初升高数学衔接知识点
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1.绝对值
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.
两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离.
1.填空:
(1)若5=x ,则x =_________;若4-=x ,则x =_________.
(2)如果5=+b a ,且1-=a ,则b =________;若21=-c ,则c =________.
2.选择题:
下列叙述正确的是()
(A )若a b =,则a b =(B )若a b >,则a b >
(C )若a b <,则a b <(D )若a b =,则a b =±
3.化简:|x -5|-|2x -13|(x >5).
2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式22()()a b a b a b +-=-;
(2)完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+;
(2)立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-;
(3)两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++;
(4)两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-.
练习
1.填空:
(1)221111()9423
a b b a -=+(); (2)(4m +22)164(m m =++);
(3) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++).
2.选择题:
(1)若212
x mx k ++是一个完全平方式,则k 等于() (A )2m (B )214m (C )213m (D )2116
m (2)不论a ,b 为何实数,22248a b a b +--+的值()
(A )总是正数(B )总是负数
(C )可以是零(D )可以是正数也可以是负数
3.分解因式
因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.
1.十字相乘法
例1分解因式:
(1)x 2-3x +2;(2)x 2+4x -12;
(3)22()x a b xy aby -++;(4)1xy x y -+-.
2.提取公因式法与分组分解法
例2分解因式:
(1)32933x x x +++;(2)222456x xy y x y +--+-.
练习
1.选择题:
多项式22215x xy y --的一个因式为()
(A )25x y -(B )3x y -(C )3x y +(D )5x y -
2.分解因式:
(1)x 2+6x +8;(2)8a 3-b 3;
(3)x 2-2x -1;(4)4(1)(2)x y y y x -++-.
3.分解因式:
(1)31a +;(2)424139x x -+;
(3)22222b c ab ac bc ++++; (4)2235294x xy y x y +-++-.
4.根的判别式
我们知道,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),用配方法可以将其变形为
222
4()24b b ac x a a -+=.① 因为a ≠0,所以,4a 2>0.于是
(1)当b 2-4ac >0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
x 1,2=2b a
-±; (2)当b 2-4ac =0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根
x 1=x 2=-2b a
; (3)当b 2-4ac <0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边2()2b x a
+一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.
由此可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可以由b 2-4ac 来判定,我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.
综上所述,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有
(1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根
x 1,2
=2b a
-±; (2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根
x 1=x 2=-2b a
; (3)当Δ<0时,方程没有实数根.
x 1=x 2=1;
5.根与系数的关系(韦达定理) 若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根
1x =
,2x =, 则有
1222b b x x a a
-+=+==-;
221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a
-+----====. 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别是x 1,x 2,那么x 1+x 2=b a
-,x 1·x 2=c a .这一关系也被称为韦达定理. 例1已知方程2
560x kx +-=的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.
例2已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m 的值.
例3若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根.
(1)求|x 1-x 2|的值;
(2)求2212
11x x +的值; (3)x 13+x 23.
6.二次函数y =ax 2+bx +c 的图像和性质
(1)当a >0时,函数y =ax 2+bx +c 图象开口向上;顶点坐标为24(,)24b ac b a a
--,对称轴为直线x =-2b a ;当x <2b a -时,y 随着x 的增大而减小;当x >2b a
-时,y 随着x 的增大而增大;当x =2b a
-时,函数取最小值y =244ac b a -. (2)当a <0时,函数y =ax 2+bx +c 图象开口向下;顶点坐标为2
4(,)24b ac b a a
--,对称轴为直线x =-2b a ;当x <2b a -时,y 随着x 的增大而增大;当x >2b a
-时,y 随着x 的增大而减小;当x =2b a
-时,函数取最大值y =244ac b a -. 例1求二次函数y =-3x 2-6x +1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),