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平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
531第2课时平行线的性质和判定及其综合运用第一节平行线的性质1.平行线的定义平行线是在同一个平面内永不相交的两条直线。
2.平行线的性质（1）平行线的斜率相等如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行线。
例如，直线y=2x和y=2x+1的斜率都是2，所以它们是平行线。
（2）平行线的内角对应相等如果两条平行线被一条横截线相交，那么对应的内角相等。
例如，直线l和直线m是平行线，横截线AB相交于l和m上的点P 和Q，那么∠APQ=∠BPQ。
（3）平行线的同位角相等如果两条平行线被一条截线相交，那么同位角相等。
例如，直线l和直线m是平行线，截线AC和BD相交于l和m上的点A、B、C、D，那么∠CAB=∠DBA。
3.平行线的推论（1）若两直线分别与第三条直线相交，所得的内部相对角相等，则两直线平行。
（2）若两直线分别与第三条直线相交，所得的外部相对角相等，则两直线平行。
第二节平行线的判定1.判定相交直线是否平行的定理直线l与直线m相交，若在同侧的内角或同侧的外角相等，则l与m 平行。
2.两条直线平行的常用判定定理（1）直线l与直线m垂直于同一条直线n，那么直线l与直线m平行。
（2）直线l与直线m分别垂直于同一条直线n，那么直线l与直线m 平行。
（3）两条直线分别平行于同一条直线，则这两条直线平行。
第三节平行线的综合运用1.解析几何中的平行线利用平行线的性质和判定，可以解决一些平面几何的问题。
（1）平行线的距离若两条平行线l和m的距离分别为d和h，那么可以通过相似三角形的性质得到d/h=AB/CD，其中AB和CD是两条平行线之间的距离。
例如，已知两平行线l和m，l与m之间的距离为d，分别与l和m 平行的两条直线AB和CD的距离分别为x和y，那么可以得到d/x=y/(x+y)。
（2）平行线的截距若一条直线与两条平行线相交，设相交点分别为A、B、C，其中AB=a，BC=b，AC=c，那么可以通过三角形相似得到a/c=b/(b+c)。
5.5 平行线的判定与性质综合运用（1）一、复习:1．如图，已知直线a、b被直线c 所截，完成下面各小题的推理填空：⑴∵∠1=∠5（已知），∴∥( ，两直线平行).⑵∵∠3=∠5（已知），∴∥( ，两直线平行).⑶∵∠3+∠6=180°（已知），∴∥( ，两直线平行).2．如图1，已知直线a、b被直线c所截，在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据：(1) ∵a∥b (已知)，∴∠1=∠3 ( );(2) ∵a∥b (已知)，∴∠1+∠4=180º ( );(3) ∵a∥b (已知)，∴∠2=∠1 ( );3、如图①∠3=∠B，则∥，依据是②∠2+∠A=180°, 则∥，依据是；③∠1=∠4，则∥，依据是④GC ∥EF,AB ∥EF, 则∥，依据是；4．“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”是______命题，(填“真”或“假”) 改写成“如果……那么……”的形式是_______________ _______．题设是________ _____，结论是二、典例分析例1.如图，已知:AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°.求∠2、∠3的度数.例2、如图所示．已知：AD∥BC，∠AEF=∠B，求证：AD∥EF．例3．如图，已知：∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180°．ADFBEC123A BC D12345FE678ab123c4图1图2FEDCBA例4．如图，AE 、CE 分别平分∠BAC 和∠ACD ，且∠1与∠2 互余. 求证：AB ∥CD.例5如图所示，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C ，D•分别落在C ′，D ′的位置上，EC ′交AD 于点G ，已知∠EFG=58°，求∠BEG 度数．例6、（教材变式题）如图，已知B ，E 分别是线段AC ，DF 上的点，AF 交BD •于G ，•交EC 于H ，∠1=∠2，∠D=∠C ，求证：DF ∥AC ．三、课后练习：1、如图AB ∥CD ，∠ABF=120°,∠ECF=25°，则∠F ＝（ ）FECBAEDCBA ED CBAA 、75B 、80C 、85D 、952．如图，已知∠1=∠2，∠3=110°，求∠4的度数？3．如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：∠A =∠C4．如图，已知：AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，且AB ∥CD ． 求证：∠1+∠2=90°．5．如图,已知AB ∥DE ,∠A=135°,∠C=105°,求∠D 的度数.6、 如图所示， 已知，∠1=∠2，∠A=∠D.求证：AB ∥CD7、如图，已知E 、A 、B 在一条直线上，AD ∥BC ，AD 平分∠EAC ，试判定∠B 与∠C 的大小关系,并说明理由？F EDC BA2 1D8、如图，∠A=∠F ，BD ∥CE ，试猜想∠C 与∠D 的关系？为什么？9、如图所示，△ABC 中，过顶点A 作直线D E ∥BC,由此证明：∠BAC +∠B+∠C=180°10、（探索题）如图所示，若AB ∥CD ，在下列四种情况下探索∠APC 与∠PAB ，∠PCD三者等量关系，并选择图（3）进行说明．B。
