第二十一章 二次根式知识点总结及经典例题

4、不会比较根式的大小5、不会利用二次根式的非负性6、对最简二次根式的条件掌握不牢八、经典例题例1、求下列各数的平方根与算术平方根（ ）A.36B.81121 C.2-（5） D.41【答案】A.2=36±（6）∴36的平方根为6±，即6± ∴36的算术平方根为6，即B.2981=11121±（）∴81121的平方根为911±，即911±∴81121的算术平方根为911，即911 C.25=25±（）∴2-（5）的平方根为5±，即5± ∴2-（5）的算术平方根为5，即D.()241=41±∴41的平方根为 ∴41【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示．练习1、计算：（1 （2）【答案】（1）211=121（2）20.9=0.810.9±表示121的算术平方根，表示0.81的平方根，、的意义是解答本题的关键例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3∴3a-5=4∴这个数为24=16【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。

练习1、x为何值时，下列各式有意义。

【答案】解：A.10x-≥，即1x≥有意义B.10x-≥且0x≥，即01x≤≤有意义C.10x+>，即1x>-D.230x+≥，即x都有意义【解析】a≥例3、【答案】解252736<<<<即56<<的整数部分是5【解析】处在哪两个完全平方数之间.例4、:x y【答案】解：33y-1和互为相反数3y-1∴和1-2x互为相反数3y-1+1-2x=0∴:=3:2x y∴互为相反数，则a和b互为相反数，所以本题中3y-1与1-2x 互为相反数例5、实数0.5的算术平方根等于（）.D.1 2【答案】C【解析】理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.例6、的算术平方根是（）A. 4±B. 4C. 2±D. 2【答案】D【解析】4的算术平方根，4的算术平方根为2.例7、根据下列运算正确的是（）3=2 C. (x+2y)2=x2+2xy+4y2 D. A.x6+x2=x3 B.√−8√18−√8=√2【答案】解：A、本选项不能合并，错误；3=-2，本选项错误；B、√-8C、（(x+2y)2=x2+2xy+4y2，本选项错误；D、√18-√8=3√2-2√2=√2，本选项正确．故选D【解析】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．例8、）【答案】B综合练习简单1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．<1 B．≥1 C．≤－1 D．<－1【答案】B【解析】由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.2.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1【答案】D解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选D．【解析】代数式√x有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．x-13.要使式子2-x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2【答案】D解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．4. 下列计算正确的是（）=√2 D.3+2√2=5√2 A.4√3-3√3=1 B.√2+√3=√5 C.2√12【答案】C【解析】 A、4√3-3√3=√3，原式计算错误，故本选项错误；B、√2与√3不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；=√2，计算正确，故本选项正确；C、2√12D、3+2√2≠5√2，原式计算错误，故本选项错误；根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．5. 若，则＝【答案】6【解析】原方程变为：，所以，，由得：＝3，两边平方，得：＝7，所以，原式＝7－1＝6中等题1.结果是。

二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1：二次根式的定义：形如()0≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a 才有意义．【例1】下列各式()511，()52-，()232+-x ，()44，()2315⎪⎭⎫ ⎝⎛-，()a -16，()1272+-a a 其中是，二次根式的是_________（填序号）．变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、a B 、10-C 、1a +D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是． 变式：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式：1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 2、当a 取什么值时，代数式112++a 取值最小，并求出这个最小值。

【例4】已知a 是5整数部分，b 是5的小数部分，求12a b ++的值。

变式：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。

2、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求yx 12+的值. 知识点2：2、双重非负性：a a ()≥0是一个非负数．即①0≥a；②0≥a3、平方的形式（双胞胎公式）：（1）()()a aa 20=≥；（2）a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()．公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系：（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 【例5】若()04322=-+-+-c b a 则c b a +-=．变式:若1+-b a 与42++b a 互为相反数，则()2017b a -=。

清水中学九年级数学人教版 第二十一章 二次根式 复习提纲一、知识结构二、知识点归纳(一)二次根式的概念：（1）二次根式：式子a (a ≥0)叫做二次根式．（2）最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同。

，这几个二次根式就叫做同类二次根式．(4)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

(5)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有理化因式．（6）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。

（二）二次根式的性质．20)(0);,(0)0,(0),(0)0,0)____(0,0);a a a a a a a a a a b a b ≥=≥>⎧⎪===⎨⎪-<⎩=≥≥=≥>是一个非负数；（*）（三）二次根式的运算：（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。

（20,0,0)a b a b =≥≥=≥>注意：做乘法时要灵活运用乘法分式；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化； 化简时要注意a 的正负性，尤其是隐含的正负性．三、典型习题（一）二次根式的概念1．（06泸州）要使二次根式1-x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是( ) (A)x≥1(B)x≤1(C)x>1(D)x<12．(06眉山) 若 2-x 有意义，则X 的取值范围（ ） A 、x > 2 B 、x ≥ 2 C、x < 2 D 、x ≤ 23．（05x 的取值范围是（ ） A 、2x ≠ B 、2x ≥ C 、2x > D 、2x ≤ 4．（05福州）如果代数式1-x x有意义，那么x 的取值范围是（ ） A 、0≥x B 、1≠x C 、0>x D 、10≠≥x x 且5．（05 Ａ、a<1 Ｂ、a ≤1 Ｃ、a ≥1 Ｄ、a>16．（04x 必须满足的条件是 A ．x ≥1 B ．x ＞－1 C ．x ≥－1 D ．x ＞1 7．（05荆门）如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 8．（02哈尔滨）如果式子x341-在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 。

初三数学知识点 第一章二次根式知识点1 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 性质：a （0≥a ）是一个非负数；()()02≥=a a a ；()02≥=a a a 。

2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=∙b a ab b a ；()0,0>≥=b a baba 。

3 二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

4 海伦-秦九韶公式：))()((c p b p p p S ---=，S 是三角形的面积，p 为2cb a p ++=。

第一章二次根式21.1二次根式练习一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A B C D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5BC ．15D ．以上皆不对 二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x +x 2在实数范围内有意义？3．4.x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习1. 当0a ≤，0b __________=。

2. _____,______m n ==。

3. __________==。

4. 计算：_____________=。

5. ，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。

6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）7. 已知0xy ，化简二次根式的正确结果为（ ）C.8. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ）A. 2a b =+a b =+22a b =+a b =+9. -和- ）A. -- ---=-不能确定10. ）A. 它是一个非负数B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式D. 它的最小值为3 11. 计算：()1()2()(()30,0a b -≥≥ ())40,0a b()5()6⎛÷ ⎝12. 化简：())10,0a b ≥≥ ()2()3a13. 把根号外的因式移到根号内：()1.-()(2.1x -第一章二次根式21.3 二次根式的加减练习1. ）2. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. 不是同类二次根式的是（ ）4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）5. 若12x ）6. 10=，则x 的值等于（ ） A. 4 B. 2± C. 2 D. 4±7. x ，小数部分为y y -的值是（ ）A. 3 C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（ ）=a b =-C. (a b =-2==9. 是同类二次根式的是 。

第二十一章 二次根式知识点归纳1．定义：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。

2．二次根式a 有意的条件：3．性质：（1）双重非负性：即a ≥0且a ≥0（2）⎩⎨⎧<-≥==0,0,2a a a a a a（3）2)(a =a (a ≥0)4．同类二次根：被开方数相同的二次根式最简同类二次根式：⎩⎨⎧尽的因数或因式被开方数不含开方开得或分母不含根号被开方数不含分母）（5．把根号外面的因数或因式移到根号内：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=--=≥≥=0,00,0222b a b a b a b a b a b a b a 6．二次根式的大小比较：先把根号外的因数或因式全部移到根号内，再进行大小比较。

7．分母有理化： （1）()01>=∙=a a aa a a a（2）()()()0,0,01≠-≥≥-+=+-+=-b a b a ba ba ba ba ba b a（3）()()()0,0,01≠-≥≥--=-+-=+b a b a ba ba ba ba b a ba8．运算法则：（1）加减法则：将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（2）乘除法则：()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=≥≥=∙0,00,0b a b ab a b a ab b a （3）混合运算法则。

复习题1．已知a, b, c 满足04122212=+-+++-c c c b b a ，求)(c b a +-的值。

2．已知y=32552--+-x x ，求2xy 的值。

3．已知a （a －3）≤0，若b=2－a ，求b 的取值范围。

4．已知点P （x,y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的哪个像限？ 5．若()a a 21122-=-，求a 的取值范围。

6．已知实数a, b, c 满足32388++-+--=--+-+c b a c b a b a b a 请问：长度分别为a, b, c 的三条线段能否构成一个三角形？若能，求出该三角形的面积。

21.1 二次根式知识点1.二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。

因此，一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。

二次根式a 的特点：（1）在形式上含有二次根号 ，表示 a 的算术平方根。

（2）被开方数 a ≥0，即必须是非负数。

（3）a 可以是数，也可以是式。

（4）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。

2.二次根式中字母的取值围的基本依据：(1)被开方数不小于零。

(2)分母中有字母时，要保证分母不为零。

3.二次根式的相关等式：a a =2(a ≥0) ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 相关例题1.二次根式的概念例题一： 下列各式中144,20,,1,3,152222-++-m b a b a ， 二次根式的个数是（）考点： 二次根式的概念．分析： 二次根式的被开方数应为非负数，找到根号为非负数的根式即可． 解答： 解：3a ，12-b 有可能是负数，-144是负数不能作为二次根式的被开方数，所以二次根式的个数是3个。

点评： 本题考查二次根式的概念，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知识点．变式一:下列各式中①，a ②，z y +③，6a ④，32+a ⑤，962++x x ⑥，12-x 一定是二次根式的有()个。

解：①被开方数a 有可能是负数，不一定是二次根式；②被开方数y+z 有可能是负数，不一定是二次根式；③被开方数6a 一定是非负数，所以③一定是二次根式；④被开方数32+a 一定是正数，所以④一定是二次根式；⑤被开方数22)3(96+=++x x x 一定是非负数，所以⑤一定是二次根式； ⑥被开方数12-x 有可能是负数，不一定是二次根式； 一定是二次根式的有3个，故选C ．点评： 用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数；一个数的偶次幂一定是非负数，加上一个正数后一定是正数．2.二次根式中字母的取值围的基本依据例题二：函数y=31-x 中自变量x 的取值围是 _______ ．考点： 函数自变量的取值围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件． 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式即可求解． 解答： 解：依题意，得x ﹣3＞0，解得x ＞3．点评： 本题考查的是函数自变量取值围的求法．函数自变量的围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数． 变式二：若式子x x 1+有意义，则x 的取值围是_______ ．考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析： 根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．解答： 解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x ≥﹣1，又因为分式的分母不能为0，所以x 的取值围是x ≥﹣1且x ≠0．点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质： 概念：式子a （a ≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义； 当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零．3.二次根式的相关等式例题三：对任意实数a ，则下列等式一定成立的是（ ）A ．a a =B ．a a -=2C ． a a ±=2D ． a a =2考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 计算题．分析： 根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答：解：A 、a 为负数时，没有意义，故本选项错误；B 、a 为正数时不成立，故本选项错误；C 、a a =2，故本选项错误．D 、故本选项正确． 故选D ．点评： 本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．练习题 11x x>0）、2、当x 在实数围有意义？3、当x 11x +在实数围有意义？ 4、下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．．x5．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A ．1x6．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5B ．15D ．以上皆不对 7．形如________的式子叫做二次根式．8．面积为a 的正方形的边长为________．9．负数________平方根．10、计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24． 2课后作业1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x 是多少时，x+x 2在实数围有意义？3．4.x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数5.已知a 、b =b+4，求a 、b 的值．6、计算（1）2（2）-2（3）（122（4）（）2(5)练习题与课后作业答案练习题1、x>0）x≥0，y≥0）；不、1x1x y+．2、解：由3x-1≥0，得：x≥13，当x≥13在实数围有意义．3、解：依题意，得23010xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥-3 2由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-1+11x+在实数围有意义．4．A 5．D 6．B7a≥0） 8．没有10、解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9作业题1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x ≠0＋x 2在实数围没有意义． 3.134．B5．a=5，b=-46、．（1）2=9 （2）-2=-3 （3）（122=14×6=32（4）（2=9×23=6 (5)-621.2二次根式的乘除法知识点1.二次根式的乘法 )0,0(≥≥=⋅b a ab b a),0(o b a b a ab ≥≥⋅=2.二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式：)0,0(>≥=b a ba b a )0,0(>≥=b a ba b a （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。

二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1. ；2. ；3. ；4.积的算术平方根的性质：；5.商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2.二次根式的加减运算先化简，再运算，3.二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.a - 3 x x 2 +1 x -1(x -1)2 2x -3 - 1 2x + 15 + x x + 4x (x -1) x x -1 x + 3 x +13m - 1 20m 10x -1 a - 2005 x - 3 3 - x m 2 - 9 + 9 - m 2 + 2 mn b - 3 x - y - m a 2 x 3 + 3x 2 - a 3b - ababab - ab(a + b - c )2 (b - c - a )2 (b + c - a )2 x 2 + 6x + 9 x 2 -10x + 25 1- 2a + a 2 ⎪⎩一. 利用二次根式的双重非负性来解题（ ≥ 0 （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

）1. 下列各式中一定是二次根式的是（）。

A 、 ； B 、 ；C 、 ；D 、2. 等式 ＝1－x 成立的条件是．3. 当 x时，二次根式 有意义．4.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1）（2）（3）（ 4） 若 = ， 则 x 的 取 值 范 围 是 （ 5） 若 = x + 3 ， 则 x 的 取 值 范 围x +1是。

6. 若有意义，则 m 能取的最小整数值是 ；若 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是．7. 当 x 为何整数时，+1 有最小整数值，这个最小整数值为。

二次根式知识点梳理及经典练习知识点1：二次根式的概念1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． [练一练]：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、)0(≥a a2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______题型二：二次根式有意义【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ．[练一练]：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限题型三：二次根式定义的运用[练一练]：A．－1 B．1 C．2 D．3题型四：二次根式的整数部分与小数知识点2：二次根式的性质常用到．注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．题型一：二次根式的双重非负性【例4】若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．[练一练]：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。

2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。

人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习【知识点】1.二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。

2.平方根的性质：a) 对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a · √b。

b)对于任意非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。

c)对于任意非负实数a和b，有√a+√b≠√(a+b)。

d)对于任意非负实数a和b，有√a-√b≠√(a-b)。

e)在二次根式的分母中，不能包含含有根号的项。

3.二次根式的运算：a)二次根式的加减运算：将同类项相加减，并化简。

b)二次根式的乘除运算：将二次根式的底数进行乘除运算，并化简。

c)二次根式的化简：将二次根式的底数分解质因数，并化简。

4.二次根式的画线运算：对于二次根式的运算式，可以使用欧拉公式或有理化等方法，将二次根式的运算式写成一般的数学运算表达式。

【练习题】1.计算下列二次根式的值：a)√9b)√(5+3)c)√(12+2√3-7√5)d)√(15-7√2+8√3-14√6)2.化简下列二次根式：a)√(3+2√2)b)√32-√18c)√(6-4√3+2√6)d)√(√(8-3√5))3.将下列二次根式化简，并且写成最简形式：a)√(6√2-3√18)b)√(5+2√3-√(8-2√5))c)√(10-4√6+√(24-10√6))d)√(6+√(8-4√3+3√(4-2√3)))4.计算下列二次根式的值：a)(√3+√2)²b)(√5-√3)·(√5+√3)c)(√2+√3)²-2√6d)(√5+√6)²+2√305.给出二次根式的运算结果：a)(√2+2)²b)(√(3-2√2)+√(3+2√2))²c)(√(8-4√3)-√(6-2√3))²d)(√(12-4√5)+√(3-2√5))²。

二次根式的运算知识点及经典试题知识点一：二次根式的乘法法则：ab b a =⋅（0≥a ，0≥b ），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；（2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如416=. 知识点二、积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=（0≥a ，0≥b ），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：（1）在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足0≥a ，0≥b 才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； （2） 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有2a 形式的a 移到根号外面. （3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：()()⨯2②利用积的算术平方根的性质b a ab ⋅=（0≥a ，0≥b ）；③利用⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a （一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外；（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简知识点三、二次根式的除法法则：baba =（0≥a ，0>b ），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质bab a =（0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0. （2）步骤：①利用商的算术平方根的性质：bab a =（0≥a ，0>b ） ② 分别对a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化，即a a =2)(（0≥a ） （3） 被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式. 要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的带分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数； (2)被开方数是多项式的要进行因式分解； (3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外； (5)化去分母中的根号； (6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.知识点与讲义3二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； (3)合并同类二次根式. 知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次 式之和或差，或是有理 式. 规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减. (1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算 (1)×； (2)×； (3)×； (4)×.解：(1)×=； (2)×==；(3)×==9； (4)×==.2、计算：(1)； (2)； (3)； (4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2； (2)==×2=2；(3)===2； (4)===2.3、化简(1)； (2)； (3)； (4)； (5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12； (2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy (5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)； (2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确改正：×=×===＝4.4、化简：(1)； (2)； (3)； (4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=(2)=(3)=；(4)=.举一反三知识点与讲义5【变式1】已知，且x 为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x ≤9，∵x 为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m ＞0，n ＞0)； (2)-3÷()× (a ＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)； (2)； (3)； (4)； (5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( ) A. B. C.D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.知识点与讲义7总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a 、b 的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；• 事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b ．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算 9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三 【变式1】计算(1)3-9+3； (2)(+)+(-)；(3)； (4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15； (2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01)解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)× (2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).（3）()()200020013232______________-+=思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.（3）略类型六、化简求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y2-6y+9=0∴(2x-1)2+(y-3)2=0∴x=，y=3知识点与讲义9原式=+y2-x 2+5x=2x +-x +5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x +)-(4y +)，其中x=，y=27．解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】.已知x=2+1，求（22121x x x x x x +---+）÷1x 的值．类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？ 解：设底面正方形铁桶的底面边长为x ，则x 2×10=30×30×20，x 2=30×30×2， x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出： a=_______(a＞0)，并验证你的结论．解：a=验证：a====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.【变式1】对于题目“化简求值：1a+2212aa+-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同．甲的解答是：1a+2212aa+-=1a+21()aa-=1a+1a－a=2495aa-=知识点与讲义11乙的解答是：1a +2212a a+-=1a +21()a a -=1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？跟踪练习21.1 二次根式： 1. 使式子4x -有意义的条件是 。

形如()0≥a a 的式子叫做二次根式。

剖析：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以0≥a 是a 为二次根式的前提条件。

知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当0≥a 时，a 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当0<a 时，a 没有意义。

知识点三：二次根式()0≥a a 的非负性()0≥a a 表示a 的算术平方根，也就是说，()0≥a a 是一个非负数，即。

剖析：因为二次根式()0≥a a 表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（0≥a ）的算术平方根是非负数，即，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若0=+b a ，则0,0==b a ；若0=+b a ，则0,0==b a ；若02=+b a ，则0,0==b a 。

知识点四：二次根式()2a 的性质()()02≥=a a a 自然语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

剖析：二次根式的性质公式()()02≥=a a a 是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若0≥a ，则()2a a =，如：()222=，22121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=. 知识点五：二次根式的性质()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a 自然语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

剖析：1、化简2a 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即()02≥==a a a a ；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即()02<-==a a a a ；3、化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简。

第二十一章二次根式复习（1）：1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5 ，都是最简二次根式。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

如, , 就是同类二次根式，因为=2 ，=3 ，它们与的被开方数均为2。

4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

如与，a+ 与a- ，- 与+ ，互为有理化因式。

二次根式的性质：1. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a ≥0,b≥0）。

5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a≥0,b>0）。

21.2 二次根式的乘除1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。

说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；（2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）；（≥0，≥0，≥0，≥0）。

（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。

也称“积的算术平方根”。

它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。

2. 二次根式的除法两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。

说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0；（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。

二次根式小结与复习本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2. 二次根式的性质：①②③④3. 二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．①二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

即：先化简二次根式，但二次根式的被开方数不含分母，不含能开得尽的因数，然后合并被开方数相同的二次根式．注意：对于二次根式的加减，•关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．②二次根式的乘法：③二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时要考虑字母的取值范围，运算结果化成最简二次根式．④二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成8．⑤有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：A．与；B．与C．与；D．与利用有理化因式的特点可以将分母有理化．【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若m＜0，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．二次根式强化训练与复习巩固自测试题【时间60分钟满分100分】一、填空题：（每小题2分，共20分）1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．6．分母有理化：（1）__________；（2）__________；（3）__________．7．已知，，，那么________．8．计算_________．9．如果，那么的值为___________．10．若有意义，则的取值范围是___________．一、填空题：1． 8；2．；3．，；4．；5．；6．（1）（2）（3）7．；8．；9．4；10．；二、选择题：（每小题2分，共20分）1．下式中不是二次根式的为（）A．；B．；C．；D．2．计算得（）A．；B．C．D．173．若，则化简等于（）A．B．C．D．14．化简的结果是（）A．B． C．D．5．计算的结果是（）A．B．C． D．6．化简的结果是（）A．2 B．C．D．以上答案都不对7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A．B．C．D．8．等式成立的条件是（）A．B．C．D．9．的值为（）A．B．C．D．10．若代数式有意义，则的取值范围是（）A．且B．C．且D．且二、选择题：1．B；2．B；3．C；4．A；5．A；6．C；7．C；8．A；9．B；10．C；三、计算与化简：（每小题2分，共16分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）三、计算与化简：（1）96 （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思路点拨：由于，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，•再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入化简得结果即可．解：原式．四、求值题：（每小题4分，共16分）1．已知：，求的值．1．0 2．已知，求的值。

二次根式知识点总结及常见题型二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如$a\sqrt{a}$的式子叫做二次根式。

其中$\sqrt{a}$叫做二次根号，$a$叫做被开方数。

1) 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。

据此可以确定字母的取值范围。

2) 判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断：①是否含有二次根号“$\sqrt{}$”；②被开方数是否为非负数。

若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式。

3) 形如$m\sqrt{a}$的式子也是二次根式，其中$m$叫做二次根式的系数，它表示的是：$m\sqrt{a}=m\cdot\sqrt{a}$。

4) 根据二次根式有意义的条件，若二次根式$A-B$与$B-A$都有意义，则有$A=B$。

二、二次根式的性质二次根式具有以下性质：1) 双重非负性：$a\geq0$，$\sqrt{a}\geq0$。

（主要用于字母的求值）2) 回归性：$(\sqrt{a})^2=a$，其中$a\geq0$。

（主要用于二次根式的计算）begin{cases}sqrt{a}(a\geq0)\\sqrt{a}(a\leq0)end{cases}$（主要用于二次根式的化简）重要结论：1) 若几个非负数的和为0，则每个非负数分别等于0.若$A+B^2+C=0$，则$A=0$，$B=0$，$C=0$。

应用与书写规范：$\because A+B^2+C=0$，$A\geq0$，$B^2\geq0$，$C\geq0$，$\therefore A=0$，$B=0$，$C=0$。

该性质常与配方法结合求字母的值。

2) $\begin{cases}A-B(A\geq B)\\frac{(A-B)^2}{A+B}\end{cases}$（主要用于二次根式的化简）3) $AB=\begin{cases}A\cdot B(A>0)\\A\cdot B(A<0)\end{cases}$，其中$B\geq0$。