比例和比例的基本性质

比例的基本性质是什么比例的基本性质包括比例的定义、比例的性质、比例的四则运算和比例的应用等。

1. 比例的定义：比例是指两个或多个有联系的数之间的比较关系。

比例可以表示为两个分数之间的等式，其中分子表示相等的部分，分母表示相等的整体。

2. 比例的性质：(1) 如果一比例中，先比与后比互为倒数，那么这个比例称为倒数比。

(2) 如果一比例中，分母相等，那么这个比例称为方比。

(3) 如果一比例中，分子相等，那么这个比例称为比例恒定。

(4) 如果有两个比例的倒比也是比例，那么它们互为倒比。

3. 比例的四则运算：(1) 乘法：如果两个比例的前项与后项依次相等，则它们的乘积也是一个比例，即(a:b) * (c:d) = (ac:bd)。

(2) 除法：如果两个比例的前项与后项分别相除，那么它们的商也是一个比例，即(a:b) / (c:d) = (ad:bc)。

(3) 倒数：如果一个比例的前项与后项互为倒数，那么它们的倒数也是一个比例，即(a:b)的倒数是(b:a)。

(4) 平方根：如果一个比例的前项与后项分别开平方，那么它们的平方根也是一个比例，即(a:b)的平方根是(√a:√b)。

4. 比例的应用：比例在实际生活中有着广泛的应用，如:(1) 比例在商品打折优惠、购物促销活动中的应用。

比如某商品价格原为100元，现在打8折，那么通过比例计算可得到打折后的价格为80元。

(2) 比例在地图的绘制中的应用。

比例尺可以帮助我们在地图上准确测量和表示实际距离。

(3) 比例在食谱中的应用。

食谱中的食材比例可以帮助我们控制食材的搭配和比例，达到合理膳食的目的。

(4) 比例在工程施工中的应用。

比例可以用于测量、计算和规划工程建设中的各个部分，确保施工的顺利进行。

综上所述，比例的基本性质包括比例的定义、性质、四则运算和应用。

比例是数学中重要的概念，在实际生活中有着广泛的应用。

比和比例知识点总结在数学中，比和比例是两个非常重要的概念，它们贯穿了整个数学学习的过程。

比和比例不仅在日常生活和实际问题中有着广泛的应用，也是进一步学习数学和其他科学学科的基础。

本文将对比和比例的知识点进行总结。

一、比1、比的定义比是指两个量之间的关系，通常用冒号或斜线表示。

例如，A与B的比是3：2，或者A/B=3/2。

2、比的性质比的性质包括交换律、结合律和分配律。

交换律是指比的前项和后项交换位置，比值不变；结合律是指比的运算可以结合在一起，没有顺序之分；分配律是指比可以分配到其他数学运算中。

3、比的应用比在日常生活和实际问题中有着广泛的应用。

例如，我们在比较两个物体的长度、高度或重量时，都会使用到比的概念。

在化学中，物质的浓度、酸碱度等也使用比来表示。

二、比例1、比例的定义比例是指两个量之间的比例关系，通常用等号表示。

例如，A与B的比例是3：2，或者A：B=3：2。

2、比例的性质比例的性质包括交叉乘积相等、交叉加法相等和交叉减法相等。

交叉乘积相等是指交叉相乘的两个数乘积相等；交叉加法相等是指交叉相加的两个数加起来相等；交叉减法相等是指交叉相减的两个数差相等。

3、比例的应用比例在日常生活和实际问题中也有着广泛的应用。

例如，我们在计算两个数的比例时，可以使用比例的基本性质来进行计算。

在工程、设计和科学实验等领域中，比例的概念也经常被使用。

比和比例是数学中非常重要的概念，它们在日常生活和实际问题中有着广泛的应用。

理解和掌握这两个概念对于提高数学素养和解决实际问题都具有重要的意义。

比和按比例分配知识点在我们的日常生活中，比和按比例分配是一种常见的数学概念。

无论是在购物、分发物品还是规划生产中，比和按比例分配都是非常实用的工具。

下面我们将详细介绍这两个重要的数学概念。

一、比比是数学中的一个基本概念，通常用于描述两个数之间的关系。

比如说，我们可以说一辆汽车每小时行驶50公里，那么它每分钟行驶的距离就是50/60公里，这里的50和60就是两个比。

将计算结果整合为答案。
比例问题的常见错误及纠正方法
错误一
混淆比例关系：纠正方法是要 认真分析题目的比例关系，明
确已知量和未知量的关系。
错误二
计算错误：纠正方法是仔细进行计 算，确保计算结果的准确性。
错误三
忽略题目的限制条件：纠正方法是 认真阅读题目，注意题目中的限制 条件，确保答案符合题目的要求。
比例和比的联系
比例和比都涉及到两个量的比较 ，都反映了两个量之间的相对大
小和方向。
比是两个同类量之间的比较，而 比例是两个非同类量之间的比较
。
在比例中，两个量的单位不一定 相同，而在比中，两个量的单位
必须相同。
比例和比的差异
比只涉及到两个同类量的比较， 而比例涉及到两个非同类量的比
较。
在比例中，两个量的单位不一定 相同，而在比中，两个量的单位
合比性质和分比性质
01
总结词
合比性质、分比性质
02 03
详细描述
在比例 a:b = c:d 中，如果 a+b=m,c+d=n,m,n≠0，那么 a+b/m=c+d/n,这称为合比性质；同样地，如果 a+b=m,c+d=n,m,n≠0，那么 a/m=(b+n)/(m+n)+d,这称为分比性质 。
数学证明
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《比例的基本性质》比和比例
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目 录
• 比例的定义 • 比的定义 • 比例的基本性质 • 比例的应用 • 比例和比的关系 • 比例问题的解题方法
01 比例的定义
什么是比例
• 比例是两个数的商，它可以用分数或百分数表示。

通过比例关系，可以计算 出物体运动的速度和加速 度。
确定力的关系
通过比例关系，可以确定 物体之间的作用力和反作 用力。
计算热量和能量
通过比例关系，可以计算 出物体吸收或释放的热量 和能量。
在经济学中的应用
确定成本和收益
比较市场占有率
通过比例关系，可以计算出生产或销 售的成本和收益。
通过比例关系，可以比较不同企业在 市场中的占有率。
THANKS
感谢观看
03
比例的应用
在几何学中的应用
01
02
03
确定物体位置
通过比例关系，可以确定 物体在平面或空间中的位 置。
计算面积和体积
利用比例关系，可以计算 出平面图形或立体图形的 面积和体积。
测量长度
通过比例尺，可以将实际 距离转化为图纸上的长度， 或者将图纸上的长度转化 为实际距离。
在物理学中的应用
计算速度和加速度
总结词
合比性质是指在一个比例中，如果两个数的比等于另外两个 数的和的比，则这个比例具有合比性质；分比性质是指在一 个比例中，如果两个数的比等于另外两个数的差的比，则这 个比例具有分比性质。
详细描述
合比性质和分比性质是比例的另外两个重要性质。如果 a:b=(a+c):(b+d)，则这个比例具有合比性质。同样地，如果 a:b=(a-c):(b-d)，则这个比例具有分比性质。这些性质在解决 数学问题时非常有用，可以帮助我们简化复杂的比例关系。
比例的乘法运算可以通过将比例的分子和分母分别相乘来实现。例如，如果有一个比例为2:3，另一个比 例为3:4，则它们的积为(2*3):(3*4)=6:12。
比例的除法运算
总结词
比例的除法运算是指用一个比例去除另一个 比例，以得到一个新的比例。

提高版（通用）2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第5讲比和比例知识点一：比1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。

2.比的各部分名称及比的读法：4 ： 5=4÷5=0.8↓↓↓↓前项比号后项比值3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变4.求比值与化简比（1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。

同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。

例如:100千米:5时=20千米/时（2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。

把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。

5.比与分数、除法的关系关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。

（1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示:名称比分数除法联系前项分子被除法：（比号）一（分数线）÷（除号）后项分母除数比值分数值商知识精讲同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类区别分数是一种数除法是一种运算量的比表示一个新的量。

（2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。

由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。

6.按比分配:（1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。

（2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。

（3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。

知识点二：比例1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。

2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。

比例的表示方法
总结词
比例可以用多种方式表示，包括分数、百分数和小数。
详细描述
在数学和科学中，比例通常用分数表示，如2:3或3/4。此外，比例也可以表示为 百分数或小数，如50%或0.5。选择适当的表示方法可以使比例更易于理解和计 算。
比例的应用场景
总结词
比例在许多领域都有应用，包括数学、科学、工程和日常生 活。
详细描述
在数学中，比例用于解决各种问题，如几何和代数问题。在 科学中，比例用于描述化学反应和物理现象。在工程中，比 例用于设计和优化机械、建筑和电子产品。在日常生活中， 比例用于比较价格、时间和空间关系等。
02
CHAPTER
比例的基本性质
交叉相乘性质
总结词
交叉相乘性质是指比例关系中， 交叉相乘后得到的两个积相等。
05
CHAPTER
总结与展望
总结比例的意义和基本性质
比例的意义
比例是数学中用于表示两个数量之间相对大小的概念，通 常用分数或百分数表示。在现实生活中，比例广泛应用于 各个领域，如建筑、工程、医学、经济等。
基本性质
比例具有一些基本性质，如正比、反比、等比等。这些性 质描述了不同数量之间的关系，对于理解和应用比例概念 至关重要。
详细描述
= bc，即两个比例的交叉 相乘结果相等。
比例的传递性
总结词
比例的传递性是指在一个比例关系中 ，如果两组数的比值相等，则它们之 间的比例关系也相等。
详细描述
如果 a:b = c:d 且 c:d = e:f，则可以推 导出 a:b = e:f。
详细描述
比例的加法运算是指将两个或多个比例相加的过程。例如，如果一个比例是3:5，另一个比例是2:3，那么它们的 和可以通过将对应项相加来得出，即(3+2):(5+3)=5:8。

03
CHAPTER
比例的应用
在数学中的应用
比例在数学中有着广泛的应用，它涉及到许多数学概念和问 题。例如，在几何学中，比例用于描述两个线段或两个平面 图形的相对大小和位置关系。在代数中，比例用于解决各种 数学问题，如线性方程、不等式和函数等。
比例也用于统计学中，用于描述数据分布和变化规律。例如 ，比例可以用来计算平均数、中位数、众数等统计指标，以 及进行数据分析和预测。
比例的意义和基本性质
目录
CONTENTS
• 比例的定义与意义 • 比例的基本性质 • 比例的应用 • 比例与百分数、比、函数的关系 • 比例的运算 • 比例在实际生活中的应用案例
01
CHAPTER
比例的定义与意义
比例的概念
比例是指两个比值相 等的关系，通常表示 为两个数的商。
在数学中，比例通常 用于解决各种问题， 如计算、建模和推理 等。
04
CHAPTER
比例与百分数、比、函数的 关系
比例与百分数的关系
总结词
比例和百分数都是表示相对数量的工具，但它们在数学和实际应用中有一些重要的区别。
详细描述
比例是一个数学表达方式，用于表示两个数量之间的相对大小，通常表示为两个数的比 值。而百分数是一种表达比例的方式，它表示一个数是另一个数的百分之几。例如，如 果一个数是另一个数的25%，那么这个数就是另一个数的四分之一，可以用比例来表示。
比例与比的关系
总结词
比例和比都是用来比较数量的工具，但 它们在定义和使用上有一些区别。
VS
详细描述
比通常用于表示两个数量之间的关系，通 常用于比较两个数的大小。例如，“苹果 和橙子的比是2:3”表示苹果的数量是橙 子数量的三分之二。而比例通常用于表示 两个数量之间的相对大小，通常表示为两 个数的比值。例如，“苹果和橙子的比例 是2/3”表示苹果的数量是橙子数量的三 分之二。

比例与比例关系比例和比例关系是数学中常见的概念，在求解各种实际问题时经常会用到。

比例是指两个量之间的对应关系，称为比例关系。

在本文中，我们将介绍比例和比例关系的基本概念以及其在实际问题中的应用。

一、比例的定义和性质比例是指两个量之间的对应关系，可以表示为a:b或a/b，其中a和b都是有相同单位的量。

比例需要满足以下两个性质：1. 同比例性质：如果a与b成比例，同时b与c也成比例，那么a与c也成比例。

2. 反比例性质：如果a与b成比例，同时b与c成反比例，那么a与c也成反比例。

比例可以用比值表示，即比值=第一个量/第二个量。

比值还可以化为百分数或小数形式，方便进行数值的比较。

在实际问题中，比例关系经常用到。

在工程中，我们可以根据比例关系计算物体的大小和尺寸；在经济学中，比例关系可以用来计算商品的价格和数量；在地理学中，比例关系可以用来绘制地图和计算距离等。

二、比例的求解方法求解比例的问题，可以采用以下方法：1. 直接取比法：已知两个量的比例，可以通过直接取比的方法求解未知量。

例如，已知4:6=a:12，我们可以先将已知比例化简，得到2:3=a:6，然后直接取比得到a=8。

2. 交叉乘法：已知两个比例a:b=c:d，我们可以通过交叉乘法求解未知量。

具体步骤如下：首先，将比例关系写成等式形式，即a/b=c/d；然后，交叉相乘，得到ad=bc；最后，解方程得到未知量。

3. 图表法：对于一些复杂的比例关系问题，可以利用表格或图表的方式来求解。

通过将比例关系表示出来，可以更清晰地找出规律和求解未知量。

三、实际问题中的比例关系应用比例关系在实际问题中有着广泛的应用，下面以一些具体的例子来说明：1. 人口统计：根据已知的人口数据，可以用比例关系来计算不同地区的人口数量，从而实现统计和预测。

2. 货币兑换：在不同国家之间，货币的兑换率可以通过比例关系来计算，方便进行外汇交易和旅行换汇。

3. 食谱配比：在烹饪中，不同食材的配比可以通过比例关系来确定，确保各种食材的比例合适，使得菜品口感和营养均衡。

比和比例的定理或性质【比的性质】比的前项和后项都乘以（或除以)不等于零的同一个数,比值不变.这叫做“比的性质”（或“比的基本性质”)。

用字母表示，就是a∶b=（a×m）∶(b×m）（m≠0，n≠0）=（a÷n）∶（b÷n)例如，1∶0.75=（1×100)∶（0.75×100)=100∶75 =(100÷25）∶（75÷25) =4∶3【比例基本性质】在比例中,两个外项的积等于两个内项的积。

这叫做“比例的基本性质”。

反过来,如果两个数的积等于另外两个数的积，则这四个数成比例。

这一性质,又称“比例的性质定理"。

用字母表达,就是：比例的基本性质：如果a∶b=c∶d，那么ad=bc。

比例的性质定理：如果ad=bc, 那么a∶b=c∶d.例如,若有3∶4=6∶8,则有3×8＝4×6。

反之，若有3×6=2×9，则有3∶2=9∶6。

特殊的，如果比例的两个内项相同,即a∶b=b∶c，则有b2=ac。

反过来也是成立的。

此处的“b”，叫做a和c的“比例中项”.例如，2∶4=4∶8，则42=2×8。

4是2和8的比例中项。

反过来,如果62=4×9,则4∶6=6∶9。

这里的6是4和9的比例中项。

【反比定理】在一个比例中,两个比的前、后项同时交换位置，比例式仍然成立。

用字母表达，就是如果，2∶6=3∶9，则6∶2=9∶3。

【更比定理】一个比例的两个内项（或两个外项）交换位置，比例式仍然成立。

用字母表达就是例如,若3∶4=6∶8，则3∶6=4∶8（交换内项）；或8∶4=6∶3（交换外项）。

【合比定理】比例式中，一个比的前、后项之和与其后项的比，等于另一个比的前、后项之和与其后项的比。

用字母表达，就是例如，3∶4=6∶8，则（3+4）∶4=(6+8）∶8，即7∶4=14∶8.【分比定理】比例式中，每一个比的前项减后项的差与它的后项的比相等.用字母表达就是例如，8∶6=4∶3,则（8-6）∶6=（4-3)∶3，即2∶6=1∶3。

比例的基本性质
张鸿云
在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用式子表示就是： 如果
d c b a =（a ，b ，c ，d 都不等于零），那么ad ＝bc ．这是因为用bd 去乘d
c b a =的两边，得b a ·b
d ＝d
c ·b
d ，所以ad ＝bc ．从比例的这个基本性质，可以推得：如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数可以组成比例，用式子表示就是：如果ad ＝bc ，那么d
c b a =（b 、
d 都不等于零）．这是因为用bd 去除ad ＝bc 两边，得bd bc bd ad =，所以d c b a =．如果 a 、c 也不等于零，那么，我们还可以分别用cd 、ab 、ac 去除ad ＝bc 两边，得到另外不同的三个比例，
c
d a b ，a c b d ，d b c a ===．如果把上述四式等号的左右两边对调，那么又可以得到另外的四个比例：c d a b ，b d a c ，c a d b ，b a d c ====．这就是说，如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数就可以组成八个比例．这八个比例的形式不同，也就是各个数在比例中的位置不同．
根据比例的性质还可以得出：已知比例中的任意三项，就可以求出另外一项．例如，由 4 ∶5＝8 ∶x ，得4x ＝5×8，x ＝10．求比例中的未知项，叫做解比例．
选自《中国小学教学百科全书》。

《比例和比例的基本性质》教学设计评价教学内容：人教版《数学》六年级上册第16～18页。

教学目标：1．结合不同规格国旗的典型事例，经历认识比例和比例的基本性质的过程。

2．认识比例，知道比例的内项和外项。

理解并掌握比例的基本性质，会判断两个比是否成比例。

3．体会国旗中隐含的数学规律，丰富关于国旗的知识，培养爱国旗、爱祖国的情感。

课前准备：国旗、学生带计算器教学过程：旁注教学预设一、爱国教育教师出示课前准备的国旗，并平挂在墙上。

让学生说一说。

面对国旗徐徐升起时，你是怎么做的，有什么感受。

要给学生充分表达自己想法的机会。

教师及时进行热爱祖国、热爱国旗的教育。

师：同学们，你看老师手里拿的是什么？生：国旗师：对。

是我们中华人民共和国的国旗。

现在我请一名同学帮老师把这面国旗平放在墙上。

把国旗平挂在墙上。

师：国旗是中华民族的象征，许多重要的场所都要挂国旗，我们每周一都要举行升旗仪式，谁愿意给大家说一说，当你面对国旗徐徐升起时，你是怎么做的？有什么感受？学生可能会说：●我是面对国旗立正，敬队礼。

●心情特别激动，感觉作为一名中国人特别骄傲。

●我想为祖国争光。

师：说得真好！五星红旗是我们中华人民共和国的象征，是无数先烈用鲜血染成的。

我们作为中国人，要热爱国旗，热爱我们伟大的祖国。

二、问题情境1.先请学生观察国旗，并估计一下它的长和宽各是多少。

然后学生自己读兔博士网站中的国旗介绍。

师：观察这面国旗，估计一下，它的长和宽各有多少厘米。

指名说，教师记录几组数据，不做评价。

师：同学们估计得对不对呢？在我们数学书第16页的“兔博士网站”中有关于中华人民共和国国旗的介绍，现在请大家打开书阅读一下。

学生看书，教师巡视。

2．交流学生了解的关于国旗的知识，确定国旗的尺寸。

师：谁来说说你知道了哪些关于国旗的知识？学生可能会说到：●我知道了我国的第一面国旗长5米，宽3.3米，是在1949年由毛主席亲手升起的。

●我还知道天安门广场的红旗是日出升起，日落时降下。

24: 6 = 8 :2
6、运用比例的根本性质，判断下面两个比能不能组成比 例。
0.2∶2.5 和 4∶50
因为 0.2 × 50 ＝ 10
2.5 × 4 ＝ 10
10 = 10
所以 0.2∶2.5 和 4∶50 能组成比例。
1.2∶3
4
和
4 5
∶5
因为 1.2 × 5 ＝ 6
3 4
4
×5
3 ＝5
1 2
×
4
=
2
1
内项积：3 × 6 = 2
31
0.6 ∶0.2= 4 ∶4
外项积：0.6 ×14 = 0.15
3
内项积： 0.2 ×4 = 0.15
如果把比例改成分数形式呢？如：
3 9， 5 15
3×15=5×9。等号两边的分子和分母分别交叉
相乘,所得的积相等。
这个规律叫做比例的根本 性质。
验证:是不是其他的比例都有这样的规律？
观察组成比例的两个内项和两个外项，并探究它 们的关系。同学们小组内交流。
32 : 320 = 1 : 10
内项 外项
外项积是： 32×10 内项积是： 320× 1
32 ×10＝ 320× 1
组成比例的两个 内项的积和两个 外项的积相等Leabharlann 验证其他的比例有没有这个规律.
11
2 ∶3 = 6 ∶4
外项积：
外项
两端的两项叫做比例的 外项，
中间的两项叫做比例的内 项。
2.4:1.6＝60:40
内项
外项
上面的比例还可以写成分数形式：
2.4 1.6
＝
60 40
2.4和40仍然是外项，1.6和60仍然是内项。

小学数学《比例的意义和基本性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解比例的概念，掌握比例的意义和基本性质。

2. 培养学生运用比例解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

二、教学内容：1. 比例的概念：比例是指两个比相等的式子。

2. 比例的意义：比例表示两个量之间的关系，反映了两个量的相对大小。

3. 比例的基本性质：在比例中，两内项之积等于两外项之积。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：比例的概念、比例的意义和比例的基本性质。

2. 教学难点：比例的基本性质的应用。

四、教学方法：1. 采用情境教学法，通过生活实例引入比例的概念。

2. 采用小组合作学习法，让学生在探讨中掌握比例的意义和基本性质。

3. 采用练习法，巩固学生对比例知识的理解和应用。

五、教学过程：1. 导入：通过一个生活实例，如购物时比较价格，引入比例的概念。

2. 新课讲解：讲解比例的意义和基本性质，让学生通过实际例题理解并掌握。

3. 课堂练习：设计一些练习题，让学生运用比例知识解决问题。

4. 小组讨论：让学生分组讨论，探讨比例在实际生活中的应用。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调比例的意义和基本性质。

6. 布置作业：设计一些课后练习题，巩固学生对比例知识的理解和应用。

这五个章节的内容主要是关于比例的意义和基本性质的教学，希望能对你的教学有所帮助。

如果有需要，我可以继续为你编写后续章节。

六、教学评价：1. 通过课堂表现、练习完成情况和小组讨论参与度来评价学生对比例意义和基本性质的理解。

2. 设计一些综合应用题，评估学生运用比例解决实际问题的能力。

3. 收集学生作业，分析其对比例知识的掌握程度和运用能力。

七、教学拓展：1. 利用信息技术手段，如数学软件或在线教育平台，让学生进行比例相关的游戏和练习。

2. 组织学生进行数学小研究，探究比例在历史上的应用，如商业、建筑等领域。

3. 引导学生关注比例在现代社会中的例子，如广告中的比例、设计中的比例等。

比性质是指在一个比例中，如果两个比值相等，则它们的乘积的比值也相等。
详细描述
等比性质是比例的基本性质之一，它表示如果两个比值相等，则它们的乘积的比值也相等。例如，如果 a/b = c/d，那么 a*d = b*c。这个性质在解决比例问题时也非常有用，因为它可以帮助我们通过等比性 质来找出未知数。
比例与比的关系
总结词
比例和比是相关的概念，但它们在数学 和统计学中有不同的应用。
VS
详细描述
比通常用于描述两个数的相对大小，但不 强调它们之间的精确关系。例如，可以说 一个苹果是另一个苹果的两倍大，但不一 定说它是1.5倍或3:2的比例。而比例则更 精确地描述了两个数之间的相对大小，通 常用于数学计算和统计分析。
02
比例描述了两组数之间的相对大 小关系，即两组数各自成正比或 反比。
比例的表示方法
比例可以用分数或小数来表示，例如 “2:3”可以表示为“2/3”或 “0.6667”。
在数学中，比例关系通常用于证明相 似三角形、等比数列等几何和代数问 题。
比例也可以用交叉相乘的方式表示， 即“a/b=c/d”可以表示为 “ad=bc”。
药物配比
药剂师根据药物成分的比例，精确地配制药物。
医学研究
科研人员通过比较实验组和对照组的比例，评估 实验效果。
在农业中的应用
种植密度
农民根据作物生长的需求和比例，合理安排种植密度。
施肥配比
为了提高作物的产量和品质，农民需要按照科学的比例施肥。
病虫害防治
农民根据病虫害发生的比例和规律，采取有效的防治措施。
03
CHAPTER
比例的应用
在数学中的应用
01
02
03
解决几何问题

比和比例是六年级数学上学期第三章第一节的内容，基础概念方面，同学们需要理解比、比值以及比例的相关概念、并能理清比和比值、比和比例的区别，同时也要清楚比与除法、分数等概念之间的联系和区别；性质理解方面，需掌握比的基本性质和比例的基本性质；计算方面，需熟练比和比值求法，熟练运用比的基本性质进行最简整数比的化简和连比的求解，以及根据比例的基本性质正确地进行比例的有关运算，为之后学习利用比例的基本性质解决相关的实际问题做好准备．内容分析知识结构比和比例步同级年六1、 比和比值a 、b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 与b 相除，叫做a 与b 的 比．记作a : b ，或写成ab，其中0b ≠；读作a 比b ，或a 与b 的比． a 叫做比的前项，b 叫做比的后项． 前项a 除以后项b 所得的商叫做比值． 2、 比、分数和除法的关系比：前项：后项 = 比值；分数：分子分母= 分数值；除法：被除数÷除数 = 商． 比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数； 比的后项相当于分数的分母和除式中的除数； 比值相当于分数的分数值和除式的商． 3、 比、分数和除法的区别 比是表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算．【例1】 （1）把除法69÷写成比是______； （2）求比值：12:43=______；（3）已知：12:35x =，则x =______．【难度】★【答案】（1）6:9或69；（2）38；（3）56． 【解析】（1）6:9或69；（2）12133:43428==；（3）125356÷=． 【总结】考查比、比值的意义以及比和除法的关系．模块一：比的意义知识精讲例题解析【例2】一个比的前项是最小的素数，后项是最小的合数，这个比的比值是______．【难度】★【答案】12．【解析】最小的素数是2，最小的合数是4．【总结】考查比的前项、后项，素数和合数的概念．【例3】判断题：（1）3与2的比值是32；（）（2）除法中被除数相当于比的前项、分数中的分子（）；（3）因为4:747=÷，所以比就是除法；（）（4）5米: 20厘米的比值是14．（）【难度】★★【答案】（1）对；（2）对；（3）错；（4）错．【解析】（3）比和除法的关系：比值相当于除式的商，但不能说比就是除法，二者定义不同；（4）单位未统一．【总结】考查比的相关概念及和除法的关系．【例4】一个比的前项是15，比值是114，则这个比的后项是______．【难度】★★【答案】12．【解析】15：x =114，x =15: 114=12．【总结】考查比的相关概念．【例5】 求比值：（1）13:24；（2）21:0.55；（3）40分钟 : 1.5小时；（4）20 cm : 0.6 cm ．【难度】★★ 【答案】(1)23；(2)145； (3)49；(4)1333． 【解析】(1)13142:24233=⨯=； (2) 27141:0.52555=⨯=； (3) 1．5小时=90分钟，404909=； (4) 35120:0.620:2033533==⨯=． 【总结】考查求比值的方法，注意单位的统一．【例6】 如右图，点M 是正方形ABCD 的边BC 的中点，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比是______．【难度】★★★ 【答案】1:4．【解析】利用割补法可将正方形分割成四个三角形，每个三角形的面积和阴影部分的面积相等．【总结】本题一方面考查利用割补法解决面积问题，另一方面考查比在实际问题中的运用．1、 比的基本性质比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），比值不变． 2、 最简整数比比的前项和后项都是整数且互素，这样的比叫做最简整数比． 注：题目中比的结果都必须化成最简整数比． 3、 三连比的性质1、如果::a b m n =，::b c n k =，那么::::a b c m n k =；2、如果0k ≠，那么::::a b c ak bk ck =．【例7】 比的前项扩大3倍，比的后项缩小3倍，这个比的比值（ ）A ．扩大9倍B ．缩小9倍C ．不变D ．以上说法都不对【难度】★ 【答案】A【解析】设一个比为:a b ，转化后为13:3a b ，而13:93aa b b=．【总结】考查比的基本性质．【例8】 某班春游时，有2人请病假，1人请事假，实际参加45人，缺勤人数与全班人数的比是（ ）A ．1 : 15B ．3 : 45C ．1 : 16D ．3 : 48【难度】★模块二：比的基本性质知识精讲例题解析【答案】C【解析】211 452116+=++．【总结】考查比的概念的应用．【例9】213=______3÷=______ : 15．【难度】★【答案】5，25．【解析】2525 1533315==÷=．【总结】考查比与除法的关系、比的基本性质．【例10】下列说法正确的个数是（）○17与3的比是123；○2如果a : b = 13 : 5，那么有a = 13，b = 5；○33 : 9的比值是1 : 3；○4比的前项是0.55，比值是122，则比的后项是0.22；○5比的前项和后项同时乘以一个相同的自然数，比值不变．A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】A【解析】①③书写方式不正确；②a和b的值有无数种；④正确；⑤这个自然数非零．【总结】考查比的概念相关的理解．【例11】一根绳子长132厘米，若按3 : 4分成两段，其中长的一段的长度是______厘米．【难度】★★【答案】2．【解析】143227⨯=．【总结】考查比的概念相关的理解．【例12】 某班有学生40人，其中男女人数比是2 : 3，则女生比男生多______人． 【难度】★★ 【答案】8．【解析】40(23)8÷+=，8(32)8⨯-=． 【总结】考查对比的概念的理解．【例13】 化成最简整数比：136.8:8:1224=_____________．【难度】★★ 【答案】8:10:15．【解析】136.8:8:12 6.8:8.5:12.7524=680:850:12758:10:15==．【总结】考查最简整数比的求法．【例14】 （1）若a : b = 2 : 3，b : c = 3 : 5，求a : b : c ；（2）若a : b = 2 : 3，b : c = 2 : 5，求a : b : c ；【难度】★★【答案】(1)2:3:5；(2) 4:6:15． 【解析】(1) a : b : c=2:3:5；(2) a : b = 2 : 3=4:6，b : c = 2 : 5=6:15，a : b : c=4:6:15．【总结】考查最简整数比的求法．【例15】 如果a + b + c = 108，且a : b : c = 3 : 4 : 5，则a + c 的值是（ ）A ．72B ．36C ．18D ．9【难度】★★ 【答案】A 【解析】3510872345+⨯=++．【总结】考查根据已知比求值的方法，本题也可用设k 法求值．【例16】 已知13:4:2.52a b =，111::345b c =，则a : b : c =_____________．【难度】★★★ 【答案】4:15:36．【解析】法一由13:4:2.52a b =可得，345a b =，所以415a b =， 由111::345b c =可得，354b c =，所以125c b =，所以a : b : c =412:1:155=4:15:36．法二：1483:65252a ab b ===，所以:4:15a b =；15:334b bc c ==，所以:5:1215:36b c ==．【总结】考查由已知条件求三个数连比的方法．【例17】 若: 4.5:7.5a b =，1:0.5:3b c =，则a 比c 少几分之几？【难度】★★★ 【答案】110．【解析】9932151552a b ===，132123b c == ，3395210a b a b c c ⨯==⨯=． 【总结】考查比的转化以及一个数比另一个数少几分之几的运用．【例18】 ()()()::2:3:4ab bc ca =，则()()()::b c a c a b +++=__________________． 【难度】★★★ 【答案】9:10:7．【解析】()()()::2:3:4ab bc ca =．所以43ac a bc b ==，2346ab b ca c ===，::4:3:6a b c =， ()()()::(36):(46):(43)9:10:7b c a c a b +++=+++=．【总结】考查比的转化问题．1、 比例a 、b 、c 、d 四个量中，如果a : b = c : d ，那么就说a 、b 、c 、d 成比例，也就是表示两个比相等的式子叫做比例．比例a : b = c : d 也可以表示为a cb d=． 其中a 、b 、c 、d 分别叫做第一、二、三、四比例项． 2、 比例外项和比例内项如果a : b = c : d ，那么第一比例项a 和第四比例项d 叫做比例外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项． 3、 比例中项模块三：比例及其性质知识精讲步同级年六对于一个比例而言，如果两个比例内项相同，即a : b = b : c ，那么把b 叫做a 和c 的比例中项． 4、 比例的基本性质如果::a b c d =或a cb d=，那么ad bc =． 反之，如果a 、b 、c 、d 都不为零，且ad bc =，那么::a b c d =或a c b d=． 两个外项的积等于两个内项的积．【例19】 下列各比中，能与6 : 3组成比例的是（ ）A ．2 : 4B ．0.8 : 0.4C ．0.2 : 0.04D ．0.1 : 0.5【难度】★ 【答案】B【解析】6:320.8:0.4==． 【总结】考查比例的概念．【例20】 下列各组数，不能成比例的是（ ）A ．2、3、4、5B ．1、2、3、6C ．0.02、0.6、4、120D ．12、13、14、16【难度】★ 【答案】A【解析】A 不能满足成比例的条件． 【总结】考查比例的概念．【例21】 若b 是a 、c 的比例中项，且b : c = 3 : 2，那么a : b =______．例题解析【难度】★【答案】3:2．【解析】由题意，得：a : b = b : c = 3 : 2．【总结】考查比例中项的概念．【例22】如果x、y都不为零，且2x = 3y，那么下列各比例式中正确的是（）A．x : y = 4 : 3 B．x : 3 = y : 2 C．x : 2 = 3 : y D．x : 3 = 2 : y【难度】★【答案】B【解析】由“两个外项的积等于两个内项的积”可判断．【总结】考查比例的性质．【例23】（1）在比例a : b = c : d中，如果35b=，47c=，那么ad = ______；（2）5是4和______的比例中项．【难度】★【答案】(1)1235；(2)254．【解析】(1)由a : b = c : d，可得：1235 ad bc==；(2) 5525 44⨯=．【总结】考查比例的性质和比例中项的概念．【例24】把4.5，7.5，12，310这四个数组成比例，其外项的积是（）A．1.35 B．3.75 C．33.75 D．2.25 【难度】★★【答案】D【解析】134.57.5210⨯=⨯=94．【总结】考查四个数组成比例的条件．【例25】 如果a 的13等于b 的14（a 、b 都不等于0），则a 、b 的比值是______．【难度】★★ 【答案】34． 【解析】1134a b =，所以34a b =．【总结】考查列式运算和比值的概念．【例26】 2，5，7的第四比例项是______． 【难度】★★ 【答案】352． 【解析】573522⨯=． 【总结】考查第四比例项的概念．【例27】 已知():1:2x y x -=，则x : y =__________． 【难度】★★ 【答案】2． 【解析】因为112x y y x x -=-=，所以12y x =． 【总结】考查比的相关计算．【例28】 已知3a = 4b = 5c ，求a : b : c ． 【难度】★★★ 【答案】20:15:12． 【解析】420515315412a b b c ====，，所以::20:15:12a b c =． 【总结】考查由已知条件求三个数的连比的方法．【例29】将a添加入2，4，5后，这四个数可以组成比例，那么a =______．【难度】★★★【答案】10或85或52．【解析】45=102⨯，255=42⨯或248=55⨯．【总结】考查四个数成比例的条件，由于本题没有说明顺序，因此要分类讨论．【例30】在一个比例式中，若两个外项都是质数，且这两个外项的和是21，一个内项是385，则另一个内项是______．【难度】★★★【答案】5．【解析】因为两个外项都是质数，且这两个外项的和是21，所以这两个数为2和19，根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积，可得：另一个内项是：219=5 385⨯．【总结】考查质数的概念和比例的性质．步同级年六【习题1】下列说法正确的是（）A．3比4的比值是4 3B．两个比组成的式子叫做比例C．若a : b = 7 : 9，则a = 7，b = 9D．一个正方形的周长与边长一定成比例【难度】★【答案】D．【解析】A比值应该是34；B概念不对；C答案有无数种．【总结】考查比相关的概念．【习题2】某班有男生26人，女生22人，女生人数与全班人数的比是______．【难度】★【答案】11:24．【解析】22：（26+22）=11:24．【总结】考查求两个数的比．【习题3】甲数是乙数的8倍，乙数是丙数的12倍，甲数与丙数的比值是______．【难度】★★【答案】96．【解析】甲= 8⨯乙= 8⨯12⨯丙= 96⨯丙．【总结】考查求两个数的比值．随堂检测【习题4】已知45mn=，则m nm+=______．【难度】★★【答案】124．【解析】511+1244m n nm m+==+=．【总结】考查由已知条件求两个数的比．【习题5】如果a : b = 2 : 3，b : c = 4 : 5，那么a : b : c为（）A．8 : 12 : 15 B．4 : 6 : 15 C．8 : 10 : 15 D．6 : 8 : 18 【难度】★★【答案】A【解析】因为a : b = 2 : 3=8:12，b : c = 4 : 5=12:15，所以a : b : c=8:12:15．【总结】考查由已知条件求三个数的连比．【习题6】已知：11:16:254x=，求x的值．【难度】★★【答案】154．【解析】256154254x=⨯=．【总结】考查利用比例的性质进行计算．【习题7】 两个数的比值是35，比的前项和后项同时扩大3倍，那么比值的倒数是______．【难度】★★ 【答案】53．【解析】比的前项和后项同时扩大3倍，比值不变． 【总结】考查比的性质以及比值的概念．【习题8】 a 比b 小12，b 比c 大13，用最简整数比表示a : b : c = ____________． 【难度】★★★ 【答案】2:4:3．【解析】由题意得a:b =1:2=2:4，b:c =4:3，所以a : b : c=2:4:3．【总结】考查已知一个数比另一个数多(少)几分之几，求这个数，以及连比的表示方法．【习题9】 若x 与12、13、18这三个数可以组成比例式，则x 可能是______． 【难度】★★★ 【答案】43，316，112． 【解析】11142383⨯÷=，111328316⨯÷=，111138212⨯÷=．【总结】考查四个数成比例的条件，由于没有顺序，因此要分类讨论．【习题10】 若正整数x 、y 满足111182x y -=，且x : y = 7 : 13，则x + y =______． 【难度】★★★ 【答案】240．【解析】设7x k =，13y k =(0)k ≠，则1111137617139191182x y k k k k --=-===，12k =，所以2012240x y +=⨯=．【总结】考查由已知条件求值的方法，注意对设“k ”法的理解和运用．步同级年六【作业1】求比值：1.4小时：40分钟=__________；71:584=__________．【难度】★【答案】2110，16．【解析】1.4小时：40分钟=84分钟：40分钟=2110，71741:5848216=⨯=．【总结】考查求比值，注意有单位的需要统一单位．【作业2】已知62:473x=，则x =______．【难度】★【答案】4．【解析】146437x=⨯=．【总结】考查根据比的性质求值．【作业3】如果x、y都不为零，且2x = 3y，那么下列正确的是（）A．23xy=B．32x y=C．32xy=D．23xy=【难度】★【答案】B【解析】比例中两内项之积等于两外项之积．【总结】考查比例的性质．课后作业【作业4】下列各组数中，能组成比例的是（）A．2，3，4，5 B．12，13，16，15C．0.5，0.25，0.2，0.1 D．3，5，12，10 【难度】★★【答案】C【解析】0.50.1=0.250.2⨯⨯．【总结】考查能组成比例的条件．【作业5】某班男生人数比女生多14，男生和全班人数的比是___________．【难度】★★【答案】59．【解析】设女生人数为4x，则男生人数为5x，55 459xx x=+．【总结】考查一个数比另一个数多几分之几的意义，以及比的意义．【作业6】若2:5a b=，且2b ac=，则b : c =__________．【难度】★★【答案】25．【解析】因为2b ac=，所以2 ::5b c a b==．【总结】考查比例中项的应用．【作业7】化最简整数比：52656::3272211=________________．【难度】★★【答案】88:135:162． 【解析】52656526539453::3::::272211272211272211== 88:135:162=．【总结】考查化最简整数比的方法．【作业8】 （1）若12::53a b =，:0.2:0.7b c =，求::a b c ．（2）已知22::34a b =，:2:3a c =，求::a b c ． 【难度】★★【答案】（1）3:10:35；（2）4:3:6．【解析】（1）12::3:1053a b ==，:0.2:0.72:710:35b c ===，所以::3:10:35a b c =；（2）因为22::4:334a b ==，因为:2:34:6a c ==，所以::4:3:6a b c =． 【总结】考查由已知条件求连比的方法，注意方法的合理运用．【作业9】 任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n s t =⨯（s ，t 是正整数，且s t ≤），如果p q ⨯（p q ≤）在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p q ⨯是n 的最佳分解，并规定：()pF n q=．例如18可以分解成118⨯，29⨯，36⨯这三种，这时就有()311862F ==．给出下列关于()F n 的说法：（1）()122F =；（2）()3248F =；（3）()273F =；（4）若n 是一个完全平方数，则()1F n =．其中正确说法的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★★ 【答案】B【解析】（1）（4）正确；（2）()422463F ==； （3）()312793F ==． 【总结】本题主要考查对新题型的理解及运用．【作业10】 若x 、y 、z 满足x : y : z = 3 : 4 : 5，且222x y z xyz ++=，则x + y + z =______．【难度】★★★【答案】10．【解析】设3x k =，4y k =，5z k =(0)k ≠，则22222229162550x y z k k k k ++=++=，360xyz k =，解得：56k =，所以5(345)106x y z ++=++⨯=． 【总结】考查比的运用，以及利用设“k ”法根据已知条件求值．。

其次，实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作表现得相当积极。他们通过解决实际问题，将比例知识应用到实际情境中，这有助于巩固所学知识。但在这一过程中，我也注意到有些小组在讨论时容易偏离主题，需要我在旁边适时引导，帮助他们集中注意力。
此外，学生小组讨论环节，大家对于比例在实际生活中的应用提出了许多有趣的见解，这让我感到很欣慰。然而，我也发现部分学生在分享成果时表达不够清晰，这可能是因为他们在之前的讨论中未能充分交流。因此，我考虑在下次课中，加强学生在讨论过程中的交流与表达能力的培养。
（3）通过设计不同类型的练习题，让学生在解决过程中灵活运用比例性质，提高解题能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《比例的基本性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要比较两个数量大小的情况？”比如，在购物时比较商品的价格，或者在烹饪时比较食材的比例。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索比例的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解比例的基本概念。比例是表示两个比相等的式子，它在数学中非常重要，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，如果两个物品的价格比为3:4，那么我们可以通过比例来计算它们的价格。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调比例的定义和比例的基本性质这两个重点。对于难点部分，比如比例性质的推导和应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
4.对于学习困难的学生，可以适当进行课后辅导，帮助他们弥补知识漏洞。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与比例相关的实际问题。

两个数的比与比例的性质在数学中，比较两个数的大小是一个基本的操作。

而比例则是描述两个数之间的关系的一种方法。

在本文中，我们将探讨两个数的比和比例的性质，并探讨其在实际生活中的应用。

一、两个数的比的计算方法及性质两个数的比可以通过将这两个数相除得到。

比如，如果我们有两个数a和b，我们可以表示为a:b，它们的比可以用如下方式计算：a/b。

有一些重要的性质需要注意：1. 如果两个数的比为a:b，那么这两个数的比还可以表示为ka:kb，其中k是一个非零常数。

这意味着两个数与它们的比例是等价的。

2. 如果我们将两个数的比进行倒置，即b:a，那么它们的比例将为1/(a/b)，也就是b:a=1/(a/b)。

3. 如果两个数的比为a:b，并且另一个数c与b的比为b:c，那么a 与c的比为a:c。

这个性质称为比的传递性。

二、比例的定义及性质比例是用来描述两个或更多数量之间的关系的一种方法。

比例通常以冒号(:)或分数的形式表示。

比如，如果我们有两个数a和b，它们的比例可以表示为a:b或a/b。

比例具有以下重要的性质：1. 如果两个比例相等，即a:b = c:d，那么它们的乘积与商都相等，即a*d = b*c。

2. 如果我们改变一个比例中的一个数，并保持另一个数不变，那么所得的比例与原比例不相等。

3. 如果我们改变一个比例中的两个数的顺序，即a:b变为b:a，那么所得的比例的倒数与原比例相等。

三、比与比例的应用比和比例在我们的日常生活中有着广泛的应用。

下面是一些例子：1. 菜谱中的配料比例：当我们在烹饪菜肴时，食谱中通常会给出不同食材的比例。

这些比例指导我们如何按照正确的比例选择和混合食材。

2. 地图上的比例尺：地图上通常会有一个比例尺，它显示了地图上实际距离和地图上显示的距离之间的比例关系。

这可以帮助我们估计实际距离和地图上显示的距离之间的比例。

3. 声音和图像的比例：在音频和视频制作中，比例被广泛应用于调整音量、控制图像的大小和分辨率等方面。