第9章 统计热力学初步习题答案

第9章 统计热力学初步

9.2 某平动能级的()45222

=++z

y x n n n ，试求该能级的统计权重。 解：根据计算可知，x n 、y n 和z n 只有分别取2，4，5时上式成立。 因此，该能级的统计权重为g = 3! = 6，对应于状态452245425254245,,,,ψψψψψ542ψ。

9.5 某系统由3个一维谐振子组成，分别围绕着A , B , C 三个定点做振动，总能量为211νh 。试列出该系统各种可能的能级分布方式。

解：由题意可知方程组

n j ≤3

其解即为系统可能的分布方式。

已知一维谐振子的能级公式为：ε =（ν+1/2）h ν，可能的分布方式如下：

9.8 若将双原子分子看作一维谐振子，则气体HCl 分子与I 2分子的振动能级间隔分别是J 1094.520-⨯和J 10426.020-⨯。试分别计算上述两种分子在相邻振动能级上分布数之比。

解：谐振子的能级为非简并的，且为等间隔分布的.根据玻耳兹曼分布，有

()⎩⎨⎧⨯=∆-=-+271

I for 0.3553

HCl for 10409.5exp kT n n j j ε 对于HCl ：

对于I 2：

9.23 试由p V A T -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂导出理想气体服从NkT pV =

解：正则系综特征函数()T V N Q kT A ,,ln -=，对理想气体

()()!ln ln ln !ln ln !

ln ,,ln N k q q q q NkT q NkT N kT q NkT N q kT T V N Q kT A n e v r t N

+--=+-=-=-=

只有平动配分函数与体积有关，且与体积的一次方程正比，因此：

NkT pV V NkT V q NkT V A T

t T =∴-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ln

9.24 试证明：含有N 个粒子的离域子系统于平衡时，

（1）!

ln N q kT A N

-= （2）)ln (!ln V

q NkTV N q k G N ∂∂+-= 证：（1）A 的定义式为TS U A -=

离域子系统 Nk T

U N q Nk S ++=ln

代入定义式，得 NkT N q NkT A --=ln 根据斯特林公式的近似式： N N N N -=ln !ln

有 !

ln N q kT A N

-= （2）已知 pV A G += 将!ln N q kT A N -=及T T N T V q NkT N N q kT p V A )ln (])!/ln([)(∂∂-=∂∂-=-=∂∂代入上式，得 )ln (!ln V

q NkTV N q k G N ∂∂+-=