(文章)全等三角形中考尝新

清单02 全等三角形（8个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）【知识导图】【知识清单】考点一．全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．1．（2022秋•剑阁县期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形2．（2022秋•东莞市期末）下列各组图形中，是全等形的是（）A．两个含60°角的直角三角形B．腰对应相等的两个等腰直角三角形C．边长为3和4的两个等腰三角形D．一个钝角相等的两个等腰三角形考点二．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．3．（2022秋•庄河市期末）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．50°B．71°C．58°D．59°4．（2022秋•丹阳市校级期末）已知△ABC≌△DEF，AC＝9cm，则DF＝cm．考点三．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5．（2022秋•莘县期末）如图，BC＝BD，那么添加下列选项中的一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD 的是（）A．AC＝AD B．∠BAC＝∠BAD C．∠ABC＝∠ABD D．∠C＝∠D＝90°6．（2022秋•嘉鱼县期末）如图，点A、D在线段BC的两侧，且∠A＝∠D＝90°．试添加一个条件，使△ABC≌△DBC．并写出证明过程．7．（2023春•渠县校级期末）已知：如图，AC∥DF，点B为线段AC上一点，连接BF交DC于点H，过点A作AE∥BF分别交DC、DF于点G、点E，DG＝CH，求证：△DFH≌△CAG．8．（2023春•鄠邑区期末）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．考点四．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．9．（2022秋•衡山县期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和斜边对应相等10．（2022秋•磁县期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（）A．AC＝AD或BC＝BD B．AC＝AD且BC＝BDC．∠BAC＝∠BAD D．以上都不对11．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2．求证：△ADE≌△BEC．12．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．13．（2022秋•雄县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．考点五．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．14．（2022秋•大田县期末）如图，正方形ABCD是一张边长为12cm的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中P，Q，R三点分别在边CD，AD，BC 上，且PD＝2DQ，PC＝CR．（1）若DQ＝x，将△PDQ的面积用含x的代数式表示；（2）五边形PQABR的面积是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．15．（2022秋•荣昌区期末）如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．（1）求证：BE＝CF；（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．16．（2022秋•宿城区校级期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE．17．（2022秋•孝南区期末）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝21，EC＝9，求BC的长．考点六．全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．18．（2023春•长安区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．19．（2022秋•永城市校级期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D 在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的长．20．（2022秋•新化县期末）【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．考点七．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE21．（2022秋•双流区期末）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥AB，BD平分∠ABC交AD于D 点．（1）求证：∠ADE＝∠AED；（2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积．22．（2022秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D 作DE⊥AB，垂足为E，此时点E恰为AB的中点．（1）求∠CAD的大小；（2）若BC＝9，求DE的长．考点八．作图—尺规作图的定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．23．（2022秋•长安区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A．B．C．D．24．（2022秋•青秀区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【核心素养提升】逻辑推理——构建全等三角形进行证明1．（2022秋•香坊区期末）如图，等边△ABC中，CH⊥AB于点H，点D、E分别在边AB、BC上，连接DE，点F在CH上，连接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，则DH＝．2．（2022秋•江岸区期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD且AC＝5，将BC沿BA方向平移至AE，连接CE、DE，若以AC、BD和DE为边构成的三角形面积是，则DE ＝．3．（2022秋•葫芦岛期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C 在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．【中考热点聚焦】热点1.三角形全等的判定1．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．2．（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．热点2.三角形全等的判定和性质的综合应用3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．4．（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．5．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．6．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．7．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．8．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求证：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．热点3.三角形全等的实际应用9．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC 10．（2022•百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）求草坪造型的面积．热点4.角的平分线的性质11．（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为．12．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．。

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识重点1、全等三角形的概念：（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

3、三角形全等的判定：(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。

(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。

(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。

(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

一、选择题1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC≌△EDC，AC=3cm，DC=5cm，则BE=（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．30°C．35°D．25°4．小亮设计了如下测量一池塘两端AB的距离的方案：先取一个可直接到达点A，B的点O，连接AO，BO，延长AO至点P，延长BO至点Q，使得OP=AO，OQ=BO再测出PQ的长度，即可知道A，B之间的距离．他设计方案的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS5．如图，点F，E在AC上AD=CB，∠D=∠B添加一个条件，不一定能证明△ADE≌△CBF的是（）A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE=BF D．AE=CF6．如图所示∠E=∠D，CD⊥AC于点C，BE⊥AB于点B，AE交BC于点F，且BE=CD，则下列结论不一定正确的是（）A．AB=AC B．BF=EF C．AE=AD D．∠BAE=∠CAD 7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5 F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（）A．4 B．5 C．5.5 D．68．如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题9．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF 相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是．10．若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点∠A=50°，∠B=60°则∠F=. 11．如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为；12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知BC=8，DE=2则△BCE 的面积等于．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE= cm．三、解答题14．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：AB∥DF．15．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≅△ABC.16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB．求证：CD+AB＝AD．17．已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：（1）OD=OE；（2）OB=OC．18．如图，在△ABC中AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上AF=AC，连接EF．（1）求证：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．（1）求∠AOE得度数；（2）求证：AC=AE+CD．参考答案1．A2．B3．C4．A5．D6．B7．A8．C9．HL10．70°11．12.5cm212．813．1214．解：∵ BE＝CF∴BE−CE=CF−CE∴BC=FE∵ AB＝DF，AC＝DE∴△ABC≌△DFE(SSS)∴∠B＝∠F∴AB∥DF．15．证明：∵DE⊥AC，∠DEC=90°又∵∠B=90°∴∠DEC=∠B=90°∵CD∥AB，∴∠A=∠DCE在△CED和△ABC中{∠DCE=∠A CE=AB∠DEC=∠B∴△CED≅△ABC(ASA).16．证明：如图，过点E作EF⊥AD于F∵∠B＝90°，AE平分∠DAB∴BE＝EF在Rt△EFA和Rt△EBA中{EF=EBAE=AE∴Rt△EFA和≌Rt△EBA（HL）．∴AF＝AB∵E是BC的中点∴BE＝CE＝EF在Rt△EFD和Rt△ECD中{EF=ECDE=DE∴Rt△EFD和≌Rt△ECD（HL）．∴DF＝CD∴CD+AB＝DF+AF＝AD∴CD+AB＝AD．17．（1）证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC ∴OD=OE（2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC∴∠BDO=∠CEO=90°在△BDO和△CEO中{∠BDO=∠CEO DO=CO∠BOD=∠COE∴△BDO≌△CEO（ASA）∴OB=OC18．（1）证明：射线AD平分∠BAC∴∠CAE=∠FAE 在△AEC和△AEF中{AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE∴△AEC≌△AEF(SAS)；（2）解：∵△AEC≌△AEF(SAS)∴∠AEC=∠AEF∵∠AEB=50°∴∠AEC=180°−∠AEB=180°−50°=130°∴∠AEF=∠AEC=130°∴∠BEF=∠AEF−∠AEB=80°∴∠BEF为80°．19.18．（1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=60°∴∠ACB=30°∵AD平分∠BAC，CE平分∠BAC∴∠CAD=12∠BAC=45°，∠ACE=12∠ACB=15°∵∠AOE是△AOC的外角∴∠AOE=∠CAD+∠ACE=60°；（2）证明：在AC上截取CF=CD，连接OF∵CE平分∠ACB∴∠DCO=∠FCO在△DCO和△FCO中{CD=CF∠DCO=∠FCOOC=OC∴△DCO≌△FCO(SAS)∴∠COD=∠COF∵∠AOE=60°∴∠COD=∠COF=60°∴∠AOF=180°−∠AOE−∠COF==60°∴∠AOE=∠AOF∵AD平分∠BAC∴∠EAO=∠FAO在△EAO和△FAO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△EAO≌△FAO(ASA)∴AE=AF∵AC=AF+CF∴AC=AE+CD．。

八年级上册数学全等三角形期中考要点整
理
全等形
能够完全重合的两个图形叫做全等形(congruentfigures).能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形(congruenttriangles).把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.全等用符号“”表示，读作“全等于”.
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2.把两个全等的三角形重合到一起;重合的顶点叫做对应顶点;重合的边叫做对应边;重合的角叫做对应角。

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2016-2017学年初二上册数学知识点（各版本、各单元）。

专题01 全等三角形一、单选题1．（2021·全国）在ABC 中，B C ∠=∠，与ABC 全等的三角形有一个角是100︒，那么在ABC 中与这100︒角对应相等的角是（ ）A ．A ∠B ．BC ．C ∠D ．B 或C ∠【答案】A【分析】 根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠B 与∠C 不能是100°，再根据全等三角形的对应角相等解答即可．【详解】解：在ABC 中，三角形的内角和等于180°，∠B C ∠=∠，∠B ∠、C ∠不能等于100°，∠在∠ABC 中与这个100°的角对应相等的角只能是A ∠．故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的对应角相等的性质，三角形的内角和等于180°，根据B C ∠=∠判断出这两个角都不能是100°是解题的关键．2．（2021·山西襄汾县·七年级期末）如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在直线向右平移到Rt △DEF ，则下列结论中，错误的是（ ）A ．BE EC =B ．BC EF = C ．AC DF =D ．ABC DEF △≌△【答案】A【分析】 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．所以Rt ∠ABC 与Rt ∠DEF 的形状和大小完全相同，即Rt ∠ABC ∠Rt ∠DEF ，据此判断即可．【详解】解：∠Rt ∠ABC 沿直角边BC 所在直线向右平移到Rt ∠DEF ，∠Rt ∠ABC ∠Rt ∠DEF ，∠BC =EF ，AC =DF ，BC -EC =EF -EC ，即BE =CF ，所以只有选项A 是错误的，故选：A ．【点睛】本题考查了平移变换，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，熟练应用平移的基本性质．3．（2021·山西七年级期末）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．②③【答案】D【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．【详解】①两个形状相同的图形称为全等图形，说法错误；②边、角分别对应相等的两个多边形全等，说法正确；③全等图形的形状、大小都相同，说法正确；④面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误，故答案为：D ．【点睛】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同．4．（2021·哈尔滨市第四十七中学）如图，ABD BAC ∆∆≌，若AD BC =，则BAD ∠的对应角（ ）A ．ADB ∠B ．BCD ∠C ．ABC ∠D ．CDA ∠【答案】C【分析】 根据三角形全等的性质，找出对应角．【详解】ABD BAC ∆∆≌，AD BC =，BAD ABC ∴∠=∠故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，找出对应角是解题的关键．5．（2021·全国八年级课时练习）如图，,40,30ABD CDB ABD CBD ∠=︒∠=︒≌，则C ∠等于（ ）A ．20︒B ．100︒C ．110︒D ．115︒【答案】C【分析】 利用全等三角形的性质得到∠CDB =∠ABD ，再结合三角形内角和计算即可．【详解】∠ABD CDB △≌△，∠40CDB ABD ∠=∠=︒，∠1801803040110C CBD CDB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，特别基础，熟记全等三角形对应角相等是解题的关键． 6．（2021·重庆巴南区·）已知△ABC 的三边的长分别为3，5，7，△DEF 的三边的长分别为3，7，2x ﹣1，若这两个三角形全等，则x 的值是（ ）A ．3B ．5C ．﹣3D ．﹣5【答案】A【分析】根据三角形全等的性质，可得2x ﹣1＝5，解方程即可求得x 的值．【详解】解：∠这两个三角形全等，∠2x ﹣1＝5，解得，x ＝3，故选：A ．【点睛】本题考查了三角形全等的性质，理解三角形全等的性质是解题的关键．7．（2021·大连市第三十四中学八年级月考）如图，ABC A B C '''≅，其中36A ∠=︒，24C '∠=︒，则B ∠=（ ）A ．150︒B ．120︒C ．90︒D ．60︒【答案】B【分析】 利用全等三角形的性质，三角形内角和定理计算即可．【详解】∠A ABC B C '''≌△△，∠A =36°，C '∠=24°， ∠∠C =C '∠=24°，∠∠B =180°-∠A -∠C =180°-36°-24°=120°，故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质，灵活运用内角和定理是解题的关键．8．（2021·全国七年级课时练习）如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，若ADB EDB EDC ≌≌，则C ∠的度数为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30【答案】D【分析】 根据EDB EDC ≌，推出90,DEB DEC DBE DCE ∠=∠=︒∠=∠，再由ADB EDB ≌，得到90,DAB DEB DBA DBE ∠=∠=︒∠=∠，利用直角三角形中两个锐角互余即可得出.【详解】∠EDB EDC ≌，∠DEB +∠DEC =180°，∠90,DEB DEC DBE DCE ∠=∠=︒∠=∠，又∠ADB EDB ≌，∠90,DAB DEB DBA DBE ∠=∠=︒∠=∠∠90DBA DBE DCE ∠+∠+∠=︒，即30DBA DBE DCE ∠=∠=∠=︒故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形两个锐角和等于90°，掌握全等的性质是解题的关键.9．（2021·甘肃榆中县·七年级期末）如图，90A B ∠=∠=︒，6AB =，E 、F 分别为线段AB 和射线BD 上的一点，若点E 从点B 出发向点A 运动，同时点F 从点B 出发向点D 运动，二者速度之比为1:2，运动到某时刻同时停止，在射线AC 上取一点G ，使AEG △与BEF 全等，则AG 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2或6【答案】D【分析】 设BE =t ，则BF =2t ，使∠AEG 与∠BEF 全等，由∠A =∠B =90°可知，分两种情况：情况一：当BE =AG ，BF =AE 时，列方程解得t ，可得AG ；情况二：当BE =AE ，BF =AG 时，列方程解得t ，可得AG ．【详解】解：设BE =t ，则BF =2t ，因为∠A =∠B =90°，使∠AEG 与∠BEF 全等，可分两种情况： 情况一：当BE =AG ，BF =AE 时，∠BF =AE ，AB =6，∠2t =6-t ，解得：t =2，∠AG =BE =2；情况二：当BE =AE ，BF =AG 时，∠BE =AE ，AB =6，∠t =6-t ，解得：t =3，∠AG=BF=2t=6，综上所述，AG=2或AG=6．故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．10．（2021·全国）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC△△ADC′，△AEB△△AEB′，且C′D//EB′//BC，BE、CD交于点F，若△BAC＝α，△BFC＝β，则（）A．2α+β＝180°B．2β﹣α＝180°C．α+β＝150°D．β﹣α＝60°【答案】A【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，再利用三角形外角性质得∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，接着利用C′D∠B′E得到∠AEB＝∠C′MC，而根据三角形内角和定理，三角形外角性质和等角代换，进一步变形后即可得到答案．【详解】解：延长C′D交AC于M，如图，∠∠ADC∠∠ADC′，∠AEB∠∠AEB′，∠∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，∠∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，∠C′D∠B′E，∠∠AEB′＝∠C′MC，∠∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣α，∠∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，∠∠C′+∠B′＝180°﹣3α，∠β＝∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC +∠ACD +∠B '＝α+∠ACD +∠B ′＝α+∠C ′+∠B ′＝α+180°﹣3α＝180°﹣2α，即：2α+β＝180°．故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质和灵活运用平行线的性质是解题的关键．11．（2021·全国八年级课时练习）如图，AOB ADC △≌△，点B 和点C 是对应顶点，90O D ∠=∠=︒，记,,OAD ABO ABC ACB αβ∠=∠=∠=∠，当//BC OA 时，α与β之间的数量关系为（ ）A ．αβ=B ．2αβ=C ．90αβ+=︒D ．2180αβ+=︒【答案】B【分析】 根据全等三角形对应边相等可得AB =AC ，全等三角形对应角相等可得∠BAO =∠CAD ，然后求出∠BAC =α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC ，整理即可．【详解】∠AOB ADC △≌△，∠BAO CAD ∠=∠，∠OAD OAB BAD CAD BAD BAC α∠=∠+∠=∠+∠=∠=，在ABC 中，∠A ABC CB =∠∠， ∠1(180)2ABC α∠=︒-，∠//BC OA ，∠1801809090OBC O ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∠1180()902βα+︒-=︒，整理得2αβ=， 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．12．（2021·河南川汇区·八年级期末）如图，点D ，E ，F 分别在ABC 的边AB ，BC ，CA 上（不与顶点重合），设BAC α∠=，FED θ∠=．若BED CFE ≌△△，则α，θ满足的关系是（ ）A ．90αθ+=︒B ．2180αθ+=︒C ．90αθ-=︒D ．2180αθ+=︒【答案】B【分析】 根据全等三角形的性质可得∠B =∠C ，∠BED =∠EFC ，再利用三角形内角和定理可得出等量关系1802αθ︒-=，化简即可． 【详解】解： ∠BED CFE ≌△△，∠∠B =∠C ，∠BED =∠EFC ，∠BAC α∠=，FED θ∠=，在∠ABC 中，∠A +∠B +∠C =180°， ∠1802B C α︒-∠=∠=，180BED FEC θ∠++∠=︒, ∠180EFC FEC θ∠++∠=︒，∠在∠EFC 中，180EFC C FEC ∠+∠+∠=︒，∠C θ=∠,即1802αθ︒-=， ∠2180αθ+=︒．故选：B ．【点睛】本题考查三角形内角和定理和全等三角形的性质．熟练掌握定理，能结合图形完成角度之间的转化是解题关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．（2021·吉林铁西区·八年级期中）如图所示，ABC ECD ≌△△，48A ∠=︒，62D ∠=︒，则图中B 的度数是______度．【答案】70【分析】用∠ABC ∠∠ECD 求出∠ACB ＝∠D ＝62°，再根据三角形内角和可求出结论．【详解】解：∠∠ABC ∠∠ECD ，∠A ＝48°，∠D ＝62°，∠∠ACB ＝∠D ＝62°，∠∠B ＝180°−∠A −∠ACB ＝70°，故答案为：70．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理；解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．14．（2021·全国八年级课时练习）如图，ABE ACD △≌△，且D ∠与E ∠是对应角，顶点C 与顶点B 对应，若10cm BE =，则CD =__________．【答案】10cm【分析】先由“ABE ACD △≌△，且D ∠与E ∠是对应角，点C 与点B 是对应点”得出CD 的对应边为BE ，再利用全等三角形的性质，根据BE 的长即可求解．【详解】∠ABE ACD △≌△，且D ∠与E ∠是对应角，点C 与点B 是对应点，∠CD 与BE 是对应边，10cm CD BE ==．故答案为：10cm ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质，解题关键是观察图形，找出全等三角形的对应点．15．（2021·全国）如图，长方形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，AD＝7cm，DM＝5cm，△DAM＝39°，则△ANM△△ADM，AN＝_____cm，NM＝_____cm，△NAB＝_______．【答案】7 5 12°【详解】略16．（2021·山东芝罘区·七年级期末）如图，△ABC△△ADE，若△BAE＝135°，△DAC＝55°，那么△CFE的度数是______．【答案】40°【分析】设AD与BC交于点G，根据全等三角形的性质与对顶角的性质求解即可得到答案.【详解】解：设AD与BC交于点G，∠∠ABC∠∠ADE，∠∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∠∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，∠∠BAD+∠CAE＝135°﹣55°＝80°，∠∠BAD＝∠CAE＝40°，∠∠B＝∠D，∠BGA＝∠DGF，∠∠CFE＝∠DFB＝∠BAD＝40°，故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.17．（2021·浙江东阳市·七年级期末）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3k cm，宽为2k cm，则（1）裁去的每个小长方形面积为___cm2；（用k的代数式表示）（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为___．【答案】（6k+9）1或5【分析】（1）求出小长方形的长，宽，可得结论．（2）由长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，推出侧面4个长方形的面积和是底面积的整数倍，延长构建关系式，可得结论．【详解】解：（1）由题意，小长方形的长为（3+2k）cm，宽为3cm，∠裁去的每个小长方形面积为（6k+9）（cm2），故答案为：（6k+9）．（2）由题意，12k+18k=n•6k2（n为正整数），可得nk=5，∠n=1，k=5或n=5，k=1，∠k=1或5，故答案为：1或5．【点睛】本题考查全等图形，列代数式，认识立体图形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．18．（2021·山东莱州市·七年级期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则△1+△2+△3的度数等于_______．【答案】180°【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．【详解】解：如图所示：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，∠三个三角形全等，∠∠4+∠9+∠6＝180°，又∠∠5+∠7+∠8＝180°，∠∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，∠∠1+∠2+∠3的度数是180°．故答案为：180°．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．19．（2021·辽宁本溪市·七年级期末）如图，△A ＝△B ＝90°，AB ＝80，点E 和点F 分别为线段AB 和射线BD 上的一点，若点E 从点B 出发向点A 运动，同时点F 从点B 出发向点D 运动，点E 和点F 运动速度之比为2：3，运动到某时刻点E 和点F 同时停止运动，在射线AC 上取一点G ，使△AEG 与△BEF 全等，则AG 的长为________．【答案】60或32【分析】分两种情况进行讨论：①AEG BEF ≅，②AEG BFE ≅，然后根据全等三角形的性质和题目中的数据，即可计算出AG 的长．【详解】解：由题意，设2(0)BE x x =>，则3BF x =，分以下两种情况：①当AEG BEF ≅时，则2,3AE BE x AG BF x ====，∠80AE BE AB +==，即2280x x +=，∠20x =，∠360AG x ==；②当AEG BFE ≅时，3,2AE BF x AG BE x ====，∠80AE BE AB +==，即3280x x +=，∠16x =，∠232AG x ==；综上，AG 的长为60或32，故答案为：60或32．【点睛】本题考查了全等三角形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．20．（2021·全国）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝24厘米，△B =△C ，BC ＝16厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．当点Q 的运动速度为________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD 与△CQP 全等．【分析】设点Q 的速度为x ，则运动t 秒时，CQ =xt ，分两种情况讨论①当∠BPD ∠∠CQP 时，②当∠BPD ∠∠CPQ 时，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可．【详解】解：设点Q 的速度为x ，则运动t 秒时，CQ =xt ，∠P 点的速度为4，BC =16∠BP =4t ，PC =（16-4t ）又∠AB =AC =24，点D 为AB 的中点∠BD =12AB =12∠∠B =∠C∠运动t 秒时，∠BPD 与∠CQP 全等共有两种情况①当∠BPD ∠∠CQP 时，则有BD =CP ，BP =CQ即12=16-4t ，4t =xt即t =1∠由4t =xt 可知，x =4．②当∠BPD ∠∠CPQ 时，则有BD =CQ ，BP =CP即12=xt ，4t =16-4t∠t =2，x =6．综合①②可知速度为4或6．故答案为：4或6．【点睛】本题考查了三角形全等的性质，分类讨论是解题的关键．三、解答题21．（2021·全国八年级课时练习）已知：如图，,8cm,5cm ABC DEF BC EC ==≌，求线段CF 的长．【分析】根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∠ABC DEF △≌△，∠BC EF =，∠8cm BC =，∠8cm EF BC ==，∠5cm EC =，∠()853cm CF EF EC =-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．22．（2020·铜陵市第二中学八年级月考）如图，ABF △CDE △，已知30B ∠=︒，25DCF ∠=︒，求EFC ∠的度数．【答案】55︒【分析】由全等三角形的对应角相等知∠B=∠D=30°，然后由三角形外角定理来求∠EFC 的度数．【详解】解：∠ABF ∠CDE △，B D ∠=∠．又∠30B ∠=︒，∠30D ∠=︒．∠25DCF ∠=︒，∠55EFC D DCF ∠=∠+∠=︒．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．全等三角形的对应边相等及全等三角形的对应角相等是解题的关键．23．（2021·河南邓州市·七年级期末）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法．同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样的一道题目：（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．试说明AD＝BE；聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法：请你帮小亮把说理过程补充完整．解：△△ACB和△DCE均为等边三角形，△CA＝CB，CD＝CE，△ACB＝△DCE＝60°，（等边三角形的性质）△△ACD＝（等式的性质）△△ACD绕点C按逆时针方向旋转度，能够与重合△△ACD△（旋转变换的性质）△AD＝BE（）；（2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求△AEB的度数．聪明的同学们你会解决吗？请写出你的求解过程．（此题不用写推理依据即可）．【答案】（1）∠BCE，60，∠BCE，∠BCE，全等三角形的对应边相等；（2）60°【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ACD＝∠BCE，然后根据旋转的性质可得∠ACD∠∠BCE，即可求证；（2）根据等边三角形的性质可得∠CDE＝∠CED＝60°，从而∠ADC＝120°，再由全等三角形的性质，可得到∠BEC＝∠ADC＝120°，即可求解．【详解】解：（1）∠∠ACB和∠DCE均为等边三角形，∠CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，（等边三角形的性质）∠∠ACD＝∠BCE，（等式的性质）∠∠ACD绕点C按逆时针方向旋转60度，能够与∠BCE重合，∠∠ACD∠∠BCE，（旋转变换的性质）∠AD＝BE（全等三角形的对应边相等）；（2）∠∠DCE为等边三角形，∠∠CDE＝∠CED＝60°，∠点A，D，E在同一直线上，∠∠ADC＝120°，∠∠ACD∠∠BCE，∠∠BEC＝∠ADC＝120°，∠∠AEB ＝∠BEC ﹣∠CED ＝60°．【点睛】本题主要考查了利用旋转判定三角形全等，全等三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，利用旋转判定三角形全等是解题的关键．24．（2021·全国八年级课时练习）如图，,ABF CDE B ∠≌和D ∠是对应角，AF 和CE 是对应边．（1）写出ABF 和CDE △的其他对应角和对应边；（2）若30,40B DCF ∠=︒∠=︒，求EFC ∠的度数；（3）若10,2BD EF ==，求BF 的长．【答案】（1）其他对应角为BAF ∠和DCE ∠，AFB ∠和CED ∠；其他对应边为AB 和,CD BF 和DE ；（2）70EFC ∠=︒；（3）6BF =．【分析】（1）根据全等三角形的性质，对应角相等，对应边相等，解答即可；（2）根据全等三角形的性质可得30D B ∠=∠=︒，运用三角形外角的性质即可解答； （3）根据全等三角形的性质可得BF DE =，进一步证明DF BE =，然后可得426BF BE EF =+=+=．【详解】（1）其他对应角为：BAF ∠和DCE ∠，AFB ∠和CED ∠；其他对应边为：AB 和,CD BF 和DE ；（2）∠,30ABF CDE B ∠=︒≌，∠30D B ∠=∠=︒∠40DCF ∠=︒，∠304070EFC D DCF ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）∠ABF CDE ≌△△， ∠BF DE =，∠BF EF DE EF -=-，∠DF BE =，∠10,2BD EF ==， ∠()110242DF BE ==⨯-=，∠426BF BE EF =+=+=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应角相等，对应边相等是解本题的关键．25．（2021·河南伊川县·七年级期末）如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，△ACE △△DBF ，AD ＝8，BC ＝2．（1）求AC 的长；（2）求证：CE △BF ，AE △DF ．【答案】（1）5AC =；（2）见解析【分析】（1）根据全等三角形对应边相等可得AC DB =，然后根据AC BD AD BC +=+，再等量代换，即可求解；（2）根据全等三角形对应角相等可得,ECA FBD A D ∠=∠∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行证明即可．【详解】（1）ACE DBF ∆≅∆，AC DB ∴=，AC BD AD BC +=+，2AC AD BC ∴=+，8,2AD BC ==，28210AC ∴=+=，5AC ∴=；（2）ACE DBF ∆≅∆，,ECA FBD A D ∴∠=∠∠=∠，//,//CE BF AE DF ∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟记性质并准确识图是解题关键． 26．（2021·辽宁铁西区·）如图，点B ，C ，E ，F 在同一直线上，AB BC ⊥于点B ，DEF ABC ≌，且6BC =，3CE =．（1）求CF 的长；（2）判断DE 与EF 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）9；（2）DE EF ⊥，理由见解析【分析】（1）直接利用全等三角形的性质得出BC EF =，进而得出答案；（2）直接利用全等三角形的性质得出90ABC DEF ∠=∠=︒，进而得出答案．【详解】解：（1）DEF ABC ∆≅∆，BC EF ∴=，6BC =，3CE =，6EF ∴=，639CF EF EC ∴=+=+=；（2）DE EF ⊥，理由：AB BC ⊥，90ABC ∴∠=︒，90ABC DEF ∴∠=∠=︒，DE EF ∴⊥．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边与对应角相等是解题关键． 27．（2021·浙江浙江省·八年级期末）如图，已知正方形ABCD 边长为4cm ，动点M 从点C 出发，沿着射线CD 的方向运动，动点P 从点B 出发，沿着射线BC 的方向运动，连结,BM DP ，（1）若动点M和P都以每秒2cm的速度运动，问t为何值时DPC△和BCM全等？（2）若动点P的速度是每秒3cm，动点M的速度是每秒1.5cm问t为何值时DPC△和BCM 全等？【答案】（1）t=1；（2）t=89或t=83【分析】（1）根据∠DCP与∠BCM全等，列出关于t的方程，解之即可；（2）分当点P在点C左侧和当点P在点C右侧，两种情况，根据PC=CM，列方程求解即可．【详解】解：（1）要使∠DCP与∠BCM全等，则PC=CM，由题意得：2t=4-2t，解得：t=1；（2）当点P在点C左侧时，则∠DCP∠∠BCM，∠PC=CM，∠4-3t=1.5t，解得：t=89；当点P在点C右侧时，则∠DCP∠∠BCM，∠CP=CM，∠3t-4=1.5t，解得：t=83，综上：当t=89或t=83时，∠DCP与∠BCM全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是抓住全等三角形的条件，得到相等线段，列出方程，注意分类讨论．28．（2020·浙江浙江省·）在56的方格纸中，每格的边长为1，请按下列要求画图．（1）在图1中画一个格点ADE ，使ADE 与ABC 全等，且所画格点三角形的顶点均不与点B ，C 重合．（2）在图2中画一个面积为7的格点四边形ABCD ，且BAD ∠为锐角．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用轴对称的性质解决问题即可．（2）构造梯形，利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图1中，∠ADE 即为所求．（2）如图2中，四边形ABCD 即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．29．（2021·云南盘龙区·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABC 的边BC 在x 轴上，A 、C 两点的坐标分别为()0,A m ，(),0C n ，()5,0B -，且()231230m n -+-=点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度沿射线BO 匀速运动，设点P 运动时间为t ．（1）点A 的坐标为 ；点C 的坐标为 ；（2）连接PA ，当POA 的面积等于ABC 的面积的一半时，求t 的值；（3）当P 在线段BO 上运动时，在y 轴上是否存在点Q ，使POQ △与AOC △全等？若存在，请直接写出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()0,4，()3,0；（2）1t =或9t =；（3）存在，Q ()0,3或()0,4或()0,3-或()0,4-【分析】（1）根据()231230m n -+-=可以得出m 、n 的值，从而得到A 、C 的坐标；（2）分点P 在线段BO 上和在射线OC 上两种情况进行讨论求解即可；（3）分POQ △∠AOC △和POQ △∠COA 两种情况进行讨论求解即可.【详解】解：（1）∠()231230m n -+-=，∠3120m -=，30n -=，∠4m =，3n =，∠A 的坐标是（0，4），C 的坐标是（3，0）（2）∠B 的坐标是（-5，0），A 的坐标是（0，4），C 的坐标是（3，0）∠5OB =，3OC =，4OA =11481622ABC S OA BC =⨯=⨯⨯=△ ①P 在线段OB 上，如图1，∠5OP t =-，4OA = ∠()1154822POA S OP AP t =⨯=-⨯=△ ∠1t =，②当P 在射线OC 上如图2，∠5OP t =-，4OA =， ∠()1154822POA S OP AP t =⨯=-⨯=△ ∠9t =∠当1t =或9t =时，POA 的面积等于ABC 的面积的一半；（3）当P 在线段BO 上运动时，在y 轴上存在点Q ，使POQ △与AOC △全等， ①当POQ △∠AOC △时，∠PO =AO ，OC =OQ =3∠Q 点的坐标为（0，3）或（0，-3）②当POQ △∠COA 时，∠PO =CO ，OQ =OA =4∠Q 点的坐标为（0，4）或（0，-4）综上所述：Q 点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，4）或（0，-4）【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形面积公式，全等三角形的性质，平面直角坐标系点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.30．（2021·江苏姑苏区·苏州草桥中学七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示的方式放置，其中ABC 中，90ACB ∠=︒，45BAC ∠=︒，ADE 中，90ADE ∠=︒，30DAE ∠=︒，AB AD =，点C 在线段AE 上．射线AB '从AB 出发，绕点A 以5︒/秒的速度顺时针旋转；同时，射线DA '从DA 出发，绕点D 顺时针旋转．设射线AB '运动的时间为t 秒（09t <≤），AB '与BC 交于点M ，DA '与AB '交于点N ．（1）若射线DA '旋转的速度为5︒/秒，则AND ∠=________︒；（2）设射线DA '旋转的速度为x ︒/秒，当射线AB '与DA '旋转到某处时，ABM 与AND △全等，求相应的t 、x 的值．【答案】（1）105°；（2）56x t =⎧⎨=⎩或67.5x t =⎧⎨=⎩ 【分析】（1）根据题意可知∠BAD =75°，=5BAB t '∠，5ADA t '=∠，∠NAD =∠BAD -BAB '∠=75°-5t ，再利用三角形内角和定理即可求解；（2）分∠ABM ∠∠DAN 时和当∠ABM ∠∠ADN 时两种情况分类讨论求解即可得到答案.【详解】解：（1）∠BAC ∠=45°，DAE =∠30°，∠∠BAD =75°，∠射线AB '从AB 出发，绕点A 以5°/秒的速度顺时针旋转，∠=5BAB t '∠，∠射线DA '旋转的速度为5°/秒∠5ADA t '=∠，∠∠NAD =∠BAD -BAB '∠=75°-5t ，∠∠AND =180°-∠NAD -ADA '∠=105°；（2）由题意得：AB =AD ，∠BAM =5t ，∠ADN =xt ，∠B =45°，∠∠DAN =75°-5t ，当∠ABM ∠∠DAN 时，有=BAM ADN B DAN ∠∠⎧⎨∠=∠⎩即o o 5=45755t xt t⎧⎨=-⎩， 解得56x t =⎧⎨=⎩； 当∠ABM ∠∠ADN 时，有=BAM DAN B ADN∠∠⎧⎨∠=∠⎩ 即o o 5=75545t t xt ⎧-⎨=⎩， 解得67.5x t =⎧⎨=⎩； ∠综上所述，当三角形ABM 与三角形AND 全等时，56x t =⎧⎨=⎩或67.5x t =⎧⎨=⎩.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

中考专题复习全等三角形知识点总结一、全等图形、全等三角形：1.全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。

2.全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。

3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。

同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。

这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。

二、全等三角形的判定：1.一般三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“” ）。

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。

（3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。

（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。

2.直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)．注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。

3.性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)三、角平分线的性质及判定：性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。

四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

全等三角形【命题趋势】在中考中.全等三角形在中考主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主。

常结合常考的5种全等模型常结合四边形考查。

【中考考查重点】一、全等三角形常考5种模型二、全等三角形性质考点一：全等三角形的概念及性质1．（2021秋•中山区期末）如图.△ABC≌△DEC.点E在AB边上.∠ACD＝40°.则∠B 的度数为（）A．40°B．65°C．70°D．80°【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△DEC.∴∠ACB＝∠DCE.CE＝CB.∴∠BCE＝∠DCA＝40°．∴∠B＝∠CEB＝（180°﹣40°）＝70°.故选：C．2．（2021秋•青田县期末）如图.已知△ABC≌△DEF.B.E.C.F在同一条直线上．若BF 概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等.对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等.对应边上的中线相等.对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．＝8cm.BE＝2cm.则CE的长度（）cm．A．5B．4C．3D．2【答案】B【解答】解：∵△ABC≌△DEF.∴BC＝EF.∴BC﹣CE＝EF﹣CE.∴BE＝CF.∵BE＝2cm.∴CF＝BE＝2cm.∵BF＝8cm.∴CE＝BF﹣BE﹣CF＝8﹣2﹣2＝4（cm）.故选：B．3．（2021秋•武汉期末）如图.△ABC≌△ADE.若∠B＝80°.∠E＝30°.则∠C的度数为（）A．80°B．35°C．70°D．30°【答案】D【解答】解：∵△ABC≌△ADE.∴∠C＝∠E＝30°.故选：D．考点二：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合.另两组边分别平行.常要在移动的方向上加（减）公共线段.构造线段相等.或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例4．（2021秋•余干县期中）已知：如图.点A、B、C、D在一条直线上.EA∥FB.EA＝FB.AB ＝CD．（1）求证：△ACE≌△BDF.（2）若∠A＝40°.∠D＝80°.求∠E的度数．【答案】（1）略（2）∠E的度数为60°【解答】证明：（1）∵EA∥FB.∴∠A＝∠FBD.∵AB＝CD.∴AB+BC＝CD+BC.在△EAC与△FBD中..∴△EAC≌△FBD（SAS）.（2）∵△EAC≌△FBD.∴∠ECA＝∠D＝80°.∵∠A＝40°.∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°.答：∠E的度数为60°．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠.直线两旁的部分能完全重合.重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.解题时要注意隐含条件.即公共边或公共角相等.5．（2021•长沙模拟）如图.在△ABC中.∠B＝∠C.过BC的中点D作DE⊥AB.DF⊥AC.垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF.（2）若∠B＝50°.求∠BAC的度数．【答案】（1）略（2）80°【解答】（1）证明：∵DE⊥AB.DF⊥AC.∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵D是BC的中点.在△BED与△CFD中..∴△BED≌△CFD（AAS）.∴DE＝DF.（2）解：∵∠B＝50°.∴∠C＝∠B＝50°.∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°．6．（2021•江阳区一模）已知.在如图所示的“风筝”图案中.AB＝AD.AC＝AE.∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE．【答案】略【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC.∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC．即：∠BAC＝∠EAD．在△ABC和△ADE中..∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴BC＝DE．模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后.两个三角形能够完全重合.则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点.无重叠部分.一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角.运用角的和差可得到等角.7．（2012春•张家港市期末）如图.点A、F、C、D在同一直线上.点B和点E分别在直线AD的两侧.且AB＝DE.∠A＝∠D.AF＝DC．求证：（1）△ABC≌△DEF.（2）BC∥EF．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）∵AF＝DC.∴AF+CF＝DC+CF.∴AC＝DF.∵在△ABC和△DEF中.∴△ABC≌△DEF（SAS）.（2）∵由（1）知△ABC≌△DEF.∴∠BCA＝∠EFD.∴BC∥EF．8．（2021•长安区一模）如图.△ABC和△EBD都是等边三角形.连接AE.CD．求证：AE ＝CD．【答案】略【解答】证明：∵△ABC和△EBD都是等边三角形.∴AB＝CB.BE＝BD.∴∠ABC＝∠DBE＝60°.∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD.即∠ABE＝∠CBD.在△ABE和△CBD中..∴△ABE≌△CBD（SAS）.∴AE＝CD．模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线.三垂直：直角两边互相垂直.过直角的两边向直线作垂直.利用“同角的余角相等”转化找等角99．（2020秋•溧水区期中）如图.在△ABC中.AB＝AC.点P、D分别是BC、AC边上的点.且BP＝CD.∠APD＝∠B．（1）求证：AB＝CP.（2）若∠BAC＝120°.则∠ADP＝°．【答案】（1）略（2）75【解答】（1）证明：∵AB＝AC.∴∠B＝∠C.∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD.且∠APD＝∠B.∴∠CPD＝∠BAP.在△ABP和△PCD中..∴△ABP≌△PCD（AAS）.∴AB＝CP.（2）解：∵∠BAC＝120°.∠B＝∠C.∵AB＝AC.AB＝PC.∴PC＝AC.∴∠CAP＝∠APC＝＝75°.由（1）知：△ABP≌△PCD.∴AP＝PD.∴∠ADP＝∠CAP＝75°.故答案为：75．10．（2020春•海淀区校级期末）如图.在△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝BC.点E是∠ACB 内部一点.连接CE.作AD⊥CE.BE⊥CE.垂足分别为点D.E．（1）求证：△BCE≌△CAD.（2）请直接写出AD.BE.DE之间的数量关系：．【答案】（1）略（2）AD＝BE+DE【解答】证明：（1）∵BE⊥CE.AD⊥CE.∴∠E＝∠ADC＝90°.∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°.∴∠EBC＝∠DCA.在△BCE和△CAD中..∴△BCE≌△CAD（AAS）.（2）∵△BCE≌△CAD.∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE.故答案为：AD＝BE+DE．模型五：半角模型1、等边角形半角作辅助线：延长FC到G.使得CG=BE.连接DG结论：▲DEF≌▲DGF.EF=BE+CF2、正方形含半角作辅助线：延长CB到G.使得CG=DF.连接AG结论：▲AEF≌▲AGE.EF=BE+DF11．（2021春•开州区期末）已知：如图四边形ABCD是正方形.∠EAF＝45°．（1）如图1.若点E.F分别在边BC、CD上.延长线段CB至G.使得BG＝DF.若BE＝4.BG＝3.求EF的长.（2）如图2.若点E.F分别在边CB、DC延长线上时.求证：EF＝DF﹣BE.（3）如图3.如果四边形ABCD不是正方形.但满足AB＝AD.∠BAD＝∠BCD＝90°.∠EAF＝45°.且BC＝8.DC＝12.CF＝6.请你直接写出BE的长．【答案】（1）7 （2）EF＝DF﹣BE （3）BE＝【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴AB＝AD＝BC＝CD.∠D＝∠ABC＝90°.∵AB＝AD.∠D＝∠ABG.BG＝DF.∴△ABG≌△ADF（SAS）.∴AG＝AF.∠DAF＝∠BAG.∵∠EAF＝45°.∴∠DAF+∠BAE＝45°.∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠GAE.∴∠GAE＝∠EAF.又∵AG＝AF.AE＝AE.∴△GAE≌△F AE（SAS）.∴EF＝GE.∴EF＝GE＝BE+BG＝4+3＝7.（2）如图2.在DF上截取DM＝BE.∵AD＝AB.∠ABE＝∠ADM＝90°.DM＝BE.∴△ABE≌△ADM（SAS）.∴AE＝AM.∠EAB＝∠DAM.∵∠EAF＝45°.且∠EAB＝∠DAM.∴∠BAF+∠DAM＝45°.∴∠MAF＝45°＝∠EAF.又∵AE＝AM.AF＝AF.∴△AEF≌△AMF（SAS）.∵DF＝DM+FM.∴DF＝BE+EF.∴EF＝DF﹣BE.（3）如图.在DF上截取DM＝BE.同（2）可证EF＝DF﹣BE.∴DF＝BE+EF＝CF+DC＝18.∵EF2＝CF2+CE2.∴（18﹣BE）2＝62+（8+BE）2.∴BE＝．12．已知如图.在菱形ABCD中.∠B＝60°.点E、F分别在AB、AD上.且BE＝AF．求证：△ECF是等边三角形．【答案】略【解答】解：连接AC.∵四边形ABCD是菱形.∴AB＝BC＝AD＝CD.∵∠B＝60°.∴∠D＝∠B＝60°.∠BCD＝120°.△ABC是等边三角形.∴∠BAC＝60°.AC＝AB.∴AC＝CD.∴AE＝DF.在△ACE与△DCF中..∴△ACE≌△DCF（SAS）.∴EC＝FC．∠ACE＝∠DCF.∵∠DCF+∠ACF＝60°.∴∠ACE+∠ACF＝60°.即∠ECF＝60°.∴△ECF是等边三角形．1．（2020•雨花区校级三模）如图.AB∥ED.CD＝BF.若△ABC≌△EDF.则还需要补充的条件可以是（）A．AC＝EF B．BC＝DF C．AB＝DE D．∠B＝∠E【答案】C【解答】解：∵AB∥ED.∵∠B＝∠D.∵CD＝BF.CF＝FC.∴BC＝DF．在△ABC和△DEF中BC＝DF.∠B＝∠D.AB＝DE.∴△ABC≌△DEF．2．（2021春•秦淮区期中）如图.在四边形ABCD中.∠A＝∠B＝90°.AB＝BC＝4.AD＝3.E是边AB上一点.且∠DCE＝45°.则DE的长度是（）A．3.2B．3.4C．3.6D．4【答案】B【解答】解：如图.过C作CG⊥AD于G.并延长DG至F.使GF＝BE.∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°.AB＝BC.∴四边形ABCG为正方形.∴AG＝BC＝4.∠BCG＝90°.BC＝CG.∵AD＝3.∴DG＝4﹣3＝1.∵BC＝CG.∠B＝∠CGF.BE＝FG.∴△EBC≌△FGC（SAS）.∴CE＝CF.∠ECB＝∠FCG.∵∠DCE＝45°.∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°.∴∠DCE＝∠DCF.∵CE＝CF.∠DCF＝∠DCE.DC＝DC.∴△ECD≌△FCD（SAS）.∴ED＝DF.设ED＝x.则EB＝FG＝x﹣1.∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x.Rt△AED中.AE2+AD2＝DE2.∴（5﹣x）2+32＝x2.解得：x＝3.4.∴DE＝3.4．故选：B．3．（2021•凤山县模拟）如图.△ABC≌△DEC.∠ACD＝28°.则∠BCE＝°．【答案】28【解答】证明：∵△ABC≌△DEC.∴∠ACB＝∠DCE.∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE.即∠ACD＝∠BCE＝28°．故答案是：28．4．（2021秋•余干县期中）已知：如图.点A、B、C、D在一条直线上.EA∥FB.EA＝FB.AB ＝CD．（1）求证：△ACE≌△BDF.（2）若∠A＝40°.∠D＝80°.求∠E的度数．【答案】（1）略（2）60°【解答】证明：（1）∵EA∥FB.∴∠A＝∠FBD.∵AB＝CD.∴AB+BC＝CD+BC.即AC＝BD.在△EAC与△FBD中..（2）∵△EAC≌△FBD.∴∠ECA＝∠D＝80°.∵∠A＝40°.∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°.答：∠E的度数为60°．5．（2021秋•庐江县期末）如图.AB与CD交于点E.点E是AB的中点.∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．【答案】略【解答】证明：∵E是AB的中点.∴AE＝BE.在△AEC和△BED中..∴△AEC≌△BED（ASA）.∴AC＝BD．6．（2021秋•伊通县期末）已知：如图.线段BE、DC交于点O.点D在线段AB上.点E 在线段AC上.AB＝AC.AD＝AE．求证：∠B＝∠C．【答案】略【解答】证明：在△ABE和△ACD中..∴∠B＝∠C．7．（2021秋•连云港期末）如图.点B、C、E、F在同一直线上.点A、D在BC的异侧.AB ＝CD.BF＝CE.∠B＝∠C．（1）求证：△ABE≌△DCF.（2）若∠A+∠D＝144°.∠C＝30°.求∠AEC的度数．【答案】（1）略（2）∠AEC＝102°【解答】（1）证明：∵BF＝CE.∴BE＝CF.在△ABE与△DCF中..∴△ABE≌△DCF（SAS）.（2）解：由（1）知.△ABE≌△DCF.∴∠AEB＝∠DFC.∠A＝∠D.∴∠AEC＝∠DFB.∵∠A+∠D＝144°.∴∠D＝72°.又∵∠C＝30°.∴∠DFB＝∠C+∠D＝102°.∴∠AEC＝102°．8．（2021•广东模拟）如图.△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形.且AD ＝AE.AB＝AC.∠DAE＝∠CAB＝90°.且线段BD、CE交于F．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）求∠BFC的度数．【答案】（1）略（2）∠BFC＝90°【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD.即∠BAD＝∠CAE.在△BAD与△CAE中..∴△BAD≌△CAE（SAS）.（2）解：由（1）知.△BAD≌△CAE.∴∠ABD＝∠ACE.BD＝CE.∵∠BAC＝90°.∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°.∴∠BFC＝90°．9．（2021•蓬安县模拟）如图.在△ABC和△DCB中.∠A＝∠D＝90°.AC＝BD.AC与BD 相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB.（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【答案】（1）略（2）△OBC是等腰三角形【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中.∠A＝∠D＝90°AC＝BD.BC为公共边.∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）.（2）△OBC是等腰三角形.∵Rt△ABC≌Rt△DCB.∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.∴△OBC是等腰三角形．10．（2021秋•汝阳县期中）如图：∠ACB＝90°.AC＝BC.BE⊥CE.AD⊥CE.垂足分别为E.D.AD＝25.DE＝17．（1）求证：△ACD≌△CBE.（2）求线段BE的长．【答案】（1）略（2）BE＝8．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°.∴∠ECB+∠ACD＝90°.∵BE⊥CE.∴∠ECB+∠CBE＝90°.∴∠ACD＝∠CBE.∵AD⊥CE.BE⊥CE.∴∠ADC＝∠E＝90°.在△ACD和△CBE中..∴△ACD≌△CBE（AAS）.（2）解：∵△ACD≌△CBE.∴AD＝CE＝25.CD＝BE.∵CD＝CE﹣DE＝25﹣17＝8.∴BE＝8．11．（2020春•无锡期中）如图.菱形ABCD中.∠B＝60°.点E.F分别在AB.AD上.且BE ＝AF．（1）求证：△ECF为等边三角形.（2）连接AC.若AC将四边形AECF的面积分为1：2两部分.当AB＝6时.求△BEC 的面积．【答案】（1）略（2）3或6【解答】解：（1）证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形.∴BA＝BC＝AD＝DC.又∵∠B＝60°.∴△ABC和△ADC都是等边三角形.∴∠CAD＝∠ACB＝∠ACD＝60°.在△CBE和△CAF中..∴△CBE≌△CAF（SAS）.∴CE＝CF.∠BCE＝∠ACF.∴∠ECF＝60°.∴△ECF为等边三角形.（2）由（1）可知△CBE≌△CAF.∴S△CBE＝S△CAF.∴S四边形AECF＝S△ABC.作AH⊥BC交BC于点H.在△ABH中.∠B＝60°.AB＝6.∴BH＝3.∴AH＝3.∴S△ABC＝×6×3＝9.当S△CBE：S△CAE＝1：2时.S△BEC的面积＝S△ABC＝3.当S△CBE：S△CAE＝2：1时.S△BEC的面积＝S△ABC＝6.综上.△BEC的面积为3或612．（2021秋•济阳区期中）问题背景：在解决“半角模型”问题时.旋转是一种常用方法．如图1.在四边形ABCD中.AB＝AD.∠BAD＝120°.∠B＝∠ADC＝90°.点E.F分别是BC.CD上的点.且∠EAF＝60°.连接EF.探究线段BE.EF.DF之间的数量关系．（1）探究发现：小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置.使得AB与AD重合.然后证明△AGF≌△AEF.从而得出结论：EF＝BE+DF.（2）拓展延伸：如图2.在正方形ABCD中.E、F分别在边BC、CD上.且∠EAF＝45°.连接EF.（1）中的结论是否仍然成立？若成立.请写出证明过程.若不成立.请说明理由．（3）尝试应用：在（2）的条件下.若BE＝3.DF＝2.求正方形ABCD的边长．【答案】（1）EF＝BE+DF（2）6【解答】解：（1）探究发现：将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置.使得AB与AD重合.∴△ABE≌△ADG.∴AE＝AG.∠BAE＝∠DAG.∵∠BAD＝120°.∠EAF＝60°.∴∠BAE+∠DAF＝60°.∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝60°＝∠EAF.∵AF＝AF.∴△AEF≌△AGF（SAS）.∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF.故答案为：EF＝BE+DF.（2）拓展延伸：结论仍然成立.证明：如图2.将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置.使得AB与AD重合.∴△ABE≌△ADG.∴AE＝AG.∠BAE＝∠DAG.∵∠BAD＝90°.∠EAF＝45°.∴∠BAE+∠DAF＝45°.∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°＝∠EAF.∵AF＝AF.∴△AEF≌△AGF（SAS）.∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF.（3）尝试应用：由（1）（2）可得EF＝BE+DF＝5.设正方形ABCD的边长是x.在Rt△CEF中.EC＝x﹣3.CF＝x﹣2.EF2＝EC2+CF2.∴52＝（x﹣3）2+（x﹣2）2.解得x1＝6.x2＝﹣1（舍去）.∴正方形ABCD的边长是6．1．（2020•淄博）如图.若△ABC≌△ADE.则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【答案】B【解答】解：∵△ABC≌△ADE.∴AC＝AE.AB＝AD.∠ABC＝∠ADE.∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC.即∠BAD＝∠CAE．故A.C.D选项错误.B选项正确.故选：B．2．（2021•哈尔滨）如图.△ABC≌△DEC.点A和点D是对应顶点.点B和点E是对应顶点.过点A作AF⊥CD.垂足为点F.若∠BCE＝65°.则∠CAF的度数为（）A．30°B．25°C．35°D．65°【答案】B【解答】解：∵△ABC≌△DEC.∴∠ACB＝∠DCE.∵∠BCE＝65°.∴∠ACD＝∠BCE＝65°.∵AF⊥CD.∴∠AFC＝90°.∴∠CAF+∠ACD＝90°.∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°.故选：B．3．（2020•常州）已知：如图.点A、B、C、D在一条直线上.EA∥FB.EA＝FB.AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F.（2）若∠A＝40°.∠D＝80°.求∠E的度数．【答案】（1）略（2）∠E的度数为60°【解答】证明：（1）∵EA∥FB.∴∠A＝∠FBD.∵AB＝CD.∴AB+BC＝CD+BC.即AC＝BD.在△EAC与△FBD中..∴△EAC≌△FBD（SAS）.∴∠E＝∠F.（2）∵△EAC≌△FBD.∴∠ECA＝∠D＝80°.∵∠A＝40°.∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°.答：∠E的度数为60°．4．（2019•南充）如图.点O是线段AB的中点.OD∥BC且OD＝BC．（1）求证：△AOD≌△OBC.（2）若∠ADO＝35°.求∠DOC的度数．【答案】（1）略（2）35°【解答】（1）证明：∵点O是线段AB的中点.∴AO＝BO.∵OD∥BC.∴∠AOD＝∠OBC.在△AOD与△OBC中..∴△AOD≌△OBC（SAS）.（2）解：∵△AOD≌△OBC.∴∠ADO＝∠OCB＝35°.∵OD∥BC.∴∠DOC＝∠OCB＝35°．5．（2020•柳州）如图.已知OC平分∠MON.点A、B分别在射线OM.ON上.且OA＝OB．求证：△AOC≌△BOC．【答案】略【解答】证明：∵OC平分∠MON.∴∠AOC＝∠BOC.在△AOC和△BOC中..∴△AOC≌△BOC（SAS）．6．（2020•衡阳）如图.在△ABC中.∠B＝∠C.过BC的中点D作DE⊥AB.DF⊥AC.垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF.（2）若∠BDE＝40°.求∠BAC的度数．【答案】（1）略（2）∠BAC＝80°【解答】（1）证明：∵DE⊥AB.DF⊥AC.∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵D是BC的中点.∴BD＝CD.在△BED与△CFD中..∴△BED≌△CFD（AAS）.∴DE＝DF.（2）解：∵∠BDE＝40°.∴∠B＝50°.∴∠C＝50°.∴∠BAC＝80°．7．（2020•百色）如图.点A.F.C.D在同一直线上.AB∥DE.BC＝EF.∠B＝∠E．求证：（1）△ABC≌△DEF．（2）AF＝DC．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）∵AB∥DE.∴∠A＝∠D.在△ABC和△DEF中..∴△ABC≌△DEF（AAS）.（2）∵△ABC≌△DEF.∴AC＝DF.∴AF＝CD．8．（2020•徐州）如图.AC⊥BC.DC⊥EC.AC＝BC.DC＝EC.AE与BD交于点F．（1）求证：AE＝BD.（2）求∠AFD的度数．【答案】（1）略（2）90°【解答】解：（1）∵AC⊥BC.DC⊥EC.∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE.∴∠ACE＝∠BCD.在△ACE和△BCD中..∴△ACE≌△BCD（SAS）.∴AE＝BD.（2）设BC与AE交于点N.∵∠ACB＝90°.∴∠A+∠ANC＝90°.∵△ACE≌△BCD.∴∠A＝∠B.∵∠ANC＝∠BNF.∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°.∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°．1．（2021•商河县校级模拟）如图.已知△ABC≌△DAE.BC＝2.DE＝5.则CE的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△DAE.∴AC＝DE＝5.BC＝AE＝2.∴CE＝5﹣2＝3．故选：C．2．（2020•清苑区一模）如图.△ABC≌△EBD.∠E＝50°.∠D＝62°.则∠ABC的度数是（）A．68°B．62°C．60°D．50°【答案】A【解答】解：∵∠E＝50°.∠D＝62°.∴∠EBD＝180°﹣50°﹣62°＝68°.∵△ABC≌△EBD.∴∠ABC＝∠EBD＝68°.故选：A．3．（2020•南宁二模）如图.△ABC≌△DEC.点E在边AB上.∠DEC＝76°.则∠BCE的度数是．【答案】28°【解答】解：∵△ABC≌△DEC.∴CB＝CE.∠B＝∠DEC＝76°.∴∠BCE＝180°﹣2∠B＝28°.故答案为：28°．4．（2021•温州二模）已知：如图.点A、B、C、D在一条直线上.FB∥EA交EC于H 点.EA＝FB.AB＝CD．（1）求证：△ACE≌△BDF.（2）若CH＝BC.∠A＝50°.求∠D的度数．【答案】（1）略（2）∠D＝80°【解答】证明：（1）∵FB∥EA.∴∠A＝∠FBD.∵AB＝CD.∴AB+BC＝CD+BC.即AC＝BD.在△ACE与△BDF中..∴△ACE≌△BDF（SAS）.（2）解：∵△ACE≌△BDF.∴∠A＝∠FBD.∠D＝∠ACE.∵∠A＝50°.∴∠FBD＝50°.∵CH＝BC.∴∠FBD＝∠BHC＝50°.∴∠BCH＝180°﹣∠FBD﹣∠BHC＝80°.∴∠D＝80°．5．（2021秋•长兴县期中）如图.在△ABC中.∠B＝∠C.过BC的中点D作DE⊥AB.DF ⊥AC.垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF.（2）若AB＝5.BC＝8.求DE的长．【答案】（1）略（2）DE＝【解答】（1）证明：如图.连接AD.∵∠B＝∠C.∴AB＝AC.∵D是BC的中点.∴AD平分∠BAC.∵DE⊥AB.DF⊥AC.∴DE＝DF.（2）解：∵AB＝AC.∵D是BC的中点.∴AD⊥BC.BD＝CD＝BC＝4.∴AD＝＝＝3.∴S△ABD＝AB•DE＝BD•AD.∴5DE＝4×3.∴DE＝．6．（2019•曲靖模拟）如图.点A、F、C、D在同一直线上.点B和点E分别在直线AD 的两侧.且AB＝DE.∠A＝∠D.AF＝DC．（1）求证：△ABC≌△DEF.（2）若∠ABC＝90°.AB＝4.BC＝3.当AF为多少时.四边形BCEF是菱形．【答案】（1）略（2）AF＝时.四边形BCEF是菱形【解答】解析（1）证明：∵AF＝DC.∴AF+FC＝DC+FC.即AC＝DF.在△ABC和△DEF中..∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）如解图.连接BE.交CF于点G.∵△ABC≌△DEF.∴BC＝EF.∠ACB＝∠DFE.∴BC∥EF.∴四边形BCEF是平行四边形.∴当BE⊥CF时.四边形BCEF是菱形.∵∠ABC＝90°.AB＝4.BC＝3.∴AC＝＝5.∵∠BGC＝∠ABC＝90°.∠ACB＝∠BCG.∴△ABC∽△BGC.∴＝.即＝.∴CG＝.∵FG＝CG.∴FC＝2CG＝.∴AF＝AC﹣FC＝5﹣＝.∴当AF＝时.四边形BCEF是菱形．7．（2020•沈河区二模）如图.在△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝BC.点E是∠ACB内部一点.连接CE.作AD⊥CE.BE⊥CE.垂足分别为点D.E．（1）求证：△BCE≌△CAD.（2）若BE＝5.DE＝7.则△ACD的周长是．【答案】（1）略（2）30【解答】（1）证明：∵BE⊥CE.AD⊥CE.∴∠E＝∠ADC＝90°.∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°.∴∠EBC＝∠DCA．在△BCE和△CAD中..∴△BCE≌△CAD（AAS）.（2）解：∵：△BCE≌△CAD.BE＝5.DE＝7.∴BE＝DC＝5.CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12．∴由勾股定理得：AC＝13.∴△ACD的周长为：5+12+13＝30.故答案为：30．8．（2021•思明区校级二模）如图.在△ABE和△CDF中.点C、E、F、B在同一直线上.BF ＝CE.若AB∥CD.∠A＝∠D．求证：AB＝CD．【答案】略【解答】证明：∵AB∥CD.∴∠B＝∠C.∵BF＝CE.∴BF+EF＝CE+EF.即CF＝BE.在△ABE与△DCF中..∴△ABE≌△DCF（AAS）.∴AB＝CD．9．（2021•五华区二模）如图所示.AC⊥BC.DC⊥EC.垂足均为点C.且AC＝BC.EC＝DC．求证：AE＝BD．【答案】略【解答】证明：∵AC⊥BC.DC⊥EC.∴∠ACB＝∠ECD＝90°.∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE.∴∠ACE＝∠BCD.在△ACE和△BCD中..∴△ACE≌△BCD（SAS）.∴AE＝BD．10．（2012•许昌一模）已知.四边形ABCD是正方形.∠MAN＝45°.它的两边AM、AN 分别交CB、DC与点M、N.连接MN.作AH⊥MN.垂足为点H（1）如图1.猜想AH与AB有什么数量关系？并证明.（2）如图2.已知∠BAC＝45°.AD⊥BC于点D.且BD＝2.CD＝3.求AD的长.小萍同学通过观察图①发现.△ABM和△AHM关于AM对称.△AHN和△ADN关于AN对称.于是她巧妙运用这个发现.将图形如图③进行翻折变换.解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？【答案】（1）AB＝AH（2）AD的长为6【解答】（1）答：AB＝AH.证明：延长CB至E使BE＝DN.连接AE.∵四边形ABCD是正方形.∴∠ABC＝∠D＝90°.∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°又∵AB＝AD.∵在△ABE和△ADN中..∴△ABE≌△ADN（SAS）.∴∠1＝∠2.AE＝AN.∵∠BAD＝90°.∠MAN＝45°.∴∠2+∠3＝90°﹣∠MAN＝45°.∴∠1+∠3＝45°.即∠EAM＝45°.∵在△EAM和△NAM中..∴△EAM≌△NAM（SAS）.又∵EM和NM是对应边.∴AB＝AH（全等三角形对应边上的高相等）.（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE.作△ACD关于直线AC的对称△ACF.∵AD是△ABC的高.∴∠ADB＝∠ADC＝90°∴∠E＝∠F＝90°.又∵∠BAC＝45°∴∠EAF＝90°延长EB、FC交于点G.则四边形AEGF是矩形.又∵AE＝AD＝AF∴四边形AEGF是正方形.由（1）、（2）知：EB＝DB＝2.FC＝DC＝3.设AD＝x.则EG＝AE＝AD＝FG＝x.∴BG＝x﹣2.CG＝x﹣3.BC＝2+3＝5.在Rt△BGC中.（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52解得x1＝6.x2＝﹣1.故AD的长为6．。

中考热点题型必考：全等三角形解析大全孩子吃透次次满分全等三角形是初中几何的重要内容之一，在几何证明题中有着极其广泛的应用。

然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析、仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。

借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。

题型一：证明线段的垂直如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．证明直角三角形全等时，可根据条件灵活选择方法．题型二：证明线段的相等如图所示，已知AB＝AD，AE＝AC，∠1＝∠2，求证：DE＝BC．根据条件，已知两边对应相等，只需其夹角∠DAE=∠BAC，即可由SAS证得全等，实际上，△ADE可看做是△ABC绕点A旋转得到的。

题型三：证明角相等要想证得∠B＝∠C，可观察∠B与∠C所在的△ABE与△DCE是否全等，由已知难以证其全等．再观察条件可以把∠B与∠C放在△ABD与△DCA中（需连结AD），可以利用三角形全等的条件SSS证明．证明线段相等或角相等时，需证明它们所在的两个三角形全等，当所在的两个三角形不全等时，可结合已知条件，把图形中的某两点连结起来构造全等三角形。

题型四：证明线段的和差问题在一个图形中，有多个垂直关系时，常用“同角或等角的余角相等”来证明两角相等，也可把本题改编为探索题，即直线AN绕A点旋转，则DE、DB、CE会有怎样的关系，DE=BC-CE还成立吗？题型五：构造全等三角形解决实际问题要测量河对岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上（如图所示），这时测得DE的长就是AB的长，写出已知和求证，并进行证明。

对于实际问题，首选要将它转化为数学问题，再根据数学知识去解决。

方法总结三角形全等说理中，如果已知中没有直接给出全等的三个所需条件，这时就需要根据已知条件去推导出所需条件，常遇下列几种情况：1.利用平行线的性质推导角的相等关系；2.利用垂直关系推导角的相等；3.利用边和角的和差推导边和角的相等；4.利用三角形内角和的有关结论推导角的相等；5.运用公共角、对顶角、公共边等题目中隐含条件推导边和角相等．三角形是最常见的几何图形之一，是后续知识的基础，是历年中考命题的热点，三角形全等的条件是三角形的一大重点．中考考查仍然是要求能应用所学知识解决比较简单的实际问题以及联系比较紧密的知识考查双基．从题型设计上看，由传统的以填空题、选择题为主转向综合应用和自主探究的阅读、探索等新颖题型、答案不唯一，具有开放性和创新性．考查数学的分类思想、方程思想以及转化思想．。

三角形与全等三角形-中考复习三角形与全等三角形——中考复习同学们，咱们今天要来好好聊聊三角形和全等三角形这个中考的重点啦！先来说说三角形。

三角形啊，就像是我们生活中的一个个小团体。

比如说，咱班的学习小组，每个小组就像一个三角形，有三个“角”，也就是三个成员，大家相互支持，共同进步。

三角形有很多特性，像内角和是 180 度，这可是个铁打的规律！我记得有一次，我在路上看到一个工人师傅用三角架支撑重物，那三角架稳稳当当的，就是因为三角形具有稳定性。

这稳定性在生活中用处可大了，像自行车的车架、屋顶的钢梁，都是利用了三角形的这个特点。

再说说三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

这就好比三个人赛跑，跑得最快的两个人加起来的速度肯定比跑得最慢的那个人快，不然怎么能超过他呢？接下来就是全等三角形啦！全等三角形就像是双胞胎，长得一模一样。

全等三角形的判定条件，那可得牢记在心。

SSS（边边边）、SAS （边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边、直角边），这几个判定条件就像是打开全等三角形大门的钥匙。

给大家讲个事儿，有一次我去买蛋糕，那个蛋糕是个三角形的。

我就想，如果能再做一个和它全等的三角形蛋糕，那是不是能分给更多的人吃呢？哈哈，这虽然有点贪吃的想法，但也说明了全等三角形在生活中的影子无处不在。

在做中考复习的时候，大家一定要多做练习题。

比如说，给你两个三角形的一些边和角的条件，让你判断它们是不是全等，这时候就要灵活运用我们学过的判定条件啦。

还有证明题，一步一步写清楚推理过程，可别马虎。

总之，三角形和全等三角形虽然看着简单，但里面的学问可不少。

大家要认真复习，把每个知识点都掌握好，这样在中考的时候才能信心满满，取得好成绩！加油吧，同学们！。

第12章全等三角形（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）知识点1、全等形的概念（重点）形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.知识点2、全等三角形的概念和表示方法（重点）1.全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角要点归纳：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF ，AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角3. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.知识点3、全等三角形的性质（重点）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点归纳：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.知识点4、三角形全等的基本事实：边边边（重点）三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点归纳：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .知识点5、三角形全等的基本事实：边角边（重点）1. 全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）要点归纳：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等知识点6、三角形全等的基本事实：角边角（重点）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点归纳：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠B'，则△ABC ≌△'''A B C知识点7、三角形全等的推论：角角边（重点）1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点归纳：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等知识点8、直角三角形全等的判定方法：HL（重点）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点归纳：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.知识点9、常见全等三角形的基本图形1、截长补短有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。

全等三角形和相似三角形复习考点攻略考点一全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等.对应角相等；（2）全等三角形的周长相等.面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．2．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形.判定它们全等时.还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．3. 判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边SASHLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→（2）已知一边、一角AASSASASAAAS⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→（3）已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→【例1】如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.点D.F分别在AB.AC上.CF=C B．连接CD.将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE.连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF ∥C D ．求∠BDC 的度数．【答案】（1）见解析；（2）90°【解析】（1）∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE .∴CD =CE .∠DCE =90°. ∵∠ACB =90°. ∴∠BCD =90°–∠ACD =∠FCE . 在△BCD 和△FCE 中.CB =CF .∵BCD =∠FCE .CD =CE .CB =CF .∠BCD =∠FCE . ∴△BCD ≌△FCE ．（2）由（1）可知△BCD ≌△FCE . ∴∠BDC =∠E .∠BCD =∠FCE .∴∠DCE =∠DCA +∠FCE =∠DCA +∠BCD =∠ACB =90°. ∵EF ∥CD .∴∠E =180°–∠DCE =90°. ∴∠BDC =90°．【例2】如图.已知AD BC =.BD AC =．求证：ADB BCA ∠=∠．【答案】见解析．【解析】证明：在△ADB 和△BCA 中.AD BCAB BA BD AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△BCA （SSS ）. ∴ADB BCA ∠=∠．考点二 比例线段及其性质1．比例的基本性质：组成比例的四个数.叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项.中间的两项叫做比例的内项．2．比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d .如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等.如a ∶b =c ∶d （即ad =bc ）.我们就说这四条线段是成比例线段.简称比例线段．3．判定四条线段是否成比例：只要把四条线段按大小顺序排列好.判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可.求线段之比时.要先统一线段的长度单位.最后的结果与所选取的单位无关系．4. 黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC.BC （AC>BC ）.并且使AC 是AB 和BC 的比例中项.叫做把线段AB 黄金分割.点C 叫做线段AB 的黄金分割点.其中AC=215-AB ≈0.618AB 5. 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线.所得的对应线段成比例。