青岛版数学八年级上册5.5三角形内角和定理

青岛版八年级数学上册重难点青岛版数学八年级上册重难点汇总第一章全等三角形1.1全等三角形教学重点：全等三角形的性质。

教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。

1.2如何确定三角形的同余教学重点：掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法。

教学难点：探究满足“两边一角”对应相等的两个三角形是否全等，如何画出相应的图形。

1.3直尺和量规图纸教学重点：轴对称与轴对称图形的概念及识别。

教学难点：轴对称与轴对称图形的区别和联系。

第二章图形的轴对称性2.2轴对称的基本性质教学重点：了解轴对称的基本性质，绘制轴对称图形，以及关于坐标轴对称点的坐标。

教学难点：在直接坐标系中，会求已知点关于坐标轴的对称点坐标。

2.3轴对称图形教学重点：理解连接对应点的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。

教学难点：能够使用轴对称特性制作对称点、对称图形、对称轴等。

2.4线段的垂直平分线教学重点：掌握直线段垂直平分线的性质。

能够利用直线段垂直平分线的性质来解决简单的实际问题。

教学难点：能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。

能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。

2.5角平分线的性质教学重点：重点是角平分线的性质。

教学难点：角平分线性质的由来与应用。

2.6等腰三角形教学重点：掌握等腰三角形的性质，等边三角形的性质。

教学难点：等腰三角形性质的探索。

第三章分数3.1分式的基本性质教学重点：分数的定义。

教学难点：分式有意义、值为零的条件的应用。

3.2减少分数教学重点：找到分子分母中的公因式，并利用分式的基本性质约分。

教学难点：分子、分母是多项式的分式的约分。

3.3分数的乘法和除法教学重点：探索分式的乘除法的法则。

教学难点：多项式分子或分母分数的乘法和除法及应用问题。

3.4分式的通分教学重点：确定最简单的公分母。

教学难点：分母是多项式的分式的通分。

3.5分数的加减法教学重点：同分母分数的加减法的法则，进行异分母分式的加减运算。

5.5 三角形内角和定理（1）1．根据下列条件，求ABC ∆中，C ∠的大小： （1）︒=∠︒=∠36,65B A ；（2）A C B ∠=∠=∠2； （3）︒=∠-∠︒=∠15,105C B A ；（4）C B A ∠=∠=∠．2．（1）一个直角三角形的两个锐角相等，这两个锐角各多少度？（2）一个直角三角形的两个锐角中，一个角是另一个角的2倍，这两个锐角各多少度？3．已知：如图，︒=∠︒=∠70,60,//ADE C BC DE ，求B A ∠∠、的度数．4．已知：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，︒=∠∠=∠80,ADC BAD B ，求ABC ∆各内角的度数．5．一个三角形中能不能有两个直角或两个钝角？为什么？ 6．如图，已知AB CD ACB ⊥︒=∠,90，垂足是D ．（1）2,1∠∠有什么关系？（2）2∠∠、B 有什么关系？为什么？B ∠∠、1不是相等？为什么？7．如图，BD AD ⊥于D ，AE 平分︒=∠︒=∠∠34,70,C B BAC ，求DAE ∠的度数．三角形内角和定理（1） 1．在ABC ∆中，如果C B A ∠=∠=∠2121，那么C B A ∠∠∠,,分别等于多少度？ED CBA 2．已知：如图，E DC AB ,//是BC 上一点，43,21∠=∠∠=∠．求证：ED AE ⊥．3．如图，在ABC ∆中，EC AE B BAC ⊥︒=∠︒=∠,60,50，垂足为CD E ,平分ACB ∠且分别与AE AB,交于点F D ,．求AFC ∠的度数．4．如图，已知BC AD CD AB //,//． 求证：︒=∠+∠+∠18021B ．5．如图，已知︒=∠50A ，（1）如图（1），ABC ∆的两条高CE BD ,相交于点O ，求BOC ∠的度数． （2）如图（2），ABC ∆的两条角平分线CN BM ,相交于P 点，求BPC ∠的度数．6．若一个三角形三个内角度数之比为1：5：6，那么，你能判断出它是一个什么形状的三角形吗？三角形内角和定理（1）一、选择题1.如图所示,BC ⊥AD,垂足是C,∠B=∠D,则∠AED 与∠BED 的关系是( )D CB AA.∠AED>∠BEDB.∠AED<∠BEDC.∠AED=∠BEDD.无法确定2.关于三角形内角的叙述错误的是( ) A.三角形三个内角的和是180°； B.三角形两个内角的和一定大于60° C.三角形中至少有一个角不小于60°； D.一个三角形中最大的角所对的边最长3.下列叙述正确的是 ( )A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；C.三角形中至少有两个锐角；D.三角形中至少有一个锐角.4.△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.等腰直角三角形； C.直角三角形 D.等边三角形5.在△ABC 中,∠A-∠B=35°,∠C=55°,则∠B 等于( ) A.50° B.55° C.45° D.40°6.三角形中最大的内角一定是( )A.钝角B.直角C.大于60°的角D.大于等于60°的角 二、填空题1.直角三角形的两个锐角___________.2.在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC 是________ 三角形.3.在△ABC 中,∠A=∠B=110∠C,则∠C=_______. 4.在△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠A-∠B+∠C=•120°,•则∠A=• ,• ∠B=______.5.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D,则∠B=∠________,∠C=∠________.6.在一个三角形中,最多有______个钝角,至少有______个锐角.三、计算题1.如图,已知:∠A=∠C. 求证:∠ADB=∠CEB.E DCA2.如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C=65°,AE ⊥BC 于E,AD 平分∠BAC,求∠DAE 的度数.ED CBA3.如图,在正方形ABCD 中,已知∠AEF=30°,∠BCF=28°,求∠EFC 的度数.E FDCBA四、如图,一块梯形玻璃的下底及两腰的一部分被摔碎,量得∠A=120°,•∠D=105°,你能否求出两腰的夹角∠P 的度数.PDCBA五、小明在证明“三角形内角和等于180°”时用了如图所示的辅助线的方法,即延长BC 到D,延长AC 到E,过点C 作CF ∥AB,你能接着他的辅助线的做法证明出来吗?EFDC BA六、请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD 如图所示.DCBA七、我们已经证明了“三角形的内角等于180°”,易证“四边形的内角和等于360°=2×180°,五边形的内角和等于540°=3×180°……”试猜想一下十边形的内角等于多少度?n 边形的内角和等于多少度?三角形内角和定理（2）一.选择题1.以下命题中正确的是（ ）A.三角形的三个内角与三个外角的和为540°B.三角形的外角大于它的内角C.三角形的外角都比锐角大D.三角形中的内角中没有小于60°的2.如果一个三角形的一个外角等于等于它相邻的内角，这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形3.下列说法正确的有（ ）①三角形的外角大于它的内角；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；③三角形的外角中至少有两个钝角；④三角形的外角都是钝角. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.三角形的三个外角之比为2∶2∶3，则此三角形为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形5.如果一个三角形的一个内角大于相邻的外角，这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形6.如图，∠x 的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x 为（ ）βαxA.α－βB.β－αC.180°－α＋βD.180°－α－β二.填空题7.直接根据图示填空：（1）∠α＝_________ （2）∠α＝_________ （3）∠α＝_________; （4）∠α＝_________ （5）∠α＝_________ （6）∠α＝_________α38°62° 20°α°30°25°150°α（1） （2） （3）70°α°70°60°20°α20°135°45°α（4） （5） （6） 8.如图△ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∠AFD ＝158°，则∠EDF ＝________.ABC D FE 123 AC DE12B C AED9.在△ABC 中，∠A 等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于等于∠B 的两倍，那么∠A ＝______，∠B ＝_______，∠C ＝_______.10.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC 的不同的三个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝________. 11.如图，比较∠A.∠BEC.∠BDC 的大小关系为_______________________.12.如图，把△ABC 的纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1.∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这个规律为___________________. 三.解答题13.如图，求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝180°A BFD E14.D 为△ABC 的边AB 上一点，且∠ADC ＝∠ACD.求证：∠ACB ＞∠BA15.如图，D 在BC 延长线上一点，∠ABC ，∠ACD 平分线交于E. 求证：∠E ＝12∠A AE16.如图，D 为AC 上一点，E 是BC 延长线上一点，连BD ，DE.求证：∠ADB ＞∠CDE.四.拓展探究（不计入总分）17.如图，P 是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP.∠ACP.∠A 和∠BPC 的大小，再计算一下，∠ABP ＋ ∠ACP ＋∠A 是多少度？这三个角的和与∠BPC 有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC 和∠A 的大小吗？把你的想法与同伴交流，看谁说得更有道理．ABCPD三角形内角和定理（2）一、选择题：1.三角形的一个外角等于和它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形2.下列叙述正确的是( )A.三角形的外角等于两个内角的和B.三角形的外角大于内角C.三角形任何两个内角的和都等于第三个角的外角D.三角形每一个内角都只有一个外角 3.下列说法正确的是( )A.三角形的每一个外角都大于和它相邻的一个内角B.三角形的一个外角可以等于和它相邻的一个内角C.三角形的外角和等于180°D.三角形中至少有一个外角小于和它相邻的内角4.在△ABC 中,∠A 、∠B 的外角分别是120°、150°,则∠C=( ) A.120° B.150° C.60° D.90°5.如图1,∠1=∠2.∠3=∠4,则∠5是∠1的( ) A. 2倍 B.3倍 C.4倍 D.6倍5432180︒30︒1EDCBA(1) (2) (3) 6.三角形的外角都大于和它相邻的内角,则这个三角形是( )三角形. A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 二、填空题1.在△ABC 中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C 的外角等于________.2.如图2,∠1=________.3.五角形的五个内角的和是________.4.由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的________.5.如图3,∠BAC_______∠BEC.6.在△ABC,∠A:∠B:∠C=∠1:∠2:∠3,则它们外角的比是_______. 三、计算题1. 如图,△ABC 中,∠B=∠C,外角∠DAC=100°,求∠B 、∠C 的度数.D CA2. 如图,△ABC 中,∠ABC=∠C=72°,BD 平分∠ABC,求∠ADB 的度数.DCBA3.如图,△ABC 中,∠A=80°,∠B 、∠C 的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,•求∠DOB 的度数.ODCBA四、如图,△ABC 中,∠A=90°,∠C 的平分线交AB 于D,已知∠DCB=2∠B.•求∠ADC 的度数.DCBA五、如图,P 是△ABC 内的一点,连接PB 、PC,求证:∠BPC>∠A.PCBA六、如图,E是BC延长线上的点,∠1=∠2.求证:∠BAC>∠B21EDCBA七、如图,△ABC的两外角平分线交于点P,易证∠P=90°-12∠A;△ABC•两内角的平分线交于点Q,易证∠BQC=90°+12∠A;那么△ABC的内角平分线BM与外角平分CM•的夹角∠M=_____∠A.MQPCBA三角形内角和定理（2）1．如图，已知：︒=∠︒=∠⊥29,29,DAABDE，求ACB∠的度数．2．如图，已知：在ABC∆中，43,21,90∠=∠∠=∠︒=∠B，求D∠的大小．3．如图，P 是ABC ∆内一点，延长BP 交AC 于点D ．用符号“＜”表示A ∠∠∠,2,1的关系．4．如图，已知：D 是ABC ∆的外角平分线与BA 的延长线的交点．求证：B BAC ∠>∠．5．如图，已知：P 是ABC ∆内一点．求证：BAC BPC ∠>∠．6．已知：如图，在ABC ∆中，AD 平分AD CE BAC ⊥∠,，垂足为E ． 求证：（1）ADC AEC ∠>∠；（2）B AEC ∠>∠．7．如图，在ABC ∆中，AB CE B A ⊥︒=∠︒=∠,70,30，垂足为CF E ,平分ACB ∠，求FCE ∠的度数．8．如图，在ABC ∆中，DB 和DC 分别平分内角ABC ∠和BG ACB ,∠和CG 分别平分外角CBE ∠和︒=∠∠40,A BCF ，求BDC ∠和G ∠的度数．9．如图，已知在五角形ABCDE 中，求证：︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B A ．10．如图，ABC ∆中，B C ∠>∠，D 为BC 上一点，（且不与C B ,重合） 求证：B ADB ∠>∠．11．如图，ABC ∆的两个外角EAC ∠和FCA ∠的平分线交于D 点． 求证：ABC ADC ∠-︒=∠2190．12．如图，ABC ∆中，AE BC AD C B ,,⊥∠>∠平分BAC ∠． 求证：)(21C B DAE ∠-∠=∠．三角形内角和定理（2）1、已知∠BAF 、∠CBD 、∠ACE 是△ABC 的三个外角.（如图）求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE =360°.2、已知，如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上的一点，BE 、CD 相交于点F ， ∠A =62°，∠ACD =35°，∠ABE =20°求：（1）∠BDC 的高度； （2）∠BFD 的度数.3、已知，如图，BE 、CE 分别是△ABC 的内角、外角的平分线，若∠A =40°.求∠E 的度数.三角形内角和定理一、选择题:1．如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，设∠BOC=α，则∠A 等于（ ）A ．90°-2αB ．90°-2α C ．180°-2α D ．180°-2α图1 图2 图3 图42．三角形三个内角之比为1：2：3，则该三角形三个外角之比为（ ） A ．5：4：3 B ．3：2：1 C ．1：2：3 D ．2：3：43．已知三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能4．等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（）A．55° B．70° C．55°或70° D．以上均有可能5．如图2，射线BA，CA交于点A，连接BC，已知AB=AC，∠B=40°，那么x的值是（• ）A．40 B．60 C．80 D．100二、填空题:6．如果三角形三个外角度数之比为4：2：•3，•则这个三角形的各外角度数分别为______．7．如果一个三角形的一个外角与它的一个内角相等，这个三角形只能是_____．8．如图3所示，一个顶角为40°的等腰三角形的纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=______．9．如图4所示，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=•DC，•则∠C=________.三、解答题:10．已知：如图所示，P是△ABC内一点，求证：∠BPC>∠BAC．ACPB11．如图所示，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，AB>AC，求证：∠ACD>•∠ABC．12．一个等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260°，•求这个等腰三角形的各内角的度数．三角形内角和定理一、七彩题:1．（一题多解）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD•的度数．2．（巧题妙解题）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别等于32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°就断定零件不合格．请你运用三角形有关知识说明零件不合格的原因．二、知识交叉题:3．（科内交叉题）如图所示，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，•∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFD的度数．4．（科内交叉题）如图，已知BE，CE分别是△ABC的内角∠ABC，外角∠ACD的平分线，若∠A=50°，你能求出∠E吗？若∠A= ，则∠E是多少？三、实际应用题5．在足球比赛中，球员越接近球门，射门角度（射球点与球门两边A，B间的夹角）•就越大，如图所示，你如何证明．四、经典题6．如图所示，∠1大于∠2的是（）7．如图所示，AB∥CD，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E•的大小是（）A．30° B．40° C．50° D．60°五、探究学习:1．（旋转变换题）如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着30°角的顶点B•顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．（1）三角尺旋转了多少度？（2）连接CD，试判断△CBD的形状；（3）求∠BDC的度数；2．（阅读理解题）关于三角形内角和定理的证明，•小马和小虎又各自找到了一种“创新”证法．如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．图1 图2 图3 小马的证法：如图2，延长BC到点D，则∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．因为∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），所以∠A+∠B+∠ACB=180°．小虎的证法：如图3，过点A作AD⊥BC于点D，则∠1+∠B=90°，∠2+∠C=90°（直角三角形的两锐角互余），所以（∠1+∠2）+∠B+∠C=180°，即∠BAC+∠B+∠C=•180°．你认为他们的证法对吗？说说你的看法，请给出一种你认为比较简单且正确的证法．3.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD>∠CAD，求证：AB>AC．。

八( 上) 第1章全等三角形1 . 1 全等三角形1 .2 怎样判定三角形全等1 . 3 尺规作图第2章图形的轴对称2 . 1 图形的轴对称2 . 2 轴对称的基本性质2 .3 轴对称图形2 . 4 线段的垂直平分线2 . 5 角平分线的性质2 . 6 等腰三角形第3章分式3 . 1 分式和它的基本性质3 . 2 分式的约分3 . 3 分式的乘法和除法3 .4 分式的通分3 . 5 分式的加法与减法3 . 6 比和比例3 . 7 分式方程第4章数据分析4 . 1 加权平均数4 . 2 中位数4 . 3 众数4 . 4 数据的离散程度4 .5 方差4 . 6 用计算器求平均数及方差第5章几何证明初步5 . 1 定义与命题5 . 2 为什么要证明5 . 3 什么是几何证明5 . 4 平行线的性质定理和判定定理5 . 5 三角形内角和定理5 .6 几何证明举例八( 下) 第6章平行四边形6 . 1 平行四边形及其性质6 . 2 平行四边形的判定6 . 3 特殊的平行四边形6 . 4 三角形的中位线定理第7章实数7 . 1 算术平方根7 . 2 勾股定理7 . 3 2是有理数吗7 . 4 由边长判定直角三角形7 . 5 平方根7 . 6 立方根7 . 7 用计算器求平方根与立方根7 . 8 实数第8章一元一次不等式8 . 1 不等式的基本性质8 . 2 一元一次不等式8 . 3 列一元一次不等式解应用题8 . 4 一元一次不等式组第9章二次根式9 . 1 二次根式和它的性质9 . 2 二次根式的加减法9 . 3 二次根式的乘法和除法第1 0章一次函数1 0 . 1 函数的图象1 0 .2 一次函数和它的图象1 0 . 3 一次函数的性质1 0 . 4 一次函数与二元一次方程1 0 . 5 一次函数与一元一次不等式1 0 . 6 一次函数的应用第1 1 章图形的平移和旋转1 1 . 1 图形的平移1 1 .2 图形的旋转1 1 . 3 图形的中心对称。

1三角形内角和定理证法面面观已知：如图，△ABC， 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：作BC 的延长线CD ，过C 点作CE∥AB . ∴∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2＝∠A（两直线平行，内错角相等）. ∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°（平角的定义）， ∴∠B＋∠A＋∠ACB＝180°（等量代换）.为了拓展同学们的视野，提高分析问题和解决问题的能力，以“三线八角”（即两条平行线被第三条直线所截，所构成的同位角、内错角和同旁内角）之间的关系再给出几种证法.证法一：利用同位角和同旁内角证明 证明：作CA 的延长线AD ，过A 点作MN∥BC . ∴∠C＝∠1（两直线平行，同位角相等），∠B＋∠BAN＝180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵∠1＝∠2(对顶角相等)，∠BAN＝∠BAC＋∠2（已知）， ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°（等量代换）. 证法二：利用内错角和同旁内角证明 证明：过A 点作AD∥BC .∴∠C＝∠1（两直线平行，内错角相等），∠B＋∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵∠BAD＝∠BAC＋∠1（已知），∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°（等量代换）. 证法三：利用同位角和同位角证明证明：过C 点作DE∥AB，作AC 、BC 的延长线AF 、CG. ∴∠A＝∠1，∠B＝∠3（两直线平行，同位角相等）. ∵∠1＋∠2＋∠3＝180°（平角的定义）， ∠2＝∠ACB（对顶角相等），∴∠A＋∠ACB＋∠B＝180°（等量代换）. 证法四：利用内错角和内错角证明ABCE12 A B C D1ABC DEFG1 2 3 A B CDE1 2A B CDMN1 2证明：过A点作DE∥BC.∴∠B＝∠1，∠C＝∠2（两直线平行，内错角相等）. ∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°（平角的定义），∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°（等量代换）.证法五：利用同旁内角和同旁内角证明证明：过A点作MN∥BC.∴∠B＋∠BAN＝180°，∠C＋∠CAM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠BAN＝∠BAC＋∠2，∠CAM＝∠BAC＋∠1（已知），∴（∠B＋∠BAC＋∠2）＋（∠C＋∠BAC＋∠1）＝360°（等式性质）.∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°（平角的定义），∴∠B＋∠BAC＋∠C＝360°－180°＝180°（等式性质）.AB CM N1 22。

青岛版八年级数学上册教学计划（及进度表）一、指导思想：为全面推进素质教育，培养新世纪需要的高素质人才，教育部制定了全日制义务教育各科课程新标准。

以新的教育理念，优化课堂教学结构。

在教学设计过程中，突出教师活动和学生活动，体现“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学基础理念。

培养学生的创新精神和综合实践能力。

二、学情分析：经过七年级的数学学习，大部分学生已经初步掌握了基本的数学知识和方法，具备了一定的思维能力和运算能力。

但仍有部分学生对数学学习存在畏难情绪，基础知识掌握不牢固，解题能力较弱。

在八年级的教学中，要关注学生的个体差异，采取分层教学和个别辅导，激发学生的学习兴趣，提高整体教学质量。

三、教材分析：青岛版八年级上册数学教材包括“全等三角形”“图形的轴对称”“分式”“数据分析”“二次根式”等内容。

教材注重知识的系统性和逻辑性，通过丰富的实例和数学活动，引导学生探索数学规律，培养数学思维能力。

四、教学重点难点：教学重点：1.全等三角形的判定和性质。

2.分式的运算和分式方程。

3.二次根式的运算。

4.数据分析的方法和应用。

教学难点：1. 全等三角形的综合应用。

2. 分式方程的增根问题。

3. 二次根式的混合运算。

4. 用数据分析解决实际问题。

五、教学目标:（一）. 知识与技能目标：1. 掌握全等三角形的判定和性质，能熟练运用全等三角形解决问题。

2. 理解图形轴对称的性质，能作出简单图形的轴对称图形。

3. 掌握分式的概念、性质和运算，能解决分式方程的实际问题。

4. 学会数据分析的基本方法，能根据数据进行合理的推断和决策。

5. 理解二次根式的概念、性质和运算，能进行二次根式的化简和计算。

（二）. 过程与方法目标：1.经历观察、操作、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和逻辑思维能力。

2.通过数学建模和解决实际问题，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。

（三）. 情感态度与价值观目标：1.激发学生对数学的兴趣，培养学生积极探索、勇于创新的精神。

《几何证明初步》知识回顾“平行线的有关证明”一章是证明的初步，主要涉及命题、公理、定理的有关概念，以及与平行线、三角形的内角和等有关的简单的证明.通过本章的复习，要掌握证明的格式，能利用学过的公理、定理等进行简单问题的证明或计算.一、定义与命题1.定义：对术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.如“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.3.真命题、假命题与反例真命题：正确的命题称为真命题.假命题：不正确的命题称为假命题.反例：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一二例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这个例子称为反例.4.公理、定理、证明公理：人们公认的真命题称为公理.定理：经过证明了的真命题称为定理.证明：推理的过程称为证明.例1在下列命题中，真命题是（）.A.两个钝角三角形一定相似B.两个等腰三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D.两个等边三角形一定相似析解：本题是和三角形相似的有关命题的识别，真命题就是条件成立，结论正确的命题.两个三角形是否相似，主要看是否满足下列相似的条件之一：①有两组对应角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似.所给的选项中只有两个等边三角形满足以上条件.所以选（D ）.说明：和命题有关的试题，多以选择题的形式出现，以判断真假命题类型题为主要形式.二、平行线的判定和性质1.平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行.2.平行线的判定定理1：同旁内角互补，两直线平行.3.平行线的判定定理2：内错角相等，两直线平行.平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等.4.平行线的性质定理1：两直线平行，内错角相等.平行线的性质定理2：两直线平行，同旁内角互补.注意：对于平行线的判定与性质，一定不要混淆它们的条件和结论，平行线的条件是由角的数量关系来确定直线的位置关系，平行线的性质是由平行线的位置关系来确定角的数量关系.对平行线的判定而言，“两直线平行”是结论，对平行线的性质而言，“两直线平行”是条件.因此，不能随便说“同位角相等”“同旁内角互补”.例2 如图1，AB CD ∥，EF 分别交AB CD ，于M N ，，50EMB =o ∠，MG 平分BMF ∠，MG 交CD 于G .求∠1的度数.分析：要求∠1的度数，根据两直线平行可得1BMG =∠∠，所以只要根据已知条件求出BMG ∠的度数即可.解：因为AB CD ∥，所以1BMG =∠∠（两直线平行，内错角相等）.又50EMB =o ∠，MG 平分BMF ∠， 所以11(18050)6522BMG FMB ==-=o o o ∠∠. 所以165=o ∠.说明：根据平行条件求角的度数，一般借助平行线的性质（两直线平行，同位角相等，内错角相等或同旁内角互补）解决问题，有时还要用到三角形的外角性质等.三、三角形内角和定理探究三角形内角和定理时，将三角形的三个内角“凑”在一起，拼成一个平角，从而得到三角形的内角和等于180°，这里体现了一种重要的数学思想——转化思想.三角形内角和定理的证明方法较多，除了转化为平角证明外，还可以利用“构造周角”的方法以及“两直线平行，同旁内角互补”的方法解析证明.例3 如图2，已知ABC △中，90BAC =o ∠，AD BC ⊥于D ，E 是AD 上一点.求证：BED C >∠∠.分析：BED ∠与C ∠没有直接的联系，但BED ∠、C ∠都与BAC ∠有关，因此可以用BAC ∠作中间量进行过渡.证明：在ABC △中，90ABC C +=o ∠∠，因为AD BC ⊥，所以90ADB =o ∠，在ABD △中，90ADB =o ∠，所以90ABC BAD +=o ∠∠，所以C BAD =∠∠.因为BED BAD >∠∠（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， 所以BED C >∠∠.说明：证明角的不等关系式时一般用到三角形的外角与三角形的内角的关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.四、三角形的外角三角形内角和定理的两个推论是：推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2 三角形的一个外角等于任何一个和它不相邻的内角.关于三角形外角的重要结论是三角形内角和定理的推论.第一个推论反映了一个外角与它不相邻的两个的相等关系，应用在证明或计算内角与外角的大小问题中；第二个推论反映了一个外角与它不相邻的内角的不等关系，用于证明和三角形有关的角的不等关系问题中.例4 如图3，点P 是△ABC 内的一点，连接BP 、CP.求证：∠BPC>∠BAC.分析：要求证明∠BPC>∠BAC ，通常有两种方法：一是找到第三个角，利用不等式的传递性得证；二是将∠BPC 和∠BAC 都分成两个角，利用同向不等式的和所得不等式仍然成立来证明.证法一：如图3（1）所示，延长BP 交AC 于点D.由于∠BPC 是△DPC 的外角，所以∠BPC>∠CDP.由于∠CDP 是△ABD 的外角，所以∠CDP>∠BAC.所以∠BPC>BAC.证法二：如图3（2）所示，连接AP 并延长AP.因为∠1是△ABP 的外角，所以∠1>∠3.因为∠2是△APC 的外角，所以∠2>∠4.所以∠1+∠2>∠3+∠4.又因为∠1+∠2=∠BPC ，∠3+∠4=∠BAC ，所以∠BPC>∠BAC.点评：要证角的不等关系，一般地将大角转化为某三角形的外角，将小角转化为某三角形的内角.解决本题的关键是通过添加辅助线以达到此目的.练习1、写出下列命题的条件和结论.（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.（2）对顶角相等.2、如图，在△AFD 和△BEC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面4个论断：①AD=CB ；②BE=DF ；③∠B=∠D ；④AD//BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个真命题，并证明.AC P D（1）（2） 图3 B4 1 323、在△ABC 中，∠B-∠C=40°，∠A=80°，求∠A 、∠B 、∠C 的度数，并判断△ABC 的形状？4、如图，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=______.参考答案1、解析：（1）命题一般写成“如果A，那么B”的形式，A部分为条件，B部分为结论，所以（1）中的条件“一个三角形中有两条边相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”.（2）对于命题本身不含“如果”，“那么”词语，此时需将其改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论，便不易错，所以（2）中可改成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故条件为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”.2、分析：本题是一道开放性问题，在写命题时，要根据题意找一个比较简单的，这样解答起来也较容易.解：如，已知：BE=DF，∠B=∠D，AD=CB.求证：AD//BC.证明：因为AD=CB，∠B=∠D，BE=DF，所以△ADF≌△CBE.所以∠A=∠C，所以AD//BC.3、分析：利用隐含条件：三角形的三个内角和等于180°.构造方程求解.解：因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，所以∠B+∠C=100°，又∠B-∠C=40°，所以∠B=70°，∠C=30°，所以△ABC为锐角三角形.4、分析：观察图形可知，欲求∠3的度数，可先求∠4的度数，这只要利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可.解：因为∠1=100°，所以∠4=1800°-∠1=70°.又∠2=∠3+∠4.所以∠3=∠2-∠4=140°-70°=70°.。

5.5三角形内角和定理学习目标知识目标：掌握三角形内角和定理的证明和它的简单应用。

能力目标：1．经历利用剪拼三角形验证三角形内角和定理探索证明思路的过程；2．初步领会辅助线在证明中的作用。

情感目标：培养学生思维的多样性。

学习重难点学习重点：三角形内角和定理应用。

学习难点：三角形内角和定理应用；在证明过程中结合具体题型作出简便的辅助线。

自学交流：（通读课本170 -171页内容，思考以下几个问题）1.三角形内角和定理的内容是什么？2.什么叫辅助线？在画辅助线时有什么需要注意的问题？3.三角形的一个外角与和它不相邻的两个外角有什么关系？学习准备：用纸片做两个三角形。

学习过程：一、回顾与思考（1）根据题意，；（2）根据题设、结论、结合图形，写出；（3）经过分析，写出。

二、新知探究三、动手操作，合作发现补充定理内容：三角形三个内角的和等于_______________（一）运用剪拼的方法证明三角形内角和定理（二）通过推理证明定理剪拼的方法很简单，那么如何用推理的方法证明这一定理呢？方法一：结合黑板上学生的展示提问以下两个问题：1．根据剪拼证明定理，我们发现三角形的各内角做了怎样的移动？2．如果不做剪拼，在图中你能否想到办法将三个角移到同一个顶点处？3．根据所给的图，写出已知，求证，并给出证明。

分析：等于180°的角有＿＿＿；再有，平行状态下的＿＿＿＿＿＿。

除了以上的方法，你还能对原三角形进行怎样的处理，从而也能证明三角形的内角和定理呢？小组讨论完成。

方法二：证明小结：例1在△ABC中，∠B=36°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB 的度数。

四、学以致用（一）基础巩固1、△ABC 中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？三个内角都能小于600吗？2、三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角．3、任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角．4、若一个三角形三个内角度数的比为1︰2︰3，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形5、△ABC 中，∠B=40°，∠C=60°，AD 是∠A 的平分线，则∠DAC 的度数为_____．6、在△ABC 中，若∠A+∠B=2∠C ， 则∠C=________（二）展示交流7、在△ABC 中，∠A =∠B =∠C ，则△ABC 是 三角形。

三角形的内外角关系一、三角形的内角和定理1. 定理：三角形的内角和是180°要点：①定理的证明根据是平行线的性质。

②定理的证明方法有多种，选取以下两种方法加以掌握。

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°又∠C＝90°∴∠A＋∠B＝90°∴∠A与∠B互余。

② 等边三角形的每一个内角都是60°。

∵∠D＋∠E＋∠F＝180°，又∠D=∠E=∠F，∴3∠D＝180°，∴∠D=∠E=∠F=60°定理的应用：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角。

证明方法把三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ//BC，这样就相当于把∠B移到了∠1的位置，把∠C移到了∠2的位置。

延长BC到D，过点C作射线CE//BA，这样就相当于把∠Ａ移到了∠1的位置，把∠Ｂ移到了∠2的位置。

如：在△ABC中，∠C＝180°－（∠A＋∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角。

如：在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则可设∠A、∠B、∠C为2x、3x、4x，利用方程求得度数。

二、三角形的外角1. 外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

如∠ACD与∠BCE均为外角。

2. 三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

提示：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角。

通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角。

因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的外角和是360°。

三、三角形的外角与内角的关系1. 三角形的一个外角与它相邻的内角互补，如图：∠1与∠4是邻补角，即∠1＋∠4＝180º；2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，如图：∠1＝∠2＋∠3；3. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，如图：∠1>∠2，∠1>∠3。