电子教案-自动控制原理及其应用(第4版_黄坚)课件-3.3

b51=
-6*5 -1*0 -6
=
5
有两个正实部根，系统不稳定。
第三节 控制系统的稳定性分析
例 系统如图所示，试确定系统稳定放大倍
数K的取值范围。 R(s)
K
C(s)
解：闭环传递函数
- s(0.1s+1)(0.25s+1)
Ф(s)=
K s(0.1s+1)(0.25s+1)+K
特征方程:
劳斯表:
s3+14s2+40s+40K=0
据，通过代数运算判断系统的稳定性。
根据闭环传递函数特征方程式的系数 排列成劳斯表来判别系统的稳定性。
第三节 控制系统的稳定性分析
二、劳斯稳定判据
设： a0sn+a1sn-1+a2sn-2+…+an-1s+an=0
根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：
sn a0 sn-1 a1 sn-2 b31
sn-3 b41
第三节第三控章制系时统域的分稳析定法性分析
第三节 控制系统的稳定性分析
分析系统的稳定性并提出改善系统稳定 的措施是自动控制理论的基本任务之一。
一、系统稳定的充分与必要条件 二、劳斯稳定判据 三、结构不稳定系统的改进措施
第三节 控制系统的稳定性分析
一、系统稳定的充分与必要条件
=系稳As定统0 +性受sA-s：11外+…作+用sA-力snn
第三节 控制系统的稳定性分析
即： 闭环特征方程式确定系统的稳定性。
Ф(s)=
C(s) R(s)
=
b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bm a0sn +a1sn-1+···+an-1s+an=0
求得特征方程的根,就可判定系统的稳
定性。但高阶系统的求解比较困难。
英国人E.J. Routh（1875年）建立Routh判
如果劳斯表中某一行的元素全为零， 表示系统中含有不稳定的实根或复数根。 系统不稳定。
此时，应以上一行的元素为系数，构 成一辅助多项式，该多项式对s求导后， 所得多项式的系数即可用来取代全零行。 同时由辅助方程可以求得这些根。
下面举例说明:
第三节 控制系统的稳定性分析
例 已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。
s3 T 0 s2 1 K s1 -TK s0 K
第三节 控制系统的稳定性分析
1．改变环节的积分性质
积分环节外加单位负反馈,系统结构图为:
R(s)
K
- s(Ts+1)
- s1 C(s)
s13+s1劳s1T=斯s+1表1 :1
系统的闭环传递函数为 RC((ss))=s(Ts+1)K(s+1)+K
G(s)s=2 s1
劳斯表中某行同乘以某正数， 不影响系统稳定性的判断。
第三节 控制系统的稳定性分析
三、结构不稳定系统的改进措施
调整系统的参数无法使其稳定，则称 这类系统为结构不稳定系统。
如： R(s) -
K C(s) 闭环传递函数：
s2(Ts+1)
Ф(s)=
K Ts3+s2+K
特征方程是式： Ts3+s2+K=0
不管怎么选择参 数系统不稳定。
s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0
解： 劳斯表为:
由为零上一行的元素
s6 1 8 20 16 组成辅助多项式：
s5 2 12 16
P(s)=2s4+12s2+16
s4 s3 s2
2 08 6
12 204 16
16
代入
dPds(s)=8s3+24s 系统有虚根,不稳定。
s1 8/3 s0 16
r(t) c(t)
稳定
后系恢统复单平位衡阶的跃能响力应。：
c(t)系=A统0+输A出1es响1t+应…是+A由nesnt 传递稳函定数的确系定统的其：瞬态
0
不稳定
t
系分输 氏统闭Ф量出变稳环(s应拉换)定系=均：的统CRC(为(充特ss())s零=分征)=。ba方与K00s(0ssm程必(ns+–+–所要sba1z1)11s有条(即s)msn(--s–的件1：1++–s2z··根：)··2···)++·t→l·小·i·b(am∞·s(mn于s–--e11–ssss零inz+t+→)mab。)nm0· 1s
解：方程中的系数有负值，系统不稳定。
劳斯表为: s3 1 -3
s2 ε0 2
s1 b-∞31 s0 b241
b31= -3εε -2 = -∞ ε →0 b31→ -∞
第一列元素的符号变化了 两次,有一对不稳定根。
s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0
通过因式分解验证:
s1.2=1 s3=-2
第三节 控制系统的稳定性分析
第三节 控制系统的稳定性分析
例 已知系统的特征方程，试判断该系统
的稳定性。
s4+2s3+3s2+4s+5=0
解： 劳斯表如下： s4 1 3 5
s3 2 4
b31=
2*3 -1*4 2
=1
b32=
2*5
-1*0 2
=
5
s2 b131 b532
b41=
1*4
-2*5 1
=-6
s1 s0
-b641 b551
s3 1 40 s2 14 40K
s1 b31 s0 4b04K1
b31=
14*40-1*40K 14
>0
系统稳定的条件:
560-40K>0 40K>0
14>K>0
第三节 控制系统的稳定性分析
通过前面分析可知： c(t)
如如 劳果果斯劳劳表斯斯第表表一第第 列
一一元列列素元元出素现素出为了现正零了， ，负说 表 1
a2 a3 b32
b42
a4 a5 b33
b43
… … … …
(1系) 系特统数bb征稳3312都方==定大程aa的11于a式a条42a-a零-各a1a件100。a项a：53 (2) 元劳b斯素41=表均b中3为1a第正3b-3b一值132列。a1
… … … … …
s0 bn+1
第 数一 等列 于元不b素稳42=符定b号3根1a改的5b-3b变个133的数a1 次。
s1(T1+s+T+T-1TK)K(s+K1) 1+T
s0 K
特征方程式:
系统稳定的条件
Ts3+(1+T)s2+s+K=0
1+T-TK>0 K>0
1+T T
>K>0
第三节 控制系统的稳定性分析
2．加入比例微分环节
系统中加入比例微分环节结构图
R(s) -
K s2(Ts+1)
τs+1 C(s)
G(s)=
s3 1 1 s2 2 2 s1 εb031 s0 b241 系统有一对纯虚根
不稳定
b3Hale Waihona Puke Baidu=
2*1 -2*1 2
=0ε(
)
b41=
2*ε -2*0 ε
=2
通过因式分解验证: s3+2s2+s+2=0 (s+2)(s2+1)=0
s1=-2 s2.3=±j
第三节 控制系统的稳定性分析
例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 方程的根在s平面上的分布。 s3-3s+2=0
Kτ( s+1)
s2(Ts+1)
系统的闭环传递函数:
Ф(s)= Ts3+Ks2τ(+Ksτ+1s)+K
系统稳定的条件:
τ -T>0 即 τ >T
K>0
K>0
劳斯表:
s3 T Kτ
s2 1 K
s1 Kτ( -T)
s0 K
号明示，系系说统统明是中系稳有统定纯是的虚不。根，
稳系定统的不。稳定。
0
t
第一列出现了零可用一个接近于零的 很小的正数ε来代替零，完成劳斯表的排列， 可确定系统其他不稳定的极点。
下面举例说明:
第三节 控制系统的稳定性分析
例 已知系统的特征方程，试判断系
统的稳定性。 s3+2s2+s+2=0
解：劳斯表为: