究中，科学家可以使用气候模型来模拟不同的排放情景，以预测未来的气候变化。

4. 预测与决策支持：统计计算和模拟也可以用于预测未来事件的概率和趋势，并为决策提供支持。

例如，在金融领域中，统计模型和计算方法可以用于预测股票价格、评估投资风险等。

需要注意的是，具体实验目的应该根据研究领域和具体问题进行确定，并且在实验前应该遵守科学伦理规范和相关法律法规。

统计学模拟试题及解答

模拟试题一一. 单项选择题(每小题2分，共20分)1. 一项调查表明，在所抽取的1000个消费者中，他们每月在网上购物的平均花费是200元，他们选择在网上购物的主要原因是“价格便宜”。

这里的参数是（ ）A. 1000个消费者B. 所有在网上购物的消费者C. 所有在网上购物的消费者的平均花费额D. 1000个消费者的平均花费金额2. 为了调查某校学生的购书费用支出，从男生中抽取60名学生调查，从女生中抽取40名学生调查，这种抽样方法属于（ ）A. 简单随机抽样B. 整群抽样C. 系统抽样D. 分层抽样3. 某班学生的平均成绩是80分，标准差是10分。

如果已知该班学生的考试分数为对称分布，可以判断考试分数在70到90分之间的学生大约占（ ） A. 95% B. 89％ C. 68％ D. 99％4. 已知总体的均值为50，标准差为8，从该总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的数学期望和抽样分布的标准误差分别为（ ）A. 50，8B. 50，1C. 50，4D. 8，85.根据某班学生考试成绩的一个样本，用95%的置信水平构造的该班学生平均考试分数的置信区间为75分～85分。

全班学生的平均分数（ ）A ．肯定在这一区间内B ．有95%的可能性在这一区间内C ．有5%的可能性在这一区间内D ．要么在这一区间内，要么不在这一区间内 6.一项研究发现，2000年新购买小汽车的人中有40%是女性，在2005年所作的一项调查中，随机抽取120个新车主中有57人为女性，在05.0=α的显著性水平下，检验2005年新车主中女性的比例是否有显著增加，建立的原假设和备择假设为（ ）A ．%40:,%40:10≠=ππH HB ．%40:,%40:10<≥ππH HC ．%40:,%40:10>≤ππH HD ．%40:,%40:10≥<ππH H7. 在回归分析中，因变量的预测区间估计是指（ ）A. 对于自变量x 的一个给定值0x ，求出因变量y 的平均值的区间B. 对于自变量x 的一个给定值0x ，求出因变量y 的个别值的区间C. 对于因变量y 的一个给定值0y ，求出自变量x 的平均值的区间D. 对于因变量y 的一个给定值0y ，求出自变量x 的平均值的区间8. 在多元线性回归分析中，如果F 检验表明线性关系显著，则意味着（ ）A. 在多个自变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性相关系著B. 所有的自变量与因变量之间的线性关系都显著C. 在多个自变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系不显著D. 所有的自变量与因变量之间的线性关系都不显著9. 如果时间序列的逐期观察值按一定的增长率增长或衰减，则适合的预测模型是（ ）A. 移动平均模型B. 指数平滑模型C. 线性模型D. 指数模型10. 设p 为商品价格，q 销售量，则指数∑∑10qp q p 的实际意义是综合反映（ ）A. 商品销售额的变动程度B. 商品价格变动对销售额影响程度C. 商品销售量变动对销售额影响程度D. 商品价格和销售量变动对销售额影响程度二. 简要回答下列问题（每小题5分，共15分）1. 简述直方图和茎叶图的区别。

混沌Hamilton系统的统计力学模拟

混沌Hamilton系统的统计力学模拟混沌系统是指一类具有极其敏感的初始条件的动力学系统，其行为看似无序、不可预测，但实际上具有确定性。

Hamilton系统是经典力学中描述具有保守性质的系统的一种理论框架。

在混沌Hamilton系统的研究中，统计力学模拟成为了一种重要的工具，可以用来描述系统的平均行为、稳定性和相空间的统计分布等。

1. 引言混沌理论的提出和发展，为我们认识自然界中的复杂系统提供了一种新的途径。

混沌Hamilton系统作为混沌理论的重要研究对象，被广泛应用于天体力学、固体物理学、流体力学等领域。

在研究混沌Hamilton系统时，我们通常需要通过统计力学模拟来获取系统的相关信息。

2. 混沌Hamilton系统的基本方程混沌Hamilton系统通常由Hamilton函数和Hamilton方程组来描述。

Hamilton函数是系统的总能量函数，而Hamilton方程组则给出了系统中各个自由度的演化规律。

对于一个N维的混沌Hamilton系统，其Hamilton函数可以表示为：H(p, q) = Σ(p_i^2 / 2m_i) + V(q_1, q_2, ..., q_N)其中，p和q分别代表系统中的广义动量和广义坐标，m_i代表第i个质点的质量，V(q_1, q_2, ..., q_N)为系统的势能函数。

3. 统计力学模拟方法（此处可以详细介绍几种常用的统计力学模拟方法，如Monte Carlo 模拟、分子动力学模拟等）4. 混沌Hamilton系统的统计力学模拟在进行混沌Hamilton系统的统计力学模拟时，我们通常利用数值方法来求解Hamilton方程组。

通过选取适当的初始条件和参数，可以模拟系统的演化过程，并研究系统的平均行为和统计性质。

5. 统计物理量的计算在混沌Hamilton系统的统计力学模拟中，我们通常关注的是系统的平均物理量。

通过对模拟过程中的轨迹进行时间平均或者相空间平均，可以计算出系统的平均动能、平均势能、平均总能量等物理量。

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k 作为此人能赶 n
成立次数k=k+1
成立次数不变
试验次数 是否达到n次 是 计算估计结果 k/n
否
上火车的概率p 的近似估计；
windows(7, 3) prb = replicate(100, { x = sample(c(0, 5, 10), 1, prob = c(0.7, 0.2, 0.1)) y = sample(c(28, 30, 32, 34), 1, prob = c(0.3, 0.4, 0.2, 0.1)) plot(0:40, rep(1, 41), type = "n", xlab = "time", ylab = "",axes = FALSE) axis(1, 0:40) r = rnorm(1, 30, 2) points(x, 1, pch = 15) i=0 while (i <= r) { i=i+1 segments(x, 1, x + i, 1) if (x + i >= y) points(y, 1, pch = 19) Sys.sleep(0.1) } points(y, 1, pch = 19) title(ifelse(x + r <= y, "poor... missed the train!", "Bingo! catched the train!")) Sys.sleep(0.5) x+r>y }) mean(prb)
T1 / min
0 0.7 5 0.2 10 0.1

T3 / min
28 0.3
30 0.4
32 0.2
34 0.1
P(t )
P(t )
T1 T2 T3 ， 此人能及时赶上火车的充分必要条件为： p{T1 T2 T3} 。 所以此人能赶上火车的概率模型为：
编写R程序
R软件求解的总算法：

4) 具有同时计算多个方案与多 个未知量的能力。 5) 误差容易确定。 6) 程序结构简单，易于实现。
一列列车从A站开往B站，某人每天赶往B站上车。他 已经了解到火车从A站到B站的运行时间是服从均值为 30min，标准差为2min的正态随机变量。火车大约下午13： 00离开A站，此人大约13:30到达B站。火车离开A站的时刻 及概率如表1所示，此人到达B站的时刻及概率如表2所示。 问此人能赶上火车的概率有多大？

定义1.2 若Ｘ为离散型随机变量，称 数，记为 s
E sX
为其概率生成函

性质 (1) E X ' 1 , E X 2 ''1 ' 1 (2)若X和Y独立，X Y s X s Y s
注意以下两点： •Monte Carlo方法与数值解法的不同:
Monte Carlo方法利用随机抽样的方法来求解物理问 题; 数值解法:从一个物理系统的数学模型出发,通过求解一 系列的微分方程来的导出系统的未知状态; •Monte Carlo方法并非只能用来解决包含随机的过程的问题: 许多利用Monte Carlo方法进行求解的问题中并不包含 随机过程 例如:用Monte Carlo方法计算定积分. 对这样的问题可将其转换成相关的随机过程, 然后用 Monte Carlo方法进行求解

1.条件分布
p y | x
pX x 其中 pX x 为X的边际分布
Monte Carlo方法： 亦称统计模拟方法，statistical simulation method 利用随机数进行数值模拟的方法 Monte Carlo名字的由来： • 是由Metropolis在二次世界大战期间提出的：Manhattan计划，研究与原子 弹有关的中子输运过程； • Monte Carlo是摩纳哥（monaco)的首都，该城以赌博闻名
Solution:
The positioning of the needle relative to nearby lines can be described with a random vector which has components:
A [0, d ) [0, )
The random vector is uniformly distributed on the region [0,d)×[0,). Accordingly, it has probability density function 1/d . The probability that the needle will cross one of the lines is given by the integral
并行和矢量化—可以在先进的并行计算机上运行的有效算法
1.具有统计功能的软件 Excel, Matab, C, Fortran 2. 专业的统计软件 SPSS, SAS, S-Plus, R, Gauss, minitab
优点 缺点 1) 收敛速度慢。 1) 能够比较逼真地描述具有随 机性质的事物的特点及物理 2) 误差具有概率性。 实验过程。 3) 在粒子输运问题中， 2) 受几何条件限制小。 计算结果与系统大 3) 收敛速度与问题的维数无关。 小有关。

1.1 矩母函数和生成函数 定义1.1 设随机变量X的密度函数为p(x),称 E exp tX 为X的矩母函数，记为 g X t
性质： n n E X g 0 (1) (2) 若X和Y相互独立，则 g X Y t g X t gY t

一些人进行了实验，其结果列于下表
：
实验者 沃尔弗(Wolf)
年份 1850
投计次数 5000
π的实验值 3.1596
斯密思(Smith)
福克斯(Fox) 拉查里尼 (Lazzarini)
1855
1894 1901
3204
1120 3408
3.1553
3.1419 3.1415929

蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概 率统计理论为基础的一种方法。 由蒲丰试验可以看出，当所求问题的解是某个事件 的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是 与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方 法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
p

0

l sin
0
1 d
2l dAd d

1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来好些客人 玩投针游戏（针长是线距之半），他事先没有给客 人讲与π 有关的事。客人们虽然不知道主人的用意， 但是都参加了游戏。他们共投针2212次，其中704 次相交。蒲丰说，2212/704=3.142，这就是π 值。 这着实让人们惊喜不已。
①借助区间(0,1)分布产生的随机数，对 变量 T1、 T3 概率分布进行统计模拟；
产生随机数
验证模型
T3 概率分布及模拟 ②根据变量 T1 、T2 、 程序、命令产生n 个随机分布数；
是
关系式 成立 否
③使用随机产生的n 组随机数验证模型中 的关系表达式是否成立； ④计算n 次模拟实验中，使得关系表达 式成立的次数k ； ⑤当 n 时，以
Nicholas Metropolis (1915-1999)
Monte-Carlo, Monaco
Monte Carlo方法简史
简单地介绍一下Monte Carlo方法的发展历史 1、Buffon投针实验： 1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计的 值
L
d
p
d
2L
Problem of Buffon’s needle: If a needle of length l is dropped at random on the middle of a horizontal surface ruled with parallel lines a distance d>l apart, what is the probability that the needle will cross one of the lines?
2、1930年，Enrico Fermi利用Monte Carlo方法研究中子 的扩散，并设计了一个Monte Carlo机械装置，Fermiac, 用于计算核反应堆的临界状态 3、Von Neumann是Monte Carlo方法的正式奠基者,他与 Stanislaw Ulam合作建立了概率密度函数、反累积分布函数 的数学基础，以及伪随机数产生器。在这些工作中， Stanislaw Ulam意识到了数字计算机的重要性 合作起源于Manhattan工程：利用ENIAC(Electronic Numerical Integrator and Computer)计算产额
关系式 成立 是 否
成立次数k=k+1
成立次数不变
试验次数 是否达到n次 是 计算估计结果 k/n
否
Monte Carlo模拟的应用： 自然现象的模拟： 宇宙射线在地球大气中的传输过程； 高能物理实验中的核相互作用过程；
实验探测器的模拟
数值分析： 利用Monte Carlo方法求积分 金融工程： 股票期权的模拟定价
表1：火车离开A站的时刻及概率
13:00 0.7 13:05 0.2 火车离站时刻 概率 13:10 0.1
表2：某人到达B站的时刻及概率
人到站时刻 概率 13:28 0.3 13:30 0.4 13:32 0.2 13:34 0.1
——问题的分析—— 这个问题用概率论的方法求解十分困难， 它涉及此人到达时刻、火车离开站的时刻、火 车运行时间几个随机变量，而且火车运行时间 是服从正态分布的随机变量，没有有效的解析 方法来进行概率计算。在这种情况下可以用计 算机模拟的方法来解决。