2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(江西卷)精校版

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国新课标.理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|||2A x R x =∈<，{}|4B x Z ∈≤，则A B ＝A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,22．已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝A ．14B ．12C ．1D ．23．曲线2x y x =+在点(1,1)--处的切线方程为A ．21y x =+B ．21y x =-C ．23y x =--D ．22y x =--4．如图，质点P角速度为1A ． B ． C ． D ．5．已知命题1:p 函数22xxy -=-在R 上为增函数；2:p 函数22x xy -=+在R 上为减函数；则在命题112:q p p ∨，212:q p p ∧，312:()q p p ⌝∨，412:()q p p ∧⌝中，真命题是A ．13,q qB ．23,q qC ．14,q qD ．24,q q6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A ．100 B ．200 C ．300 D ．4007．如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于A ．54B ．45C ．65D ．568．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{}|(2)0x f x ->＝A ．{|2x x <-或4}x >B ．{|0x x <或4}x >C ．{|0x x <或6}x >D ．{|2x x <-或2}x > 9．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan2αα+-＝A ．12-B ．12 C ．2 D ．2-10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A ．2a πB ．273a πC ．2113a πD ．25a π11．已知函数|lg |,010,()16,10,2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c的取值范围是A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)12．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且A B 的中心为(12,15)N --，则E 的方程为A ．22136xy-= B ．22145xy-= C ．22163xy-= D ．22154xy-=第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．设()y f x =为区间[]0,1上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[]0,1上的均匀随机数12,,,N x x x 和12,,,N y y y ，由此得到N 个点(,)(1,2,i i x y i N = ，再数出其中满足()(1,2,i i y f x i N ≤= 的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为 ． 14．正视图为一个三角形的几何体可以是 ．（写出三种）15．过点(4,1)A 的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为 ． 16．在△ABC 中，D 为边B C 上一点，12B D DC =，120ADB ∠=，2AD =，若△A D C 的面积为3-B AC ∠＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P A B C D -的底面为等腰梯形，A B ∥C D ，A C B D ⊥，垂足为H ，P H 是四棱锥的高，E 为A D 的中点．（1）证明：P E B C ⊥；（2）若60APB ADB ∠=∠=，求直线P A 与平面P E H 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）为调查地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位年人，结果如下：ACPD E H（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由 附：22()()()()()n ad bc Ka b c d a c b d -=++++20．（本小题满分12分）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且22||,||,|AF AB BF 成等差数列． （1）求E 的离心率；（2）设点(0,1)P -满足||||PA PB =，求E 的方程． 21．（本小题满分12分）设函数2()1x f x e x ax =---． （1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，已知圆上的弧 AC BD =，过C 点的圆切线与B A 的延长线交于点E ，证明： （1）A C E B C D ∠=∠； （2）2BC BF CD =⋅．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知直线11cos ,:sin ,x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos ,:sin ,x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．E（1）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；（2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为O A 中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图像；（2）若不等式()f x ax ≤的解集为非空，求a 的取值范围．2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国新课标.理）参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力 二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．三、解答题 17．2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、 选择题（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B （7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B1.解析：{||2,}{22}A x R x x R x =∈≤=∈-≤≤，{4}{016}B x Z x Z x =∈=∈≤≤故{0,1,2}A B ⋂=.应选D.命题意图：本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题. 2.解析：11)(1))84z i i ===-=-=-111))444z z i i ∙=⋅=.应选A.另解：由221221z ====-可得214z z z∙==.命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算. 3.解析：由2122x y x x ==-++可得122,2,12(1),21(2)x y k y y x y x x =-''===+=+=++应选A.命题意图：本题主要考查导数的几何意义，以及分式的导数运算和直线的点斜式等知识. 4.解析：通过分析可知当0t =时，点P 到x 轴距离dA,D ，再根据当4t π=时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0,排除答案B ，应选C.命题意图：本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案.本题也可以借助解析式2sin()4d t π=-来处理.5.解析：1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数为真命题，而函数22x xy -=+为偶函数，则22x xy -=+在R 不可能为减函数，2p ：函数22x xy -=+在R 为减函数为假命题，则1p ⌝为假命题，2p ⌝为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C. 命题意图：本题主要考查复合命题的真假的判断，涉及函数的单调性等知识.6.解析：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即~(1000,0.1)B ξ,而2X ξ=，则2210000.1200EX E ξ==⨯⨯=.应选B.命题意图：本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力. 7.解析：根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111101223344556S =+++++⨯⨯⨯⨯⨯111111111151122334455666=-+-+-+-+-=-=，应选D.命题意图：本题主要考查循环结构的框图、框图对应算法的功能以及列项求和. 8.解析：当0x <时，则0x ->，由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得， 3()()8f x f x x =-=--，则338(0)()8(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，33(2)8(2)(2)(2)8(2)x x f x x x ⎧--≥-=⎨---<⎩ 令(2)0f x ->，可解得4,0x x ><或.应选B.另解：由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得3()()8f x f x x ==-，则3(2)(2)28f x f x x -=-=--，要使(2)0f x ->，只需3280,22x x -->-> 解得4,0x x ><或.应选B.命题意图：本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力. 9.解析：由4cos 5α=-，α是第三象限的角可得3sin 5α=-.311tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----，应选A. 另解：由4cos 5α=-，α是第三象限的角可得3sin 5α=-.3sinsin 52tan3421cos cos 125ααααα-====-+-，1tan13121321tan2αα+-==-+-. 命题意图：本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力.10. 解析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，则其外接球的半径为R ==222774123aR a ππ=⋅=，应选B.命题意图：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力.11.解析：作出函数()f x 的图象如右图， 不妨设a b c <<，则1lg lg 10(0,1)2a b c -==-+∈则(10,12)abc c =∈.应选C.12.解析： 由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为 2222221(9)x y a b ab-=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即2222112222221,1x y x y abab-=-=则22121222121212015115312y y x x b b x x ay y a-+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a===，故E 的方程式为22145xy-=.应选B.命题意图：本题主要考查直线与双曲线的位置关系，涉及中点问题可以利用点差法进行求解，也可以利用直线与双曲线的方程联立，借助方程根与系数的关系进行求解,考查利用代数方法研究几何的能力.二、填空题 （13）1N N（14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（15）22(3)2x y -+= （16）60°13.解析：由题意可知101()1f x dx N N≈⎰得110()N f x dx N≈⎰，故积分1()f x dx ⎰的近似值为1N N.14.解析：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等.命题意图：本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力.15. 解析：设圆的方程为222()()x a y b r -+-=， 则2222221(4)(1),(2)(1),1,2b a b r a b r a --+-=-+-==--解得3,0,a b r ===22(3)2x y -+=.命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解.16. 解析：由△ADC的面积为3-1sin 60322AD C S AD D C D C ∆=⋅⋅⋅==-31(3sin 22A B C S AB AC BAC ∆=-=⋅⋅∠解得2D C =,则1,3BD BC ==.2222cos120AB AD BD AD BD =+-⋅⋅241)1)6=++=,AB =22222cos 6041)1)24ACAD C D AD C D =+-⋅⋅=+--=-1)AC =则222cos 2BA AC BCBAC AB AC+-∠=⋅12===故60BAC ∠= .命题意图：本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力.三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21233(222)2n n --=++++ 2(1)12n +-=．而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=． （Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ①从而23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅ ② ①-②得2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅ ．ABDC即 211[(31)22]9n n S n +=-+命题意图：本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力.（18）解：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段H A 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B（Ⅰ）设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n则 1(0,,0),(,,0).22mD mE 可得 1(,,),(,1,0).22m P E n B C m =-=- 因为0022m m P E B C ⋅=-+=所以 P E B C ⊥（Ⅱ）由已知条件可得1,33m n C =-=-故 (1(0,0),(,0),(0,0,1)326D E P -- 设 (,,)n x y x =为平面P E H 的法向量则 ,,n H E o n H P o ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1020x z =⎧⎪⎨⎪=⎩因此可以取(1,n =，由(1,0,1)PA =-，可得c o s ,4P A n=所以直线P A 与平面P E H所成角的正弦值为4命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.（19）解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500=（2）22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯．由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好． 命题意图：本题主要考查统计学知识，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力.（20.）解：（I ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+， 得43A B a =l 的方程为y x c =+，其中c =设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组22221y x c x yab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简的()()222222220a b x a cx ac b +++-=则()2222121222222,acba c x x x x a ba b--+==++因为直线AB 斜率为1，所以AB=21x -=得22244,3aba a b=+故222a b =所以E的离心率2c e aa===（II ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知212022223x x a c x c a b+-===-+，003c y x c =+=．由PA PB =，得1PN k =-， 即0011y x +=-得3c =，从而3a b ==故椭圆E 的方程为221189xy+=．命题意图：本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力.（21）解：（1）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加（II ）'()12x f x e ax =--由（I ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)xe x x >+≠可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)xxxxxf x e a eee e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.综合得a 的取值范围为1(,]2-∞.命题意图：本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.（22）解：（I ）因为AC BC =,所以B C D A B C ∠=∠.又因为E C 与圆相切于点C ，故A C E A B C ∠=∠， 所以A C E B C D ∠=∠.（II ）因为,ECB CDB EBC BCD ∠=∠∠=∠, 所以B D C ∆∽E C B ∆，故B C C D B EB C=，即2BC BE CD =⨯.命题意图：本题主要考查几何选讲中圆、三角形相似等知识，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题.(23)解：（Ⅰ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=．联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1C 与2C 的交点为（1,0）122⎛- ⎝⎭，． （Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=． A 点坐标为()2sin cos sin ααα-， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：()21sin 21sin cos 2x y αααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，P 点轨迹的普通方程为2211416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 故P 点轨迹是圆心为104⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为14的圆．命题意图：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力.（24） 解：（Ⅰ）由于252()23x x f x x -+<⎧=⎨-≥⎩，，x 2则函数()y f x =的图像如图所示．（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为()122⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ ，，．命题意图：本题主要考查含有绝对值的函数图象与性质以及不等式问题，考查利用数形结合解决问题的能力.。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知（x+i ）(l- i)=y,则实数x,y 分别为 A ．x=-1 y=1 B.x=-1,y=2 C ．x=1 y=1 D. x=1,y=2 2．若集合A=A ．{|x -1≤ x ≤1 } B. {|x x ≥0} C ．{|x 01x ≤≤} D.∅3.不等式22||x x x x++>的解集是 A ．（0，2） B. （-∞，0） C ．（2，+∞） D. （-∞，0）⋃（0，+∞）4lim x →∞(1+13 +213+…+x 13)=A.5/3B.3/2C. 2D.不存在5.等比数列| a n |中 a 1 = 2，a x = 4,函数f （x ）=x(x - a 1)(x – a 2 )…(x - a x ),责f x (0)= A. 26 B.29 C .212 D. 2156.(2-x )8 展开始终不含x 4想的系数的和为A.-1B.0C. 1D.27．E ，F 是等腰直角ABC V 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF= A ．2627 B ．23 C 3 D ．348．直线y=kx+3与圆()23x -+()22y -= 4 相交于M , N 两点，若MN ≥3,则k 的取值范围是A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦∪[)0,+∞ C ．3333⎡-⎢⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．给出下列三个命题： ①函数y =12ln 1cos 1cos x x -+与y =ln tan 2x是同一函数； ②若函数y = f(x)与y =g(x)的图像关于直线 y = x 对称，则函数 y =f (2x)与 y =12g(x)的图像也相关于直线y = x 对称；③若奇函数f(x)对定义域内任意x 都有f(x)= f(2-x)，则f(x)为周期函数，期中真命题是 A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②10.过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 做直线1l ，使l 与棱1AB 1AD 1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作A.1条B.2条C.3条D.4条11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。

2010年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•江西）已知（x+i）（1﹣i）=y，则实数x，y分别为（）A．x=﹣1，y=1 B．x=﹣1，y=2 C．x=1，y=1 D．x=1，y=2【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用复数相等求出x、y即可．【解答】解：考查复数的乘法运算．可采用展开计算的方法，得（x﹣i2）+（1﹣x）i=y，没有虚部，即，解得：x=1，y=2．故选D．【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2．（5分）（2010•江西）若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅【考点】交集及其运算．【分析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算．常见的解法为计算出集合A、B的最简单形式再运算．【解答】解：由题得：A={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y≥0}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故选C．【点评】在应试中可采用特值检验完成．3．（5分）（2010•江西）不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【考点】绝对值不等式．【专题】计算题；转化思想．【分析】首先题目求不等式||＞的解集，考虑到分析不等式||＞含义，即的绝对值大于其本身，故可以得到的值必为负数．解得即可得到答案．【解答】解：分析不等式||＞，故的值必为负数．即，解得0＜x＜2．故选A．【点评】此题主要考查绝对值不等式的化简问题，分析不等式||＞的含义是解题的关键，题目计算量小，属于基础题型．4．（5分）（2010•江西）…=（）A．B．C．2 D．不存在【考点】极限及其运算；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先求和，由…，得，由此可得…的值．【解答】解：…=，故选B．【点评】考查等比数列求和与极限知识，解题时注意培养计算能力．5．（5分）（2010•江西）等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26B．29C．212D．215【考点】导数的运算；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212．故选：C．【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．6．（5分）（2010•江西）展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去x4项系数C8820（﹣1）8=1即为所求【解答】解：中，令x=1得展开式的各项系数和为1的展开式的通项为=令得含x4项的系数为C8820（﹣1）8=1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故选项为B【点评】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．7．（5分）（2010•江西）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】约定AB=6，AC=BC=，先在△AEC中用余弦定理求得EC，进而在△ECF中利用余弦定理求得cosECF，进而用同角三角函数基本关系求得答案．【解答】解：约定AB=6，AC=BC=，由余弦定理可知cos45°==；解得CE=CF=，再由余弦定理得cos∠ECF==，∴【点评】考查三角函数的计算、解析化应用意识．8．（5分）（2010•江西）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．C．[﹣]D．[﹣，0]【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用．【专题】压轴题．【分析】先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围．【解答】解：解法1：圆心的坐标为（3，2），且圆与x轴相切．当，弦心距最大，由点到直线距离公式得解得k∈；故选A．解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，故选A．【点评】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法，选择题中常用．9．（5分）（2010•江西）给出下列三个命题：①函数与是同一函数；②若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（2x）与的图象也关于直线y=x对称；③若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2﹣x），则f（x）为周期函数．其中真命题是（）A．①②B．①③C．②③D．②【考点】判断两个函数是否为同一函数；函数的周期性；反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的三要素可得①不正确；根据互为反函数的两个函数的图象特征可得②正确；根据奇函数的定义、周期函数的定义可得f（x）是周期为4的周期函数，可得③正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数=ln=ln，要求tan∈R，而函数则要求tan＞0，故①中2个函数解析式不同，即对应关系不同，而且定义域也不同，故不是同一个函数，故排除A．若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x）与函数y=g（x）互为反函数，故函数y=f（2x）与也互为反函数，故它们的图象也关于直线y=x对称，故②正确．验证③，f（﹣x）=f[2﹣（﹣x）]=f（2+x），又通过奇函数得f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x），∴f（4+x）=f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，故选：C．【点评】本题考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识，考虑定义域不同，属于基础题．10．（5分）（2010•江西）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线L，使L与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线L可以作（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】异面直线及其所成的角．【专题】分类讨论．【分析】直线与直线的所成角为锐角或直角所以要对过点A的直线进行分类，分两类第一类：通过点A位于三条棱之间，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，进行讨论即可．【解答】解：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．故选D．【点评】本题主要考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力，属于基础题．11．（5分）（2010•江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（）A．P1=P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．以上三种情况都有可能【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型；等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】每箱中抽到劣币的可能性都相等，故可用独立重复试验求解，又因为事件“发现至少一枚劣币”的对立事件是“没有劣币”，概率好求．方法一概率为1﹣0.9910；方法二概率为1﹣（）5，做差比较大小即可．【解答】解：方案一：此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为，没有发现劣币的概率是0.99，故至少发现一枚劣币的总概率为1﹣0.9910；方案二：此方案下，每箱的劣币被选中的概率为，总事件的概率为1﹣（）5，作差得P1﹣P2=（）5﹣0.9910，由计算器算得P1﹣P2＜0∴P1＜P2．故选B【点评】本题考查独立重复试验的概率和对立事件的概率问题，以及利用概率知识解决问题的能力．12．（5分）（2010•江西）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题；创新题型．【分析】本题利用逐一排除的方法进行判断，结合选项根据最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，以及总面积一直保持增加，没有负的改变量，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断进行判定即可．【解答】解：最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A．故选A．【点评】本题考查函数图象、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2010•江西）已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为60°，则|﹣|=．【考点】向量的模．【专题】计算题；数形结合．【分析】根据题意和根据向量的减法几何意义画出图形，再由余弦定理求出||的长度．【解答】解：如图，由余弦定理得：||===故答案为：．【点评】本题考查的知识点有向量的夹角、向量的模长公式、向量三角形法则和余弦定理等，注意根据向量的减法几何意义画出图形，结合图形解答．14．（4分）（2010•江西）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有90种（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】根据分组分配问题的思路，先将5人分成3组，计算可得其分组情况，进而将其分配到三个不同场馆，由排列公式可得其情况种数，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先将5人分成3组，由分组公式可得，共有=15种不同分组方法，进而将其分配到三个不同场馆，有A33=6种情况，由分步计数原理可得，不同的分配方案有15×6=90种，故答案为90．【点评】本题考查排列组合里分组分配问题，注意一般分析顺序为先分组，再分配．15．（4分）（2010•江西）点A（x0，y0）在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0=2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题设条件先求出a，b，由此能求出x0的值．【解答】解：a=2．c=6，∴右焦点F（6，0）把A（x0，y0）代入双曲线，得y02=8x02﹣32，∴|AF|=∴．故答案为：2．【点评】本题考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，解题时要注意公式的合理运用．16．（4分）（2010•江西）如图，在三棱锥O﹣ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为S3＜S2＜S1．【考点】棱锥的结构特征．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】设OA=a、OB=b、OC=c，取BC的中点D并连结OD、AD，由三角形中线的性质与锥体体积公式，可得截面OAD就是将三棱锥O﹣ABC的体积分成两等分的截面三角形，结合题意得S△OAD=S1．根据OA、OB、OC两两垂直，在Rt△OBC中算出中线OD=，从而算出Rt△AOD的面积S1=．同理求出S2=，S3=．最后根据a＞b＞c＞0比较三个表达式的大小，即可得到S1＞S2＞S3．【解答】解：设OA=a，OB=b，OC=c，则a＞b＞c＞0．取BC的中点D，连结OD、AD，∵OD是△BCD的BC边上的中线，∴S△OBD=S△OCD=S△OBC，因此V A﹣OBD=V A﹣OCD=V A﹣OBC，即截面OAD将三棱锥O﹣ABC的体积分成两等分，可得S△OAD=S1，∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥OB，OB⊥OC且OA⊥OC，∵OB、OC是平面OBC内的相交直线，∴OA⊥平面OBC，结合OD⊂平面OBC，得OA⊥OD．∵Rt△OBC中，OB=b且OC=c，∴斜边BC=，得OD=BC=．因此S△OAD=OA•OD=，即S1=．同理可得S2=，S3=．∵a＞b＞c＞0，∴a2b2+a2c2＞a2b2+b2c2＞b2c2+a2c2，可得＞＞，即S1＞S2＞S3．故答案为：S1＞S2＞S3【点评】本题给出过同一个顶点三条棱两两垂直的三棱锥，经过这三条棱分别作将三棱锥分成两等分的截面，比较三个截面的大小．着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体的体积公式、勾股定理与解直角三角形和不等式的性质等知识，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2010•江西）已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m的值．【考点】弦切互化；同角三角函数间的基本关系．【专题】综合题．【分析】（1）把m=0代入到f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，利用x的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域；（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成α，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=中得到关于m的方程，求出m的值即可．【解答】解：（1）当m=0时，=，由已知，得sin（2x﹣）∈[﹣，1]，从而得：f（x）的值域为．（2）因为=sin2x+sinxcosx+=+﹣=所以=①当tanα=2，得：，，代入①式，解得m=﹣2．【点评】考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题．依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中档题．18．（12分）（2010•江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】（1）若首次到达1号通道，则ξ的取值为1；若首次到达2号通道，再次到达1号通道，则ξ的取值为3；若首次到达2号通道，再次到达3号通道，最后到达1号通道，则ξ的取值为6；同理若首次到达3号通道时，ξ的取值可为4或6，分别求出对应概率即可．（2）利用期望公式代入即可．【解答】解：（1）必须要走到1号门才能走出，ξ（2）可能的取值为1，3，4，6，，，，（2）小时．【点评】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查．19．（12分）（2010•江西）设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）已知a=1，f′（x）=﹣+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间．（2）区间（0，1]上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值．【解答】解：对函数求导得：，定义域为（0，2）（1）当a=1时，f′（x）=﹣+1，当f′（x）＞0，即0＜x＜时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，＜x＜2时，f（x）为减函数．所以f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，2）（2）函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．因为a＞0，x∈（0，1]，所以＞0，所以函数为单调增函数，（0，1]为单调递增区间．最大值在右端点取到．所以a=．【点评】考查利用导数研究函数的单调性，利用导数处理函数最值等知识．20．（12分）（2010•江西）如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2．（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】（1）取CD中点O，连OB，OM，延长AM、BO相交于E，根据线面所成角的定义可知∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，在三角形AEB中求出此角即可；（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，作BF⊥EC于F，连AF，根据二面角的平面角的定义可知∠AFB就是二面角A﹣EC﹣B的平面角，在三角形AFB中求出此角的正弦值，从而求出二面角的正弦值．【解答】解：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD．又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面．延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角．OB=MO=，MO∥AB，则，，所以，故∠AEB=45°．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线．由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形．作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A﹣EC﹣B的平面角，设为θ．因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°．．所以，所求二面角的正弦值是．【点评】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力．21．（12分）（2010•江西）设椭圆C2：=1（a＞b＞0），抛物线C2：x2+by=b2．（1）若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；（2）设A（0，b），，又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C和抛物线C2的方程．【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；方程思想．【分析】（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c2=b2，由a2=b2+c2，求得C1的离心率；（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设M（﹣x1，y1），N（x1，y1）（x1＞0），由△AMN的垂心为B，根据三角形的垂心是三条高线的交点，可知，再根据三角形的重心坐标公式求得△QMN的重心，代入抛物线C2：x2+by=b2，即可求得椭圆C和抛物线C2的方程．【解答】解：（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c2=b2，由．（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设M（﹣x1，y1），N（x1，y1）（x1＞0），由△AMN的垂心为B，有．由点N（x1，y1）在抛物线上，x12+by1=b2，解得：故，得△QMN重心坐标．由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为x2+2y=4．【点评】此题是个中档题．考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程．考查抛物线的定义和简单的几何性质，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，同时考查了三角的垂心和重心有关性质和公式，综合性强．22．（14分）（2010•江西）证明以下命题：（1）对任一正整a，都存在整数b，c（b＜c），使得a2，b2，c2成等差数列．（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长a n，b n，c n为正整数且a n2，b n2，c n2成等差数列．【考点】等比关系的确定；等差关系的确定．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）要证a2，b2，c2成等差数列，考虑到结构即要证a2+c2=2b2，取特值12，52，72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．类似勾股数进行拼凑．（2）结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷．【解答】解（1）考虑到结构特征，取特值12，52，72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．（2）证明：当a n2，b n2，c n2成等差数列，则b n2﹣a n2=c n2﹣b n2，分解得：（b n+a n）（b n﹣a n）=（c n+b n）（c n﹣b n）选取关于n的一个多项式，4n（n2﹣1）做两种途径的分解4n（n2﹣1）=（2n﹣2）（2n2+2n）=（2n2﹣2n）（2n+2）4n（n2﹣1）对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边．下证互不相似．任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例，由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似．【点评】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力．考查学生对等比关系和等差关系确定的能力．。

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i 【答案】A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=【答案】B【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,所以tan100tan80︒=-sin 80cos80k=-=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a=5，789a a a=10，则456aaa = (A)【答案】A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===，37897988()a a a a a aa ===10,所以132850a a =, 所以133364564655()(50)a a a a aa a =====(5)35(1(1+-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4ABC DA 1B 1C 1D 1O(6)某校开设A 类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种(7)正方体ABCD-1111A BC D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A3B 3C 23D 3 【答案】D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a 【答案】C【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P到x 轴的距离为【答案】B【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060222=,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||y =（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-+3-(C) 4-+3-+【答案】D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故min ()3PA PB ∙=-+.此时x =（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(C) 【答案】B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max 3V =.绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)(()()P A BP A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-AA=-=⋅⋅⋅一． 选择题（1）复数3223ii+-=（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7(C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学(必修+选修II)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅球的表面积公式 24S R π=, 球的体积公式334V R π=,其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,)k n kn n P k p p k n -=-=L 第I 卷第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题 (1)复数3223ii+=-( ) A.i B.i - C.12-13i D. 12+13i (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=( )A.21k k -B. -21k k - C. 21k k - D. -21k k-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =( )A. 52B. 7C. 6D. 42 (5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是( )A. -4B. -2C. 2D. 4(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A. 30种B.35种C.42种D.48种（7）正方体ABCD -1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为( )A.23 B.33 C.23 D.63（8）设a =3log 2,b =ln 2,c =125-,则( )A a <b <cB b <c <aC c <a <bD c <b <a(9)已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为( )A.32 B.62C. 3D. 6 （10）已知函数()|lg |f x x =,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是( )A.(22,)+∞B.[22,)+∞C.(3,)+∞D.[3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ⋅uu v uu v的最小值为( )A. 42-+B.32-+C. 422-+D.322-+（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD =2,则四面体ABCD 的体积的最大值为( )A.233 B.433 C. 23 D. 833第Ⅱ卷第Ⅱ卷共l0小题，共90分。